三次函数图像与性质
探讨三次函数及其图像
探讨三次函数及其图像三次函数是高中数学中一个重要的内容，它的图像特点和性质经常被用于解决实际问题。
本文将探讨三次函数及其图像的相关知识。
一、三次函数的定义和形式三次函数是指函数的最高次幂为3的多项式函数，通常表示为y=ax³+bx²+cx+d，其中a、b、c、d为常数且a≠0。
三次函数的定义域为全体实数。
二、三次函数的图像特点1. 定义域和值域：三次函数的定义域为全体实数，值域的范围是整个实数空间。
2. 对称性：三次函数的图像可以有对称的特点。
当a为正数时，图像关于y轴对称；当a为负数时，图像关于x轴对称。
3. 零点和极值点：三次函数的零点是使得函数取值为0的横坐标点，也就是方程ax³+bx²+cx+d=0的解。
根据高中代数学的知识可知，三次函数至多有三个零点。
而极值点是函数的最高点或最低点，求解极值点的方法是求导。
4. 拐点：拐点是三次函数图像由凹变凸或由凸变凹的转折点。
根据高中微积分的知识可知，三次函数有至多两个拐点。
三、三次函数的图像三次函数的图像形态丰富多样，可以通过分析函数的系数来判断图像的具体形状。
1. 当a>0时，函数的图像是开口向上的，并且在拐点附近是向下凹的。
2. 当a0时，函数的图像是开口向下的，并且在拐点附近是向上凸的。
3. 当a=0时，函数的图像是二次函数的图像。
此时，三次函数变成了二次函数。
四、三次函数的应用三次函数的图像特点和性质经常被用于解决实际问题。
1. 利用图像特点解方程：由于三次函数的零点对应图像的横坐标，因此可以通过观察图像来解三次函数的方程。
2. 利用极值点求解最优问题：三次函数的极值点对应图像的最高点或最低点，在解决最优问题时可以通过求解极值点来得到最优解。
3. 利用拐点解决变化问题：三次函数的拐点对应图像的转折点，可以用来解决某个变量随另一个变量变化而产生转折的问题。
综上所述，三次函数是高中数学中的重要内容。
三次函数的有关性质
（1）若 x = −2是函数 f ( x) 的极值点,求 k 的值及 f ( x) 的单调区间；
（2）若函数 f ( x) 在0, 2 上有且仅有 2 个零点,求 f ( x) 在0, 2 上的最大值 g (k ) .
的图象应为上图中的（1）、（3）、（5）三种情况；而当 a 为负时,原函数的图象则为（2）、（4）、（6）三种情
况.当 0 时,二次方程 f (x) = 0 有两相异实根 x1 , x2 ,且在 x1 , x2 的两边 f (x) 的符号相反,故函数 f (x) 存
在两个极值点,图象为上图中的（3）、（4）两种；当 = 0 时,二次方程 f (x) = 0 有两相等实根,且在根的两
三次函数 f (x) = ax3 + bx2 + cx + d (a 0) 的图象有六种,如图：
200
200
f(x) 0
200
10
0
x
200
f(x) 0
200
10
0
x
200
f(x) 0
图(1)
10
图(3)
10
图(5)
f(x) 0 200 10
图(2)
0
10
x
200
f(x) 0 200 10
200 f(x) 0
三次函数的性质
一、考情分析 函数与导数一直是高考中的热点与难点, 我们知道二次函数是重要的且具有广泛应用的基本初等函数,,学生 对此已有较为全面、系统、深刻的认识,并在某些方面具备了把握规律的能力,由于三次函数的导数是二次函 数,使得我们可以利用二次函数研究三次函数的图象与性质,这使得三次函数成为高考数学的一大亮点. 二、解题秘籍 (一) 三次函数的图象与性质
高中数学常见幂函数、二次函数、三次函数的图象及其性质
（3）当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，所以函数 的最大值为 或 ，最小值为 .
（1）当 时， 在 上单调递增，所以函数 的最大值为 ，最小值为 ；
（2）当 时， 在 上单调递减，所以函数 的最大值为 ，最小值为 ；
（3）当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，所以函数 的最大值为 ，最小值为 或 .
单调增区间为： 和 ；
单调减区间为：
在R上单调递增
单调增区间为：
单调减区间为： 和
在R上单调递减
三次函数的图象和性质
定 义
我们把形如 的函数，称为三次函数.
导 数
判别式
我们把 叫做三次函数的导函数 的判别式.
