矩阵及运算
矩阵及运算
〔1〕互换矩阵的两行或两列；〔2〕把某一行同乘〔除〕以一个非零的数；〔3〕某一行乘以一个数加到另一行。
显然，通过以上三个根本变换，可将线性方程组的系数矩阵变成单位矩阵，这时增广矩阵的最后一个列向量给出了方程组的解。
应用举例：例1例2课堂练习：〔1〕假设方程组的解与相等，求的值。
〔3〕解方程组：矩阵运算〔对从实际问题中抽象出来的矩阵，我们经常将几个矩阵联系起来，讨论它们是否相等，它们在什么条件下可以进行何种运算，这些运算具有什么性质等问题，这是下面所要讨论的主要内容.〕1．相等定义如果两个矩阵，满足：(1) 行、列数相同，即；(2) 对应元素相等，即a ij = b ij (= 1, 2, …, m；j = 1, 2, …, n )，那么称矩阵A与矩阵B相等，记作A = B〔由矩阵相等定义可知，用等式表示两个mn矩阵相等，等价于元素之间的mn个等式.〕例如，矩阵A =，B =那么A = B，当且仅当a11 = 3，a12 = 0，a13 = -5，a21 = -2，a22 = 1，a23 = 4而C =因为B, C这两个矩阵的列数不同，所以无论矩阵C中的元素c11, c12, c21, c22取什么数都不会与矩阵B相等.2．加法定义2.3设，是两个mn矩阵，那么称矩阵C =为A与B的和，记作C = A + B =〔由定义2.3可知，只有行数、列数分别相同的两个矩阵，才能作加法运算.〕同样，我们可以定义矩阵的减法：D = A-B = A + (-B ) =称D为A与B的差.例1设矩阵A =，B =，求A + B，A-B.例2、矩阵，，，假设，，，求的值。
矩阵加法满足的运算规那么是什么？1. 加法交换律：A + B = B + A；2. 加法结合律：(A + B ) + C = A + (B + C ) ；3. 零矩阵满足：A + O = A；4. 存在矩阵-A，满足：A-A = A + (-A ) = O .3．数乘定义2.4设矩阵，为任意实数，那么称矩阵为数与矩阵A的数乘，其中，记为C =A〔由定义2.4可知，数乘一个矩阵A，需要用数去乘矩阵A的每一个元素.特别地，当= -1时，A = -A，得到A的负矩阵.〕例3设矩阵A =，用2去乘矩阵A，求2A.数乘矩阵满足的运算规那么是什么？对数k , l和矩阵A = ，B =满足以下运算规那么：1. 数对矩阵的分配律：k (A + B ) = kA + kB；2. 矩阵对数的分配律：( k + l ) A = kA + lA；3. 数与矩阵的结合律：( k l ) A = k (lA ) = l (kA ) ；4. 数1与矩阵满足：1A = A.例4设矩阵A =，B =，求3A- 2B.4．乘法矩阵乘积的定义设A=是一个ms矩阵，B=是一个sn矩阵，那么称mn矩阵C=为矩阵A与B的乘积，记作C = AB.其中c ij = a i1b1 j + a i2b2 j + …+ a i s b s j = (= 1, 2, …, m；j = 1, 2, …, n ).〔由矩阵乘积的定义可知：〕(1) 只有当左矩阵A的列数等于右矩阵B的行数时，A, B才能作乘法运算AB；(2) 两个矩阵的乘积AB亦是矩阵，它的行数等于左矩阵A的行数，它的列数等于右矩阵B的列数；(3) 乘积矩阵AB中的第行第j列的元素等于A的第行元素与B的第j列对应元素的乘积之和，故简称行乘列的法那么.例6设矩阵A = ，B = ，计算AB.例7设矩阵A = ，B =，求AB和BA.由例6、例7可知，当乘积矩阵AB有意义时，BA不一定有意义；即使乘积矩阵AB和BA有意义时，AB和BA也不一定相等.因此，矩阵乘法不满足交换律，在以后进行矩阵乘法时，一定要注意乘法的次序，不能随意改变.在例6中矩阵A和B都是非零矩阵〔AO, B O〕,但是矩阵A和B的乘积矩阵AB是一个零矩阵〔AB = O〕，即两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵.