初中数学 第23章旋转 教案及试题
第二十三章旋转
基础知识通关
23.1图形的旋转
1.旋转：在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一定点O 按某个方向转动一个角度，这样的运
动叫做图形的旋转。这个定点叫做，转动的角度叫做，如果图形上的某点P
经过旋转变为点P’，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。
2.旋转对称中心：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋
转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（旋转角大于 0°，小于360°）。
3.旋转的性质：
1）对应点到旋转中心的距离。
2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
3）旋转前、后的图形全等。
23.2中心对称
4.中心对称图形与中心对称：
中心对称图形：如果把一个图形绕着某一点旋转度后能与自身重合，那么我们就说，这个图形是中心对称图形。
中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转180 度后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称。这个点就是它的。
5.中心对称的性质：
成中心对称的两个图形是全等形。
成中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
成中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等。
6.坐标系中对称点的特征:
1）关于原点对称：两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（）
2）关于x 轴对称：两个点关于x 轴对称时，x 相等，y 的符号相反，即点P（x，y）关于x 轴的对称点为P’（）
3）关于y 轴对称：两个点关于y 轴对称时，y 相等，x 的符号相反，即点P（x，y）关于y 轴的对称点为P’（）
23.3课题学习图案设计
7.利用平移、旋转、轴对称的组合设计图案
\ 1 /
\ 2 /
一．选择题（共 10 小题）
单元检测
1. 如图是几种汽车轮毂的图案，图案绕中心旋转 90°后能与原来的图案重合的是（
）
A ．
B ．
C ．
D ． 2．如图，按 a ，b ，c 的排列规律，在空格 d 上的图形应该是（ ）
A. B ． C ． D ．
3．在俄罗斯方块游戏中，已拼好的图案如图所示，现出现一小方格体正向下运动，你必须进行以 下（
）操作，才能拼成一个完整图案，使所有图案消
失． A ．顺时针旋转 90°，向右平移 B. 逆时针旋转 90°，向右平移 C. 顺时针旋转 90°，向下平移 D. 逆时针旋转 90°，向下平移
4. 已知等边△ABC 的边长为 4，点 P 是边 BC 上的动点，将△ABP 绕点 A 逆时 针旋转 60°得到△
ACQ ，点 D 是 AC 边的中点，连接 DQ ，则 DQ 的最小值是（ ）
A ．
B ．
C ．2
D ．不能确定
5. 如图，在 Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，将△ABC 绕顶点 C 逆时针旋转得到△A ′B ′C ′，M 是 BC
的中点，P 是 A'B ’的中点，连接 PM ，若 BC ＝4，AC ＝3，则在旋转的过程中，线段 PM 的长度不可能是（ ）
A ．5
B ．4.5
C ．2.5
D ．
0.5
\ 3 /
6. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 位于第二象限，点 A 的坐标是（﹣2，3），先把△ABC 向右
平移 3 个单位长度得到△A 1B 1C 1，再把△A 1B 1C 1 绕点 C 1 顺时针旋转 90°得到△A 2B 2C 1，则点 A 的对应点 A 2 的坐标是（
）
A ．（4，2）
B ．（﹣6，0）
C ．（0，0）
D ．（﹣2，2）
7. 如图，点 O 是等边三角形 ABC 内的一点，∠BOC ＝150°，将△BCO 绕点 C 按顺时针旋转 60°得
到△ACD ，则下列结论不正确的是（
）
A ．BO ＝AD
B ．∠DO
C ＝60° C ．O
D ⊥AD D ．OD ∥AB
8.
如图，正方形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O ．将∠COB 绕点 O 顺时针旋转，设旋转角为α （0＜α＜90°），角的两边分别与 BC ，AB 交于点 M ，N ，连接 DM ，CN ，MN ，下列四个结论：
①∠CDM ＝∠COM ；②CN ⊥DM ；③△CNB ≌△DMC ；④AN 2
+CM 2
＝MN 2
；其中正确结论的个数是（
）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
9. 如图，边长为 24 的等边三角形 A B C 中，M 是高 C H 所在直线上的一个动点，连结 M B ，将线段 B M
绕点 B 逆时针旋转 60°得到 BN ，连结 HN ．则在点 M 运动过程中，线段 HN 长度的最小值是 （
）
A ．12
B ．6
C ．3
D ．
1
10.如图，平面直角坐标系中，点 B 在第一象限，点 A 在x 轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA
＝2，将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°，点B 的对应点B'的坐标是（）
A．（﹣1，2+ ）B．（﹣，3）C．（﹣，2+ ）D．（﹣3，）
二．填空题（共10 小题）
11.笑脸（2）是由笑脸（1
）经过变换得到的．
12.
已知点A（a，1）与点A′（5，b）关于原点对称，则a+b＝．
13.如图，在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，1），AC 由AB 绕点A 顺时针旋转90°而得，
则AC 所在直线的解析式是．
14.如图，一个正方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，根据图中该正方体①②③三
种状态时所显示的数字，可推断“？”处的数字是．
15.已知点P（2m﹣1，﹣m+3）关于原点的对称点在第三象限，则m 的取值范围是．
16.如图，O 为坐标原点，矩形OABC 中，A（﹣8，0），C（0，6），将矩形OABC 绕点O 旋转60°，
得到矩形OA′B′C′，此时直线OA′与直线BC 相交于P．则点P 的坐标为．
\ 4 /
17.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（3，0），B（0，4），如果将线段AB 绕点B 顺时针旋
转90°至CB，那么点C
的坐标是．
18.如图所示，Rt△ABC 与Rt△AB′C′关于点A 成中心对称，若∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝1，则BB′的长度为．
19.如图，在 4×4 的正方形网格中，有 5 个小正方形已被涂黑（图中阴影部分），若在其余网格
中再涂黑一个小正方形，使它与5 个已被涂黑的小正方形组成的新图形是一个轴对称图形，则可涂黑的小正方形共有个．
20.如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 绕点A 顺时针旋转到△AB1C1 的位置，点 B、O 分别落在点B
1
、C
1
处，点 B
1
在x 轴上，再将△AB
1
C
1
绕点 B
1
顺时针旋转到△A
1
B
1
C
2
的位置，点 C
2
在x 轴上，
将△A1B1C2 绕点C2 顺时针旋转到△A2B2C2 的位置，点A2 在轴上，依次进行下去…若点A（1.5，0），
B（0，2），B
1
（4，0），则点B
2018
的坐标为．
三．解答题（共 5 小题）
21．如图，已知 A（1，﹣1），B（3，﹣3），C（4，﹣1）是直角坐标平面上三点．
（1）请画出△ABC 关于x 轴对称的△A1B1C1；
（2）请画出△A1B1C1 绕点 O 逆时针旋转 90°后的△A2B2C2；
（3）判断以 B，B1，B2，为顶点的三角形的形状（无需说明理由）．
\ 5 /
22.将一副三角尺的直角重合放置（∠B＝30°，∠C＝45°），如图 1 所示，
（1）图1 中∠BEC
的度数为
；
（2）三角尺 AOB 的位置保持不动，将三角尺 COD 绕其直角顶点 O 顺时针方向旋转：
①当旋转至图 2 所示位置时，恰好 OD∥AB，求此时∠AOC 的大小；
②若将三角尺 COD 继续绕 O 旋转，直至回到图 1 位置，在这一过程中，是否会存在△COD 其中一
边能与AB 平行？如果存在，请你画出图形，并直接写出相应的∠AOC 的大小；如果不存在，请说明理由．
23.如图，四边形 ABCD 中，∠ABC＝∠ADC＝45°，将△BCD 绕点C 顺时针旋转一定角度后，点 B
的对应点恰好与点 A 重合，得到△ACE．
（1）判断△ABC 的形状，并说明理由；
（2）若AD＝2，CD＝3，试求出四边形 ABCD 的对角线 BD 的长．
\ 6 /
24.已知△ABC 为等边三角形，点 D 是线段 AB 上一点（不与 A、B 重合）．将线段 CD 绕点C 逆时
针旋转60°得到线段 CE．连结 DE、BE．
（1）依题意补全图 1 并判断 AD 与BE 的数量关系．
（2）过点 A 作AF⊥EB 交EB 延长线于点 F．用等式表示线段 EB、DB 与AF 之间的数量关系并证明．
