计算机图形学第8讲B样条曲线
b样条曲线曲率简易求解算法
b样条曲线曲率简易求解算法摘要：I.引言- 介绍b 样条曲线- 阐述曲率在曲线设计中的重要性II.b 样条曲线的定义与性质- 定义b 样条曲线- 介绍b 样条曲线的性质III.曲率的计算方法- 详细介绍b 样条曲率的计算方法- 解释各参数的含义及计算过程IV.曲率简易求解算法- 介绍曲率简易求解算法- 阐述算法的原理与步骤V.算法实现与分析- 给出算法实现代码- 分析算法的效率与准确性VI.结论- 总结文章内容- 指出算法的局限性与改进方向正文：I.引言b 样条曲线是一种具有广泛应用的曲线类型，广泛应用于计算机图形学、数值分析、建模等领域。
在曲线设计中，曲率是一个重要的参数，它反映了曲线在某一点处的弯曲程度。
因此，如何高效地计算b 样条曲率成为曲线处理领域的一个研究热点。
本文将介绍一种曲率简易求解算法，并对算法的原理与实现进行详细分析。
II.b 样条曲线的定义与性质b 样条曲线是一种以基函数和控制点加权求和表示的曲线，具有局部性和加权特性。
b 样条曲线可以表示为：C(u) = Σ[Ni(u) * Pi]其中，Ni(u) 是基函数，Pi 是控制点，u 是参数值。
b 样条曲线的性质包括：1) 局部性，即在某一区间内，曲线可以用基函数和控制点的有限和表示；2) 加权特性，即不同控制点对曲线的贡献程度不同，权重由基函数决定。
III.曲率的计算方法b 样条曲率的计算方法主要依赖于de Boor 算法，该算法利用b 样条曲线的性质，通过递归方式计算曲率。
具体计算过程如下：1) 计算第一阶导数C"(u)：C"(u) = Σ[Ni(u) * Ni(u)]2) 计算第二阶导数C""(u)：C""(u) = Σ[Ni(u) * (Ni(u) + Ni(u+1))]其中，Ni(u) 表示第i 个基函数在参数u 处的取值，Ni(u+1) 表示第i 个基函数在参数u+1 处的取值。
B样条曲线
Bezier曲线
给定P0、P1、P2、P3，三次曲线的参数形式如下：
三次曲线的动态图如下：
对于三次曲线，可由线性贝塞尔曲线描述的中介点 Q0、Q1、Q2，和由二次曲线描述的点R0、R1所建 构。P0、P1、P2、P3四个点在平面或在三维空间中 定义了三次方贝塞尔曲线。曲线起始于P0走向P1， 并从P2的方向来到P3。一般不会经过P1或P2；这两 个点只是在那里提供方向资讯。P0和P1之间的间距， 决定了曲线在转而趋进P3之前，走向P2方向的“长 度有多长”。
Bezier曲线
更高阶的贝塞尔曲线，可以用以下公式表示：用表示由点 P0、P1、…、Pn所决定的贝塞尔曲线。则有：
高阶曲线的动态图如下：
要“画”出贝塞尔曲线，一般需要进行 较多的计算，然后绘制出来。
Bezier曲线 Bezier曲线的一般化形式：
即：
其中多项式：
又称作 n 阶的伯恩斯坦基底多项式，定义 00 = 1。
B样条曲线
Bezier曲线改变一点曲线整体受影响
B样条曲线
B样条曲ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的优点：
易于进行局部修改； 更逼近特征多边形；
是低阶次的曲线。
B样条曲线改变一点曲线局部受影响
B样条曲线
均匀B样条曲线的参数表达式为：
式中为n次B样条基函数，其形式为：
其中
B样条曲线
B样条曲线的C语言实现
#include<graphics.h> #include<conio.h> float px[10]={50,90,150,120,220,300,380,320,450,500}; float py[10]={100,60,50,150,240,100,100,200,250,130}; void B_spline() { float a0,a1,a2,a3,b0,b1,b2,b3; int k,x,y; float i,t,dt,n=10; setcolor(15); dt=1/n; for(k=0;k<10;k++) { if(k==0) moveto(px[k],py[k]); lineto(px[k],py[k]); } setcolor(4); for(k=0;k<10-3;k++) { if(getch()==17)exit();
