05第五章参数估计
SPSS讲义05总体参数的估计
§5.3 区间估计
• 两个总体均值估计量的样本均值分别 为170.56和165.60,样本标准差分别为 6.97857 和 7.55659 ； 还 得 到 均 值 的 置 信 区 间 分 别 是 <168.5767, 172.5433>,<163.4524, 167.7476>.
用计算机可以很容易地得到挂面重量的 样本均值、总体均值的置信区间等等. 下面是SPSS的输出：
Descriptives（ 描 述 统 计 量 ）
结果变量 统计量
weight
Mean（ 样 本 均 数 ）
统计 量值 449 .0104
标准 误差 .794 35
95% Confidence Interval for MLeoawner B ound（ 下 限 ） （ 总 体 均 数 的 95%可 信 区 间 ）
§5.4 关于置信区间的注意点
• 一个描述性例子：有10000个人回答的调查 显 示 , 同 意 某 观 点 人 的 比 例 为 70%〔 有 7000 人同意〕,可算出总体中同意该观点的比例 的95%置信区间为〔0.691,0.709〕；
• 另一个调查声称有70%的比例反对该种观点, 还说总体中反对该观点的置信区间也是 〔0.691,0.709〕.
§5.1 用估计量估计总体参数
• 点估计<point estimation>,即用估计 量的实现值来近似相应的总体参数.
• 区间估计<interval estimation>；它 是包括估计量在内〔有时是以估计量 为中心〕的一个区间；该区间被认为 很可能包含总体参数.
参数估计的一般步骤
参数估计的一般步骤引言：参数估计是统计学中一项重要的任务，它用于根据样本数据来推断总体参数的值。
参数估计的一般步骤包括确定估计方法、选择样本、计算估计值和进行推断。
本文将详细介绍参数估计的一般步骤，并以人类的视角进行描述，使读者更好地理解和应用这些步骤。
一、确定估计方法在参数估计中，首先需要确定合适的估计方法。
估计方法可以分为点估计和区间估计两种。
点估计方法通过单个数值来估计参数的值，例如最大似然估计和矩估计。
区间估计方法则通过一个区间来估计参数的范围，例如置信区间估计。
选择合适的估计方法是参数估计的第一步。
二、选择样本在确定了估计方法后，接下来需要选择合适的样本进行参数估计。
样本应当具有代表性，能够反映总体的特征。
为了保证样本的代表性，可以使用随机抽样方法来选择样本。
通过合理选择样本，可以减小估计误差，提高参数估计的准确性。
三、计算估计值在选择好样本后，需要计算参数的估计值。
对于点估计方法，可以使用最大似然估计或矩估计等方法来计算参数的估计值。
对于区间估计方法，可以使用置信区间估计来计算参数的范围。
计算估计值时，需要根据样本数据和估计方法进行相应的计算，确保估计结果的准确性。
四、进行推断在计算得到估计值后，需要进行推断，即根据估计值对总体参数进行推断。
对于点估计方法，可以直接使用估计值作为总体参数的估计值。
对于区间估计方法，可以使用置信区间来表示总体参数的范围。
通过推断可以了解总体参数的可能取值范围，帮助做出正确的决策和预测。
总结：参数估计的一般步骤包括确定估计方法、选择样本、计算估计值和进行推断。
在进行参数估计时，需要选择合适的估计方法和样本，计算出估计值，并进行相应的推断。
参数估计在统计学中扮演着重要的角色，它帮助我们根据样本数据来推断总体参数的值，从而更好地了解和应用统计学。
通过本文的介绍，希望读者能够更好地理解和应用参数估计的一般步骤。
概率论与数理参数估计
概率论与数理参数估计参数估计是概率论与数理统计中的一个重要问题，其目标是根据样本数据推断总体的未知参数。
参数估计分为点估计和区间估计两种方法。
点估计是通过样本计算得到总体未知参数的一个估计值。
常见的点估计方法有最大似然估计和矩估计。
