弹性力学-04(习题答案)
平面问题的极坐标解答
（习题讲解） 习题讲解）
习题4-1 试导出位移分量的坐标变换式 习题
ur = u cosθ + v sin θ
uθ = −u sin θ + v cosθ
o
r
θ
u = ur cosθ − uθ sin θ
uθ
θ
Aθ u
x
ur
v S
v = ur sin θ + uθ cosθ
B =C =0 σ r = −2Acos 2θ + 2D σθ = 2Acos 2θ + 2D τ rθ = 2Asin 2θ
代入， 代入，有：
q
x
因而有， 因而有，
（3）由边界条件确定常数 ） 边界条件： 边界条件：
σθ θ =α = 0
τ rθ θ =α = q
2
2
代入应力分量式， 代入应力分量式，有
σr σr
2 2 σ r −σθ τ xy = sin 2θ +τ rθ cos 2θ 2
材料力学结果： 材料力学结果： 截面弯矩 截面惯性矩
M = −Px
O P y x
α α
2 2
x
(2h′) I=
= 2 x3 tan3 α 12 3 2
3
截面正应力
3Py My =− σx = I 2x2 tan3 α 2
σx =
σ r +σθ
+
σ r −σθ
cos 2θ −τ rθ sin 2θ
y
= − P ( sin θ )(1+ cos 2θ ) σ x = + cos 2θ r α − sin α 2 2 σr σr σ y = − cos 2θ = − P ( sin θ )(1− cos 2θ ) 2 2 r α − sin α σr τ xy = sin 2θ = − P ( sin θ ) sin 2θ r α − sin α 2 2 2 x = r cosθ , y = r sin θ 由坐标变换式： 由坐标变换式： r = x + y
得：
q
θ
x
q
r
θ
q
x
σθ = q[1− 2 cos 2(θ + 45o )]
y (a)
o
+ (− q) 1− 2cos 2(θ − 45 )
σθ = q[1+ 2sin 2θ ] −q[1− 2sin 2θ ]
[
]
qy q q
45° °
σθ = 4q sin 2θ
σ max = 4q
σmin = −4q
x2 y 2P x2 y σx = − , σ x = − 2P , 2 2 2 2 2 2 α − sin α (x + y ) α − sin α (x + y ) y3 σ 2 +σθ σ r −σθ σ y = − 2P , 2 = 2 r xyθ σ + cos 2θ −τ rθ sin 22 α − sin α (x x+ y ) 2P τ2 = − , 2 xy 2 2 2 2 α − sin α (x + y ) xy σ +σ 2P σ r −σθ τ xy = − θ r, 2 =2 2 σ − cos 2θ +τ rθ sin 2θ α − sin α (x y+ y )
r σ = −q 边界条件： 边界条件： r r=a σ r r=b = 0
σ r = A + 2C 2
A +2C = −q a2 A + 2C = 0 b2
a2b2 q A= − 2 2 b −a a2 q 2C = 2 2 b −a
a2b2 q A= − 2 2 1+ µ A b −a ur = − + 2(1− 2µ)Cr E r a2 q 2C = 2 2 b −a (1+ µ)a2 qb2 + (1− 2µ)r ur = E(b2 − a2 ) r
分析： 分析：任取一截面 ，截面弯矩为
M = Py = P⋅ r sin θ σθ = M (θ ) f1(r) = f1(r) sin θ （a） ） ϕ = f (r) sin θ
将其代入相容方程： 将其代入相容方程：
2 2 2
a b
x
r y
∂ 1∂ 1 ∂ 2+ ∂r r ∂r + r 2 ∂θ 2 ϕ = 0 d 4 f (r) 2 d 3 f (r) 3 d 2 f (r) 3 df (r) 3 dr 4 + r dr3 − r 2 dr 2 + r3 dr − r 4 f (r) sin θ = 0
对于圆筒轴对称问题， 对于圆筒轴对称问题，有 ur 不随θ 变化，即 变化，
I = K =0 又由位移单值条件 位移单值条件， 又由位移单值条件，有 B = 0 1+ µ A ur = − + 2(1− 2µ)Cr E r
常数A 由应力边界条件确定。 常数 、B由应力边界条件确定。 由应力边界条件确定 应力分量： 应力分量：
ur r=a
(1− µ )a q b =
2
E
+ a2 &r=b
(1− µ )aq =
2
E
2ab (b2 − a2 )
2
ur r =b − ur r =a
(1− µ )a qb + a + =−
E
µ b − a 1− µ
h′ = x tan α 2
x2 y σ x = − 2P , 2 2 2 α − sin α (x + y )
两者结果相差较大。 两者结果相差较大。
—— 弹性力学结果
作用，如图所示。 习题4-7 曲梁在两端受相反的两个力 P 作用，如图所示。试求其应力分 习题 量。 P P O 解： 1）应力函数的确定 （ ）
x
，如图所示。 习题4-6 三角形悬臂梁在自由端受集中荷载 P，如图所示。试用公式 习题 （4-21）求任一铅直截面上的正应力和剪应力，并与材料力学 ）求任一铅直截面上的正应力和剪应力， 中的结果对比。 中的结果对比。 解： 由密切尔（ J. H. Michell ）解答，得 由密切尔（ 解答，
