第七章离散信号与系统的复频域分析(2)L23_CH7.
合集下载
信号与系统8.离散时间信号的复频域分析
常用单边序列的z变换
Z {ku[k ]}
z 1
z
2
2
1 z 1 z 1
za
证明：
Z { k u [ k ] } k z k ?
k0
1
Z {u[k ]}
z 1 即
1 z 1
zk
1
k0
1 z 1
两边对z 求导 -1
k
s域到z域的映射关系：z esT
P4
江西财经大学
Jiangxi University of Finance and Economics
单边z变换的定义
z变换的定义
双边z变换
X (z)
x[k ]z k
k
z反变换
1
x[k ]
X (z )z k1dz
P8
江西财经大学
Jiangxi University of Finance and Economics
z变换的定义
常用单边序列的z变换
P9
江西财经大学
Jiangxi University of Finance and Economics
常用单边序列的z变换
Z { [k ]} 1, z 0
单边z变换的反变换
幂级数展开和长除法
由X(z)的定义，将其展开为幂级数
X ( z )
x [ k ] z k x [ 0 ] x [1 ] z 1 x [ 2 ] z 2 ....
k0
展开式中 z-k 项的系数即为x[k]。当X(z)是有
理函数时，可以通过长除的方法将其展开为
信号与系统的频域分析
三、Ｆourier级数系数的对称性质：
• 1、偶函数：f(t) ＝f(－t)
4 a n f t cos(n1 t )dt T bn 0 an 2 Fn f t cos(n1 t )dt 2 T
T 2 0
T 2 0
2、奇函数：f(t) ＝－f(－t)
an 0 4 b n f t sin(n1 t )dt T T jb n 2 2 Fn j f t sin(n1 t )dt 2 T 0
xt g t dt 0
i
• （i为任意正整数），则此函数集称为完备正 交函数集。
四、信号的分解
Y
• A=c1x+c2y+c3z • X,y,z,为单位向量 若{ ri(t) }为n维正 交函数集
y x
z Z
A
X
.f(t)=c1.r1(t)+ c2.r2(t)+ c3.r3(t)+…..+ cn.rn(t)
§３－１
信号的正交分解
f1 t cf 2 t
• 一、正交函数：
若
t1 , t 2
•确定使方均误差最小的系数C：
2 t2 1 2 t t1 f1 t cf 2 t dt t 2 t1 2 t2 d2 d 1 t1 f1 t cf 2 t dt dc dc t 2 t 1
二、奇异信号：
1. t 1
重要推论：
•
２、常数１
e
j xy
dy 2 x
1 2
３、符号函数：（sign function）
1 t 0 sgnt 1 t 0 2 j F 0 0 0
离散时间信号与系统的频域分析2
一、序列的傅里叶变换的定义
连续时间信号x(t)的傅里叶变换:
X (j )F T [x(t)]x(t)ej td t
而X(jΩ)的傅里叶反变换定义为
x (t)F 1 [T X (j ) ]1X (j )ej td 2
离散时间信号x(n)的傅里叶变换（DTFT）：
X(ej) x(n)ejn
n
n
式中的级数才是绝对收敛的，或x(n)的傅里叶变换存在 。
二、常用序列的傅里叶变换
1.单位脉冲序列 (n)
其傅里叶变换为
=1
含义是什么
这就是用单 位脉冲响应能够 表征线性时不变 系统的原因。
单位脉冲信
号包含了所有频
率分量，而且这
T[(n)]h(n) 些分量的幅度和 相位都相同。
2.矩形序列
反变换
n
x(n)21
X(ej)ejnd
X(ej) x(n)ejn n
在物理意义上，X(ejω)表示序列x(n)的频谱，ω为数字域 频率。 X(ejω)一般为复数。
但是右边的级数并不总是收敛的，即并不是任何序列 x(n)的傅里叶变换都是存在的。
只有当序列x(n)绝对可和
|x(n)ejn| |x(n)|
