两条直线的相交
两条直线的交点坐标与距离公式
l1上一点，设其关于l的对称点为（x，y），则
{ x + 0 - y - 2-1=0，
22
y +2 ×1
=-1,
x
{ x=-1，
得
即（1，0），
y=-1.
（-1，-1）为l2上两点，可得l2的方程为x-2y-1=0.
故应选B.）
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考点四 直线系方程的应用 求经过直线l1:3x+2y-1=0和l2:5x+2y+1=0的交点,且垂 直于直线l3:3x-5y+6=0的直线l的方程.
两直线的交点坐标与 距离公式
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一、两直线的交点
已知两条直线l1:A1x+B1y+C1=0与 l2:A2x+B2y+C2=0的交点坐标对应的是方程组
{A1x+B1y+C1=0 A2x+B2y+C2=0
的解，
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其中①当A1B2-A2B1≠0时,两条直线 相交于一点 ， ② 当条A直1线B2无-A交2B点1=,0即且A1C2-A2平C1行≠，0③（当或AB11BC22--AB22BC11=≠00且）A时1,C两2A即2C1=0(或重B合1C. 2-B2C1=0)时,两条直线有无数个公共点,
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＊对应演练＊
求过点P（-1，2）且与点A（2，3）和B（-4，5）距离 相等的直线l的方程.
解法一:设直线l的方程为y-2=k(x+1),
即kx-y+k+2=0.由题意知
| 2k - 3 + k + 2 | =
| -4k - 5 + k + 2 |
相交线定理
相交线定理相交线定理是平面几何中一个基本的定理，它描述了在一个平面内，两条相交的直线和它们所形成的相交角之间的关系。
这个定理在解决几何问题中经常被使用，对于理解平面几何的基本性质非常重要。
相交线定理可以简单地表述为：当两条直线相交时，所形成的相交角互补。
换句话说，两条相交线所形成的相交角的两个补角之和为180度。
为了更好地理解这个定理，我们需要先了解几个相关的概念。
首先是直线的基本性质。
直线是由一系列无数个点组成的，它没有长度、宽度和厚度，是几何中最基本的元素之一。
直线可以延伸到无穷远，可以延伸到任意远的距离。
另一个相关概念是角。
角是由两条射线共享一个端点所形成的图形。
我们通常用大写字母来表示角，如∠ABC。
角的度量是通过两条射线的夹角来确定的，单位通常是度（°）或弧度（rad）。
当两条直线相交时，它们会形成四个相邻的角，这四个相邻角被称为相交角。
相交线定理告诉我们，这四个相交角两两互补。
如果我们将其中一个相交角记作∠ABC，那么它的补角就是∠CBD。
根据相交线定理，∠ABC和∠CBD的度数之和为180度。
相交线定理可以通过简单的图示进行证明。
假设有两条相交的直线AB和CD，它们相交于点E。
通过构造垂直于AB的直线EF和垂直于CD的直线EG，我们可以得到两组相互垂直的角。
首先考虑∠AED和∠CEG。
由于EF和EG相互垂直，所以∠AED和∠CEG是相互补的角。
同样地，由于EF和EG也是垂直于相交线AB和CD上的点，所以∠BEC和∠DEG也是相互补的角。
根据角和补角的概念，我们可以得出∠AED+∠CEG=180度以及∠BEC+∠DEG=180度。
由此可见，通过构造垂直线和应用相交线定理，我们可以得到两组相互补的角之间的关系。
这个定理在解决各种几何问题中非常有用。
相交线定理在实际问题中的应用非常广泛。
在平面几何中，我们经常会遇到需要计算两条相交线的相交角度的问题。
在建筑、设计以及其他领域中，了解相交线定理可以帮助我们更好地理解和分析各种图形的属性和特征。
相交与垂直的知识点
相交与垂直的知识点相交与垂直是几何学中常见的概念，它们描述了图形之间的关系和性质。
相交与垂直的概念对于解决几何问题和理解空间关系非常重要。
本文将详细介绍相交和垂直的定义、性质以及应用。
一、相交的定义与性质相交是指两个或多个线、线段、射线、直线或曲线在一个点或一条线上相遇的情况。
