完整分式讲义
分式讲义(一))
分式讲义（一）一、知识点： 1．分式的概念：（1）分式的定义：一般地A ，B 是两个_______，且_____中含有字母，那么BA 叫分式（2）分式有意义的条件是___________不等于0 （3）分式无意义的条件是___________等于0（4）分式为零的条件是________不等于0，且_________等于0 2．分式的基本性质：（1）分式的分子分母同乘（或除以）一个__________________，分式的值_________ （2）分子，分母的公因式,系数的_________与各______因式的_________的积（3）各分式的最简公分母，各分母系数的___________与_______因式___________的积 3．分式的运算法则：（1）乘法法则________________________________________ （2）除法法则________________________________________ 二、范例讲解：题型一：考查分式的定义【例1】下列代数式中：yx y x yx yxba b a y x x -++-+--1,,,21,22π，是分式的有： .题型二：考查分式有意义的条件【例2】当x 有何值时，下列分式有意义（1）44+-x x （2）232+xx （3）122-x（4）3||6--x x （5）xx 11-题型三：考查分式的值为0的条件【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0.（1）31+-x x （2）42||2--xx （3）653222----x xx x题型四：考查分式的值为正、负的条件【例4】（1）当x 为何值时，分式x-84为正；（2）当x 为何值时，分式2)1(35-+-x x 为负；（3）当x 为何值时，分式32+-x x 为非负数.练习：1．当x 取何值时，下列分式有意义：（1）3||61-x （2）1)1(32++-x x （3）x111+2．当x 为何值时，下列分式的值为零：（1）4|1|5+--x x （2）562522+--x x x（二）分式的基本性质及有关题型1．分式的基本性质：MB M A MB M A B A ÷÷=⨯⨯=2．分式的变号法则：ba ba ba ba =--=+--=--题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.（1）yx yx 41313221+-（2）ba b a +-04.003.02.0题型二：分数的系数变号【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.（1）yx y x --+- （2）ba a ---（3）ba ---题型三：化简求值题【例3】已知：511=+y x ，求yxy x y xy x +++-2232的值.【例4】已知：21=-xx ，求221xx +的值.【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求yx 241-的值.练习：1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.（1）yx y x 5.008.02.003.0+- （2）ba ba 10141534.0-+2．已知：31=+xx ，求1242++x xx 的值. 3．已知：311=-ba，求aab b b ab a ---+232的值.4．若0106222=+-++b b a a ，求ba b a 532+-的值.（三）分式的运算1．确定最简公分母的方法：①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.题型一：约分【例2】约分： （1）322016xyy x -； （3）nm mn--22； （3）6222---+x xx x题型二：通分【例1】将下列各式分别通分. （1）cb ac a bab c225,3,2--； （2）ab bb a a22,--；（3）22,21,1222--+--x xx x xx x ； （4）aa -+21,2三、作业：⒈当x 时，分式1223+-x x 有意义；当x 时，分式xx --112的值等于零.⒉分式ab c32、bc a3、acb25的最简公分母是 ；化简：242--x x ＝ .⒊xx 231--=32(_____)-x =－32____)-x （⒋当x 、y 满足关系式________时，)(2)(5y x x y --=－255．若使下列各分式值为零，x 的值分别为：（1）2213xx +-，则x = ；（2）1233--x x ，则x = ；（3）)2)(3(2+--x x x ，则x = ；（4）)1)(3(1+--x x x ，则x = ．6、分式xx ---112的结果是________.7、2241ba 与cab x36的最简公分母是__________.8、b a 1,1,31通分后,它们分别是_________, _________,________. 9、acb b ac c b a 107,23,5422的最简公分母是______,通分时,这三个分式的分子分母依次乘以______, ， 。
分式讲义