最大似然估计是通过观察到的样本数据，选择使得观察到的样本数据出现的概率最大的未知参数值作为估计值。
矩估计是通过样本的矩（均值、方差等统计量），与总体矩进行对应，建立样本矩与总体矩之间的方程组，并求解未知参数。
这两种方法都可以给出参数的点估计值，但是其性质和效果不尽相同。
最大似然估计具有渐近正态性和不变性，但是可能存在偏差较大的问题；矩估计简单且易于计算，但是可能存在方程组无解的情况。
区间估计是给出参数估计结果的一个范围，表示对未知参数值的不确定性。
常见的区间估计方法有置信区间和预测区间。
置信区间是指给定的置信水平下，总体参数的真值落在一些区间内的概率。
置信区间的计算依赖于样本的分布和样本量。
预测区间是对一个新的观察值进行预测的区间，它比置信区间要宽一些，以充分考虑不确定性。
在参数估计过程中，需要注意样本的选取和样本量的确定。
样本是总体的一个子集，必须能够代表总体的特征才能得到准确的估计结果。
样本量的确定是通过统计方法和实际需求来确定的，要保证估计结果的可靠性。
参数估计在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在医学领域中，通过对病人的样本数据进行统计分析，可以推断患者患其中一种疾病的概率，进而进行治疗和预防措施的制定。
在金融领域中，可以通过对股票的历史价格进行统计分析，推断未来股价的变动趋势，从而进行投资决策和风险评估。
在市场调研中，可以通过对消费者的问卷调查数据进行统计分析，推断消费者的偏好和需求，为企业的市场开发和产品设计提供依据。
综上所述，概率论与数理统计中的参数估计是一门重要的学科，通过对样本数据的统计分析，可以推断总体的未知参数，并对不确定性进行评估。
参数估计在实际应用中有着广泛的应用，对于科学研究和决策制定具有重要的意义。
参数估计PPT课件
高维数据问题
随着数据维度的增加，参数估计的准确性和稳定性面临更大的挑战 。
异方差性和非线性问题
在实际应用中，数据往往存在异方差性和非线性关系，这增加了参 数估计的难度。
参数估计的发展趋势与未来研究方向
1 2 3
贝叶斯推断
区间估计是一种统计推断方法， 它利用样本信息来估计未知参数 的可能取值范围。
区间估计的性质
区间估计给出的是未知参数的一 个可能取值范围，而不是一个具 体的点估计值。
区间估计的优缺点
优点
区间估计能够给出未知参数的一个可能取值范围，从而为决 策者提供更多的信息，有助于理解参数的不确定性。
缺点
由于区间估计给出的范围较宽，可能会引入较大的误差。此 外，对于某些复杂模型，构造有效的区间估计可能比较困难 。
在贝叶斯估计中，先验分布代表了我们对未知参数的先验知识或信念，而后验分布 则是结合先验信息和样本数据后对未知参数的更新信念。
贝叶斯估计的核心思想是将参数看作随机变量，并利用概率论来描述我们对参数的 认知不确定性。
贝叶斯估计的优缺点
优点
贝叶斯估计能够综合考虑先验信息和样本数据，给出参数的后验分布，从而为决 策提供更全面的信息。此外，贝叶斯估计方法灵活，可以适用于不同类型的数据 和问题。
点估计的优缺点
总结词
点估计的优缺点
详细描述
点估计的优点在于它提供了一个简洁的表示未知参数的方法，并且可以利用各种统计方法进行推断和分析。然而 ，点估计也存在一些缺点，如它可能会受到样本误差的影响，导致估计结果不够准确；另外，当样本容量较小时 ，点估计的效果可能会较差。
点估计的常见方法：矩估计、最小二乘法等
应用统计-第05章-参数估计
χ 1-α / 2
χα / 2
2
χ2
第 五 章
27
5.2.3 总体方差的区间估计 总体方差σ2在(1-α)置信水平下的置信区间为：
(n − 1) s 2
2 χα / 2
≤σ 2 ≤
(n − 1) s 2
χ12−α / 2
例5.5
应 用 统 计 第 五 章
28
根据例5.1的数据，以95%的置信水平建立该种食品 重量方差的置信区间。 解：根据样本数据计算的样本标准差为：
（单位：周岁）