相交的概念是几何学中最基本的概念之一。
1. 直线相交：当两条直线交于一个点时，它们被称为相交直线。
相交直线的性质包括：相交直线上的点是两条直线的公共点；相交直线上的点将两条直线分成两个相邻的角，这两个角被称为相邻角。
2. 平行线相交：当两条平行线被一条直线截断时，它们被称为相交平行线。
相交平行线的性质包括：两条相交平行线的交点与这两条平行线上的任意一点连线，这条连线既垂直于这两条平行线，也垂直于它们的公共垂线。
3. 线段相交：当两个线段有公共点时，它们被称为相交线段。
相交线段的性质包括：如果两个线段相交，那么它们的交点是两个线段的公共点。
4. 射线相交：当两个射线有公共点时，它们被称为相交射线。
相交射线的性质包括：如果两个射线相交，那么它们的交点是两个射线的公共点。
二、垂直的定义与性质垂直是指两条直线、线段、射线或曲线在一个点上相交，并且交角为90度。
垂直的概念是几何学中常见的关系之一。
1. 垂直直线：当两条直线相交且交角为90度时，它们被称为垂直直线。
垂直直线的性质包括：垂直直线上的点将两条直线分成两组相等的相邻角，这两组相邻角互补。
2. 垂直线段：当两个线段相交且交角为90度时，它们被称为垂直线段。
垂直线段的性质包括：垂直线段的交点是两个线段的公共点，垂直线段的长度相等。
3. 垂直射线：当两个射线相交且交角为90度时，它们被称为垂直射线。
垂直射线的性质包括：垂直射线的交点是两个射线的公共点，垂直射线的角度相等。
三、相交与垂直的应用相交与垂直的概念在几何学中有着广泛的应用，下面将介绍几个常见的应用场景。
1. 建筑设计中的垂直：在建筑设计中，垂直是指墙壁与地面垂直相交。
两直线交点系方程
两直线交点的系方程在平面解析几何中，给定两条直线的方程，我们可以求解这两条直线的交点坐标。
本文将介绍如何通过求解两直线的方程来得到交点坐标，并给出具体的求解过程。
1. 平面直线方程在平面直角坐标系中，一条直线可以用一般形式的方程表示为：Ax + By + C = 0其中A、B、C为常数，且A和B不同时为0。
此方程为直线的一般方程，也称为一般式。
直线方程也可以用斜截式表示，即：y = kx + b其中k为直线的斜率，b为直线在y轴上的截距。
2. 两直线交点的求解给定两条直线的一般式方程如下：A1x + B1y + C1 = 0A2x + B2y + C2 = 0我们要求解这两条直线的交点坐标。
首先，我们可以将其中一条直线的方程代入另一条直线的方程中，得到一个只含有一个变量的一元一次方程：A1x + B1(-A2x/C2 - B2/C2) + C1 = 0将上式整理得：(A1 - A1*A2/C2)x + (B1 + B1*B2/C2)x + C1 = 0令A = A1 - A1A2/C2，B = B1 + B1B2/C2，C = C1，上式可化简为：Ax + By + C = 0此方程表示两直线的交点。
为了求解交点坐标，我们可以令x为任意实数，然后通过计算y的值得到对应的坐标。
3. 求解交点坐标的示例假设给定两条直线的方程如下：2x + 3y + 4 = 04x - 5y + 6 = 0我们将第一条直线的方程代入第二条直线的方程，得到：4x - 5y + 6 = 0将上式整理，得到：4x + 6 = 5y进一步整理，得到：y = (4x + 6) / 5现在我们有了交点方程中的y的表达式。
我们可以令x为任意实数，计算对应的y值，从而得到交点坐标。
例如，当x = 1时，计算可得：y = (4(1) + 6) / 5 = 2因此，当x = 1时，交点的坐标为(1, 2)。
同理，我们可以计算得到其他点的坐标。
平面几何中的相交关系
平面几何中的相交关系在平面几何中，相交是一个重要的概念。
相交关系涉及到直线、线段、射线和平面之间的交集，对于研究平面图形的性质和特点非常关键。
本文将以直线和线段为例，探讨平面几何中的相交关系。
一、直线的相交关系直线的相交关系主要有三种情况：相交、平行和重合。
1. 相交：当两条直线在平面上有一个公共点时，我们称它们相交。
相交的直线可以交于一点，形成一个交点，也可以交于无数个点，形成一条共线的直线。
两条相交的直线所在的平面不一定是同一个平面。
2. 平行：如果两条直线在平面上没有任何一个公共点，那么它们是平行的。