因此，当AB = O，不能得出A和B中至少有一个是零矩阵的结论.一般地，当乘积矩阵AB = AC，且AO时，不能消去矩阵A，而得到B = C.这说明矩阵乘法也不满足消去律.那么矩阵乘法满足哪些运算规那么呢？矩阵乘法满足以下运算规那么：1. 乘法结合律：〔AB〕C = A〔BC〕；2. 左乘分配律：A〔B + C〕= AB + AC；右乘分配律：〔B + C〕A = BA + CA；3. 数乘结合律：k〔AB〕= 〔k A〕B = A〔k B〕，其中k是一个常数.例8：，矩阵，求。
矩阵的运算及其运算规则
矩阵的运算及其运算规则矩阵是代数中一种重要的数学工具，它由数个数按照规定的行列顺序排列而成。
矩阵的运算包括加法、减法、数乘、乘法以及转置等，这些运算规则在代数中有着重要的应用。
一、矩阵的加法和减法矩阵的加法和减法规则相同，对应位置的元素进行相加或相减。
具体来说，如果有两个m×n（m行n列）的矩阵A和B，它们的和为C，则A和B之间的加法运算可以表示为：C = A + B。
其中，C的元素cij就是A和B相对应位置元素之和。
同样，矩阵的减法也是对应位置的元素进行相减操作。
例如，对于如下两个矩阵：A=[[1,2],[3,4]]B=[[5,6],[7,8]]则A和B的和、差分别为：A+B=[[1+5,2+6],[3+7,4+8]]=[[6,8],[10,12]]A-B=[[1-5,2-6],[3-7,4-8]]=[[-4,-4],[-4,-4]]二、矩阵的数乘矩阵的数乘是指将矩阵的每个元素都与一个常数k相乘。
具体来说，如果有一个m×n的矩阵A和一个实数k，则矩阵A乘以k的结果为B，可表示为：B = kA。
其中，B的元素bij等于k与A相对应位置元素的乘积。
例如，对于如下矩阵：A=[[1,2],[3,4]]k=2则A乘以k的结果为：B=kA=2A=[[2,4],[6,8]]三、矩阵的乘法矩阵的乘法是指给定两个矩阵A和B，如果A的列数等于B的行数，则可以将它们相乘得到一个新的矩阵C。
具体来说，如果A是一个m×n 的矩阵，B是一个n×p的矩阵，则矩阵C的大小为m×p。
C的元素cij 可以通过计算A的第i行与B的第j列对应位置元素的乘积之和得到。
例如，对于如下两个矩阵：A=[[1,2],[3,4]]B=[[5,6],[7,8]]则A和B的乘积为：C=AB=[[1×5+2×7,1×6+2×8],[3×5+4×7,3×6+4×8]]=[[19,22], [43,50]]注意，在矩阵乘法中，矩阵的位置很重要，即AB一般不等于BA。
线性代数 矩阵及其运算
A22 ...
... ...
An 2 ...
A1n A2n ... Ann
称矩阵A的伴随矩阵，记为A＊
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27
伴 随 矩 阵 有 如 下 重 要 性 质 ： AA*A*A(detA)E
矩阵运算举例
例 例 1 8 设 A123T， B11 21 3， CAB ，
求 Cn
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例4
如：A 11
11
B
1 1
11
AB O
BA
2 2
22
显然有：AB 0 AB BA
总结:矩阵乘法不满足交换律与消去律.
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18
例5 设
A1 1
2 1
1 1,
求AB与BA
1 2 B1 1
2 3
解
3 0 3
1 3 AB2 6
BA0 3 0 1 7 1
定理2.1 若矩阵A的第i行是零行，则乘积 AB的第i行
a..i.1
... ...
a..is.n......
