三次函数的图象与性质

三次函数的图象与性质河源市河源中学 钟少辉三次函数()f x =32(0)ax bx cx d a +++≠是中学阶段一个重要的函数，已经成为高考的高频考点。

本文研究了三次函数的图象，并且得到它的几个性质，以及例说性质的应用。

已知三次函数：32(0)y ax bx cx d a =+++≠定义域(,)-∞+∞则232y ax bx c '=++ ， 62y ax b ''=+。

由0y '=得 2320ax bx c ++= (1)依一元二次方程根的判别式知：1.1若24120b ac ∆=-＞ ， 即23b ac ＞。

则方程（1）必有两个不相等的实根12,x x ，即三次函数必有两个驻点12,x x （这里不妨设21x x ＞）， 且123()()y a x x x x '=--。

由函数极值的判定定理则有： 1.a ＞0当1(,)()0x x f x '∈-∞时,＞，()f x 单调递增。

当12(,)()0x x x f x '∈时,＜， ()f x 单调递减。

当2(,)()0x x f x '∈+∞时,＞ ，()f x 单调递增。

驻点即为极值点，且在两个驻点中值较小的一个点上取得极大值，在值较大的一个点上取得极小值，且12,x =。

Ⅱ.0a ＜情况正好与I 相反，在此不再赘述。

由以上讨论知：1223b x x a +=-，而由0y ''= 得33b x a=-，因而：6()3by a x a ''=+，当a>0， (,)3b x a ∈-∞-时，()0f x ''＜，曲线是（向下凹）。

(,)3bx a∈-+∞时，()0f x ''＞曲线是（向上凹）。

当 0a ＜， (,)3b x a ∈-∞-时，()0f x ''＞，曲线是（向上凹），(,)3bx a∈-+∞时，()0f x ''＜曲线是（向下凹）。

所以，无论a 的正负，3x 为曲线拐点的横坐标，且1232x x x +=即：曲线拐点的横坐标为两极值点（或二驻点）连线的中点通过以上的讨论知：三次函数32y ax bx cx d =+++，当23b ac ＞时，其图形的一般形状见图1。

图10a > 0a <1.2若24120b ac ∆=-=，即23b ac =，则由0y '=， 得123b x x a ==-。

故23()3b y a x a'=+ 显然0a ＞ ，()0f x '＞ ，()f x 单调递增。

0a ＜ ，()0f x '＜ ，()f x 单调递减 。

驻点不是极值点。

而由6()3b y a x a ''=+，0y ''= ， 得33b x a=-。

0a ＞，(,)3bx a ∈-∞-时，()0f x ''＜，曲线是（向下凹）。

(,)3b x a ∈-+∞时，()0f x ''＞曲线是（向上凹）。

0a ＜，(,)3bx a∈-∞-时，()0f x ''＞，曲线是（向上凹），(,)3bx a∈-+∞时，()0f x ''＜曲线是（向下凹）。

故对于三次函数32(0)y ax bx cx d a =+++≠，若23b ac =有且仅有一个驻点，则该点一定是曲线拐点的横坐标1233bx x x a===-，其图形形状见图2。

图2 单一型图象1.3 24120b ac ∆=-＜ ， 即23b ac ＜，则由二次函数的性质：0a ＞ ，()0f x '＞ ，()f x 单调递增 。

0a ＜ ，()0f x '＜， ()f x 单调递减 。

函数无驻点，也无极值点。

由0y ''= 。

得33b x a=-，6()3b y a x a ''=+0a ＞ 曲线在 (,)3b a -∞-内是（向下凹），在(,)3ba-+∞内是（向上凹）。

0a ＜曲线在 (,)3b a --∞内是（向上凹），在(,)3b a -+∞内是（向下凹）。

33bx a=-仍是曲线拐点的横坐标。

故对于三次函数32y ax bx cx d =+++若23b ac ＜时，其图形形头见图3。

0a >0a <0a > 0a <图3 单一型图象性质1 函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，若0,a ＞当0∆≤时,y=()f x 是增函数：当0∆＞时，其单调递增区间是12(,),),x -∞+∞和(x 单调递减区间是12(,);x x若0,0()a f x ∆≤＜当时,y=是减函数；当0∆＞时，其单调递减区间是12(,),),x -∞+∞和(x ，单调递增区间是12(,)x x 。

