高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第12节导数与函数的极值最值课时分层训练

合集下载

【2022高考数学一轮复习(步步高)】目录

第一章集合、常用逻辑用语、不等式§1.1集合§1.2 充分条件与必要条件§1.3 全称量词与存在量词§1.4 不等关系与不等式§1.5 一元二次不等式及其解法§1.6 基本不等式强化训练1不等式中的综合问题第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ§2.1 函数的概念及其表示第1课时函数的概念及其表示第2课时函数的定义域与值域§2.2 函数的基本性质第1课时单调性与最大(小)值第2课时奇偶性、对称性与周期性第3课时函数性质的综合问题§2.3 幂函数与二次函数§2.4 指数与指数函数§2.5 对数与对数函数§2.6 函数的图象§2.7 函数与方程强化训练2函数与方程中的综合问题§2.8 函数模型及其应用第三章导数及其应用§3.1 导数的概念及运算§3.2 导数与函数的单调性§3.3 导数与函数的极值、最值强化训练3导数中的综合问题高考专题突破一高考中的导数综合问题第1课时利用导数研究恒(能)成立问题第2课时利用导函数研究函数的零点第3课时利用导数证明不等式第四章三角函数、解三角形§4.1任意角和弧度制、三角函数的概念§4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式§4.3 简单的三角恒等变换第1课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式第2课时简单的三角恒等变换§4.4 三角函数的图象与性质§4.5 函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及应用强化训练4三角函数中的综合问题§4.6 解三角形高考专题突破二高考中的解三角形问题第五章平面向量、复数§5.1 平面向量的概念及线性运算§5.2 平面向量基本定理及坐标表示§5.3 平面向量的数量积强化训练5平面向量中的综合问题§5.4 复数第六章数列§6.1 数列的概念与简单表示法§6.2 等差数列及其前n项和§6.3 等比数列及其前n项和强化训练6数列中的综合问题高考专题突破三高考中的数列问题第七章立体几何与空间向量§7.1空间几何体及其表面积、体积强化训练7空间几何体中的综合问题§7.2 空间点、直线、平面之间的位置关系§7.3 直线、平面平行的判定与性质§7.4 直线、平面垂直的判定与性质强化训练8空间位置关系中的综合问题§7.5 空间向量及其应用高考专题突破四高考中的立体几何问题第八章解析几何§8.1直线的方程§8.2 两条直线的位置关系§8.3 圆的方程§8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系强化训练9直线与圆中的综合问题§8.5 椭圆第1课时椭圆及其性质第2课时直线与椭圆§8.6 双曲线§8.7 抛物线强化训练10圆锥曲线中的综合问题高考专题突破五高考中的圆锥曲线问题第1课时范围与最值问题第2课时定点与定值问题第3课时证明与探索性问题第九章统计与统计案例§9.1 随机抽样、用样本估计总体§9.2 变量间的相关关系、统计案例强化训练11统计中的综合问题第十章计数原理、概率、随机变量及其分布§10.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理§10.2 排列、组合§10.3 二项式定理§10.4 随机事件的概率与古典概型§10.5 离散型随机变量的分布列、均值与方差§10.6 二项分布与正态分布高考专题突破六高考中的概率与统计问题。

山东2021新高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用2112导数与函数的极值最值课件

点，则 f(x)的极小值为( A )
A．－1
B．－2e－3
C．5e－3
D．1
(2)已知函数 f(x)＝x－1＋eax(a∈R，e 为自然对数的底数)，求
函数 f(x)的极值．
【答案】 (2)见解析
【解析】 (1)f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)ex－1＝[x2＋(a ＋2)x＋a－1]ex－1.
(ⅱ)当 a≥3 时，由(1)知，f(x)在[0,1]单调递减，所以 f(x)在区间[0,1]的最大值为 f(0)＝b，最小值为 f(1)＝2－a＋b.此时 a，b 满足题设条件当且仅当 2－a＋b＝－1，b＝1，即 a＝4，b＝1.
(ⅲ)当 0<a<3 时，由(1)知，f(x)在[0,1]的最小值为 f(a3)＝－2a73 ＋b，最大值为 b 或 2－a＋b.
【解析】由题图可知，当 x<－2 时，f′(x)>0；当－2<x<1 时，f′(x)<0；当 1<x<2 时，f′(x)<0；当 x>2 时，f′(x)>0.由此可以得到函数 f(x)在 x＝－2 处取得极大值，在 x＝2 处取得极小值．
命题方向 2 已知函数求极值
【例 2】 (1)若 x＝－2 是函数 f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1 的极值
大值为 1？若存在，求出 a，b 的所有值；若不存在，说明理由．
【答案】 (2)见解析
【解析】 (1)f′(x)＝1－ex x，当 x∈[0,1)时，f′(x)>0，f(x)是增函数；当 x∈(1,4]时，f′(x)<0，f(x)是减函数．又 f(0)＝0，f(4)＝e44>0，所以 f(0)＝0 最小． (2)①f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)．令 f′(x)＝0，得 x＝0 或 x＝a3. 若 a>0，则当 x∈(－∞，0)∪(a3，＋∞)时，

高考数学一轮复习第二章第12讲导数与函数极值、最值资料(艺术班)