σ r = − 2P ( sin θ ) σθ = 0,τ rθ = 0 P r α − sin α
习题4-3 设有刚体，具有半径为 b 的圆柱形孔道，孔道内放置一外 习题 设有刚体， 的圆柱形孔道， 的圆筒， 半径为 b而内半径为 a的圆筒，受内压力 q ，试求圆筒壁 而内半径为 的圆筒 的应力。 的应力。 解： 边界条件： 边界条件：
σ r r=a = −q τ rθ
ur r=b = 0
r =a
σ r = A + 2C 2
σθ = − A + 2C τ rθ = 0 2
a2b2 (1− 2µ) A= − q 2 2 (1− 2µ)b + a
a2 q 2C = − 2 2 (1− 2µ)b + a 将常数A、 代入， 将常数 、C 代入，有 σ r = A + 2C σθ = − A + 2C τ rθ = 0 r2 r2 a2b2 1 + 1− 2µ ) σr = − q( 2 2 2 (1− 2µ)b + a b r2 a2b2 1 − 1− 2µ ) σθ = q( 2 2 2 b r2 (1− 2µ)b + a a2b2 1 + 1− 2µ ) = −q q( 2 σr = − 2 2 r =a b a2 (1− 2µ)b + a 1 − 1− 2µ ) a2b2 q( 2 σθ = 2 2 (1− 2µ)b + a b a2
∂ϕ 1 ∂2ϕ =1 σα + 2D = 0 2 2 2Acos r r ∂r + r ∂θ 2Asin α =∂2ϕ q = σ θq 2 ∂r 2A = sin α ∂ 1 ∂ϕ 2D =τ rq cot∂r r ∂θ −θ= − α
q 2A= sin α 2D = −q cot α
q
x
= r ( Acos 2θ + Bsin 2θ + Cθ + D)
2
ϕ = r f (θ ) = r 2 ( Acos 2θ + Bsin 2θ + Cθ + D)
2
O y q
α α
2 2
（2）应力分量的确定 ）
σr = −2Acos 2θ − 2Bsin 2θ + 2Cθ + 2D σθ = 2Acos 2θ + 2Bsin 2θ + 2Cθ + 2D τ rθ = 2Asin 2θ − 2B cos 2θ − C 对称性， 由对称性， σ r ,σθ 应为θ 的偶函数； τ rθ应为θ 的奇函数， 的偶函数； 的奇函数，
由应力分量的坐标变换式： 由应力分量的坐标变换式：
O
α α
2 2
x
2 2 σ r +σθ σ r −σθ σy = − cos 2θ +τ rθ sin 2θ 2 2 σ r −σθ τ xy = sin 2θ στ rθ − 2P θcos β cosθ + sin β sin θ ) + = cos 2( r 2 P ( r θ + sin α 2θ ) − sin α sin α )(1+ cos α σr σr σ x = + cos 2θ = − = 0α − sin α σθ r 2 2 （4-21） ） τ rθ P τθrsin 0 = =θ σr σr )(1− cos 2θ ) σ y = − cos 2θ = − ( r α − sin α （ J. H. Michell ）解答 —— 密切尔 密切尔（ 2 2
《弹性力学》试题参考答案(参考题)
《弹性力学》试题参考答案（答题时间：100分钟）一、填空题（每小题4分）1．最小势能原理等价于弹性力学基本方程中： 平衡微分方程 ， 应力边界条件 。
2．一组可能的应力分量应满足： 平衡微分方程 ，相容方程（变形协调条件） 。
3．等截面直杆扭转问题中， M dxdy D=⎰⎰2ϕ的物理意义是 杆端截面上剪应力对转轴的矩等于杆截面内的扭矩M 。
4．平面问题的应力函数解法中，Airy 应力函数ϕ在边界上值的物理意义为 边界上某一点（基准点）到任一点外力的矩 。
5．弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为：0,=+i j ij X σ ，)(21,,i j j i ij u u +=ε。
二、简述题（每小题6分）1．试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。
圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同），则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。
作用：（1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。
（2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。
2．图示两楔形体，试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数ϕ的分离变量形式。
题二（2）图（a ）⎩⎨⎧=++= )(),(),(222θθϕϕf r r cy bxy ax y x （b ）⎩⎨⎧=+++=)(),(),(33223θθϕϕf r r dy cxy y bx ax y x3．图示矩形弹性薄板，沿对角线方向作用一对拉力P ，板的几何尺寸如图，材料的弹性模量E 、泊松比 μ 已知。
试求薄板面积的改变量S ∆。
题二（3）图设当各边界受均布压力q 时，两力作用点的相对位移为l ∆。