《分式》讲义一．考点解析考点1：分式的运算1．分式：整式A 除以整式B ，可以表示成A B 的形式，如果除式B 中含有字母，那么称A B为分式． 注：（1）若B ≠0，则A B 有意义；（2）若B=0，则A B 无意义；（2）若A=0且B ≠0，则A B =0 2．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． 用式子表示为：（其中M≠0）3．约分：把一个分式的分子和分母的公团式约去，这种变形称为分式的约分． 4．通分：根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分．5．分式的加减法法则：（1）同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；（2）异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算． 分式的加、减法法则c a ±c b =c b a ±，b a ±d c =bd ad ±bd bc =bdbc ad ±. 6．分式的乘除法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘．分式的乘、除法法则b a ·dc =bd ac ，d c b a ÷=b a ·c d =bcad . 7. 分式的乘方法则：分式的乘方就是把分子、分母各自乘方分式的乘方法则nb a ⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n b a (n 为正整数) 8通分注意事项：（1）通分的关键是确定最简公分母，最简公分母应为各分母系救的最小公倍数与所有相同因式的最高次幂的积；（2）易把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉．9分式的混合运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的．10于化简求值的题型要注意解题格式，要先化简，再代人字母的值求值．考点2：分式方程及其应用1．分式方程．分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法：解分式方程的关键是大分母（方程两边都乘以最简公分母人将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题：⑴ 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根l 增根；⑵ 验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．4.解可化为一元一次方程的分式方程的一般方法和步骤：① 去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程；② 解这个整式方程；③ 验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.5.列分式方程解应用题的一般步骤：（1） 审：审清题意；（2） 设：设未知数；（3） 找：找出等量关系；（4） 列：列出分式方程；（5） 解：解这个分式方程；（6） 验：既要验证根是否为原分式方程的根，又要检验根是否符合题意；（7） 答：写出答案.二、经典考题剖析：例１ 当x 取何值时，下列分式有意义？(1)51-x ； (2))2)(5(2+-+x x x ； (3)3||92+-x x ； (4)x111+． 解 (1)要使分式51-x 有意义，必须x －5≠0, ∴ x ≠5.∴ 当x ≠5时，分式51-x 有意义． (2)要使分式)2)(5(2+-+x x x 有意义，必须 (x －5)(x ＋2)≠0, ∴ x ≠5且x ≠－2, (3)要使分式3||92+-x x 有意义，必须|x|＋3≠0.∵ |x|＋3＞0, ∴ x 取任意数时，分式3||92+-x x 都有意义． (4)要使分式x 111+有意义，必须1＋x 1≠0, x ≠－1, x ≠0, x ≠0.∴ 当x ≠－1且x ≠0时，分式x111+有意义． 例２ (1)x 为何值时，分式62||2-+-x x x 的值为零；(2)x 为何值时，分式512-+x x 的值为－1. 解 |x|－2＝0, …… ① x 2＋x －6≠0,…… ②解①式得x ＝±2，解②式得(x －2)( x ＋3)≠0,即x ≠2且x ≠－3.∴ x ＝－2.当x ＝－2时，分式62||2-+-x x x 的值为零． 2x ＋1＝－(x －5), …… ① x －5 ≠0, …… ②由①得 2x ＋1＋x ＝5,即x ＝34， 由②得x ≠5，∴ x ＝34时，分式512-+x x 的值为－1. ∴ (2) 由题意得 (1) 由题意得例３ 若分式xx x +-||1||的值为零，求x 的值． 解 ∵ 分式xx x +-||1||的值为零， |x|－1＝0, …… ① |x|＋x ≠0, …… ②由①式得|x|＝1, ∴ x ±1．当x ＝1时，|x|＋x ＝|1|＋1＝2≠0,满足②式；当x ＝－1时，|x|＋x ＝|－1|－1＝0,不满足②式；∴ x ＝1.例４ 若分式xx +-12的值为负数，试确定x 的取值范围． 分析 分式xx +-12值为负数，即分式的分子2－x 与分母1＋x 的符号相反． 解 ∵ xx +-12＜0, ∴ 分子2－x 与分母1＋x 的符号相反，2－x ＞0, 2－x ＜0, 1＋x ＜0， 1＋x ＞0.x ＜2, x ＞2, x ＜－1, x ＞1．∴ x ＜－1或x ＞2,∴ x 的取值范围是x ＜－1或x ＞2．例５ 不改变分式的值，把下列各式中的分子、分母的各项系数都化为整数． (1)x y y x 31413251-+； (2)b a b a +-2.05.03.0． 解 (1)x y y x 31413251-+＝60)3141(60)3251(⨯-⨯+x y y x ＝x y y x 20154012-+； (2)b a b a +-2.05.03.0＝10)2.0(10)5.03.0(⨯+⨯-b a b a ＝ba b a 10253+-. 说明 解决这类问题，一般用下列方法：若分子、分母中各项系数都为分数，则分子、分母都乘以各项系数中分母的最小公倍数；若分子、分母中各项系数都是小数，则分子、分母同时乘以10n ；若分子、分母中各项系数有分数，又有小数，则把小数化为分数，再把分子、分母同时乘以各项系数分母的最小公倍数。
分式的经典讲义
