高考数学专题17 三次函数的图像与性质(原卷版)
高考数学函数的图像专题卷
高考数学函数的图像专题卷一、单选题（共28题；共56分）1. ( 2分) （2020高三上·兴宁期末）函数y＝xcos x＋sin x的图象大致为( )．A. B.C. D.2. ( 2分) （2021高三上·宝安月考）函数的图象大致为（）A. B.C. D.3. ( 2分) （2021高三上·河南月考）函数的大致图象为（）A. B.C. D.4. ( 2分) （2021高三上·河北期中）函数的图象大致为（）A. B.C. D.5. ( 2分) （2021高三上·湖北期中）函数的图象大致为（）A. B.C. D.6. ( 2分) （2021·芜湖模拟）函数的部分图象可能为（）A. B.C. D.7. ( 2分) （2020高三上·天津月考）函数的图象大致是（）A. B. C. D.8. ( 2分) 函数的图象大致为（）A. B.C. D.9. ( 2分) （2020高三上·杭州期中）函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.10. ( 2分) （2021高三上·赣州期中）已知函数，则函数的大致图象为（）A. B.C. D.11. ( 2分) （2021高三上·湖州期中）函数的图象可能是（）A. B. C. D.12. ( 2分) （2021高三上·金华月考）已知，函数，，则图象为上图的函数可能是（）A. B. C. D.13. ( 2分) （2021高三上·杭州期中）函数的图象可能是（）A. B.C. D.14. ( 2分) （2021高三上·陕西月考）在同一直角坐标系中，函数，，（，且）的图像可能是（）A. B.C. D.15. ( 2分) （2021高三上·贵州月考）函数f（x）= 的大致图象不可能是（）A. B.C. D.16. ( 2分) （2020高三上·温州月考）函数的图像可能是（）A. B.C. D.17. ( 2分) （2021·四川模拟）函数及，则及的图象可能为（）A. B.C. D.18. ( 2分) 已知函数f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）在R上是奇函数，且是增函数，则函数g（x）=log a （x﹣k）的大致图象是（）A. B. C. D.19. ( 2分) （2021高三上·重庆月考）函数的大致图象如图所示，则a，b，c 大小顺序为（）A. B. C. D.20. ( 2分) （2021·株洲模拟）若函数的大致图象如图所示，则（）A. B. C. D.21. ( 2分) （2020高三上·浙江开学考）已知函数的图像如图所示，则下列判断正确的个数是（）（1），（2），（3），（4）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个22. ( 2分) 如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，﹣），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（）A. B.C. D.23. ( 2分) （2021·新乡模拟）如图，在正方形中，点M从点A出发，沿向，以每2个单位的速度在正方形的边上运动；点N从点B出发，沿方向，以每秒1个单位的速度在正方形ABCD的边上运动.点M与点N同时出发，运动时间为t(单位：秒)，的面积为(规定共线时其面积为零，则点M第一次到达点A 时，的图象为（）A. B.C. D.24. ( 2分) （2017高三上·九江开学考）如图，圆C：x2+（y﹣1）2=1与y轴的上交点为A，动点P从A点出发沿圆C按逆时针方向运动，设旋转的角度∠ACP=x（0≤x≤2π），向量在=（0，1）方向的射影为y（O为坐标原点），则y关于x的函数y=f（x）的图象是（）A. B.C. D.25. ( 2分) 在边长为1的正方体中，E，F，G，H分别为A1B1，C1D1，AB，CD的中点，点P从G出发，沿折线GBCH匀速运动，点Q从H出发，沿折线HDAG匀速运动，且点P与点Q运动的速度相等，记E，F，P，Q四点为顶点的三棱锥的体积为V，点P运动的路程为x，在0≤x≤2时，V与x的图象应为（）A. B. C. D.26. ( 2分) 如图，正△ABC的中心位于点G（0，1），A（0，2），动点P从A点出发沿△ABC的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度∠AGP=x（0≤x≤2π），向量在=（1，0）方向的射影为y（O为坐标原点），则y关于x的函数y=f（x）的图象是（）A. B.C. D.27. ( 2分) （2013·江西理）如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，l∥l1，l与半圆相交于F，G两点，与三角形ABC两边相交于E，D两点．设弧的长为x（0＜x＜π），y=EB+BC+CD，若l从l1平行移动到l2，则函数y=f（x）的图象大致是（）A. B.C. D.28. ( 2分) （2016高三上·崇明期中）如图所示的图形是由一个半径为2的圆和两个半径为1的半圆组成，它们的圆心分别为O，O1，O2．动点P从A点出发沿着圆弧按A→O→B→C→A→D→B的路线运动（其中A，O1，O，O2，B五点共线），记点P运动的路程为x，设y=|O1P|2，y与x的函数关系为y=f （x），则y=f（x）的大致图象是（）A. B.C. D.答案解析部分一、单选题1.【答案】D【考点】函数的图象【解析】【解答】由于函数y=xcosx+sinx为奇函数，故它的图象关于原点对称，所以排除B，由当时，y=1>0，当x=π时，y=π×cosπ+sinπ=−π<0.由此可排除A和C，故正确的选项为D.故答案为：D.【分析】利用奇函数的定义证出函数为奇函数，再利用奇函数的图象关于原点对称的性质结合特殊值法及函数值与0的大小关系，再利用排除法得出函数y＝xcos x＋sin x的大致图象。
2023年高考数学一轮复习考点微专题新高考地区专用考向17任意角、弧度制及任意角的三角函数(解析版)
考向17 任意角、弧度制及任意角的三角函数【2022·全国·高考真题（理）】沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB 是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是AB 的中点，D 在AB 上，CD AB ⊥．“会圆术”给出AB 的弧长的近似值s 的计算公式：2CD s AB OA=+．当2,60OA AOB =∠=︒时，s =（ ）A 1133-B 1143-C 933-D 943-【答案】B【解析】解：如图，连接OC ， 因为C 是AB 的中点， 所以OC AB ⊥，又CD AB ⊥，所以,,O C D 三点共线， 即2OD OA OB ===， 又60AOB ∠=︒， 所以2AB OA OB ===， 则3OC =23CD = 所以(2223114322CD s AB OA -=+=+=故选：B ．【2021·北京·高考真题】若点(cos ,sin )A θθ关于y 轴对称点为(cos(),sin())66B ππθθ++，写出θ的一个取值为___．【答案】512π（满足5,12k k Z πθπ=+∈即可）【解析】(cos ,sin )A θθ与cos ,sin 66B ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭关y 轴对称，即,6πθθ+关于y 轴对称，2,6k k Z πθθππ++=+∈，则5,12k k Z πθπ=+∈， 当0k =时，可取θ的一个值为512π． 故答案为：512π（满足5,12k k Z πθπ=+∈即可）．（1）利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数()k k Z ∈赋值来求得所需的角． （2）确定()*,k k N kαα∈的终边位置的方法 先写出k α或k α的范围，然后根据k 的可能取值确定k α或kα的终边所在位置． （3）利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P 的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出角α终边的位置．（4）判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．v三角函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号sin α R ＋ ＋ － －cos αR ＋ － － ＋tan α,2k k Z πααπ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭∣＋ － ＋ －1．角的概念（1）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．（2）所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是{}Z k k S ∈+︒⋅==，αββ360． （3）象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．（4）象限角的集合表示方法：2．弧度制（1）定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．（2）角度制和弧度制的互化：rad 180π=︒，rad 1801π=︒，π︒=180rad 1．（3）扇形的弧长公式：r l ⋅=α，扇形的面积公式：22121r lr S ⋅==α．3．任意角的三角函数（1）定义：任意角α的终边与单位圆交于点)(y x P ，时，则y =αsin ，x =αcos ，)0(tan ≠=x xyα． （2）推广：三角函数坐标法定义中，若取点P )(y x P ，是角α终边上异于顶点的任一点，设点P 到原点O 的距离为r ，则r y =αsin ，r x =αcos ，)0(tan ≠=x xyα 三角函数的性质如下表：三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号 第四象限符号 αsin R ＋ ＋ － － αcosR＋－ － ＋ αtan}2|{Z k k ∈+≠，ππαα＋－＋－记忆口诀：三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 4．三角函数线如下图，设角α的终边与单位圆交于点P ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，过A （1，0）作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T ．三角函数线有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线1．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））掷铁饼是一项体育竞技活动．如图，这是一位掷铁饼运动员在准备掷出铁饼的瞬间，张开的双臂及肩部近似看成一张拉满弦的“弓”．经测量，此时两手掌心之间的弧长是710π，“弓”所在圆的半径为1.05米，则这位掷铁饼运动员两手掌心之间的距离约为（参考数据：2 1.414≈，3 1.732≈）（）A．1.819米B．1.485米C．1.649米D．1.945米【答案】A【解析】根据题意作图如下，由题意知：ADB的长为710π，D为ADB的中点，7201.053AOCππ∴∠==，322 1.05sin2.1 1.81932AB AC π∴==⨯=⨯≈，即所求距离约为1.819米. 故选：A.2．（2022·河南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知点()0,2A ，点B 在第一象限内，AO AB =，120OAB ∠=︒，将△AOB 绕点O 逆时针旋转，每次旋转60°，则第2022次旋转后，点B 的坐标为（ ）A ．()3,3 B ．)3,3C ．()23,0D ．()23,0-【答案】B【解析】如图所示，过点B 作BH y ⊥轴与点H ，在直角ABH 中，90,18012060,2AHB BAH AB OA ∠=∠=-===， 所以cos 601,33AH AB BH AH ====因为30BOH ∠=，所以223OB BH ==(3,3)B ，由题意1234567(3,3),(23,0),(3,3),(3,3),(23,0),(3,3),(3,3)B B B B B B B ------，所以点的坐标6次一个循环，即周期为6， 又因为20223376=⨯，所以2022(3,3)B . 故选：B.3．（2022·北京·人大附中三模）半径为3的圆的边沿有一点A ，半径为4的圆的边沿有一点B ，A 、B 两点重合后，小圆沿着大圆的边沿滚动，A 、B 两点再次重合小圆滚动的圈数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】设A 、B 两点再次重合小圆滚动的圈数为n ，则236248n n k k ππππ⨯⨯==⨯⨯=，其中k 、N n *∈， 所以，43kn =，则当3k =时，4n =. 故A 、B 两点再次重合小圆滚动的圈数为4. 故选：D.4．（2022·江苏·常州高级中学模拟预测）已知角α的终边在直线3y x =-上，则310sin cos αα+的值为（ ）A ．610-B ．610C ．0D ．310-【答案】C【解析】由题知：cos 0α≠设角α的终边上一点(),3a a -()0a ≠，则22910r a a =+=.当0a >时，10r a =，310sin 10a ==α10cos 10a =α310sin 3103100cos αα+=-=. 当0a <时，10r a =，310sin 10a =-α10cos 10aα==- 310sin 3103100cos αα+=. 故选：C1．（2022·全国·模拟预测）已知()1,7P 是角α的终边上一点，则()sin 2πα-=（ ） A ．725-B ．2425-C ．725D ．2425【答案】C【解析】()1,7P 是角α的终边上一点，由三角函数定义可得 22sin 5217α==+，22cos 5217α=+ 所以()7sin 2sin 22sin cos 2255252παααα-====. 故选：C.2．（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）已知角θ的终边过点()1,1A -，则sin()6πθ-=（ ）A 26+B 26-+C 26-D 26--【答案】D【解析】因为角θ的终边过点()1,1A -，由任意三角形的定义知：22sin θθ== 26sin()sin cos cos sin 666πππθθθ---=-=故选：D.3．（2022·上海市市西中学高三阶段练习）若圆锥的侧面展开图是半径为4，中心角为5π3的扇形，则由它的两条母线所确定的截面面积的最大值为（ ） A 511B ．4C ．8D 2011【答案】C【解析】设圆锥的底面圆半径为r ，圆锥的高为h 则5π2π43r =⨯， 解得：103r =， 设截面在圆锥底面的轨迹2003AB a a ⎛⎫=<≤ ⎪⎝⎭，则截面等腰三角形的高22241644a ah =-=-， 所以截面面积22211616168224442a a a a S ah ⎛⎫==-=-≤= ⎪⎝⎭，当且仅当221644a a=-，即42a =等号成立，故选：C4．（2022·全国·高三专题练习（理））济南市洪家楼天主教堂于2006年5月被国务院列为全国重点文物保护单位.它是典型的哥特式建筑.哥特式建筑的特点之一就是窗门处使用尖拱造型，其结构是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形.如图2，AC 和BC 所在圆的圆心都在线段AB 上，若rad ACB θ∠=，AC b =，则AC 的长度为（ ）A ．2sin2bθθB ．2cos2bθθC ．sin 2bθθ D ．2cos2bθθ【答案】A【解析】过C 作CD AB ⊥，设圆弧AC 的圆心为O ，半径为R ，则AO CO R ==， 在ACD △中，2ACD θ∠=，所以sinsin22AD AC b θθ=⋅=，coscos22CD AC b θθ=⋅=，所以在直角三角形CDO 中，222CD DO CO +=，所以222cos sin 22b R b R θθ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2sin 2b R θ=，而cos2sin =2sin cos =sin 222sin2b CDCOD b COθθθθθ∠==，所以COD θ∠=，所以2sin2b AC R θθθ==.故选：A.5．（2022·全国·高三专题练习（文））电影《流浪地球》中描述了使用发动机推动地球运动的场景．某科学兴趣小组提出了一套新装置：使用一条强度很大的长金属绳索绕地球赤道一周，一端连接强力发动机P 绷紧绳索，为地球提供动力．若绳索比地球赤道长2 cm ，则发动机距地面的高度约为（取地球半径为6 400 km ；当θ很小时，2111cos 2θθ-≈，31tan 3θθθ-≈．）（ ）A ．9 cmB ．11 cmC ．9 mD ．11 m【答案】C【解析】如右图．记地球半径为R ，绳索比地球赤道长2x=0.02，则tan 0.01,.cos R R x RR h θθθ-==⎧⎪⎨-=⎪⎩ 由题述近似可得321,31,2R x R h θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2339720m 9m 8h x R ==≈．故选：C6．（2022·全国·高三专题练习（理））若α为第一象限角，则sin 2α，cos2α，sin2α，cos2α中必定为正值的有（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个【答案】B【解析】解：因为α为第一象限角，所以2α为第一或二象限角， 可得：sin20α>，而cos2α符号不确定， 又2α为第一或三象限角， sin 2α∴，cos 2α可以是正数，也可以是负数，它们的符号均不确定综上所述，必定为正值的只有sin 2α一个 故选：B ．7．（2022·全国·高三专题练习）若角α是第一象限角，则2α是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第一或第三象限角 D ．第二或第四象限角【答案】C【解析】因为α是第三象限角，所以36036090,k k k Z α⋅<<⋅+∈， 所以18018045,2k k k Z α︒⋅<<⋅+∈，当k 为偶数时，2α是第一象限角， 当k 为奇数时，2α是第三象限角.故选：C ．8．（2022·全国·高三专题练习）设θcos2θ=-，则2θ是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】B【解析】因为()180360270360Z k k k θ+⋅<<+⋅∈， 所以，()90180135180Z 2k k k θ+⋅<<+⋅∈，若k 为奇数，可设()21Z k n n =+∈，则()270360315360Z 2n n k θ+⋅<<+⋅∈，此时2θ为第四象限角；若k 为偶数，可设()2Z k n n =∈，则()90360135360Z 2n n k θ+⋅<<+⋅∈，此时2θ为第二象限角.cos2θ-，则cos02θ≤，故2θ为第二象限角. 故选：B.9．（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）角α的终边过点()3,4P -，则sin 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．2425- B ．725- C ．725D ．2425【答案】B【解析】解：2sin 2cos 22cos 12πααα⎛⎫+==- ⎪⎝⎭，由题得3cos 5α==-，所以237sin 22()12525πα⎛⎫+=⨯--=- ⎪⎝⎭. 故选：B10．（2022·全国·南京外国语学校模拟预测）己知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点()1,2P -，则πsin 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．B ．CD 【答案】B【解析】角α的终边的经过()1,2P -，所以sinα=cos α== 所以4sin 22sin cos 5ααα==-，23cos 22cos 15αα=-=-，所以πππsin 2sin 2cos cos 2sin 666ααα⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭故选：B ．11．（2022·全国·高三阶段练习）已知α，β，γ是三个互不相同的锐角，则在sin cos αβ+，sin cos βγ+，sin cos γα+）个A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】因为α，β，γ是三个互不相同的锐角， 所以sin cos sin cos sin cos αββγγα+++++πππ444αβγ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++<= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以在sin cos αβ+，sin cos βγ+，sin cos γα+，若令π3α=，π4β=，π6γ=，则sin cos αβ+=+>sin cos βγ+=>sin cos 1γα+=<2个. 故选：C12．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知角α的始边与x 轴非负半轴重合，终边上一点()sin3,cos3P ，若02απ≤≤，则α=（ ）A ．3B ．32π- C ．532π- D ．32π-【答案】C【解析】解：因为角α的终边上一点()sin3,cos3P ， 所以cos31tan 0sin 3tan 3α==<， 又cos30,sin30<>， 所以α为第四象限角， 所以23,Z 2k k παπ=+-∈，又因02απ≤≤， 所以532πα=-. 故选：C.13．（2022·北京·首都师范大学附属中学高三开学考试）“角α，β的终边关于y x =轴对称”是“22sin sin 1αβ+=”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若角α，β的终边关于y x =轴对称，则sin α＝cos β，则2222sin sin cos sin =1αβββ+=+； 若22sin sin 1αβ+=，则22sin =cos αβ，则sin α＝±cos β，则角α，β的终边关于y x =或y ＝－x 轴对称； 综上，“角α，β的终边关于y x =轴对称”是“22sin sin 1αβ+=”的充分不必要条件. 故选：A.14．（2022·全国·模拟预测）炎炎夏日，在古代人们乘凉时习惯用的纸叠扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形加工制作而成.如图，扇形纸叠扇完全展开后，扇形ABC 的面积S 为22225cm π，若2BD DA =，则当该纸叠扇的周长C 最小时，BD 的长度为___________cm .【答案】10π【解析】解：设扇形ABC 的半径为r cm ，弧长为l cm ，则扇形面积12S rl =.由题意得212252rl π=，所以2450rl π=.所以纸叠扇的周长2222290060C r l rl ππ=+≥=，当且仅当22,450,r l rl π=⎧⎨=⎩即15r π=，30l π=时，等号成立， 所以()15BD DA cm π+=.又2BD DA =， 所以()1152BD BD cm π+=，所以()3152BD cm π=，故()10BD cm π=. 故答案为：10π15．（2022·浙江绍兴·模拟预测）勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．已知等边三角形的边长为1，则勒洛三角形的面积是_______．【答案】π32- 【解析】由题意得，勒洛三角形的面积为：三个圆心角和半径均分别为π3和1的扇形面积之和减去两个边长为1的等边三角形的面积，即221π1ππ33121sin 23232-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=．故答案为：π32-．16．（2022·山东潍坊·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于直线y x =对称.若1sin 3α=，则sin()αβ-=___________. 