X (ej) X e(ej) X o (ej)
2）DTFT的对称特性（同学们自己证明）
D DT T[[F FjR IT Tm xe(xn [([)n]) ]] ]XX e(oe(je)j) D DT T[[F Fxxoe(T T (n n))]] R jIem X[X (e[(jej)])] 若x(n)为实序列，则 X(ej)X*(ej) ReX[(ej)]ReX[(ej)] ImX[(ej)]ImX[(ej)] X(ej) X(ej) argX[(ej)]argX[(ej)]
离散时间信号与系统的复频域分析
理想取样信号的拉普拉斯变换 z变换定义 单边z 单边z变换及其收敛域 常用单边序列的z 常用单边序列的z变换 单边z 单边z变换的性质 单边z 单边z反变换
六,单边z反变换 单边z
1 k 1 x[k ] = ∫c X ( z ) z dz 2 πj
C为X(z) 的ROC中的一闭合曲线. 计算方法: 幂级数展开和长除法 部分分式展开 留数计算法
2 z 0 .5 k = z z 1
z = 0.5
= (0.5) k
x[k] = Res[ X (z)zk1]z=1 + Res[ X (z)zk1]z=0.5 =[1+(-0.5)k]u[k]
1) z变换与拉普拉斯变换的关系. 2) 双,单边z变换的定义与适用范围: 双边适用于离散系统综合设计 单边大多用于离散系统的分析 3) z域分析与其他域分析方法相同, z变换的 性质类似于其他变换.
A = (1 2 z ) G ( z ) z = 2
1 2
G(z)
2 = = 2 1 1 4z
z =2
1 d[G ( z )(1 2 z 1 ) 2 ] B= (2) dz 1
1 d 2 = z =2 2 dz 1 1 4 z 1
= 4
1 8 z 1 + 20 z 2 16 z 3 例 : X (z) = (1 2 z 1 ) 2 (1 4 z 1 )
离散时间系统响应的z 离散时间系统响应的z域分析
解差分方程
时域差分方程
变 换 z z
时域响应y 时域响应y[k]
反 变 换 z z z z
z域
方程
解 方程
z域响应Y(z) 域响应Y
二阶系统响应的z 二阶系统响应的z域求解
六,单边z反变换 单边z
1 k 1 x[k ] = ∫c X ( z ) z dz 2 πj
C为X(z) 的ROC中的一闭合曲线. 计算方法: 幂级数展开和长除法 部分分式展开 留数计算法
2 z 0 .5 k = z z 1
z = 0.5
= (0.5) k
x[k] = Res[ X (z)zk1]z=1 + Res[ X (z)zk1]z=0.5 =[1+(-0.5)k]u[k]
1) z变换与拉普拉斯变换的关系. 2) 双,单边z变换的定义与适用范围: 双边适用于离散系统综合设计 单边大多用于离散系统的分析 3) z域分析与其他域分析方法相同, z变换的 性质类似于其他变换.
A = (1 2 z ) G ( z ) z = 2
1 2
G(z)
2 = = 2 1 1 4z
z =2
1 d[G ( z )(1 2 z 1 ) 2 ] B= (2) dz 1
1 d 2 = z =2 2 dz 1 1 4 z 1
= 4
1 8 z 1 + 20 z 2 16 z 3 例 : X (z) = (1 2 z 1 ) 2 (1 4 z 1 )
离散时间系统响应的z 离散时间系统响应的z域分析
解差分方程
时域差分方程
变 换 z z
时域响应y 时域响应y[k]
反 变 换 z z z z
z域
方程
解 方程
z域响应Y(z) 域响应Y
二阶系统响应的z 二阶系统响应的z域求解
清华大学信号与系统课件第七章离散系统的时域分析
基本运算：各阶导数，系数乘，相加
2020/4/4
课件
10
二、离散系统的数学模型
• 输入是离散序列及其时移函数
x(n)x ,(n1)x ,(n2),....
• 输出是离散序列及其时移函数
y(n)y ,(n1)y ,(n2),....
