高中数学：三次函数图像与性质
三次函数的图像和性质
设三次函数为()32f x ax bx cx d =+++（a 、b 、c 、d R ∈且0a ≠），其基本性质有： 性质一：定义域为R ；
性质二：值域为R ，函数在整个定义域上没有最大值、最小值； 性质三：单调性和图象。
（1）当a>0时，先看二次函数f ′（x ）=3ax 2
+2bx+c ，Δ=4b 2
-12ac=4（b 2
-3ac ）
① 当Δ=4b 2
-12ac=4（b 2
-3ac ）>0，即b 2-3ac >0时，f ′（x ）与x 轴有两个交点1
x ，
2
x ，
f （x ）形成三个单点区间和两个极值点1x ，2
x ，
图像如图1,2：
② 当Δ=4b 2
-12ac=4（b 2
-3ac ）=0，即b 2
-3ac=0时，f ′（x ）与x 轴有两个等根
1x 2
x ，
f （x ）没有极值点，
图像如图3,4：
图1 图2 图3 图4 图5 图6 ③ 当Δ=4b 2
-12ac=4（b 2
-3ac ）＜0，即b 2
-3ac ＜0时，f ′（x ）与x 轴没有交点，
f （x ）没有极值点，
图像如图5,6：
（2）当a ＜0时，先看二次函数f ′（x ）=3ax 2
+2bx+c ，Δ=4b 2
-12ac=4（b 2
-3ac ）
① 当Δ=4b 2
-12ac=4（b 2
-3ac ）>0，即b 2-3ac >0时，f ′（x ）与x 轴有两个交点1
x ，
2
x ，
f （x ）形成三个单点区间和两个极值点1x ，2x ，
图像如图7,8：
图7 图8 图9 图10 图11 图12
② 当Δ=4b 2
-12ac=4（b 2
-3ac ）=0，即b 2
-3ac=0时，f ′（x ）与x 轴有两个等根1x 2
x ，f （x ）没有极值点，
图
像如图9,10：
③ 当Δ=4b 2
-12ac=4（b 2
-3ac ）＜0，即b 2
-3ac ＜0时，f ′（x ）与x 轴没有交点，f （x ）没有极值点，
图像如图11，12：
性质四：三次方程f （x ）=0的实根个数
对于三次函数()3
2
f x ax bx cx d =+++（a 、b 、c 、d R ∈且0a ≠），其导数为f ′（x ）=3ax 2
+2bx+c ，
(1) 当b 2
-3ac >0，其导数f ′（x ）=0有两个解 ， ，原方程有两个极值。
① 当 ，原方程有且只有一个实根，图像如图13，14；
图13 图14 图15 图16 图17 ② 当12()()0f x f x ⋅=，则方程有2个实根，图像如图15，16；
③ 当0)()(21<⋅x f x f ，则方程有三个实根，图像如图17； 性质五：奇偶性
对于三次函数()3
2
f x ax bx cx d =+++（a 、b 、c 、d R ∈且0a ≠）
(1) f （x ）不可能为偶函数；
(2) 当且仅当0==d b 时是奇函数； 性质六：对称性
(1) 结论一：三次函数是中心对称曲线，且对称中心是(,())33b b
f a a
-
-； (2) 结论二：其导函数为2
()320f x ax bx c '=++= 对称轴为a
b
x 3-
=，所以对称中心的横坐标也就是导函数的对称轴，可见，y ＝f(x)图象的对称中心在导函数y ＝的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二
阶导为零的点；
2
x 1x 0
)()(2
1>⋅x f x f x 1 x 2
x
x 1
x 2
(3) 结论三：)(x f y =是可导函数，若)(x f y =的图象关于点),(n m 对称，则)('x f y =图象关于直线m x =对称. (4) 结论四：若)(x f y =图象关于直线m x =对称，则)('x f y =图象关于点)0,(m 对称。 (5) 结论五：奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数。 性质七：三次函数f （x ）图象的切线条数
(1)由三次函数的中心对称性可知：过三次函数的对称中心且与该三次曲线相切的直线有且只有一条； (2)过三次曲线上除对称中心的任一点与该三次曲线相切的直线有二条； 性质八：切割线性质
（1）设P 是f(x)上任意一点(非对称中心)，过点P 作函数f(x)图象的一条割线AB 与一条切线PT(P 点不为切点),A,B,T 均在f(x)的图象上，则T 点的横坐标平分A.B 点的横坐标，如图18：
图18 图19 图20 图21
推论1：设P 是f(x)上任意一点（非对称中心)，过点P 作函数f(x)图象的两条切线PM ，PN ，切点分别为M 、P ，则M 点的横坐标平分P 、N 的横坐标，如图19：
推论2：设f(x)的极大值为M ，当成f(x)=M 的两根为1x ，
2x 12()
x x <，则区间[]12,x x 被
和极小值点三等
分，类似的，对极小值点m 也有此结论，如图20： 性质九：切线条数
一般地，如图，过三次函数f(x)图象的对称中心作切线L,则坐标平面被切线L 和函数f （x ）的图象分割为四个区域，有以下结论：
（1）过区域1、Ⅲ内的点作y=f(x)的切线，有且仅有3条；
（2）过区域II 、IV 内的点以及对称中心作y=f(x)的切线，有且仅有1条；
（3）过切线L 或函数f(x)图象（除去对称中心）上的点作y=f(x)的切线，有且仅有2条。