分式概念、通分、通分约分经典讲义【概念巩固】1．判断下列各式哪些是整式,哪些是分式?(1）2x+3, （2）x 7 , (3）209y +,（4） 54-m ， （5) 238y y -，（6)91-x 是分式的有 ；2.列代数式表示下列数量关系，并指出哪些是正是？哪些是分式？ （1）甲每小时做x 个零件，则他8小时做零件 个，做80个零件需 小时.（2）轮船在静水中每小时走a 千米，水流的速度是b 千米/时，轮船的顺流速度是 千米/时，轮船的逆流速度是 千米/时。
（3)x 与y 的差于4的商是 .2、对于BA 分式而言 (1）当 时，分式有意义；(2）当 时,分式无意义；(3）当 时，分式的值为0；（4）当 时，分式的值为1；（5）当 时，分式的值为-1;（6)当 时，分式的值大于0； 0；例1 、 对于分式53-x ， (1）当 时，分式有意义；（2）当 时，分式无意义;(3）当 时，分式的值为0；（4)当 时,分式的值为1；（5）当 时，分式的值为-1;（6）当 时，分式的值大于0；（7）当 时，分式的值小于0; 【强化性练习】1、当x 取何值时，分式 2312-+x x (1）当 时，分式有意义；(2）当 时,分式无意义；（3）当 时，分式的值为0；(4)当 时，分式的值为1；（5）当 时，分式的值为-1;(6）当 时，分式的值大于0；(7）当 时，分式的值小于0；x -1||3、当x 取何值时,下列分式有意义？ (1)x 25 （2）x x 235-+ （3）2522+-x x 答案：（1） ；(2） ；（3） ；【知识点归纳】3、分式的基本性质：4、分式的约分(1）约分的概念：(2）分式约分的依据：（3)分式约分的方法：（4)最简分式的概念：5、分式的通分※思考:分数通分的方法及步骤是什么？6、最简公分母：※找最简公分母的步骤：（1）．（2）．（3）．(4）．※分解因式找公因式的步骤：（1） 找系数:（2） 找字母：例1： 约分：()532164.1abc bc a - ()()()x y a y x a --322.2例2:不改变分式的值，把下列各式的分子分母中的各项系数都化为整数，且分子分母不含公因式=-+b a b a 41323121)1( =-+y x y x 6.02125.054)2(把下列各式约分:()x x x 525.122-- ()634.222-+++a a a a （3） db ac b a 32232432-（4) )(25)(152b a b a +-+- （5) b a ab a --2； (6) 2242xx x ---；1．约分的主要步骤：先把分式的分子，分母分解因式，然后约去分子分母中的相同因式的最低次幂，（包括分子分母中系数的最大公约数）.2．约分的依据是分式的基本性质：约去分子与分母的公因式相当于被约去的公因式同时除原分式的分子分母，根据分式的基本性质,所得的分式与原分式的值相等。
分式讲义
一、知识框架 ：二、知识概念：1.分式：形如A B，A B 、是整式，B 中含有字母且B 不等于0的整式叫做分式.其中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母.2.分式有意义的条件：分母不等于0.3.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变.4.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分.5.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分.6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式.7.分式的四则运算：⑴同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.用字母表示为：a b a b c c c ±±= ⑵异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为：a c ad cb b d bd±±= ⑶分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：a c ac b d bd⨯= ⑷分式的除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字母表示为：a c a d ad b d b c bc÷=⨯= ⑸分式的乘方法则：分子、分母分别乘方.用字母表示为：n n n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭8.整数指数幂：⑴m n m n a a a+⨯=（m n 、是正整数） ⑵()n m mn a a =（m n 、是正整数）⑶()nn n ab a b =（n 是正整数） ⑷m n m n a a a -÷=（0a ≠，m n 、是正整数，m n >）⑸n nna ab b⎛⎫=⎪⎝⎭（n是正整数）⑹1nnaa-=（0a≠，n是正整数）9.分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.10.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).。
分式讲义