第二章函数、导数及其应用第12讲导数与函数极值、最值一、必记3个知识点1．函数的单调性在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)上为增函数．f′(x)≤0⇔f(x)在(a，b)上为减函数．2．函数的极值(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a 附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x ＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．3．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．二、必明2个易误区1．求函数极值时，误把导数为0的点作为极值点；极值点的导数也不一定为0.2．易混极值与最值：注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念．三、必会2个方法解决含参数问题及不等式问题中的两个转化(1)利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．(2)将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性、极值问题处理．第二课时导数与函数极值、最值[典例] (2013·福建高考节选)已知函数f(x)＝x－1＋e x(a∈R，e为自然对数的底数)．(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；(2)求函数f(x)的极值．[解] (1)由f(x)＝x－1＋ae x，得f′(x)＝1－ae x.又曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，得f ′(1)＝0，即1－ae＝0，解得a ＝e.(2)f ′(x )＝1－ae x ，①当a ≤0时，f ′(x )>0，f (x )为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f (x )无极值．②当a >0时，令f ′(x )＝0，得e x＝a ，即x ＝ln a .x ∈(－∞，ln a )，f ′(x )<0；x ∈(ln a ，＋∞)，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增，故f (x )在x ＝ln a 处取得极小值，且极小值为f (ln a )＝ln a ，无极大值．综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，f (x )在x ＝ln a 处取得极小值ln a ，无极大值．解：由f ′(x )＝1－x ＝x，x >0知：(1)当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值；(2)当a >0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a .又当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值．综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值． [类题通法]求函数f (x )极值的步骤(1)确定函数的定义域； (2)求导数f ′(x )；(3)解方程f ′(x )＝0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f ′(x )在f ′(x )＝0的根x 0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f (x )在x 0处取极大值，如果左负右正，那么f (x )在x 0处取极小值． [针对训练]设f (x )＝2x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数为f ′(x )，若函数y ＝f ′(x )的图像关于直线x ＝－12对称，且f ′(1)＝0.(1)求实数a ，b 的值； (2)求函数f (x )的极值．解：(1)因为f (x )＝2x 3＋ax 2＋bx ＋1，故f ′(x )＝6x 2＋2ax ＋b ，从而f ′(x )＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 62＋b －a 26，即y ＝f ′(x )关于直线x ＝－a 6对称．从而由题设条件知－a 6＝－12，即a ＝3.又由于f ′(1)＝0，即6＋2a ＋b ＝0，得b ＝－12.(2)由(1)知f (x )＝2x 3＋3x 2－12x ＋1，所以f ′(x )＝6x 2＋6x －12＝6(x －1)(x ＋2)，令f ′(x )＝0，即6(x －1)(x ＋2)＝0，解得x ＝－2或x ＝1，当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )>0，即f (x )在(－∞，－2)上单调递增；当x ∈(－2,1)时，f ′(x )<0，即f (x )在(－2,1)上单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，即f (x )在(1，＋∞)上单调递增．从而函数f (x )在x ＝－2处取得极大值f (－2)＝21，在x ＝1处取得极小值f (1)＝－6.[典例] (1)求f (x )的单调区间； (2)求f (x )在区间[0,1]上的最小值．[解] (1)f ′(x )＝(x －k ＋1)e x.令f ′(x )＝0，得x ＝k －1.f (x )与f ′(x )的情况如下：所以，f (x )(2)当k －1≤0，即k ≤1时，函数f (x )在[0,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ；当0<k －1<1，即1<k <2时，由(1)知f (x )在[0，k －1)上单调递减，在(k －1,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (k －1)＝－ek －1；当k －1≥1时，即k ≥2时，函数f (x )在[0,1]上单调递减，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e.综上，在区间[0,1]上k ≤1时，f (x )最小值为f (0)＝－k .1<k <2时，f (x )最小值为f (k －1)＝－ek －1.k ≥2时，f (x )最小值为f (1)＝(1－k )e.[类题通法]求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a ，b )内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f (a )，f (b )；(3)将函数f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． [针对训练]设函数f (x )＝a ln x －bx 2(x >0)，若函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切，(1)求实数a ，b 的值； (2)求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最大值．解：(1)f ′(x )＝a x －2bx ，∵函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ＝a －2b ＝0，f＝－b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝12.(2)f (x )＝ln x －12x 2，f ′(x )＝1x －x ＝1－x 2x ，∵当1e ≤x ≤e 时，令f ′(x )>0得1e≤x <1；令f ′(x )<0，得1<x ≤e，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1上单调递增，在[1，e]上单调递减，∴f (x )max ＝f (1)＝－12.[典例] (1)求a ，b 的值； (2)若f (x )有极大值28，求f (x )在[－3,3]上的最小值．[解] (1)因为f (x )＝ax 3＋bx ＋c ，故f ′(x )＝3ax 2＋b .由于f (x )在点x ＝2处取得极值c －16，故有⎩⎪⎨⎪⎧f ＝0，f ＝c －16，即⎩⎪⎨⎪⎧12a ＋b ＝0，8a ＋2b ＋c ＝c －16，化简得⎩⎪⎨⎪⎧12a ＋b ＝0，4a ＋b ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－12.(2)由(1)知f (x )＝x 3－12x ＋c ；f ′(x )＝3x 2－12＝3(x －2)(x ＋2)．令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝2. 当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )>0，故f (x )在(－∞，－2)上为增函数；当x ∈(－2,2)时，f ′(x )<0，故f (x )在(－2,2)上为减函数；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(2，＋∞)上为增函数．由此可知f (x )在x ＝－2处取得极大值f (－2)＝16＋c ，f (x )在x ＝2处取得极小值f (2)＝c －16.由题设条件知16＋c ＝28，解得c ＝12.此时f (－3)＝9＋c ＝21，f (3)＝－9＋c ＝3，f (2)＝－16＋c ＝－4，因此f (x )在[－3,3]上的最小值为f (2)＝－4.[类题通法]求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间(或开区间)上的最值时，方法是不同的．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图像，然后借助图像观察得到函数的最值． [针对训练]已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线为l ：3x －y ＋1＝0，若x ＝23时，y ＝f (x )有极值．(1)求a ，b ，c 的值； (2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值和最小值．解：(1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .当x ＝1时，切线l 的斜率为3，可得2a ＋b ＝0，①当x ＝23时，y ＝f (x )有极值，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝0，可得4a ＋3b ＋4＝0，②由①②，解得a ＝2，b ＝－4.由于切点的横坐标为1，所以f (1)＝4.所以1＋a ＋b ＋c ＝4.所以c ＝5. (2)由(1)，可得f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5，f ′(x )＝3x 2＋4x －4.令f ′(x )＝0，解之，得x 1＝－2，x 2＝23.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的取值及变化情况如下表所示：所以y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值为13，最小值为27.课后作业1．函数f (x )＝x 33＋x 2－3x －4在[0,2]上的最小值是( )A ．－173B ．－103C ．－4D ．－643解析：选A f ′(x )＝x 2＋2x －3，令f ′(x )＝0得x ＝1(x ＝－3舍去)，又f (0)＝－4，f (1)＝－173，f (2)＝－103，故f (x )在[0,2]上的最小值是f (1)＝－173.2．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则f (2)等于( ) A ．11或18 B ．11 C ．18 D ．17或18解析：选C ∵函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，∴f (1)＝10，且f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＋b ＋a 2＝10，3＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11.而当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3时，函数在x ＝1处无极值，故舍去．∴f (x )＝x 3＋4x 2－11x ＋16，∴f (2)＝18.故选C.3.