• 系统模型是输入输出的线性组合
系数乘，相加，延时单元
N
M
y(n) aky(nk) brx(nr)
a0
1 E
a1
b1
1 E
a2
b2
2020/4/4
课件
20
§7.3常系数差分方程的求解
• 迭代法 • 时域经典法 • 离散卷积法：利用齐次解得零输入
解，再利用卷积和求零状态解。 • 变换域法（Z变换法） • 状态变量分析法
2020/4/4
课件
21
一、迭代法
• 当差分方程阶次较低时常用此法
y(n) ay(n 1) x(n) x(n) (n)
M
yi(n)
i0
M
ai yi (n)
i0
• 时不变性 xi(nm)
2020/4/4
课件
yi(nm)
9
连续系统的数学模型
C0ddnr(ntt)C1ddn1nrt(1t)..C.n1dd(rt)tCnr(t) E0ddmem (tt)E1ddm1m te(1t)..E.m1dd(et)tEme(t)
网络结构图：
x(n)
1 a
1 E
y(n)1y(n1)x(n) a
2020/4/4
课件
16
1 x(n1)
E
b1
y(n)a1y(n1) b0x(n)b1x(n1)
2020/4/4
课件
10
二、离散系统的数学模型
• 输入是离散序列及其时移函数
x(n)x ,(n1)x ,(n2),....
• 输出是离散序列及其时移函数
y(n)y ,(n1)y ,(n2),....
• 系统模型是输入输出的线性组合
系数乘，相加，延时单元
N
M
y(n) aky(nk) brx(nr)
a0
1 E
a1
b1
1 E
a2
b2
2020/4/4
课件
20
§7.3常系数差分方程的求解
• 迭代法 • 时域经典法 • 离散卷积法：利用齐次解得零输入
解，再利用卷积和求零状态解。 • 变换域法（Z变换法） • 状态变量分析法
2020/4/4
课件
21
一、迭代法
• 当差分方程阶次较低时常用此法
y(n) ay(n 1) x(n) x(n) (n)
M
yi(n)
i0
M
ai yi (n)
i0
• 时不变性 xi(nm)
2020/4/4
课件
yi(nm)
9
连续系统的数学模型
C0ddnr(ntt)C1ddn1nrt(1t)..C.n1dd(rt)tCnr(t) E0ddmem (tt)E1ddm1m te(1t)..E.m1dd(et)tEme(t)
网络结构图：
x(n)
1 a
1 E
y(n)1y(n1)x(n) a
2020/4/4
课件
16
1 x(n1)
E
b1
y(n)a1y(n1) b0x(n)b1x(n1)
数字信号处理-离散时间信号和系统的频域分析共28页文档
数字信号处理-离散时间信号和系统的 频域分析
1、纪律是管理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
5、教导儿童服从真理、服从集体，养 成儿童 自觉的 纪律性 ，这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴
Байду номын сангаас
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
《信号与系统》离散信号的频域分析实验报告
信息科学与工程学院《信号与系统》实验报告四专业班级电信 09－班姓名学号实验时间 2011 年月日指导教师陈华丽成绩实验名称离散信号的频域分析实验目的1. 掌握离散信号谱分析的方法：序列的傅里叶变换、离散傅里叶级数、离散傅里叶变换、快速傅里叶变换，进一步理解这些变换之间的关系；2. 掌握序列的傅里叶变换、离散傅里叶级数、离散傅里叶变换、快速傅里叶变换的Matlab实现；3. 熟悉FFT算法原理和FFT子程序的应用。
4. 学习用FFT对连续信号和离散信号进行谱分析的方法，了解可能出现的分析误差及其原因，以便在实际中正确应用FFT。