... bnjs
... ...
cij
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例2 计算
2 1
1 8 10
1 3
4 01 3
2 4
051 9
2 5 22 15
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15
例3. 非齐次线性方程组的矩阵表示
a11x1 a12x2 a1nxn b1
a21x1
关于矩阵乘法的注意事项： （1）矩阵 A 与矩阵 B 做乘法必须是左矩阵的列数与右
矩阵的行数相等； （2）矩阵的乘法中，必须注意矩阵相乘的顺序，AB是
A左乘B的乘积，BA是A右乘B的乘积；
矩阵及矩阵运算
矩阵及矩阵运算矩阵：⼀个m×n的矩阵就是m×n个数排成m⾏n列的⼀个数阵。
由于它把许多数据紧凑的集中到了⼀起，所以有时候可以简便地表⽰⼀些复杂的模型。
在数学中，⼀个矩阵说穿了就是⼀个⼆维数组。
单位矩阵：从左上⾓到右下⾓的对⾓线（称为主对⾓线）上的元素均为1。
除此以外全都为0。
对称矩阵：如果⽅阵满⾜，即，则称A为对称矩阵．它的元素以主对⾓线为对称轴对应相等．矩阵加减法：两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减，满⾜交换律和结合律。
只有对于两个⾏数、列数分别相等的矩阵（即同型矩阵），加减法运算才有意义，即加减运算是可⾏的．矩阵乘法：矩阵乘法是⼀种⾼效的算法可以把⼀些⼀维递推优化到log（ n )，还可以求路径⽅案等，所以更是⼀种应⽤性极强的算法。
1.矩阵与数的乘法：数乘矩阵A，就是将数乘矩阵A中的每⼀个元素，记为或．特别地，称称为的负矩阵．满⾜结合律和分配律。
2.矩阵与矩阵的乘法：只有当矩阵A的列数与矩阵B的⾏数相等时A×B才有意义。
⼀个m×n的矩阵a（m,n)左乘⼀个n×p的矩阵b（n,p)，会得到⼀个m×p的矩阵c（m,p)，矩阵乘法满⾜结合率，但不满⾜交换率。
⼀个n⾏m列的矩阵可以乘以⼀个m⾏p列的矩阵，得到的结果是⼀个n ⾏p列的矩阵。
⽅阵A和它同阶的单位阵作乘积，结果仍为A，即．单位阵在矩阵乘法中的作⽤相当于数1在我们普通乘法中的作⽤。
运算规则： 设，，则A与B的乘积是这样⼀个矩阵： (1) ⾏数与（左矩阵）A相同，列数与（右矩阵）B相同，即． (2) C的第⾏第列的元素由A的第⾏元素与B的第列元素对应相乘，再取乘积之和．(3)两个⾮零矩阵的乘积可以是零矩阵．由此若，不能得出或的结论．矩阵转置：将矩阵A的⾏换成同序号的列所得到的新矩阵称为矩阵A的转置矩阵，记作或．第i⾏变第J列。
Aij变成Aji。
运算性质（假设运算都是可⾏的） (1) (2) (3) (4) ，是常数．矩阵⾏列式：基于矩阵所包含的⾏列数据计算得到的⼀个标量；⼆维矩阵[{a,c},{b,d}]的⾏列式等于：det(A) = ab-cd。
第2章 矩阵及其运算
第二章 矩阵及其运算一、矩阵的概念与几类特殊方阵（一）矩阵及相关概念1.矩阵阶方阵阶矩阵或是，则称若或矩阵，简记称为列的表格行排成的个数n n A n m a A n m a a a a a a a a a n m a n m n m ij mn m m n n ij =⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⨯⨯,)( (21)2222111211 2.0矩阵00，则称为零矩阵，记作中所有元素而都是如果矩阵A3.同型矩阵是同型矩阵与则称中如果，矩阵B A t n s m b B a A t s ij n m ij ,,,)(,)(====⨯⨯4.矩阵相等即对应的元素都相等同型矩阵),,(j i b a B A ij ij ∀=⇔= 1. 