b样条曲线算法
B样条曲线算法介绍B样条曲线是一种用于数值分析和计算机图形学中的数学曲线表示方法。
它通过一系列控制点和节点向量来定义曲线的形状。
B样条曲线具有良好的平滑性和局部控制性，被广泛应用于汽车造型设计、动画制作、CAD等领域。
B样条基函数B样条基函数是构建B样条曲线的基本组成部分。
一个B样条曲线由一系列的B样条基函数加权叠加而成。
B样条基函数具有局部支撑性质，只对控制点和其附近的部分产生影响，使得曲线能够局部调整。
1. 均匀B样条基函数均匀B样条基函数是一种简单的B样条基函数形式，其形状由节点向量的选择决定。
对于一个n次B样条曲线，节点向量为[t0, t1, …, tm]，其中ti为节点的位置，m为节点数。
均匀B样条基函数的定义如下：N i,0(t)={1, if t∈[t i,t i+1) 0, otherwise2. 非均匀B样条基函数非均匀B样条基函数引入了节点向量的权重，可以进一步调整曲线的形状。
对于一个n次B样条曲线，节点向量为[t0, t1, …, tm]，其中ti为节点的位置，m为节点数。
非均匀B样条基函数的定义如下：N i,p(t)=t−t it i+p−t iN i,p−1(t)+t i+p+1−tt i+p+1−t i+1N i+1,p−1(t)其中p为基函数的次数。
B样条曲线的插值与逼近B样条曲线可以通过插值和逼近两种方式来生成。
插值是通过给定一系列的控制点，确保曲线经过这些点来生成曲线。
逼近是通过给定一系列的数据点，在曲线上找到最逼近这些数据点的曲线。
1. 插值B样条曲线的插值方法将控制点设定为插值点。
我们可以通过求解线性方程组的方式确定控制点的位置，然后利用B样条基函数的加权叠加得到曲线。
插值曲线具有经过控制点的性质，是一种精确的曲线生成方法。
2. 逼近B样条曲线的逼近方法通过给定数据点来求解控制点的位置。
我们可以利用最小二乘法来求解控制点的位置，使得曲线尽可能地逼近这些数据点。
B样条曲线图片版
1960年，de Boor开始研究用B样条做几何表示。之后它与 Mansfield, Cox分别独立发现了B样条的递归算法。
给出了B样条基函数的递归算法
1974年，Gordon与Riesenfeld将B样条函数推广到矢值形式， 得到了B样条函数。
从B样条函数到B样条曲线
样条函数的定义
5.B网逼近性质
B网大致反映了B样条曲线的形状，这有利于人机交互设计.
6.变差缩减性
设平面内 n+1 个控制顶点 构成B样条曲线 P(t) 的特征多边形。在 该平面内的任意一条直线与 P(t) 的交点个数不多于该直线和特征 多边形的交点个数。
B样条曲线的性质
7. 连续阶性：
曲线在重数为 m 的节点处，连续阶能达到k-1-m 。 连续阶=次数-重数 整条曲线的连续阶能达到次数-重数的最大值
B样条曲线的性质
8. 退化性：
节点矢量中两端节点具有重数k，所有内节点重数为k-1，这样的节 点矢量定义了分段的Bernstein基。 B样条曲线用分段Bezier曲线表示后，各曲线段就具有了相对的独 立性，移动曲线段内的一个控制顶点只影响该曲线段的形状。例 如:T=(0,0,0,0,1,1,1,2,2,2,2)
区间 的一个分割 : a x0 x1 xn b 定义于分割上的函数 g(x)满足两条件：
Ø 在[xi , xi1]上， g(x)是x的 k次多项式 Ø 节点 k次样条函数
g(x)Ck1[a,b]
g(x)在区间 上有直到 k-1阶的连续导数
