方程求根(计算方法)129页PPT
数学解方程求根
数学解方程求根解方程求根是数学中的重要内容之一，它在各个领域都有广泛的应用。
通过解方程，我们可以确定未知数的值，从而解决实际问题。
本文将介绍解一元方程、二元方程及高次方程求根的方法。
一、解一元方程一元方程是指只含有一个未知数的方程，如：2x + 3 = 9。
解一元方程的基本步骤如下：1. 整理方程：将方程的所有项移到等号的一侧，使等号左边的表达式为0。
对于示例方程，我们可以写作2x - 6 = 0。
2. 消去系数：将方程中的系数化简为整数。
对于示例方程，我们可以将方程化简为x - 3 = 0。
3. 移项求解：将移项后的方程通过加减法和乘除法等运算得到未知数的解。
对于示例方程，我们可以得到x = 3。
二、解二元方程二元方程是指含有两个未知数的方程，如：2x + 3y = 9。
解二元方程的方法有多种，以下介绍几种常用的方法：1. 代入法：选取其中一个方程，将另一个未知数用该方程中的未知数表示，然后代入另一个方程中求解。
这样可以将二元方程化简为一元方程。
例如，对于方程组2x + 3y = 9和x - y = 1，我们可以通过代入法将y表示为y = x - 1，然后代入第一个方程求解。
2. 消元法：通过加减法将两个方程相加或相减，从而消除一个未知数，得到一个一元方程。
例如，对于方程组2x + 3y = 9和x - y = 1，我们可以通过消元法得到5x = 10，然后解一元方程求解出x的值，再代入原方程求解出y的值。
3. 矩阵法：将方程组的系数矩阵与未知数矩阵相乘，得到与等号右侧常数矩阵相等的新矩阵。
然后通过矩阵运算得到未知数的值。
这种方法适用于较复杂的方程组。
三、解高次方程高次方程是指次数大于等于2的方程，如：x^2 - 4x + 3 = 0。
解高次方程的方法有多种，以下介绍两种常用的方法：1. 因式分解法：将方程化简为多个一次或二次因式相乘的形式，然后分别求解出每个因式等于0时的未知数的值。
例如，对于方程x^2 - 4x + 3 = 0，我们可以将其因式分解为(x - 1)(x - 3) = 0，然后得到x = 1或x = 3。
求根公式公式法
求根公式公式法
求根公式是一种用来求解一元二次方程（ax^2+bx+c=0）的方法。
它由欧拉在16世纪提出，并且在数学和实际应用中都有重要的地位。
一元二次方程的求根公式如下：
x=(b±√(b^24ac))/(2a)
其中，a、b和c分别代表二次项、一次项和常数项的系数，±表示两个解。
这个公式被称为二次方程的求根公式或者根式公式。
使用求根公式的步骤如下：
1.将一元二次方程化简为标准形式，确保系数已经排列好。
2.根据方程中的系数a、b和c，计算出Δ（即判别式，
Δ=b^24ac）。
3.判断Δ的值：
若Δ>0，方程有两个不相等的实数根，可以使用求根公式计算根的值。
若Δ=0，方程有两个相等的实数根，使用求根公式计算根的值时，两个解会重合。
若Δ<0，方程没有实数根，但是有两个共轭复数根，使用求根公式计算根的值时，会涉及到虚数。
根据上述步骤，我们可以使用求根公式来解决一元二次方程的问题。
这个公式的推导过程涉及一些数学原理，超出了本回答的范围，所以我们只介绍了最终的求根公式和使用方法。
如果你想了解更多关于求根公式的数学原理和推导过程，可以参考相关的教材或者网上的学习资源。
数值分析_第六章_方程求根
f″（ x 倡 ２
）（
x倡
－ xn ）２
＋ O（ x 倡
－
xn ）３
f′（ xn ） ＝ － f″（ x 倡 ）（ x 倡 － xn ） ＋ O（ x 倡 － xn ）２
f″（ xn ） ＝ f″（ x 倡 ） ＋ O（ x 倡 － xn ） ．
于是
x 倡 － xn ＋ １ x 倡 － xn
x０ ＝ ０畅 ６ ，计算精确到 １０ － ５ ．
２０畅 试确定常数 p 、q 、r ，使迭代公式
xk ＋ １
＝
p xk
＋
q
a x２
k
＋
r
a２ x５
k
产生的序列｛ xk ｝收敛到３ a ，并使其收敛阶尽可能高 ．
２１畅 用弦截法 求 f （ x） ＝ x３ ＋ ２ x２ ＋ １０ x － ２０ ＝ ０ 的 根 ，要 求
式 ，并讨论其收敛性 ．
１０畅 方程 x３ － ２ x２ ＋ x ＝ ０ 有二重根 x 倡 ＝ １ ，取 x０ ＝ ２ ，用 Ne w唱
ton 法和处理重根的
Ne w t on 法修正形式 ：xk ＋ １
＝
xk
－
m
f （ xk ） f′（ xk ）
分
别求解三步 ，比较结果 ，其中 m 为根的重数 ．