极值点
当 时，导函数 有两个零点，原函数 有两个极值点，不妨记为 、 ，且 .
拐 点
令三次函数 的二阶导数 ，即 ，解得 ，我们把点 叫做三次函数的拐点.
图 象
定义域
R
值 域
R
对称中心
单调性
高中常见幂函数的图象和性质
定义
形如 的函数（其中 是常数， 是自变量）称为二次函数.
常见的五种幂函数图象
性质
（1）当幂指数 为奇数时，幂函数为奇函数；当幂指数 为偶数时，幂函数为偶函数.
（2）当 时，幂函数的图象都过 、 点，且在 上单调递增；
（3）当 时，幂函数的图象都过 点，不过 点，且在 上单调递减；
（4）在直线 的右侧，幂指数 越大，图象越高.
幂函数
定义域
单调增区间
单调减区间
无
和
无
无
无
二次函数的图象和性质
三次函数的图象与性质
解：（1）由原式，得 = 3 − 2 − 4 + 4，
∴ ′ = 3 2 − 2 − 4.
1
1
（2）由′ −1 = 0，得 = 2.此时有 = ( 2 − 4)( − 2)，
′ = 3 2 − − 4.
4
令′ = 0，得 = 3或 = −1
= −
求导：’ = 3 2 − 3 = 3( + 1)( − 1)
令’ = 0，则 = ±1.
列表：
−∞, −
−
−,
, +∞
’
+
0
−
0
+
增
极大
减
极小
增
y
y
o
−1
x
1
′ 图象
x
o
−1
1
图象
探究二：三次函数 = 3 + 2 + + ( ≠ 0)在R上
2 + 12 ≤ + 6,
由题意可知，1 ≥ −2， 2 ≤ 2，即൝
2 + 12 ≤ 6 − .
解不等式组，得−2 ≤ ≤ 2.
优解：因为′ = 3 2 − 2 − 4的图象是开口向上且过点(0,4)
的抛物线，
4 + 8 ≥ 0,
由条件，得′ −2 ≥ 0, ′ 2 ≥ 0,即ቊ
解：（1） ′ = 3 2 − 3 = 3( 2 − )
当 < 0时，对，有′ > 0，所以 的单调增区间为(−∞, +∞)；
当 > 0时，由′ > 0，解得 < − 或 > ；由′ < 0，解得− < <
11三次函数的性质及其简单应用
所以 1 2 c 3c 或 1 2 c 3c 解之得 0 c 7 4 3或c 7 4 3 7 4 3 ） 故所求c的范围是（0， （ 7 4 3， ）
例5 设
a为实数，函数 f ( ) 的极值； 在什么范围内取值时，曲线 y f ( x)与 x 轴仅有一个交点 （2）当 2 解：(1) f ( x ) 3 x 2 x 1 1 5 f ( x ) f ( ) a ， 极小值是 f (1) a 1 ∴ 的极大值是 3 27 (2)函数
南京一中
孔凡海
由二次函数类比三次函数的图象和性质
二次函数
y ax2 bx c
三次函数
y ax3 bx2 cx d
图象特征 单调性 对称性
a 0 开口向上 a 0 开口向下
单调区间2个 对称轴 x
b 2a
a 0 朝向右上 a 0 朝向右下
单调区间1个或3个
所以
y ax3 bx2 cx d (a ≠0)，函数的对称中心是（
b b ，f ( ) ）。 3a 3a
3 2 f ( x ) ax bx cx d (a ≠0是中心对 ) 性质3：函数 b b ， f ( ) ）。 称图形，其对称中心是（ 3a 3a
尽管如此，我们还要进一步加强对三次函数 的单调性、极值、对称性、图象变化规律、切线 方程等性质的研究，这也有助于提高知识的系统 性以及对三次函数的理解水平，拓宽解题思路。
解：（I）(b 1) 4c 3 2 2 （II）因为 F ( x) f ( x) g( x) x 2bx (b c) x bc ，2 3 x 4bx b 2 c 0 所以F（x）的导方程为：
第37讲 三次函数的图像与性质(学生版)
第37讲三次函数的图像与性质三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)具有丰富的性质，利用导数研究这些性质，其研究的过程与方法具有普遍性,一般性和有效性,可以迁移到其他函数的研究中．本专题主要研究三次函数的单调性,极值,最值,对称性等,并在研究的过程中体会数形结合,分类与整合,化归与转化等思想方法.1.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a,b,c,d∈R),设直线l1,l2分别是曲线y＝f(x)的两条不同的切线,若函数f(x)为奇函数,且当x＝1时f(x)有极小值为－4.①求a,b,c,d的值；②若直线l3亦与y＝f(x)相切,且三条不同的直线l1,l2,l3交于点G(m,4),求实数m的取值范围.2.