【答案】79-【解析】因在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于直线y x =对称， 则有2,Z 2k k παβπ+=+∈，即2,Z 2k k πβπα=+-∈，而1sin 3α=， 所以，Z k ∈，27sin()sin(22)cos 212sin 29k παβαπαα-=--=-=-+=-. 故答案为：79-17．（2022·上海青浦·二模）已知角α的终边过点()1,2P -，则tan α的值为_________． 【答案】2-【解析】解：因为角α的终边过点()1,2P -， 所以2tan 21y x α===--. 故答案为：-2.18．（2022·全国·模拟预测）已知α为第三象限角，且tan 2α=，则22sin 4cos sin πααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-______． 10【解析】因为α为第三象限角，且tan 2α=，所以5cos α=，25sin α=，所以()()()()222sin sin cos 21042cos sin cos sin cos sin 2cos sin 2πααααααααααα⎛⎫++ ⎪⎝⎭===--+-． 故答案为：102. 19．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧AB 及其所对弦AB 围成的图形．若弧田的弦AB 长是2，弧所在圆心角的弧度数也是2，则弧田的弧AB 长为_______，弧田的面积为_________．【答案】2sin1; 211sin 1tan1-. 【解析】由题意可知：111,,sin1sin1tan1tan1======AC BC BC AC AO OC ， 所以弧AB 长122sin1sin1=⨯=，弧田的面积22111111222sin12tan1sin 1tan1⎛⎫=-=⨯⨯-⨯⨯=- ⎪⎝⎭扇形AOB AOB S S ， 故答案为：2sin1；211sin 1tan1-.1．（2022·全国·高考真题（理））沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB 是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是AB 的中点，D 在AB 上，CD AB ⊥．“会圆术”给出AB 的弧长的近似值s 的计算公式：2CD s AB OA=+．当2,60OA AOB =∠=︒时，s =（ ）A ．11332- B ．11432- C ．9332- D ．9432- 【答案】B【解析】解：如图，连接OC ， 因为C 是AB 的中点， 所以OC AB ⊥，又CD AB ⊥，所以,,O C D 三点共线， 即2OD OA OB ===， 又60AOB ∠=︒， 所以2AB OA OB ===， 则3OC =，故23CD =-， 所以()22231143222CD s AB OA --=+=+=．故选：B ．2．（2020·山东·高考真题）已知直线sin cos :y x l θθ=+的图像如图所示，则角θ是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】D【解析】结合图像易知，sin 0θ<，cos 0θ>， 则角θ是第四象限角， 故选：D ．3．（2020·全国·高考真题（理））若α为第四象限角，则（ ） A ．cos 2α>0 B ．cos 2α<0 C ．sin 2α>0 D ．sin 2α<0【答案】D【解析】方法一：由α为第四象限角，可得3222,2k k k Z ππαππ+<<+∈， 所以34244,k k k Z ππαππ+<<+∈此时2α的终边落在第三、四象限及y 轴的非正半轴上，所以sin 20α< 故选：D ．方法二：当6πα=-时，cos 2cos 03πα⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，选项B 错误； 当3πα=-时，2cos 2cos 03πα⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，选项A 错误；由α在第四象限可得：sin 0,cos 0αα<>，则sin 22sin cos 0ααα=<，选项C 错误，选项D 正确； 故选：D ．4．（2019·北京·高考真题（文））如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β．图中阴影区域的面积的最大值为A ．4β+4cosβB ．4β+4sinβC ．2β+2cosβD ．2β+2sinβ【解析】观察图象可知，当P 为弧AB 的中点时，阴影部分的面积S 取最大值，此时∠BOP =∠AOP =π-β， 面积S 的最大值为2222βππ⨯⨯+S △POB + S △POA =4β+1||sin()2OP OB πβ-‖1||sin()2OP OA πβ+-‖ 42sin 2sin 44sin βββββ=++=+⋅．故选B ．5．（2015·山东·高考真题）终边在y 轴的正半轴上的角的集合是（ ）A ．π2π,2x x k k Z ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭B ．ππ2x x k ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭C ．π2π,2x x k k Z ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭D ．ππ,2x x k k Z ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭【答案】A【解析】终边在y 轴正半轴上的角的集合是π2π,2x k k Z ⎧⎫+∈⎨⎬⎩⎭故选：A6．（2011·全国·高考真题（理））已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=（ ） A ．45-B ．35 C ．35D ．45【答案】B【解析】由已知条件可知，点()cos ,sin θθ在直线2y x =上，则sin 2cos θθ=，tan 2θ∴=， 所以，22222222cos sin 1tan 3cos 2cos sin cos sin 1tan 5θθθθθθθθθ--=-===-++．7．（2018·北京·高考真题（文））在平面直角坐标系中，,,,AB CD EF GH 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 在其中一段上，角α以O x 为始边，OP 为终边，若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是A ．AB B ．CDC ．EFD ．GH【答案】C 【解析】 【详解】分析：逐个分析A 、B 、C 、D 四个选项，利用三角函数的三角函数线可得正确结论．详解：由下图可得：有向线段OM 为余弦线，有向线段MP 为正弦线，有向线段AT 为正切线．A 选项：当点P 在AB 上时，cos ,sin x y αα==，cos sin αα∴>，故A 选项错误；B 选项：当点P 在CD 上时，cos ,sin x y αα==，tan yxα=， tan sin cos ααα∴>>，故B 选项错误；C 选项：当点P 在EF 上时，cos ,sin x y αα==，tan y xα=，sin cos tan ααα∴>>，故C 选项正确；D 选项：点P 在GH 上且GH 在第三象限，tan 0,sin 0,cos 0ααα><<，故D 选项错误．综上，故选C ．8．（2014·全国·高考真题（文））已知角α的终边经过点(4,3)-，则cos α=A ．45B ．35C ．35-D ．45- 【答案】D【解析】【详解】试题分析：由题意可知x =-4，y =3，r =5，所以4cos 5x r α==-．故选D ． 考点：三角函数的概念．9．（2021·北京·高考真题）若点(cos ,sin )A θθ关于y 轴对称点为(cos(),sin())66B ππθθ++，写出θ的一个取值为___． 【答案】512π（满足5,12k k Z πθπ=+∈即可） 【解析】(cos ,sin )A θθ与cos ,sin 66B ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭关于y 轴对称， 即,6πθθ+关于y 轴对称， 2,6k k Z πθθππ++=+∈， 则5,12k k Z πθπ=+∈， 当0k =时，可取θ的一个值为512π． 故答案为：512π（满足5,12k k Z πθπ=+∈即可）． 10．（2020·浙江·高考真题）已知圆锥的侧面积（单位：2cm ） 为2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：cm ）是_______．【答案】1【解析】设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，则21222r l r l ππππ⨯⨯=⎧⎪⎨⨯⨯=⨯⨯⨯⎪⎩，解得1,2r l ==．故答案为：111．（2017·北京·高考真题（理））在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若1sin 3α=，则cos()αβ-=___________． 【答案】79- 【解析】【详解】试题分析：因为α和β关于y 轴对称，所以π2π,k k αβ+=+∈Z ，那么1sin sin 3βα==，22cos cos 3αβ=-=（或22cos cos 3βα=-=）， 所以()2227cos cos cos sin sin cos sin 2sin 19αβαβαβααα-=+=-+=-=-． 【考点】同角三角函数，诱导公式，两角差的余弦公式12．（2012·山东·高考真题（文））如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP 的坐标为______________．【答案】()2sin 2,1cos2--【解析】【详解】如图，连结AP ，分别过P ，A 作PC ，AB 垂直x 轴于C ，B 点，过A 作AD ⊥PC 于D 点．由题意知BP 的长为2．∵圆的半径为1，∴∠BAP ＝2，故∠DAP ＝2－2π． ∴DP ＝AP ·sin 22π⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－cos 2， ∴PC ＝1－cos 2， DA ＝APcos 22π⎛⎫- ⎪⎝⎭＝sin 2． ∴OC ＝2－sin 2． 故OP ＝（2－sin 2，1－cos 2）．。
专题17立体几何解答题-【2023高考】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编(原卷版)
2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编专题17 立体几何解答题1．(2022年全国甲卷理科·第18题)在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面,,1,2,ABCD CD AB AD DC CB AB DP =====∥．(1)证明：BD PA ⊥；(2)求PD 与平面PAB 所成的角的正弦值．2．(2022年全国乙卷理科·第18题)如图，四面体ABCD 中，,,AD CD AD CD ADB BDC ⊥=∠=∠，E为AC 的中点．(1)证明：平面BED ⊥平面ACD ；(2)设2,60AB BD ACB ==∠=︒，点F 在BD 上，当AFC △的面积最小时，求CF 与平面A B D 所成的角的正弦值．3．(2022新高考全国II 卷·第20题)如图，PO 是三棱锥P ABC -的高，PA PB =，AB AC ⊥，E 是PB的中点．(1)证明：//OE 平面PAC ；(2)若30ABO CBO ∠=∠=︒，3PO =，5PA =，求二面角C AE B --正弦值．4．(2022新高考全国I 卷·第19题)如图，直三棱柱111ABC A B C -的体积为4，1A BC的面积为(1)求A 到平面1A BC 的距离；(2)设D 为1AC 的中点，1AA AB =，平面1A BC ⊥平面11ABB A ，求二面角A BD C --的正弦值．5．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第19题)在四棱锥Q ABCD -中，底面ABCD是正方形，若2,3AD QD QA QC ====．(1)证明：平面QAD ⊥平面ABCD ；(2)求二面角B QD A --平面角的余弦值．6．(2021年新高考Ⅰ卷·第20题)如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD的中点．的的(1)证明：OA CD ⊥；(2)若OCD 是边长为1等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =，且二面角E BC D --的大小为45︒，求三棱锥A BCD -的体积．7．(2020年新高考I 卷(山东卷)·第20题)如图，四棱锥P -ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ．设平面PAD 与平面PBC 的交线为l ．(1)证明：l ⊥平面PDC ；(2)已知PD =AD =1，Q 为l 上的点，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值．8．(2020新高考II 卷(海南卷)·第20题)如图，四棱锥P -ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ．设平面PAD 与平面PBC 的交线为l ．(1)证明：l ⊥平面PDC；的(2)已知PD =AD =1，Q 为l 上的点，QB，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值．9．(2021年高考全国乙卷理科·第18题)如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，1PD DC ==，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥．(1)求BC ；(2)求二面角A PM B --的正弦值．10．(2021年高考全国甲卷理科·第19题)已知直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 中点，D 为棱11A B 上的点．11BF A B ⊥(1)证明：BF DE ⊥；(2)当1B D 为何值时，面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的正弦值最小?11．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第18题)如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AE AD =．ABC 是底面的内接正三角形，P 为DO上一点，PO．的(1)证明：PA ⊥平面PBC ；(2)求二面角B PC E --的余弦值．12．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第20题)如图，已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧面BB 1C 1C是矩形，M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，P 为AM 上一点，过B 1C 1和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ．(1)证明：AA 1∥MN ，且平面A 1AMN ⊥EB 1C 1F ；(2)设O 为△A 1B 1C 1的中心，若AO ∥平面EB 1C 1F ，且AO =AB ，求直线B 1E 与平面A 1AMN 所成角的正弦值．13．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第19题)如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别在棱11,DD BB 上，且12DE ED =，12BF FB =．(1)证明：点1C 平面AEF 内；(2)若2AB =，1AD =，13AA =，求二面角1A EF A --的正弦值．14．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第19题)图1是由矩形ADEB ，Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB =1，BE =BF =2，∠FBC =60°，将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2．(1)证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ；(2)求图2中的二面角B−CG−A 的大小．15．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科·第17题)如图，长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，点E 在棱1AA 上，1BE EC ⊥．()1证明：BE ⊥平面11EB C ；()2若1AE A E =，求二面角1B EC C --的正弦值．在图2图1A16．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科·第18题)如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，14,2,60,,,AA AB BAD E M N ==∠=︒分别是BC ，1BB ，1A D 的中点．(1)证明：//MN 平面1C DE ；(2)求二面角1A MA N --的正弦值．17．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第19题)(12分)如图，边长为2的正方形ABCD 所在平面与半圆弧CD所在的平面垂直，M 是弧CD 上异于,C D 的点．(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；(2)当三棱锥M ABC -体积最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值．18．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第20题)(12分)如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC ==4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C --为30︒，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值．ABCDD 1C 1A 1B 1MN E19．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第18题)(12分)如图，四边形ABCD 为正方形，,E F 分别为,AD BC 的中点，以DF 为折痕把DCF ∆折起，使点C 到达点P 的位置，且PF BF ⊥．(1)证明:平面PEF ⊥平面ABFD ；(2)求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值．20．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第18题)如图,在四棱锥中,,且．(1)证明:平面平面;(2)若,,求二面角的余弦值．21．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第19题)如图，四面体中，是正三角形，是直角三角形，，．(1)证明：平面平面；(2)过的平面交于点，若平面把四面体分成体积相等的两部分，求二面角P ABCD -//AB CD 90BAP CDP ∠=∠=︒PAB ⊥PAD PA PD AB DC ===90APD ∠=︒A PB C --ABCD ABC ∆ACD ∆ABD CBD ∠=∠AB BD =ACD ⊥ABC AC BD E AEC ABCD PABMCO的余弦值．22．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第19题)如图，四棱锥 中，侧面 为等比三角形且垂直于底面 ， 是 的中点．(1)证明：直线 平面 ；(2)点 在棱 上，且直线 与底面 所成锐角为 ，求二面角 的余弦值．23．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第19题)如图,四棱锥P ABC -中,PA ⊥地面ABCD ,AD ∥BC ,3AB AD AC ===,4PA BC ==,M 为线段AD 上一点,2AM MD =,N 为PC 的中点.(Ⅰ)证明MN ∥平面PAB ;(Ⅱ)求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值.D AE C --P ABCD -PAD ABCD o 1,90,2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠=E PD //CE PAB M PC BM ABCD o45M AB D --24．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第19题)(本小题满分)如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，5,6AB AC ==，点,E F 分别在,AD CD 上，54AE CF ==，EF 交BD 于点H ．将DEF ∆沿EF 折到D EF '∆的位置，OD '=(I)证明：D H '⊥平面ABCD ；(II)求二面角B D A C '--的正弦值．25．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第18题)(本题满分为12分)如图，在以,,,,,A B C D E F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，2AF FD =，90AFD ∠= ，且二面角D AF E --与二面角C BE F --都是60 ．(I)证明平面ABEF ⊥EFDC ；(II)求二面角E BC A --的余弦值．BDPN M ABCD26．(2015高考数学新课标2理科·第19题)(本题满分12分)如图，长方体1111ABCD A B C D -中,=16AB ，=10BC ，18AA =，点E ，F 分别在11A B ，11C D 上，114A E D F ==．过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由)；(Ⅱ)求直线AF 与平面α所成角的正弦值．27．(2015高考数学新课标1理科·第18题)如图，四边形ABCD 为菱形，120ABC ∠= ，,E F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，2BE DF =，AE EC ⊥．(1)证明：平面AEC ⊥平面AFC ;(2)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值．28．(2014高考数学课标2理科·第18题)(本小题满分12分)如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．(Ⅰ)证明：PB ∥平面AEC ；(Ⅱ)设二面角D-AE-C 为60°，AP=1，，求三棱锥E-ACD 的体积．A BCD E F D D 1C 1A 1EF A BCB 129．(2014高考数学课标1理科·第19题)如图三棱柱中,侧面为菱形,．(1)证明:;(2)若,,, 求二面角的余弦值．30．(2013高考数学新课标2理科·第18题)如图，直三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别是1,AB BB的中点，1AA AC CB AB ===(1)证明：1//BC 平面1A CD ；(2)求二面角1D A C E --的正弦值．31．(2013高考数学新课标1理科·第18题)如图，三棱柱111ABC A B C -中，1 1.,,60CA CB AB AA BAA ==∠= ．(Ⅰ)证明1AB A C ⊥;(Ⅱ)若平面ABC ⊥平面11AA B B ，AB CB =，求直线1AC 与平面11BB C C 所成角的正弦值。
专题17 函数与导数压轴解答题常考套路归类(精讲精练)(原卷版)