实验内容1.对连续信号)()sin()(0tutAetx taΩα-=（128.444=A，πα250=，πΩ250=）进行理想采样，可得采样序列50)()sin()()(0≤≤==-nnunTAenTxnx nTaΩα。
图1给出了)(txa的幅频特性曲线，由此图可以确定对)(txa采用的采样频率。
分别取采样频率为1KHz、300Hz和200Hz，画出所得采样序列)(nx的幅频特性)(ωj eX。
并观察是否存在频谱混叠。
图1 连续信号)()sin()(0tutAetx taΩα-=2. 设)52.0cos()48.0cos()(nnnxππ+=（1）取)(nx（100≤≤n）时，求)(nx的FFT变换)(kX，并绘出其幅度曲线。
（2）将(1)中的)(nx以补零方式加长到200≤≤n，求)(kX并绘出其幅度曲线。
（3）取)(nx（1000≤≤n），求)(kX并绘出其幅度曲线。
（4）观察上述三种情况下，)(nx的幅度曲线是否一致？为什么？3. （1）编制信号产生子程序，产生以下典型信号供谱分析用。
11,03()8,470,n nx n n nn+≤≤⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其它2()cos4x n nπ=3()sin8x n nπ=4()cos8cos16cos20x t t t tπππ=++10.80.60.40.20100200300400500xa(jf)f /Hz（2）对信号1()x n ，2()x n ，3()x n 进行两次谱分析，FFT 的变换区间N 分别取8和16，观察两次的结果是否一致？为什么？（3）连续信号4()x n 的采样频率64s f Hz =，16,32,64N =。
离散信号的频域分析
添加 标题
时频变换的基本概念：时频变换是信号处理 中的一种重要方法，它能够将信号的时域和 频域信息相互转换。
添加 标题
离散信号的频域与时域的关系：离散信号的 频域与时域之间存在密切的关系。通过时频 变换，可以分析离散信号在不同时间点的频 率特征，从而更好地理解信号的特性和行为。
添加 标题
时频变换的不变性：时频变换具有一些重要 的性质，其中最重要的是时频变换的不变性。 这意味着通过时频变换得到的信号的时域和 频域特征在变换前后保持不变。
数字调制解调的 优势：抗干扰能 力强、传输距离 远等
数字音频信号 的频域分析
音频压缩与编 码
数字滤波器设 计
音频特效处理
图像压缩：离散信号的频域分析有助于图像压缩，减少存储空间和传输带宽。
图像增强：通过频域处理，可以增强图像的细节和对比度，提高图像质量。
图像识别：利用离散信号的频域特征，可以实现图像识别和分类，应用于人脸识别、物体检测等 领域。
时频变换的应用：时频变换在信号处理、 通信、雷达、声呐等领域有着广泛的应用。 通过时频变换，可以实现对信号的快速、 准确的分析和处理，从而提高信号处理的 效率和精度。
时频变换的基本原理
离散信号的频域与时域的关 系
离散信号的频域分析方法
时频变换在信号处理中的应 用
汇报人：XX
时频变换的对称性：离散信号的频域与时域之间存在对称性，即频域和时域的变换具有相互对 应的关系。
离散信号的时频分析：利用时频变换的方法，将离散信号表示为时频平面上的分布，以便同时 分析其时间和频率特性。
时频变换的物理意义：离散信号的时频变换具有物理意义，可以揭示信号在不同时间和频率下 的表现和特征。
添加 标题
离散性：离散信号的频谱是离散的，即只有某些特定的频率分量存在。
时频变换的基本概念：时频变换是信号处理 中的一种重要方法，它能够将信号的时域和 频域信息相互转换。
添加 标题
离散信号的频域与时域的关系：离散信号的 频域与时域之间存在密切的关系。通过时频 变换，可以分析离散信号在不同时间点的频 率特征，从而更好地理解信号的特性和行为。
添加 标题
时频变换的不变性：时频变换具有一些重要 的性质，其中最重要的是时频变换的不变性。 这意味着通过时频变换得到的信号的时域和 频域特征在变换前后保持不变。