3b a
-
高中数学：三次函数图像与性质
三次函数的图像和性质 设三次函数为()32f x ax bx cx d =+++（a 、b 、c 、d R ∈且0a ≠），其基本性质有： 性质一：定义域为R ； 性质二：值域为R ，函数在整个定义域上没有最大值、最小值； 性质三：单调性和图象。 （1）当a>0时，先看二次函数f ′（x ）=3ax 2 +2bx+c ，Δ=4b 2 -12ac=4（b 2 -3ac ） ① 当Δ=4b 2 -12ac=4（b 2 -3ac ）>0，即b 2-3ac >0时，f ′（x ）与x 轴有两个交点1 x ， 2 x ， f （x ）形成三个单点区间和两个极值点1x ，2 x ， 图像如图1,2： ② 当Δ=4b 2 -12ac=4（b 2 -3ac ）=0，即b 2 -3ac=0时，f ′（x ）与x 轴有两个等根 1x 2 x ， f （x ）没有极值点， 图像如图3,4： 图1 图2 图3 图4 图5 图6 ③ 当Δ=4b 2 -12ac=4（b 2 -3ac ）＜0，即b 2 -3ac ＜0时，f ′（x ）与x 轴没有交点， f （x ）没有极值点， 图像如图5,6： （2）当a ＜0时，先看二次函数f ′（x ）=3ax 2 +2bx+c ，Δ=4b 2 -12ac=4（b 2 -3ac ） ① 当Δ=4b 2 -12ac=4（b 2 -3ac ）>0，即b 2-3ac >0时，f ′（x ）与x 轴有两个交点1 x ， 2 x ， f （x ）形成三个单点区间和两个极值点1x ，2x ， 图像如图7,8： 图7 图8 图9 图10 图11 图12 ② 当Δ=4b 2 -12ac=4（b 2 -3ac ）=0，即b 2 -3ac=0时，f ′（x ）与x 轴有两个等根1x 2 x ，f （x ）没有极值点， 图 像如图9,10： ③ 当Δ=4b 2 -12ac=4（b 2 -3ac ）＜0，即b 2 -3ac ＜0时，f ′（x ）与x 轴没有交点，f （x ）没有极值点， 图像如图11，12： 性质四：三次方程f （x ）=0的实根个数 对于三次函数()3 2 f x ax bx cx d =+++（a 、b 、c 、d R ∈且0a ≠），其导数为f ′（x ）=3ax 2 +2bx+c ， (1) 当b 2 -3ac >0，其导数f ′（x ）=0有两个解 ， ，原方程有两个极值。 ① 当 ，原方程有且只有一个实根，图像如图13，14； 图13 图14 图15 图16 图17 ② 当12()()0f x f x ⋅=，则方程有2个实根，图像如图15，16； ③ 当0)()(21<⋅x f x f ，则方程有三个实根，图像如图17； 性质五：奇偶性 对于三次函数()3 2 f x ax bx cx d =+++（a 、b 、c 、d R ∈且0a ≠） (1) f （x ）不可能为偶函数； (2) 当且仅当0==d b 时是奇函数； 性质六：对称性 (1) 结论一：三次函数是中心对称曲线，且对称中心是(,())33b b f a a - -； (2) 结论二：其导函数为2 ()320f x ax bx c '=++= 对称轴为a b x 3- =，所以对称中心的横坐标也就是导函数的对称轴，可见，y ＝f(x)图象的对称中心在导函数y ＝的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二 阶导为零的点； 2 x 1x 0 )()(2 1>⋅x f x f x 1 x 2 x x 1 x 2
专题17 三次函数的图像与性质(解析版)
专题17 三次函数的图像与性质 一、例题选讲 题型一 运用三次函数的图像研究零点问题 遇到函数零点个数问题,通常转化为两个函数图象交点问题,进而借助数形结合思想解决问题；也可转化为方程解的个数问题,通过具体的解方程达到解决问题的目的.前者由于是通过图形解决问题,故对绘制的函数图象准确度和细节处要求较高,后者对问题转化的等价性和逻辑推理的严谨性要求较高.下面的解法是从解方程的角度考虑的. 例1,(2017某某,某某,某某,某某三调)已知函数3 ()3 .x x a f x x x x a ⎧=⎨-<⎩≥， ，，若函数()2()g x f x ax =-恰有2个 不同的零点,则实数a 的取值X 围是． 【答案】3(2) 2-， 【解析】：函数()2()g x f x ax =-恰有2个不同的零点,即方程2()0f x ax -=恰有2个不相等的根,亦即方 程(Ⅰ)20x a x ax ≥⎧⎨ -=⎩和(Ⅱ)3260x a x x ax <⎧⎨--=⎩ 共有2个不相等的根. 首先(Ⅰ)中20x ax -=,即(2)0a x -=,若2a =,则2x ≥都是方程20x ax -=的根,不符合题意,所以 2a ≠,因此(Ⅰ)中由20x ax -=解得0x =,下面分情况讨论 (1)若0x =是方程(Ⅰ)的唯一根,则必须满足0a ≥,即0a ≤,此时方程(Ⅱ)必须再有唯一的一个根,即