节点序列上定义的满足一定的连续性的分段函数 连续阶最高
谢谢！
均匀B样条曲线没有保留Bezier曲线端点的几何性质
图3.1.23 三次均匀的B样条曲线
b样条曲线生成原理
b样条曲线生成原理1. 引言b样条曲线是在计算机图形学和计算机辅助设计中常用的一种曲线表示方法。
它具有良好的平滑性和灵活性，可用于绘制复杂的曲线形状。
b样条曲线的生成原理涉及控制点、节点向量和基函数等关键概念，本文将深入探讨b样条曲线的生成原理及相关知识。
2. 控制点和节点向量在b样条曲线中，控制点是影响曲线形状的关键元素。
使用一系列控制点来定义曲线的形状。
节点向量则决定了b样条曲线的拟合效果。
节点向量是一个有序的非递减序列，它决定了曲线上各部分的权重。
3. b样条基函数b样条曲线的生成原理基于b样条基函数。
b样条基函数是关于节点向量的一组多项式函数，用于将控制点与节点向量结合起来计算曲线上的点坐标。
常用的b样条基函数有B样条、N样条、三次b样条等。
3.1 B样条基函数B样条基函数是b样条曲线生成中常用的一种基函数。
它是由节点向量确定的一组分段多项式函数，每个分段函数只对节点向量中一段有效。
B样条基函数具有局部性，只对部分区域有非零值，这使得b样条曲线具有平滑的特性。
3.2 N样条基函数N样条基函数是另一种常用的b样条基函数。
与B样条基函数类似，N样条基函数也是由节点向量确定的分段函数，但它的局部性较弱。
N样条基函数在全局范围内都有非零值，因此可以生成更为复杂的曲线形状。
3.3 三次b样条基函数三次b样条基函数是b样条曲线生成中最常用的基函数之一。
它是一种局部三次多项式函数，在局部区域内具有较好的拟合性能。
三次b样条基函数可以通过递推公式计算得到，其形式简单，计算效率高。
4. b样条曲线的生成算法4.1 插值算法插值算法是一种常用的b样条曲线生成算法。
它通过给定的控制点生成曲线，使得曲线经过这些控制点。
插值算法使用节点向量和b样条基函数对控制点进行插值计算，生成曲线上的点坐标。
4.2 逼近算法逼近算法是另一种常用的b样条曲线生成算法。
它通过给定的控制点生成曲线，使得曲线与控制点之间的误差最小。
逼近算法使用节点向量和b样条基函数对控制点进行逼近计算，调整权重使得曲线与控制点的拟合度达到最优。
b样条曲线
t ti t ik 1 t i
Ni,k1 (t)
tik t tik ti1
Ni1,k1 (t),
k 2
该递推公式表明：欲确定第i个k阶B样条Ni,k(t)，需要用 ti ,ti+1 ,…ti+k 共k+1个节点，称区间[ti , ti+k]为Ni,k(t)的支撑区间。
曲线方程中，n+1个控制顶点Pi (i=0,1,…n) 要用到n+1个k阶B样条 基 Ni,k(t) 。 支 撑 区 间 的 并 集 定 义 了 这 一 组 B 样 条 基 的 节 点 矢 量 T=[t0 ,t1 ,…tn+k ]。
Ni 1,k 1(t )
其中Pi的调和函数Ni是在区间ti<=t<ti+k的k阶多项式，这个多项式 是分段的，每一段多项式不相同。不为0的这k段是将区间ti<=t<ti+k 分k个部分，即ti<=t<ti+1、ti+1<=t<ti+2、……、ti+k-1<=t<ti+k, 每个区间对应一段k阶多项式。在t的其余区间为0。
3.3.2 B样条曲线的性质
1. 局部性
k 阶B样条曲线上参数为 t [ti , ti1] 的一点P(t)至多与k个控制顶点
Pj(j=i-k+1,…i)有关，与其它控制顶点无关；移动该曲线的第i个控 制顶
点Pi至多影响到定义在区间(ti,ti+k) 上那部分曲线的形状, 对曲线的 其余
1 Ni,1(t) 0
ti t ti1 Otherwise
Ni,k (t)
t ti tik 1 ti
Ni,k1(t)
计算机图形学实验报告B样条曲线
千里之行，始于足下。
计算机图形学实验报告B样条曲线B样条曲线是计算机图形学中常用的一种曲线表示方法。
