17.2.2配方法(一)(一元二次方程的解法)
它们之间有什么关系?
(1)下列将方程x 6 x 7 0配方变形
2
正确的是
2
( C
)
B.( x 3) 16 2 D.( x 6) 16
2
A.( x 6) 2
C.( x 3) 2
2
（2）用配方法解下列方程时，配方有 错误的是（ B）
A.x 2 x 99 0化为（x 1 ） 100
2.用配方法说明：不论k取何实 数，多项式k2－3k＋5的值必定 大于零.
注意:配方时, 等式两边同时加上的是 一次项系数一半的平方.
下课了!
结束寄语
• 配方法是一种重要的数学方法 ——配方法,它可以助你到达希 望的顶点. • 一元二次方程也是刻画现实世 界的有效数学模型.
拓展：
2 把方程x -3x+p=0配方得到
1 (x+m)2= 2 (1)求常数p,m的值； (2)求方程的解。
解一元二次方程的基本思路
二次方程
降次
一次方程
把原方程变为(x+h)2＝k的形式 (其中h、k是常数）。 当k≥0时，两边同时开平方，这 样原方程就转化为两个一元一次方程。 当k<0时，原方程的解又如何？
例题讲解
例题1. 用配方法解下列方程 x2+6x-7=0 2 解： x 6x 7 2 x 6x 9 7 9 练习1. 用配方法解下列 2 x 3 16 方程 x 3 4 1. y2-5y-1=0 . x1 1 x2 7 2. y2-3y= 3
2
2
用配方法解下列方程：
(5) x 3x 5 0
2
配方时, 等式两边同时加上的是一 次项系数一半的平方
应用拓展，共同提高
若a b 4a 2b 5 0
2 2
求a 的值
b
1.把一元二次方程的左边配成一个完 全平方式,然后用开平方法求解,这种解 一元二次方程的方法叫做配方法.
左边:所填常数等于一次项系数一半的平方. 右边:所填常数等于一次项系数的一半.
2 想一想如何解方程 x 6 x x 4 6x 4 0 ?
x 6x 4 0
2
移项 2
两边加上32,使左边配成 完全平方式
2
x 6 x 3 4 3
2 2
左边写成完全平方的形式
( x 3) 5
2
开平方
变成了(x+h)2=k 的形式
x3 5
x 3 5, x 3 5 得 : x1 3 5 , x2 3 5
以上解法中,为什么在方程 x 6 x 4 两边加9?加其他数行吗?
2
把一元二次方程的左边配成一个完全平方式, 然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的 方法叫做配方法.
3. x2-4x+3=0 4. x2-4x+5=0
配方法
用配方法解一元二次方程的步骤:
1.移项:把常数项移到方程的右边; 2.配方:方程两边都加上一次项系数一半的 平方; 3.变形:方程左边分解因式,右边合并同类项 4.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 5.求解:解一元一次方程; 6.定解:写出原方程的解.