专题17 函数与导数压轴解答题常考套路归类【命题规律】函数与导数是高中数学的重要考查内容，同时也是高等数学的基础，其试题的难度呈逐年上升趋势，通过对近十年的高考数学试题，分析并归纳出五大考点：（1）含参函数的单调性、极值与最值； （2）函数的零点问题；（3）不等式恒成立与存在性问题； （4）函数不等式的证明． （5）导数中含三角函数形式的问题其中，对于函数不等式证明中极值点偏移、隐零点问题、含三角函数形式的问题探究和不等式的放缩应用这四类问题是目前高考函数与导数压轴题的热点．【核心考点目录】核心考点一：含参数函数单调性讨论 核心考点二：导数与数列不等式的综合问题 核心考点三：双变量问题 核心考点四：证明不等式 核心考点五：极最值问题 核心考点六：零点问题核心考点七：不等式恒成立问题核心考点八：极值点偏移问题与拐点偏移问题 核心考点九：利用导数解决一类整数问题 核心考点十：导数中的同构问题 核心考点十一：洛必达法则核心考点十二：导数与三角函数结合问题【真题回归】1．（2022·天津·统考高考真题）已知a b ∈R ，，函数()()sin ,x f x e a x g x =-=(1)求函数()y f x =在()()0,0f 处的切线方程； (2)若()y f x =和()y g x =有公共点， （i ）当0a =时，求b 的取值范围； （ii ）求证：22e a b +>．2．（2022·北京·统考高考真题）已知函数()e ln(1)x f x x =+． (1)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； (2)设()()g x f x '=，讨论函数()g x 在[0,)+∞上的单调性； (3)证明：对任意的,(0,)s t ∈+∞，有()()()f s t f s f t +>+．3．（2022·浙江·统考高考真题）设函数e()ln (0)2f x x x x=+>． (1)求()f x 的单调区间；(2)已知,a b ∈R ，曲线()y f x =上不同的三点()()()()()()112233,,,,,x f x x f x x f x 处的切线都经过点(,)a b ．证明：（ⅰ）若e a >，则10()12e a b f a ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭； （ⅰ）若1230e,a x x x <<<<，则22132e 112e e6e 6e a ax x a --+<+<-． （注：e 2.71828=是自然对数的底数）4．（2022·全国·统考高考真题）已知函数()e e ax x f x x =-． (1)当1a =时，讨论()f x 的单调性；(2)当0x >时，()1f x <-，求a 的取值范围； (3)设n *∈N21ln(1)n n +>++．5．（2022·全国·统考高考真题）已知函数1()(1)ln f x ax a x x=--+． (1)当0a =时，求()f x 的最大值；(2)若()f x 恰有一个零点，求a 的取值范围．6．（2022·全国·统考高考真题）已知函数()ln xf x x a xx e -=+-．(1)若()0f x ≥，求a 的取值范围；(2)证明：若()f x 有两个零点12,x x ，则121x x <．7．（2022·全国·统考高考真题）已知函数()x f x e ax =-和()ln g x ax x =-有相同的最小值． (1)求a ；(2)证明：存在直线y b =，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．【方法技巧与总结】1、对称变换主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：（1）定函数（极值点为0x ），即利用导函数符号的变化判断函数单调性，进而确定函数的极值点x 0．（2）构造函数，即根据极值点构造对称函数0()()(2)F x f x f x x =--，若证2120x x x > ，则令2()()()x F x f x f x=-． （3）判断单调性，即利用导数讨论()F x 的单调性．（4）比较大小，即判断函数()F x 在某段区间上的正负，并得出()f x 与0(2)f x x -的大小关系．（5）转化，即利用函数()f x 的单调性，将()f x 与0(2)f x x -的大小关系转化为x 与02x x -之间的关系，进而得到所证或所求．【注意】若要证明122x x f +⎛⎫' ⎪⎝⎭的符号问题，还需进一步讨论122x x +与x 0的大小，得出122x x +所在的单调区间，从而得出该处导数值的正负．构造差函数是解决极值点偏移的一种有效方法，函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中．某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用．因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的．根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧．许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效2121212ln ln 2x x x xx x -+<-证明极值点偏移：①由题中等式中产生对数； ②将所得含对数的等式进行变形得到1212ln ln x x x x --；③利用对数平均不等式来证明相应的问题．3、 比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明题中的不等式即可．【核心考点】核心考点一：含参数函数单调性讨论 【规律方法】1、导函数为含参一次型的函数单调性导函数的形式为含参一次函数时，首先讨论一次项系数为0，导函数的符号易于判断，当一次项系数不为雩，讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数图像判定导函数的符号，写出函数的单调区间．2、导函数为含参二次型函数的单调性当主导函数（决定导函数符号的函数）为二次函数时，确定原函数单调区间的问题转化为探究该二次函数在给定区间上根的判定问题．对于此二次函数根的判定有两种情况：（1）若该二次函数不容易因式分解，就要通过判别式来判断根的情况，然后再划分定义域； （2）若该二次函数容易因式分解，令该二次函数等于零，求根并比较大小，然后再划分定义域，判定导函数的符号，从而判断原函数的单调性．3、导函数为含参二阶求导型的函数单调性当无法直接通过解不等式得到一阶导函数的符号时，可对“主导”函数再次求导，使解题思路清晰．“再构造、再求导”是破解函数综合问题的强大武器．在此我们首先要清楚()()()f x f x f x '''、、之间的联系是如何判断原函数单调性的．（1）二次求导目的：通过()f x ''的符号，来判断()f x '的单调性；（2）通过赋特殊值找到()f x '的零点，来判断()f x '正负区间，进而得出()f x 单调性． 【典型例题】例1．（2023春·山东济南·高三统考期中）已知三次函数()()32111212322f x ax a x x =+---.(1)当3a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程， (2)讨论()y f x =的单调性.例2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()2122ex f x x a x a -⎡⎤=+-+-⎣⎦，R a ∈，讨论函数()f x 单调性；例3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()212ln 212f x a x x a x =+-+，a ∈R ，求()f x 的单调区间.例4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()()22ln 211f x x ax a x a =---+∈R .求函数()f x 的单调区间；核心考点二：导数与数列不等式的综合问题 【规律方法】在解决等差、等比数列综合问题时，要充分利用基本公式、性质以及它们之间的转化关系，在求解过程中要树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，并适时地采用“巧用性质，整体考虑”的方法．可以达到减少运算量的目的．【典型例题】例5．（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知函数()1ln f x x a x x=--.(1)若不等式()0f x ≥在()1,+∞上恒成立，求实数a 的取值范围； (2)证明：()()()22211ln 21ni n n i i n n =+-⎛⎫>⎪+⎝⎭∑.例6．（2023春·重庆·高三统考阶段练习）已知函数()e (2)2,x f x x a ax a =-++∈R ． (1)当1a =时，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； (2)若不等式()0f x ≥对0x ∀≥恒成立，求实数a 的范围； (3)证明：当111,1ln(21)23n n n*∈++++<+N ．例7．（2023春·福建宁德·高三校考阶段练习）已知函数()e ax f x x =-（12a ≥）. (1)(0,1)x ∈，求证：1sin ln 1x x x<<-；(2)证明：111sin sin sin()23f n n+++<.(ln20.693,ln3 1.099≈≈)核心考点三：双变量问题 【规律方法】破解双参数不等式的方法：一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果． 【典型例题】例8．（2023春·江苏苏州·高三苏州中学校考阶段练习）已知函数()()ln 1R f x x ax a =-+∈. (1)若过原点的一条直线l 与曲线()y f x =相切，求切点的横坐标；(2)若()f x 有两个零点12x x ，，且212x x >，证明：①1228>e x x ； ②2212220+>e x x .例9．（2023春·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知函数2()e ,2xmx f x m =-∈R . (1)讨论()f x 极值点的个数；(2)若()f x 有两个极值点12,x x ，且12x x <，证明:()()122e f x f x m +<-.例10．（2023·全国·高三专题练习）巳知函数()ln(3)f x x x =+-. (1)求函数f （x ）的最大值; (2)若关于x 的方程e ln3,(0)3x a a a x +=>+有两个不等实数根x x ₁，₂，证明: 122e e x xa+>.核心考点四：证明不等式 【规律方法】利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f x g x ->（或()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数． （4）对数单身狗，指数找基友 （5）凹凸反转，转化为最值问题 （6）同构变形 【典型例题】例11．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知函数()()22ln ,f x x ax bx a b =-+∈R ．(1)当0b =时，讨论()f x 的单调性;(2)设12,x x 为()f x 的两个不同零点，证明：当()0,x ∈+∞时，()()12212124sin 2e x x f x x x x +-+<++．例12．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知2()(ln 1)f x x x =+． (1)求()f x 的单调递增区间； (2)若124()()ef x f x +=，且12x x <，证明12ln()ln 21x x +>-．例13．（2023·江苏·高三专题练习）已知函数()ln m x nf x x+=在()()1,1f 处的切线方程为1y =. (1)求实数m 和n 的值；(2)已知()(),A a f a ，()(),B b f b 是函数()f x 的图象上两点，且()()f a f b =，求证：()()ln ln 1a b ab +<+.核心考点五：极最值问题 【规律方法】利用导数求函数的极最值问题．解题方法是利用导函数与单调性关系确定单调区间，从而求得极最值．只是对含有参数的极最值问题，需要对导函数进行二次讨论，对导函数或其中部分函数再一次求导，确定单调性，零点的存在性及唯一性等，由于零点的存在性与参数有关，因此对函数的极最值又需引入新函数，对新函数再用导数进行求值、证明等操作．【典型例题】例14．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知函数()31,R 3f x x ax a a =-+∈.(1)当1a =-时，求()f x 在[]22-,上的最值； (2)讨论()f x 的极值点的个数.例15．（2023·江西景德镇·高三统考阶段练习）已知函数21()(2)e e,()2x f x x g x a x x ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，其中a 为大于0的常数，若()()()F x f x g x =-． (1)讨论()F x 的单调区间；(2)若()F x 在()1x t t =≠取得极小值，求()g t 的最小值．例16．（2023·浙江温州·统考模拟预测）已知0a >，函数()()()F x f x g x =-的最小值为2，其中1()e x f x -=，()ln()g x ax =．(1)求实数a 的值；(2)(0,)∀∈+∞x ，有(1)1(e )f x m kx k g x +-≥+-≥，求2mk k -的最大值．核心考点六：零点问题 【规律方法】函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围．求解步骤：第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与x 轴（或直线y k =）在某区间上的交点问题；第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像； 第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数． 【典型例题】例17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()2e 2x m f x x m =+∈R ． (1)若存在0x >，使得()0f x <成立，求m 的取值范围；(2)若函数()()2e e x F x x f x =+-有三个不同的零点，求m 的取值范围．例18．（2023·全国·高三专题练习）设0a >，已知函数()e 2xf x a x =--，和()()ln 22g x x a x =-++⎡⎤⎣⎦.(1)若()f x 与()g x 有相同的最小值，求a 的值；(2)设()()()2ln 2F x f x g x a =++-有两个零点，求a 的取值范围.例19．（2023春·广西·高三期末）已知函数()()ln e axxf xg x x ax ==-，. (1)当1a =时，求函数()f x 的最大值；(2)若关于x 的方()()f x g x +=1有两个不同的实根，求实数a 的取值范围.核心考点七：不等式恒成立问题 【规律方法】1、利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略：（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．2、利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤； （2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥； （3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤； （4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥．3、不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()y f x =，[],x a b ∈，()y g x =，[],x c d ∈． （1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，有()()12f xg x <成立，则()()maxmin f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f xg x <成立，则()()maxmax f x g x <；（3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f xg x <成立，则()()minmax f x g x <；（4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f xg x =成立，则()f x 的值域是()g x 的值域的子集．【典型例题】例20．（2023·广西南宁·南宁二中校考一模）已知函数()ln 1f x x =+.(1)若函数()()1g x mf x x =+-的图象在1x =处的切线与直线2y x =平行，求函数()g x 在1x =处的切线方程；(2)求证：当12a ≤时，不等式()1af x a +≤在[1,e]上恒成立.例21．（2023·上海·高三专题练习）已知函数()(1)e (R x f x x ax a =--∈且a 为常数）. (1)当0a =，求函数()f x 的最小值；(2)若函数()f x 有2个极值点，求a 的取值范围；(3)若()ln e 1x f x x ≥-+对任意的,()0x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围.例22．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()()e 1ln ln 0x f x a x a x a =+--⋅>．(1)若e a =，求函数()f x 的单调区间； (2)若不等式()1f x <在区间()1,+∞上有解，求实数a 的取值范围．核心考点八：极值点偏移问题与拐点偏移问题 【规律方法】1、极值点偏移的相关概念所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性．若函数)(x f 在0x x =处取得极值，且函数)(x f y =与直线b y =交于),(),,(21b x B b x A 两点，则AB 的中点为),2(21b x x M +，而往往2210x x x +≠．如下图所示．图1 极值点不偏移 图2 极值点偏移极值点偏移的定义：对于函数)(x f y =在区间),(b a 内只有一个极值点0x ，方程)(x f 的解分别为21x x 、，且b x x a <<<21，（1）若0212x x x ≠+，则称函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 偏移；（2）若0212x x x >+，则函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 左偏，简称极值点0x 左偏；（3）若0212x x x <+，则函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 右偏，简称极值点0x 右偏．【典型例题】例23．（2022•浙江期中）已知函数()f x x lnx a =--有两个不同的零点1x ，2x ． （1）求实数a 的取值范围； （2）证明：121x x a +>+．例24．（2021春•汕头校级月考）已知，函数()f x lnx ax =-，其中a R ∈． （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若函数()f x 有两个零点， ()i 求a 的取值范围；()ii 设()f x 的两个零点分别为1x ，2x ，证明：212x x e >．例25．（2022•浙江开学）已知a R ∈，()ax f x x e -=⋅（其中e 为自然对数的底数）． （ⅰ）求函数()y f x =的单调区间；（ⅰ）若0a >，函数()y f x a =-有两个零点x ，2x ，求证：22122x x e +>．核心考点九：利用导数解决一类整数问题 【规律方法】分离参数、分离函数、半分离 【典型例题】例26．已知函数()ln 2f x x x =--． （1）求函数在()()1,1f 处的切线方程（2）证明：()f x 在区间()3,4内存在唯一的零点；（3）若对于任意的()1,x ∈+∞，都有()ln 1x x x k x +>-，求整数k 的最大值．例27．已知函数211()ln 2f x x x x a a ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，(0)a ≠． （1）当12a =时，求函数()fx 在点()()1,1f 处的切线方程；（2）令2()()F x af x x =-，若()12F x ax <-在()1,x ∈+∞恒成立，求整数a 的最大值．（参考数据：4ln 33<，5ln 44<）．例28．已知函数()ln 2f x x x =--．（1）证明：()f x 在区间()3,4内存在唯一的零点；（2）若对于任意的()1,x ∈+∞，都有()ln 1x x x k x +>-，求整数k 的最大值．核心考点十：导数中的同构问题【规律方法】1、同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式2、同构式的应用：（1）在方程中的应用：如果方程()0f a =和()0f b =呈现同构特征，则,a b 可视为方程()0f x =的两个根（2）在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系．可比较大小或解不等式．<同构小套路>①指对各一边，参数是关键；②常用“母函数”：()xf x x e =⋅，()xf x e x =±；寻找“亲戚函数”是关键；③信手拈来凑同构，凑常数、x 、参数；④复合函数（亲戚函数）比大小，利用单调性求参数范围． （3）在解析几何中的应用：如果()()1122,,,Ax y B x y 满足的方程为同构式，则,A B 为方程所表示曲线上的两点．特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线AB 的方程（4）在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于(),n a n 与()1,1n a n --的同构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解【典型例题】例29．（2022·河北·高三阶段练习）已知函数()ln f x x x =． （1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且b a a b =，证明：2111e a b<+<．例30．（2022·河南郑州·二模（文））已知函数()e 21e xf x x =⋅-+，()ln 2xg x x=+． （1）求函数()g x 的极值；（2）当x >0时，证明：()()f x g x ≥例31．（2022·河南省浚县第一中学模拟预测（理））已知函数()()e x f x ax a =-∈R ．（1）讨论f （x ）的单调性．（2）若a ＝0，证明：对任意的x >1，都有()4333ln f x x x x x ≥-+．核心考点十一：洛必达法则 【规律方法】法则1、若函数()f x 和()g x 满足下列条件： （1）()lim 0x af x →=及()lim 0x ag x →=；（2）在点a 的去心邻域()(),,a a a a εε-⋃+内，()f x 与()g x 可导且()0g x '≠； （3）()()limx af x lg x →'='，那么()()lim x a f x g x →=()()lim x a f x l g x →'='．法则2、若函数()f x 和()g x 满足下列条件：（1）()lim 0x f x →∞=及()lim 0x g x →∞=； （2）0A ∃>，()f x 和()g x 在(),A -∞与(),A +∞上可导，且()0g x '≠； （3）()()limx f x l g x →∞'='，那么()()limx f x g x →∞=()()limx f x l g x →∞'='．