已知函数f(x)＝x3－tx2＋1,求证：对任意实数t，函数f(x)的图像总存在两条切线相互平行.3.已知函数32()3f x x x ax =-+()a ∈R ，()|()|g x f x =．（1）求以(2,(2))P f 为切点的切线方程，并证明此切线恒过一个定点；（2）若()g x kx ≤对一切[0,2]x ∈恒成立，求k 的最小值()h a 的表达式；（3）设0a >，求()y g x =的单调增区间．4.已知函数f(x)＝2x3－ax2＋b.(1)讨论f(x)的单调性；(2)是否存在a,b,使得f(x)在区间[0,1]的最小值为－1且最大值为1？若存在,求出a,b的所有值；若不存在,说明理由．5.已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值，且导函数'()f x 的极值点是()f x 的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：33b a >；（3）若(),'()f x f x 这两个函数的所有极值之和不小于72-，求a 的取值范围．。
三次函数的性质和图像
投资决策分析：在金融领域，三次函数可以用于分析投资组合的风险和回 报，以及股票价格的预测。
资源分配问题：在资源分配问题中，三次函数可以用来解决如何将有限的 资源分配到各个领域，以最大化整体效益的问题。
在其他领域的应用
物理学：三次函数在描述物理现象和解决物理问题中有着广泛的应用，例如振动、波动、 热传导等。
经济学：三次函数在经济学中用于描述经济现象和预测经济趋势，例如预测股票价格、 消费需求等。
生物学：三次函数在生物学中用于描述生长曲线、繁殖率等，例如描述细菌生长、动物 繁殖等。
计算机科学：三次函数在计算机科学中用于图像处理、信号处理等，例如图像的缩放、 旋转和平移等。
05
三次函数与其他函数的 比较
感谢您的观看
汇报人：XX
单调性
单调递增：当导数大于0时，函数在对应区间内单调递增 单调递减：当导数小于0时，函数在对应区间内单调递减 单调性的判断：通过求导数并分析导数的符号来判断单调性 单调性的应用：利用单调性研究函数的极值、最值等问题
极值点
极值点的定义：三次函数图像上函数值发生变化的点 极值点的位置：函数图像上凹凸部分的分界点 极值点的求法：通过导数求出极值点的横坐标，再代入原函数求出纵坐标 极值点的性质：极值点处的函数值大于或小于其邻近点的函数值
与指数函数的比较
定义域：三次函数 定义域为全体实数， 而指数函数定义域 为正实数
函数值：三次函数 在定义域内连续且 可导，而指数函数 在定义域内连续但 不可导
单调性：三次函数 可以具有单调递增 、递减或先增后减 等变化趋势，而指 数函数在定义域内 单调递增
奇偶性：三次函数 既可能是奇函数也 可能是偶函数，而 指数函数是偶函数
三次函数图像与性质(解析版)
专题2-2三次函数图像与性质【题型1】求三次函数的解析式【题型2】三次函数的单调性问题【题型3】三次函数的图像【题型4】三次函数的最值、极值问题【题型5】三次函数的零点问题【题型6】三次函数图像，单调性，极值，最值综合问题【题型7】三次函数对称中心【题型8】三次函数的切线问题【题型9】三次函数根与系数的关系1/342/34【题型1】求三次函数的解析式（1）一般式：()³²f x ax bx cx d =+++（a ≠0）（2）交点式：()123()()()f x a x x x x x x =---（a ≠0）1．若三次函数()f x 满足()()()()00,11,03,19f f f f ''====，则()3f =（）A ．38B ．171C ．460D ．965【解析】待定系数法，求函数解析式设()³²f x ax bx cx d =+++，则()232f x ax bx c '=++，由题意可得：()()()()0011031329f d f a b c d f c f a b c ⎧==⎪=+++=⎪⎨==⎪⎪=+'=⎩'+，解得101230a b c d =⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=⎩，则()3210123f x x x x =-+，所以()32310312333171f =⨯-⨯+⨯=.【题型2】三次函数的单调性问题三次函数是高中数学中的一个重要内容，其考点广泛且深入，主要涉及函数的性质、图像、最值、零点以及与其他函数的综合应用等方面。
以下是对三次函数常见考点的详细分析：1.三次函数的定义与形式∙定义：形如f (x )=ax 3+bx 2+cx +d （其中a ≠=0）的函数称为三次函数。