由q E)1(1με-=得，)1(2222με-+=+=∆Eb a q b a l设板在力P 作用下的面积改变为S ∆，由功的互等定理有：l P S q ∆⋅=∆⋅将l ∆代入得：221b a P ES +-=∆μ显然，S ∆与板的形状无关，仅与E 、μ、l 有关。
弹性力学简明教程_第四章_课后作业题答案
第四章 平面问题的极坐标解答【4-8】 实心圆盘在r ρ=的周界上受有均布压力q 的作用，试导出其解答。
【解答】实心圆盘是轴对称的，可引用轴对称应力解答，教材中的式（4-11），即22(12ln )2(32ln )20AB CAB C ρϕρϕσρρσρρτ⎫=+++⎪⎪⎪⎪=-+++⎬⎪⎪⎪=⎪⎭(a)首先，在圆盘的周界（r ρ=）上，有边界条件()=r q ρρσ=-，由此得-q 2(12ln )2AB C ρσρρ=+++=(b)其次，在圆盘的圆心，当0ρ→时，式（a ）中ρσ，ϕσ的第一、第二项均趋于无限大，这是不可能的。
按照有限值条件（即，除了应力集中点以外，弹性体上的应力应为有限值。
），当=0ρ时，必须有0A B ==。
把上述条件代入式（b ）中，得/2C q =-。
所以，得应力的解答为-q 0ρϕρϕσστ===。
【4-9】 半平面体表面受有均布水平力q ，试用应力函数2(sin 2)ΦρB φC φ=+求解应力分量（图4-15）。
【解答】（1）相容条件：将应力函数Φ代入相容方程40∇Φ=，显然满足。
（2）由Φ求应力分量表达式=-2sin 222sin 222cos 2B C B C B Cρϕρϕσϕϕσϕϕτϕ⎧+⎪⎪=+⎨⎪=--⎪⎩（3）考察边界条件：注意本题有两个ϕ面，即2πϕ=±，分别为ϕ±面。
在ϕ±面上，应力符号以正面正向、负面负向为正。
因此，有2()0,ϕϕπσ=±= 得0C =； -q 2(),ρϕϕπτ=±= 得2qB =-。
将各系数代入应力分量表达式，得sin 2sin 2cos 2q q q ρϕρϕσϕσϕτϕ⎧=⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩ 【4-14】 设有内半径为r 而外半径为R 的圆筒受内压力q ，试求内半径和外半径的改变量，并求圆筒厚度的改变量。
【解答】本题为轴对称问题，只有径向位移而无环向位移。
当圆筒只受内压力q 的情况下，取应力分量表达式，教材中式（4-11），注意到B =0。
《弹性力学》试题参考答案(2021年整理精品文档)
(完整版)《弹性力学》试题参考答案编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整版)《弹性力学》试题参考答案）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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《弹性力学》试题参考答案（答题时间：100分钟）一、填空题（每小题4分)1．最小势能原理等价于弹性力学基本方程中： 平衡微分方程 ， 应力边界条件 。
2．一组可能的应力分量应满足： 平衡微分方程 ，相容方程(变形协调条件） 。
3．等截面直杆扭转问题中, M dxdy D=⎰⎰ 2ϕ的物理意义是 杆端截面上剪应力对转轴的矩等于杆截面内的扭矩M .4．平面问题的应力函数解法中，Airy 应力函数ϕ在边界上值的物理意义为 边界上某一点（基准点）到任一点外力的矩 。
5．弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为:0,=+i j ij X σ ，)(21,,i j j i ij u u +=ε。
二、简述题（每小题6分）1．试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用.圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同）,则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。
作用:(1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替.（2)将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。
2．图示两楔形体，试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数ϕ的分离变量形式。
题二（2）图（a ）⎩⎨⎧=++= )(),(),(222θθϕϕf r r cy bxy ax y x （b ）⎩⎨⎧=+++=)(),(),(33223θθϕϕf r r dy cxy y bx ax y x3．图示矩形弹性薄板，沿对角线方向作用一对拉力P ,板的几何尺寸如图，材料的弹性模量E 、泊松比 已知。
弹性力学简明教程课后习题解答(精校版)
弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答第一章绪论【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。
【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。
非均匀的各向同性体如：混凝土。
【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性假定。
【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。