法则3、若函数()f x 和()g x 满足下列条件： （1）()lim x af x →=∞及()lim x ag x →=∞；（2）在点a 的去心邻域()(),,a a a a εε-⋃+内，()f x 与()g x 可导且()0g x '≠； （3）()()limx af x lg x →'='， 那么()()limx af xg x →=()()limx af x lg x →'='． 注意：利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： （1）将上面公式中的x a →，,x x →+∞→-∞，x a +→，x a -→洛必达法则也成立． （2）洛必达法则可处理00，∞∞，0⋅∞，1∞，∞，，∞-∞型．（3）在着手求极限以前，首先要检查是否满足00，∞∞，0⋅∞，1∞，∞，，∞-∞型定式，否则滥用洛必达法则会出错．当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限．（4）若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止．()()()()()()limlimlimx ax ax a f x f x f x g x g x g x →→→'''=='''，如满足条件，可继续使用洛必达法则． 【典型例题】例32．已知函数()=ln (,)f x a x bx a b R +∈在12x =处取得极值，且曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线10x y -+=垂直．（1）求实数,a b 的值；（2）若[1,)x ∀∈+∞，不等式()(2)mf x m x x≤--恒成立，求实数m 的取值范围．例33．设函数()1x f x e -=-．（1）证明：当1x >-时，()1xf x x ≥+； （2）设当0x ≥时，()1xf x ax ≤+，求a 的取值范围．例34．设函数sin ()2cos xf x x=+．如果对任何0x ≥，都有()f x ax ≤，求a 的取值范围．22sin 2sin 2sin (sin )x x x x x x =-=-核心考点十二：导数与三角函数结合问题 【规律方法】 分段分析法【典型例题】例35．（2023·河南郑州·高三阶段练习）已知函数()1sin e xx f x x -=+，ππ,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦． (1)求证：()f x 在ππ,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；(2)当[]π,0x ∈-时，()sin e cos sin xf x x x k x --⎡⎤⎣⎦恒成立，求k 的取值范围．例36．（2023春·江苏苏州·高三苏州中学校考阶段练习）已知函数()sin ()cos f x x x a x =-+（a 为常数），函数3211()32g x x ax =+.(1)证明：（i ）当0x >时，sin x x >； （ii ）当0x <时，sin x x <；(2)证明：当0a ≥时，曲线()y f x =与曲线()y g x =有且只有一个公共点.例37．（2023·全国·高三专题练习）已知函数π()e sin sin ,[0,π]4xf x x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭.(1)若1a ≤，判断函数()f x 的单调性； (2)证明：e (π)1sin cos x x x x -+≥-.【新题速递】1．（2023·北京·高三专题练习）已知1x =是函数()()ln ln ln 21xf x x ax x=-+++的一个极值点． (1)求a 值；(2)判断()f x 的单调性；(3)是否存在实数m ，使得关于x 的不等式()f x m ≥的解集为()0,∞+?直接写出m 的取值范围．2．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）已知()214ln 2f x x x a x =-+． (1)若函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围； (2)若函数()f x 有两个极值点12,x x ，证明：()()1210ln f x f x a +>-+．3．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）已知函数()()2e 21xf x x ax =+-，其中R a ∈，若()f x 的图象在点()()0,0f 处的切线方程为210x by ++=． (1)求函数()f x 的解析式；(2)求函数()f x 在区间[]3,1-上的最值．4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()1f x x =-，()ln(1)g x m x =-，R m ∈. (1)若直线:20l x y -=与()y g x =在(0,(0))g 处的切线垂直，求m 的值；(2)若函数()()()h x g x f x =-存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求证：()()1122x h x x h x >.5．（2023·北京·高三专题练习）已知函数()2e x f x =，直线:2l y x b =+与曲线()y f x =相切．(1)求实数b 的值；(2)若曲线()y af x =与直线l 有两个公共点，其横坐标分别为(,)m n m n <． ①求实数a 的取值范围； ②证明：()()1f m f n ⋅>．6．（2023春·陕西西安·高三统考期末）已知函数()()33ln af x x a x x=--+． (1)当0a =时，求函数()f x 的单调区间；(2)若[]1,e x ∀∈，()0f x <，求实数a 的取值范围．7．（2023·四川资阳·统考模拟预测）已知函数()31f x x ax =-+．(1)当1a =时，过点()1,0作曲线()y f x =的切线l ，求l 的方程； (2)当0a ≤时，对于任意0x >，证明：()cos f x x >．8．（2023·四川资阳·统考模拟预测）已知函数()22e xx f x ax +=++． (1)若()f x 单调递增，求a 的取值范围；(2)若()f x 有两个极值点12,x x ，其中12x x <，求证：2133x x a ->-．9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()43,R,04a f x x ax bx ab a =--∈≠ (1)若0b =，求函数()f x 的单调区间；(2)若存在0R x ∈，使得()()00f x x f x x =+-，设函数()y f x =的图像与x 轴的交点从左到右分别为A ，B ，C ，D ，证明：点B ，C 分别是线段AC 和线段BD 的黄金分割点.（注：若线段上的点将线段分割成两部分，且其中较长部分与全长之比等于较短部分与较长部分之比，则称此点为该线段的黄金分割点）10．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知函数()()2e e xf x x =-+，()()2112g x a x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()()ln 1ln h x x x a =-+，其中a 为常数，若()()()()F x f x g x h x =-+.(1)讨论()F x 的单调区间；(2)若()F x 在()1x t t =≠取得极小值，且()()f t mh t ≥恒成立，求实数m 的取值范围.11．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过点P (2，0)作直线l 交抛物线于A ，B 两点．(1)若l 的倾斜角为π4，求△F AB 的面积；(2)过点A ，B 分别作抛物线C 的两条切线1l ，2l 且直线1l 与直线2l 相交于点M ，问：点M 是否在某定直线上？若在，求该定直线的方程，若不在，请说明理由．12．（2023春·江西赣州·高三赣州市赣县第三中学校考期中）已知函数()21ln 2f x x ax =-，()()21e 112x g x x ax a x =--+-，(1)求函数()y f x =的单调区间；(2)若对于定义域内任意x ，()()f x g x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．。
2023年高考数学复习：函数及其性质多选题(原卷版)
【多选题与双空题满分训练】专题3 函数及其性质多选题 2022年高考冲刺和2023届高考复习满分训练新高考地区专用1．（2022·海南海口·模拟预测）已知函数()1x f x x+=，则（ ） A ．()f x 的定义域为R B ． ()f x 是奇函数 C ．()f x 在()0,+∞上单调递减D ． ()f x 有两个零点2．（2022·湖南永州·三模）已知函数()21ln 12f x x x x =--+，则（ ） A ．()f x 的图象关于直线1x =对称 B ．()f x 在[)2,+∞上为减函数 C ．()f x 有4个零点 D ．00x ∃>，使()00f x >()221111222y x x x =-+=--+ 3．（2022·湖北十堰·三模）已知函数()lg f x x =，则( )A ．()2f ，f，()5f 成等差数列B ．()2f ，()4f ，()8f 成等差数列C ．()2f ，()12f ，()72f 成等比数列D ．()2f ，()4f ，()16f 成等比数列4．（2022·山东枣庄·三模）已知a 、()0,1∈，且1a b +=，则（ ） A ．2212a b +≥B ．ln ln 2ln 2a b +≤-C ．2ln ln ln 2≥a bD ．ln 0+<a b5．（2022·重庆·模拟预测）已知1e a b <<<（e 为自然对数的底数），则（ ） A ．b a a b <B ．e e aba b >C ．e e ba a a >D ．e e bb a a <6．（2022·江苏·南京市宁海中学模拟预测）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意x ∈R ，有()()11f x f x -=-+，当[]0,1x ∈时，()22f x x x =+-，则（ ）A ．()f x 是以2为周期的周期函数B ．点()3,0-是函数()f x 的一个对称中心C ．()()202120222f f +=-D ．函数()()2log 1y f x x =-+有3个零点7．（2022·江苏盐城·三模）已知函数()f x 为R 上的奇函数，()()1g x f x =+为偶函数，下列说法正确的有（ ）A ．()f x 图象关于直线1x =-对称B ．()20230g =C ．()g x 的最小正周期为4D ．对任意R x ∈都有()()2f x f x -=8．（2023·福建漳州·三模）若函数()πsin 03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭（）的图象与()()cos 2g x x θ=+的图象关于y 轴对称，则（ ） A ．2ω=B ．θ的值可以是π3C ．函数f (x )在ππ[,]122单调递减D ．将()y f x =的图象向右平移6π个单位长度可以得到g (x )的图象9．（2022·辽宁沈阳·二模）已知奇函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且()()1120f x f x x --++=恒成立，若()f x 在[]0,1单调递增，则（ ） A ．()f x 在[]1,2上单调递减 B ．()00f = C ．()20222022f =D ．()20231f '=10．（2022·辽宁锦州·一模）设函数()f x 的定义域为R ，()1f x -为奇函数，()1f x +为偶函数，当(]1,1x ∈-时，()21f x x =-+ ）A ．7839f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()f x 在()6,8上为减函数C ．点()3,0是函数()f x 的一个对称中心D ．方程()lg 0f x x +=仅有6个实数解11．（2022·河北·模拟预测）若函数()21f x +（x ∈R ）是周期为2的奇函数．则下列选项一定正确的是（ ）A ．函数()f x 的图象关于点()1,0对称B ．2是函数()f x 的一个周期C ．()20210f =D ．()20220f =12．（2022·河北沧州·模拟预测）已知三次函数32()1f x ax bx cx =++-，若函数()()1g x f x =-+的图象关于点（1，0）对称，且(2)0g -<，则（ ）A ．0a <B ．()g x 有3个零点C ．()f x 的对称中心是(1,0)-D ．1240a b c -+<13．（2021·四川省泸县第二中学一模（理））已知定义在R 上的函数()f x 满足：()1f x -关于(1,0)中心对称，()1f x +是偶函数，且312f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．则下列选项中说法不正确的有（ ）A ．()f x 为奇函数B ．()f x 周期为2C ．912f ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．()2f x -是奇函数14．（2022·河北石家庄·二模）已知函数()sin(sin )cos(cos )f x x x =+，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 的一个周期为2π B ．函数()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C．函数()f xD ．函数()f x 图象关于直线2x π=对称15．（2022·重庆八中模拟预测）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意R x ∈，有()()11f x f x +=--，当[]0,1x ∈时，()22f x x x =+-，则（ ） A ．()f x 是以4为周期的周期函数 B ．()()202120222f f +=-C ．函数()()2log 1y f x x =-+有3个零点D ．当[]3,4x ∈时，()2918f x x x =-+16．（2022·湖北·一模）已知函数12)||+||cos f x x x =-，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 是偶函数 B ．()f x 在（0，+∞）上单调递减 C ．()f x 是周期函数D ．()f x ≥-1恒成立17．（2022·辽宁·模拟预测）已知定义在R 上的偶函数()f x 的图像是连续的，()()()63f x f x f ++=，()f x 在区间[]6,0-上是增函数，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 的一个周期为6B ．()f x 在区间[]12,18上单调递减C ．()f x 的图像关于直线12x =对称D ．()f x 在区间[]2022,2022-上共有100个零点18．（2022·广东·三模）已知,R a b ∈，e 是自然对数的底，若e ln b b a a +=+，则a b的取值可以是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．419．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）对于偶函数sin ()xf x x a=+，下列结论中正确的是（ ）A ．函数()f x 在3π2x =处的切线斜率为249πB ．函数()1f x <恒成立C ．若120π,x x <<< 则12()()f x f x <D ．若()m f x <对于π0,2x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭恒成立，则m 的最大值为2π20．（2022·福建厦门·模拟预测）已知函数()2441x x xf x x =+--，则（ ）A ．()f x 是奇函数B ．()f x 的图象关于点()1,1对称C ．()f x 有唯一一个零点D ．不等式()()223f x f x +>的解集为()()1,13,-+∞21．（2022·江苏南通·模拟预测）已知定义在R 上的函数()f x 的图象连续不间断，当0x ≥时，()()121f x f x +=-，且当0x >时，()()110f x f x '++'-<，则下列说法正确的是（ ） A ．()10f =B ．()f x 在(]–,1∞上单调递减C ．若()()1212,x x f x f x <<，则122x x +<D ．若12,x x 是()()cos g x f x x π=-的两个零点，且12x x <，则()()2112f x f x << 22．（2022·广东·普宁市华侨中学二模）对于函数sin ,02()1(2),22x x f x f x x π≤≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，下列结论中正确的是（ ）A ．任取12,[1,)x x ∈+∞，都有123()()2f x f x -≤ B ．11511222222k f f f k +⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中k ∈N ；C ．()2(2)()k f x f x k k N *=+∈对一切[0,)x ∈+∞恒成立；D ．函数()ln(1)y f x x =--有3个零点； 23．（2022·湖北·黄冈中学模拟预测）函数ln ()(0)sin ax x f x a x+=≤在[]2,2ππ-上的大致图像可能为（ ）A ．B ．C ．D ．24．（2022·广东茂名·模拟预测）所谓整数划分，指的是一个正整数n 划分为一系列的正整数之和，如n 可以划分为{}123,,,,k m m m m ，1k n ≤≤．如果{}123,,,,k m m m m 中的最大值不超过m ，即{}123max ,,,,k m m m m m ≤，则称它属于n 的一个m 划分，记n 的m 划分的个数为(),f n m ．下列说法正确的是（ ）A ．当1n =时，m 无论为何值，(),1f n m =B ．当1m =时，n 无论为何值，(),1f n m =C ．当m n =时，()(),1,1f n m f n m =+-D ．()6,46f =25．（2022·江苏泰州·模拟预测）已知定义在R 上的单调递增的函数()f x 满足：任意x ∈R ，有()()112f x f x -++=，()()224f x f x ++-=，则（ ）A ．当x ∈Z 时，()f x x =B ．任意x ∈R ，()()f x f x -=-C ．存在非零实数T ，使得任意x ∈R ，f x Tf xD ．存在非零实数c ，使得任意x ∈R ，()1f x cx -≤26．（2022·江苏·沭阳如东中学模拟预测）华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学､经济学和社会学领域都有重要作用.在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设()f x 是定义在R 上的函数，对于x ∈R ，令1()(123)n n x f x n -==，，，，若存在正整数k 使得0k x x =，且当0<j <k 时，0j x x ≠，则称0x 是()f x 的一个周期为k 的周期点.若122()12(1)2x x f x x x⎧<⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩，，，下列各值是()f x 周期为2的周期点的有（ ）A ．0B ．13C ．23D ．1。
三角函数的图象和性质(重点)-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题(新高考地区专用)(原卷版)
考向19 三角函数的图象和性质【2022·全国·高考真题】记函数()sin (0)4f x x b πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的最小正周期为T ．若23T ππ<<，且()y f x =的图象关于点3,22π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．1 B ．32C ．52D ．3【2022·全国·高考真题（理）】设函数π()sin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（ ） A ．513,36⎫⎡⎪⎢⎣⎭B ．519,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．138,63⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1319,66⎛⎤ ⎥⎝⎦1．研究三角函数的性质（如周期性、单调性、最值、奇偶性、对称性等）的前提是用公式把已给函数化成同一个角同一种类型的三角函数形式（简称：同角同函）sin()y A wx φ=+或cos()y A wx φ=+，常见方法有：（1）用同角三角函数基本关系式或诱导公式将已给函数化成同函； （2）用倍角公式（升幂或降幂）将已给函数化成同角；（3）用两角和、差公式或辅助角公式sin cos a wx b wx +将已给函数化成同函． 2．研究三角函数的性质（如周期性、单调性、最值、奇偶性、对称性等）时，一般是把已给函数化成同同角同函型，但未必所有三角函数都能化成上述sin()y A wx φ=+或cos()y A wx φ=+的形式，有时会化简为二次函数型：22sin sin y a x b x c =++或22cos cos y a x b x c =++，这时需要借助二次函数知识求解，但要注意sin cos x x 或的取值范围．若将已给函数化简为更高次的函数，如22(1sin )cos (1sin )(1-sin )y x x x x =+=+，则换元后可通过导数求解．如：解析式中同时含有sin cos x x ±和sin cos x x ，令t =sin cos x x ±，由关系式22sin cos 12sin cos t x x x x =±=±（）得到sin cos x x 关于t 的函数表达式．3．求三角函数的值域（最值），通常利用正余弦函数的有界性，一般通过三角变换化为下列基本类型：（1）sin y a x b =+，令sin t x =，则[],(1,1)y at b t =+∈-；（2）sin cos y a x b x c =++，引入辅助角tan ba φφ=（），化为22sin()y a b x c φ=+++； （3）2sin sin y a x b x c =++，令sin t x =，则[]2,(1,1)y at bt c t =++∈-； （4）sin cos sin cos y a x x b x x c =+±+（），令t =sin cos x x ±，则22sin cos 12sin cos t x x x x =±=±（），所以21()2t y a bt c -=±++； （5）sin cos a x by c x d+=+，根据正弦函数的有界性，既可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用数形结合法求最值．关于三角函数对称的几个重要结论； （1）函数sin y x =的对称轴为()2x k k Z ππ=+∈，对称中心为(,0)()k k Z π∈；（2）函数cos y x =的对称轴为()x k k Z π=∈，对称中心为(,0)()2k k Z ππ+∈；（3）函数tan y x =函数无对称轴，对称中心为(,0)()2k k Z π∈； （4）求函数sin()(0)y A wx b w φ=++≠的对称轴的方法；令()2wx k k Z πφπ+=+∈，得2()k x k Z wππφ+-=∈；对称中心的求取方法；令()wx k k Z φπ+=∈，得k x wπφ-=，即对称中心为()k b wπφ-，． （5）求函数)0()cos(≠++=w b wx A y ϕ的对称轴的方法；令)(Z k k wx ∈=+πϕ得wk x ϕππ-+=2，即对称中心为))(,2(Z k b wk ∈-+ϕππ1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（1）在正弦函数x y sin =，]20[π，∈x 的图象中，五个关键点是：3(00)(1)(0)(1)(20)22ππππ-，，，，，，，，，．