3 0260x a x x ax <≤⎧⎨--=⎩有唯一根,因为0x ≠,由3260x x ax --=,得226x a =+必须有满足0x a <≤的唯一 根,首先60a +>, 其次解得的负根需满足 0a <≤,从而解得3 02a -<≤, (2)若0x =不是方程(Ⅰ)的唯一根,则必须满足0a <,即0a >,此时方程(Ⅱ)必须有两个不相等的根,即 30 260a x a x x ax ⎧>⎪ <⎨⎪--=⎩有两个不相等的根,由3260x x ax --=,得0x a =<适合,另外226x a =+还有必须一 满足,0x a a <>的非零实根,首先60a +>, a ≥,从而解得02a <≤,但前面已经 指出2a ≠,故02a <<, 综合(1),(2),得实数a 的取值X 围为3 (,2) 2-. 例2,(2017某某学情调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12x －x3， x ≤0，－2x ， x ＞0. )当x ∈(－∞,m ]时,f (x )的取值X 围为[－16, ＋∞),则实数m 的取值X 围是________． 【答案】 [－2,8] 【解析】思路分析 由于f (x )的解析式是已知的,因此,可以首先研究出函数f (x )在R 上的单调性及相关的
三次函数专题
三次函数专题 一、定义： 定义1、形如32 (0)y ax bx cx d a =+++≠的函数，称为“三次函数”（从函数解析式的结构上命名）。 定义2、三次函数的导数2 32(0)y ax bx c a '=++≠，把2 412b ac ?=-叫做三次函数 导函数的判别式。 由于三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高中数学中的重要内容，所以三次函数的问题，已经成为高考命题的一个新的热点和亮点。 二、三次函数图象与性质的探究： 1、单调性。 一般地，当032 ≤-ac b 时，三次函数)0(2 3 ≠+++=a d cx bx ax y 在R 上是单调函数；当032 >-ac b 时，三次函数)0(2 3 ≠+++=a d cx bx ax y 在R 上有三个单调区间。 （根据0,0<>a a 两种不同情况进行分类讨论） 2、对称中心。 三次函数)0()(2 3 ≠+++=a d cx bx ax x f 是关于点对称，且对称中心为点 ))3(,3(a b f a b -- ，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。 【 证明：设函数 的对称中心为（m ，n ）。 按向量将函数的图象平移，则所得函数是奇函数，所以 化简得： 上式对恒成立，故，得，
。 所以，函数的对称中心是（）。 可见，y ＝f(x)图象的对称中心在导函数y ＝的对称轴上，且又是两个极值点的 中点，同时也是二阶导为零的点。 3、三次方程根的问题。 （1）当△=01242 ≤-ac b 时，由于不等式0)(≥'x f 恒成立，函数是单调递增的，所以原 方程仅有一个实根。 ( （2）当△=01242 >-ac b 时，由于方程0)(='x f 有两个不同的实根21,x x ，不妨设 21x x <，可知，))(,(11x f x 为函数的极大值点，))(,(22x f x 为极小值点，且函数) (x f y =在),(1x -∞和),(2+∞x 上单调递增，在[]21,x x 上单调递减。 此时： ①若0)()(21>?x f x f ，即函数)(x f y =极大值点和极小值点在x 轴同侧，图象均与x 轴只有一个交点，所以原方程有且只有一个实根。 若0)()(21
三次函数的图像与性质
三次函数的图像与性质 形如f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的函数叫做三次函数。由于三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高中数学中的重要内容，所以三次函数的问题已经成为高考命题的一个新的热点和亮点，尤其是文科数学更是如此。我们可以采用类比的方法，利用几何画板，较为深入地研究三次函数的图像与性质以及三次方程的解的个数的问题。 １三次函数的图像与性质 设三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），其导函数f’（x）=3ax2+2bx+c，其判别式△=4b2-12ac=4（b2-3ac）。当a>0时，若△>0，方程f’（x）=0有两个不相等的实数根，记作x1，x2，不妨令x1f（x2）。 结论1：f（x1）·f（x2）>0时，函数f（x）的图像与x轴有且仅有一个公共点；f（x1）·f（x2）=0时，函数f（x）的图像与x轴有且仅有两个公共点；f （x1）·f（x2）０，f（x2）0为例）： 当a>0时，f（x）的四种图象 ３推论 设三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a>0），其导函数f’（x）=3ax2+2bx+c 的判别式△=4b2-12ac=4（b2-3ac）>0。方程f’（x）=0有两个不相等的实数根，记作x1，x2，不妨令x1 “三次函数的图象与性质”教学设计 一、教学内容解析： 三次函数是高中数学人教版选修2-2第一章第三节的内容。三次函数是中学数学利用导数研究函数的一个重要载体，有着重要的地位，围绕三次函数命制的试题，近几年来在全国各地高考及模拟试题中频繁出现，已成为高考数学的一大亮点，特别是文科数学。因此学习和掌握三次函数的基本性质很有必要。