假定初值x0充分靠近根15畅研究求公式xk且序列xk是单调减的从而迭代过程收敛16畅考虑下述修正的newt公式steffenson方法xn17畅设在区间ab上函数x可逆即存在足够光滑的函数taylor公式展开从而导出下列公式chebyshev公式18畅设有解方程12的迭代法xncosxn证明橙x0用此迭代法求方程根的近似值误差不超过计算精确到1020畅试确定常数使迭代公式xk产生的序列xk收敛到22畅填空题迭代过程xkxk收敛的充分条件是要使迭代法xkxk局部收敛用迭代法xkxk求方程使迭代序列xk具有平方收敛迭代法xk此迭代序列是阶收敛的13畅2877
方程求根计算方法课件及实验教学
通过实际动手操作，学生能更好地理解方程求根的概念和方法，提高问题解决能力。
拓展思考
鼓励学生思考方程求根方法的适用性和限制性，帮助他们在实际问题中做出明智的选择。
迭代改进
教师应根据学生的实际情况和反馈，不断改进教学方法和实验设计，以提高教学效果。
方程求根计算方法课件及 实验教学
欢迎来到我们的课件，探索方程求根的计算方法和实验教学。方程求根在数 学中的重要性不可忽视，让我们一起开始这次精彩的探索之旅吧！
方程求根的重要性
方程求根是解决实际问题的关键步骤。它们在物理、工程学和经济学等领域中起着重要作用，帮助我们 找到未知数的值，并解决复杂的数学问题。
方程求根的一般方法
1 代入法
将可能的解代入方程，验证是否满足等式。这是一种常用的解方程方法。
2 消元法
通过逐步消除未知数的系数，将方程转化为更简单的形式，以便求解。
3 图像法
将方程的图像与坐标轴交点作为解。这种方法通常用于一次和二次方程。
二分法求实根
二分法是一种迭代方法，通过不断缩小搜索范围，找到实根的近似值。它基于连续函数的介值定理，是问题转化为一系列有根的逼近问题，通过多次逼近来找到实根。这种方法适用于未知数只存在 于特定区间的情况。
牛顿迭代法求实根
牛顿迭代法使用泰勒级数的概念，通过迭代逼近不断靠近方程的根。它是一 种快速收敛的方法，特别适用于函数具有光滑性的情况。
割线法求实根
割线法与牛顿迭代法类似，但它使用两个近似值来逼近根，从而更具稳定性。 割线法是一种可靠的求解非线性方程的方法。
方程求根的程序实现
选择合适的编程语言
根据问题的复杂性和计算要求，选择适用于方程求根的编程语言，如Python或MATLAB。
第4章方程求根的迭代法.ppt.ppt
相应地可得到两个迭代公式
3 x x ( x ) k 1 1 k k 1 3 x ( x ) x 1 k 1 2 k k
如果取初始值 x 0 ＝1.5，用上述两个迭代公 式分别迭代，计算结果
3 （ 1 ） x 1 . 5 ， x , ( k 0 , 1 , 2 ,) . 0 k 1 x k1
仍平方收敛可将迭代法改为牛顿法不是平方收敛重根情形仍平方收敛用牛顿法得用上述三种方法求的二重根151458333333143660714314254976191514166666671414215686141421356215141176470614142114381414213562牛顿迭代法虽然具有收敛速度快的优点但每迭代一次都要计算导数比较复杂时不仅每次计算带来很多不便而且还可能十分麻烦如果用不计算导数的迭代方法往往只有线性收敛的速度
条件
* ( x) 1 2 a 5 1
1 1 2 a5 1
2 2 a5 0
所以
1 5
a0
(x ) 已知方程 x 在 a, b内有根 x *,且在 a, b 上满足 ,利用 ( x) 构造一个迭代函数 g ( x) (x )31
*
* * ( x ) x 当
* (x ) L 1
x x*
,使成立
( x ) ( x ) ( )( x x )
*
故有
( x ) x L x x x x
* * *
x
( x k 1 k) 对于任意的 x 都收敛 由定理1知 x 0
k 0 1 2 3 4 5 6 7
xk 1.5 1.35721 1.33086 1.32588 1.32494 1.32476 1.32473 1.32472
求根公式法
求根公式法
求根公式法是一种解决非线性方程组的数学方法，它利用函数f(x)和它的导数f'(x)来构造一个特殊的多项式P(x)，使得P(x)=0时，x就是原方程所要求的根。
它是一种重要的数学工具，在数学建模中有广泛的应用。
求根公式法的基本思想是将原方程f(x)=0转化为一个比较容易求解的表达式:P(x)=0，这里P(x)是一个多项式，它的定义如下：
P(x) = f(x) + xf′(x)
即，把原方程的右端的常数项加上x乘以方程的导数，然后遍历x的每一个值，求出P(x)，当P(x)=0时，x 即为原方程的根。