方阵的行列式 阶行列式其元素可构造对于方阵n a A ij )(=B A B A a a a a a a a a a A nnn n n n ≠≠=得不到由,.............. (2122221)11211(二)几类特殊方阵1.单位矩阵 主对角线上的运算全是1，其余元素均为0的n 阶段方阵，称为n 阶单位矩阵，记为E E A A AE EA ===0;2.对称矩阵),(,j i a a A A n A ji ij T ∀==即阶矩阵，如是设3.反对称矩阵对称矩阵反不一定是对称矩阵，但反也是对称矩阵，则反是同阶的若，即阶矩阵，如是设)()(,,)(,0),(-,-AB A B A B A B A a j i a a A A n A ii ji ij T λ-+=∀==4.对角矩阵 、积仍然是对角矩阵同阶的对角矩阵的和差，对角矩阵记为阶矩阵，如是设Λ≠∀≡)(0j i a n A ij5.逆矩阵 1,-==AA AB A E BA AB B n n A 记为的逆矩阵唯一的逆矩阵，是是可逆矩阵，，则称使阶矩阵阶矩阵，如存在是设6.正交矩阵T T T A A A E A A AA n A ===-1,是正交矩阵，则称阶矩阵，如是设7.伴随矩阵*=A A A A A A A A A A A n A a A n a A nn n n n n ij ij ij 的伴随矩阵，记为，称为阶矩阵所构成的的代数余子式的各元素阶矩阵，则由行列式是设....................)(212221212111二、矩阵的运算（一）矩阵的线性运算1.矩阵的加法CB A B A b a cC n m n m b B a A ij ij ij ij ij =++==⨯⨯==的和称为矩阵矩阵矩阵，则是两个设,)()()(),(2.矩阵的数乘kAA k b a ka n m k n m a A ij ij ij ij 记为的数乘，与矩阵称为数矩阵是一个常数，则矩阵，是设)()()(+=⨯⨯=3.矩阵的乘法nb r A r B Ax B AB A E A A A A B AB BA AB B A BA AB ABC B A b a b a b a b a c c C s m s n b B a A nk kj ik nj in j i j i ij ij ij ij ≤+≠======≠==≠==+++==⨯⨯==∑=)()(,00,0;0,;00,0)2(,)1(,...)()(),(212211则齐次方程组有非零解的解，若程中的每一列都是其次方应联想到或不能堆出，不能退出时，才能运算可交换即与只有换律矩阵的乘法一般没有交的乘积，记为与称为其中矩阵矩阵，则是两个设 ，命题成立矩阵，秩序是若不能退出的列数，则，且若可逆，则，且矩阵若立：以下两种情况消去率成，对于矩阵乘以不具有消去律n A r n m A C B A AC AB B A A r AB B A AB A AB =⨯=≠======≠=)(,,0,)3(0)(000),0(0（二）关于逆矩阵的运算规律A A =--11))(1( 111))(2(--=A k kA 111))(3(---=AB AB 11)())(4(--=T T A A 11)5(--=A A n n A A )())(6(11--=(三)关于矩阵转置的运算规律 A A T T =))(1( T T kA kA =))(2( T T T A B AB =))(3(T T T B A B A +=+))(4(（四）关于伴随矩阵的运算规律E A AA A A ==**)1( )2()2(1≥=-*n A A n )2())(3(2≥=-**n A A A n*-*=A k kA n 1))(4( **=)())(5(T T A A1)(,0)(;1)(,1)(;)(,)()6(-=-====***n A r A r n A r A r n A r n A r111-1-,)()(,1)()7(-**-**===A A A A A A AA A 