分式讲义【思想方法】 1．转化思想转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等． 2．建模思想本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3．类比法本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程．分式的运算【知识要点】1.分式的概念以及基本性质;2.与分式运算有关的运算法则3.分式的化简求值(通分与约分)4.幂的运算法则【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b ca a a a±±=≠2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc daa c a c ac ac ac±±=±=≠≠;3.分式的乘法与除法:b d bd a c ac ∙=,b c b d bda d a c ac÷=∙=4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项5.同底数幂的乘法与除法;am●a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m= a mb n, (a m)n= amn7.负指数幂: a-p=1pa a 0=18.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式(a+b)(a-b)= a2- b 2 ;(a ±b)2= a 2±2ab+b 2一、分式定义题型一：考查分式的定义【例1】下列代数式中：y x yx y x y x ba b a y x x -++-+--1,,,21,22π，是分式的有：题型二：考查分式有意义的条件【例2】当x 有何值时，下列分式有意义（1）44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x（5）xx 11-题型三：考查分式的值为0的条件【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0.（1）31+-x x（2）42||2--x x （3）653222----x x x x题型四：考查分式的值为正、负的条件【例4】（1）当x 为何值时，分式x -84为正； （2）当x 为何值时，分式2)1(35-+-x x 为负；（3）当x 为何值时，分式32+-x x 为非负数.二、分式的基本性质1．分式的基本性质：MB MA MB M A B A ÷÷=⨯⨯= 2．分式的变号法则：bab a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.（1）y x yx 41313221+- （2）ba ba +-04.003.02.0题型二：分数的系数变号【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.（1）y x yx --+- （2）b a a --- （3）b a ---题型三：化简求值题【例3】已知：511=+y x ，求yxy x yxy x +++-2232的值.提示：整体代入，①xy y x 3=+，②转化出yx 11+.【例4】已知：21=-x x ，求221xx +的值.【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求yx 241-的值.练习：1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.（1）yx yx 5.008.02.003.0+-（2）b a ba 10141534.0-+2．已知：31=+x x ，求1242++x x x 的值.3．已知：311=-b a ，求aab b bab a ---+232的值.4．若0106222=+-++b b a a ，求ba ba 532+-的值.5．如果21<<x ，试化简x x --2|2|xx x x |||1|1+---.对应训练1．不改变分式的值，使分式115101139x yx y -+的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（• ） A ．10 B ．9 C ．45 D ．90 2．下列等式：①()a b a b c c ---=-;②x y x y x x -+-=-;③a b a bc c-++=-; ④m n m nm m ---=-中,成立的是（ ） A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．②④ 3．不改变分式2323523x xx x -+-+-的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（• ）A ．2332523x x x x +++-B ．2332523x x x x -++-C ．2332523x x x x +--+D ．2332523x x x x ---+4．分式434y x a +，2411x x --，22x xy y x y -++，2222a abab b +-中是最简分式的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．约分：（1）22699x x x ++-； （2）2232m m m m-+-．6．通分：（1）26x ab ，29y a bc ； （2）2121a a a -++，261a -．7．已知13x x +=，求2421x x x ++的值．8．下列各式πa ，11x +，15x y +，22a b a b--，23x -，0•中，是分式的有___ ________；是整式的有_____ ______；是有理式的有___ ______． 9．下列分式，当x 取何值时有意义．（1）2132x x ++； （2）2323x x +-．3．下列各式中，无论x 取何值，分式都有意义的是（ ） A ．121x + B ．21x x + C ．231x x + D ．2221x x +4．当x ______时，分式2134x x +-无意义．5．当x _______时，分式2212x x x -+-的值为零．6．当x ______时，分式435x x +-的值为1；当x _______时，分式435x x +-的值为1-．7．分式24xx -，当x _______时，分式有意义；当x _______时，分式的值为零． 