数字调制解调的 优势：抗干扰能 力强、传输距离 远等
数字音频信号 的频域分析
音频压缩与编 码
数字滤波器设 计
音频特效处理
图像压缩：离散信号的频域分析有助于图像压缩，减少存储空间和传输带宽。
图像增强：通过频域处理，可以增强图像的细节和对比度，提高图像质量。
图像识别：利用离散信号的频域特征，可以实现图像识别和分类，应用于人脸识别、物体检测等 领域。
时频变换的应用：时频变换在信号处理、 通信、雷达、声呐等领域有着广泛的应用。 通过时频变换，可以实现对信号的快速、 准确的分析和处理，从而提高信号处理的 效率和精度。
时频变换的基本原理
离散信号的频域与时域的关 系
离散信号的频域分析方法
时频变换在信号处理中的应 用
汇报人：XX
时频变换的对称性：离散信号的频域与时域之间存在对称性，即频域和时域的变换具有相互对 应的关系。
离散信号的时频分析：利用时频变换的方法，将离散信号表示为时频平面上的分布，以便同时 分析其时间和频率特性。
时频变换的物理意义：离散信号的时频变换具有物理意义，可以揭示信号在不同时间和频率下 的表现和特征。
添加 标题
离散性：离散信号的频谱是离散的，即只有某些特定的频率分量存在。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
信号与系统
Signals and Systems
普通高等教育“十一五”国家级规划教材 《信号与系统》
陈后金，胡健，薛健 高等教育出版社， 2007年
离散时间信号与系统的复频域分析
离散时间信号的复频域分析 离散时间LTI系统的复频域分析 离散时间系统函数与系统特性 离散时间系统的模拟
离散时间信号的复频域分析
z 4, 求x[k ]
解： m=n，由多项式除法可得
X
(z)
1
(1
2z
2 1 ) 21
4z
1
G(z)
G(z)
A (1 2z 1)2
B 1 2z 1
C 1 4z 1
A
(1 2z1)2 G(z)
z2
2 1 4z1
2
B
1 (2)
d[G(z)(1 2z 1)2 ] dz 1
解：
X
(
z
)
1
(
1 z/
a)
2
X
1
(
z)
1
1 z
2
x1[k
]
s
in
[π 2
(k
1)]u[k
]
由指数加权性质
x[k] ak cos(π k)u[k] 2
例：X (z)
1 (1 2z1)(1 z1 z2 ) ,
z
0
求x[k]。
解：
A
Bz 1 C
X (z) 1 2z1 1 z1 z2
B, C用待定系数法求
1 z 1 z 2 1 2 cos(π / 3)z 1 z 2
A=4/3, B=2/3, C= 1/3;
x[k ]
{4
(2)k
2sin(
π 3
k)
sin[
π 3
(k
1)] }u[k ]
3
3sin(π / 3) 3sin(π / 3)
六、单例:
X (z)
2z 2 0.5z z 2 0.5z 0.5
z 1, 求x[k]
解： 将X(z)化为z的负幂，可得
X
(
z)
1
2 0.5z
0.5 z 1 1 0.5
z
2
1
A z
1
1
B 0.5z
1
A
(1
z 1)
X
(z)
z 1
部分分式法
X
(z)
B(z) A(z)
b0 b1z1 bm zm 1 a1z1 an zn
1. m<n，分母多项式无重根
n
X (z)
i 1
ri 1 pi z 1
各部分分式的系数为
ri (1 pi z1) X (z) z pi
六、单边z反变换
C (1 4z1)G(z) z4 8
X (z)
1
2 (1 2z1)2
1
4 2
z
1
1
8 4
z
1
进行z反变换，得
x[k] [k] [2(k 1)2k 4 2k 8 4k ]u[k]
例：X (z)
z2 z2 a2
,
z
a, 求x[k]
解：
X(z)有一对共轭复根，复根时部分分式展开, 可以直接利用
sin(0k
)u[k
]Z
1
sin 0 z 1 2z 1 cos 0
z
2
sin[0 (k
1)]u[k]Z 1
sin 0 2z1 cos 0