a 2ab b a b
2 2
因式分解的完全平方公式
2
a 2ab b a b
2 2
2
完全平方式
合作交流探究新知
大胆试一试：
填上适当的数或式,使下列各等式成立. 2 观察(1)(2)看所填的 (1) x 6 x 3 2 =( x+ 3)2 常数与一次项系数之 2 间有什么关系? (2) x 8 x 4 2 =( x 4)2 (1)(2)的结论 2 2 (3) x 4 x 2 =( x 2 )2 适合于(3)吗? p 2 p 2 适用于(4)吗? (4) x px ( ) =( x 2 )2 2 共同点：
在下列横线上填上适当的数
1 ( x ___) (1) x 2 x _____ 1
2
2
2
4 ( x ___) (2) x 8 x _____ 4 5 5 （ ） 2 2 2 (3) y 5 y _____ ( y ___) 2
ห้องสมุดไป่ตู้2 2
2
2
( 4) y
2
1 2 1 1 ） ( y ___) y （ ____ 4 4 2
第二课时
配方法（一）
情境导入：
读诗词解题：
(通过列方程，算出周瑜去世时的年龄。) 大江东去浪淘尽，千古风流数人物。 而立之年督东吴，早逝英年两位数。 十位恰小个位三，个位平方与寿符。 哪位学子算得快，多少年华属周瑜？ 解：设个位数字为x，十位数字为x-3
思 考 分 析
x2=10(x-3)+x
x2-11x+30=0
2 2
B.x 8x 9 0化为（x 4） 25
2 2
C.x 3x 1 0化为（x 1.5） 1.25
2 2
D.x 5x 2 0化为（x 2.5） 4.25
2 2
(1) x 12 x 9 (2) x x 1 2 2 (3) x 4 x 3 0 (4) x 2 x 1 0
17.2(2)特殊的一元二次方程的解法
1
初中数学教学目标
年级 课题 日期
八年级（上）
17.2（2）特殊的一元二次方程的解
法
教学
目标
知识与技能
1掌握运用因式分解法来解的这类一元二次方程的特征，会用
因式分解法来解这类一元二次方程。
2．知道用因式分解法解一元二次方程的依据是“A·.B=0”相
当于“A=B或 B=0”。在探索的过程中，体会化归思想及降次
策略，知道因式分解法是降次的有效方法。
过程与方法
情 感 态 度
与 价 值 观
教材
分析
教学重点
运用因式分解法解特殊的一元二次方程。
教学难点
灵活运用因式分解的方法把一元二次方程化为两个一次
因式的积是零的形式。
相关链接
前期：分解因式、开平方法解一元二次方程、解一元一次
方程。
后期：可化为一元二次方程的高次方程，分式方程，无理
方程；二元二次方程组等。
沪科版八年级数学下册第十七章《一元二次方程的解法》(第2课时)优课件
1.如果mx²+2(3-2m)x+3m-2=0(m≠0)的左边是一个关
于x的完全平方式，则m等于
（
）
A. 1 B. -1 C. 1或9 D. -1或9
2.代数式 x2 x 2 的值为0，则x的值为 x2 1
3.已知（x+y)(x+y+2)-8=0,求x+y的值为 4.已知三角形的两边长分别为2和4，第三边的长是方 程x²- 4x+3=0的解，求这个三角形的周长.
解：（2）化1，x²-
3 2
x- 1
2
=0
移项，得
31
x²- 2 x= 2 .
配变方形，，得得x²(-x23-
x+(3 )²=
3
4
)²=
17
1 2
+(
,
3 4
)²，
开平分, 得 求解，得x1=
3
4
4
17
，
16
x- 3
4
=±
17 4
x2=
3 17 4
3 17
3 17
定解，所以原方程的根是x1 = 4 ，x2= 4
1.填空： （1）x²-8x+(
(3) x²- 5 x+( 2
)²=(x- )²;（2）y²+5y+( )²=(x- )²;（4）x²+px+(
)²=(y+ )²; )²=(x+ )².
2.用配方法解下列方程： （1）x²+ x - 1=0； （2）x²- 3x - 2=0；
（3）2x²+ 5x - 1=0； （4）3x²- 6x + 1=0.
17.2一元二次方程的解法-公式法
3、已知方程2X²+7X+c=0,方程的根为一个实
数，求c和x的值。
3、解：
a 2,b 7,c c
又b2 4ac 72 4 2 c 0
8c 49,即c 49
8
x1
x2
b 2a
7 22
7 4
通过本课时学习你有哪些 收获?
与同伴交流
作业：
1，课本p31习题17.2 第4题 2. 选做同步训练17.2（三）
b
b 4ac
x 2a
4a 2
即
b
b2 4ac
x
2a
2a
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
特别提醒：
当b²4ac﹤0
时，方程有实 数根吗?
一元二次 方程的求 根公式
明确：
• 有了求根公式，要解一个一 元二次方程，只要先把它化 成一般形式，确定出a,b,c的 值，然后把a,b,c的值代入求 根公式，就可解出方程的根。 这种解一元二次方程的解法
b2 4ac （ 2 3）2 41 3 0
x （- 2
3）
02
3
3
21
2
∴
x1 x2 3
b 4ac 0 结论：当 2
时，一元二次方程有
两个相等 的实数根.