25.如图，在矩形 ABCD 中，把矩形 ABCD 绕点C 旋转得到矩形 FECG，且点 E 落在AD 边上，连接 BG 交CE 于点H
（1）如图 1，求证：AE+CH＝EH：
（2）如图 2，连接 FH，若 FH 平分∠EFG，则满足 2 倍关系的两条段有几对？直接写出这几对线段．
\ 7 /
四．附加题（共 2 小题）
26.数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为的正方形ABCD 与边长为的正
方形 AEFG 按图1 位置放置，AD 与AE 在同一条直线上，AB 与AG 在同一条直线上．
（1）小明发现 DG⊥BE，请你帮他说明理由．
（2）如图 2，小明将正方形 ABCD 绕点A 逆时针旋转，当点 B 恰好落在线段 DG 上时，请你帮他求出此时 BE 的长．
27.已知，四边形ABCD 是边长为3 的正方形，点E 在边AB 上，矩形AEFG 的边AE＝，∠GAF
＝30°．
（1）如图①，求 AF 的长；
（2）如图②，将矩形 AEFG 绕点A 顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到矩形 AMNH，点 C 恰好在AN 上．
①求α的大小；
②求 DN 的长；
（3）若将矩形 AEFG 绕点A 顺时针旋转 30°，得到矩形 ARTZ，此时，点 B 在矩形 ARTZ 的内部、外部、还是边上？（直接写出答案即可）．
\ 8 /
1. 旋转中心，旋转角
3.相等
4.180，对称中心
6. -x，-y，x，-y，-x，y 一．选择题（共10 小题）基础知识通关答案单元检测答案
1.【分析】根据旋转对称图形的概念解答．
【解答】解：
A.此图案绕中心旋转 36°或 36°的整数倍能与原来的图案重合，此选项不符合题意；
B.此图案绕中心旋转 45°或 45°的整数倍能与原来的图案重合，此选项符合题意；
C.此图案绕中心旋转 60°或 60°的整数倍能与原来的图案重合，此选项不符合题意；
D.此图案绕中心旋转 72°或 72°的整数倍能与原来的图案重合，此选项不符合题意；
故选：B．
【知识点】1，2
2.【分析】这是一个旋转问题，找出旋转中心，旋转方向，旋转角，按照规律判断第四个图形．【解答】解：通过观察图形的变化，根据旋转的性质可知，每次旋转的中心是等边三角形的中心，
顺时针旋转，旋转角度是 90°，故在空格 d 上的图形应该是 D．故选 D．
【知识点】1，2
3.【分析】在俄罗斯方块游戏中，要使其自动消失，要把三行排满，需要旋转和平移，通过观察即
可得到．
【解答】解：顺时针旋转 90°，向右平
移．故选：A．
【知识点】1，2
4.【分析】依据旋转的性质，即可得到∠BCQ＝120°，当 DQ⊥CQ 时，DQ 的长最小，再根据勾股定理，即可得到 DQ 的最小值．
【解答】
解：如图，由旋转可得∠ACQ＝∠B＝60°
又∵∠ACB＝60°
∴∠BCQ＝120°
∵点 D 是 AC 边的中点
∴CD＝2
当DQ⊥CQ 时，DQ 的长最小
此时，∠CDQ＝30°
∴CQ＝CD＝1
∴DQ＝＝
∴DQ 的最小值是
故选：B．
【知识点】3
\ 9 /
\ 10 /
5. 【分析】连接 PC ．首先依据直角三角形斜边上中线的性质求出 PC ＝2，然后再依据三角形的三边
关系可得到 PM ≤PC+CM ，故此可得到 PM 的最大值为 PC+CM ． 【解答】解：如图连接 PC ． 在 Rt △ABC 中，∵BC ＝4，AC ＝3 ∴AB ＝5
根据旋转不变性可知，A ′B ′＝AB ＝5 ∴A ′P ＝PB ′ ∴PC ＝A ′B ′＝2.5 ∵CM ＝BM ＝2
又∵PM ≤PC+CM ，即 PM ≤4.5 ∴线段 PM 的长度不可能是 5 故选：A ． 【知识点】3
6. 【分析】根据要求画出图形即可解决问题．
【解答】解：观察图象可知 A 2（4，2） 故选：A ．
【知识点】6
7. 【分析】由旋转的性质得，BO ＝AD ，CD ＝CO ，∠ACD ＝∠BCO ，∠ADC ＝∠BOC ＝150°，推出△OCD
为等边三角形，得到∠DOC ＝60°，故 A ，B 正确；由于∠ODC ＝60°，∠ADC ＝∠BOC ＝150°，得到∠ADO ＝90°，由垂直的定义得到 OD ⊥AD ，故 C 正确，于是得到结论． 【解答】
解：由旋转的性质得，BO ＝AD ，CD ＝CO ，∠ACD ＝∠BCO ，∠ADC ＝∠BOC ＝150° ∵∠ACB ＝60° ∴∠DCO ＝60° ∴△OCD 为等边三角形 ∴∠DOC ＝60°，故 A ，B 正确 ∵∠ODC ＝60°，∠ADC ＝∠BOC ＝150° ∴∠ADO ＝90° ∴OD ⊥AD ，故 C 正确故选：D ． 【知识点】
3
8.【分析】由“ASA”可证△OCM≌△OBN，可得 CM＝BN，∠CDM＝∠BCN，由余角的性质可判断②，不能证明出①，由“SAS”可证△DCM≌△CNB，由勾股定理可判断④．
【解答】解：∵四边形 ABCD 是正方形
∴CD＝BC，BO＝CO，AC⊥BD，∠ACB＝∠ABD＝45°
∵将∠COB 绕点 O 顺时针旋转
∴∠COM＝∠BON，且 BO＝CO，∠ACB＝∠ABD
∴△OCM≌△OBN（ASA）
∴CM＝BN，∠CDM＝∠BCN
∵∠CDM+∠CMD＝90°
∴∠BCN+∠CMD＝90°
∴CN⊥DM
故②正确
∵∠ONM＝∠OBM＝45°
∴∠BON＝∠BMN＝∠COM＞∠BCN＝∠CDM
故①错误
∵CM＝BN，CD＝BC，∠ABC＝∠DCB＝90°
∴△DCM≌△CBN（SAS）
故③正确
∵AB＝BC，BN＝CM
∴AN＝BM
∵BN2+BM2＝MN2
∴AN2+CM2＝MN2
故④正确
故选：C．
【知识点】3
9.【分析】取C B的中点G，连接M G，根据等边三角形的性质可得B H＝B G，再求出∠H B N＝∠M B G，根据旋转的性质可得M B＝N B，然后利用“边角边”证明△M B G≌△N B H，再根据全等三角形对应边相等可得H N＝M G，然后根据垂线段最短可得M G⊥C H时最短，再根据∠BCH＝30°求解即可．
【解答】解：如图，取BC的中点G，连接MG
∵旋转角为 60°
∴∠MBH+∠HBN＝60°
又∵∠MBH+∠MBC＝∠ABC＝60°
∴∠HBN＝∠GBM
∵CH是等边△ABC的对称轴
∴H B＝A B
∴HB＝BG
又∵MB旋转到BN
∴BM＝BN
在△MBG和△NBH中
\ 11 /
∴△MBG≌△NBH（SAS）
∴MG＝NH
根据垂线段最短，当M G⊥C H时，M G最短，即H N最短
此时∠B C H＝×60°＝30°，CG＝A B＝×24＝12
∴M G＝C G＝×12＝6
∴H N＝6
故选：B．
【知识点】3
10.【分析】如图，作 B′H⊥y 轴于H．解直角三角形求出 B′H，OH 即可．
【解答】解：如图，作 B′H⊥y 轴于 H．
由题意：OA′＝A′B′＝2，∠B′A′H＝60°
∴∠A′B′H＝30°
∴AH′＝A′B′＝1，B′H＝
∴OH＝3
∴B′（﹣，3）
故选：B．
【知识点】3
二．填空题（共 10 小题）
11.【分析】根据第一个图象是正直的，第二个图象倾斜，可得旋转变换．
【解答】解：笑脸（2）是由笑脸（1）经过旋转变换得到的．故
答案为：旋转．
【知识点】1,2
12.【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案．
【解答】解：由题意，得
a＝﹣5，b＝﹣1 a+b＝﹣
5+（﹣1）＝﹣6 故答案
为：﹣6
【知识点】6
13.【分析】过点 C 作CD⊥x 轴于点 D，易知△ACD≌△BAO（AAS），已知 A（2，0），B（0，1），
从而求得点 C 坐标，设直线 AC 的解析式为 y＝kx+b，将点 A，点 C 坐标代入求得 k 和 b，从而得解．
\ 12 /
\ 13 /
∴
【解答】解：∵A （2，0），B （0，1） ∴OA ＝2，OB ＝1
过点 C 作 CD ⊥x 轴于点 D 可证△ACD ≌△BAO （AAS ） ∴AD ＝OB ＝1，CD ＝OA ＝2 ∴C （3，2）
设直线 AC 的解析式为 y ＝kx+b ，将点 A ，点 C 坐标代入得
∴直线 AC 的解析式为 y ＝2x ﹣4 故答案为：y ＝2x ﹣4． 【知识点】3
14. 【分析】找到和 1 相邻的数，判断出和 1 相对的数，按③放置即可得到所求的数字．
【解答】解：∵1 与 2，3，4，5 相邻，只能与 6 相对，2 与 5 相对；3 与 4 相对．当 5 在上，3 在右时，前面只能是 1． 故答案为：1． 【知识点】2
15. 【分析】根据关于原点对称点的性质可得 P 在第一象限，进而可得
，再解不等式组
即可．
【解答】解：∵点 P （2m ﹣1，﹣m+3）关于原点的对称点在第三象限 ∴点 P （2m ﹣1，﹣m+3）在第一象限
∴
解得： ＜m ＜3
故答案为： ＜m ＜3
【知识点】6
16. 【分析】作出图形，有两个解，利用直角三角形的 30°的性质可以解决问题．
【解答】解：如图，矩形 OABC 绕点 O 旋转 60°，可能顺时针旋转，也可能逆时针旋转，所以有两种可能，见图．
∵∠AOP 1＝60°，∠AOC ＝90° ∴∠COP 1＝30°
在 RT △COP 1 中，∵OC ＝6，∠COP 1＝30° ∴CP 1＝2
∴点 P 1 坐标为（﹣2，6），根据对称性，P 1、P 2 关于 y 轴对称
∴P 2 坐标（2
，6）
故答案为（﹣2 ，6）或（2 ，6）
\ 14 /
【知识点】3,6
17. 【分析】作 CD ⊥y 轴于点 D ，如图，根据旋转的性质得∠ABC ＝90°，BC ＝BA ，再利用等角的余
角相等得到∠CBD ＝∠A ，则可证明△ABO ≌△BCD 得到 BD ＝OA ＝3，CD ＝OB ＝4，然后根据第二象限内点的坐标特征写出 C 点坐标． 【解答】解：如图，作 CD ⊥y 轴于点 D ∵A （3，0），B （0，4） ∴OA ＝3，OB ＝4
∵线段 AB 绕点 B 顺时针旋转 90°至 CB ∴∠ABC ＝90°，BC ＝BA