(2013·郑州二模)函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，其导函数f ′(x )在(a ，b )内的图像如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内的极大值点有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选B 依题意，记函数y ＝f ′(x )的图像与x 轴的交点的横坐标自左向右依次为x 1，x 2，x 3，x 4，当a <x <x 1时，f ′(x )>0；当x 1<x <x 2时，f ′(x )<0；当x 2<x <x 4时，f ′(x )≥0；当x 4<x <b 时，f ′(x )<0.因此，函数f (x )分别在x ＝x 1、x ＝x 4处取得极大值，选B.4．设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )，求g (x )的单调区间和最小值．解：由题设知f (x )＝ln x ，g (x )＝ln x ＋1x ，x >0，所以g ′(x )＝x －1x2，令g ′(x )＝0得x ＝1，当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，故(0,1)是g (x )的单调递减区间；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，故(1，＋∞)是g (x )的单调递增区间，因此，x ＝1是g (x )的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以g (x )的最小值为g (1)＝1. 5．（2012·江苏高考）若函数y ＝f (x )在x ＝x 0处取得极大值或极小值，则称x 0为函数y ＝f (x )的极值点．已知a ，b 是实数，1和－1是函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点．(1)求a 和b 的值； (2)设函数g (x )的导函数g ′(x )＝f (x )＋2，求g (x )的极值点．解：(1)由题设知f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，且f ′(－1)＝3－2a ＋b ＝0，f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，解得a ＝0，b ＝－3.(2)由(1)知f (x )＝x 3－3x .因为f (x )＋2＝(x －1)2(x ＋2)，所以g ′(x )＝0的根为x 1＝x 2＝1，x 3＝－2，于是函数g (x )的极值点只可能是1或－2.当x ＜－2时，g ′(x )＜0；当－2＜x ＜1时，g ′(x )＞0，故－2是g (x )的极值点．当－2＜x ＜1或x ＞1时，g ′(x )＞0，故1不是g (x )的极值点．所以g (x )的极值点为－2.6．(2013·威海模拟)当函数y ＝x ·2x取极小值时，x ＝( )A.1ln 2 B ．－1ln 2C ．－ln 2D ．ln 2 解析：选B y ′＝2x ＋x ·2xln 2＝0，∴x ＝－1ln 2.7．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )．若x ＝－1为函数f (x )e x的一个极值点，则下列图像不可能为y ＝f (x )图像的是( )解析：选D 因为[f (x )e x ]′＝f ′(x )e x ＋f (x )(e x )′＝[f (x )＋f ′(x )]e x ，且x ＝－1为函数f (x )e x的一个极值点，所以f (－1)＋f ′(－1)＝0；选项D 中，f (－1)>0，f ′(－1)>0，不满足f ′(－1)＋f (－1)＝0.8．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ，n ∈[－1,1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是( ) A ．－13 B ．－15 C ．10 D ．15解析：选A 求导得f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，由函数f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0，即－3×4＋2a ×2＝0，∴a ＝3.由此可得f (x )＝－x 3＋3x 2－4，f ′(x )＝－3x 2＋6x ，易知f (x )在[－1,0)上单调递减，在(0,1]上单调递增，∴当m ∈[－1,1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4. 又f ′(x )＝－3x 2＋6x 的图像开口向下，且对称轴为x ＝1，∴当n ∈[－1,1]时，f ′(n )min ＝f ′(－1)＝－9.故f (m )＋f ′(n )的最小值为－13.故选A.9．(2014·荆州质检)设函数f (x )在R 上可导，其导函数是f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图像可能是( )解析：选C f (x )在x ＝－2处取得极小值，即x <－2，f ′(x )<0；x >－2，f ′(x )>0，那么y ＝xf ′(x )过点(0,0)及(－2,0)．当x <－2时，x <0，f ′(x )<0，则y >0；当－2<x <0时，x <0，f ′(x )>0，y <0；当x >0时，f ′(x )>0，y >0，故C 正确．10．已知函数f (x )＝x 3＋mx 2＋(m ＋6)x ＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3x 2＋2mx ＋m ＋6＝0有两个不等实根，即Δ＝4m 2－12×(m ＋6)>0.所以m >6或m <－3. 答案：(－∞，－3)∪(6，＋∞)11．已知函数y ＝f (x )＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图像在x ＝1处的切线平行于直线6x ＋2y ＋5＝0，则f (x )极大值与极小值之差为________．解析：∵y ′＝3x 2＋6ax ＋3b ，⎩⎪⎨⎪⎧3×22＋6a ×2＋3b ＝03×12＋6a ＋3b ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0.∴y ′＝3x 2－6x ，令3x 2－6x ＝0，得x ＝0或x ＝2.∴f (x )极大值－f (x )极小值＝f (0)－f (2)＝4.答案：4 12．(2013·江苏高考节选)设函数f (x )＝ln x －ax ，g (x )＝e x－ax ，其中a 为实数．若f (x )在(1，＋∞)上是单调减函数，且g (x )在(1，＋∞)上有最小值，求a 的取值范围．解：令f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x<0，考虑到f (x )的定义域为(0，＋∞)，故a >0，进而解得x >a －1，即f (x )在(a－1，＋∞)上是单调减函数．同理，f (x )在(0，a －1)上是单调增函数．由于f (x )在(1，＋∞)上是单调减函数，故(1，＋∞)⊆(a －1，＋∞)，从而a －1≤1，即a ≥1.令g ′(x )＝e x－a ＝0，得x ＝ln a ．当x <ln a 时，g ′(x )<0；当x >ln a 时，g ′(x )>0.又g (x )在(1，＋∞)上有最小值，所以ln a >1，即a >e.综上，a 的取值范围为(e ，＋∞)．13．已知函数f (x )＝x 2－1与函数g (x )＝a ln x (a ≠0)．(1)若f (x )，g (x )的图像在点(1,0)处有公共的切线，求实数a 的值； (2)设F (x )＝f (x )－2g (x )，求函数F (x )的极值．解：(1)因为f (1)＝0，g (1)＝0，所以点(1,0)同时在函数f (x )，g (x )的图像上，因为f (x )＝x 2－1，g (x )＝a ln x ，所以f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝a x ，由已知，得f ′(1)＝g ′(1)，所以2＝a1，即a＝2.(2)因为F (x )＝f (x )－2g (x )＝x 2－1－2a ln x (x >0)，所以F ′(x )＝2x －2ax＝x 2－ax，当a <0时，因为x >0，且x 2－a >0，所以F ′(x )>0对x >0恒成立，所以F (x )在(0，＋∞)上单调递增，F (x )无极值；当a >0时，令F ′(x )＝0，解得x 1＝a ，x 2＝－a (舍去)，所以当x >0时，F ′(x )，F (x )的变化情况如下表：所以当x ＝a 时，F (x )取得极小值，且F (a )＝(a )2－1－2a ln a ＝a －1－a ln a . 综上，当a <0时，函数F (x )在(0，＋∞)上无极值；当a >0时，函数F (x )在x ＝a 处取得极小值a －1－a ln a .14．(2013·晋中名校联考)已知函数f (x )＝ax 2－e x(a ∈R ，e 为自然对数的底数)，f ′(x )是f (x )的导函数． (1)解关于x 的不等式：f (x )>f ′(x )；(2)若f (x )有两个极值点x 1，x 2，求实数a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝2ax －e x，f (x )－f ′(x )＝ax (x －2)>0.当a ＝0时，无解；当a >0时，解集为{x |x <0或x >2}；当a <0时，解集为{x |0<x <2}．(2)设g (x )＝f ′(x )＝2ax －e x ，则x 1，x 2是方程g (x )＝0的两个根．g ′(x )＝2a －e x，当a ≤0时，g ′(x )<0恒成立，g (x )单调递减，方程g (x )＝0不可能有两个根；当a >0时，由g ′(x )＝0，得x ＝ln 2a ，当x ∈(－∞，ln 2a )时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，当x ∈(ln 2a ，＋∞)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减．∴当g (x )max >0时，方程g (x )＝0才有两个根， ∴g (x )max ＝g (ln 2a )＝2a ln 2a －2a >0，得a >e 2.15．(2014·广东六校联考)已知f (x )＝3x 2－x ＋m ，(x ∈R )，g (x )＝ln x .(1)若函数f (x )与g (x )的图像在x ＝x 0处的切线平行，求x 0的值； (2)求当曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )有公共切线时，实数m 的取值范围；(3)在(2)的条件下，求函数F (x )＝f (x )－g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1上的最值(用m 表示)．解：(1)∵f ′(x )＝6x －1，g ′(x )＝1x (x >0)，由题意知6x 0－1＝1x 0(x 0>0)，即6x 20－x 0－1＝0，解得x 0＝12或x 0＝－13，又∵x 0>0，∴x 0＝12.(2)若曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )相切且在交点处有公共切线，由(1)得切点横坐标为12，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，∴34－12＋m ＝ln 12，即m ＝－14－ln 2，数形结合可知，m >－14－ln 2时，f (x )与g (x )有公共切线，故m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14－ln 2，＋∞.(3)F (x )＝f (x )－g (x )＝3x 2－x ＋m －ln x ，故F ′(x )＝6x －1－1x ＝6x 2－x －1x＝x ＋x －x，当x 变化时，F ′(x )与F (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1的变化情况如下表：又∵F ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝m ＋ln 3，F (1)＝2＋m >F ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，∴当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤3，1时，F (x )min ＝F ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＝m ＋4＋ln 2⎝ ⎛⎭⎪⎫m >－14－ln 2，F (x )max ＝F (1)＝m ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫m >－14－ln 2.。