8．有理式①2x ，②5x y +，③12a -，④1xπ-中，是分式的有（ ） A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．①②③④ 9．分式31x ax +-中，当x a =-时，下列结论正确的是（ ） A ．分式的值为零； B ．分式无意义 C ．若13a -≠时，分式的值为零； D ．若13a ≠时，分式的值为零10．当x _______时，分式15x -+的值为正；当x ______时，分式241x -+的值为负． 11．下列各式中，可能取值为零的是（ ） A ．2211m m +- B ．211m m -+ C ．211m m +- D ．211m m ++12．使分式||1xx -无意义，x 的取值是（ ）A ．0B ．1C ．1-D ．1± 13．已知123x y x-=-，x 取哪些值时：（1）y 的值是正数；（2）y 的值是负数；（3）y 的值是零；（4）分式无意义．三、分式的运算1．确定最简公分母的方法：①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂. 题型一：通分【例1】将下列各式分别通分. （1）cb ac a b ab c 225,3,2--； （2）a b b b a a 22,--； （3）22,21,1222--+--x x xx xx x ； （4）aa -+21,2题型二：约分【例2】约分： （1）322016xy y x -；（3）n m m n --22；（3）6222---+x x x x .题型三：分式的混合运算【例3】计算： （1）42232)()()(abc ab c c b a ÷-⋅-；（2）22233)()()3(xy x y y x y x a +-÷-⋅+；（3）mn mn m n m n n m ---+-+22；（4）112---a a a ；（5）874321814121111x x x x x x x x +-+-+-+--；（6）)5)(3(1)3)(1(1)1)(1(1+++++++-x x x x x x ；（7）)12()21444(222+-⋅--+--x x x x x x x题型四：化简求值题【例4】先化简后求值（1）已知：1-=x ，求分子)]121()144[(48122x x x x -÷-+--的值；输入n 计算n （n+1）n>50 Yes No 输出结果m （2）已知：432zy x ==，求22232zy x xz yz xy ++-+的值；（3）已知：0132=+-a a ，试求)1)(1(22a a aa --的值.题型五：求待定字母的值【例5】若111312-++=--x Nx M x x ，试求N M ,的值.四、分式其他类型试题：例1：观察下面一列有规律的数：32，83，154，245，356，487，……． 根据其规律可知第ｎ个数应是＿＿＿（n 为正整数）例2： 观察下面一列分式：2345124816,,,,,...,x x x x x---根据你的发现，它的第8项是 ，第n 项是 。
分式方程讲义
x2 4x 1 2 ) 2 其中，x=—3” ． x2 x 4 x 4
小玲做题时把“x=—3”错抄成了“x=3” ，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事？
20． （8 分）今年我市遇到百年一遇的大旱，全市人民齐心协力积极抗旱。某校师生也活动起来捐款打井抗 旱，已知第一天捐款 4800 元，第二天捐款 6000 元，第二天捐款人数比第一天捐款人数多 50 人，且两天人 均捐款数相等，那么两天共参加捐款的人数是多少？
180 180 x 2 (1 ) ， x 1.5 x 3 解这个方程为 x 182 ，经检验，x=182 是所列方程的根，即前前一小时的速度为 182．
由题意得： 22 、 解 ： 设 该 市 去 年 居 民 用 气 的 价 格 为 x 元 / m ³ ， 则 今 年 的 价 格 为 (1+25%)x 元 / m ³． „„„„„„„„„„„„„„„„„„1 分 96 90 10 ． 根据题意，得 „„„„„„„„„4 分 x (1 25%) x 7
3
本节小结：
解分式方程的步骤(1).去分母(2).解整式方程(3).把整式方程的根代入最简公分母或原分式方
程.若结果为零,则是增根,舍去
解分式方程应用的步骤和注意事项
列分式方程解的一般步骤题为： ①设未知数：若把题目中要求的未知数直接用字母表示出来，则称为直接设未知数，否则称间接设未知数； ②列代数式：用含未知数的代数式把题目中有关的量表示出来，必要时作出示意图或列成表格，帮助理顺 各个量之间的关系； ③列出方程：根据题目中明显的或者隐含的相等关系列出方程； ④解方程并检验； ⑤写出答案．
18、 （1） x 1 为增根，此题无解； （2） x
2 19、解：原式计算的结果等于 x 4 ， „„„„„„„„„„„„„6 分
分式讲义
分式一、基本知识1、分式定义：形如BA的式子叫分式，其中A 、B 是整式，且B 中含有字母。
（1）分式无意义：B=0时，分式无意义； B ≠0时，分式有意义。
（2）分式的值为0：A=0，B ≠0时，分式的值等于0。
（3）分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去叫做分式的约分。
方法是把分子、分母因式分解，再约去公因式。
（4）最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。
分式运算的最终结果若是分式，一定要化为最简分式。
（5）通分：把几个异分母的分式分别化成与原来分式相等的同分母分式的过程，叫做分式的通分。
（6）最简公分母：各分式的分母所有因式的最高次幂的积。
（7）有理式：整式和分式统称有理式。
