三次函数性质总结

三次函数性质的探索我们已经学习了一次函数最大值与最小值，在某一闭区间取得最大值与最小值．那么，是什么决定函数的单调性呢？利用已学过的知识得出：当k>0时函数单调递增；当k<0时函数单调递增；b决定函数与y轴相交的位置．其中运用的较多的一次函数不等式性质是：在上恒成立的充要条件接着，我们同样学习了二次函数，利用已学知识归纳得出：当时(如图1)的左侧单调递减、右侧单调递增，对称轴；时(图2)对称轴．在某一区间取得最大值与最小值．其中决定函数的开口方向，同时决定对称轴，决定函数与轴相交的位置．总结：一次函数只有一个单调性，二次函数有两个单调性，那么三次函数是否就有三个单调性呢？三次函数专题一、定义定义1的函数，称为“三次函数”（从函数解析式的结构上命名）。

定义 2，把叫做三次函数导函数的判别式。

由于三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高中数学中的重要内容，所以三次函数的问题，已经成为高考命题的一个新的热点和亮点。

系列探究1：开始反思1反思2反思3的相关性质呢？例题 1.（2012天津理4）函数在区间内的零点个数是( ) （A）0 （B）1 （C）2 （D）3探究一般三次函数的性质：先求导1、单调性：（1，此时函数()f x在R上是增函数；（2，令两根为12,x x，则上单调递减。

2、零点(1) 032≤-acb，则恰有一个实根；(2) ,且，则恰有一个实根；(3) ,且有两个不相等的实根；(4) ,且，则有三个不相等的实根.说明:(1)(2) 有一个实根的充要条件是曲线与轴只相交一次，即在上为单调函数或两极值同号.或(3)0)(=x f 有两个相异实根的充要条件是曲线)(x f y =与x 轴有两个公共点且其中之一为切点，所以032>-ac b ，且0)()(21=⋅x f x f ;(4)0)(=x f 有三个不相等的实根的充要条件是曲线)(x f y =与x 轴有三个公共点，即)(x f 有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以032>-ac b 且0)()(21<⋅x f x f .3、奇偶性：函数当且仅当时是奇函数。

4、对称性： 证明：三次函数关于点对称的充要条件是整理得，据多项式恒等对应系数相等,可得说明 1、关于点对称，可以理解为图象沿着向量平移后所得函数是奇函数，于是，即2、其导函数为对称轴为，所以对称中心的横坐标也就是导函数的对称轴，可见，3、同时也是二阶导数为零的点，是的拐点。

4、又可得以下结论：是可导函数，若的图象关于点对称，则对称.证明： 的图象关于对称，则于是∴对称5、的图象关于直线图象关于点对称.证明：对称，则于是∴对称。

这是因为：奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数4、三次函数图象的切线条数由三次函数的中心对称性可知：过三次函数的对称中心且与该三次曲线相切的直线有且只有一条；而过三次曲线上除对称中心的任一点与该三次曲线相切的直线有二条。

例题 2. ，求曲线在点处的切线方程.解：曲线在点y∴代入直线方程的斜截式，得切线方程为：，即变式：已知曲线，求曲线过点处的切线方程.错解：依上题，直接填上答案错因剖析：如下图所示，在曲线上的点A 处的切线与该曲线还有一个交点。

这与圆的切线是有不同的。

点在曲线上，它可以是切点也可以不是。

正确解法：设过点的切线对应的切点为，斜率为，切线方程为 点的坐标代入，得，∴切线的方程为或x-y+2=0点评：一个是“在点”、一个是“过点”，一字之差所得结果截然不同。

系列探究4：一般三次函数)0()(23>+++=a d cx bx ax x f 的图像：a>0a<0导函数∆>0∆≤0∆>0∆≤0图 象从数形结合的视角看三次方程的实数根：xx 1 x 2 x 0xx 1 x 2xx 0xOxyy三次函数y=f （x ）的图象与x 轴交点个数交点个数的本质是多项式ax3+bx2+cx+d 在实数集上怎样进行因式分解， 记ax3+bx2+cx+d=a （x-x1）（x-x2）（x-x3）， （ⅰ）若x1≠x2≠x3，则交点为3个；（ⅱ）若x1、x2、x3中有两个相等，不妨x1=x2≠x3，则交点为2个。

（ⅲ）若x1=x2=x3，则交点为1个； （ⅳ）若f （x ）=a （x-x0）（x2+dx+e ），且 有d2-4e ＜0，y=f （x ）的图象与x 轴只有一个交点。

（1）若22120b ac =-≤△()，方程有且只有一个实数解；（2）若22120b ac =->△()，令2()320f x ax bx c '=++=两根为12,x x 且12x x <，①若0)()(21>⋅x f x f ，即函数)(x f y =极大值点和极小值点在x 轴同侧，图象均与x 轴只有一个交点，所以原方程有且只有一个实根。

则方程有且只有一个实数解α，且21x x >α<α或，②若0)()(21<⋅x f x f ，则方程有三个不同的实数解)(,,γ<β<αγβα，且有γ<<β<<α21x x ， ③若0)(0)(21==x f x f 或，则方程有两个不同的实数解由图像能够探究出在区间],[n m 的最大值与最小值吗？函数若，且，则：()()()(){}max 0,,f x f m f x f n =；。