高考复习数学(浙江)第2章第12节课时分层训练14

课时分层训练(十四)导数与函数的极值、最值A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．下列函数中，既是奇函数又存在极值的是() 【导学号：51062086】A．y＝x3B．y＝ln(－x)C．y＝x e－x D．y＝x＋2 xD[由题可知，B，C选项中的函数不是奇函数，A选项中，函数y＝x3单调递增(无极值)，而D选项中的函数既为奇函数又存在极值．]2．当函数y＝x·2x取极小值时，x等于()A.1ln 2B．－1ln 2C．－ln 2 D．ln 2 B[令y′＝2x＋x·2x ln 2＝0，∴x＝－1 ln 2.经验证，－1ln 2为函数y＝x·2x的极小值点．]3．函数y＝ln x－x在x∈(0，e]上的最大值为() A．e B．1C．－1D．－eC[函数y＝ln x－x的定义域为(0，＋∞)．又y′＝1x－1＝1－xx，令y′＝0得x＝1，当x∈(0,1)时，y′＞0，函数单调递增；当x∈(1，e]时，y′＜0，函数单调递减．当x＝1时，函数取得最大值－1.]4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是()A．(－1,2) B．(－∞，－3)∪(6，＋∞)C．(－3,6) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B[∵f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，由已知可得f′(x)＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝4a2－4×3(a＋6)＞0，即a2－3a－18＞0，∴a＞6或a＜－3.]5．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，若x＝－1为函数f(x)e x的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)图象的是()A B C DD[因为[f(x)e x]′＝f′(x)e x＋f(x)(e x)′＝[f(x)＋f′(x)]e x，且x＝－1为函数f(x)e x的一个极值点，所以f(－1)＋f′(－1)＝0.选项D中，f(－1)＞0，f′(－1)＞0，不满足f′(－1)＋f(－1)＝0.]二、填空题6．函数f(x)＝13x3＋x2－3x－4在[0,2]上的最小值是________．－173[f′(x)＝x2＋2x－3，令f′(x)＝0得x＝1(x＝－3舍去)，又f(0)＝－4，f(1)＝－173，f(2)＝－103，故f(x)在[0,2]上的最小值是f(1)＝－173.]7．设a∈R，若函数y＝e x＋ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是________. 【导学号：51062087】(－∞，－1) [∵y ＝e x ＋ax ，∴y ′＝e x ＋a .∵函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点，则方程y ′＝e x ＋a ＝0有大于零的解，∵x ＞0时，－e x ＜－1，∴a ＝－e x ＜－1.]8．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p 元，销量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170p －p 2，则该商品零售价定为________元时利润最大，利润的最大值为________元．30 23 000 [设该商品的利润为y 元，由题意知，y ＝Q (p －20)＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000，则y ′＝－3p 2－300p ＋11 700，令y ′＝0得p ＝30或p ＝－130(舍)，当p ∈(0,30)时，y ′＞0，当p ∈(30，＋∞)时，y ′＜0，因此当p ＝30时，y 有最大值，y max ＝23 000.]三、解答题9．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R )．(1)要使f (x )在(0,2)上单调递增，试求a 的取值范围；(2)当a <0时，若函数满足y 极大＝1，y 极小＝－3，试求y ＝f (x )的解析式．[解] (1)f ′(x )＝－3x 2＋2ax .依题意f ′(x )≥0在(0,2)上恒成立，即2ax ≥3x 2.∵x ＞0，∴2a ≥3x ，∴2a ≥6，∴a ≥3，即a 的取值范围是[3，＋∞).6分(2)∵f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＝x (－3x ＋2a )．∵a ＜0，当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，23a 时，f ′(x )≤0，f (x )递减．当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，0时，f ′(x )＞0，f (x )递增．当x ∈[0，＋∞)时，f ′(x )≤0，f (x )递减.12分∴⎩⎨⎧ f 极大(0)＝1，f 极小⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝1. ∴f (x )＝－x 3－3x 2＋1.15分10．据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为k (k >0)．现已知相距18 km 的A ，B 两家化工厂(污染源)的污染强度分别为a ，b ，它们连线上任意一点C 处的污染指数y 等于两化工厂对该处的污染指数之和．设AC ＝x (km)．(1)试将y 表示为x 的函数；(2)若a ＝1，且x ＝6时，y 取得最小值，试求b 的值. 【导学号：51062088】[解] (1)设点C 受A 污染源污染程度为ka x 2，点C 受B 污染源污染程度为kb(18－x )2，其中k 为比例系数，且k >0，从而点C 处受污染程度y ＝ka x 2＋kb (18－x )2.6分(2)因为a ＝1，所以y ＝k x 2＋kb (18－x )2， y ′＝k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2x 3＋2b (18－x )3，10分令y ′＝0，得x ＝181＋3b ，又此时x ＝6，解得b ＝8，经验证符合题意，所以，污染源B 的污染强度b 的值为8.15分B 组能力提升(建议用时：15分钟)1．若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象与x 轴相切于一点A (m,0)(m ≠0)，且f (x )的极大值为12，则m 的值为( )A ．－23B ．－32 C.23 D.32D [由题意可得f (m )＝m 3＋am 2＋bm ＝0，m ≠0，则m 2＋am ＋b ＝0 ①，且f ′(m )＝3m 2＋2am ＋b ＝0 ②，①－②化简得m ＝－a 2，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b 的两根为－a 2和－a 6，则b ＝a 24，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 6＝12，解得a ＝－3，m ＝32，故选D.] 2．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3－3x ，x ≤0，－2x ，x ＞0，则f (x )的最大值为________． 2 [当x ＞0时，f (x )＝－2x ＜0；当x ≤0时，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，当x ＜－1时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数，当－1＜x ＜0时，f ′(x )＜0，f (x )是减函数，∴f (x )≤f (－1)＝2，∴f (x )的最大值为2.]3．已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c 在点x ＝2处取得极值c －16.(1)求a ，b 的值；(2)若f (x )有极大值28，求f (x )在[－3,3]上的最小值. 【导学号：51062089】[解] (1)因为f (x )＝ax 3＋bx ＋c ，故f ′(x )＝3ax 2＋b .2分由于f (x )在点x ＝2处取得极值c －16，故有⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(2)＝0，f (2)＝c －16，即⎩⎪⎨⎪⎧ 12a ＋b ＝0，8a ＋2b ＋c ＝c －16，化简得⎩⎪⎨⎪⎧ 12a ＋b ＝0，4a ＋b ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－12.6分(2)由(1)知f(x)＝x3－12x＋c，f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)，令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2.当x∈(－∞，－2)时，f′(x)＞0，故f(x)在(－∞，－2)上为增函数；9分当x∈(－2,2)时，f′(x)＜0，故f(x)在(－2,2)上为减函数；12分当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)在(2，＋∞)上为增函数．由此可知f(x)在x＝－2处取得极大值，f(－2)＝16＋c，f(x)在x＝2处取得极小值f(2)＝c－16.由题设条件知16＋c＝28，解得c＝12.14分此时f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，f(2)＝－16＋c＝－4，因此f(x)在[－3,3]上的最小值为f(2)＝－4.15分。