可逆，则若（五）关于分块矩阵的运算法则⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡4433221143214321)1(B A B A B A B A B B B B A A A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡DW CY DZ CX BW AY BZ AX W Z Y X D C B A )2( ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡T T T T T D BC AD C B A )3( ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡n n n C OO B C O O B )4( ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--O BC O O C B O C O O B C O O B 111-1-1-1-)4(，三、矩阵可逆的充分必要条件.8,.70.6)(.5,.4)(.30.2.121的特征值全不为总有唯一解非齐次方程组只有零解齐次方程组向量线性无关行的列是初等矩阵其中，有阶方阵存在可逆，等价于阶方阵A b Ax b Ax A P P P P A nA r A EBA AB B n A n i s =∀=⋅⋅⋅==≠==四、矩阵的初等变换与初等矩阵（一）矩阵的初等变换及相关概念1.矩阵的初等变换下述三种对矩阵的行列实施的变换称为矩阵的初等行列变换（1） 对调矩阵的两行列（2） 用非零常数k 乘以某行列中所有元素（3） 把矩阵某行列所有元素的k 倍加至另一行列对应的元素上去（4） 求秩（行列变换可混用）；求逆矩阵（只用行或只用列）；求线性方程组的解（只用行变换）（5） 不要混淆矩阵的运算2.行阶梯形矩阵与行最简形矩阵（1）具体如下特征的矩阵称为行阶梯形矩阵①零行（即元素全为零的行）全都位于非零行的下方②各非零行坐起第一个非零元素的列指标由上至下是严格增大（2）如果其非零行的第一个非零元素为1，并且这些非零元素所在列的其他元素均为零，这个行阶梯形矩阵称为行最简形矩阵对于任何矩阵A ，总可以经过有限次初等行变换把它化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵（二）初等矩阵的概念单位鞠振宁经过一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵（三）初等矩阵的性质逆是同类型的初等矩阵初等矩阵均可逆，且其同样的行列初等变换做了一次与就是对矩阵，所得乘右左用初等矩阵.2)()(.1P A AP PA A P )()(100013-001100013001)1()(100021000110002000100101010000101010011-11-11-k E k E k E k E E E ij ij i i ij ij -=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---主对角线以外；主对角线；副对角线五、矩阵的等价（一）矩阵等价的概念的秩是矩阵阶单位矩阵是的等价标准形，其中后者是则称若等价，记作与则称矩阵矩阵经有限次初等变换变成矩阵A r r E A E A B A B A B A r r,,000~.