但教材也没提及三次函数的这一概念，题型也局限在只是解决系数为常数的极值和单调区间问题，各种教辅资料中也往往只从求导、求极值、求单调区间等角度进行一些零碎的、浅表的探索，而很少对它作出比较系统地、实质性地阐述。 本节课是高三复习探究课，具体内容是：借助信息技术、通过几何画板的操作生成关于三次函数的动态效果，从而以三次函数的图像的形状特征为主线，探究三次函数的单调性和极值问题，加强学生对三次函数图像与性质的感性认识、引发学生的理性思考，形成经验。同时在此过程中体会数形结合、分类讨论、化归与类比等思想方法。基于对教材的认识和分析，本节课的教学重点和难点分别确定为： 重点： （1）探究系数a,b,c,d的大小的变化与三次函数图像之间的变化规律； （2）根据图像探究三次函数的性质：单调性和极值。 难点： 根据图像分析出三次函数的性质：单调性和极值。 二、教学目标设置： 根据本节课的内容和地位，让学生通过这节课的教学达到下列三个目标： 1、知识与能力： ①加深对三次函数图像和性质的认识，学会利用三次函数解决问题；增强分析问题，解决问题的能力。 ②培养自主学习的能力和利用计算机软件《几何画板》探求新知识的能力。 ③掌握一定的多媒体环境下研究性学习的方法和手段，提高现代教育技术素养。 2、过程与方法： 通过对函数)0(,)(23≠+++=a d cx bx ax x f 性质的研究，引导学生建立讨论函数性质的基本框架，知道函数性质的基本内容及其作用，掌握研究函数性质的基本过程和方法。 3、情感态度与价值观： 通过直观的图形和抽象的函数性质的统一，培养学生的辨证唯物主义思想观；在研究的过程中，通过同学之间的讨论与协作，培养合作精神。 三、学生学情分析： 本节课，学生已初步搭建起研究函数的基本平台，借助导数 专题5.3 三角函数的图象与性质（知识点讲解） 【知识框架】 【核心素养】 1.与不等式相结合考查三角函数定义域的求法，凸显数学运算的核心素养． 2．与二次函数、函数的单调性等结合考查函数的值域(最值)，凸显数学运算的核心素养． 3．借助函数的图象、数形结合思想考查函数的奇偶性、单调性、对称性等性质，凸显数学运算、直观想象和逻辑推理的核心素养． 4.五点作图与函数图象变换、函数性质相结合考查三角函数图象问题，凸显直观想象、数学运算的核心素养． 5．将函数图象、性质及函数零点、极值、最值等问题综合考查y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及应用，凸显直观想象、逻辑推理的核心素养． 【知识点展示】 （一）“五点法”作图 “五点法”作图：先列表，令30, ,, ,22 2 x π π ωϕππ+=，求出对应的五个的值和五个y 值，再根据求出的对应的五个点的坐标描出五个点，再把五个点利用平滑的曲线连接起来，即得到()sin y A x h ωϕ=++在 ()sin y A x h ωϕ=++的图象. （二）正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质 正弦函数sin y x =,余弦函数cos y x =,正切函数tan y x =的图象与性质 性质 sin y x = cos y x = tan y x = 图象 定义域 R R ,2x x k k Z ππ⎧⎫ ≠+∈⎨⎬⎩⎭ 值域 []1,1- []1,1- R 最值 当() 22 x k k Z π π=+ ∈时，max 1 y =； 当() 22 x k k Z π π=- ∈时 ， min 1y =-． 当()2x k k Z π=∈时，max 1y =；当()2x k k Z ππ=+∈时， min 1y =-． 既无最大值，也无最小值 周期性 2π 2π π 奇偶性 ()sin sin x x -=-,奇函数 ()cos cos x x -=偶函数 ()tan tan x x -=-奇函数 单调性 在 ()2,222k k k Z ππππ⎡ ⎤-+∈⎢⎥⎣ ⎦上 是 增 函 数 ； 在 ()32,222k k k Z ππππ⎡ ⎤++∈⎢⎥⎣ ⎦上是减函数． 在[]()2,2k k k Z πππ-∈上是增 函 数 ； 在 π []() 2,2k k k Z πππ+∈上是减 函数． 在(),2 2k k k Z π πππ⎛ ⎫ - + ∈ ⎪⎝ ⎭ 上是增函数． 二次函数与三次函数的性质比较在高中数学中，二次函数和三次函数都是很重要的函数类型。它们在数学及其它学科中有广泛的应用，因此，深入了解它们的性质及其比较是很重要的。以下是二次函数与三次函数的性质比较。 1. 定义 二次函数是指函数 $y = ax^2+bx+c$，其中 $a\ne 0$。它是一个二次多项式函数，其图像为开口向上或向下的抛物线。三次函数是指函数 $y = ax^3+bx^2+cx + d$，其中 $a\ne 0$。它是一个三次多项式函数，其图像通常呈现 S 曲线形态。 2. 对称性质 二次函数的图像是关于其顶点对称的，在抛物线的开口方向垂直于轴线的方向与轴断面重合的位置处，有一个顶点。顶点的横坐标为 $x = -\frac{b}{2a}$，纵坐标为 $y = c-\frac{b^2}{4a}$。此外，二次函数的图像在横轴上有一条对称轴，其方程为 $x = - \frac{b}{2a}$。而三次函数的图像通常具有对称性，其对称轴通常是 $x$ 轴或 $y$ 轴，或经过其中某个极值点。 3. 