例 3 解方程： x 21 3x 6
解： x 3x2 2 6x 6 3x2 7x 8 0
3x2 7x 8 0
--公式法
回顾与复习
一、用配方法解下列方程 2x²-12x+10=0
二、用配方解一元二次方程的步骤是什么？ 1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系 数); 2.移项:把常数项移到方程的右边;
沪科版八年级数学下册 17.2 一元二次方程的解法(配方法)教案
4.通过学生间交流、探索，进一步激发学生的学习热情，求知欲望.
重点：会用配方法解一元二次方程
重难点
难点：如何进行配方（尤其是二次项系数不为 1 的一元二次方程）
（一）知识准备
解下列方程：
（1） x2 = 9
（2） 3x2 = 15
（二）对比探究，解决问题
（3） (x + 3)2 = 25
1. 解方程： x2 + 6x + 9 = 25
2. 解方程： x2 + 6x −16 = 0
问题：把你得出的方程和会解的方程进行对比，你能得到什 教 么启发？
1/3
像这种先对原一元二次方程配方，使它出现完全平方式后， 学 再直接开平方求解的方法，叫做配方法。
（三）例题讲解 过
沪科版八年级数学下册 17.2 一元二次方程的解法（配方法）
时间 课题
配方法
地点
B301
课时 第 1 课时
主备人 科任教师
1. 了解能够用直接开平方法解的一元二次方程的类型，掌握用直接开 平方法解相关方程；
教学 2. 了解配方法的定义,掌握配方法解一元二次方程的步骤，会用配方法 目标 解一元二次方程；
2：观察上面所填的常数与一次项系数之间有什么关系?
总结 步骤 过程
小结：
对二次项系数是 1 的一元二次方程配方时要注意在方程两 边都加上一次项系数一半的平方。） x2 + x −1 = 0
（2） x2 − 3x − 2 = 0
（3）2x2 + 5x −1 = 0 （六）深化学习
不小于零。
过
系数
不为
1的
《17.2.1一元二次方程的解法-配方法》教案新部编本2
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《17.2.1一元二次方程的解法-配方法》教案教学内容间接即通过变形运用开平方法降次解方程．教学目标理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题．通过复习可直接化成x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤．重难点关键1．重点：讲清“直接降次有困难，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤．2．难点与关键：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们解下列方程（1）3x2-1=5（2）4（x-1）2-9=0（3）4x2+16x+16=9老师点评：上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的形式，那么可得x=或mx+n=（p≥0）．如：4x2+16x+16=（2x+4）2二、探索新知列出下面二个问题的方程并回答：（1）列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？（2）能否直接用上面三个方程的解法呢？问题1：印度古算中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，•八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮，告我总数共多少，两队猴子在一起”．大意是说：一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的八分之一的平方，另一队猴子数是12，那么猴子数是多少？你能解决这个问题吗？问题2：如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上，•修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路，余下的六个相同的部分作为耕地，要使得耕地的面积为5000m2，道路的宽为多少？学生活动：例1．按以上的方程完成x 2-36x +70=0的解题．可以验证x 1≈34，x 2≈2都是原方程的根，但x ≈34不合题意，所以道路的宽应为2． 例2．解下列关于x 的方程（1）x 2+2x -35=0 （2）2x 2-4x -1=0三、应用拓展如图，在R t △ACB 中，∠C =90°，AC =8m ，CB =6m ，点P 、Q 同时由A ，B •两点出发分别沿AC 、BC 方向向点C 匀速移动，它们的速度都是1m /s ，•几秒后△PCQ •的面积为R t △ACB 面积的一半．C AQ P四、归纳小结本节课应掌握：左边不含有x 的完全平方形式，•左边是非负数的一元二次方程化为左边是含有x 的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程．。
17.2一元二次方程2-配方法
2.用配方法说明：不论k取何实 数，多项式k2－3k＋5的值必定 大于零.
2、解方程4x 1 3x2
概括总结
1.对于二次项系数不为1的一元二次方程， 用配方法求解时首先要怎样做 ？
要把二次项系数化为1
2.用配方法解一元二次方程的一般步骤：
1.移项:把常数项移到方程的右边; 2.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系 数); 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方; 4.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 5.求解:解一元一次方程; 6.定解:写出原方程的解.