z 2
例：X (z)
z2 z2 a2
,
z
a, 求x[k]
Res[X (z)zk1]z1 (z 1)X (z)zk1 z1
2z 0.5 z k z 0.5
1
z 1
Res[
X
(
z)z
k
]1 z0.5
2 0.5z1 1 0.5z1
z1 1
B
(1
0.5z1) X (z)
z 0.5
2 0.5z1 1 z1
z0.5 1
将X(z)进行z反变换，可得
x[k] Z 1{X (z)} u[k] (0.5)k u[k]
例
:
X
(z)
1
8z 1 20 z 2 16 z 3 (1 2z 1)2 (1 4z 1)
部分分式法
X
(z)
B(z) A(z)
b0 b1z1 bm zm 1 a1z1 an zn
2. m<n，分母多项式在z=u处有l阶重极点
nl
X (z)
i 1
1
ri pi z 1
l 1 i0
qi (1 uz1)li
1
di
qi (u)i i! d(z1)i
(1 uz1)l X (z)
zu ,
i 0,l 1
六、单边z反变换
部分分式法
X
(z)
B(z) A(z)
b0 b1z1 bm zm 1 a1z1 an zn
3. mn
mn
X (z)
i 1
ki zi
B1(z 1) A(z 1)
多项式
Re s[ X z p
( z ) z k 1 ]
(n
1 dn1(z p)n
1)!
dz n1
X
(z) z p
例：X (z)
2z2 0.5z z2 0.5z 0.5 ,
z
1,用留数法求x[k]。
解：
X(z)z k1在z=1, z=0.5有两个一阶极点，其留数为
留数法
x[k] 1
n
X (z)zk1dz Re s[ X (z)zk1]
2πj c
i1 z pi
若X(z)z k1在z = pi处有一阶极点，则该极点的留数为
Re s[ X (z)zk1]
z pi
(z
zi ) X (z)zk1
z zi
若X(z)z k1在z = p处有一阶极点，则该极点的留数为
z2
1 2
d dz 1
1
2 4 z 1
z2 4
例
:
X
(z)
1
8z 1 20 z 2 16 z 3 (1 2z 1)2 (1 4z 1)
z 4, 求x[k ]
解：
G(z)
A (1 2z 1)2
B 1 2z 1
C 1 4z 1
所以
由离散时间Fourier变换到z变换
单边z变换及其收敛域 常用单边序列的z变换 单边z变换的性质 单边z反变换
六、单边z反变换
x[k] 1 X (z)zk1dz
2πj c
C为X(z) 的ROC中的一闭合曲线。
计算方法： 幂级数展开和长除法 部分分式展开 留数计算法
六、单边z反变换
Signals and Systems
普通高等教育“十一五”国家级规划教材 《信号与系统》
陈后金，胡健，薛健 高等教育出版社， 2007年
离散时间信号与系统的复频域分析
离散时间信号的复频域分析 离散时间LTI系统的复频域分析 离散时间系统函数与系统特性 离散时间系统的模拟
离散时间信号的复频域分析
z 4, 求x[k ]
解： m=n，由多项式除法可得
X
(z)
1
(1
2z
2 1 ) 21
4z
1
G(z)
G(z)
A (1 2z 1)2
B 1 2z 1
C 1 4z 1
A
(1 2z1)2 G(z)
z2
2 1 4z1
2
B
1 (2)
d[G(z)(1 2z 1)2 ] dz 1
解：
X
(
z
)
1
(
1 z/
a)
2
X
1
(
z)
1
1 z
2
x1[k
]
s
in
[π 2
(k
1)]u[k
]
由指数加权性质
x[k] ak cos(π k)u[k] 2
例：X (z)
1 (1 2z1)(1 z1 z2 ) ,
z
0
求x[k]。
解：
A
Bz 1 C
X (z) 1 2z1 1 z1 z2
B, C用待定系数法求
1 z 1 z 2 1 2 cos(π / 3)z 1 z 2
A=4/3, B=2/3, C= 1/3;
x[k ]
{4
(2)k
2sin(