因此，求根公式法就是一种迭代法，我们只需要采用不同的初值，然后不断更新，最终求出一组方程的根。
当然，还需要考虑一些问题，比如收敛性，算法的精度等。
求根公式法的优势在于它的简单性，而它的缺点也非常明显：求根公式法虽然简单，但它的收敛性和精度都不能保证。
它的收敛性取决于初值的选择，如果初值不合适，那么迭代的结果可能会收敛到一个偏差很大的值，甚至不收敛。
而精度则取决于迭代次数，如果迭代次数太少，那么精度也会受到影响。
求根公式法是一种解决非线性方程组的有效方法，尤其是对于不容易直接求解的方程，它能够有效地求解出精确的结果。
此外，它也适用于解决更复杂的方程，比如常微分方程、积分方程等。
总之，求根公式法是一种简单易用的数学工具，它的应用范围很广，可以用来解决复杂的非线性方程组，是数学建模中的重要工具。
12求根公式法
求根公式法一、知识概述1、一元二次方程的求根公式将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为．该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法．说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)；(2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的；(3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式.2、一元二次方程的根的判别式（1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根；（3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根．二、重难点知识1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。
(1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式法”就显得多余的了。
- 1 -(2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。
(3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。
如方程；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。
(4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。
2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点：（1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b2－4ac；（2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c；（3）根的判别式是指b2－4ac，而不是三、典型例题讲解例1、解下列方程：(1)； (2)；(3).分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算，解：(1)因为a=1，，c=10- 2 -所以所以(2)原方程可化为因为a=1，，c=2所以所以.(3)原方程可化为因为a=1，，c=－1所以所以；所以．总结：- 3 -(1)用求根公式法解一元二次方程首先将方程化为一般形式；如果二次项系数为负数，通常将其化为正数；如果方程的系数含有分母，通常先将其化为整数，求出的根要化为最简形式；(2)用求根公式法解方程按步骤进行．例2、用适当方法解下列方程：① ②③ ④⑤ ⑥分析：要合理地选用适当的方法解一元二次方程，就必须熟悉各种方法的优缺点，处理好特殊方法和一般方法的关系。
《方程求根的迭代法》PPT课件
2021/4/24
记笔记
4
xk1
xk1
a (xk a )2 2xk
a (xk a )2 2xk
xk1 a ( xk a )2 xk1 a xk a
q x0 a x0 a
xk a ( x0 a )2k
x a x a 2021/4/24
k
记笔记 0
5
令q x0 ，a 则由上式得
2021/4/24
28
例9
已知迭代公式
收敛于 x k 1
2 3
xk
1
x
2 k
证明该迭代公式平方收敛.