平行的直线在平面上永远不会相交，它们的斜率相等但不相交。
平行直线所在的平面平行于它们。
3. 重合：如果两条直线所在的直线重合，那么它们是重合的。
换句话说，它们是同一条直线，有无数个公共点。
重合的直线在平面上完全重合，没有任何的区别。
二、线段的相交关系线段相交的关系也存在相交、平行和重合三种情况。
1. 相交：当两个线段在平面上有一个公共点时，我们称它们相交。
相交的线段可以交于一个点，也可以交于一部分，形成一条交叉线段。
2. 平行：如果两个线段在平面上没有任何一个公共点，那么它们是平行的。
平行的线段在平面上永远不会相交，它们的长度可能相等也可能不等。
3. 重叠：如果两个线段在平面上的某一部分完全重合，那么它们是重叠的。
重叠的线段长度完全相等。
除了相交、平行和重合，线段还可以存在其他特殊的相交关系。
1. 内含：当一个线段完全包含在另一个线段内部时，我们称它们为内含关系。
被包含的线段称为内线段，包含的线段称为外线段。
2. 交叉：当两个线段互相交叉，但没有一个线段完全包含另一个线段时，我们称它们为交叉关系。
3. 相离：当两个线段没有任何公共点时，我们称它们为相离关系。
通过研究直线和线段的相交关系，我们可以推导出平面几何中更复杂图形的相交关系。
平面几何的相交关系对于解决几何问题和证明几何定理都具有重要意义。
两条直线相交方程
两条直线相交方程
两条直线相交方程是如何求解的？在平面直角坐标系中，两条不平行的直线必定相交于一点，我们可以通过求解两条直线的方程得到这个交点的坐标。
具体的求解方法如下：
设两条直线的方程分别为 y = k1x + b1 和 y = k2x + b2，其中 k1 和 k2 分别为两条直线的斜率，b1 和 b2 分别为它们在 y 轴上的截距。
因为两条直线相交于一点，所以它们在交点处的横坐标和纵坐标必定相等，即有：
k1x + b1 = k2x + b2
移项得：
(k1 - k2)x = b2 - b1
解得：
x = (b2 - b1) / (k1 - k2)
将求得的 x 带入其中一条直线的方程中，即可求得交点的纵坐标 y，即：
y = k1x + b1 或 y = k2x + b2
综上所述，我们可以通过求解两条直线的方程，得到它们的交点坐标。
- 1 -。
两条直线相交角的位置关系
两条直线相交角的位置关系
两条直线相交角的位置关系是指两条直线在平面或空间中相交时，它们所形成的交角的大小和方向。
1．角度大小：两条直线相交形成的角度大小取决于它们的方向。
如果两条直线相互垂直，那么它们所形成的角度是90度或者270度。
如果两条直线相互平行，那么它们所形成的角度是0度或者360度。
2．角度方向：两条直线相交形成的角度方向取决于它们的相对位置。
如果两条直线从同一方向出发，那么它们所形成的角度方向是从大到小的。
如果两条直线从相反方向出发，那么它们所形成的角度方向是从小到大的。
3．角度变化：两条直线相交形成的角度大小和方向会随着它们的位置变化而变化。
例如，如果两条直线相互靠近，那么它们所形成的角度就会减小。
如果两条直线相互远离，那么它们所形成的角度就会增大。
总的来说，两条直线相交角的位置关系是由它们的方向、相对位置和位置变化决定的。
几何中的相交线与平行线
几何中的相交线与平行线几何学是数学的重要分支，研究了空间和形状的性质。
在几何学中，相交线和平行线是两个基本概念，它们在我们的日常生活中随处可见，也在各个领域的应用中起着重要作用。
一、相交线相交线是在几何平面上相交的两条直线。
这里有三种不同的相交情况：1. 相交于一点：当两条直线有一个交点时，我们称它们相交于一点。
这是最常见的相交情况，例如两条自行车道相交形成的十字路口，两根电线杆交叉形成的交叉电线等等。
2. 相交于无穷点：两条平行直线永远不会相交于有限点，但它们可以相交于无限远处，我们称之为相交于无穷点。
这种情况在平行铁路轨道、平行电子线路等场景中常见。
3. 相交于无交点：如果两条直线在平面上没有任何一个交点，则称它们相交于无交点。
两条垂直直线就是一个典型的例子。
相交线的性质和定理在几何学中被广泛应用。
比如，垂直相交的线段得到的交点为直角；两条平行线被一条横切线相交时，内对角线互为补角等等。
二、平行线平行线指在同一平面上，永远不会相交的两条直线。
平行线具有以下特点：1. 任意一对平行线的斜率相等。