它通过插值曲线的控制点来定义曲线的形状，并且具有较好的平滑性。
本次实验中，我们使用C++语言实现了B样条曲线的生成和显示，并进行了相应的实验和分析。
实验目的：1.了解B样条曲线的原理和算法；2.掌握B样条曲线的生成和显示方法；3.通过实验观察和分析B样条曲线的性质。
一、B样条曲线的原理B样条曲线是一种基于控制点的插值曲线，它通过一系列连续的基函数（B 样条基函数）来插值控制点，从而生成曲线。
B样条曲线的基本原理如下：1.选择一组控制点P0，P1，…，PN-1；2.定义一组节点向量U={u0，u1，…，um}，其中u0<=u1<=…<=um；3.通过插值曲线的标准等式，通过计算线性组合来计算曲线上每个点的坐标。
二、B样条曲线的算法1.计算节点向量U；2.定义B样条基函数；3.计算曲线上每个点的坐标。
三、实验步骤和结果1.计算节点向量U：在实验中，我们选择均匀节点向量，即ui=i，其中i=0，1，…，m。
这样的节点向量比较简单，而且能够生成比较平滑的曲线。
第1页/共3页锲而不舍，金石可镂。
2.定义B样条基函数：B样条基函数是用来插值曲线的重要部分，它可以通过递归定义来实现。
在实验中，我们使用了三次B样条基函数，其递归定义如下：N(i,1)(u)={1，u∈[ui,ui+1]；0，否则}N(i,k)(u)=[(u-ui)/(ui+k-1-ui)]*N(i,k-1)(u)+(ui+1-u)/(ui+k-ui+1)*N(i+1,k-1)(u)3.计算曲线上每个点的坐标：通过计算线性组合来计算曲线上每个点的坐标。
具体计算方法如下：P(u)=sum(B(i,k)(u)*Pi，i=0 to n-1)，其中B(i,k)(u)=N(i,k)(u)/sum(N(j,k)(u))四、实验结果和分析在实验中，我们通过改变控制点的位置和数量，生成了不同的B样条曲线，并进行了显示和分析。
第8讲-B样条曲线曲面-NURBS曲线曲面
35
第3章 车身曲线曲面的数学模型基础
-------总结 B样条曲线与曲面； 如何理解B样条曲线定义？ 与贝齐尔相比的区别？ 端点性质？
36
作业
1.说明两条曲线达到C、G连续的条件。 2.分析三次伯恩斯坦基函数对贝齐尔曲线的影响。 3.分析曲线升阶后的意义。 4.如何把一段贝齐尔曲线分成等长的两段？
点P0P2的直线段
P1
双曲线
抛物线
椭圆
P0
P2
图3.1.36 圆锥曲线的 NURBS表示 23
NURBS曲线---修改
常用的方法有修改权因子、控制点和反插节点。 修改权因子
当保持控制顶点和其它权因子不变，减少或增加某权因 子时，曲线被推离或拉向相应顶点。
S* Pi
S
N B
修改权因子
24
NURBS曲线---非均匀有理B样条曲面
⎡ 2 − 2 1 1 ⎤⎡ Pk ⎤
= ⎢⎢− 3
⎢0
⎢ ⎣
1
3 0 0
−2 1 0
−1⎥⎥
0⎥
0
⎥ ⎦
⎢ ⎢
Pk
+1
⎥ ⎥
⎢ ⎢ ⎣
Rk Rk +1
⎥ ⎥ ⎦
=
M
h
⋅
Gh
28
三次Hermite曲线---弗格森
三次Hermite样条曲线的方程为：
p(t) = T ⋅ M h ⋅ Gh
t ∈[0,1]
p(0) = Pk , p(1) = Pk+1 p′(0) = Rk , p′(1) = Rk+1
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A[P(t)] A[Pi ]Ni,k (t) , t [tk1,tn1] i0
即在仿射变换下，的表达式具有形式不变性。
– 直线保持性 控制多边形退化为一条直线时，曲线也退化 为一条直线。
计算机图形学
B样条曲线的性质
– 造型的灵活性。
Pi1
Pi2
Pi3
Pi
P(t)
(a)四顶点共线
三重顶点
二重顶点
计算机图形学
• B样条基地的de Boor-Cox递推定义
1 Ni,1(t) 0