均20收.敛于.且x成0立xk1(xk)
x*
30.
①x*xk1LLxkxk1
② 2021/4/24 x*xk1LkLx1x0
满足精度要求的最 大迭代次数
（事先误差估计法）
17
例1 对方程 x5 ,4构x 造 2迭 代0 函数如下
① (x) 5 4x ，2 ②
(x.试) 讨论x5在[12,2]上迭代
(x*) ( x*) (m1) (x *) 0,(m) (x*) 0
则迭代过程在 x* 邻域是m阶收敛的. (m 2)
2021/4/24
27
证明： (x*) 0迭,代过程 xk1 局(部xk 收)
敛于 x* ，又
xk 1
( xk
)
( x* )
( x* )( xk
x* )
y
y=f(x)
Pk
Pk+1 Pk+2
x* xk+2 xk+1
xk x
Newton法又称为Newton切线法或切线法
2021/4/24
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§2.1 问题的提出
§2.1 问题的提出
实际问题
f(x)=0, f: R→ R
定义：如存在x*使得f(x*)=0
则称x*为方) (x x * )m g (x ), g (x * ) 0
m=1 x*为f(x)=0的单根或f(x)的单零点 m>1 x*为f(x)=0的m重根或f(x)的m重零点
§2.1 问题的提出
如修正牛顿法，拟牛顿法等。1797年，高斯给出 “代数基本定理”，指出高次代数方程根的存在性。 1819年，霍纳提出求高次代数方程数值解的另一种 方法－－霍纳法，其思想及计算程序与秦九韶的方 法近似，类似的方法鲁非尼在1804年也提出过，霍 纳法也有广泛的应用，它的现代改进形式叫劈因子 法。现在常用的代数方程数值解法还有伯努利法和 劳斯表格法。
f(x) (1)n
(x)2mn 2
0
m0
m!(mn)!
§2.1 问题的提出
Remarks:
1. 非线性方程的根可为实根或复根；复 根总是共轭出现。
2. Galois(伽罗瓦)在1830年就已经从理 论上证明对于次数高于4次的代数方程， 其根不能用方程系数的解析式表示；一 般的超越方程更没有解析的求根公 式！！！！！！！1。
§2.1 问题的提出
• f(x)是n次代数多项式 f(x)=0是n次代数方程
• f(x)是超越函数 f(x)=0是超越方程
§2.1 问题的提出
例如:
1. n次代数方程:
f( x ) a n x n a n 1 x n 1 ... a 1 x a 0 0
2. 超越方程:
f(x)sinxex0
牛顿(2)
成，1736年出版)，首先发表在《自然哲学的数学 原理》(1687)中。其中借助运动学中描述的连续量 及其变化率阐述他的流数理论，并创用字母上加一 点表示流动变化率。讨论的基本问题是：已知流量 间的关系，求它们的流数的关系以及逆运算，确定 了微分与积分这两类运算的互逆关系，即微积分学 基本定理。此外，他还论述了有理指数的二项式定 理(1664年)，n次代数方程根的m次幂和的公式 (1707年)，数论、解析几何学、曲线分类、变分法 等问题。在物理学上发现了万有引力定律(16661684)，并据此指出行星运行成椭圆轨道的原因。 1666年用三棱镜实验光的色散现象，1668年发明并
§2.1 问题的提出
➢ 扫描流程
§2.1 问题的提出