拉格朗日中值定理：若函数f 满足如下条件：（i ）f 在闭区间[,]a b 上连续；（ii ）f 在开区间(,)a b 内可导；则在(),a b 内至少存在一点ξ，使得 ()()()'f b f a fb aξ-=-.请你掌握：三次函数解析式的形式（1）一般形式：32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠（2）已知函数的对称中心为),(n m ，则)0()()()(3≠+-+-=a n m x B m x A x f（3）已知函数图象与x 轴的三个交点的横坐标)(,,γ<β<αγβα，则 )0)()()(()(≠γ-β-α-=a x x x a x f（4）已知函数图象与x 轴的一个交点的横坐标0x ，则)0)()(()(20≠++-=a n mx ax x x x f（2012全国大纲版 10）已知函数33y x x c =-+的图像与x 轴恰有两个公共点，则c =A ．2-或2B ．9-或3C ．1-或1D ．3-或1【解析】因为三次函数的图像与x 轴恰有两个公共点，结合该函数的图像，可得极大值或者极小值为零即可满足要求。

而2()333()(1)f x x x x '=-=-+，当1x =±时取得极值由(1)0f =或(1)0f -=可得20c -=或20c +=，即2c =±。

答案A（2012福建文）12.已知f （x ）=x ³-6x ²+9x-abc ，a ＜b ＜c ，且f （a ）=f （b ）=f （c ）=0.现给出如下结论：①f （0）f （1）＞0；②f（0）f （1）＜0；③f （0）f （3）＞0；④f （0）f （3）＜0.其中正确结论的序号是A.①③B.①④C.②③D.②④【解析】2()31293(1)(3)f x x x x x '=-+=--，(,1)-∞单调递增，(1,3)单调递减，(3,)+∞单调递增，又因为()()()0f a f b f c ===，所以(,1)a ∈-∞ (1,3)b ∈，(3,)c ∈+∞，【法一】(1)40f abc =->，(3)0f abc =-<，(0)0f abc =-<．【法二】又因为3222()69(69)[(3)]0f b b b b abc b b b abc b b ac =-+-=-+-=--=，所以ac 为正数，所以a 为正数，又因为(0)0f abc =-<，(1)0f >，(3)0f <．【点评】本题考查运用导数分析函数的能力，数形结合及代入转化的能力．【答案】A（2012重庆理卷）（8）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是 （A ）函数有极大值和极小值 （B ）函数有极大值和极小值 （C ）函数有极大值和极小值 （D ）函数有极大值和极小值（2012•重庆文）设函数f （x ）在R 上可导，其导函数为f′（x ），且函数f （x ）在x=-2处取得极小值，则函数y=xf′（x ）的图象可能是（ ）A. B c D高考含参三次函数题型分析我们知道导数是研究函数的重要工具，三次函数的导数是二次函数，正因如此，三次函数问题的解决往往关键转化为二次函数问题，如二次函数方程根的问题，二次不等式解集问题等常见题型。

首先，回顾一下三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠图象a>0a<0导函数∆>0 ∆≤0 ∆>0∆≤0【题型1】含参三次函数单调性问题 例一 (08全国 文 21 )已知函数f (x)=x 3+a x 2+x+1,a ∈R.（Ⅰ）讨论函数f(x)的单调区间；（Ⅱ）设函数f(x)在区间（-21,33-）内是减函数，求a 的取值范围.解法分析：对于问题（Ⅰ）我们往往采用的解题思路是：求函数d cx bx ax x f +++=23)(的导数为c bx ax x f ++='23)(2然后往往按以下步骤进行讨论分析。

（1） 讨论导数二次项系数是否为零 （2） 讨论导数判别式∆（3） 0≤∆ 则原函数为单调增（减）函数（4） 0>∆ 求导函数等于0时的根，并比较根的大小 （5） 结合到导函数图象，得出三次函数单调性下面我们按照这个思路解决一下1)(23+++=x ax x x f 则123)(2++='ax x x f（1）讨论导数二次项系数是否为零 （2）讨论判别式∆ ∆=1242-a （3）0≤∆，则原函数为单调增（减）函数 即0≤∆时，33≤≤-a ，0)(≥'x f 恒成立，则)(x f 为单调增函数，单调增区间为),(+∞-∞（4）0>∆ 求导函数等于0时的根，并比较根的大小0>∆时，3>a 或3-<a 时，0)(='x f 存在零解，此时3321---=a a x 3322-+-=a a x 显然12x x >，（5）结合到导函数图象，得出三次函数单调性 所以此时函数)(x f 的单调递增区间为)33,(2----∞a a 和),33(2+∞-+-a a 单调递减区间为)33,33(22-+----a a a a对于问题（Ⅱ）设函数f(x)在区间（-21,33-）内是减函数，求a 的取值范围.往往转化为二次函数不等式问题，采用根的分布数形结合、主参分离求最值、求根公式三种方法解决。