2009矩阵分析试题(A卷)

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重庆邮电大学研究生考卷(A 卷)
学号 姓名 考试方式 闭 卷 班级 考试课程名称 高等代数与矩阵分析 考试时间： 2010年 1月 8日
题号 一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
十一 十二 总分
得分
一 、已知 1(1,2,1,0)T α=，2(1,1,1,1)T α=-，1(2,1,0,1)T β=-，2(1,1,3,7)T β=-
求12{,}span αα与12{,}span ββ的和与交的基和维数。

（10分）
二、证明：Jordan 块 10()0100a J a a a ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
相似于矩阵 0000a a a εε⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
，这里0ε≠为任意实数。

（10分） 证明：由于容易求出两个λ-矩阵的不变因子均为31,1,()a λ-，从而这两个λ-矩阵相
似，于是矩阵10()0100a J a a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与0000a a a εε⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦相似. 三、求矩阵101120403A -⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪-⎝⎭
的 (1)Jordan 标准型； （2）变换矩阵P ； （3）计算100A 。

（10分） 解 （1）Jordan 标准型为
110010002J ⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
（2） 相似变换矩阵为
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100111210P ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭
（3） 由于1P AP J -=，因此1n n A PJ P -=，容易计算
100
1001001001990100
2012210124000
201A -⎛⎫
⎪
=--+ ⎪ ⎪-⎝
⎭ 四、验证矩阵0110000i A i -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
是正规阵，并求酉矩阵U ，使H
U A U 为对角矩阵。

(10分) 五、已知A 是Hermit 矩阵，且0k A = （k 为自然数），试证：0A ＝。

（10分）
六、验证矩阵 0241
0221104
2
A ⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
为单纯矩阵，并求A 的谱分解。

（10分） 七、讨论下列矩阵幂级数的敛散性。

（10分）
八、设12(,,,)n ααα 与12(,,,)n βββ 是实数域R 上的线性空间V 的两组基，且
1212(,,,)(,,,)n n P βββααα= ，又对任意的V γ∈有
证明：（1）2x γ=是V 中的向量范数；
（2）当P 是正交矩阵时，有22x y =。

（10分） 九、已知矩阵
()()()22111100170.20.5111;2;3011.030.10.5001k
k
k
k k k k k ∞∞∞
===⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪
- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪
-⎝⎭
∑∑∑()()1111222212,,,.n n n n n x y x y x y x y x y x y x y γαααβββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 12n ，，，；记，100121,
002A ⎛⎫
⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭
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计算A 。

（10分）
十、以下三题任选一道。

（10分）
1、证明: 在n
C 上的任何一个正交投影矩阵P 是半正定的Hermit 矩阵。

2、证明：正规矩阵属于不同特征值的特征子空间是互相正交的。

3、设V 是数域K 上的2维线性空间，V 的一组基为12,αα，V 的两个子空间分别为
{}{}0,,
)(21212211202101=+∈+=∈+=k k K k k k k W K k k W 且αααα
证明：V =W 1⊕W 2.
证明： 由于112{}W span αα=+212{}W span αα=-. 因此，121212{,}W W span αααα+=+-， 而 1212{,}αααα+-线性无关，
所以， 12V W W =+，
又因为，12{0}W W ⋂=， 所以V =W 1⊕W 2.。