36 31 47 44 48 45 44 33 24 40 50 32
试确立投保人年龄90%的置信区间。
应 用 统 计 第 五 章
16
解：已知，n=36，1-α =90%，zα/2=1.645。由 于总体方差未知，但为大样本，可用样本方 差来求总体方差。 根据样本数据计算的样本均值和标准差如下：
10
5.1.3 评价估计量的标准 无偏性(unbiasedness) 无偏性是指估计量抽样分布的数学期望等 于被估计的总体参数。 有效性(effciency) 一个无偏的估计量并不意味着它非常接近 被估计的参数，它还必须与总体参数的离 散程度比较小。对同一总体参数的两个无 偏点估计量，标准差越小的估计量越有效。 相合性(consistency) 相合性是指随着样本容量的增大，点估计 量的值越来越接近被估总体的参数。
o μ – 2.58σx μ – 1.96σx μ – 1.65σx μ
μ + 1.65σx μ + 1.96σx μ + 2.58σx
x
90%的样本 95%的样本 99%的样本
应 用 统 计 第 五 章
8
统计学习题05
2.下面哪些是影响必要样本容量的因素（）。
A.总体各单位标志变异程度B.允许的极限误差大小
C.推断的可靠程度D.抽样方法和抽样组织方式
E.样本均值和样本统计量
答案：ABCD
3.评价估计量是否优良的常用标准有（ ）。
A.无偏性B.有效性
C.准确性D.一致性
E.随机性
答案：ABC
4.点估计（ ）。
[参考答案]
28.306
2.现有一大批种子，为了估计其发芽率，随机抽取400粒进行发芽试验。结果有15粒每发芽。试以90%的置信度估计这批种子的发芽率。
[参考答案]
[ 0.95 , 0.97 ]
3.设总体X服从参数 的泊松分布，其概率分布率为 ，
x=0，1，2，……试求参数 的极大似然估计量及矩估计量。
A.求每晚睡眠时间总体均值的点估计。
B.假定总体是正态分布，求总体均值的点估计的95%置信区间。
[参考答案]
A.6.86，B.[6.54 , 7.18]
5.在某地方选举进行以前展开的民意测验表明，在随机抽取的121名居民中有65名支持某候选人，试求该候选人支持率的信赖区间。（ =5%）
[参考答案]
0.54-0.089=0.451
答案：C
21.已知σ2的1-α置信区间为，该区间也可表示为（）。
（D）以上答案都不正确
答案：B
二、多项选择题
1.在区间估计中，如果其他条件保持不变，置信度与精确度之间存在下列关系( )。
A.前者愈低，后者也愈低B. 前者愈高，后者也愈高
C. 前者愈低，后者愈高D.前者愈高，后者愈低
E. 两者呈相反方向变化
3.在进行参数估计时，我们并不是直接用一个个的具体样本之来估计、推断总体参数，而是根据样本构造出一些特定的量，用这些特定量来估计总体参数，这些根据样本构造的特定量就称为样本统计量。在估计过程中，我们把用来推估总体参数的样本统计量称为估计量。
参数估计方法
参数估计方法参数估计是统计学中的一个重要概念，它是指根据样本数据推断总体参数的过程。
在实际应用中，我们往往需要利用已知数据来估计总体的各种参数，比如均值、方差、比例等。
参数估计方法有很多种，其中最常用的包括最大似然估计和贝叶斯估计。
本文将对这两种参数估计方法进行详细介绍，并分析它们的优缺点。
最大似然估计是一种常用的参数估计方法，它是建立在似然函数的基础上的。
似然函数是关于总体参数的函数，它衡量了在给定参数下观察到样本数据的概率。
最大似然估计的思想是寻找一个参数值，使得观察到的样本数据出现的概率最大。
换句话说，就是要找到一个参数值，使得观察到的样本数据出现的可能性最大化。
最大似然估计的优点是计算简单，且在大样本情况下具有较好的渐近性质。
但是，最大似然估计也有一些局限性，比如对于小样本情况下可能会出现估计不准确的问题。
另一种常用的参数估计方法是贝叶斯估计。