2、分式的基本性质： （1）)0(的整式是≠⋅⋅=M M B M A B A ；（2）)0(的整式是≠÷÷=M MB M A B A （3）分式的变号法则：分式的分子，分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。
3、分式的运算：（1）加、减：同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母的分式相加减，先把它们通分成同分母的分式再相加减。
（2）乘：先对各分式的分子、分母因式分解，约分后再分子乘以分子，分母乘以分母。
（3）除：除以一个分式等于乘上它的倒数式。
（4）乘方：分式的乘方就是把分子、分母分别乘方。
二、例题讲析 1、 （2011黑龙江黑河，18，3分）分式方程=--11x x)2)(1(+-x x m 有增根，则m 的值为 （ ）A 0和3B 1C 1和－2D 3 【答案】D2、 （2011年铜仁地区，4，4分）小明从家里骑自行车到学校，每小时骑15km ，可早到10分钟，每小时骑12km 就会迟到5分钟．问他家到学校的路程是多少km?设他家到学校的路程是xkm ，则据题意列出的方程是（ ）A.60512601015-=+x x B.60512601015+=-x x C.60512601015-=-x x D.5121015-=+x x .【答案】A3、（2011内蒙古包头，17，3分）化简122144112222-++÷++-⋅-+a a a a a a a ，其结果是 . 【答案】11-a 4. （2011广西梧州，24，10分）由于受金融危机的影响，某店经销的甲型号手机今年的售价比去年每台降价500元．如果卖出相同数量的手机，那么去年销售额为8万元，今年销售额只有6万元．（1）今年甲型号手机每台售价为多少元？（2）为了提高利润，该店计划购进乙型号手机销售，已知甲型号手机每台进价为1000元，乙型号手机每台进价为800元，预计用不多于1.84万元且不少于1.76万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案？（3）若乙型号手机的售价为1400元，为了促销，公司决定每售出一台乙型号手机，返还顾客现金a 元，而甲型号手机仍按今年的售价销售，要使（2）中所有方案获利相同，a 应取何值？【答案】解：（1）设今年甲型号手机每台售价为x 元，由题意得， 80000x+500=60000x ． 解得x =1500． 经检验x =1500是方程的解．故今年甲型号手机每台售价为1500元． （2）设购进甲型号手机m 台，由题意得， 17600≤1000m +800（20-m ）≤18400， 8≤m ≤12．因为m 只能取整数，所以m 取8、9、10、11、12，共有5种进货方案． （3）方法一： 设总获利W 元，则W =（1500-1000）m +（1400-800-a ）（20-m ）， W =（a -100）m +12000-20a ．所以当a =100时，（2）中所有的方案获利相同． 方法二：由（2）知，当m =8时，有20-m =12．此时获利y 1=（1500-1000）×8+（1400-800-a ）×12=4000+（600-a ）×12 当m=9时，有20-m=11此时获利y 2=（1500-1000）×9+（1400-800-a ）×11=4500+（600-a ）×11 由于获利相同，则有y 1= y 2．即4000+（600-a ）×12=4500+（600-a ）×11，解之得a =100 ．所以当a =100时，（2）中所有方案获利相同． 5. （2011贵州黔南，21，10分）为了美化都匀市环境，打造中国优秀旅游城市，现欲将剑江河进行清淤疏通改造，现有两家清淤公司可供选择，这两家公司提供信息如表所示：单位 清淤费用（元/m 3） 清淤处理费（元）甲公司18 5000 乙公司20 0 （1）若剑江河首批需要清除的淤泥面积大约为1.2万平方米，平均厚度约为0.4米，那么请哪个清淤公司进行清淤费用较省，请说明理由。
分式与分式方程辅导讲义
分式与分式方程【知识框架】【知识点&例题】知识点一：分式的基本概念一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么式子B A 叫做分式，为分子，为分母。
知识点二：分式的基本性质 分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于的整式，分式的值不变。
字母表示：C B C••=A B A，C B C÷÷=A B A ，其中、、是整式，。
拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即B B AB B --=--=--=AAA注意：在应用分式的基本性质时，要注意这个限制条件和隐含条件B ≠0。
知识点三：分式的乘除法法则分式乘分式：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
式子表示为：db c a d c b a ••=•分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
式子表示为cc ••=•=÷bd a d b a d c b a 分式的乘方：把分子、分母分别乘方。
式子n n nb a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛巩固练习：1.若分式的值为0，则x 的值为 .2.当= 时，分式的值为零.3.计算x xy y xy y xy y x xy y22222222++-÷+-+4.先化简，再求值：其中.242x x --x 26(1)(3)x x x x ----2291333x x x x x ⎛⎫-⋅ ⎪--+⎝⎭13x =5.先化简，再求值：，其中．6、先化简，再求值：，其中7、解下列方程：（1）（2）（3） （4）532224x x x x -⎛⎫--÷ ⎪++⎝⎭3x 22144(1)1a a a a a-+-÷--1a =-3522x x =-223444x x x x =--+22093x x x +=-+35012x x -=+9、在年春运期间，我国南方出现大范围冰雪灾害，导致某地电路断电.该地供电局组织电工进行抢修.供电局距离抢修工地千米.抢修车装载着所需材料先从供电局出发，分钟后，电工乘吉普车从同一地点出发，结果他们同时到达抢修工地．已知吉普车速度是抢修车速度的倍，求这两种车的速度。