高考数学大一轮总复习第二章函数、导数及其应用 2.11.2 导数与函数的极值、最值课件理北师

第二章函
热点命题深度剖析
思想方法感悟提升
R 热点命题深度剖析
考点一利用导数研究函数的极值问题
利用导数研究函数的极值是高考考查热点，几乎每年都会考查，有时会和函数的单调性、不等式、导数的几何意义等相结合命题，有时作为高考的压轴题出现，难度中、高档。
(2)若ar＝400，求 f(x)在(0，＋∞)内的极值。解由(1)的解答可知 f′(r)＝0，f(x)在(0，r)上单调递增，在(r，＋∞) 上单调递减。因此，x＝r 是 f(x)的极大值点，无极小值。所以 f(x)在(0，＋ ∞)内的极大值为 f(r)＝2arr2＝4ar＝4400＝100。
(2)求函数f(x)的极值。解由(1)知 f(x)＝－ln x＋21x＋32x＋1(x>0)， f′(x)＝－1x－21x2＋32 ＝3x2－2x22x－1＝3x＋21x2x－1。令 f′(x)＝0，解得 x1＝1，x2＝－31(因为 x2＝－31不在定义域内，舍去)。当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
因为 g′(x)＝－xln2 x，所以 g(x)在(0,1)上递增，在(1，＋∞)上递减，所以 g(x)max＝g(1)＝1，如图。
当 g(x)与 y＝2a 有两个不同交点，须 0<2a<1。即 0<a<21，故选 B。答案 B
【规律方法】函数极值问题的常见类型及解题策略 (1)知图判断函数极值的情况。先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号。 (2)已知函数求极值。求f′(x)―→求方程f′(x)＝0的根―→列表检验f′(x) 在f′(x)＝0的根的附近两侧的符号―→下结论。 (3)已知极值求参数。若函数f(x)在点(x0，y0)处取得极值，则f′(x0)＝0，且在该点左、右两侧的导数值符号相反。

高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用2.11.2导数与函数的极值、最值课件理

角度二：已知函数的极值求参数【典例 2】 (2016· 山东高考)设 f(x)＝xlnx－ax2＋(2a－1)x，a∈R。 (1)令 g(x)＝f′(x)，求 g(x)的单调区间； (2)已知 f(x)在 x＝1 处取得极大值，求实数 a 的取值范围。
【解析】 (1)由 f′(x)＝lnx－2ax＋2a，可得 g(x)＝lnx－2ax＋2a，x∈(0，＋∞)。 1－2ax 1 则 g′(x)＝x－2a＝ x 。

1 1 ③当 a＝2时，2a＝1，f′(x)在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减，所以当 x∈(0，＋∞)时，f′(x)≤0，f(x)单调递减，不合题意。
1 1 1 ④当 a>2时，0<2a<1，当 x∈2a，1 时，f′(x)>0的单调增区间为 0，2a，单调减区间为2a，＋∞ 。
(2)由(1)知，f′(1)＝0。 ①当 a≤0 时，f′(x)单调递增，所以当 x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当 x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增。所以 f(x)在 x＝1 处取得极小值，不合题意。

易知 φ(x)在 (0,1)上单调递增，在 (1，＋∞) 上单调递减，所以 φ(x)max＝φ(1)＝1，则 φ(x)的大致图象如图所示，若函数 f(x)有两个极值点，则直线 y＝2a 和 y＝φ(x)的图象有两个交点，所以 1 0<2a<1，得 0<a<2。
1 (2)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x－ax－b，由 f′(1)＝0，得 b －ax2＋1＋ax－x －x－1ax＋1 1 ＝1－a。 ∴f′(x)＝x－ax＋a－1＝＝。 ① x x 若 a≥0，当 0<x<1 时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当 x>1 时，f′(x)<0，f(x) 单调递减，所以 x＝1 是 f(x)的极大值点。②若 a<0，由 f′(x)＝0，得 x 1 1 ＝1 或 x＝－a。因为 x＝1 是 f(x)的极大值点，所以－a>1，解得－1<a<0。综合①②得 a 的取值范围是 a>－1。 1 【答案】 (1) 0，2 (2)(－1，＋∞)

2022版高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第十二讲第2课时导数与函数的极值最值学案含解析新人教