π 3
k)
sin[
π 3
(k
1)] }u[k ]
3
3sin(π / 3) 3sin(π / 3)
六、单例:
X (z)
2z 2 0.5z z 2 0.5z 0.5
z 1, 求x[k]
解： 将X(z)化为z的负幂，可得
X
(
z)
1
2 0.5z
0.5 z 1 1 0.5
z
2
1
A z
1
1
B 0.5z
1
A
(1
z 1)
X
(z)
z 1
部分分式法
X
(z)
B(z) A(z)
b0 b1z1 bm zm 1 a1z1 an zn
1. m<n，分母多项式无重根
n
X (z)
i 1
ri 1 pi z 1
各部分分式的系数为
ri (1 pi z1) X (z) z pi
六、单边z反变换
C (1 4z1)G(z) z4 8
X (z)
1
2 (1 2z1)2
1
4 2
z
1
1
8 4
z
1
进行z反变换，得
x[k] [k] [2(k 1)2k 4 2k 8 4k ]u[k]
例：X (z)
z2 z2 a2
,
z
a, 求x[k]
解：
X(z)有一对共轭复根，复根时部分分式展开, 可以直接利用
sin(0k
)u[k
]Z
1
sin 0 z 1 2z 1 cos 0
z
2
sin[0 (k
1)]u[k]Z 1
sin 0 2z1 cos 0
z 2
例：X (z)
z2 z2 a2
,
z
a, 求x[k]
Res[X (z)zk1]z1 (z 1)X (z)zk1 z1
2z 0.5 z k z 0.5
1
z 1
Res[
X
(
z)z
k
]1 z0.5
2 0.5z1 1 0.5z1
z1 1
B
(1
0.5z1) X (z)
z 0.5
2 0.5z1 1 z1
z0.5 1
将X(z)进行z反变换，可得
x[k] Z 1{X (z)} u[k] (0.5)k u[k]
例
:
X
(z)
1
8z 1 20 z 2 16 z 3 (1 2z 1)2 (1 4z 1)
部分分式法
X
(z)
B(z) A(z)
b0 b1z1 bm zm 1 a1z1 an zn
2. m<n，分母多项式在z=u处有l阶重极点
nl
X (z)
i 1
1
ri pi z 1
l 1 i0
qi (1 uz1)li
1
di
qi (u)i i! d(z1)i
(1 uz1)l X (z)
zu ,
i 0,l 1
六、单边z反变换
部分分式法
X
(z)
B(z) A(z)
b0 b1z1 bm zm 1 a1z1 an zn
3. mn
mn
X (z)
i 1
ki zi
B1(z 1) A(z 1)
多项式
Re s[ X z p
( z ) z k 1 ]
(n
1 dn1(z p)n
1)!
dz n1
X
(z) z p
例：X (z)
2z2 0.5z z2 0.5z 0.5 ,
z
1,用留数法求x[k]。
解：
X(z)z k1在z=1, z=0.5有两个一阶极点，其留数为
留数法
x[k] 1
n
X (z)zk1dz Re s[ X (z)zk1]
2πj c
i1 z pi
若X(z)z k1在z = pi处有一阶极点，则该极点的留数为
Re s[ X (z)zk1]
z pi
(z
zi ) X (z)zk1
z zi
若X(z)z k1在z = p处有一阶极点，则该极点的留数为
z2
1 2
d dz 1
1
2 4 z 1
z2 4
例
:
X
(z)
1
8z 1 20 z 2 16 z 3 (1 2z 1)2 (1 4z 1)
z 4, 求x[k ]
解：
G(z)
A (1 2z 1)2
B 1 2z 1
C 1 4z 1
所以
由离散时间Fourier变换到z变换
单边z变换及其收敛域 常用单边序列的z变换 单边z变换的性质 单边z反变换
六、单边z反变换
x[k] 1 X (z)zk1dz
2πj c
C为X(z) 的ROC中的一闭合曲线。
计算方法： 幂级数展开和长除法 部分分式展开 留数计算法
六、单边z反变换