∙形式：注意系数a ,b ,c ,d 的作用，特别是a 的正负决定了函数的开口方向（a >0开口向上，a <0开口向下）。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
的根的个数
x x
x1 x2
a 0时
x x x
x x x
x0
1个交点 2个交点 3个交点
有且只有 1个交点
探究二 三次方程根的问题 • 三次方程与三次函数有何关系？
• 只画x轴，画出有一根、两根、三根各种情 况图象大致形状，标注相应的a与△的取值 限制条件 • 由图像分析，探究a＜0时，三次方程 ax3+bx2+cx+d=0，有一根、两根、三根的 问题，你有哪些方法？
若方程ax3 bx2 cx d 0,
a 0呢？
如 -x3+6x2-9x+10=0
方法一: 转化为a>0利用图像 方法二: 利用图象
x0
2： 已知函数 f ( x) x ax 3x, a R
3 2
（1）若 f (1) 0 ,关于 x 的方程 f ( x) k 恒有3个不等实根，求实数K的取值范围( 高考题节选)
分析：由 f 1 0 a 0
借助导数工具画原函数图像的大致形状，数形结
合得到K的取值范围
课堂练习:
已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象 / 如图所示 则f ( x ) 0的解集？
1 2
x
（-∞，1）∪（2，+∞）
本课小结
1、利用导数研究三次函数的图象和性质 2、利用图象与性质解决什么问题？ (1)单调性、极值、最值问题； (2)讨论三次方程根的问题； 3、思想方法：
2 2
a>0 Δ >0 Δ ≤0 Δ >0
a<0 Δ ≤0
x
x1 x2
x
x0
x x1 x2xx0(一) 三次函数的图像
f ( x) ax bx cx d的图象和性质
3 2
a 0时
f ( x) 3ax 2bx c
' 2
4b -12ac 4(b -3ac)
2 2
x2
三 次 函 数 的 图 象 和 性 质
Δ>0
图象
Δ≤0
x x
1
2
x1
x2
极值
单调 区间
极大值f(x1) 极小值f(x2) (-∞,x1),(x2,+∞) (x1,x2)
无极值
x0
(-∞,+∞)
总结:
a 0时
Δ>0 Δ≤0
图象
x x
1
2
x1
x2
x0
极值 单调 区间
极小值f(x1) 极大值f(x2) (-∞,x1),(x2,+∞) (x1,x2)
数形结合,函数与方程，
分类讨论，转化思想
作业：
1.设函数f（x）=x3-x2+（a+1)x+1，其中a为 实数 （Ⅰ）已知函数f（x）在x=1处取得极值，求 a的 （Ⅱ）已知不等式f (x)>x2-x-a+1对任意a∈ （0，+∞）都成立，求实数x的取值范围。 2.a为何值时，方程x3-3x2-a=0恰有一个实根、 两个实根、三个实根，有没有可能无实根？
f ( x) x 3x
3
f ( x) ax bx cx d的图象呢？
2
探究一：初识三次函数图象形状
• 观察几何画板中几个三次函数图象，思考下列问 题
三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象
f ( x) 3ax 2bx c
' 2
4b -12ac 4(b -3ac)
三次函数图像与性质（1）
复习:二次函数的图象与性质
函数 二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数a≠0） a>o
y
o x o
y
o x
a<0
0
y
y
x
图 象
0 0
o
y
x
y o x
o
x
讲授新课
1.类比二次函数，三次函数一般式是怎样？
形如y ax3 bx 2 cx d (a 0)
无极值 (-∞,+∞)
3+bx2+cx+d的 已知三次函数 f(x) ＝ ax 思考 导函数/(x)的图象如右图所示,则y =f (x)
的图象最有可能的是
y
C
y y y
2
O
y
1
2
x
O x
1 2 x
O
1
2
x
O
1
2
x
O 1
A
B
C
D
探究二 三次方程根的问题
讨论方程ax bx cx d 0(a 0)
2.我们如何研究三次函数的图象和性质？
f ( x) 3ax 2bx c
2
4b -12ac 4(b -3ac)
2 2
例1.画出下列函数草图
f ( x) x
3
f ( x) x 3 x
3
f ( x) x
3
3
C:\Users\Public\D esktop\几何画板 .lnk