第二课时导数与函数的极值、最值知识梳理·双基自测知识梳理知识点一函数的极值1．函数的极值(1)设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)__<__ f(x0)，那么f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作f(x)极大值＝f(x0)；如果对x0附近的所有的点，都有f(x)__>__ f(x0)，那么f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作f(x)极小值＝f(x0)．极大值与极小值统称为极值．(2)当函数f(x)在x0处连续时，判别f(x0)是极大(小)值的方法：如果x<x0有f′(x)__>__0，x>x0有f′(x)__<__0，那么f(x0)是极大值．如果x<x0有f′(x)__<__0，x>x0有f′(x)__>__0，那么f(x0)是极小值．2．求可导函数f(x)极值的步骤(1)__求导数f′(x)__；(2)__求方程f′(x)＝0的根__；(3)检验f′(x)在方程f′(x)＝0的__根左右的值__的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y＝f(x)在这个根处取得__极大值__；如果在根的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数y＝f(x)在这个根处取得__极小值__.知识点二函数的最值1．函数的最值的概念设函数y＝f(x)在__[a，b]__上连续，在__(a，b)__内可导，函数f(x)在[a，b]上一切函数值中的最大(最小)值，叫做函数y＝f(x)的最大(最小)值．2．连续函数在闭区间[a，b]上一定有最大值和最小值．3．求函数最值的步骤设函数y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最值，可分两步进行：(1)__求f(x)在(a，b)内的极值__；(2)__将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．__归纳拓展1．f′(x0)＝0与x0是f(x)极值点的关系函数f(x)可导，则f′(x0)＝0是x0为f(x)的极值点的必要不充分条件．例如，f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点．2．极大值(或极小值)可能不止一个，可能没有，极大值不一定大于极小值．3．极值与最值的关系极值只能在定义域内取得(不包括端点)，最值却可以在端点处取得；有极值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，非常数可导函数最值只要不在端点处取，则必定在极值处取．4．定义在开区间(a，b)内的函数不一定存在最大(小)值．双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的．( ×)(2)函数的极大值不一定比极小值大．( √)(3)导数等于0的点不一定是函数的极值点．( √)(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．( √)[解析](1)函数的极值是局部概念，极值点是与该点附近的点的函数值比较得到的，而不是在某区间或定义域上比较．(2)如图，在x1处的极大值点比在x2处的极小值点小．(3)如y＝x3在x＝0处，导数为0，但不是极值点．(4)如图知正确．题组二走进教材2．(理)(选修2－2P32AT4改编)(文)(选修1－1P98AT4改编)若函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下面正确的是( C )A．x＝1是最小值点B．x＝0是极小值点C．x＝2是极小值点D．函数f(x)在(1,2)上单调递增[解析]由导函数图象可知，x＝0，x＝2为两极值点，x＝0为极大值点，x＝2为极小值点，f′(x)在(1,2)上小于0，因此f(x)单调递减，选C．3．(理)(选修2－2P32AT5改编)(文)(选修1－1P99AT5改编)函数f(x)＝(x2－1)2＋2的极值点是( C )A．x＝1B．x＝－1C．x＝1或－1或0D．x＝0[解析]∵f(x)＝x4－2x2＋3，由f′(x)＝4x3－4x＝4x(x＋1)(x－1)＝0，得x＝0或x＝1或x ＝－1.又当x<－1时，f′(x)<0，当－1<x<0时，f′(x)>0，当0<x<1时，f′(x)<0，当x>1时，f ′(x )>0，∴x ＝0,1，－1都是f (x )的极值点．4．(理)(选修2－2P 32AT6改编)(文)(选修1－1P 99AT6改编)函数f (x )＝ln x －x 在区间(0，e]上的最大值为( B )A ．1－eB ．－1C ．－eD ．0[解析]因为f ′(x )＝1x －1＝1－xx，当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1，e]时，f ′(x )<0，所以当x ＝1时，f (x )取得最大值ln 1－1＝－1.故选B ．题组三走向高考5．(2017·课标Ⅱ，11)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)·e x －1的极值点，则f (x )的极小值为( A )A ．－1B ．－2e －3C ．5e －3D ．1[解析]由题意可得f ′(x )＝e x －1[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]．∵x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x－1的极值点，∴f ′(－2)＝0，∴a ＝－1，∴f (x )＝(x 2－x －1)e x －1，f ′(x )＝e x －1(x 2＋x －2)＝e x －1(x－1)(x ＋2)，∴x ∈(－∞，－2)，(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；x ∈(－2,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．∴f (x )极小值＝f (1)＝－1.故选A ．6．(2018·课标Ⅰ，16,5分)已知函数f (x )＝2sin x ＋sin 2x ，则f (x )的最小值是__－2[解析]由f (x )＝2sin x ＋sin 2x ，得f ′(x )＝2cos x ＋2cos 2x ＝4cos 2x ＋2cos x －2，令f ′(x )＝0，得cos x ＝12或cos x ＝－1，可得当cos x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12时，f ′(x )<0，f (x )为减函数；当cosx ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1时，f ′(x )>0，f (x )为增函数，所以当cos x ＝12时，f (x )取最小值，此时sin x ＝±32.又因为f (x )＝2sin x ＋2sin x cos x ＝2sin x (1＋cos x )，1＋cos x ≥0恒成立，∴f (x )取最小值时，sin x ＝－32，∴f (x )min ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32×⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＝－332.考点突破·互动探究考点一用导数求解函数极值问题——多维探究角度1 根据函数图象判断极值例1 设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( D )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)[解析]由题图可知，当x <－2时，f ′(x )>0；当－2<x <1时，f ′(x )<0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值．故选D ．角度2 求函数的极值例2 求下列函数的极值． (1)f (x )＝12(x －5)2＋6ln x ；(2)f (x )＝x －a ln x (a ∈R )．[分析]求导，研究函数的单调性从而确定极值． [解析](1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝x －5＋6x＝x －2x －3x.令f ′(x )＝0，解得x 1＝2，x 2＝3，可得x (0,2) 2 (2,3) 3 (3，＋∞)f ′(x ) ＋0 －0 ＋ f (x )极大值极小值由上表可知当x ＝2时，极大值f (2)＝2＋6ln 2，当x ＝3时，极小值f (3)＝2＋6ln 3.(2)f ′(x )＝1－a x＝x －a x，x >0.若a ≤0，则f ′(x )>0恒成立，f (x )不存在极值．若a >0，则x ，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (0，a ) a(a ，＋∞)f ′(x ) －0 ＋ f (x )极小值所以f (x )综上可知a ≤0时，无极值；a >0时，极小值f (a )＝a －a ln a .名师点拨可导函数求极值的步骤 (1)确定函数的定义域． (2)求方程f ′(x )＝0的根．(3)用方程f ′(x )＝0的根和不可导点的x 的值顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并形成表格．(4)由f ′(x )＝0的根左右的符号以及f ′(x )在不可导点左右的符号来判断f ′(x )在这个根或不可导点处取极值的情况，此步骤不可缺少．f ′(x )＝0是函数有极值的必要条件．角度3 根据极值求参数的取值X 围例3 (1)已知函数f (x )＝x e x 在区间(a ，a ＋1)上存在极值点，则实数a 的取值X 围为__(－2，－1)__.(2)(2019·某某模拟)若函数f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ，在x ＝2处取得极大值，则实数a 的取值X 围为__⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12__.[解析](1)f ′(x )＝e x ＋x e x ＝e x (x ＋1)，令f ′(x )＝0，得x ＝－1，当x ∈(－∞，－1)时，f (x )单调递减；当x ∈(－1，＋∞)时，f (x )单调递增，则－1是函数f (x )的极值点，所以a <－1<a ＋1，即－2<a <－1.故填(－2，－1)．(2)f ′(x )＝(x －2)(ax －1)e x .当a <0时，由f ′(x )>0，解得1a <x <2，由f ′(x )<0，解得x <1a或x >2，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1a 和(2，＋∞)上单调递减，所以函数f (x )在x ＝2处取得极大值．当a ＝0时，f ′(x )＝(2－x )e x . 由f ′(x )>0，解得x <2；由f ′(x )<0，解得x >2.所以函数f (x )在(－∞，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，所以f (x )在x ＝2处取得极大值．当a >0时，若要f (x )在x ＝2处取得极大值，则需f (x )在(－∞，2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1a 上单调递减，则有1a >2，解得0<a <12.综上可得，实数a 的取值X 围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12.名师点拨函数极值问题的常见类型及解题策略(1)已知导函数图象判断函数极值的情况．先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号．(2)已知函数求极值．求f ′(x )→求方程f ′(x )＝0的根→列表检验f ′(x )在f ′(x )＝0的根的两侧的符号→得出结论．(3)已知极值求参数．若函数f (x )在点(x 0，y 0)处取得极值，则f ′(x 0)＝0，且f (x )在该点左、右两侧的导数值符号相反．〔变式训练1〕(1)(角度1)已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( C )A ． f (b )>f (a )>f (c )B ．函数f (x )在x ＝c 处取得极小值，在x ＝e 处取得极大值C ．函数f (x )在x ＝c 处取得极大值，在x ＝e 处取得极小值D ．函数f (x )的最小值为f (d )(2)(理)(角度2)(2020·某某中原名校质量检查)已知函数f (x )＝2f ′(1)ln x －x ，则f (x )的极大值为( B )A ．2B ．2ln 2－2C ．eD ．2－e(文)(角度2)函数y ＝e xx的极小值为( B )A ．1B ．eC ．－1D ．－1e(3)(角度3)(2021·某某某某第二次检测)已知x ＝1是f (x )＝[x 2－(a ＋3)x ＋2a ＋3]e x 的极小值点，则实数a 的取值X 围是( D )A ．(1，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，1)[解析](1)由图可知x ∈[a ，c ]时f ′(x )≥0，f (x )单调递增，又a <b <c ，∴f (a )<f (b )<f (c )，A 错；x <c 时，f ′(x )>0，f (x )递增；c <x <e 时，f ′(x )<0，f (x )递减，x >e 时，f ′(x )>0，f (x )递增．∴f (x )在x ＝c 处取得极大值，在x ＝e 处取得极小值，B 错，C 对；f (d )不是极值，又不是定义域端点的函数值，∴f (d )不是最小值，D 错，故选C ．(2)(理)因为f (x )＝2f ′(1)ln x －x ，所以f ′(x )＝2f ′(1)1x－1，令x ＝1得f ′(1)＝2f ′(1)－1，所以f ′(1)＝1，则f ′(x )＝2x－1，所以函数f (x )在(0,2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，则f (x )的极大值为f (2)＝2ln 2－2.故选B ．(文)∵y ′＝x e x －e xx 2＝x －1e x x 2，x ，y ′，y 的极值情况如下表.x (－∞，0) 0(0,1) 1 (1，＋∞)y ′ －－0 ＋y极小值f (x )(3)依题意f ′(x )＝(x －a )(x －1)e x ，它的两个零点为x ＝1，x ＝a ，若x ＝1是函数y (x )的极小值点，则需a <1，此时函数f (x )在(a,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，在x ＝1处取得极小值．故选D ．考点二用导数求函数的最值——师生共研例4(2017·，20)已知函数f (x )＝e x cos x －x . (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．[解析](1)因为f (x )＝e x cos x －x ，所以f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，f ′(0)＝0. 又因为f (0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1.(2)设h (x )＝e x (cos x －sin x )－1，则h ′(x )＝e x (cos x －sin x －sin x －cos x )＝－2e x sin x .当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，h ′(x )<0，所以h (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减．所以对任意x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2有h (x )<h (0)＝0，即f ′(x )<0.所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减．因此f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为f (0)＝1，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－π2.名师点拨1．求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在(a ，b )内的极值．(2)求函数在区间端点的函数值f (a )，f (b )．(3)将函数f (x )的极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 2．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，一般要根据其极值及单调性画出函数的大致图象，借图求解．注：求最值时，不可想当然认为极值点就是最值点，要通过比较再下结论．〔变式训练2〕(2021·日照一中月考)已知函数f (x )＝x －1x－ln x .(1)求f (x )的单调区间；(2)求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最大值和最小值(其中e 是自然对数的底数)．[解析](1)f (x )＝x －1x－ln x ＝1－1x－ln x ，f (x )的定义域为(0，＋∞)．因为f ′(x )＝1x 2－1x ＝1－xx2，由f ′(x )>0，得0<x <1，由f ′(x )<0，得x >1，所以f (x )＝1－1x－ln x 在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．(2)由(1)得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1上单调递增，在[1，e]上单调递减，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最大值为f (1)＝1－11－ln 1＝0.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝1－e －ln 1e ＝2－e ，f (e)＝1－1e －ln e ＝－1e ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e <f (e)．综上，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝2－e ，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最大值为0，最小值为2－e.名师讲坛·素养提升利用导数研究生活中的优化问题例5 在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业．根据以往经验，潜水员下潜的平均速度为v (米/单位时间)，每单位时间的用氧量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫v 103＋1(升)，在水底作业10个单位时间，每单位时间用氧量为0.9(升)，返回水面的平均速度为v2(米/单位时间)，每单位时间用氧量为1.5(升)，记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y(升)．(1)求y关于v的函数关系式；(2)若c≤v≤15(c>0)，求当下潜速度v取什么值时，总用氧量最少．[解析](1)由题意，下潜用时60v(单位时间)，用氧量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫v103＋1×60v＝⎝⎛⎭⎪⎫3v250＋60v(升)，水底作业时的用氧量为10×0.9＝9(升)，返回水面用时60v2＝120v(单位时间)，用氧量为120v×1.5＝180v(升)，因此总用氧量y＝3v250＋240v＋9(v>0)．(2)y′＝6v50－240v2＝3v3－2 00025v2，令y′＝0得v＝1032，当0<v<1032时，y′<0，函数单调递减；当v>1032时，y′>0，函数单调递增．若c<1032，函数在[c,1032]上递减，在(1032，15]上递增，所以当v＝1032时，总用氧量最少．若c≥1032，则函数在[c,15]上递增，所以当v＝c时，总用氧量最少．名师点拨函数的优化问题即实际问题中的最值问题，其一般解题步骤为：一设，设出自变量、因变量；二列，列出函数关系式，并写出定义域；三解，解出函数的最值，一般常用导数求解；四答，回答实际问题．〔变式训练3〕某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2.其中3<x <6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．[解析](1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y ＝2x －3＋10(x －6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f (x )＝(x －3)[2x －3＋10(x－6)2]＝2＋10(x －3)(x －6)2,3<x <6. 从而，f ′(x )＝30(x －4)(x －6)．于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表可得，所以，当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．。