ti x ti1 Otherwise
Ni,k (t)
t ti tik 1 ti
Ni,k
1
(t)
tik t tik ti1
Ni1,k 1(t)
• 约定 0 0
0
• 确定第i个k阶B样条基底 Ni,k (t) 需要 ti,ti1,,tik 共 k+1个节点
计算机图形学
非均匀B样条曲线
任意分布的节点矢量
，只
要在数学上成立（节点序列非递减，两端节点
重复度≤k，内节点重复度≤k-1）都可选取。
这样的节点矢量定义了非均匀B样条基底。
计算机图形学
B样条曲线的性质
– 局部性
k 阶B样条曲线上参数为t [ti,ti1)的一点p(t)至多与k个 控制顶点 Pj ( j i k 1,,i) 有关，与其它控制顶点 无关；移动该曲线的第i个控制顶点Pi至多影响到定
由de boor算法,知下列公式成立
p(t
j
)
Pj[3] (t j
)
P[2] j 1
(t
j
)
p(t
j 1 )
P[3] j 1
(t
j 1 )
Pj[2] (t
j 1 )
p(t
j
)
3[
P[1] j 1
(t
j
)
P[2] j 1
(t
j
)]
p(t
j 1 )
3[ Pj[ 2 ]
(t
j 1 )
P[1] j 1
(t
j 1 )]
B样条曲线
• 1972年，Gordon、Riesenfeld等人提出了B样条 方法，在保留Bezier方法全部优点的同时，克 服了Bezier方法的弱点。
计算机图形学
Bezier曲线 Bernstein基底
计算机图形学
Bernstein基底
计算机图形学
3.3.1 B样条的递推定义和性质
• B样条曲线的方程定义为：
计算机图形学
B样条曲线的多样性
– 均匀与非均匀B样条
计算机图形学
B样条曲线的多样性
– 基底阶数k对B样条形状的影响
计算机图形学
B样条曲线的多样性
– 多重顶点对B样条形状的影响
计算机图形学
B样条曲线的多样性
– 顶点位置对B样条形状的影响
计算机图形学
3.3.3 de Boor 算法
• 欲计算B样条曲线上对应一点P(t)，可以利用B样条曲 线方程，但是采用de Boor 算法，计算更加快捷。 – de Boor 算法的导出
计算机图形学
B样条基底的性质
n
– 权性。 Ni,k (t) 1
i0
t [tk1, tn1)
– 微分公式。
Ni,k (t)
k 1 tik 1 ti
Ni,k1(t)
k 1 tik ti1
N i 1,k 1 (t )
计算机图形学
B样条曲线类型的划分
– 曲线按其首末端点是否重合，区分为闭曲线和 开曲线。
算机图形学
B样条曲线的性质
– 变差缩减性 设平面内 n+1 个控制顶点 构成B样条曲线 P(t) 的 特征多边形。在该平面内的任意一条直线与 P(t) 的交点个数不多于该直线和特征多边形的交点 个数。
– 几何不变性 B样条曲线的形状和位置与坐标系的选择无关。
计算机图形学
B样条曲线的性质
– 仿射不变性
图3.1.32 三次B样条曲线插入 一个节点(t t2 t3)
计算机图形学
3.3.5 B样条曲面
• 给定参数轴u和v的节点矢量
U [u0 ,u1,,um p ]
V [v0 , v1,, vnq ]
p×q阶B样条曲面定义如下
mn
P(u,v)
Pij Ni, p (u)N j,q (v)
i0 j0
• 曲线n+1个控制点需要n+1个B样条基Ni,k (t)底需要
n+k+1个节点 t0,t1,, tik
B样条的注意点
• 控制多边形的顶点数=B样条基底函数的个数 • B样条基底函数的个数和阶数k是独立概念 • 控制多边形的顶点个数n不能确定B样条基底阶数k • 需要定义节点矢量T • 设控制多边形顶点数为n+1，B样条基底阶数为k
计算机图形学
B样条基底的计算
• 3阶B样条基底
计算机图形学
B样条基底的计算
• 3阶B样条基底
计算机图形学
B样条基底的支撑区间
计算机图形学