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分式1． 分式的概念：形如BA(A,B 是整式，且B 中含有字母)。
要使分式有意义，作为分母的整式B 的值不能为0，即B ≠0。
要使分式的值为0，只能分子的值为0，同时保证分母的值不为0，即A=0，且B ≠0。
1、式子①x 2 ②5y x + ③a -21 ④1-πx中，是分式的有（ ）A ．①② B. ③④ C. ①③ D.①②③④2、分式13-+x ax 中，当a x -=时，下列结论正确的是（ ）A ．分式的值为零 B.分式无意义C. 若31-≠a 时,分式的值为零D. 若31≠a 时,分式的值为零3. 若分式1-x x无意义,则x 的值是( ) A. 0 B. 1 C. -1 D.1±4.如果分式x 211-的值为负数,则的x 取值范围是( )A.21≤xB.21<xC.21≥xD.21>x2． 分式的基本性质：分式的分子，分母同时乘以，或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。
即B A =CB C A ⋅⋅ ，B A =CB C A ÷÷ （C ≠0） 1．不改变分式的值，使分式115101139x yx y -+的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（• ） A ．10 B ．9 C ．45 D ．902．下列等式：①()a b c --=-a b c -;②x y x -+-=x y x -;③a b c -+=-a bc+;④m n m --=-m n m-中,成立的是（ ）A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④3．不改变分式2323523x xx x -+-+-的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（• ） A ．2332523x x x x +++- B ．2332523x x x x -++- C ．2332523x x x x +--+ D ．2332523x x x x ---+4．对于分式11-x ，永远成立的是（ ） A ．1211+=-x x B. 11112-+=-x x x C. 2)1(111--=-x x x D. 3111--=-x x 5．下列各分式正确的是( )A.22a b a b =B. b a b a b a +=++22C. a aa a -=-+-11122 D. x x xy y x 2168432=-- 3． 最简分式及分式的约分与通分：1）最简分式:分子分母没有公因式的分式称之为最简分式。
2）约分：利用分式的基本性质约去分子分母中所有公因式，使所得的结果为最简分式或是整式。
3）通分：利用分式的基本性质，对分式的分子，分母同时乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个不同分母的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形称为通分。
通分的第一步是确定分式间的最简公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，即最简公分母。
总结：分式的通分，约分前都需要将分子，分母中的多项式因式分解1．化简分式xx ---112的结果是________.2.约分：(1)432304ab b a ， (2)22112m m m -+- ， (3)42)()(a b b a --. 3.把下列各式通分: (1)2261,32ab a - ， (2)22)2(1,4+--x x x x . (3)9452,232,3212-+-+x x x x ， (3)221,,b a b a b b a ---. 4． 分式的运算：1）分式的乘除法法则：分式乘分式，分子的积作为积得分子，分母的积作为积得分母；分式除以分式，把除式的分子，分母颠倒位置后与被除式相乘。
2）分式的加减法法则：同分母相加减，分母不变，分子相加减；异分母相加减，通分化为同分母后再加减。
总结：分式的乘除进行约分运算；分式的加减进行通分运算。
做混合运算时，先乘方，再乘除，后加减，有括号先做括号。
1.2234xy z ·（-28z y）等于（ ） A ．6xyz B ．-23384xy z yz- C ．-6xyz D ．6x 2yz 2．计算：23x x +-·22694x x x -+-．3． 22ab cd ÷34ax cd-等于（ ）A ．223b xB ．32b 2x C ．-223b x D ．-222238a b x c d4．计算：23a a -+÷22469a a a -++．5．若x 等于它的倒数，则263x x x ---÷2356x x x --+的值是（ ）A ．-3B ．-2C ．-1D ．0 6．计算：（xy-x 2）·xyx y-=________． 7．将分式22x x x +化简得1xx +，则x 应满足的条件是________．8．计算22121a a a -++÷21a aa -+．10．化简1x +12x +13x 等于（ ）A ．12xB ．32xC ．116xD ．56x11．计算34x x y -+4x y y x +--74yx y-得（ ） A ．-264x y x y +- B ．264x yx y+- C ．