推论 函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠当0∆≤时,不存在极大值和极小值：若0,a ＞当0∆＞时，有极大值()f x 、极小值2()f x ;若0,a ＜当0∆＞时，有极大值()f x 、极小值1()f x .根据a 和∆的不同情况，其图象特征分别为：性质2 函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠,[,],x m n ∈若0[,],x m n ∈且0()0f x '=,则:max 0()max{(),(x ),()};f x f m f f n = min 0()min{(),(x ),()};f x f m f f n =由函数()f x 图象易知, ()[,]f x x m n ∈在上的最值出现在0,,x m x x x n ===处性质3 任何三次函数曲数32(0)y ax bx cx d a =+++≠都存在唯一拐点,并且曲线关于拐点对称,即经坐标变换后,都可以将曲线所表示的函数化为奇函数。

证明 为方便起见，不妨设32(0)y ax bx cx d a =+++＞。

求导，得2'32,62.y ax bx c y ax b ''=++=+令0y ''=，得03bx a=-，将0x 代入32y ax bx cx d =+++，得3232022927()()()33327b b b b abc a dy a b c d a a a a -+=-+-+-+=当0(,x )x ∈-∞时，y ''＜0；当0(,)x x ∈+∞时，y ''＞0∴点320022927(,)(,)327b b abc a do x y a a-+'=-是32y ax bx cx d =+++的唯一拐点。

作代换00x X x y Y y =+⎧⎨=+⎩，代入原曲线方程得320000()()()Y y a X x b X x c X x d +=++++++=323201()()()(3)3333b b b a X b X c X d ax b ac X y a a a a-+-+-+=--+, 321(3)3Y aX b ac X a∴=--。

它是一个关于XO Y '为坐标系的奇函数，该函数表示的曲线对称于点00(,)O x y '，即原曲线32(0)y ax bx cx d a =+++≠关于拐点对称。

推论 函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠是中心对称图形，其对称中心是(,()33b b f a a--) 证明 设函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的对称中心为(m , n).按向量(,)a m n =--将函数的图象平移，则所得函数()y f x m n =+-是奇函数， 所以()()20f x m f x m n ++-+-=,化简得 232(3)0,ma b x am bm cm d n +++++-=上式对x R ∈恒成立，故3ma+b=0 ,m=-3b a.所以32()3bn am bm cm d f a =+++=-，函数的对称中心是(,()33b bf a a--)，可见，()y f x =图象的对称中心在导函数'()y f x =的对称轴上，且又是两个极值点的中点。

性质４ 直线与三次函数图象相切，切点唯一。

证明 设三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠。

曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线方程为：()()()y f t f t x t '-=-即232(32)2y at bt c x at bt d =++--+，假设l 与曲线y 相切，切点不唯一。

不妨设l 与曲线()y f x =相切于点11(,())A x f x ,22(,())B x f x ,其中12x x ≠。

所以2211223232ax bx c ax bx c ++=++ ①3232112222ax bx d ax bx d --+=--+ ②由于12x x ≠，由①得123()20a x x b ++=即123()2ab x x =-+ ③ 由②得221122122()()0a x x x x b x x ++++= ④ 将③代入④得212()0x x -=，所以12x x =，与假设矛盾。

所以原命题得证！性质５ 三次函数图象上任一点的切线存在情况。

设00(,)P x y 是()f x 图象上任一点，过点P 的切线有以下两种情况：（1）以点P 为切点的切线有一条.方程为000()()y y f x x x '-=-；（2）以不同于点P 的点00(,)M x y ''为切点并过点P 的切线，方程为因切线过点P ，所以00000()()y y f x x x ''''-=-，化简得： 22000002()()0ax b ax x ax bx ''+--+= , 2220000()8()(3)b ax a ax bx ax b ∆=-++=+，当03bx a=-时，解得00x x '=（舍去），即03b x a =-时这种切线不存在；当03bx a≠-时，解得00x x '=（舍去），0022x b x a '=--，即03bx a≠-时这种切线存在1条。

于是有： 当点P 是拐点(即03bx a=-)时，过点P 的切线有且仅有1条，即以点P 为切点的切线；当点P 不是拐点(即03bx a≠-)时，过点P 的切线有且仅有2条，且它们的切点分别为点P 和点M 00(,())2222x xb b f a a ----。