B样条基底的支撑区间
计算机图形学
B样条基底的性质
局部支撑性
0
Ni,k
(t)
0
以k＝4，n=4为例
t [ti , tik ) otherwise
t0, t1 , t2, t3, t4, t5 , t6, t7, t8
计算机图形学
准均匀B样条基底
计算机图形学
分段Bezier曲线
节点矢量中两端节点具有重复度k，所有内节点重复度 为k-1，这样的节点矢量定义了分段的Bernstein基。
计算机图形学
分段Bezier曲线
B样条曲线用分段Bezier曲线表示后，各曲线段就 具有了相对的独立性，移动曲线段内的一个控制 顶点只影响该曲线段的形状，对其它曲线段的形 状没有影响。并且Bezier曲线一整套简单有效的算 法都可以原封不动地采用。缺点是增加了定义曲 线的数据，控制顶点数及节点数。
计算机图形学
B样条曲线的性质
– 分段参数多项式
P(t)在每一区间上都是次数不高于k-1的参 数t的多项式
– 导数公式
P'(t)
n
Pi Ni,k (t)
n
Pi Ni,k(t)
i0
i0
(k
1)
n i 1
Pi tik 1
Pi1 ti
N i ,k 1 (t )
t [tk1, tn1)
一般来说，2 ≤k ≤n+1 节点数=n+k+1
计算机图形学
B样条基底的计算
计算机图形学
B样条基底的计算
• 以节点数4为例： • 从定义可得1阶B样条基底:
计算机图形学
B样条基底的计算
• 计算2阶基底 • 从递推公式
计算机图形学
B样条基底的计算
• 2阶基底
计算机图形学
B样条基底的计算
• 计算3阶基底 • 从递推公式
– B样条曲线按其节点矢量中节点的分布情况， 可划分为四种类型。
计算机图形学
均匀B样条曲线
节点矢量中节点为沿参数 轴均匀或等距分布，所有 节点区 间长度为常数。这样的节点矢量定义了均匀的B样条基。
计算机图形学
准均匀B样条
与均匀B样条曲线的差别在于两端节点具有重复度k，这样 的节点矢量定义了准均匀的B样条基。均匀B样条曲线没有 保留Bezier曲线端点的几何性质，即样条曲线的首末端点不 再是控制多边形的首末端点。采用准均匀的B样条曲线解 决了这个问题
P1 ik 2
P1 ik 3
Pi1
Pi1
Pi
图3.1.30 实线框中k个新顶点 取代虚线框中k-1个原 始顶点
P1
P21
P2
P11
P31
P0
P3
t
t1 t2 t3 t4 t5 t6
图3.1.31 三次B样条曲线插入 一个节点 t [t3, t4 ]
计算机图形学
P2 P1 P11
P0 t1
P3 t
t2 t4 t5 t6 t3
是控制多边形的顶点 (i=0,1,..,n) 称为k阶（k-1次)B样条基函数 B样条基函数是一个称为节点矢量的非递减的参 数t的序列所决定的k阶分段多项式，也即为k阶（ k-1次)多项式样条。
计算机图形学
• B样条基地的de Boor-Cox递推定义
计算机图形学
• B样条基地的de Boor-Cox递推定义
[1] j k 3
[2] j k 3
Pj
P[1] j
P[2] j
P[k 1] j
Pn
计算机图形学
De Boor 算法的几何意义
– de Boor算法有着直观的几何意义 割角，
即以线段
Pi[r
]
P[r] i 1
割去角Pi[r 1]
。从多边形
P P jk1 jk2 Pj 开始，经过 k-1 层割角，最后
计算机图形学
Pij构成一张控制网格，称为B样条曲面的特征
网格。Ni, p (u) 和 N j,q (v) 是B样条基，分别由
节点矢量U和V按deBoor-Cox递推公式决定。
计算机图形学
P23
P03
P33
P02
P12 P22
P32
P11
P21
P01
则
j
j
P(t) Pi Ni,k (t)
P[1] i
(t
)
Ni,k
1
(t
)
i jk 1
i jk2
反复使用上述递推公式,可得 P(t) Pj[k1](t)