（2）在余弦函数x y cos =，]20[π，∈x 的图象中，五个关键点是：3(01)(0)(1)(0)(21)22ππππ-，，，，，，，，，．注：正（余）弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是2T；正（余）弦曲线相邻两个对称中心的距离是2T ； 正（余）弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离4T ； 3．)sin(ϕ+=wx A y 与)0,0)(cos(>>+=w A wx A y ϕ的图像与性质函数x y sin =x y cos = x y tan =奇函数（1）最小正周期：wT π2=． （2）定义域与值域：)sin(ϕ+=wx A y ，）ϕ+=wx A y cos(的定义域为R ，值域为[-A ，A ]．（3）最值假设00>>w A ，． ①对于)sin(ϕ+=wx A y ，⎪⎩⎪⎨⎧-∈+-=+∈+=+;)(22;)Z (22A Z k k wx A k k wx 时，函数取得最小值当时，函数取得最大值当ππϕππϕ ②对于）ϕ+=wx A y cos(，⎩⎨⎧-∈+=+∈=+;)(2;)Z (2A Z k k wx A k k wx 时，函数取得最小值当时，函数取得最大值当ππϕπϕ （4）对称轴与对称中心． 假设00>>w A ，． ①对于)sin(ϕ+=wx A y ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==+∈=+=+=±=+∈+=+).0,()sin(0)sin()()sin(1)sin()(2000000x wx y wx Z k k wx xx wx y wx Z k k wx 的对称中心为时，，即当的对称轴为时，，即当ϕϕπϕϕϕππϕ ②对于）ϕ+=wx A y cos(，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==+∈+=+=+=±=+∈=+).0,()cos(0)cos()(2)cos(1)cos()(000000x wx y wx Z k k wx x x wx y wx Z k k wx 的对称中心为时，，即当的对称轴为时，，即当ϕϕππϕϕϕπϕ 正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置．正、余弦的对称中心是相应函数与x 轴交点的位置．（5）单调性． 假设00>>w A ，． ①对于)sin(ϕ+=wx A y ，⎪⎩⎪⎨⎧⇒∈++∈+⇒∈++-∈+.)](223,22[)](22,22[减区间增区间；Z k k k wx Z k k k wx ππππϕππππϕ ②对于）ϕ+=wx A y cos(，⎩⎨⎧⇒∈+∈+⇒∈+-∈+.)](2,2[)](2,2[减区间增区间；Z k k k wx Z k k k wx πππϕπππϕ （6）平移与伸缩由函数x y sin =的图像变换为函数3)32sin(2++=πx y 的图像的步骤；方法一：)322(ππ+→+→x x x ．先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们“想欺负”（相一期一幅）三角函数图像，使之变形．−−−−−→−=个单位向左平移的图像3sin πx y 的图像)3sin(π+=x y 12−−−−−−−−→所有点的横坐标变为原来的纵坐标不变的图像)32sin(π+=x y 2−−−−−−−−−→所有点的纵坐标变为原来的倍横坐标不变的图像)32sin(2π+=x y−−−−−→−个单位向上平移33)32sin(2++=πx y方法二：)322(ππ+→+→x x x ．先周期变换，后相位变换，再振幅变换．的图像x y sin =12−−−−−−−−→所有点的横坐标变为原来的纵坐标不变−−−−−→−=个单位向左平移的图像62sin πx y 的图像)22sin()6(2sin ππ+=+=x x y 2−−−−−−−−−→所有点的纵坐标变为原来的倍横坐标不变−−−−−→−+=各单位向上平移的图像3)32sin(2πx y 3)32sin(2++=πx y注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期，即“想欺负”），但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量x 而言的，即图像变换要看“变量x ”发生多大变化，而不是“角ϕ+wx ”变化多少．1．（2022·上海青浦·二模）已知函数()sin cos f x x x =+的定义域为[],a b ，值域为1,2⎡⎤-⎣⎦，则b a -的取值范围是（ ） A ．3ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3π3π,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦2．（2022·上海松江·二模）设函数()sin()(05)6f x x πωω=+<<图像的一条对称轴方程为12x π=，若1x 、2x 是函数()f x 的两个不同的零点，则12||x x -的最小值为（ ） A ．6πB ．4π C ．2π D ．π3．（2022·青海玉树·高三阶段练习（文））若函数()()tan 08f x x πωω⎛⎫ ⎪⎝⎭=+>的图象与直线()y a a =∈R 的两相邻交点间的距离为2π，则ω=（ ） A ．14B ．12C ．1D ．24．（2022·青海玉树·高三阶段练习（文））若函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭图象的两个相邻最高点间的距离为π，则()f x 在下列区间中单调递增的区间是（ ） A ．π5π,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．5π11π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦5．（2022·青海·海东市教育研究室一模（理））已知定义在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的函数()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，若()f x 的最大值为5ω，则ω的取值最多有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个1．（2022·甘肃·武威第六中学模拟预测（理））已知函数()12sin 32f x x πϕϕ⎛⎫⎛⎫=+< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，直线x π=-为()f x 图象的一条对称轴，则下列说法正确的是（ ）A ．6π=ϕ B ．()f x 在区间,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减C ．()f x 在区间[],ππ-上的最大值为2D ．()f x θ+为偶函数，则()23k k Z θππ=+∈2．（2022·福建·福州三中高三阶段练习）函数()πsin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在2π0,3⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，在2π,2π3⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，则ω的值为（ ） A ．12B ．1C ．2D ．723．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知函数()()23sin cos cos 0f x x x x ωωωω+>，若函数f (x )在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则实数ω的取值范围是（ ）A ．13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦4．（2022·上海长宁·二模）已知函数()sin cos f x x a x =+满足：()π6f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭． 若函数()f x 在区间[]12,x x 上单调，且满足12()()0f x f x +=，则12x x +的最小值为（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．4π35．（2022·青海·模拟预测（理））若3π-，3π分别是函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的零点和极值点，且在区间,155ππ⎛⎫⎪⎝⎭上，函数()y f x =存在唯一的极大值点0x ，使得()01f x =，则下列数值中，ω的可能取值是（ ） A ．814B ．994C ．1054D ．11746．（2022·全国·高三专题练习）记函数()sin (0)4f x x b πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的最小正周期为T ．若23T ππ<<，且()y f x =的图象关于点3,22π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．1B ．32C ．52D ．37．（多选题）（2022·全国·模拟预测）已知函数()()sin cos sin f x x x x =-，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．()f x 21-C ．()f x 的图像关于直线8x π=-对称D ．将()f x 的图像向右平移8π个单位长度，再向上平移12个单位长度后所得图像对应的函数为奇函数8．（多选题）（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）已知函数()cos 2sin f x x x =+，则下列说法正确的是（ ） A ．直线2x π=为函数f (x )图像的一条对称轴B ．函数f (x )图像横坐标缩短为原来的一半，再向左平移2π后得到()cos22sin 2g x x x =+ C ．函数f (x )在[－2π，2π]上单调递增 D ．函数()f x 的值域为[－259．（多选题）（2022·福建省厦门集美中学模拟预测）已知函数()2sin 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ） A ．()()f x f x π+=B ．6f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象关于原点对称C ．若125012x x π<<<，则()()12f x f x < D ．对1x ∀，2x ，3,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有()()()132f x f x f x +>成立10．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）已知函数()sin cos f x a x x =+（a 为常数，x ∈R ）的图像关于直线π6x =对称，函数()cos sin g x a x x =-，则下面说法正确的是（ ） A ．将()f x 的图像向左平移2π个单位可以得到()g x 的图像 B ．()g x 的图像关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．()g x 在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．()f x 的最大值为111．（2022·福建·三明一中模拟预测）已知函数2()322cos 1f x x x =-+，且方程()0f x a -=在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内有实数根，则实数a 的取值范围是___________．12．（2022·北京八十中模拟预测）已知函数sin()(0)y x ωϕω=+>与直线12y =的交点中，距离最近的两点间距离为3π，那么此函数的周期是___________. 13．（2022·四川成都·模拟预测（理））已知函数()()2sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若03f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f x 在5,312ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最大值，没有最小值，则ω的最大值为______．14．（2022·北京·人大附中三模）已知函数()[)(]sin ,2,00,2xf x x xππ=∈-⋃，给出下列四个结论：①()f x 是偶函数； ②()f x 有4个零点； ③()f x 的最小值为12-；④()12f x x <的解集为1175,0,,26666πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋃⋃ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.其中，所有正确结论的序号为___________.15．（2022·贵州贵阳·模拟预测（理））若函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[]0,π上有且仅有3个零点和2个极小值点，则ω的取值范围为______． 16．（2022·江西师大附中三模（理））定义在[0,]π上的函数1(3sin cos )cos (0)2y x x x ωωωω=-+>有零点，且值域1,2M ⎡⎫⊆-+∞⎪⎢⎣⎭，则ω的取值范围是__________．17．（2022·陕西·西安中学一模（理））函数(21)()sin ln 22x f x x π+=--的所有零点之和为_________.18．（2022·浙江绍兴·模拟预测）函数()sin(π),R f x A x x ϕ=+∈（其中π0,02A ϕ>≤≤）部分图象如图所示，1(,)3P A 是该图象的最高点，M ，N 是图象与x 轴的交点．(1)求()f x 的最小正周期及ϕ的值；(2)若π4PMN PNM ∠+∠=，求A 的值．19．（2022·上海交大附中模拟预测）已知函数()()1cos 2f x x g x f x ωϕ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，，其中[]0,2πϕ∈(1)若12ω=且直线π2x =是()g x 的一条对称轴，求()g x 的递减区间和周期；(2)若21π3ωϕ==，，求函数()()()h x f x g x =-在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上的最小值；20．（2022·海南中学高三阶段练习）已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使()f x 的解析式唯一确定. (1)求()f x 的解析式；(2)设函数()()6g x f x f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，求()g x 在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上的最大值.条件①：()f x 的最小正周期为π； 条件②：()00f =；条件③：()f x 图象的一条对称轴为4x π=.注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.21．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）设ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，函数()2sin()cos sin f x x A x A =-+．(1)若1(0),3,12f a b =-==，求ABC 的面积；(2)当512x π=时，()f x 取最大值，求()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的值域.22．（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）已知函数()sin()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭满足：①()f x 的最大值为2；②06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭；()f x 的最小正周期为π．(1)求()f x 的解析式；(2)求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间与最小值．1．（2022·全国·高考真题）记函数()sin (0)4f x x b πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的最小正周期为T ．若23T ππ<<，且()y f x =的图象关于点3,22π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．1B ．32C ．52D ．32．（2022·全国·高考真题（理））设函数π()sin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（ ） A ．513,36⎫⎡⎪⎢⎣⎭B ．519,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．138,63⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1319,66⎛⎤ ⎥⎝⎦3．（2022·北京·高考真题）已知函数22()cos sin f x x x =-，则（ ）A ．()f x 在,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减B ．()f x 在,412ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增C ．()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．()f x 在7,412ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 4．（2021·北京·高考真题）函数()cos cos2f x x x =-是A ．奇函数，且最大值为2B ．偶函数，且最大值为2C ．奇函数，且最大值为98D ．偶函数，且最大值为985．（2021·全国·高考真题（文））函数()sin cos 33x xf x =+的最小正周期和最大值分别是（ ） A ．3π和2B ．3π和2C ．6π和2D ．6π和26．（2021·全国·高考真题）下列区间中，函数()7sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增的区间是（ ）A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭7．（多选题）（2022·全国·高考真题）已知函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<的图像关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则（ ） A ．()f x 在区间5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递减B ．()f x 在区间π11π,1212⎛⎫- ⎪⎝⎭有两个极值点C ．直线7π6x =是曲线()y f x =的对称轴 D ．直线32y x =-是曲线()y f x =的切线 8．（2022·全国·高考真题（理））记函数()()cos (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的最小正周期为T ，若3()2f T =，9x π=为()f x 的零点，则ω的最小值为____________．9．（2021·全国·高考真题（理））已知函数()2cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则满足条件74()()043f x f f x f ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---> ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最小正整数x 为________．10．（2021·浙江·高考真题）设函数()sin cos (R)f x x x x =+∈．（1）求函数22y fx π⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的最小正周期；（2）求函数()4y f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值．。
三次函数图像与性质(解析版)
专题2-2三次函数图像与性质【题型1】求三次函数的解析式【题型2】三次函数的单调性问题【题型3】三次函数的图像【题型4】三次函数的最值、极值问题【题型5】三次函数的零点问题【题型6】三次函数图像，单调性，极值，最值综合问题【题型7】三次函数对称中心【题型8】三次函数的切线问题【题型9】三次函数根与系数的关系1/342/34【题型1】求三次函数的解析式（1）一般式：()³²f x ax bx cx d =+++（a ≠0）（2）交点式：()123()()()f x a x x x x x x =---（a ≠0）1．若三次函数()f x 满足()()()()00,11,03,19f f f f ''====，则()3f =（）A ．38B ．171C ．460D ．965【解析】待定系数法，求函数解析式设()³²f x ax bx cx d =+++，则()232f x ax bx c '=++，由题意可得：()()()()0011031329f d f a b c d f c f a b c ⎧==⎪=+++=⎪⎨==⎪⎪=+'=⎩'+，解得101230a b c d =⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=⎩，则()3210123f x x x x =-+，所以()32310312333171f =⨯-⨯+⨯=.【题型2】三次函数的单调性问题三次函数是高中数学中的一个重要内容，其考点广泛且深入，主要涉及函数的性质、图像、最值、零点以及与其他函数的综合应用等方面。
以下是对三次函数常见考点的详细分析：1.三次函数的定义与形式∙定义：形如f (x )=ax 3+bx 2+cx +d （其中a ≠=0）的函数称为三次函数。
∙形式：注意系数a ,b ,c ,d 的作用，特别是a 的正负决定了函数的开口方向（a >0开口向上，a <0开口向下）。
新高考数学一轮二轮复习专题-专题三 函数的概念、图象和性质(原卷版)-4月5月真题汇编