单调性 二次函数的单调性和其开口方向有关。若开口向上，则函数在$(-\infty,-\frac{b}{2a})$ 上单调递增，在 $(- \frac{b}{2a},+\infty)$ 上单调递减；若开口向下，则函数在 $(- \infty,-\frac{b}{2a})$ 上单调递减，在 $(-\frac{b}{2a},+\infty)$ 上单调递增。三次函数的单调性则要依据其导数的正负性来分析。当导数 $f'(x)>0$ 时，函数单调递增；当导数 $f'(x)<0$ 时，函数单调递减。 4. 零点 二次函数的零点可以通过求解 $ax^2+bx+c=0$ 得到。其判别式为 $D=b^2-4ac$，若 $D>0$，则有两个不同实根；若 $D=0$，则有一个重根；若 $D<0$，则无实根。三次函数的零点需要通过代数运算或者图像来得到。其实根只有一个，而其它两个根要么是实根，要么是虚根。 高中数学：三次函数的性质及应用 三次函数已经成为中学阶段一个重要的函数，在高考和一些重大考试中频繁出现有关它的单独命题。2004年高考，在江苏卷、浙江卷、天津卷、重庆卷、湖北卷中都出现了这个函数的单独命题，特别是湖北卷以压轴题的形式出现，更应该引起我们的重视。单调性和对称性最能反映这个函数的特性。下面我们就来探讨一下它的单调性、对称性以及图象变化规律。 函数的导函数为。我们不妨把方程称为原函数的导方程，其判别式。若，设其两根为 ，则可得到以下性质： 性质1：函数， 若，当时，y＝f(x)是增函数；当时，其单调递增区间是 ，单调递增区间是； 若，当时，是减函数；当时，其单调递减区间是，，单调递增区间是。 （证明略） 推论：函数，当时，不存在极大值和极小值；当时，有极大值、极小值。 根据a和的不同情况，其图象特征分别为： 图1 性质2：函数 若，且，则： ； 。 （证明略） 性质3：函数是中心对称图形，其对称中心是（）。 证明：设函数 的对称中心为（m，n）。 按向量将函数的图象平移，则所得函数是奇函数，所以 化简得： 上式对恒成立，故 ，得 ， 。 所以，函数的对称中心是（）。 可见，y＝f(x)图象的对称中心在导函数y＝的对称轴上，且又是两个极值点的中点。 下面让我们来体会一下如何应用这些性质快速、准确地解答问题。 例1. 设是函数f(x)的导函数，的图象如图2所示，则y＝f(x)的图象最有可能是（） 图2 图3 解：根据图象特征，不妨设f(x)是三次函数。则的图象给出了如下信息： ①； ②导方程两根是0，2，（f(x)对称中心的横坐标是1）； ③在（0，2）上；在（－，0）或（2，）上 。 由①和性质1可排除B、D；由③和性质1确定选C。 例2. 函数在闭区间[－3，0]上的最大值、最小值分别是（） A. 1，－1 B. 1，－17 C. 3，－17 D. 9，－19 解：函数的导方程是，两根为1和－1，由性质2得： ， 。 故选C。 例3. 已知函数在x＝±1处取得极值。 精编习题 三角函数的图象与性质 一、知识网络 二、高考考点（一）三角函数的性质 1、三角函数的定义域，值域或最值问题； 2、三角函数的奇偶性和单调性问题；常见题型为：三角函数为奇函数 （或偶函数）的充要条件的应用；寻求三角函数的单调区间；比较大小的判断等. 3、三角函数的周期性；寻求型三角函数的周期以和难度 较高的含有绝对值的三角函数的周期. （二）三角函数的图象 1、基本三角函数图象的变换； 2、型三角函数的图象问题；重点是“五点法”作草图的 逆用：由给出的一段函数图象求函数解析式； 3、三角函数图象的对称轴或对称中心：寻求或应用； 4、利用函数图象解决应用问题. （三）化归能力以和关于三角函数的认知变换水平.三、知识要点（一）三角函数的性质 1、定义域与值域 2、奇偶性 （1）基本函数的奇偶性奇函数：y＝sinx，y＝tanx；偶函数：y＝cosx. （2）型三角函数的奇偶性 （ⅰ）g（x）＝（x∈R） g（x）为偶函数 由此得； 同理，为奇函数 . （ⅱ）为偶函数；为奇函数 . 3、周期性 （1）基本公式 （ⅰ）基本三角函数的周期y＝sinx，y＝cosx的周期为；y ＝tanx，y＝cotx的周期为 . （ⅱ）型三角函数的周期 的周期为； 的周期为 . （2）认知 （ⅰ）型函数的周期 的周期为； 的周期为 . （ⅱ）的周期 的周期为； 的周期为 . 均同它们不加绝对值时的周期相同，即对y＝的解析式施加绝对值后，该函数的周期不变.注意这一点与（ⅰ）的区别. （ⅱ）若函数为型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”. （ⅲ）探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验――猜想――证明. （3）特殊情形研究 （ⅰ）y＝tanx－cotx的最小正周期为；（ⅱ） 的最小正周期为； 高二必修数学：《三角函数的图象与性质》人生是一场自我完善的修行，所有的经历，无论悲喜，都为塑造更完美的自己，下面为您推荐高二必修数学：《三角函数的图象与性质》。 教学准备 教学目标 1、知识与技能 （1）了解周期现象在现实中广泛存在； （2）感受周期现象对实际工作的意义； （3）理解周期函数的概念； （4）能熟练地判断简单的实际问题的周期； （5）能利用周期函数定义进行简单运用。 2、过程与方法 通过创设情境：单摆运动、时钟的圆周运动、潮汐、波浪、四季变化等，让学生感知周期现象；从数学的角度分析这种现象，就可以得到周期函数的定义；根据周期性的定义，再在实践中加以应用。 