∵∠ABO+∠A ＝90°，∠ABO+∠CBD ＝90° ∴∠CBD ＝∠A 在△ABO 和△BCD 中
∠AOB ∠BDC ∠ A ∠CBD AB
BC
∴△ABO ≌△BCD （AAS ） ∴BD ＝OA ＝3，CD ＝OB ＝4 ∴OD ＝OB ﹣BD ＝4﹣3＝1 ∴C 点坐标为（﹣4，1） 故答案为：（﹣4，1）
【知识点】3
18. 【分析】利用在直角三角形中，锐角三角函数关系得出 AB 的长，然后根据中心对称可得 AB ＝
AB ′，进而可得答案．
【解答】解：∵∠C ＝90°，∠B ＝30°，BC ＝
1
∴cos30°＝＝
解得：AB＝
∵Rt△ABC 与 Rt△AB′C′关于点 A 成中心对称
∴AB＝AB′＝
∴BB′＝
故答案为：
【知识点】2，4
19.【分析】根据轴对称图形的定义求解可得．
【解答】解：如图所示，共有 4 种涂黑的方法，
故答案为：4．
【知识点】7
20.【分析】首先根据已知条件求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，B、B2、B4…每偶数之间的B 相差6 个单位长度，根据这个规律可以求得 B2018 的横坐标，进而可得点 B2018 的坐标．【解答】解：∵点 A（1.5，0），B（0，2）
∴OA＝1.5，OB＝2
∴AB＝＝2.5
∴OA+AB
1+B
1
C
2
＝1.5+2.5+2＝6
观察图象可知，点 B2018 的纵坐标为 2
∵2018÷2＝1009
∴点 B
2018
的横坐标为 1009×6＝6054
∴点 B
2018
的坐标为（6054，2）
故答案为：（6054，2）
【知识点】1,3
三．解答题（共 7 小题）
21.【分析】（1）分别作出 A，B，C 的对应点 A1，B1，C1 即可．（2）分别作出点 A1，B1，C1 的对应点 A2，B2，C2 即可．（3）△BB1B2 是等腰直角三角形．
【解答】解：（1）△A
1B
1
C
1
如图所示．
\ 15 /
\ 16 /
（2） △A 2B 2C 2 如图所示． （3） △BB 1B 2 是等腰直角三角形．
【知识点】1,2,3,6
22. 【分析】（1）由已知可求出∠CAE ＝180°﹣60°＝120°，再根据三角形外角性质求出∠BEC
的度数．
（2）①由 OD ∥AB 可得∠BOD ＝∠B ＝30°，再由∠BOD+∠BOC ＝90°和∠AOC+∠BOC ＝90°求出∠ AOC ．
②将三角板△COD 继续绕 O 旋转，OC 边能与 AB 平行，由平行可得∠COB ＝∠B ＝30°，从而求出 ∠AOC ． 【解答】解：
（1）∠CAE ＝180°﹣∠BAO ＝180°﹣60°＝120°
∴∠BEC ＝∠C+∠CAE ＝45°+120°＝165° 故答案为：165° （2）①∵OD ∥AB
∴∠BOD ＝∠B ＝30°
又∠BOD+∠BOC ＝90°，∠AOC+∠BOC ＝90° ∴∠AOC ＝∠BOD ＝30°
②存在，如图 1，当 AB ∥OC 时则∠COB ＝∠B ＝30° ∴∠AOC ＝90°+30°＝120°
如图 2，当 AB ∥CD 时，延长 DO 交 AB 于 D ′ ∴∠AD ′O ＝∠D ＝45° ∴∠AOD ′＝75°
∴∠AOC ＝∠AOD ′+90°＝165°
如图 3，当 AB ∥OD 时，∠DOB ＝∠B ＝30° ∴∠AOC ＝∠DOB ＝30°
如图 4，当 AB ∥OD 时，∠AOD ＝∠A ＝60°
\ 17 /
∴∠AOC ＝90°+60°＝150°
如图 5，当 AB ∥OC 时，∴∠AOC ＝∠A ＝60° 如图 6，当 AB ∥CD 时，∠1＝∠A ＝60° ∴∠AOC ＝60°﹣45°＝15°
综上所述，∠AOC 的度数为：15°，30°，60°，120°，150°，165° 【知识点】3，7
23. 【分析】（1）利用旋转不变性证明△ABC 是等腰直角三角形．
（2）证明△CDE 是等腰直角三角形，再在 Rt △ADE 中，求出 AE 即可解决问题． 【解答】解：
（1） △ABC 是等腰直角三角形
理由：∵BC ＝CA ∴∠CBA ＝∠CAB ＝45° ∴∠ACB ＝90°
∴△ACB 是等腰直角三角形
（2） 由旋转的性质可知：∠DCE ＝∠ACB ＝90°，CD ＝CE ＝3，BD ＝AE
∴DE ＝3 ，∠CDE ＝∠CED ＝45° ∵∠ADC ＝45°
∴∠ADE ＝45°+45°＝90° ∴AE ＝＝ ＝
∴BD ＝AE ＝
．
【知识点】3，7
24. 【分析】（1）根据题意补全图形，由等边三角形的性质得出 AB ＝BC ＝AC ，∠A ＝∠B ＝60°，
由旋转的性质得：∠ACB ＝∠DCE ＝60°，CD ＝CE ，得出∠ACD ＝∠BCE ，证明△ACD ≌△BCE ，即可 得出结论；
（2）由全等三角形的性质得出 AD ＝BE ，∠CBE ＝∠CAD ＝60°，求出∠ABF ＝180°﹣∠ABC ﹣∠ CBE ＝60°，在 Rt △ABF 中，由三角函数得出＝sin60°＝ ，AB ＝ AF ＝ AF ，即可
得出结论． 【解答】解：
（1） 补全图形如图 1 所示，AD ＝BE ，理由如下：
∵△ABC 是等边三角形 ∴AB ＝BC ＝AC ，∠A ＝∠B ＝60°
由旋转的性质得：∠ACB ＝∠DCE ＝60°，CD ＝CE ∴∠ACD ＝∠
BCE
在△ACD 和△BCE 中，
∴△ACD≌△BCE（SAS）
∴AD＝BE
（2）EB+DB＝AF；理由如下：
由（1）得：△ACD≌△BCE
∴AD＝BE，∠CBE＝∠CAD＝60°
∴∠ABF＝180°﹣∠ABC﹣∠CBE＝60°
∵AF⊥EB
∴∠AFB＝90°
在Rt△ABF 中，＝sin60°＝
∴AB＝AF＝AF
∵AD+DB＝AB
∴EB+DB＝AB
∴EB+DB＝AF．
【知识点】3，7
25.【分析】（1）过B 作BM⊥CE 于M，根据旋转的性质得到 CE＝BC，求得∠CEB＝∠CBE，根据全
等三角形的性质得到 BM＝CG，HM＝CH，于是得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到 BH＝GH，求得 BG＝2BH，BG＝2GH，根据线段的和差得到 DE＝2CH，根据已知条件得到△EFH 是等腰直角三角形，求得 EF＝EH，设 AE＝x，CH＝y，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：
（1）过B 作BM⊥CE 于M
∴∠A＝∠BME＝90°
∵把矩形 ABCD 绕点 C 旋转得到矩形 FECG
∴CE＝BC
∴∠CEB＝∠CBE
∵AD∥BC
∴∠AEB＝∠EBC
∴∠AEB＝∠BEM
在△ABE 与△MBE 中
∴△ABE≌△MBE（AAS）
∴AE＝EM，AB＝BM
∴BM＝CG
\ 18 /
在△BMH 与△GCH 中
∴△BMH≌△GCH（AAS）
∴HM＝CH
∵EH＝EM+HM
∴AE+CH＝EH；
（2）满足 2 倍关系的两条线段有 4 对
由（1）得△BMH≌△GCH
∴BH＝GH
∴BG＝2BH，BG＝2GH
∵AD＝AE+DE＝CE＝CH+EH＝CH+CH+AE＝2CH+AE
∴DE＝2CH
∵FH 平分∠EFG
∴∠EFH＝45°
∴△EFH 是等腰直角三角形
∴EF＝EH
∴EH＝AB＝CD
设AE＝x，CH＝y
∴DE＝2y，CD＝x+y，CE＝x+2y
∵DE2+CD2＝CE2
∴（2y）2+（x+y）2＝（x+2y）2
解得：y＝2x
∴CH＝2AE
【知识点】3，7
26.【分析】（1）由正方形的性质可证△ADG≌△ABE（SAS），因此可证得∠AGD＝∠AEB，延长 EB 交DG 于点H，然后由三角形的内角和和直角三角形的两锐角互余可证得结论；由正方形的性质和等量代换可证△ADG≌△ABE（SAS），因此可证得 DG＝BE；
（2）过点A 作AM⊥DG 交DG 于点M，根据正方形的性质可证得DM＝AM＝，然后根据勾股定理可求得 GM 的长，进而可求得 BE＝DG＝DM+GM；
【解答】解：
（1）∵四边形 ABCD 与四边形 AEFG 是正方形
∴AD＝AB，∠DAG＝∠BAE＝90°，AG＝AE
在△ADG 和△ABE 中
∴△ADG≌△ABE（SAS）
∴∠AGD＝∠AEB
如图 1，延长 EB 交 DG 于点 H
∵△ADG 中∠AGD+∠ADG＝90°
∴∠AEB+∠ADG＝90°
\ 19 /
∵△DEH 中，∠AEB+∠ADG+∠DHE＝180°
∴∠DHE＝90°
∴DG⊥BE；
（2）∵四边形 ABCD 与四边形 AEFG 是正方形
∴AD＝AB，∠DAB＝∠GAE＝90°，AG＝AE
∴∠DAB+∠BAG＝∠GAE+∠BAG
∴∠DAG＝∠BAE
在△ADG 和△ABE 中
∴△ADG≌△ABE（SAS）
∴DG＝BE
如图 2，过点 A 作 AM⊥DG 交 DG 于点 M
∠AMD＝∠AMG＝90°
∵BD 是正方形 ABCD 的对角线
∴∠MDA＝∠MDA＝∠MAB＝45°，BD＝2
∴AM＝BD＝1
在Rt△AMG 中
∵AM2+GM2＝AG2
∴GM＝2
∵DG＝DM+GM＝1+2＝3
∴BE＝DG＝3．
【知识点】3，7
27.【分析】（1）在Rt△AFG 中，解直角三角形求出 AF 即可；
（2）①根据α＝∠DAC﹣∠HAN 计算即可；
②如图 2 中，作 NK⊥DC 交 DC 的延长线于 K．在 Rt△DKN 中，求出 KN，DK，再利用勾股定理即可解决问题；
（3）如图③中，设 MN 交直线 AB 于点J，作 JQ⊥AN 于Q．求出 AJ 的长与 AB 比较即可判断；【解答】解：
（1）∵四边形 AEFG 是矩形
∴∠AEF＝90°，AE＝FG
∵AE＝
∴GF＝
∵∠GAF＝30°
∴AF＝2FG＝7
（2）①如图 2 中
∵四边形 ABCD 是正方形
∴∠DAC＝45°
∴α＝∠DAC﹣∠HAN＝45°﹣30°＝15°
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2020-2021备战中考数学压轴题专题初中数学 旋转的经典综合题附详细答案