专题三 函数的概念、图像和性质一、单选题1．（2021·全国高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为,(4)R f x +是偶函数，(6)3f =，()f x 在(,4]-∞上单调递减，则不等式(24)3f x -<的解集为（ ）A ．(4,6)B ．(,4)(6,)-∞⋃+∞C ．(,3)(5,)-∞⋃+∞D ．(3,5)2．（2021·北京石景山区·高三一模）已知22,0()32,0x x f x x x ⎧-=⎨->⎩，若()f x ax 在[1,1]x ∈-上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,1][0,)-∞-+∞B ．[0,1]C ．[1,0]-D ．(1,0)-3．（2021·天津南开区·高三一模）函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）A ．()21xf x x=-B ．()221xf x x =+C ．()221xf x x =-D ．()2211x f x x +=-4．（2020·江苏常州市·常州高级中学高一期中）已知函数()()2313,11,1a x a x f x x x ⎧-+<=⎨-+≥⎩在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A ．11,63⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．11,,63⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭5．（2020·上海高一专题练习）下列命题中正确的是（ ） A ．当m =0时，函数m y x =的图象是一条直线 B ．幂函数的图象都经过（0，0），（1，1）两点 C ．幂函数m y x =图象不可能在第四象限内D ．若幂函数m y x =为奇函数，则m y x =是定义域内的增函数6．（2021·浙江省宁海中学高三月考）已知函数()f x ，()g x 满足()()()()xx f x g x ef xg x e -⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，则()()()sin 2x h x f x g x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⋅的图像大致是（ ） A ． B ．C ．D ．7．（2021·天津高三月考）函数241x y x -=+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．（2020·上海高一专题练习）单调增函数()f x 对任意,x y R ∈满足()()()f x y f x f y +=+，若()()33920x x x f k f ⋅+--<恒成立，则k 的取值范围是（ ）A ．()1-B ．(),1-∞C ．(0,1⎤⎦D ．)1,⎡+∞⎣9．（2021·全国高三专题练习（理））已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足'()()0f x f x ->，()20212021f e =，则不等式1ln 3f x ⎛⎫<⎪⎝⎭（ ）A ．()6063,e+∞B ．()20210,eC ．()2021,e+∞ D ．()60630,e10．（2021·浙江高三其他模拟）已知函数()22cos sin e ex xx x f x --=+，则函数()f x 的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．11．（2021·内蒙古包头市·高三一模（文））设函数()ln 31ln 31f x x x =++-，则()f x （ ）A ．是偶函数，且在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭单调递增B ．是奇函数，且在11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减C ．是偶函数，且在1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭单调递增D ．是奇函数，且在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭单调递减12．（2021·全国高三月考（理））已知函数()12cos 122x xf xx -=⋅+，则()f x 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．13．（2021·全国高三月考（文））已知奇函数()f x 的定义域为{},0x x R x ∈≠，且有()()33f x f x =，()11f =，当120x x >>时，()()()121233120f x f x x x x x ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，则不等式()29f x x x≥的解集为（ ） A ．(][),33,-∞-+∞ B ．[)(]3,00,3- C ．(][),11,-∞-+∞D ．[)(]1,00,1-14．（2021·全国高三其他模拟）已知函数()f x 的定义域为(),-∞+∞，()11f =．若1x ∀，()2,x ∀∈-∞+∞，当12x x <时，()()122144f x x f x x ->-，则不等式()()4ln 455ln 45f x x ->--⎡⎤⎣⎦的解集为（ ）A ．5e ,4+⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．5,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．55e ,44+⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．55e ,44+⎡⎤⎢⎥⎣⎦15．（2021·全国高三月考（文））若函数2()f x x =在区间[,]a b 上的值域为[,1]()t t t +∈R ，则b a -（ ）A ．有最大值，但无最小值B ．既有最大值，也有最小值C ．无最大值，但有最小值D ．既无最大值，也无最小值16．（2021·全国高三其他模拟）已知函数()1y f x =+是定义在R 上的偶函数，且()f x 在(),1-∞上单调递减，()20f =，则()()10+<f x f x 的解集为（ ） A ．()()2,10,1--⋃ B ．()()1,01,2- C ．()1,2- D ．()2,1-17．（2021·全国）已知函数()f x 的定义域为R ，且满足：①对任意的1x ，()212[5,1]x x x ∈--≠，都有()()21210f x f x x x ->-；②(1)y f x =+是奇函数；③(1)=-y f x 为偶函数.则（ ）A ．(2021)(22)(3)f f f >>B ．(22)(3)(2021)f f f >>C ．(3)(22)(2021)f f f >>D ．(22)(2021)(3)f f f >>18．（2021·全国高三专题练习（文））已知函数()f x 定义域为R ，满足()()2f x f x =-，且对任意121x x ≤<均有()()()12120x x f x f x -⋅-<⎡⎤⎣⎦成立，则满足()()2130f x f x ---≥的x 的取值范围是（ ）A ．(]2,2,3⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭B ．(]4,0,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭C ．22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦19．（2021·全国高三专题练习（理））函数1010y =的图象可能是下图中的（ ）A ．B ．C ．D ．20．（2021·山东青岛市·高三一模）已知()y f x =为奇函数，()1y f x =+为偶函数，若当[]0,1x ∈时，()()2log a f x x =+，则()2021f =（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．221．（2021·全国高三专题练习（文））设()f x 是R 上的奇函数，且()f x 在(),0-∞上是减函数，又()40f -=，则不等式()()440f x f x x+--->的解集是（ ）A ．()0,4B ．()8,4--C ．()()4,00,4-D ．()()8,40,4--⋃22．（2021·全国高三专题练习（文））函数ln ||()||x f x x =的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．23．（2021·全国高三专题练习（理））已知定义域为R 的函数()f x 满足：①图象关于原点对称；②3()2f x f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭；③当30,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2()log (1)f x x m =++.若2(2020)log 3f =，则m =（ ）A ．1-B ．1C ．2-D ．2二、多选题24．（2021·湖南长沙市·长郡中学高三月考）意大利画家列奥纳多·达·芬奇（1452．4—1519．5）的画作《抱银貂的女人》中，女士脖颈上黑色珍珠项链与主人相互映衬呈现出不一样的美与光泽，达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数解析式：()coshxf x a a=，其中a 为悬链线系数，cosh x 称为双曲余弦函数，其函数表达式为cosh x ＝e e 2x x -+，相应地双曲正弦函数的表达式为sinh x ＝e e 2x x--．若直线x ＝m 与双曲余弦函数C 1与双曲正弦函数C 2的图象分别相交于点A ，B ，曲线C 1在点A 处的切线l 1与曲线C 2在点B 处的切线l 2相交于点P ，则下列结论正确的为（ ）A ．cosh(x ﹣y )＝cosh x cosh y ﹣sinh x sinh yB ．y ＝sinh x cosh x 是偶函数C ．(cosh x )′＝sinh xD ．若△P AB 是以A 为直角顶点的直角三角形，则实数m ＝025．（2021·全国高三专题练习）已知函数232(1)()1x x f x x ++=+，下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 的图象的对称中心是（0，1）B ．函数()f x 在R 上是增函数C ．函数()f x 是奇函数D ．方程(21)(2)2f x f x -+=的解为14x =26．（2021·全国高三专题练习）历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪德国数学家狄利克雷（Dirichlet ），当时数学家们处理的大部分数学对象都没有完全的严格的定义，数学家们习惯借助于直觉和想象来描述数学对象，狄利克雷在1829年给出了著名函数：1,()0,c x Q f x x Q ∈⎧=⎨∈⎩（其中Q 为有理数集，c Q 为无理数集），狄利克雷函数的出现表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，数学的一些“人造”特征开始展现出来，这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“概念、性质、结构”．一般地，广义的狄利克雷函数可定义为,(),c a x QD x b x Q ∈⎧=⎨∈⎩（其中a ，b R ∈且a b ），以下对()D x 说法正确的是（ ）A ．当a b >时，()D x 的值域为[],b a ；当a b <时，()D x 的值域为[],a bB ．任意非零有理数均是()D x 的周期，但任何无理数均不是()D x 的周期C ．()D x 为偶函数D ．()D x 在实数集的任何区间上都不具有单调性27．（2021·浙江高一开学考试）已知()f x 、()g x 都是定义在R 上的函数，且()f x 为奇函数，()g x 的图像关于直线1x =对称，则下列说法中正确的有（ ） A ．1yg f x 为偶函数B ．()y g f x =⎡⎤⎣⎦为奇函数C ．()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的图像关于直线1x =对称D ．1yf g x 为偶函数28．（2021·浙江高一期末）在下列四组函数中，()f x 与g()x 不表示同一函数．．．．．．．的是（ ） A ．()1f x x ，21()1x g x x -=+B ．()|1|f x x =+，1,1()1,1x x g x x x +≥-⎧=⎨--<-⎩C ．()1f x =，0()(1)g x x =+D ．()f x x =，2()g x =29．（2021·苏州市第五中学校高一月考）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，[]y x =也被称为“高斯函数”，例如：[ 3.5]4-=-，[2.1]2=.已知函数()[1]f x x x =+-，下列说法中正确的是（ ） A ．()f x 是周期函数 B ．()f x 的值域是[0,1]C ．()f x 在(0,1)上是减函数D ．x ∀∈R ，[()]0f x =第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 三、填空题30．（2021·浙江高一期末）设,a b ∈R，已知函数3,1(),1x f x bx x x ≤=⎨+>⎪⎩，若()f x 是在R 上的增函数，则b 的取值范围是_________.31．（2021·陕西西安市·高三月考（理））已知可导函数()f x 的定义域为(0,)+∞，满足()2()0xf x f x '-<，且(2)4f =，则不等式()24x x f >的解集是________．32．（2021·安徽省泗县第一中学高二月考（文））已知()f x 是定义在R 上的函数，且()()12()12f x f x f x +-=--，若(1)2f =+，则(2025)f =______．33．（2021·全国高三专题练习）设f (x )是定义在R 上周期为2的函数，当x ∈(-1，1]时，22,10()1x x m x f x x ⎧++-<<⎪=≤≤，其中m ∈R .若f (116)=f (32)，则m 的值是___________.34．（2021·全国高三专题练习）已知奇函数()f x 的定义域为R ，若(2)f x +为偶函数，且(1)1f =，则(2020)(2021)f f +=__________． 35．（2020·上海高一专题练习）设R a ∈，若0x >时，均有()()21110a x x ax ----≥⎡⎤⎣⎦成立，则实数a 的取值集合．．为_________. 36．（2021·上海高一）设函数()f x 对于所有的正实数x ，均有(3)3()f x f x =，且()12(13)f x x x =--≤≤，则使得()(2014)f x f =的最小的正实数x 的值为____．四、解答题37．（2021·湖南高一月考）已知幂函数()()2144m f x m m x+=+-在区间0,上单调递增.（1）求()f x 的解析式；（2）用定义法证明函数()()()43m g x f x x+=+在区间()0,2上单调递减.38．（2020·江苏省通州高级中学高一月考）设函数e ()e x x af x a+=-（e 为常数，e ＝2.718 28…，a ∈R ）.（1）若函数()f x 为奇函数，求实数a 的值； （2）若1a =-.①判断并证明函数f (x )的单调性；②若存在[]22x ∈-，，使得f (x 2＋2mx )+f (2－m )=0成立，求实数m 的取值范围. 39．（2020·江苏常州市·常州高级中学高一期中）已知函数()2af x x x=+． （1）判断()f x 的奇偶性，并给出理由； （2）当16a =时，①用定义证明函数()f x 在区间[)2,+∞上是单调增函数；②若存在()0,x ∈+∞，使得不等式()42f x m m <-成立，求实数m 的取值范围．40．（2020·上海高一专题练习）幂函数273235()(1)t t f x t t x+-=-+是偶函数，且在(0,)+∞上为增函数，求函数解析式.41．（2021·湖北高二月考）已知函数ln ()xf x x=． （1）判断()f x 的单调性，并比较20222021与20212022的大小； （2）若函数2()(1)(()1)2ag x x x f x =-+-，其中1a e ≤<，判断()g x 的零点的个数，并说明理由．42．（2021·浙江高一期末）设函数()()()212,xxk f x k x R k Z -=+-⋅∈∈（1）若()k f x 是偶函数，求k 的值（2）若存在]2[1x ∈，，使得()()014f x mf x +<成立，求实数m 的取值范围； （3）设函数()()()0224g x f x f x λ=-+若()g x 在[)1,x ∈+∞有零点，求实数λ的取值范围．43．（2021·安徽高一开学考试）已知函数()21,0,0x ax x f x e x -⎧+<=⎨≥⎩且()()013f f +-=.（1）求实数a 的值；（2）若对任意的[]1,1x ∈-，不等式()()()()2121bf b x b f x +-+≥恒成立，求正数b的取值范围.44．（2020·上海高一专题练习）求下列函数的值域（1）34x y x +=-； （2）25243y x x =-+；（3）y x =；（4）22436x x y x x ++=+-；（5）4y =；（6）y x =+（7）y =；（8）y =（9）312x y x +=-； （10）2211()212x x y x x -+=>-. 45．（2020·上海高一专题练习）根据下列条件，求函数()f x 的解析式；（1）已知()f x 是一次函数，且满足()()3121217f x f x x +--=+；（2）已知3311f x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭； （3）已知等式()()()21f x y f x y x y -=--+对一切实数x ､y 都成立，且()01f =；（4）知函数()f x 满足条件()123f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭对任意不为零的实数x 恒成立46．（2020·上海高一专题练习）()f x =为奇函数，则a 的取值范围 47．（2020·上海高一专题练习）已知()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数，且(1)1f =，若,1,1a b ，0a b +≠，有()()0f a f b a b+>+成立； （1）判断()f x 在[]1,1-上的单调性，并证明你的结论；（2）解不等式11()21f x f x ⎛⎫+< ⎪-⎝⎭； 48．（2020·上海高一专题练习）已知二次函数2()(1)f x ax a x a =+-+.（1）函数()f x 在(,1)-∞-上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）关于x 的不等式()2f x x≥在[]1,2x ∈上恒成立，求实数a 的取值范围； （3）函数21(1)()()a x g x f x x--=+在(2,3)上是增函数，求实数a 的取值范围. 49．（2021·上海高一）设函数2()(3)3f x mx m x =+--（1）若对任意[]1,3x ∈，不等式()0f x >恒成立，求实数m 的取值范围 （2）若存在[]1,3x ∈，不等式()0f x >成立，求实数m 的取值范围50．（2021·山东德州市·高一期末）已知函数()y f x =的图象与()()log 0,1a g x x a a =>≠的图象关于x 轴对称，且()g x 的图象过点()4,2. （1）若()()315f x f x ->-+成立，求x 的取值范围；（2）若对于任意[]1,4x ∈，不等式()204x f x g m ⎛⎫-< ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围. 51．（2021·四川高一开学考试）设函数()223,f x x ax a =-+∈R ．（1）当[]1,1x ∈-时，求函数()f x 的最小值()g a 的表达式；（2）求函数()g a 的最大值．五、双空题52．（2021·山东菏泽市·高三一模）已知()f x 是定义在R 上的偶函数且()01f =，()()1g x f x =-是奇函数，则()2021f =________．()411n i f i -==∑_____________．。
专题17 解三角形-2020年高考数学(理)(全国Ⅱ专版)(原卷版)
专题17解三角形【母题来源一】【2020年高考全国Ⅱ卷理数】ABC △中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C ．（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC △周长的最大值.【答案】（1）23π；（2）3+【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出cos A 的形式，进而求得A ；（2）利用余弦定理可得到()29AC AB AC AB +-⋅=，利用基本不等式可求得AC AB +的最大值，进而得到结果.【解析】（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB --=⋅，2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅，()0,A π∈ ，23A π∴=.（2）由余弦定理得：222222cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB =+-⋅=++⋅=，即()29AC AB AC AB +-⋅=.22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭（当且仅当AC AB =时取等号），()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭，解得：AC AB +≤（当且仅当AC AB =时取等号），ABC ∴△周长3L AC AB BC =++≤+ABC ∴△周长的最大值为3+【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值.【母题来源二】【2019年高考全国Ⅱ卷理数】ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC △的面积为_________．【答案】【解析】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=，即212c =，解得c c ==-，所以2a c ==113sin 222ABC S ac B ==⨯=△【名师点睛】本题易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．本题首先应用余弦定理，建立关于c 的方程，应用,a c 的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．【母题来源三】【2018年高考全国Ⅱ理数】在ABC △中，5cos 25C =，1BC =，5AC =，则AB =A ．BC ．D ．【答案】A【解析】因为2253cos 2cos 121,255C C ⎛⎫=-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭所以22232cos 125215325AB BC AC BC AC C AB ⎛⎫=+-⋅=+-⨯⨯⨯-== ⎪⎝⎭，则，故选A.【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，结合已知条件，灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.【命题意图】三角函数主要考查利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题，常与同角三角函数的关系、诱导公式、和差角公式，甚至三角函数的图象和性质等交汇命题，多以选择、填空、解答题的形式出现，属解答题中的低档题．预测今后的高考仍将以正弦定理、余弦定理，尤其是两个定理的综合应用为主要考点，可能与三角函数的图象和性质等交汇命题，重点考查计算能力以及应用数学知识分析和解决问题的能力．【命题规律】本考点一直是高考的热点，尤其是已知边角求其他边角，判断三角形的形状，求三角形的面积考查比较频繁，既有直接考查两个定理应用的选择题或填空题，也有考查两个定理与和差公式、倍角公式及三角形面积公式综合应用的解答题，解题时要掌握正、余弦定理及灵活运用，注意函数与方程思想、转化与化归思想在解题中的应用.【应试技巧】在ABC △中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则1．正弦定理：sin sin sin a b c==A B C.2．常见变形sin sin sin 1,,,sin sin ,sin sin ,sin sin ;sin sin sin A a C c B b a B b A a C c A b C c B B b A a C c ======（）2;sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin a b c a b a c b c a b c A B C A B A C B C A B C+++++======+++++（）3::sin :sin :sin ;a b c A B C =（）3．余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即2222222222cos ,2cos 2cos .a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+-，4．