3、情感态度与价值观 通过本节的学习，使同学们对周期现象有一个初步的认识，感受生活中处处有数学，从而激发学生的学习积极性，培养学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物。 教学重难点 重点:感受周期现象的存在，会判断是否为周期现象。 难点:周期函数概念的理解，以及简单的应用。 教学工具 投影仪 教学过程 【创设情境，揭示课题】 同学们：我们生活在海南岛非常幸福，可以经常看到大海，陶冶我们的情操。众所周知，海水会发生潮汐现象，大约在每一昼夜的时间里，潮水会涨落两次，这种现象就是我们今天要学到的周期现象。再比如，[取出一个钟表，实际操作]我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复，这也是一种周期现象。所以，我们这节课要研究的主要内容就是周期现象与周期函数。 （板书课题） 【探究新知】 1.我们已经知道，潮汐、钟表都是一种周期现象，请同学们观察钱塘江潮的图片（投影图片），注意波浪是怎样变化的?可见，波浪每隔一段时间会重复出现，这也是一种周期现象。请你举出生活中存在周期现象的例子。（单摆运动、四季变化等） （板书：一、我们生活中的周期现象） 2.那么我们怎样从数学的角度研究周期现象呢?教师引导学生自主学习课本P3P4的相关内容，并思考回答下列问题： ①如何理解散点图? ②图1-1中横坐标和纵坐标分别表示什么? ③如何理解图1-1中的H/m和t/h? ④对于周期函数的定义，你的理解是怎样? 三次函数的图像和性质课例与反思 一. 教学设计 1.1 提出问题,导入新课 先看下面两个问题: 1. (05年全国卷Ⅱ)设a 为实数, 函数 (Ⅰ)求 的极值. (Ⅱ)当a 在什么范围内取值时,曲线与x 轴仅有一个交点. 2. (06年全国)设a 为实数, 函数 在 和 都是增函 数, 求a 的取值范围. 教师: 这两个问题都是选自近几年的高考题, 主要是以三次函数为载体, 考查函数的图像 和性质. 这节课我们就三次函数 32()f x ax bx cx d =+++ 的性质和图像展开系统研究. 引导学生回忆研究函数的一般角度: 定义域, 奇偶性, 单调性, 值域, 特殊点, 画出简图 [设计意图] 从需要解决的问题入手, 明确研究三次函数的目的. 学生已初步搭建起研究函 数的基本平台,符合学生的认知规律. 1.2 探究三次函数的图像和性质 1．定义域: R 2. 奇偶性: 问题1: 三次函数的奇偶性如何? 当b=d=0 时, )(x f 为奇函数； 3. 单调性 问题2: 分析三次函数的单调性，常用什么工具？ ——导数. 请画出导函数 的图像，并根据它的图像特征画出对应三次函 数的图像（画出示意图,不用画坐标系） (a<0 的情形类似分析很快可以得到) 4. 特殊点：极值点，与坐标轴交点 32()f x x x x a =--+()f x x a ax x x f )1()(223-+-=)0,(-∞),1(+∞)0(23)(2'≠++=a c bx ax x f 与y轴的交点：(0, d ) 与x轴的交点的横坐标即为函数的零点。若三次函数在实数内易于分解因式，可直接求解；否则，先判断零点个数。 问题3: 三次函数可能有几个零点呢? 请以a>0为例,把上述示意图画在坐标系中, 分析零点的个数, 并思考零点的个数与什么因素有关呢? （引导学生自主探索，画图，表示出所有可能的情况. 师生交流，共同完成以下结论）（1）一个零点, 如下图： (2) (a<0 的情形可以类推) [设计意图]让学生自己动手画图,小组讨论, 老师恰当辅导,一方面发挥学生的主体地位, 另一方面培养学生的归纳能力和思维的完整性, 渗透数形结合思想. 1.3 画图 画出以下三次函数的简图: 1.4 类比 类比二次函数, 抓住三次函数的图像特征；联系导函数，把握三次函数与导函数的关系。 x x x x x f2 2 1 3 1 ) ( )1(2 3- + =1 3 ) ( )2(2 3- + - =x x x f 二次函数 a决定图像 类比联系 顶点 与x轴交点 与y 轴交点 对称轴 a决定开口 开口方向 顶点 与x轴交点 与y 轴交点 对称轴 极值点 与x轴交点 与y 轴交点 导函数 (二次函数) 中心对称 三次函数的图像与性质及应用 一、知识引导 三次函数y ax bx cx d a =+++320()≠是学生继二次函数后接触的新的多项式函数类型，是二次函数的深化和发展，和二次函数类似也有“与x 轴交点个数”等问题。 32()0f x ax bx cx d a =+++>（）的图像和性质： 1 由极限的思想，在x →+∞时，图像向上无限延伸；在x →-∞时，图像向下无限延伸。 2 ()0f x =根的个数，()f x 的单调性，极值： 其导函数为二次函数:)0(23)(2/≠++=a c bx ax x f ，二次函数的判别式为：△= )3(412422ac b ac b -=-， 若032>-ac b ，设/()0f x =的两根为12x x 和。则可整理给出32()0f x ax bx cx d a =+++>（） 类似于二次函数的图像和性质表： 设f(x)=ax 3+bx 2+cx+d(a ≠0)，f(x)的导数f '(x)=3ax 2+2bx+c ，导函数判别式Δ=4（b 2-3ac)，当Δ>0时记f '(x)=0的两根为x 1和x 2，且x 1 1、对称中心为点))3(,3(a b f a b -- 2、在R 上依次有三个单调区间的充要条件是b 2- 3ac>0. 