~,⎥⎦⎤⎢⎣⎡ （二）矩阵等价的充分必要条件价向量组等价必有矩阵等向量可以互相线性表示；向量组等价是指两个等价是两个不同的概念矩阵的等价与向量组的使得阶可逆矩阵，阶可逆矩阵矩阵，则存在时设，使和存在可逆矩阵秩是同型矩阵且有相同的，等价于⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⨯=000,.2.1~r E PAQ Q n P m n m A BPAQ Q P B A B A六、常考题型及其解题方法与技巧题型一、有关矩阵的概念及运算题型二、求方阵的幂n A数学归纳法思路，可用相似对角化来求个线性无关的特征向量有，当思路可用二项式定理展开则且，能分解成两个矩阵的和，若思路律就可很方便地求出个矩阵的乘积，用结合能分解为一列与一行两则，若思路,43)(,2,1)(1nn n nA n A CB A CB BC C B A A A A A r +==+== 题型三、求与已知矩阵可交换的矩阵题型四、有关初等变换的问题题型五、关于伴随矩阵的命题题型六、矩阵可逆的计算与证明⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=====----*-O BC O O C B O C O O B C O O B A E E A A E E A A AA EBA E AB B 111-1-1-1-1114)()();()(3121，，分块矩阵法思路，初等变换法思路，伴随矩阵法思路或使，定义法，找出思路 题型七、求解矩阵方程为阶梯形方程组列方程用高斯消元法化不可逆，则可设未知数，若方法可以先求出可逆，则若方法解题思路的列向量表出的每列可由有解等价于A AB A X A B A r A r A B B Ax 2,,1)()(.2.111--===。
矩阵与矩阵运算
矩阵与矩阵运算矩阵是数学中的一种重要工具，广泛应用于各个领域，包括线性代数、计算机科学、物理学等。
矩阵的运算则是在矩阵之间进行各种数学操作的过程，包括加法、减法、乘法等。
本文将对矩阵及其运算进行详细介绍。
一、矩阵的定义矩阵是由m行n列的数按矩形排列而成的一种数学对象。
一个m行n列的矩阵可以表示为一个m×n的矩阵。
矩阵中的每个数称为元素，例如，一个2×3的矩阵可以表示为：A = [a11 a12 a13a21 a22 a23]其中a11, a12, a13, a21, a22, a23为矩阵A的元素。
矩阵也可以用字母大写加粗表示，例如A。
二、矩阵的加法与减法矩阵的加法与减法是在相同维度的两个矩阵上进行的。
对于两个m×n的矩阵A和B，它们的加法定义如下：C = A + B = [a11 + b11 a12 + b12 a13 + b13a21 + b21 a22 + b22 a23 + b23]C为结果矩阵，它的每个元素等于A和B对应元素的和。
同样地，减法也是在对应元素上进行操作。
三、矩阵的乘法矩阵的乘法是矩阵运算中的关键操作。
对于两个矩阵A和B进行乘法运算，必须满足矩阵A的列数等于矩阵B的行数。
乘法的结果矩阵C的行数等于矩阵A的行数，列数等于矩阵B的列数。
C = A × B = [c11 c12c21 c22]其中c11, c12, c21, c22为结果矩阵C的元素。
矩阵乘法的计算方式如下：c11 = a11 × b11 + a12 × b21c12 = a11 × b12 + a12 × b22c21 = a21 × b11 + a22 × b21c22 = a21 × b12 + a22 × b22四、矩阵的转置矩阵的转置是指将矩阵的行与列互换得到的新矩阵。
对于一个m×n 的矩阵A，它的转置矩阵表示为AT，其中转置后的矩阵的行数等于原矩阵的列数，列数等于原矩阵的行数。
矩阵的运算
解： ||A|A|= |2A| =(2)3|A| =(2)3(2) =16
1 1 3
例：已知f(A)= A 2E
(A) = A + 5E
(A) f (A) = f (A)(A)?
4、方阵的多项式：
设 f (x) = am xm +L + a1x + a0
为x的m次多项式，则称
f ( A) = am Am +L a1A + a0E
为方阵A的m次多项式。
若A为n阶方
阵，则 f ( A)
2、A是对称阵 AT = A
例如
12 A= 6
6 8
1 0
为对称阵.