贝叶斯估计是建立在贝叶斯定理的基础上的，它将参数看作是一个随机变量，而不是一个固定但未知的常数。
在贝叶斯估计中，我们需要先假设参数的先验分布，然后根据观察到的样本数据，利用贝叶斯定理来计算参数的后验分布。
贝叶斯估计的优点是能够充分利用先验信息，尤其在小样本情况下具有较好的稳定性。
但是，贝叶斯估计也存在一些问题，比如对于先验分布的选择比较敏感，且计算复杂度较高。
在实际应用中，我们需要根据具体的问题和数据特点来选择合适的参数估计方法。
对于大样本情况，最大似然估计可能是一个不错的选择，因为它具有较好的渐近性质。
而对于小样本情况，贝叶斯估计可能更适合，因为它能够充分利用先验信息，提高估计的稳定性。
当然，除了最大似然估计和贝叶斯估计之外，还有很多其他的参数估计方法，比如矩估计、区间估计等，每种方法都有其特点和适用范围。
总之，参数估计是统计学中的一个重要概念，它涉及到如何根据已知数据来推断总体的各种参数。
最大似然估计和贝叶斯估计是两种常用的参数估计方法，它们各有优缺点，适用于不同的情况。
统计学课件05第5章抽样与参数估计
反映样本数据的集中趋势和平均水平。
样本方差
定义
样本方差是每个样本数据与样本均值差的平方和的平均值，即 $s^2 = frac{1}{n} sum_{i=1}^{n} (x_i - overline{x})^2$。
计算方法
先计算每个样本数据与样本均值的差，然后将差平方，最后求和平 均。
作用
反映样本数据的离散程度和波动情况。
样本量的确定
根据调查目的和精度要求确定样 本量：精度要求越高，需要的样
本量越大。
根据总体规模和抽样方法确定样 本量：总体规模越大，需要的样 本量越大；分层或整群抽样较简 单随机抽样需要的样本量更大。
根据调查资源确定样本量：资源 有限时，需要在满足调查目的和 精度要求的前提下，合理确定样
本量。
02 参数估计
大数定律的数学表达
设随机变量X1,X2,...,Xn是相互独立的，且具有相同的分布函数F(x)，则对于任意正实数ε，有 lim(n->∞)P(|X1+X2+...+Xn/n-E(X))/ε)=0，其中E(X)是随机变量X的期望值。
大数定律的实例
在抛硬币实验中，随着实验次数的增加，正面朝上的频率将趋近于0.5。
中心极限定理
中心极限定理定义
中心极限定理是指在大量独立同分布的随机变量中，不论 这些随机变量的分布是什么，它们的平均值的分布总是趋 近于正态分布。
中心极限定理的数学表达
设随机变量X1,X2,...,Xn是相互独立的，且具有相同的分布 函数F(x)，则对于任意实数x，有lim(n->∞)P(∑Xi≤x)=∫(∞->x)F(t)dt。
样本分布的性质
无偏性
如果样本统计量的数学期 望等于总体参数，则该统 计量是无偏的。
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U x
M
(x )2
i1
M
Up
M
( p )2
i1
M
大数法则
大数法则（大数定律）
1 n
lim P(
n n
i1
Xi
)1
大数法则从数量关系角度阐明了样本
和总体之间的内在联系，证明了随着抽样
容量n的增加，能够以接近1的概率期望抽
样平均数与总体平均数的偏差为任意小。
中心极限定理
图示
各种分布的图示
s
x t (n 1) 19.0688 2.04 3.2555 / 32 19.0688 1.1737 17.90
2
n
x t (n 1) s 19.0688 1.1737 20.24 ，因此湖水钠的平均含量 的 95%置信区间为
2
n
2
n
此该公司生产的这种瓶装饮料的平均容量的置信水平为 99%的置信区
间为(498.03, 500.97)。由于该区间包含了 500，故该公司的这种瓶装饮料
的容量符合其包装上的标准，不存在容量不足欺骗消费者的行为。
正 近似 态分t 分布布极的为分接位近数(见t下(nt图分1))，布。所与以也正可态以分用标布准正态分布的分位数 z2 来 2