2020-2021备战中考数学压轴题专题初中数学旋转的经典综合题附详细答案 一、旋转 1．操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF．取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN． （1）连接AE，求证：△AEF是等腰三角形； 猜想与发现： （2）在（1）的条件下，请判断MD、MN的数量关系和位置关系，得出结论． 结论1：DM、MN的数量关系是； 结论2：DM、MN的位置关系是； 拓展与探究： （3）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，则（2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）证明参见解析；（2）相等，垂直；（3）成立，理由参见解析. 【解析】 试题分析：（1）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的知识证明出CE=CF，继而证明出△ABE≌△ADF，得到AE=AF，从而证明出△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半和三角形中位线定理即可得出结论.位置关系是垂直，利用三角形外角性质和等腰三角形两个底角相等性质，及全等三角形对应角相等即可得出结论；（3）成立，连接AE，交MD于点G，标记出各个角，首先证明出 MN∥AE，MN=AE，利用三角形全等证出AE=AF，而DM=AF，从而得到DM，MN数量相等的结论，再利用三角形外角性质和三角形全等，等腰三角形性质以及角角之间的数量关系得到∠DMN=∠DGE=90°．从而得到DM、MN的位置关系是垂直. 试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF=90°，∵△CEF 是等腰直角三角形，∠C=90°，∴CE=CF，∴BC﹣CE=CD﹣CF，即BE=DF， ∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，∴△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，DM、MN的位置关系是垂直；∵在Rt△ADF中DM是斜边AF的中线，∴AF=2DM，∵MN 是△AEF的中位线，∴AE=2MN，∵AE=AF，∴DM=MN；∵∠DMF=∠DAF+∠ADM， AM=MD，∵∠FMN=∠FAE，∠DAF=∠BAE，∴∠ADM=∠DAF=∠BAE，
七年级数学：数轴(教学设计)
( 数学教案 ) 学校：_________________________ 年级：_________________________ 教师：_________________________ 教案设计 / 精品文档 / 文字可改 七年级数学：数轴(教学设计) Mathematics is a tool subject, it is the basis for learning other subjects, and it is also a subject that improves people's judgment, analysis, and comprehension abilities.
七年级数学：数轴(教学设计) 教学目标 1．了解的概念和的画法，掌握的三要素； 2．会用上的点表示有理数，会利用比较有理数的大小； 3．使学生初步了解数形结合的思想方法，培养学生相互联系的观点。 教学建议 一、重点、难点分析 本节的重点是初步理解数形结合的思想方法，正确掌握画法和用上的点表示有理数,并会比较有理数的大小．难点是正确理解有理数与上点的对应关系。的概念包含两个内容，一是的三要素：原点、正方向、单位长度缺一不可，二是这三个要素都是规定的。另外应
该明确的是，所有的有理数都可用上的点表示，但上的点所表示的数并不都是有理数。通过学习，使学生初步掌握用解决问题的方法，为今后充分利用“”这个工具打下基础． 二、知识结构 有了，数和形得到了初步结合，这有利于对数学问题的研究，数形结合是理解数学、学好数学的重要思想方法，本课知识要点如下表： 定义 三要素 应用 数形结合 规定了原点、正方向、单位长度的直线叫 原点 正方向 单位长度 帮助理解有理数的概念，每个有理数都可用上的点表示，但上
人教版初中数学九年级上册《图形的旋转》3课时教学设计
23.1 图形的旋转（1） 第一课时 教学内容 1．什么叫旋转？旋转中心？旋转角？ 2．什么叫旋转的对应点？ 教学目标 了解旋转及其旋转中心和旋转角的概念，了解旋转对应点的概念及其应用它们解决一些实际问题． 通过复习平移、轴对称的有关概念及性质，从生活中的数学开始，经历观察，产生概念，应用概念解决一些实际问题． 重难点、关键 1．重点：旋转及对应点的有关概念及其应用． 2．难点与关键：从活生生的数学中抽出概念． 教具、学具准备 小黑板、三角尺 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们完成下面各题． 1．将如图所示的四边形ABCD平移，使点B的对应点为点D，作出平移后的图形． 2．如图，已知△ABC和直线L，请你画出△ABC关于L的对称图形△A′B′C′． 3．圆是轴对称图形吗？等腰三角形呢？你还能指出其它的吗？ （口述）老师点评并总结： （1）平移的有关概念及性质． （2）如何画一个图形关于一条直线（对称轴）?的对称图形并口述它既有的一些性质．（3）什么叫轴对称图形？ 二、探索新知 我们前面已经复习平移等有关内容，生活中是否还有其它运动变化呢？回答是肯定的，下面我们就来研究． 1．请同学们看讲台上的大时钟，有什么在不停地转动？旋绕什么点呢？?从现在到下课时钟转了多少度？分针转了多少度？秒针转了多少度？ （口答）老师点评：时针、分针、秒针在不停地转动，它们都绕时针的中心．?如果从现在到下课时针转了_______度，分针转了_______度，秒针转了______度． 2．再看我自制的好像风车风轮的玩具，它可以不停地转动．如何转到新的位置？（老师点评略）
3．第1、2两题有什么共同特点呢？ 共同特点是如果我们把时针、风车风轮当成一个图形，那么这些图形都可以绕着某一固定点转动一定的角度． 像这样，把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角． 如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点． 下面我们来运用这些概念来解决一些问题． 例1．如图，如果把钟表的指针看做三角形OAB，它绕O点按顺 时针方向旋转得到△OEF，在这个旋转过程中： （1）旋转中心是什么？旋转角是什么？ （2）经过旋转，点A、B分别移动到什么位置？ 解：（1）旋转中心是O，∠AOE、∠BOF等都是旋转角． （2）经过旋转，点A和点B分别移动到点E和点F的位置． 例2．（学生活动）如图，四边形ABCD、四边形EFGH都是边长为1的正方形． （1）这个图案可以看做是哪个“基本图案”通过旋转得到的？ （2）请画出旋转中心和旋转角． （3）指出，经过旋转，点A、B、C、D分别移到什么位置？ （老师点评） （1）可以看做是由正方形ABCD的基本图案通过旋转而得到的．（2）?画图略．（3）点A、点B、点C、点D移到的位置是点E、点F、点G、点H．最后强调，这个旋转中心是固定的，即正方形对角线的交点，?但旋转角和对应点都是不唯一的． 三、巩固练习 教材P65 练习1、2、3． 四、应用拓展 例3．两个边长为1的正方形，如图所示，?让一个正方形的顶点与另一个正方形中心重 合，不难知道重合部分的面积为1 4 ，现把其中一个正方形固定不动，?另一个正方形绕其中心 旋转，问在旋转过程中，两个正方形重叠部分面积是否发生变化？?说明理由．分析：设任转一角度，如图中的虚线部分，?要说明旋转后正方形重叠部分面积不变，只要说明S△OEE`=S△ODD`，那么只要说明△OEF′≌△ODD′． 解：面积不变． 理由：设任转一角度，如图所示． 在Rt△ODD′和Rt△OEE′中 ∠ODD′=∠OEE′=90° ∠DOD′=∠EOE′=90°-∠BOE OD=OD ∴△ODD′≌△OEE′ ∴S△ODD`=S△OEE` ∴S四边形OE`BD`=S正方形OEBD=1 4 五、归纳小结（学生总结，老师点评）本节课要掌握：
中考数学压轴题专题复习——旋转的综合含详细答案
一、旋转真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图1，在□ABCD中，AB=6，∠B= (60°<≤90°). 点E在BC上，连接AE，把△ABE沿AE折叠，使点B与AD上的点F重合，连接EF. (1)求证：四边形ABEF是菱形； (2)如图2，点M是BC上的动点，连接AM，把线段AM绕点M顺时针旋转得到线段MN，连接FN，求FN的最小值(用含的代数式表示). 【答案】（1）详见解析；（2）FE·sin(－90°) 【解析】 【分析】 (1)由四边形ABCD是平行四边形得AF∥BE，所以∠FAE=∠BEA，由折叠的性质得 ∠BAE=∠FAE，∠BEA=∠FEA,所以∠BAE=∠FEA，故有AB∥FE，因此四边形ABEF是平行四边形，又BE=EF,因此可得结论； (2)根据点M在线段BE上和EC上两种情况证明∠ENG＝90°－，利用菱形的性质得到∠FEN＝－90°，再根据垂线段最短，求出FN的最小值即可. 【详解】 （1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠FAE=∠BEA， 由折叠的性质得∠BAE=∠FAE，∠BEA=∠FEA, BE=EF， ∴∠BAE=∠FEA， ∴AB∥FE， ∴四边形ABEF是平行四边形， 又BE=EF， ∴四边形ABEF是菱形； （2）①如图1，当点M在线段BE上时，在射线MC上取点G，使MG＝AB，连接GN、EN.