斜率是直线的特性之一，代表了直线上单位纵坐标对应的单位横坐标长度。
2. 平行线的内角和外角相等。
这是平行线的基本性质之一，也是在解析几何和实际问题中应用较多的性质。
3. 平行线可以通过使用平行符号“||”来表示。
例如，我们常见的两条平行线在数学表达上可以写为AB || CD，其中AB和CD分别代表两条直线。
平行线的应用广泛，尤其在建筑学、地理学、电路设计等领域中。
例如，在建筑设计中，平行线可以用来保证建筑物的结构平稳和装饰美观；在电路设计中，平行线排列可以减少电路中的干扰，提高电路的效率。
结论几何中的相交线与平行线是重要的概念，它们在几何学和现实生活中都有广泛的应用。
相交线可以分为相交于一点、相交于无穷点和相交于无交点三种情况；而平行线是指永远不会相交的两条直线，并且具有特定的性质和符号表示。
了解相交线和平行线的性质和应用，不仅有助于我们更好地理解几何学的知识，还能帮助我们在解决实际问题时做出正确的分析和判断。
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4.设 l1 的倾斜角为 , 0, ， l1 绕其上一点P 2
l 沿逆时针方向旋转 角得直线 l 2 ， 2 的纵截距
为-2，绕P沿逆时针方向旋转
线 l3 : x 2 y 1 直
例题巩固
分析:
求直线 BC，是否一定要知道 B, C
两点的坐标呢？
例 4、已知点 M（3，5） ，在直线 l : x 2 y 2 0 和
y 轴上找一点 P 和 Q，使 MPQ 的周长最小
光线通过点A(2,3)，在直线l：x＋y＋1＝0上反射，反
射光线经过点B(1,1)，试求入射光线和反射光线所在 直线的方程．
题3、若直线 l 的斜率为 3 ，则 l 关于直线 3 y x 对称的直线l 斜率是 3 。 1 变式1、直线l : y x 1，则 l 关于直线 2 2 y x 对称的直线 l 方程是 y 2x 。
变式2、直线 l : y x 1，则 l 关于直线
y x 对称的直线l 方程是 y x 1 。
中线 AD所在直线方程为 2 x 3 y 1 0，
求 AC的长。
变式2、已知△ABC的顶点A(3，-1)，AB边上的中线所在 直线方程为6x+10y-59=0，∠B的平分线所在直线的方程 为：x-4y+10=0，求BC边所在的直线的方程.
例2.在直角坐标系中，射线OA : x y 0 x 0 ，
OB : 3x 3 y 0 x 0 ，过点P（1，0）作直线
l 分别交射线于点A，B。
（1）当AB的中点为P时，求直线AB的方程。
（2）当AB的中点在直线上时，求直线AB的方程。
例3 已知 y 2 x是 ABC 中C 的内角平分 线所在直线的方程，设 A(4, 2), B(3,1) 。 ⑴求点 A关于 y 2 x 的对称点 P的坐标； ⑵求直线 BC的方程； ⑶判断ABC 的形状。
例1、正方形一个顶点的坐标为A(1, 2)，中 心坐标为O(1, 1)，求它的四边所在的直线 方程。
已知三角形的两个顶点是B (2,1)、 C (6, 3), 垂心是H (-3, 2), 求第三个顶A的坐 标。
变式： ABC 的顶点 B(3, 4)， 边上的高CE AB
所在直线方程为2 x 3 y 16 0， 边上的 BC
已知直线l1：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，求： (1)点A关于直线l1的对称点A′的坐标； (2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l1的对称直线l2 的方程．
课后反思
1、直线是解析几何中最基本的元素，强化设 直线的方法与注意斜率存在性。
2、处理解析几何问题时，要善于利用几何图 形的图形特征，简化计算。 3、认识到直线相交与解一元二次方程组的关 系，体会方程是直线的方程，直线是方程的 直线。
第42讲 两条直线的相交
诊断练习
题1 两条直线 ax 2ay 1 0 和
(a 1) x (a 1) y 1 0 相互垂直，则垂足的
坐标为
2 7 ( , ) 15 30 。
题2 经过直线 2 x 3 y 7 0 与 7 x 15 y 1 0 的交点，且平行于直线 x 2 y 3 0 的直 线方程是 3x 6 y 2 0 。