-2 D ．2 12．计算a-b+22b a b+得（ ）A ．22a b b a b -++B ．a+bC ．22a b a b ++ D ．a-b13．若22m x y -=2222xy y x y--+x yx y -+，则m=________． 14．当分式211x --21x +-11x -的值等于零时，则x=_________．15．如果a>b>0，则1b a b +--ba 的值的符号是__________．16．已知a+b=3，ab=1，则a b +ba的值等于________． 17．计算：222x x x +--2144x x x --+．18．计算：21x x --x-1．19．先化简，再求值:3a a --263a a a +-+3a，其中a=32．5． 整数指数幂的运算： 1）分式的乘方：（n 为整数）；2）同底数的乘法：（m 、n 为整数）； 3）积得乘方：（n 为整数）；4）幂的乘方：（a m ）n =a mn （m ，n 都是整数） 5）同底数幂的除法：（a≠0，m 、n 为整数）；总结：（a≠0）；（a≠0，n 为正整数）1．若m,n 为正整数,则下列各式错误的是（ ）A ．n m n m a a a a -⋅=÷ B.n n nb a b a -=⎪⎭⎫⎝⎛ C.()mn nma a =-- D. nn am am 1=- 2.下列计算正确的是( )A.()110-=- B.15.0210=⎪⎭⎫ ⎝⎛- C. ()111-=-- D.()()235x x x -=-÷-3.若25102=x ,则x -10等于( )A.51-B.51C.501D.62514.若31=+-a a ,则22-+a a 等于( ) A. 9 B. 1 C. 7 D. 115已知p x 21+= ,p y -+=21,则用x 表示y 的结果是( ) A.11-+x x B.12++x x C.1-x x D.x -2 6.计算:()()12211--+-n n=______________(n 为整数)7.计算:()____________221=---8.化简:()))((2211---+-+y x y x y x =______________ 9.已知:57,37==n m ,则=-n m 27________________.10.已知:9432827321=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫⎝⎛--x x , 则x=_____________ 11.计算:(1)10123)326(34--⎪⎭⎫⎝⎛⋅-⋅- (2)()32132----xy b a分式方程及应用：1) 分式方程：分母中含有未知数的有理方程叫做分式方程2) 解分式方程：找出最简公分母，方程两边同时乘以最简公分母化为整式方程后，解整式方程，把解代入最简公分母验算，使公分母为0的根，为增根，舍去。
3) 分式方程的应用：检验所列方程是否为分式方程；求解后注意检验根是否为增根及是否符合实际问题。
1.满足方程2211-=-x x 的x 值是( ) A.1 B.2 C.0 D. 没有2.已知)1(≠--=e an am e ,则a 等于( )A.e n m --1B.e me n --1C.ene m --1 D.以上答案都不对. 3.分式方程23416242+-=---x x x 的解为( ) A.0=x B.2-=x C.2=x D.无解.4.若方程kx x +=+233有负数根,则k 的取值范围是__________. 5.当x_______时,分式xx++51的值等于21.6.若使23--x x 与232+-x x互为倒数,则x 的值是________.7.已知方程531)1()(2-=-+x a a x 的解为51-=x ,则a =_________.8.解下列分式方程: (1).3115+=-x x ， (2) 1637222-=-++x x x x x . 9.已知关于x 的方程323-=--x m x x 解为正数,求m 的取值范围. 10.当m 为何值时,解方程115122-=-++x m x x 会产生增根? 11．某校用420元钱到商场去购买“84”消毒液，经过还价，每瓶便宜0.5元，结果比用原价多买了20瓶，求原价每瓶多少元？设原价每瓶x 元，则可列出方程为（ ）A ．205.0420420=--x xB ．204205.0420=--xx C ．5.020420420=--x x D ．5.042020420=--xx 12．甲、乙两人同时从A 地出发，骑自行车行30千米到B 地，甲比乙每小时少走3千米，结果乙先到40分钟。
若设乙每小时走x 千米，则可列方程（ ） A.3030233x x -=- B.3030233x x -=+ C.3030233x x -=+ D.3030233x x -=-13．为了适应国民经济持续快速协调的发展，自2004年4月18日起，全国铁路实施第五次提速，提速后，火车由天津到上海的时间缩短了7.42小时.若天津到上海的路程为1326千米,提速前火车的平均速度为x 千米/时,提速后火车的平均速度为y 千米/时,则x 、y 应满足的关系式( ) A.13267.42x y -=B.13267.42y x -= C.132613267.42x y -= D. 132613267.42y x -= 14.一个分数的分母比它的分子大5,如这个分数的分子加上14,分母减去1,所得到的分数为原分数的倒数,求这个分数.15．甲、乙两人在相同时间内各加工168个零件和144个零件，已知每小时甲比乙多加工8个零件，求甲、乙两人每小时各加工多少个零件？16．A 、B 两地相距20 km ，甲骑车自A 地出发向B 地方向行进30分钟后，乙骑车自B 地出发，以每小时比甲快2倍的速度向A 地驶去，两车要距B 地12 km 的C 地相遇，求甲、乙两人的车速.17.有一项工程要在规定日期内完成，如果甲工程队单独做正好如期完成，如果乙工程队单独做就要超过4天才能完成。