∵∠AMN＝∠B＝，∠AMN+∠2＝∠1+∠B ∴∠1＝∠2 又AM＝NM，AB＝MG ∴△ABM≌△MGN ∴∠B＝∠3，NG＝BM ∵MG＝AB＝BE ∴EG＝AB＝NG ∴∠4=∠ENG= (180°－)＝90°－ 又在菱形ABEF中，AB∥EF ∴∠FEC＝∠B= ∴∠FEN＝∠FEC－∠4=－ (90°－)＝－90° ②如图2，当点M在线段EC上时，在BC延长线上截取MG＝AB，连接GN、EN. 同理可得：∠FEN＝∠FEC－∠4=－ (90°－)＝－90° 综上所述，∠FEN＝－90° ∴当点M在BC上运动时，点N在射线EH上运动(如图3) 当FN⊥EH时，FN最小，其最小值为FE·sin(－90°) 【点睛】 本题考查了菱形的判定与性质以及求最短距离的问题，解题的关键是分类讨论得出∠FEN ＝－90°，再运用垂线段最短求出FN的最小值. 2．在平面直角坐标系中，已知点A(0，4)，B(4，4)，点M，N是射线OC上两动点(OM＜
初中数学数轴教案精选范文案例
初中数学数轴教案精选范文案例 规定了原点,正方向和单位长度的直线叫数轴。其中,原点、正方向和单位长度称为数轴的三要素。下面就是给大家带来的人教版初中七年级上册数学数轴教案，希望能帮助到大家！ 初中数学数轴教案一 一、教学目标 【知识与技能】 了解数轴的概念，能用数轴上的点准确地表示有理数。 【过程与方法】 通过观察与实际操作，理解有理数与数轴上的点的对应关系，体会数形结合的思想。 【情感、态度与价值观】 在数与形结合的过程中，体会数学学习的乐趣。 二、教学重难点 【教学重点】
数轴的三要素，用数轴上的点表示有理数。 【教学难点】 数形结合的思想方法。 三、教学过程 (一)引入新课 提出问题：通过实例温度计上数字的意义，引出数学中也有像温度计一样可以用来表示数的轴，它就是我们今天学习的数轴。 (二)探索新知 学生活动：小组讨论，用画图的形式表示东西向马路上杨树，柳树，汽车站牌三者之间的关系： 提问1：上面的问题中，“东”与“西”、“左”与“右”都具有相反意义。我们知道，正数和负数可以表示具有相反意义的量，那么，如何用数表示这些树、电线杆与汽车站牌的相对位置呢? 学生活动：画图表示后提问。 提问2：“0”代表什么?数的符号的实际意义是什么?对照体温计进行解答。
教师给出定义：在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴，它满足：任取一个点表示数0，代表原点;通常规定直线上向右(或上)为正方向，从原点向左(或下)为负方向;选取合适的长度为单位长度。 提问3：你是如何理解数轴三要素的? 师生共同总结：“原点”是数轴的“基准”，表示0，是表示正数和负数的分界点，正方向是人为规定的，要依据实际问题选取合适的单位长度。 (三)课堂练习 如图，写出数轴上点A，B，C，D，E表示的数。 (四)小结作业 提问：今天有什么收获? 引导学生回顾：数轴的三要素，用数轴表示数。 课后作业： 课后练习题第二题;思考：到原点距离相等的两个点有什么特点? 初中数学数轴教案二 一、教学内容分析
初中数学图形的旋转公开课教学设计
图形的旋转（第1课时）教学设计 （九年级上册第二十三章23.1） 一、内容和内容解析 1．内容 旋转的概念和性质. 2．内容解析 旋转是一种图形变换，也是初中学段继平移和轴对称之后学习的第三种全等变换，它是研究中心对称的知识基础，也是探究旋转对称类图形（如圆）的必要准备. 本课是本章的起始课，重点探究旋转的概念和性质，是本章知识的核心，也是后续研究中心对称和坐标应用的关键. 旋转的概念突出了三要素，即旋转中心、旋转方向和旋转角，这三个要素是确保旋转的唯一性的必要条件，也是表述一个旋转过程的必要因素. 通过观察大量旋转的实例逐步抽象得出旋转的概念，这一过程是将对旋转的认识逐步理性化的过程，也是感受如何定义一种图形变换的过程. 旋转的性质是研究在图形变化前提下图形要素间的不变性，是研究图形变换的价值之所在. 正是因为图形在位置变化的过程中保持了形状和大小的不变，并因各自不同的变化而产生出要素间新的确定的关系，我们才能以此为基础去作图、证明或解决其他问题. 同为图形变换，旋转的性质与平移和轴对称的性质有相似之处，但这种相似更体现在性质的探究过程. 图形整体的变换过程是复杂的，可以先从研究图形上的特殊点（直线型的特殊点一般是其顶点）的变换过程出发，由点到形、由特殊到一般的去研究整体，并了解类似问题的基本研究套路. 基于以上分析，确定本节课的教学重点是：旋转的性质.
二、目标和目标解析 1．目标 （1）通过观察具体实例认识旋转； （2）探索并掌握旋转的性质. 2．目标解析 达成目标（1）的标志是：能通过观察具体的旋转实例抽象出旋转三要素，会判断图形的变化是否为旋转，能指出图形旋转中的三要素，会利用三要素描述旋转. 达成目标（2）的标志是：经历作图、猜想、验证的探究过程，得到并理解旋转的性质，会利用旋转的性质发现旋转中的不变关系，会利用旋转的性质作一个图形经过旋转后的图形. 三、教学问题诊断分析 学生在小学初步认识了旋转，但仅限于图形的识别，没涉及几何要素间的定量分析. 学生也学习了平移、轴对称两种图形变换，具备研究图形变换的基本经验，知道只改变位置的图形变换是全等变换. 在平移和轴对称变换中，变换的途径更直观，对应量的关系更清楚，与之相比，旋转具有更强的抽象性. 学生在探究性质的过程中，或是应用性质的过程中，都会遇到不能发现旋转的途径，找不到对应量，不会确定旋转中心等问题. 针对学生可能遇到的问题，在本课的教学中应注意两点：一是通过大量的旋转实例展示，让学生通过不断地观察熟悉旋转，认识图形在不同的旋转中的相对位置，积累认知和判别经验；二是在实例的观察中，引导学生发现图形上的点的变换与图形的变换具有一致性，从而通过对点的研究发现形的性质.