这类置信区间也称为双侧置信区间，L 和U 分别称为置信水平1 的 置信下限和置信上限；1 称为置信水平（confidence level）或置信系 数（confidence coefficient）。
区间估计的概念
置信区间越小，说明估计的精度越高，即我们对未 知参数的了解越多、越具体；置信水平越大，估计可 靠性就越大。
u(X1, Xn; ) 的分布要已知但不含任何未知参数（当然也不包含待估参数 ），在很多情况下， u( X1, X n; ) 可以从 的点估计经过变换获得；
2．对给定的置信水平1 ，由u( X1, Xn; ) 的抽样分布确定分位点。 由于枢轴量 u( X1, X n; ) 的分布已知（多数情况下都是常见分布）且不 含任何未知参数，因此它的分位点可以计算出来（通过查表或利用统 计分析软件）；
P( X
n
z ) 1 ，即 2
P( X z X z ) 1 ；所以
区间
(X
z
2
, X z
n
2
n) ；
得到样本观测值后，对该样本观测值，总体均值 的置信水平为1 的
（双侧）置信区间为 (x z 2
, x z
n
2
n ) ，它是一个具体的区间。
如果对于事先给定的 （通常 是大于 0 小于 1 之间的一个较小的数，
如 0.05，0.01 等），存在两个统计量L (X1,, X n ) 和U (X1,, X n ) 使得
P(L (X1,, X n ) U (X1,, X n )) 1
则称 (L,U ) 为参数 的置信度为1 的置信区间（confidence interval）,
x z
2n
x
x z
2n
例题 【例 5.4】某灯具生产厂家生产一种 60W 的灯泡，假设其寿命为随机变量
X，服从正态分布 N(,1296) 。现在从该厂生产的 60W 的灯泡中随机地抽取 了 27 个产品进行测试，直到灯泡烧坏，测得它们的平均寿命为 1478 小时。 请计算该厂 60W 灯泡的平均寿命的置信水平为 95%的置信区间。
【解】以 表示瓶装饮料的平均容量，由已知可得，样本容量为n 25 ，
样本均值 x 499.5，样本标准差为 s 2.63 ，因为置信水平1 0.99 ，查
自 由 度 为 n 1 24 的
t
分
布
表
得
分
位
数
t (n 2
1)
t0.005 (24)
2.797
，
所
以
， ，因 x t (n 1) s 499 .5 2.797 2.63 / 25 499 .5 1.4712 498 .03 x t (n 1) s 499 .5 1.4712 500 .97
特点
抽样推断方法与其它统计调查方法相 比，具有省时、省力、快捷的特点，能以 较小的代价及时获得总体的有关信息。
1. 根据样本资料对总体的数量特征作出具有一定 可靠性的估计和推断 2. 按照随机性原则从全部总体中抽取样本单位 3. 抽样推断必然会产生抽样误差
作用
1. 某些现象不可能进行全面调查，为了解其全面资料 就必须采用抽样推断方法
2n
2n
单正态总体均值的区间估计(方差未知时)
枢轴量t X ，服从自由度为 n-1 的 t 分布 t(n 1) ；可得
Sn
P(| t | t (n 1)) P( X t (n 1)) 1 ，即
2
Sn 2
P( X t (n 1) S X t (n 1) S ) 1 。
2
n
2
n
正态总体方差 2 未知时，总体均值 的置信水平为1 的（双侧）置信
区间为 ( X t (n 1) 2
S, n
X t (n 1)
2
S n
)
；
总 体 均 值 的 置 信 水 平 为 1 的 （ 双 侧 ）置 信 区 间 的 观 测 值 为
(x t (n 1)
2
s, n
x t (n 1)
是1 ”；但这个具体区间到底包含还是不包含参数 ，我们无法知道；
然而根据大数定律，我们宁愿相信这个区间是包含未知参数 的那 100(1 )% 区间中的一个。
一般步骤