3、若b 2- 3ac ≤0, 则ax 3+bx 2+cx+d=0 方程有且仅有一个实根 4、三次方程ax 3+bx 2+cx+d=0 有三个互不相同实根的充要条件是: |b 3- 9abc+27a 2d|<2( b 2- 3ac) ac b 3- +b 3 提示：当a<0时，同理可得相应的图像和性质，具体解题时也可转化为a>0得到解决 二、例题点拨 例：设函数3 2()(0)3 a f x x bx cx d a = +++，且方程'()90f x x -=的两个根分别 为1，4。 （Ⅰ）当a=3且曲线()y f x =过原点时，求()f x 的解析式； （Ⅱ）若()f x 在(,)-∞+∞无极值点，求a 的取值范围。 解：由3 2()3 a f x x bx cx d = +++ 得 2()2f x ax bx c '=++ 因为2()9290f x x ax bx c x '-=++-=的两个根分别为1,4，所以 290 168360 a b c a b c ++-=⎧⎨ ++-=⎩ （*） 三角函数的图像和性质 1．“五点法”描图 (1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,0)，)1,2 (π ，(π，0)，) 1,23( -π，(2π，0)． (2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,1)，)0,2(π，(π，－1)，)0,23(π ，(2π，1)． 2．三角函数的图象和性质 (1)周期性 函数y＝A sin(ωx＋φ)和y＝A cos(ωx＋φ)的最小正周期为2π |ω|，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周 期为π |ω|. (2)奇偶性 三角函数中奇函数一般可化为y＝A sin ωx或y＝A tan ωx，而偶函数一般可化为y＝A cos ωx＋b的形式． 三种方法 求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x、cos x的有界性； (2)形式复杂的函数应化为y＝A sin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域； (3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题． 双基自测 1．函数)3cos(π +=x y ，x ∈R ( )． A ．是奇函数 B ．是偶函数 C ．既不是奇函数也不是偶函数 D ．既是奇函数又是偶函数 2．函数) 4 tan(x y -=π 的定义域为( )． A ． } ,4 |{Z k k x x ∈- ≠π π B ．},4 2|{Z k k x x ∈-≠π π C ．},4 |{Z k k x x ∈+ ≠π π D ．},4 2|{Z k k x x ∈+ ≠π π 3．)4sin(π -=x y 的图象的一个对称中心是( )． A ．(－π，0) B ．)0,4 3(π- C ．)0,2 3( π D ．)0,2 (π 4．函数f (x )＝cos )6 2(π +x 的最小正周期为________． 考向一 三角函数的周期 【例1】►求下列函数的周期： (1)) 2 3sin(x y π π-=；(2))63tan(π-=x y 考向二 三角函数的定义域与值域 (1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． (2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目： 三次函数性质的探索 我们已经学习了一次函数，知道图象是单调递增或单调递减，在整个定义域上不存在最大值与最小值，在某一区间取得最大值与最小值．那么，是什么决定函数的单调性呢？ 利用已学过的知识得出：当k>0时函数单调递增；当k<0时函数单调递增；b决定函数与y轴相交的位置．其中运用的较多的一次函数不等式性质是：()0> f在[m，n]上恒成立的充要条件 x ()0> f m ()0> f n 接着，我们同样学习了二次函数，图象大致如下： 图1 图2 利用已学知识归纳得出：当时(如图1)，在对称轴的左侧单调递减、右侧单调递增， 对称轴上取得最小值； 当时(图2)，在对称轴的左侧单调递增、右侧单调递减， 对称轴上取得最大值． 在某一区间取得最大值与最小值． 其中a决定函数的开口方向，a、b同时决定对称轴，c决定函数与y轴相交的位置． 总结：一次函数只有一个单调性，二次函数有两个单调性，那么三次函数是否就有三个单调性呢？ 三次函数专题 一、定义： 定义1、形如3 2 (0)y ax bx cx d a =+++≠的函数，称为“三次函数”（从函数解析式的结构上命名）。 定义2、三次函数的导数2 32(0)y ax bx c a '=++≠，把2 412b ac ∆=-叫做三次函数导函数的判别式。 由于三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高中数学中的重要内容，所以三次函数的问题，已经成为高考命题的一个新的热点和亮点。