旋转相似经典例题知识讲解
旋转与全等、相似中的线段数量关系 基本例题：1、如图，△ABC中，∠C＝90°.（1）将△ABC绕点B逆时针旋转90，画出旋转后的三角形；（2）若BC＝3，AC＝4，点A旋转后的对应点为A′，求A′A的长 变式1,如图Rt△AB'C'是由Rt△ABC,绕点A顺时针旋转得到的，连接C C'交AB于E, (1)证明：△CA C'∽△BA B' (2)延长C C'交B B'于F，证明：△CA E∽△FBE 变式2，△ABC绕点B逆时针旋转90°得到△DBE,若恰好得到C、E、D三点共线，则AC、BC、CD的数量关系是 变式3，△ABC绕点B逆时针旋转a°得到△DBE,若恰好得到C、E、D三点共线，则AC、
BC、CD的数量关系是 变式4、Rt△ABC中，AC=BC,∠ACB=∠ADB=90°，连接CD,求：AD、CD、BD的数量关系 变式5、Rt△ABC中，AC=kBC,∠ACB=∠ADB=90°，连接CD,探究：AD、CD、BD的数量关系 变式6、如图，在△OAB和△OCD中，∠A＜90°，OB=KOD（K＞1），∠AOB=∠COD，∠OAB与∠OCD互补，试探索线段AB与CD的数量关系，并证明你的结论。 变式7.如图AB∥CD,BC∥ED, ∠BCD+∠ACE=180°。 (1)当BC=CD 且∠ACE=90°时如图3探究线段AC和CE之间的数量关系 （2）当BC=CD 时如图2探究线段AC和CE之间的数量关系 （3）当BC=kCD时如图1探究线段AC和CE之间的数量关系（用含k的式子表示） E B C A D C A D B
80中田凌志老师提供 1如图R t △ABC ，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B 作直线MN ∥AC,点P 在直线BC 上，∠EPF=∠CAB ，且两边分别交直线AB 于E ，交直线MN 于F 。如图（1）（2）(3)探究PE 与PF 之间的数量关系，并证明 P N M F E C B A _ P _ N _ M _F _E _ C _ B _ A 图1 图2
初中数学旋转专题
旋转证明 一． 利用旋转添加辅助线 例1. 如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的动点，且始终0 45=∠EAF .过点A 做 AP ⊥EF.（1）求证：EF=DE+BF.(2)求证：AP=AD. （3）若△EFC 周长为a ，求正方形的面积. 变式1：如图，点M 、N 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，已知AB=a ，△MCN 的周长为2a ， 求证：∠MAN=45° 1.如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC,AB ⊥BC,AD=2,BC=3,将腰CD 以D 为中心逆时针旋转90到ED ，连结AE 、CE,则△ADE 的面积是 。 2.如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的动点，且始终满足AF 平分BAE ∠， 探究：BF 、DE 与AE 的关系. 5.如图1，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF=45°，则有结论EF=BE+FD 成立。 （1）如图2，在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠B=∠D=90°，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF 是∠ BAD 的一半，那么结论EF=BE+FD 是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。 （2）若将（1）中的条件改为：在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠B+∠D=180°，延长BC 到点E ，延长CD 到点F ，使得∠EAF 仍然是∠BAD 的一半，则结论EF=BE+FD 是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立。请写出它们之间的数量关系，并证明。 A B C D E F A B D C E F A D M B C N A E D
人教版初中数学数轴--教学设计
数轴教学设计 一、内容和内容解析 本节课的主要内容是数轴概念和用数轴上的点表示有理数．数轴是初中数学中的一个核心概念，它是我们研究相反数、绝对值、有理数运算法则等的图形分析工具；借助数轴的直观性表示不仅可以加深对正数、0、负数的认识，而且还可以帮助我们进一步分析、理解相关数学问题；通过对点在数轴上运动的研究可以推导出有理数的运算法则；利用数轴上表示数的特点来确定有理数的大小和不等式组的解集．数轴作为分析、研究数学问题的工具，不仅揭示了其内在的数形结合思想，而且也为研究数学问题提供了新的方法，为今后建立平面直角坐标系及其运用打下坚实基础． 学习数轴是把数和形有机统一起来的第一次尝试，我们借助教科书中的情境：“在一条东西向的马路上，有一个汽车站牌，汽车站牌东3m和7.5m处分别有一棵柳树和一棵杨树，汽车站牌西3m和4.8m处分别有一棵槐树和一根电线杆，试画图表示这一情境”．从情境出发，引导学生通过观察、转化、类比、比较、分析等思维活动，发现“三要素”（基准点、方向和与基准点的距离）在刻画事物相对位置中的作用，把实际问题抽象成用“直线、点、距离等”描述的图形；继而将直线上的点用数表示，实现在一条直线上用0表示“基准点”，借助负数概念引入过程中用正数和负数表示“相反意义的量”的经验，来规定在0的左、右两边分别用负数和正数表示，顺利过渡到用负数、0、正数表示出了这条直线上的点，为定义数轴概念提供一次直观基础。然后通过这一例子与温度计比较，使学生进一步明确“三要素”的意义，体会“用点表示数”和“用数表示点”的思想方法，为定义数轴概念提供又一次直观基础，自然引出数轴概念．在数轴概念的建立过程中，应注意渗透0是正数和负数的分界点，原点是数轴的基准点；单位长度是度量线段长度的单位，1是实数单位；原点向右、向左的方向表示了相反方向，它们与正数、负数的对应关系；即原点与0，正向、反向与正数、负数，单位长度与1的对应关系．并具体讲述数轴的画法和用数轴上的点表示数的方法． 基于以上分析，确定本节课的教学重点：理解数轴“三要素”；体会用数轴上的点表示数的合理性，感受其中的数形结合思想． 二、目标和目标解析 1．目标
初中数学专题：旋转问题
专题二旋转 学习要点与方法点拨： 出题位置：选择、填空最后一道题和倒数第二道题，压轴题最后两道 “旋转”在苏教版中是一个独立章节，在中考和平时的考试张经常出现，结合三角形，四边形等基本图形考察学生对旋转的应用。同时，旋转对解决动点问题有极大的帮助。 一、基本图形一： 将∠AOB旋转至∠A’OB’，图①、②分别可以得到结论？ ①② 旋转点会有一组对角相等（考题规律，如果已知条件为较小的角度相等，则题目一定需要较大的角相等；如果条件给出较大的角相等，则一定需要较小的角相等） 二、基本图形二： 将△AOB旋转至△A’OB’，连接AA’与BB’，分别在图①、②中证明△OAA’与△OBB’相似。 旋转后连接得到的两个三角形相似。 因为旋转的两个三角形全等，连接后出现等腰三角形，顶角相等；则底角亦相等；或根据夹角成比例证明相似。 三、解题步骤 （1）第一步：找旋转点，角相等； （2）第二步：证全等、相似； （3）第三步：利用全等、相似得到边、角条件。 模块精讲 例1.在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．（1）当点C1在线段CA的延长线上时，如图1，求∠CC1A1的度数； （2）如图2，△ABC绕点B按逆时针方向旋转，连接AA1，CC1，若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积； （3）点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．
例 2.已知△ABC是等边三角形. （1）将△ABC绕点A逆时针旋转角（0°＜＜180°），得到△ADE，BD和EC所在直线相交于点O. ①如图a，当 =20°时，△ABD与△ACE是否全等？（填“是”或“否”）， ∠BOE= 度； ②当△ABC旋转到如图b所在位置时，求∠BOE的度数； （2）如图c，在AB和AC上分别截取点B′和C′，使AB=AB′,AC=AC′,连接B′C′，将△AB′C′绕点A逆时针旋转角（0°＜＜180°），得到△ADE. BD和EC所在直线相交于点O，请利用图c探索∠BOE的度数，直接写出结果，不必说明理由. 例3.（一）如图,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°． ①当点D在AC上时,如图(1),线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系?直接写出你猜想的结论； ②将图(1)中的△ADE绕点A顺时针旋转α角（0°＜α＜90°）,如图（2）,线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系?请说明理由． （二）当△ABC和△ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时,使线段BD、CE在（1）中的位置关系仍然成立?不必说明理由． 甲：AB：AC=AD：AE=1,∠BAC=∠DAE≠90°； 乙：AB：AC=AD：AE≠1,∠BAC=∠DAE=90°； 丙：AB：AC=AD：AE≠1,∠BAC=∠DAE≠90°． 例4.【2016·扬州】已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与 边BC、DC的延长线交于点E、F，连接EF。设CE=a，CF=b。 （1）如图1，当∠EAF被对角线AC平分时，求a、b的值；
初中数学数轴教学教案
初中数学数轴教学教案 初中数学数轴教学教案一:教材分析: 本节课主要是在学生学习了有理数概念的基础上,从标有刻度的温度计表示温度高低 这一事例出发,引出数轴的画法和用数轴上的点表示数的方法,初步向学生渗透数形结合的数学思想,以使学生借助直观的图形来理解有理数的有关问题.数轴不仅是学生学习相反数,绝对值等有理数知识的重要工具,还是以后学好不等式的解法,函数图象及其性质等内容的必要基础知识. 二:教学目标: 根据新课标的要求及七年级学生的认知水平我特制定的本节课的教学目标如下: 1. 使学生理解数轴的三要素,会画数轴. 2. 能将已知的有理数在数轴上表示出来,能说出数轴上的已知点所表示的有理数,理解所有的有理数都可以用数轴上的点表示 3. 向学生渗透数形结合的数学思想,让学生知道数学来源于实践,培养学生对数学的学习兴趣. 三:教学重,难点: 正确理解数轴的概念和有理数在数轴上的表示方法是本节课的教学重点,建立有理数与数轴上的点的对应关系(数与形的结合)
是本节课的教学难点. 四:教材分析: ⑴知识掌握上,七年级学生刚刚学习有理数中的正负数,对正负数的概念理解不一定很深刻,许多学生容易造成知识遗忘,所以应全面系统的去讲述. ⑵学生学习本节课的知识障碍.学生对数轴概念和数轴的三要素,学生不易理解,容易造成画图中丢三落四的现象,所以教学中教师应予以简单明白,深入浅出的分析. ⑶由于七年级学生的理解能力和思维特征和生理特征,学生好动性,注意力易分散,爱发表见解,希望得到老师的表扬等特点,所以在教学中应抓住学生这一生理心理特点,一方面要运用直观生动的形象,引发学生的兴趣,使他们的注意力始终集中在课堂上; 由于七年级学生的理解能力和思维特征,他们往往需要依赖直观具体形象的图形的年龄特点,以及七年级学生刚刚学习有理数中的正负数,对正负数的概念理解不一定很深刻,许多学生容易造成知识遗忘,也为使课堂生动,有趣,高效,特将整节课以观察, 思考,讨论贯穿于整个教学环节之中,采用启发式教学法和师生互动式教学模式,注意师生之间的情感交流,并教给学生"多观察,动脑想,大胆猜,勤钻研"的研讨式学习方法.教学中积极利用板书和练习中的图形,向学生提供更多的活动机会和空间, 使学生在动脑,动手,动口的过程中获得充足的体验和发展,从而培养学生的数形结合的思想. 为充分发挥学生的主体性和教师的主导辅助作用,教学过程中设计了七个教学环节:
初中数学：七年级下《轴对称、平移与旋转》教学设计新
初中数学新课程标准教材 数学教案( 2019 — 2020学年度第二学期 ) 学校： 年级： 任课教师： 数学教案 / 初中数学 / 七年级数学教案 编订：XX文讯教育机构
七年级下《轴对称、平移与旋转》教学设计新 教材简介:本教材主要用途为通过学习数学的内容，让学生可以提升判断能力、分析能力、理解能力，培养学生的逻辑、直觉判断等能力，本教学设计资料适用于初中七年级数学科目, 学习后学生能得到全面的发展和提高。本内容是按照教材的内容进行的编写，可以放心修改调整或直接进行教学使用。 教学目标 【知识与技能】 进一步感知、理解轴对称、平移与旋转现象.并能准确判断图形的平移和旋转现象. 【过程与方法】 通过观察、分类、对比，进一步理解图形的轴对称、平移和旋转的变换特征. 【情感态度】 通过丰富的旋转、平移、轴对称的感性认识，激发学生学习数学的兴趣，感受到生活与数学的密切关系. 【教学重点】 理解物体的轴对称、平移和旋转的变换特征. 【教学难点】 理解物体的轴对称、平移和旋转的变换特征.