A.( x 6)2 2
C.( x 3)2 2
B.( x 3)2 16 D.( x 6)2 16
用配方法解下列方程：
(1)x2 12 x 9 (2)x2 x 1 (3)x2 4x 3 0 (4)x 2 2x 1 0
(5)x2 3x 5 0
思 考
而立之年督东吴，早逝英年两位数。
分
十位恰小个位三，个位平方与寿符。
析
哪位学子算得快，多少年华属周瑜？
解：设个位数字为x，十位数字为x-3 x2=10(x-3)+x x2-11x+30=0
1.把一元二次方程的左边配成一个完 全平方式,然后用开平方法求解,这种解 一元二次方程的方法叫做配方法.
注意:配方时, 等式两边同时加上的是 一次项系数一半的平方.
.
3
3.配方:方程两边都加上一 次项系数一半的平方;
x
4
2
5 2.
3 3
x 4 5.
33
x 4 5.
x1
17.2.2一元二次方程的解法-公式法（教案练习）
17.2.2一元二次方程的解法-公式法一. 选择题1. 用公式法解一元二次方程2x 2+3x=1时，化方程为一般式当中的a 、b 、c ，依次为( )A.2,-3,1B.2,3,-1C.-2,-3,-1D. -2,3,12. 利用求根公式求方程5x 2+0.5=6x 的根时，其中a=5，则b 、c 的值分别是（ ）A.0.5,6B. 6,0.5C. -6,0.5D.-6,-0.53. 以x = ） A.x 2+bc+c=0 B.x 2+bx-c=0C.x 2-bx+c=0D.x 2-bx-c=04. 用公式法解方程x 2-4x-1=0，其中b 2-4ac 的值是( )A.16B.24C.8D.45. 用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a 、b 、c 的值，对于方程-4x 2+3=5x ，下列叙述正确的是( )A.a=-4,b=5,c=3B. a=-4,b=-5,c=3C a=4,b=5,c=3 D. a=4,b=-5,c=-3二.填空题1. 写出方程x 2+x-1=0的一个正根 .2. 方程x 2-5x+2=0的解是 .3. 一元二次方程3x 2-4x-2=0的解是 .4. 一元二次方程260x +-=的解是 .5. 210-=-的解是 .三.解答题1. 用公式法解方程：2x(x-3)=x 2-12. 用公式法解方程：220x -+=3. 用公式法解方程2x2-6x+3=0，并求根的近似值.4. 已知实数a、b满足条件a2-7a+2=0，b2-7b+2=0,求ab的值？参考答案一.1.B 2C .3.D 4.B 5.B 二.11,2-.2. 12x x ==3.4. 12x ==5. 12x x == 三 1.解：方程整理为x 2-6x+1=0，a=1,b=-6,c=1,212641132x x x ∆--⨯⨯∴=±∴=+=-＝（）＝，333 2.解：1,2,a b c ==-=21241210,2x x x ∆--⨯⨯∴=∴==＝（＝18-8=10，3.解：2x 2-6x+3=0,a=2,b=-6,c=3, 221212464234.940.44.b ac x x x x x ---⨯⨯∴=∴==∴≈≈-＝（）＝60，，。
17.2一元二次方程的解法——公式法(2) (2)
17.2一元二次方程的解法——公式法（2）一、学习目标：（1）学生进一步熟练掌握利用求根公式解一元二次方程的方法。
（2）使学生理解并掌握一元二次方程的根的判别式。
（3）使学生掌握不解方程，运用判别式判断一元二次方程根的情况。
二、学习重点：正确运用判别式判断一元二次方程根的情况。
学习难点：一元二次方程根的判别式的应用。
三、学习过程：（一）创设情景：复习提问：（1）一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是__________（2）求根公式成立的前提是__________,一元二次方程最多有____个实数根（3）利用求根公式解一元二次方程应注意什么问题？（二）探索新知：1、解下列方程。
（1）2x2–x-1=0；（2）x2+1.5=-3x；（3）x2-√2x+1/2=0；观察思考：你发现了什么？为什么两个根会相同？这取决于什么？归纳小结:____________________________（4）4x2-3x+2=0。
学生先求出b2-4ac的值。