余弦定理的推论从余弦定理，可以得到它的推论222222222cos ,cos ,cos 222b c a c a b a b c A B C bc ca ab+-+-+-===5．三角形面积公式（1）三角形的高的公式：h A =b sin C =c sin B ，h B =c sin A =a sin C ，h C =a sin B =b sin A ．（2）三角形的面积公式：S =21ab sin C ，S =21bc sin A ，S =21ca sin B.6．正弦定理可以用来解决两类解三角形的问题：（1）已知两角和任意一边，求其他的边和角；（2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角．4==.sin sin sin a b cR R ABC A B C（）正弦定理的推广：，其中为△外接圆的半径7．三角形解的个数的探究（以已知a b ，和A 解三角形为例）（1）从代数角度来看：①若sin sin 1b AB=a>，则满足条件的三角形的个数为0，即无解；②若sin sin 1b A B=a =，则满足条件的三角形的个数为1；③若sin sin 1b A B=a<，则满足条件的三角形的个数为1或2.注：对于（3），由sin 0sin 1b AB=a<<可知B 可能为锐角，也可能为钝角，此时应由“大边对大角”“三角形内角和等于180°”等进行讨论.（2）从几何角度来看：①当A 为锐角时，一解一解两解无解②当A 为钝角或直角时，一解一解无解无解8．利用余弦定理解三角形的步骤【解题经验分享】1．对三角形中的不等式，要注意利用正弦、余弦的有界性进行适当“放缩”．2．在解实际问题时，需注意的两个问题(1)要注意仰角、俯角、方位角等名词，并能准确地找出这些角；(2)要注意将平面几何中的性质、定理与正、余弦定理结合起来，发现题目中的隐含条件，才能顺利解决．3．利用正弦定理与余弦定理解题时，经常用到转化思想一个是把边转化为角，另一个是把角转化为边，，具体情况应根据题目给定的表达式进行确定，不管哪个途径，最终转化为角的统一或边的统一，也是我们利用正弦定理与余弦定理化简式子的最终目标，对于两个定理都能用的题目，应优先考虑利用正弦定理，会给计算带来相对的简便，根据已知条件中边的大小来确定角的大小，此时利用正弦定理去计算较小边所对的角，可避免分类讨论，利用余弦定理的推论，可根据角的余弦值的正负直接确定所求角是有锐角还是钝角，但计算麻烦．1．（2020·河北新乐市第一中学高三）已知ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若222a b c bc =+-，4bc =，则ABC 的面积A ．12B ．1C ．D ．22．（2020·安徽省高三三模）在ABC 中，若3,120AB BC C ==∠= ，则AC =A ．1B ．2C ．3D ．43．（2020·横峰中学高三）在ABC 中，已知45A ∠=︒，AB =，且AB 边上的高为则sin C =A ．1010BC ．5D ．54．（2020·广西壮族自治区高三）已知ABC 中，BC 边上的中线3AD =，4BC =，60BAC ∠=︒，则ABC ∆的周长为A 4+B ．4+C ．4+D ．45．（2020·山东省高三）在ABC 中，cos cos A B +=，AB =当sin sin A B +取最大值时，ABC 内切圆的半径为A ．3B ．2C ．13D ．26．（2020·陕西省洛南中学高三）在ABC 中，若7a =，8b =，1cos 7B =-，则A ∠的大小为A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π7．（2020·广东省深圳外国语学校高三月考）海伦公式是利用三角形的三条边的边长,,a b c 直接求三角形面积S 的公式，表达式为：+c2a b S p +==；它的特点是形式漂亮，便于记忆.中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，虽然它与海伦公式形式上有所不同，但它与海伦公式完全等价，因此海伦公式又译作海伦－秦九韶公式.现在有周长为的△ABC 满足sin :sin :sin 2:A B C =，则用以上给出的公式求得△ABC 的面积为A ．B ．C ．D ．128．（2020·广东省深圳外国语学校高三月考）ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知3b a cosC sinC 3⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，a 2=，c 3=，则角C =A ．π3B ．π6C ．3π4D ．π49．（2020·麻城市实验高级中学高三）锐角ABC ∆中，角,,A B C ，所对的边分别为,,a b c ，若()sin 04A B C π⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，1b c ==，则角C 的大小为A ．12πB ．6πC ．3πD ．512π10．（2020·麻城市实验高级中学高三）《易经》包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用，《易经》的博大精深，对今天的几何学和其它学科仍有深刻的影响.下图就是易经中记载的几何图形——八卦田，图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，八块面积相等的曲边梯形代表八卦田.已知正八边形的边长为10m ，阴阳太极图的半径为4m ，则每块八卦田的面积约为A ．2114mB ．257mC ．254m D ．248m 11．（2020·福建省高三）设ABC 内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c .已知()4cos cos a c B b C -=，则cos B =______．12．（2020·青海省高三）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a =4b =，120A =︒，则ABC 的面积为______．13．（2020·重庆市凤鸣山中学高三月考）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3A π=，6a =，b =，则C =_______．14．（2020·四川省阆中中学高三二模）在ABC 中，若()22235a c b+=，则cos B 的最小值为______．15．（2020·全国高三月考）设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()2cos cos 0a c B b C ++=，且4ac =，则ABC 的面积为______．16．（2020·内蒙古自治区高三二模）在锐角ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sinsin 2B Cb a B +⋅=⋅，且2c =，则锐角ABC 面积的取值范围是______．17．（2020·赣榆智贤中学高三）在ABC 中角A ，B ，C 的对边分別为a ，b ，c ，且352115cos cos cos bc A ac B ab C==，则cos C 的值为______．18．（2020·河南省高三月考）设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足()222cos cos b a a B b A -=+，ABC ∆的周长为)51，则ABC ∆面积的最大值为______．19．（2020·福建省厦门外国语学校高三）如图所示，三个全等的三角形ABF 、BCD 、CAE V 拼成一个等边三角形ABC ，且DEF 为等边三角形，2EF AE =，设ACE θ∠=，则sin 2θ=______．20．（2020·江苏省高三）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其接圆半径为R .已知1c =，且△ABC 的面积()()22sin sin S R B A B A =-+，则a 的最小值为______．21．（2020·山东省高三二模）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .若sin sin b A a C =，1c =，则b =______，ABC ∆面积的最大值为______．22．（2020·西藏自治区高三二模）在ABC 中，4a =，5b =，6c =，则cos A =________，ABC 的面积为________．23．（2020·浙江省杭州高级中学高三）在平面四边形ABCD 中，BC CD ⊥，135o B ∠=，AB =，AC =，5CD =，则sin ACB ∠=________，AD =________.24．（2020·广东省高三月考）已知锐角ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且sin cos cos b A A C =2cos A，则tan A =______；若2a =，则b c +的取值范围为______．25．（2020·浙江省高三）已知在ABC 中，1cos3B =，AB =，8AC =，延长BC 至D ，使2CD =，则AD =______，sin CAD ∠=______．26．（2020·山东省高三三模）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c )cos sin a b C c B -=．（Ⅰ）求角B ；（Ⅱ）若b =，sin 3sin A C =，求BC 边上的高．27．（2020·天津高三二模）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a 2+c 2＝b 2105+ac .（1）求cosB 及tan 2B 的值；（2）若b ＝3，A 4π=，求c 的值.28．（2020·定远县育才学校高三）ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知()2cos c a B -=.（1）求角A ；（2）若2a =，求ABC 面积的取值范围.29．（2020·黑龙江省哈尔滨市第六中学校高三三模）在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，已知()cos 2cos a C b c A =-.（1）求角A 的大小；（2）若a =，2b =，求ABC ∆的面积.30．（2020·全国高三月考）已知ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且57b c =，4cos 5A =，ABC 的面积21S =.（1）求边b 和c ；（2）求角B .31．（2020·广东省高三）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足22sin 1cos22A B C +=-.（1）求出角C 的大小；（2）若ABC ，求ABC 的周长的最小值.32．（2020·湖北省高三）已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，其面积S 2224b c a +-=．（1）若a =b =cos B ．（2）求sin （A +B ）+sin B cos B +cos （B ﹣A ）的最大值．33．（2020·四川省泸县五中高三二模）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22212cos 2B C a b c +⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.（1）求角C ；（2）若c =，求ABC ∆周长的最大值.34．（2020·六盘山高级中学高三）已知ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2A π≠，且满足()sin 220cos 0bc A B C ++=.（1）求ABC ∆的面积S ；（2）若24a S =，求c bb c +的最大值.35．（2020·宜宾市叙州区第一中学校高三二模）在ABC ∆中，角A ，B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且3cos sin b A B=.（1）求A ；（2）若2a =，且()cos 2sin sin cos B C B C C -=-，求ABC ∆的面积.36．（2020·定西市第一中学高三）在锐角ABC 中，a =，________，（1）求角A ；（2）求ABC 的周长l 的范围.注：在①(cos ,sin ),(cos ,sin )2222A A A A m n =-= ，且12m n ⋅=- ，②cos (2)cos A b c a C -=，③11()cos cos(,()344f x x x f A π=--=这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并对其进行求解.37．（2020·天津耀华中学高三一模）在ABC △中，,,a b c 分别是三个内角,,A B C 的对边，若3,4,2b c C B ===，且a b ¹.（Ⅰ）求cos B 及a 的值；（Ⅱ）求cos 23B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.38．（2020·山东省高三）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin sin sin cos cos cos A B C A B C+=+（1）若ABC 还同时满足下列四个条件中的三个：①7a =，②10b =，③8c =，④ABC 的面积S =（2）若3a =，求ABC 周长L 的取值范围．39．（2020·广东省金山中学高三三模）已知ABC 内接于单位圆，且()()112tanA tanB ++=，()1求角C()2求ABC 面积的最大值．40．（2020·梅河口市第五中学高三）已知a ，b ，c 分别是ABC 的内角A ，B ，C 的对边，()sin sin sin sin a A C b B c C -=-，点D 在边AB 上，1BD =，且DA =.（1）求角B 的大小；（2）若BCD 的面积为2，求b 的值.41．（2020·江苏省高三三模）△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若5(sin C sin B)5sin A 8sin B a b c--=+．（1）求cosC 的值；（2）若A ＝C ，求sinB 的值．42．（2020·湖南省高三三模）已知,,a b c 分别是ABC 内角,,A B C 的对边，()cos (cos cos )b a C c A B -=-，22b ac =．（1）求cos C ；（2）若ABC c ．43．（2020·云南省云南师大附中高三）设ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且三个内角A 、B 、C 依次成等差数列.（1）若2sin sin sin B A C =，求角A ；（2）若ABC 为钝角三角形，且a c >，求21cos cos 2222A A C -+的取值范围.44．（2020·巩义市教育科研培训中心高三）已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，120C =︒.（1）若2a b =，求tan A 的值；（2）若ACB ∠的平分线交AB 于点D ，且1CD =，求ABC 的面积的最小值.45．（2020·甘肃省静宁县第一中学高三）在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos c B b C =，BC 边上的高12AD =，4sin 5BAC ∠=.（1）求BC 的长：（2）过点A 作AE AB ⊥，垂足为A ，且CAE ∠为锐角，AE =sin ACE ∠.46．（2020·甘肃省民乐县第一中学高三）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin c b A b -=．（1）证明：2A B =．（2）若3cos 4B =，求sinC 的值．47．（2020·甘肃省高三）如图所示，ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且s 3c in os 3b C C a-=.（1）求A ；（2）若点P 是线段CA 延长线上一点，且3PA =，2AC =，6C π=，求PB .48．（2020·黑龙江省哈师大附中高三）在锐角ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且直线x C =为函数()22cos sin cos f x x x x x =--图象的一条对称轴．（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若kc a b ≥+恒成立，求实数k 的最小值．49．（2020·甘肃省西北师大附中高三）在ABC ∆中，角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，且)()2cos cos b A C π--=.(Ⅰ)求A 的值；(Ⅱ)若角,6B BC π=边上的中线AM =，求ABC ∆的面积.50．（2020·福建省厦门一中高三）如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，33CD AB ==．（1）若CA CD =，且tan ABC ∠=ABC 的面积S ；（2）若2cos 4DAC ∠=，3cos 4ACD ∠=，求BD 的长．51．（2020·全国高三三模）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边长分别等于a ，b ，c ，列举如下五个条件:①sin sin 2B C a B b +=；sin A A +=；③cos A +cos2A =0；④a =4；⑤△ABC 的面积等于.（1）请在五个条件中选择一个(只需选择一个)能够确定角A 大小的条件来求角A ；（2）在（1）的结论的基础上，再在所给条件中选择一个(只需选择一个)，求△ABC 周长的取值范围52．（2020·山东省高三二模）在①222b ac a c +=+，②cos sin B b A =cos 2B B +=，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，_________，4A π=，b =（1）求角B ；（2）求ABC 的面积.。
高考数学专题复习：三次函数图像与性质及其应用
三次函数的图像与性质及应用一. 基本命题原理对于三次函数而言，其导函数为一个二次函数，那么根据其导函数的基本性质，可将三次函数的图象和性质梳理如下： 1.根的个数（0>a ）.对于三次函数，其导函数为二次函数:，二次函数的判别式化简为：△=， （1）若，则恰有一个实根；（2）若,且，则0)(=x f 恰有一个实根； （3）若,且，则0)(=x f 有两个不相等的实根； （4）若,且，则0)(=x f 有三个不相等的实根.注：由图像可知：①0)(=x f 含有一个实根的充要条件是曲线)(x f y =与x 轴只相交一次， 即)(x f 在R 上为单调函数（或两极值同号），所以032≤−ac b （或032>−ac b ，且0)()(21>⋅x f x f ）.②0)(=x f 有两个相异实根的充要条件是曲线)(x f y =与x 轴有两个公共点且其中之一 为切点，所以032>−ac b ，且0)()(21=⋅x f x f .③0)(=x f 有三个不相等的实根的充要条件是曲线)(x f y =与x 轴有三个公共点，即)(x f 有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.故032>−ac b 且0)()(21<⋅x f x f .)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f )0(23)(2'≠++=a c bx ax x f ()0f x =d cx bx ax x f +++=23)()0(23)('2≠++=a c bx ax x f )3(412422ac b ac b −=−032≤−ac b 0)(=x f 032>−ac b 0)()(21>⋅x f x f 032>−ac b 0)()(21=⋅x f x f 032>−ac b 0)()(21<⋅x f xf2.极值情况：三次函数（0>a ）,导函数为二次函数，二次函数的判别式化简为：△=， （1） 若，则)(x f 在),(+∞−∞上为增函数；（2）若，则)(x f 在和上为增函数，)(x f 在),(21x x 上为减函数，其中. 证明：c bx ax x f ++=23)('2, △=)3(412422ac b ac b −=−，（1） 当0≤∆ 即032≤−ac b 时，0)('≥x f 在 R 上恒成立， 即)(x f 在),(+∞−∞为 增函数.（2） 当0>∆ 即032>−ac b 时，解方程0)('=x f ，得由0)('>x f 得1x x <或2x x >，)(x f 在),(1x −∞和),(2+∞x 上为增函数.由0)('<x f 得21x x x <<，)(x f 在),(21x x 上为减函数.总结以上得到结论:三次函数d cx bx ax x f +++=23)(（0>a ） （1）若032≤−ac b ，则)(x f 在R 上无极值；（2）若032>−ac b ，则)(x f 在R 上有两个极值；且)(x f 在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值.d cx bx ax x f +++=23)()0(23)(2'>++=a c bx ax x f )3(412422ac b ac b −=−032≤−ac b 032>−ac b ),(1x −∞),(2+∞x aacb b x a ac b b x 33,332221−+−=−−−=aacb b x a ac b b x 33,332221−+−=−−−=3.对称中心三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 的对称中心为点))3(,3(abf a b f −−，该点是三 次函数的拐点，此点的横坐标也是二阶导数的零点.4.三次方程根与系数得关系（1）已知实系数多项式32()x ax bx cx d ϕ=+++有三个根,设为123,,.x x x123122331123,,.b c dx x x x x x x x x x x x a a a++=−++==−（2）由三次方程根与系数的关系：32()()()()().x a x b x c x a b c x ab bc ca x abc +++=+++++++5.对称中心处的切线拐点是函数凸凹性发生转换的点，即由凸转凹，或者由凹转凸，即0)(0''=x f ，当0x x <时，0)(''<x f 或0)(''>x f ，当0x x >时，0)(''>x f 或0)(''<x f .如图，点A 为函数)(x f 的拐点，做点A 处的切线，可以看到，具有单个拐点的函数)(x f y =可以看作是1个凸函数和1个凹函数通过拐点进行缝合，它们在缝合点处具有相同的切线l ，这条切线l 将平面分别两个半平面，一半包含一个凸函数，另一半包含一个凹函数二．典例应用★应用1.函数的性质考察.例 2.已知曲线3()3f x x x λ=−+在点(,())A m f m 处的切线与曲线的另外一个交点为,B P 为线段AB 的中点,O 为坐标原点.（1）求()f x 的极小值并讨论()f x 的奇偶性.（2）当函数()f x 为奇函数时,直线OP 的斜率记为k ,若34k −,求实数m 的取值范围. 解析：（1）2()333(1)(1)f x x x x '=−=+−，当11x −<<时,()0f x '<；当1x >时，()0f x '>.当0λ=时3()3f x x x =−,显然3()3()f x x x f x −=−+=−，所以()f x 为奇函数.当0λ≠时(1)2,(1)2f f λλ−=+=−+，显然(1)(1)f f −≠. 且(1)(1)20f f λ−+=≠，所以()f x 为非奇非偶函数.（2）2()33f x x '=−,所以曲线在点(,())A m f m 处的切线方程为()()32333()y m m m x m λ−−+=−−，其与原曲线方程33y x x λ=−+，联立化简得:2()(2)0x m x m −+=.从而()32,86(0)B m m m m λ−−++≠.所以3732,22m m m P λ⎛⎫−++− ⎪⎝⎭,3732m m k m λ−−=.由于(0,2),18m k ∀∈； 即当(0,2)m ∈时，都有32721m m λ−.