2018版高考数学人教A版理一轮复习课件：第2章第12节导数与函数的极值、最值精品

当 x∈(0,9)时，y′＞0，当 x∈(9，＋∞)时，y′＜0，
则当 x＝9 时，y 有最大值．
即使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 9 万件．]
4．(2016·四川高考)已知 a 为函数 f(x)＝x3－12x 的极小值点，则 a＝( )
A．－4
B.－2
C．4
D.2
D [由题意得 f′(x)＝3x2－12，令 f′(x)＝0 得 x＝±2，∴当 x<－2 或 x>2 时，
利用导数研究函数的极值问题
☞角度 1 根据函数图象判断极值
设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f′(x)，且函数 y＝
(1－x)f′(x)的图象如图 2-12-2 所示，则下列结论中一定成立的是( ) A．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1)
B．函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(1)
☞角度 2 求函数的极值求函数 f(x)＝x－aln x(a∈R)的极值．
[解] 由 f′(x)＝1－ax＝x－x a，x＞0 知：
(1)当 a≤0 时，f′(x)＞0，函数 f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数 f(x)无极值；
5分
(2)当 a＞0 时，由 f′(x)＝0，解得 x＝a.
又当 x∈(0，a)时，f′(x)＜0；当 x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0，
∴g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，又∵当 x→0 时，g(x)→－∞，当 x→＋∞时，g(x)→0，而 g(x)max＝g(1)＝1， ∴只需 0＜2a＜1⇒0＜a＜12.
(2)由题意知，f(x)的定义域为(－1，＋∞)，且 f′(x)＝1＋1 x－2ax－1＝－2ax21－＋2xa＋1x，由题意得，f′(1)＝0，则－2a－2a－1＝0，得 a＝－14，又当 a＝－14时， f′(x)＝12x12＋－x12x＝12x1x＋－x1，当 0＜x＜1 时，f′(x)＜0；