特别是文科。 系列探究1：从最简单的三次函数3 x y =开始 反思1：三次函数3 1y x =+的相关性质呢？ 反思2：三次函数3 1y x =-+的相关性质呢？ 反思3：三次函数()3 11y x =-+的相关性质呢？ （2012天津理）（4）函数22)(3 -+=x x f x 在区间(0,1)内的零点个数是 B （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 系列探究2：探究一般三次函数)0()(2 3>+++=a d cx bx ax x f 的性质： 先求导2 ()32(0)f x ax bx c a '=++> 1．单调性： （1）若2 2120b ac =-≤△()，此时函数()f x 在R 上是增函数； （2）若2 2120b ac =->△()，令2 ()320f x ax bx c '=++=两根为12,x x 且12x x <， 则()f x 在12(,),()x x -∞+∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减。 a>0 a<0 导函数 ∆>0 ∆≤0 ∆>0 ∆≤0 图 象 x y O x x 1 x 2 x 0 x x 1 x 2 x x 0 x 三次函数专题-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 三次函数专题 一、定义： 定义1、形如32(0)y ax bx cx d a =+++≠的函数，称为“三次函数”（从函数解析式的结构上命名）。 定义2、三次函数的导数232(0)y ax bx c a '=++≠，把2412b ac ∆=-叫做三次函数导函数的判别式。 由于三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高中数学中的重要内容，所以三次函数的问题，已经成为高考命题的一个新的热点和亮点。 二、三次函数图象与性质的探究： 1、单调性。 一般地，当032≤-ac b 时，三次函数)0(23≠+++=a d cx bx ax y 在R 上是单调函数；当032>-ac b 时，三次函数)0(23≠+++=a d cx bx ax y 在R 上有三个单调区间。 （根据0,0<>a a 两种不同情况进行分类讨论） 2、对称中心。 三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 是关于点对称，且对称中心为点 ))3(,3(a b f a b -- ，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。 证明：设函数 的对称中心为（m ，n ）。 按向量将函数的图象平移，则所得函数 是奇函数，所 以 化简得： 上式对恒成立，故，得， 。 所以，函数的对称中心是（）。 可见，y ＝f(x)图象的对称中心在导函数y ＝的对称轴上，且又是两个极值点的中 点，同时也是二阶导为零的点。 3、三次方程根的问题。 （1）当△=01242≤-ac b 时，由于不等式0)(≥'x f 恒成立，函数是单调递增的，所以原方程仅有一个实根。 （2）当△=01242>-ac b 时，由于方程0)(='x f 有两个不同的实根21,x x ，不妨设21x x <，可知，))(,(11x f x 为函数的极大值点，))(,(22x f x 为极小值点，且函数)(x f y =在),(1x -∞和),(2+∞x 上单调递增，在[]21,x x 上单调递减。 此时： ①若0)()(21>⋅x f x f ，即函数)(x f y =极大值点和极小值点在x 轴同侧，图象均与x 轴只有一个交点，所以原方程有且只有一个实根。 若0)()(21<⋅x f x f ，即函数)(x f y =极大值点与极小值点在x 轴异侧，图象 与x 轴必有三个交点，所以原方程有三个不等实根。 ③ 若0)()(21=⋅x f x f ，即)(1x f 与)(2x f 中有且只有一个值为0，所以，原方程有三个实根，其中两个相等。 4、极值点问题。 若函数f(x)在点x 0的附近恒有f(x 0)≥f(x) (或f(x 0)≤f(x))，则称函数f(x)在点x 0处取得极大值（或极小值），称点x 0为极大值点（或极小值点）。 当0∆>时，三次函数()y f x =在(),-∞+∞上的极值点要么有两个。 当0∆≤时，三次函数()y f x =在(),-∞+∞上不存在极值点。 5、最值问题。 函数 若 ，且 ，则：()()()(){}max 0,,f x f m f x f n =； 。 三、例题讲解： 例1、（函数的单调区间、极值及函数与方程的）已知函数f （x ）=x 3 -3ax 2 +3x+1。全国高中数学 青年教师展评课 三次函数的图象和性质教学设计(青海西宁五中)
2023年新高考数学一轮复习5-3 三角函数的图象与性质(知识点讲解)含详解
二次函数与三次函数的性质比较
高中数学：三次函数的性质及应用
高中数学教案三角函数的图象与性质
高二必修数学：《三角函数的图象与性质》
三次函数的图像和性质课例与反思
高中数学三次函数的图像与性质及应用
高中数学三角函数的图像与性质
三次函数性质总结.
三次函数专题