1 ． 寻 找 样 本 X1, X n 的 一 个 函 数 u( X1, X n; ) ， 通 常 称 为 枢 轴 量
(pivotal)，它只含待估的未知参数 ，不含其它任何未知参数，并且
点估计
点估计，也称定值估计，就是以样本估计量 直接代替总体参数的一种推断方法。 点估计常用方法：矩估计法、极大似然估计法。
点估计量的优良标准
1. 无偏性
E(x); E(p)
2. 一致性
lP i x m 1 ; lP i p m 1
n
n
3. 有效性
ˆ 1 ˆ
区间估计的概念
2
2
1478 1.96 n
1296 / 27 1478 13.58 1464 .42 ，
x z 1478 1.96 1296 / 27 1478 13.58 1491 .58 ，
2n
因此该厂 60W 灯泡的平均寿命的置信水平为 95% 的置信区间为
(x z , x z ) (1464 .42, 1491 .58) 。
样本，测得它们的含钠量(单位：ppm)分别为：
13.0 18.5 16.4 14.8 19.4 17.3 23.2 24.9 20.8 19.3 18.8 23.1 15.2 19.9 19.1 18.1 25.1 16.8 20.4 17.4 25.2 23.1 15.3 19.4 16.0 21.7 15.2 21.3 21.5 16.8 15.6 17.6
2. 某些理论上可以进行全面调查的现象，采用抽样推 断可以达到事半功倍的效果
3. 抽样推断可以对全面调查的结果进行评价和修正
4. 抽样推断可用于工业生产过程中的质量控制
5. 利用抽样推断的原理，可以对某些总体的假设进行 检验，来判断假设的真伪，为决策提供依据
重复抽样
重复抽样又叫有放还抽样或重置抽 样。它是每抽出一个样本单位后，把结 果记录下来，随即将该单位放回到总体 中去，使它和其余的单位在下一次抽选 中具有同等被抽中的机会。在重复抽样 过程中，总体单位数始终保持不变，并 且同一个单位有多次被抽中的可能性。
3．通过不等式变形，即可求出未知参数 的置信水平为1 的
置信区间。
单正态总体均值的区间估计（方差已知）
设样本 X1,, X n 来自正态总体 N (, 2) ，这里 2 已知，总体均值 未知，如 何求总体均值 的置信水平为1 的置信区间?
构造枢轴量 Z X ，服从标准正态分布 N (0,1) ，给定置信水平1 ，有 n
参数估计的基本步骤
1. 按照一定的抽样方式抽取适当的样本进行调查， 针对该种抽样方式选择总体参数的最优样本估计量， 计算估计值，以此作为总体参数的点估计；
2. 根据该种抽样方式的抽样平均误差公式计算出 抽样误差，我们往往要先计算样本标准差以替代未知 的总体标准差；
3. 根据所要求的置信水平，查正态分布表、t分布 表或其他分布表获得对应的概率度，然后再计算出抽 样极限误差，最后对总体参数作出区间推断。
实际上，也可以证明当样本容量
n
充分大时，枢轴量
t
X S
n
近似服
从标准正态分布，这也可以解释当 n 较大时，用标准正态分布的分位数
z
2
来近似
t
分布的分位数
t 2
(n
1)
的合理性。
t分布与标准正态分布的比较
例题 【例 5.6】为研究某内陆湖的湖水的含盐量，随机地从该湖的 32 个取样点采了 32 个湖水
【解】问题实际上就是求总体均值(60W 灯泡的平均寿命)的置信区间，
由已知条件可得，总体方差 2 1296 ，样本容量为 n 27 ，样本均值
x 1478 。 因 为 置 信 水 平 为 1 0.95 ， 所 以 查 标 准 正 态 分 布 表 可 得
z z0.025 1.96， x z
假设湖水中钠的含量为随机变量 X ，服从正态分布 N (, 2 ) ，试求湖水钠的平均含量
的 95%置信区间。
【解】由已知可得，样本容量为n 32，样本均值 x 19.0688，样本标准差为
s 3.2555，因为置信水平1 0.95，查自由度为 n 1 31的 t 分布表得分位