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

课时分层训练(十四) 导数与函数的极值、最值
A 组基础达标 (建议用时：30分钟)
一、选择题
1．下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( ) 【导学号：】 A ．y ＝x 3
B ．y ＝ln(－x )
C ．y ＝x e －x
D ．y ＝x ＋2
x
D [由题可知，B ，C 选项中的函数不是奇函数，A 选项中，函数y ＝x 3
单调递增(无极值)，而D 选项中的函数既为奇函数又存在极值．]
2．当函数y ＝x ·2x
取极小值时，x 等于( ) A.1ln 2
B ．－1
ln 2
C ．－ln 2
D ．ln 2
B [令y ′＝2x
＋x ·2x ln 2＝0， ∴x ＝－1
ln 2
.
经验证，－1ln 2为函数y ＝x ·2x
的极小值点．]
3．函数y ＝ln x －x 在x ∈(0，e]上的最大值为( ) A ．e B ．1 C ．－1
D ．－e
C [函数y ＝ln x －x 的定义域为(0，＋∞)．又y ′＝1x －1＝1－x
x
，令y ′＝0得x ＝1，
当x ∈(0,1)时，y ′＞0，函数单调递增；当x ∈(1，e]时，y ′＜0，函数单调递减．当x ＝1时，函数取得最大值－1.]
4．已知函数f (x )＝x 3
＋ax 2
＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－1,2)
B ．(－∞，－3)∪(6，＋∞)
C ．(－3,6)
D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B [∵f ′(x )＝3x 2
＋2ax ＋(a ＋6)，
由已知可得f ′(x )＝0有两个不相等的实根， ∴Δ＝4a 2
－4×3(a ＋6)＞0，即a 2
－3a －18＞0，
∴a ＞6或a ＜－3.]
5．设函数f (x )＝ax 2
＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )，若x ＝－1为函数f (x )e x
的一个极值点，则下列图象不可能为y ＝f (x )图象的是( )
A B C D
D [因为[f (x )e x
]′＝f ′(x )e x
＋f (x )(e x
)′＝[f (x )＋f ′(x )]e x
，且x ＝－1为函数
f (x )e x 的一个极值点，所以f (－1)＋f ′(－1)＝0.选项D 中，f (－1)＞0，f ′(－1)＞0，
不满足f ′(－1)＋f (－1)＝0.]
二、填空题
6．函数f (x )＝13
x 3＋x 2
－3x －4在[0,2]上的最小值是________．
－173 [f ′(x )＝x 2
＋2x －3，令f ′(x )＝0得x ＝1(x ＝－3舍去)，又f (0)＝－4，f (1)＝－173，f (2)＝－103，故f (x )在[0,2]上的最小值是f (1)＝－173
.]
7．设a ∈R ，若函数y ＝e x
＋ax 有大于零的极值点，则实数a 的取值范围是________. 【导学号：】
(－∞，－1) [∵y ＝e x ＋ax ，∴y ′＝e x
＋a . ∵函数y ＝e x
＋ax 有大于零的极值点，则方程y ′＝e x
＋a ＝0有大于零的解， ∵x ＞0时，－e x ＜－1，∴a ＝－e x
＜－1.]
8．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p 元，销量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170p －p 2
，则该商品零售价定为________元时利润最大，利润的最大值为________元．
30 23 000 [设该商品的利润为y 元，由题意知，
y ＝Q (p －20)＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000，
则y ′＝－3p 2
－300p ＋11 700，令y ′＝0得p ＝30或p ＝－130(舍)，
当p ∈(0,30)时，y ′＞0，当p ∈(30，＋∞)时，y ′＜0，因此当p ＝30时，y 有最大值，y max ＝23 000.] 三、解答题
9．已知函数f (x )＝－x 3
＋ax 2
＋b (a ，b ∈R )．
(1)要使f (x )在(0,2)上单调递增，试求a 的取值范围；
(2)当a <0时，若函数满足y 极大＝1，y 极小＝－3，试求y ＝f (x )的解析式． [解] (1)f ′(x )＝－3x 2＋2ax . 依题意f ′(x )≥0在(0,2)上恒成立，
即2ax ≥3x 2
.∵x ＞0，∴2a ≥3x ，∴2a ≥6，∴a ≥3，即a 的取值范围是[3，＋∞).6分 (2)∵f ′(x )＝－3x 2
＋2ax ＝x (－3x ＋2a )．
∵a ＜0，当x ∈⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，23a 时，f ′(x )≤0，f (x )递减．当x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫23a ，0时，f ′(x )＞0，f (x )递增．
当x ∈[0，＋∞)时，f ′(x )≤0，f (x )递减.12分
∴⎩⎪⎨⎪⎧
f 极大0＝1，f 极小⎝ ⎛⎭
⎪⎫23a ＝－3
⇒⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝－3，
b ＝1.
∴f (x )＝－x 3
－3x 2
＋1.15分
10．据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为k (k >0)．现已知相距18 km 的A ，B 两家化工厂(污染源)的污染强度分别为a ，b ，它们连线上任意一点C 处的污染指数y 等于两化工厂对该处的污染指数之和．设AC ＝x (km)．
(1)试将y 表示为x 的函数；
(2)若a ＝1，且x ＝6时，y 取得最小值，试求b 的值. 【导学号：】 [解] (1)设点C 受A 污染源污染程度为ka
x
2，点C 受B 污染源污染程度为kb
18－x
2
，
其中k 为比例系数，且k >0，从而点C 处受污染程度y ＝ka x
2＋
kb
18－x
2
.6分
(2)因为a ＝1，所以y ＝k x
2＋kb
18－x
2
，
y ′＝k ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－2
x 3＋
2b 18－x 3
，10分令y ′＝0，得x ＝
18
1＋3b
，
又此时x ＝6，解得b ＝8，经验证符合题意，所以，污染源B 的污染强度b 的值为8.15分
B 组能力提升 (建议用时：15分钟)
1．若函数f (x )＝x 3
＋ax 2
＋bx (a ，b ∈R )的图象与x 轴相切于一点A (m,0)(m ≠0)，且f (x )的极大值为1
2
，则m 的值为( )
A ．－2
3
B ．－32
C.2
3
D.32
D [由题意可得f (m )＝m 3
＋am 2
＋bm ＝0，m ≠0，则m 2
＋am ＋b ＝0 ①，且f ′(m )＝3m
2
＋2am ＋b ＝0 ②，①－②化简得m ＝－a
2，f ′(x )＝3x 2
＋2ax ＋b 的两根为－a 2和－a
6，则b
＝a 2
4，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 6＝1
2
，解得a ＝－3，m ＝32，故选D.] 2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
x 3
－3x ，x ≤0，－2x ，x ＞0，
则f (x )的最大值为________．
2 [当x ＞0时，f (x )＝－2x ＜0；当x ≤0时，f ′(x )＝3x 2
－3＝3(x －1)(x ＋1)，当x ＜－1时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数，当－1＜x ＜0时，f ′(x )＜0，f (x )是减函数，∴f (x )≤f (－1)＝2，∴f (x )的最大值为2.]
3．已知函数f (x )＝ax 3
＋bx ＋c 在点x ＝2处取得极值c －16. (1)求a ，b 的值；
(2)若f (x )有极大值28，求f (x )在[－3,3]上的最小值. 【导学号：】 [解] (1)因为f (x )＝ax 3＋bx ＋c ，故f ′(x )＝3ax 2
＋b .2分
由于f (x )在点x ＝2处取得极值c －16，
故有⎩⎪⎨
⎪⎧
f ′2＝0，
f 2＝c －16，即⎩⎪⎨⎪⎧
12a ＋b ＝0，8a ＋2b ＋c ＝c －16，
化简得⎩
⎪⎨
⎪⎧
12a ＋b ＝0，4a ＋b ＝－8，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝1，
b ＝－12.6分
(2)由(1)知f (x )＝x 3
－12x ＋c ，
f ′(x )＝3x 2－12＝3(x －2)(x ＋2)，
令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝2. 当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )＞0，故f (x )在(－∞，－2)上为增函数；9分当x ∈(－2,2)时，f ′(x )＜0，故f (x )在(－2,2)上为减函数；12分当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＞0，故f (x )在(2，＋∞)上为增函数．由此可知f (x )在x ＝－2处取得极大值，
f (－2)＝16＋c ，
f(x)在x＝2处取得极小值f(2)＝c－16.
由题设条件知16＋c＝28，解得c＝12.14分
此时f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，
f(2)＝－16＋c＝－4，
因此f(x)在[－3,3]上的最小值为f(2)＝－4.15分。