令3()721h m m m =−,则2()212121(1)(1)h m m m m '=−=+−，易知当01m <<时,()0h m '<；当12m <<时,()0h m '>.即()h m 在(0,1)上递减，在(1,2)上递增，所以当(0,2)m ∈时,min ()(1)14h m h ==−，所以2147λλ−⇔−，从而实数λ的取值范国为(,7]−∞−. 注：可以看到，切点的横坐标恰好便是方程①的二重根.例3.（切割线定理）如果我们将上述的内容再结合三次函数韦达定理，就可以得到更多有趣的结论.如图，过切点A ))(,(A A x f x 的切线与三次函数)(x f y =的图象交于B 点，同时，过))(,(00x f x 的割线AD 与三次函数)(x f y =的图象交于C A D ,,三点. 我们有以下结论：三次函数切割线定理. （1）abx x B A −=+2； （2）D C B A x x x x +=+； （3）A F E x x x 2=+.证明：显然，方程①整理可得：0)())((000'23=+−−+++x f x x x f d cx bx ax .结合上述重根个数定理以及韦达定理可得：abx x B A −=+2，结论（1）证毕. （2）设直线AD 的方程为m kx y +=，代入)(x f y =的表达式结合韦达定理可得：abx x x D C A −=++,再联立a b x x B A −=+2，可证得：D C B A x x x x +=+.（3）同理，如图a bx x x E E B −=++，再联立a b x x B A −=+2，可得：A F E x x x 2=+.练习1.（2016年天津卷）设函数R b a b ax x x f ∈−−−=,,)1()(3. （1）求)(x f 的单调区间；（2）若)(x f 存在极值点0x x =，且)()(10x f x f =，其中10x x ≠，求证：3201=+x x . 解析：（2）过极值点0x x =做函数)(x f 图象的切线)(0x f y =，其与)(x f y =交点横坐标为1x x =. 将函数b ax x x f −−−=3)1()(展开可得：)1()3(3)(23+−−+−=b x a x x x f 由上述切割线定理可知：3201=+x x ，证毕.练习2. 下列关于三次函数32()(0)()f x ax bx cx d a x R =+++≠∈叙述正确的是（ ） ①函数()f x 的图象一定是中心对称图形； ②函数()f x 可能只有一个极值点； ③当03bx a≠−时，()f x 在0x x =处的切线与函数()y f x =的图象有且仅有两个交点； ④当03bx a≠−时，则过点()()00,x f x 的切线可能有一条或者三条． A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④由上述结论易得：A.★应用2.三次函数的切线个数例4．已知函数()33f x x x =−．（1）求()f x 在区间[]()0,0m m >上的最大值和最小值； （2）在曲线2yx 上是否存在点P ，使得过点P 可作三条直线与曲线()y f x =相切？若存在，求出其横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由． 解析：（2）假设存在符合条件的点()2,P a a，切点设为()300,3x xx −.所以，根据导数几何意义可得：()2300200333a x x x a x −−=−−即322002330x ax a a −++=①故问题转化为关于0x 的方程①存在三个不同实根．令()322233g x x ax a a =−++，则()()2666g x x ax x x a '=−=−；当0a =时，()260g x x ='≥，()g x 单调递增，不合题意；当0a >时，易知()g x 在(),0−∞单调递增，在()0,a 单调递减，在(),a +∞单调递增，从而()()000g g a ⎧>⎪⎨<⎪⎩，即2323030a a a a a ⎧+>⎨−++<⎩解得：a >0a <时，易知()g x 在(),a −∞单调递增，在(),0a 单调递减，在()0,+∞单调递增从而()()000g a g ⎧>⎪⎨<⎪⎩，即3223030a a a a a ⎧−++>⎨+<⎩解得：3a −<<，综上，存在符合条件的点()2,P a a，其横坐标的取值范围为⎛⎫−⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 注.三次函数的切线条数是三次函数中典型应用之一，其实质就是在讨论三次方程根的个数，是一类非常典型的函数与方程综合问题，颇受命题人青睐.★应用3.三次方程的根与韦达定理同样是2020年全国三卷23题，不等式选做题，依然以三次方程根与系数的关系命制而 成，下面予以分析，希望各位读者在高三备考时重视对三次方程根与系数关系的认识程度， 有备无患！例5．设直线y t =与曲线()23C y x x =−：的三个交点分别为()()()A a t B b t C c t ，，，，，，且a b c <<．现给出如下结论：①abc 的取值范围是()04，；②222a b c ++为定值；③6a b c ++=. 其中正确结论的为解析：设()()232369y f x x x x x x ==−=−+，则()23129f x x x '=+-，令()0f x '=，解得：1x =或3x =；当1x <或3x >时，0fx，当13x <<时，()0f x '<；∴()f x 在)1,(−∞上是增函数，在（1，3）上是减函数，在（3，+∞）上是增函数；当1x =时，()f x 取得极大值()14f =，当3x =时，()f x 取得极小值()30f =；作出函数()f x 的图象如图所示：∵直线y t =与曲线()23C y x x =−：有三个交点，由图象知04t ＜＜. 令()()232369g x x x t x x x t =−=+---，则a b c ，，是()0g x =的三个实根．∴()()()3269x x x t x a x b x c +=-----，即()()323269x x x t x a b c x ab ac bc x abc −+−=−+++++−，∴6a b c ++=，9ab bc ac ++=，abc t =，①③正确；∴()()2222218a b c a b c ab bc ac ++=++++=-，∴②正确；综上，正确的命题序号是①②③．故答案为：①②③．★应用4.三次方程根的分布下面这道题目是2020年三卷的导数压轴题，其实质考察了三次函数的零点分布.但其却 具有非常丰厚的数学背景，即三次方程根的三角形式，也是此题的命题原理.为此，此题 先用函数思想求解，再给出其命题背景.例6.（2020全国3卷）设函数c bx x x f ++=3)(，曲线)(x f y =在点))21(,21(f 处的切线与y 轴垂直. （1）求b ；（2）若)(x f 有一个绝对值不大于1的零点，证明:)(x f 所有的零点的绝对值都不大于1.解析：（1）因为'2()3f x x b =+，由题意，'1()02f =，即21302b ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭,则34b =−.（2）由（1）可得33()4f x x x c =−+，故'2311()33()()422f x x x x =−=+−，令'()0f x >，得12x >或12x <−；令'()0f x <，得1122x −<<，所以()f x 在11(,)22−上单调递减，在1(,)2−∞−，1(,)2+∞上单调递增，且111111(1),(),(),(1)424244f c f c f c f c −=−−=+=−=+，若()f x 所有零点中存在一个绝对值大于1的零点0x ，则(1)0f −>或(1)0f <，即14c >或14c <−.当14c >时，111111(1)0,()0,()0,(1)0424244f c f c f c f c −=−>−=+>=−>=+>，又32(4)6434(116)0f c c c c c c −=−++=−<，由零点存在性定理知()f x 在(4,1)c −−上存在唯一一个零点0x ，即()f x 在(,1)−∞−上存在唯一一个零点，在(1,)−+∞上不存在零点，此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；当14c <−时，111111(1)0,()0,()0,(1)0424244f c f c f c f c −=−<−=+<=−<=+<，又32(4)6434(116)0f c c c c c c −=++=−>，由零点存在性定理知()f x 在(1,4)c −上存在唯一一个零点0'x ，即()f x 在(1,)+∞上存在唯一一个零点，在(,1)−∞上不存在零点，此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；综上，()f x 所有零点的绝对值都不大于1.应用5.三次函数的拐点切线 例7.已知函数()321132f x x ax bx =++在区间[)(]1,1,1,3−内各有一个极值点. （1）求24a b −的最大值；（2）当248a b −=时，设函数()y f x =在点()()1,1A f 处的切线为l ，若在点A 处穿过()y f x =的图象（即动点在点A 附近沿曲线()y f x =运动，经过点A 时，从l 的一侧进入另一侧），求函数()f x 的表达式. 解析：（1）因为函数()321132f x x ax bx =++在区间[)(]1,1,1,3−内分别有一个极值点， 所以b ax x x f ++='2)(在区间[)(]1,1,1,3−内分别有一个实根，设两实根为1x ，2x （1x <2x ），则b a x x 4212−=−，且4012≤−<x x ，于是4402≤−<b a ，16402≤−<b a ，且当11−=x ，32=x ，即2−=a ，3−=b 时等号成立，故24a b −的最大值是16（2）由b a f ++='1)1(知)(x f 在点()()1,1A f 处的切线l 的方程是)1)(1()1(−'=−x f f y ，即a x b a y 2132)1(−−++=，因为切线l 在点A 处穿过()y f x =的图象所以]2132)1[()()(a x b a x f x g −−++−=在1=x 两边附近的函数值异号，则1=x 不是)(x g 的极值点，而a x b a bx ax x x g 2132)1(2131)(23++++−++=，且)1)(1(1)1()(22a x x a ax xb a b ax x x g ++−=−−+=++−++='，若a −−≠11，则1=x 和a x −−=1都是)(x g 的极值点，所以a −−=11，即2−=a ，又由248a b −=得1−=b ，故x x x x f −−=2331)(.五．习题演练习题1．已知函数()()23f x x x =−，若()()()f a f b f c ==，其中a b c <<，则（ ）A ．12a <<B ．6a b c ++=C ．2a b +>D ．abc 的取值范围是()0,4 解析：因为()()23f x x x =−，所以()231293(3)(1)f x x x x x =−=−−'+，令()0f x '=，解得：1x =或3x =，当0f x 时，3x >或1x <，所以()f x 单调递增区间为(),1−∞和()3,+∞；当()0f x '<时，13x <<，所以()f x 单调递减区间为()1,3；且(3)0f =，(1)(4)4f f ==，如图：设()()()f a f b f c t ===，则04t <<，0134a b c <<<<<<，故选项A 错误； 又()()()()f x t x a x b x b −=−−−，所以()23()()()x x t x a x b x c −−=−−−，即323269()()x x x t x a b c x ab ac bc x abc −+−=−+++++−，对照系数得6a b c ++=，故选项B 正确；(0,4)abc t =∈，故选项D 正确；因为34c <<，所以36()4a b <−+<，解得23a b <+<，故选项C 正确，综上，正确的选项为BCD.故选：BCD习题2.已知函数()313f x x tx t =++． （1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 有三个不同的零点1x 、2x 、3x ,求t 的取值范围,并证明：123x x x ++<解析：（1）2()f x x t =+'①当0t 时,()0f x ',则()f x 在R 上单调递增,无递减区间；②当0t <时, ()f x 在(上单调递减,在(,)∞∞−+上单调递增（2）由（1）知函数f (x )有三个零点,则0t <∵()f x 在(上单调递减,在(,)∞∞−+上单调递增∴()f x 的极大值为2(3f t =−且极大值大于0,极小值为23f t =+∵()f x 有三个不同的零点123,,x x x ,∴203f t =+< 解得94t <−,故t 的取值范围为9,4⎛⎫−∞− ⎪⎝⎭． 又∵(0)0f t =<,当x →+∞时,有()f x →+∞,当x →−∞时,有()f x →−∞．∴设123x x x <<,由零点存在性定理知1230x x x <<<． ∴12x x +<又∵31233f t t t =++=−(0f => 3x <<因此123x x x ++习题3已知函数()3134f x x ax =−+,()lng x x =−． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）用{}min ,m n 表示,m n 中较小者,记函数()()(){}min ,h x f x g x =,（0x >）．若函数()h x 在0,上恰有3个零点,求实数a 的取值范围．解析：（1）()3134f x x ax =−+,x ∈R ,()233f x x a '=−当0a ≤时,0f x ,()f x 在R 上为单调递增，当0a >时,()(3f x x x '=,令0f x ,得x <x ()f x 单调递增令0f x ,得x <()f x 单调递减，综上：当0a ≤时,()f x 在(),−∞+∞为增函数当0a >时,()f x 在(,−∞和)+∞为增函数,在(为减函数 （2）当(1,)x ∈+∞时,()ln 0g x x =−<,从而()min{(),()}()0h x f x g x g x =≤<,∴()h x 在（1,+∞）无零点.当x =1时,若512a ≤,则5(1)304f a =−≥,(1)min{(1),(1)}(1)0h f g g ===,故x =1是()h x 的零点；若512a >,则5(1)304f a =−<,(1)min{(1),(1)}(1)0h f g f ==<,故x =1不是()h x 的零点.当(0,1)x ∈时,()ln 0g x x =−>,所以只需考虑()f x 在)1,0(的零点个数.（ⅰ）若0a ≤或1a ≥,则()2()3f x x a '=−在)1,0(无零点,故()f x 在)1,0(单调,而1(0)4f =,5(1)34f a =−,所以当1a ≥时,()f x 在)1,0(有一个零点；当0a ≤时,()f x 在)1,0(无零点.（ⅱ）若01a <<,则()f x 在）单调递减,在单调递增,故当x ,()f x 取的最小值,最小值为124f =−.①若f ＞0,即0＜a ＜14,()f x 在)1,0(无零点.②若f =0,即14a =,则()f x 在)1,0(有唯一零点；③若f ＜0,即114a <<,由于1(0)4f =,5(1)34f a =−,所以当15412a <<时,()f x 在)1,0(有两个零点；当5112a <<时,()f x 在)1,0(有一个零点. 综上,当14a <或512a >时,()h x 由一个零点；当14a =或512a =时,()h x 有两个零点；当15412a <<时,()h x 有三个零点. 所以a 的取值范围是15,412⎛⎫ ⎪⎝⎭习题4．已知函数()()()32111032f x x a x ax a =+−−>． （1）求函数f （x ）的极值；（2）当a ＞1时，记f （x ）在区间[－1,2]的最大值为M ，最小值为m ．已知12,33M m ⎛⎫ ⎪⎝+⎭∈．设f （x ）的三个零点为x 1，x 2，x 3，求()122331f x x x x x x ++的取值范围． 解析：（1）()()()()211f x x a x a x x a '=+−−=−+，令0f x ，解得x a <−或1x >，令()0f x '<，解得1a x −<<，所以()f x 在(),a −∞−，()1,+∞上单调递增，在(),1a −上单调递减，当x a =−时取得极大值，()3322321111132262f f a a a a a a a =−=−+−+=+极大值， 当1x =时取得极小值，()11111132262f f a a a ==+−−=−−极小值，所以()f x 的极大值为321162a a +，极小值为1162a −−. （2）因为1a >，所以()f x 在()1,1−上单调递减，()1,2上单调递增，()11162m f a ==−−， 因为()3521263f a −=−>，()222233f a =−<，所以()35126M f a =−=−， 111352362263a a <−−+−<，解得4533a <<，设123x x x <<，令()()2111032f x x x a x a ⎡⎤=+−−=⎢⎥⎣⎦，所以20x =，313x x a =−，()()3212233193322f x x x x x x f a a a ++=−=−−， 329322y a a =−−在45,33⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，当32934025,223a a ⎛⎫−−∈−− ⎪⎝⎭，所以()122331f x x x x x x ++的取值范围为4025,3⎛⎫−− ⎪⎝⎭.。
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专题17 三次函数的图像与性质
一、例题选讲
题型一 运用三次函数的图像研究零点问题
遇到函数零点个数问题，通常转化为两个函数图象交点问题，进而借助数形结合思想解决问题；也可转化为方程解的个数问题，通过具体的解方程达到解决问题的目的.前者由于是通过图形解决问题，故对绘制的函数图象准确度和细节处要求较高，后者对问题转化的等价性和逻辑推理的严谨性要求较高.下面的解法是从解方程的角度考虑的.
例1、(2017南通、扬州、泰州、淮安三调）已知函数3()3 .x x a f x x x x a ⎧=⎨-<⎩
≥，
，，若函数()2()g x f x ax =-恰
有2个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ．
例2、(2017南京学情调研）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
12x －x 3，
x ≤0，
－2x ，
x ＞0.
)当x ∈(－∞，m ]时，f (x )的取值范围为[－16，
＋∞)，则实数m 的取值范围是________．
题型二 三次函数的单调性问题
研究三次函数的单调性，往往通过导数进行研究。
要特别注意含参的讨论。
例3、已知函数32
()3f x x x ax =-+()a ∈R ，()|()|g x f x =．
（1）求以(2,(2))P f 为切点的切线方程，并证明此切线恒过一个定点； （2）若()g x kx ≤对一切[0,2]x ∈恒成立，求k 的最小值()h a 的表达式； （3）设0a >，求()y g x =的单调增区间．
例4、(2018无锡期末） 若函数f(x)＝(x ＋1)2|x －a|在区间[－1，2]上单调递增，则实数a 的取值范围是________．
例5、(2018苏州期末）已知函数f(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2，
x<0，e x
－ax ，x ≥0，
其中常数a ∈R .
(1) 当a ＝2时，求函数f (x )的单调区间；
(2) 若方程f (－x )＋f (x )＝e x －3在区间(0，＋∞)上有实数解，求实数a 的取值范围；
题型三 三次函数的极值与最值问题
①利用导数刻画函数的单调性，确定函数的极值；② 通过分类讨论，结合图象，实现函数的极值与零点问题的转化.
函数、方程和不等式的综合题，常以研究函数的零点、方程的根、不等式的解集的形式出现，大多数情况下会用到等价转化、数形结合的数学思想解决问题，而这里的解法是通过严谨的等价转化，运用纯代数的手段来解决问题的，对抽象思维和逻辑推理的能力要求较高，此题也可通过数形结合的思想来解决问题，可以一试.
例6、(2018苏锡常镇调研）已知函数3
2
()1f x x ax bx a b =+++∈，，R ． （1）若20a b +=，
① 当0a >时，求函数()f x 的极值（用a 表示）；
② 若()f x 有三个相异零点，问是否存在实数a 使得这三个零点成等差数列？若存在，试求出a 的值；若不存在，请说明理由；
例7、（2017⋅江苏）已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值，且导函数'()f x 的极值点是()f x 的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：33b a >；
（3）若(),'()f x f x 这两个函数的所有极值之和不小于72
-，求a 的取值范围．
例8、(2018南京学情调研）已知函数f(x)＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ，a ∈R . (1) 曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线的斜率为3，求a 的值；
(2) 若对于任意x ∈(0，＋∞)，f (x )＋f (－x )≥12ln x 恒成立，求a 的取值范围；
(3) 若a ＞1，设函数f (x )在区间[1，2]上的最大值、最小值分别为M (a )，m (a )，记h (a )＝M (a )－m (a )，求h (a )的最小值．
二、达标训练
1、(2017苏州暑假测试） 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
1
x
，x ＞1，
x 3
，－1≤x ≤1，
)若关于x 的方程f (x )＝k (x ＋1)有两个不同的
实数根，则实数k 的取值范围是________．
2、(2017苏北四市期末） 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
sin x ，x ＜1，
x 3
－9x 2
＋25x ＋a ，
x ≥1，
)若函数f (x )的图像与直线y ＝x 有三个
不同的公共点，则实数a 的取值集合为________．
3、(2019南京、盐城二模）已知函数f(x)＝⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤+0
,3120
,33x x x x x 设g(x)＝kx ＋1，且函数y ＝f(x)－g(x)的
图像经过四个象限，则实数k 的取值范围为________．
4、(2018苏中三市、苏北四市三调）已知函数310() 2 0ax x f x x ax x x -≤⎧⎪=⎨-+->⎪⎩， ，
，
的图象恰好经过三个象
限，则实数a 的取值范围是 ．
5、(2019苏州期末）已知函数f(x)＝ax 3＋bx 2－4a(a ，b ∈R )． (1) 当a ＝b ＝1时，求f (x )的单调增区间；
(2) 当a ≠0时，若函数f (x )恰有两个不同的零点，求b
a
的值；
(3) 当a ＝0时，若f (x )<ln x 的解集为(m ，n )，且(m ，n )中有且仅有一个整数，求实数b 的取值范围．
6、(2019南京、盐城一模）若函数y ＝f(x)在x ＝x 0处取得极大值或极小值，则称x 0为函数y ＝f(x)的极值点．
设函数f(x)＝x 3－tx 2＋1(t ∈R )．
(1) 若函数f (x )在(0，1)上无极值点，求t 的取值范围；
(2) 求证：对任意实数t ，函数f (x )的图像总存在两条切线相互平行；
(3) 当t ＝3时，函数f (x )的图像存在的两条平行切线之间的距离为4，求满足此条件的平行线共有几组．
7、(2018南通、泰州一调）已知函数g(x)＝x 3＋ax 2＋bx(a ，b ∈R )有极值，且函数f (x )＝(x ＋a )e x 的极值点是g (x )的极值点，其中e 是自然对数的底数．(极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值) (1) 求b 关于a 的函数关系式；
(2) 当a >0时，若函数F (x )＝f (x )－g (x )的最小值为M (a )，证明：M (a )<－7
3.。