【历史注记】人们很早就探索了高次方程的数值解 的求法。巴比伦泥板中有平方表和立方表，利用它 们可以解某些特殊的二次和三次方程。中国古人相 当系统地解决了求高次方程数值解的问题，《九章 算术》以算法形式给出了二次方程及正系数三次方 程正根的具体计算程序；7世纪王孝通也给出了求 三次方程正根的数值解法；11世纪贾宪在《黄帝九 章算法细草》中创“开方作法本源图”,用“立成 释锁法”解三次和三次以上高次方程, 同时他又提 出一种更为简便的“增乘开方法”；13世纪秦九韶 在《数书九章》中的“正负开方术”最后完成，提 供了一个用算筹布列解任何次数字方程的可行算法。
§2.1 问题的提出
阿拉伯人对高次代数方程的数值解法亦有研究，花 拉子米(9世纪)第一个给出了二次方程的一般解法, 奥马海亚姆(1100年)给出了一些特殊三次方程的解 法。1541年塔尔塔利亚得到三次方程的一般解法。 1545年卡尔达诺在其名著《大术》一书中发展了塔 尔塔利亚的这一成果，并记载了费拉里得到的四次 方程的一般解法。牛顿在1736年出版的《流数法》 一书中，给出了著名的高次代数方程的一种数值解 法,1690年Raphson 也提出了类似的方法，它们的结 合就是现代常用的方法－牛顿法(也叫NewtonRaphson方法)。它是一种广泛用于高次代数方程求 解的迭代法，亦称为切线法，并不断产生新的变形,
牛顿像(7)
牛顿像(8)
高斯(1)
高斯(Gauss, Carl Friedrich 1777.4.30-1855.2.23)：德 国数学家、物理学家、天文学家。生于不伦瑞克， 卒于格丁根。高斯是近代数学奠基者之一，在历史 上影响之大，可以和阿基米德、牛顿、欧拉并列。 他幼年时就表现出超人的数学天才。1795年进入格 丁根大学学习。第二年他发现正十七边形的尺规作 图法，并给出可用尺规作出的正多边形的条件，解 决了欧几里得以来悬而未决的问题。1798年转入黑 尔姆施泰特大学，1799年获博士学位。1807年以后 一直在格丁根大学任教授。
牛顿(3)
亲手制作了第一具反射望远镜。在哲学上深信物质、 运动、空间和时间的客观存在性，坚持用观察和实 验方法发现自然界的规律，力求用数学定量方法表 述的定律说明自然现象，其科学研究方法支配后世 近300年的物理学研究。
牛顿像(1)
牛顿像(2)
牛顿像(3)
牛顿像(4)
牛顿像(5)
牛顿像(6)
牛顿(Newton Isaac 1643.1.4-1727.3.31)：英国数学 家、物理学家、天文学家、自然哲学家。生于林肯 郡伍尔索普，卒于伦敦。早年在格兰瑟姆读书， 1661年以优异成绩考入剑桥大学三一学院，数学上 受教于巴罗。1664年毕业后曾为躲避鼠疫回乡， 1665－1666年做出流数法、万有引力和光的分析三 大发明，年仅23岁。1667年回剑桥在三一学院执教。 1669年继巴罗之后任卢卡斯数学教授职位。晚年致 力于哲学和公务，1696年任造币厂监督，3年后任 厂长。1703年当选为英国皇家学会主席。他在数学 上以创建微积分学而著名，其流数法始于1665年， 系统叙述于《流数法和无穷级数》(1671年完
§2.1 问题的提出
3. 根的个数。
• n次代数方程有?个根(包括实根和复根) • n为奇数时, 至少有一个根是实根 • 对于超越方程,根可能0~无穷个
§2.1 问题的提出
➢ 方程求根步骤
(1) 对给定区间进行扫描,确定仅存在单根的 区间,此区间内的任意一点可视为根的近似 值。
(2) 用迭代方法使根精确到所要求精度。
§2.1 问题的提出
• 有多种数值算法可以求解非线性方程， 我们在本章将学习其中得几种，它们是：
✓ 二分法(bisection method) ✓迭代法(iteration method) ✓牛顿法(Newton method) ✓牛顿下山法(Newton downhill method)。
牛顿(1)