教学过程 一、知识框图，整体把握 【教学说明】通过引导学生复习总结知识结构，进一步加深学生对本章知识的理解. 二、释疑解惑，加深理解 轴对称： 1.轴对称图形的概念：如果图形沿某条直线对折，对折的两部分是完全重合的，那么就称这样的图形为轴对称图形.这条直线叫做这个图形的对称轴. 2.轴对称的概念：把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴，两个图形的对应点（即两个图形重合时互相重合的点.）叫做对称点. 3.轴对称的的特征：如果一个图形关于某一条直线对称，那么连结对称点的线段的垂直平分线就是该图形的对称轴. 4.轴对称的画法：如果图形是由直线、线段或射线组成时，那么只要画出图形中的特殊点的对称点，然后连接对称点，就可以画出关于这条直线的对称图形. 平移： 1.平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移.
旋转经典题型
01 分点突破 知识点1中心对称与中心对称图形 1. 图形的是 C 1) 2.（齐齐哈尔屮考）下列汉字或字母既是屮 心对称图形又是轴对称图形的是 知识点2平面直角坐标系与旋转 （阜新屮考）ri 章末复习 旋转 A. Bl cH D Z （济宁中考）下列图形是中心对称 如图，正方形OABC 在平面直角坐标系屮，点 A 的坐标为 （2, 0）,将正方形OABC 绕点0顺时针旋转45 0得到正方形 标为（ ） OA B' C 则点C'的坐 A. ( .2, .2) C. ( . 2, — . 2) B. (— 2, . 2) D. (2 .2, 2 .2) 3. 4. （宁夏中考）如图，在平面直角坐标系xOy
中，△ A'B'由込ABC绕点P旋转得到，则点P的坐标为 . 5. __________________________ （北京中考）如图，在平面直角坐标系xOy中, 4AOB可以看作是AOCD经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的, 写出一种由△ OCD得到△ AOB的过程:
知识点 3 6.（天津 屮考）如图, 将厶 ABC 绕 点B 顺时针 旋转60 ° E 恰好落在AB 的延长线上，连 接AD.下列结论一定正确的是（） AC = 5 cm, BC = 12 cm. 将厶ABC 绕点B 顺时针旋转60°得到△ BDE ，连接DC 交AB 于点F,则厶ACF 和厶BDF 的周长之和为 cm. 8?（徐州中考）如图，已知AC 丄BC,垂足为C, AC 二4, BC 二3. 3,将线 段AC 绕 点A 按逆时针方向旋转60°得到线段AD,连接DC, DB. (1)线段 DC 二 4; （2）求线段DB 的长度. 02 中考题型演练 9. （聊城中考）如图，将AABC 绕点C 顺时针旋转，使点B 落在AB 边上点 B'处，此时，点A 的对应点A'恰好落在BC 的延长线上，下列结论错误的是（） 得"DBE,点 C 的对应点 旋转屮的让算问题 4 A. Z ABD 二Z E B. Z CBE 二Z C C. AD II BC D. AD =BC E B
七年级数学上册 1.2 数轴教案 (新版)浙教版
1.2 数轴 一、教学目标 1、知识与能力：通过与温度计的类比，认识数轴，会用数轴上的点表示有理数；借助数轴理解相反数的概念，知道互为相反的一对数在数轴上的位置关系；会求一个有理数的相反数；能利用数轴比较有理数的大小。 2、过程与方法：经历从现实问题中建立数学模型，从数形两个侧面理解与解决问题，使学生认识用形来解决数的问题的优越性，培养学生用数形结合的数学思想方法学习数学的理念。 3、情感态度与价值观：从学生熟悉的现实情境中学习数轴，体会数学知识与现实世界的联系；通过分组动手操作实践，体会数学充满探索性，并在学习活动中学会合作、学会发现知识，找到获取知识的方法，使学生体验到成功的乐趣，数学知识的应用价值。 二、教学重点：数轴和相反数的概念及用数轴上的点表示有理数 三、教学难点：数轴的概念和相反数反映在数轴上的性质 四、教学设计 （一）创设情境，引出课题 教师出示一只温度计，首先让学生说说温度计在日常生活中的应用，然出提问：（1）温度计上的刻度是怎样表示温度的？（2）把温度计横放（零上温度向右），你觉得它像什么？（3）你能把温度计的 刻度画在纸上吗？引出新课：“数轴”。 （借助于温度计，用类比的数学思想方法，使学生易于接受数轴。感受到数学是真实的、亲切的。这些问题的创设有利于唤起学生的好奇心，激发学生的求知欲，调动学生的思维积极性，学生很自然地投入到学习活动中去。） （二）合作讨论，探究新知 1、动手操作：师生一起画一条数轴。 [讲清数轴的画法：一画（直线）；二定（定原定）；三选（选正方向）；四统一（单位长度要统一）。] 2、观察数轴有什么特征？（让学生讨论） （如：数轴的三要素——原点、正方向、单位长度，类比温度计三者缺一不
九年级数学上册-旋转作图与平面直角坐标系中的旋转变换教案新版新人教版
第2课时旋转作图与平面直角坐标系中的旋转变换 【知识与技能】 进一步加深对旋转性质的理解,能用旋转的性质解决具体问题及进行图案设计. 【过程与方法】 经历对生活中旋转现象的观察、推理和分析过程,学会用数学的眼光看待生活中的有关问题,体验数学与现实生活的密切联系. 【情感态度】 进一步培养学生学习数学的兴趣和热爱生活的情感,体会生活的旋转美,发展学生的美感,增强学生的艺术创作能力和艺术欣赏能力. 【教学重点】 利用旋转的性质设计简单的图案. 【教学难点】 利用旋转性质进行旋转作图. 一、情境导入,初步认识 问题1旋转图形具有哪些性质？还记得吗？说说看. 问题2你能利用旋转的性质作出一个图形绕着某一点按一定方向旋转一个角度后的旋转图形吗？不妨试试看：如图,△AOB绕点O旋转后,G点是B点的对应点,作出△AOB旋转后的三角形. 【教学说明】通过学生回顾前面所学过知识,并完成画图,既巩固了旋转的性质的理解,又为新知学习作好铺垫.教学时,教师应引导学生正确解读旋转性质,即按同一方向作出∠AOA′=∠BOG,且OA′=OA,这样达到由感性认识到理性思考,为利用旋转设计图案埋下伏笔.