思考：当b 2-4ac ﹤0时，在实数范围内它还能作为一个被开方数吗？原方程还有没有实数根？小结：_____________________________（三）合作交流 得出结论: 观察几个例题，你能发现什么？归纳：① 当b2-4ac ﹥0时，_________________② 当b2-4ac=0时，__________________③ 当b2-4ac ﹤0时， ________________（四）巩固应用：1、 不解方程，判别下列方程根的情况：(1)2x 2＋3x －4＝0； (2)(2)16y 2＋9＝24y ； (3)(3)5(x2＋1)－7x ＝0．2、解下列方程。
（1）3x 2-6x-2=0； （2）x （2x-4）=-5-8x ； （3） 2x 2-8x+8=o 。
课堂反馈：1、关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式是：(1)当b 2－4ac ＞0时， ；(2)当b 2－4ac ＝0时， ；(3)当b 2－4ac ＜0时， .2、已知方程,04,07222=-=++ac b c x x 求c 和x 的值。
沪科版八下数学17.2一元二次方程的解法课件
2
（2）x2 5x 2 0
（3） 2x2 +5x 1 0
（4） 3x2 -5x 2 0
2)2
谢
谢
观
再
见
看
2
5x 1 0
(4)3x
2
6x 1 0
小结
一、直接开平方法：
一般地，对于形如 x²=a(a≥0) 的方程，利用
平方根的定义，可得： x₁=
,
₂ = −
这种解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法。
同样由（x+h)²=k(k≥0) 得 x + h = ± ，
x₁= − ℎ, x₂= − − ℎ
二、配方法 ：
先把原一元二次方程的左边配成一个
完全平方式，然后用直接开平方法求解，
这种解一元二次方程的方法叫做配方法。
知识巩固
例2： 用配方法解一元二次方程：
(1）x²-4x-1=0
(2) 2x²-3x-1=0
解：（1）移项，得x 2 4x 1
配方，得x 2 2 2x +22 1+22
（2）直接开平方得：x-1=±2， ： ₁ = 3， ₂ = −1
（3）原式化为：(x+2)²=16，直接开平方得： x+2=±4 ：
₁ = 2， ₂ = −6
结 论
一、直接开平方法：
一般地，对于形如 x²=a(a≥0) 的方程，利用
平方根的定义，可得： x₁=
,
₂ = −
这种解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法。
3.变形：等号左边写出完全平方式
4.开平方：利用开平方的定义直接开平方
17.2.一元二次方程的解法-配方法
(3) x2 4x 22=( x 2 )2
(1)(2)的结论 适合于(3)吗?
(4) x2 共同点：
px
(
p 2
)2=(
x
p
2 )2
适用于(4)吗?
左边:所填常数等于一次项系数一半的平方. 右边:所填常数等于一次项系数的一半.
x2 6x 4 0
想一想如何x2解 6方x移程项x42 6x 4 0? 两边加上32,使左边配成 完全平方式
解一元二次方程的基本思路
降次
二次方程
一次方程
把原方程变为(x+h)2＝k的形式 (其中h、k是常数）。
当k≥0时，两边同时开平方，这 样原方程就转化为两个一元一次方程。
当k<0时，原方程的解又如何？
例题讲解
例题1. 用配方法解下列方程
x2+6x-7=0
解： x2 6x 7
x2 6x 9 7 9
x2 6x 32 4 32
左边写成完全平方的形式
(x 3)2 5
开平方
变成了(x+h)2=k 的形式
x3 5
x3 5,x3 5 得: x1 3 5, x2 3 5
以上解法中,为什么在方程 x2 6x 4
两边加9?加其他数行吗?
把一元二次方程的左边配成一个完全平方式, 然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的 方法叫做配方法.
作业
• 1，课本p31习题17.2 第2题 • 2. 同步训练17.2（二）
拓展：
把方程x2-3x+p=0配方得到
1
(x+m)2=
2
(1)求常数p,m的值； (2)求方程的解。
2.用配方法说明：不论k取何实 数，多项式k2－3k＋5的值必定 大于零.