1 0 6
说明： 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等
例 设A,B为对称阵，判断下列矩阵是否为对称阵？
A+B，A-B ，AB, kA
例2 设列矩阵 X = x1, x2 , , xn T满足 X T X = 1,
E为n阶单位矩阵, H = E 2XX T ,证明H是对称矩
(只要有意义)结果不变
类似于数1在数的乘法中的作用。
3、方阵的幂：
对于方阵A及自然数k
只有方阵 才能自乘
记 Ak=AA A (k个A相乘)
规定 ( Ann )0 = En
性质：(1) ArAs=Ar+s (2) (Ar)s=Ars
思考：下列等式在什么时候成立？
( AB)k = Ak Bk ( A + B)2 = A2 + 2AB + B2 ( A + B)( A B) = A2 B2
也为n阶方阵
性质：
矩阵的定义及其运算规则
矩阵的定义及其运算规则1、矩阵的定义一般而言，所谓矩阵就是由一组数的全体，在括号（）内排列成m行n 列（横的称行，纵的称列）的一个数表，并称它为m×n阵。
矩阵通常是用大写字母A 、B …来表示。
例如一个m 行n 列的矩阵可以简记为：，或。
即：（2-3）我们称（2-3）式中的为矩阵A的元素，a的第一个注脚字母，表示矩阵的行数，第二个注脚字母j（j＝1，2，…，n）表示矩阵的列数。
当m＝n时，则称为n阶方阵，并用表示。
当矩阵（a ij）的元素仅有一行或一列时，则称它为行矩阵或列矩阵。
设两个矩阵，有相同的行数和相同的列数，而且它们的对应元素一一相等，即，则称该两矩阵相等，记为A＝B。
2、三角形矩阵由i＝j的元素组成的对角线为主对角线，构成这个主对角线的元素称为主对角线元素。
如果在方阵中主对角线一侧的元素全为零，而另外一侧的元素不为零或不全为零，则该矩阵叫做三角形矩阵。
例如，以下矩阵都是三角形矩阵：，，，。
3、单位矩阵与零矩阵在方阵中，如果只有的元素不等于零，而其他元素全为零，如：则称为对角矩阵，可记为。
如果在对角矩阵中所有的彼此都相等且均为1，如：，则称为单位矩阵。
单位矩阵常用E来表示，即：当矩阵中所有的元素都等于零时，叫做零矩阵，并用符号“0”来表示。
4、矩阵的加法矩阵A＝（a ij）m×n和B＝（b ij）m×n相加时，必须要有相同的行数和列数。
如以C＝（c ij）m ×n表示矩阵A及B的和，则有：式中：。
即矩阵C的元素等于矩阵A和B的对应元素之和。
由上述定义可知，矩阵的加法具有下列性质（设A、B、C都是m×n矩阵）：（1）交换律：A＋B＝B＋A（2）结合律：（A＋B）＋C＝A＋（B＋C）5、数与矩阵的乘法我们定义用k右乘矩阵A或左乘矩阵A，其积均等于矩阵中的所有元素都乘上k之后所得的矩阵。
如：由上述定义可知，数与矩阵相乘具有下列性质：设A、B都是m×n矩阵，k、h为任意常数，则：（1）k（A＋B）＝kA＋kB（2）（k＋h）A＝kA＋hA（3）k（hA）＝khA6、矩阵的乘法若矩阵乘矩阵，则只有在前者的列数等于后者的行数时才有意义。
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矩阵及运算
矩阵是由数个数排成矩形并按一定顺序排列而成的一种数学结构。
矩阵一般用大写字母表示，矩阵中的一个数用小写字母表示。
例如，一个m行n列的矩阵可表示为A=[aij]mxn，其中i
表示行数，j表示列数，aij表示矩阵中第i行第j列的元素。
矩阵可以进行加、减、乘、转置等运算，以下是各种运算的定义：
1.矩阵加法：两个相同大小的矩阵A和B相加得到矩阵C，其中C的每个元素都是A和B对应位置元素的和，即C= A+B。
2.矩阵减法：两个相同大小的矩阵A和B相减得到矩阵C，其中C的每个元素都是A和B对应位置元素的差，即C= A-B。
3.矩阵乘法：两个矩阵A和B相乘得到矩阵C，其中C的大
小为A的行数和B的列数，即C=m×p，其中m为A的行数，p为B的列数。
C中的每个元素cij都可以表示为cij = ai1b1j + ai2b2j + … + aimb mj。
4.矩阵转置：将矩阵A的行和列互换得到矩阵AT，即AT
=[aij]nxm，其中n为A的列数，m为A的行数，AT的第i行
第j列的元素等于A的第j行第i列的元素。
5.矩阵求逆：如果矩阵A存在逆矩阵A-1，则矩阵A可逆，即
A×A-1= A-1×A=I。
其中，I为单位矩阵，它的对角线元素为1，其他元素为0。
矩阵的运算广泛应用于线性代数、微积分、统计学等领域，是数学中非常重要的概念之一。