二、观察思考,感受新知 出示课件,展示教材P61中图23.1-9：开始出现一片月芽形图案,教师手动鼠标,慢慢出现两片、三片,……,形成图23.1-9中图案,让学生通过观察,感受图案的形成过程,然后教师出示问题,让学生进行思考探究. 问题：（1）你能说出上述图案是怎样得到的吗？ （2）如果仅给你一片月芽形图案,你能设法得到图中的图案吗？ （3）谈谈你对这些图案形成过程的认识,与同伴交流. 【教学说明】通过观察这些美丽的图案,可激发学生的学习兴趣,增强动手画出类似美丽图案的欲望,同时通过思考,感受由旋转而得到美丽图案的形成过程,加深对旋转性质的理解,掌握利用旋转来设计美丽图案的方法.教学时,应让学生进行充分交流,并让学生自主画图感受新知. 利用课件进一步展示“月芽”的旋转效果. （1）手动鼠标,保持旋转中心不变而改变旋转角,会出现形如教材P61中图23.1-7,让学生感受不同的旋转效果； （2）手动鼠标,保持旋转角不变而改变旋转中心,出现形如教材P61中图23.1-8,进一步体验不同的旋转效果. 思考（1）在旋转过程中,产生了形如图23.1-7,图23.1-8的不同旋转效果,这是什么原因造成的呢？ （2）你能仿照上述图示方法进行图案设计吗？与同伴交流. 【教学说明】让学生经历观察、探究、尝试运用和交流观点的过程,感受利用旋转的思想方法按不同方式可设计出许多美丽的图案,充分发挥学生的想象力、创造力,提高审美能力,掌握新知. 三、典例精析,掌握新知 例图（1）中的图形是某设计师设计图案的一部分,请你运用旋转变换的方法,在方格纸中将图（1）中图形绕点P顺时针依次旋转90°,180°,270°,依次画出旋转后得到的图形,你会得到一个美丽的图案,涂阴影的不要涂错位置,否则不能出现理想的效果,你来试一试吧！（注：方格纸中小正方形的边长为1个单位长度）
旋转 典型例题(精品解析)
典型例题一 例 如图，以点O 为旋转中心，将ABC ?顺时针旋转45°，画出图形． 分析 当旋转中心O 在图形之外时，O 是一个孤立的点，没有从O 出发的线段或射线作参照，就无法确定旋转的角度，因此，首先还须将O 与图形上的某点（或某些点）连结起来． 解 如图，连结OA 、OB 、OC ．将这三条线段绕O 点分别顺时针旋转45°，得C O B O A O '''、、，则C B A '''?就是按题目要求得到的旋转后的图形． 说明： 图形旋转后的效果有时不像平移那样直观，画图出现错误时可能不易发现，因此画图时要特别细心． 典型例题二 例 如图，正方形ABCD 中，E 是正方形内的一点，把AED ?绕着点A 按逆时针旋转90°，画出旋转后的三角形，并回答： （1）图中有哪些等线段和等角？ （2）哪两个三角形形状、大小都一样？ 分析 一个图形绕它的对称中心旋转一个角度后，图形中的每一点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度．本例中可以发现AD 旋转90°后，刚好与AB 重合，于是将AE 旋转90°到E A '的位置，使?='∠90E EA ，确定点E '，连E B '，则E AB '?就是ADE ?按要求旋转的三角形．（1）（2）中，根据图形旋转的特征，图形从一个位置旋转到另一个位置，形状和大小都没有改变，可确定相等的线段、相等的角以及形状相同的三角形． 答案 （1）相等的线段有：E B DE E A AE CD BC AB AD '='====,,．相等的角有：E E E AB ADE E BA DAE '∠=∠'∠=∠'∠=∠,,．
（2）ADE ?与E AB '?的形状和大小都一样． 典型例题三 例 如图，把一块砖ABCD 直立于地面上，然后将其轻轻推倒．在这个过程中，A 点保持不动，四边形ABCD 旋转到B C D A '''位置． （1）指出在这个过程中的旋转中心，并说出旋转的角度是多大？ （2）指出图中的对应线段． 分析（1）由于四边形B C D A '''是由四边形ADCB 旋转得到的，A 点保持不动，所以A 是旋转中心．又由于D A B ',,三点在一条直线上，且AB AD ⊥，所以旋转的角度是90°．（2）由于D C B A ,,,的对应点分别是D C B A ''',,,，所以不难找出图中的对应线段． 答案 （1）A 是旋转中心，旋转的角度是90°． （2）CD BC AD AB ,,,的对应线段分别是D C C B D A B A '''''',,,． 典型例题四 例 （1）把长方形ABCD 绕着顶点A 逆时针旋转60°．如图． （2）把长方形ABCD 绕着长方形内一点P 逆时针旋转60°． 解 （1）①AB 绕A 点逆时针旋转60°到B A '位置，.,60AB B A AB B ='?='∠ ②连结AC ，作.,60AC C A AC C ='?='∠ ③作.,60AD D A AD D ='?='∠ 连结B C C D '''',，则四边形D C B A '''是四边形ABCD 逆时针旋转60°得到的图形． （2）①连结AP ，作?='∠60PA A ，使.AP P A =' ②用同样的方法作出D C B '''、、，连结A D D C C B B A ''''''''、、、．
中考数学《旋转》专题提高训练及答案
3C． 3 D．1 【中考专研】图形的旋转专题提高训练 1、如图，直角梯形ABCD中，∠BCD＝90°，AD∥BC，BC＝CD，E为梯形内一点，且∠BEC＝90°，将△BEC绕C点旋转90°使BC与DC重合，得到△DCF，连EF交CD于M．已知BC＝5， CF＝3，则DM:MC的值为（） A.5:3 B.3:5 C.4:3 D.3:4 A D E M F B 第一题 C 2、如图，已知Rt△ABC≌Rt△DEC，∠E＝30°，D为AB的中点，AC＝1，若△DEC绕 点D顺时针旋转，使ED、CD分别与Rt△ABC的直角边BC相交于M、N，则当△DMN 为等边三角形时，AM的值为（） A．3B．233 3、将直角边长为5cm的等腰直角ΔABC绕点A逆时针旋转15°后,得到ΔAB’C’,则图中阴 影部分的面积是cm2 4、在矩形ABCD中，AD2A B，E是AD的中点，一块三角板的直角顶点与点E重合， 将三角板绕点E按顺时针方向旋转．当三角板的两直角边与AB，BC分别交于点M，N时，观察或测量BM与CN的长度，你能得到什么结论？并证明你的结论． A E D M B F N C （4题图） 5、在矩形ABCD中，AB=2，AD=3．
（1）在边CD上找一点E，使EB平分∠AEC，并加以说明；（3分） ． （2）若P为BC边上一点，且BP=2CP，连接EP并延长交AB的延长线于F． ①求证：点B平分线段AF；（3分） ②△P AE能否由△PFB绕P点按顺时针方向旋转而得到，若能，加以证明，并求出旋转度 数；若不能，请说明理由．（4分） 6、含30°角的直角三角板ABC（∠B=30°）绕直角顶点C沿逆时针方向旋转角α（∠α<90），再沿∠A的对边翻折得到△A'B'C，AB与B'C交于点M，A'B'与BC交于点N，A'B'与AB相交于点E． （1）求证：△A CM≌△A'CN． （2）当∠α=30时，找出ME与MB'的数量关系，并加以说明． A B' M C E N B A' 7、如图①，已知在△ABC中，AB=AC，P△是ABC内部任意一点，将AP绕A顺时针旋 转至AQ，使∠QAP=∠BAC，连接BQ、CP，
(北师大版)初中数学《数轴》参考教案
2 数轴 教学目标： 1.知识与技能目标 （1）学会用数轴上的点表示有理数，并利用数轴比较有理数的大小。 （2）了解相反数的概念及其在数轴上的表示。 2．过程与方法目标 通过对比与迁移来掌握数轴的概念和性质，并通过观察来掌握相反数的概念。 3．情感态度价值观目标 （1）通过数轴与数的结合，培养数形结合思想。 （2）初步形成参与数学活动、主动和他人合作交流的意识。 教法和学法指导：为了体现学生在教学中的主体地位促进学生知识技能素养的提高在教学中主要采用诱思导学、自主学习、合作探究等形式展开教学。教师创设情境引导教学，学生通过自己的探索发现掌握本节课的教学内容。 课前准备：正方体的实物、展开图的模板图形、制作课件 教学过程： 一．诱思导学 问题1:温度计是我们日常生活中用来测量温度的重要工具，你会读温度计吗？请你尝试读出图中三个温度计所表示的温度？ 问题2：在一条东西向的马路上，有一个汽车站，汽车站东3 m和7.5m处分别有一棵柳树和一棵杨树，汽车站西3 m和4.8m处分别有一棵槐树和一根电线杆，试画图表示这一情境．
二．合作探究 学生回答由上述两问题得到什么启发？你能用一条直线上的点表示有理数吗? 让学生在讨论的基础上动手操作，在操作的基础上归纳出：可以表示有理数的直线必须满足什么条件？从而得出数轴的三要素：原点、正方向、单位长度. 三．精讲精练 例1： +3，-4，4 1，-1.5，0分别在数轴的什么位置? 例2：指出数轴上 A, B, C, D 各点分别表示什么数? 例3： 画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数： 23， -5， 0， 5， -4，2 3- 例4：2与-2有什么相同点与不相同点？它们在数轴上的位置有什么关系？ 23与23-，5与-5呢？ 结论：有理数是用原点右边的点表示，负有理数是用原点左边的点表示，0用原点表示.所以任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示. 如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数.也称这两个数互为相反数，特别地，0的相反数是0.在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点的距离相等. 四．拓展提高 问题1：数轴上的两个点，右边点表示的数与左边点表示的数有怎样的大小关系？ 问题2：正数、负数在数轴的什么位置？判断它们的大小？ 利用结论练习：比较下列每组数的大小，并说明理由. ⑴-2 和 +6；⑵0和 -1.8；⑶2 3-和 -4. 结论：数轴上两个点所表示数，右边的总比左边的大.正数大于0，负数小于0，正数大于负数.通过练习，借助数轴比较数的大小. 五．达标检测