【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。
引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。
因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。
完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。
这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。
均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。
各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。
小变形假定：假定位移和变形是微小的。
亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。
弹性力学-04(习题答案)
1 )
(sin
22
sin
21)
y
q0
2
2(2
1) (sin
22
sin
21)
xy
q0
2
(cos 22
cos 21)
aa q
证法1:（叠加法）
y
1
O 2
P
x
证法1:（叠加法） 分析思路：
aa q
y
1
O 2
P
x
aa
q
y
O
P x
q
aa
y
O
P x
求解步骤： 由楔形体在一面受均布压力问题的结果：
刚体
r
a2b2
(1 2)b2
a2
q(
1 b2
1
r
2
2
)
a2b2
(1 2)b2
a2
q(
1 b2
1
2
r2
)
ra
r
a2b2
(1 2)b2
a2
q(
1 b2
1
2
a2
)
q
a2b2
(1 2)b2
a2
q(
1 b2
1
2
a2
)
习题4-4 矩形薄板受纯剪，剪力集度为q，如图所示。如果离板边较 远处有一小圆孔，试求孔边的最大和最小正应力。
解：由图（a）给出的孔 边应力结果：
q
q(1 2cos 2 )
得：
q
x
q
r
q
q
x
r
q 1 2cos 2( 45)
y (a)
q1 2cos 2( 45)
q1 2sin 2 q1 2sin 2
弹性力学简明教程-第四章-平面问题的极坐标解答习题详解
第四章 平面问题的极坐标解答典型例题讲解例4-1 如图所示，矩形薄板在四边受纯剪切力作用，切应力大小为q 。
如果离板边较远处有一小圆孔， 试求孔边的最大和最小正应力。
例4-1图【解】（1）根据材料力学公式，求极值应力和量大正应力的方位角max min 2x y σσσσ+⎫=⎬⎭ 其中0,,x y x q σστ===得max min ,q q σσ==-。
最大正应力 所在截面的方位角为max 0max 0tan 104yqq τασσπα=-=-=-→--=-qqx若在该纯剪切的矩形薄板中，沿与板边成方向截取矩形ABCD ，则在其边界上便承受集度为q 的拉力和压力，如图所示。
这样就把受纯剪切作用的板看作与一对边受拉，另一对边受压的板等效。
（2）取极坐标系如图。
由2222442222cos 2(1)(13),cos 2(13),(4-18)sin 2(1)(13).ρφρφr r σq φρρr σq φρr r τq φρρ⎫=--⎪⎪⎪⎪=-+⎬⎪⎪=--+⎪⎪⎭得矩形薄板ABCD 内的应力分量为()()()2222442222cos 2(1)(13)cos 2(13)sin 2(1)(13)ρφρφa a σq φa ρρa σq φb ρa a τq φc ρρ=--=-+=--+ 其中 为小孔的半径，而孔边最大与最小正应力由式（b ），在 处得到44cos 2(13)4cos 2,φa σq φaϕ=-+=-当 ， 时，孔边最小正应力为，当时，孔边最大正应力为。
分析：矩形板ABCD 边界上各点的应力状态与板内无孔时的应力状态相同。
也可以应用叠加法，求解薄板的各种较复杂的平面应力（应变）问题。
习题全解4-1试比较极坐标和直角坐标中的平衡微分方程、几何方程和物理方程，指出哪些项是相似的，哪些项是极坐标中特有的？并说明产生这些项的原因。
【解】 （1）极坐标，直角坐标中的平衡微分方程10210f f ρρϕρϕρρϕϕρϕϕστσσρρϕρτστρρϕρ∂∂-⎧+++=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪+++=⎪∂∂⎩ 00yxx x y xy yf xy f y x τσστ∂⎧∂++=⎪∂∂⎪⎨∂⎪++=⎪∂∂⎩将极坐标中的平衡微分方程与直角坐标中的平衡微分方程相比较，第一式中，前两项与直角坐标相似；而项是由于正 面上的面积大于负 面上的面积而产生的，是由于正负 面上的正应力 在通过微分体中心的 方向有投影而引起的。
弹性力学 - 答案
《弹性力学》习题答案一、单选题1、所谓“完全弹性体”是指（B）A、材料应力应变关系满足虎克定律B、材料的应力应变关系与加载时间、历史无关C、本构关系为非线性弹性关系D、应力应变关系满足线性弹性关系2、关于弹性力学的正确认识是（A ）A、计算力学在工程结构设计中的作用日益重要B、弹性力学从微分单元体入手分析弹性体,因此与材料力学不同,不需要对问题作假设C、任何弹性变形材料都是弹性力学的研究对象D、弹性力学理论像材料力学一样，可以没有困难的应用于工程结构分析3、下列对象不属于弹性力学研究对象的是（D ）。
A、杆件B、块体C、板壳D、质点4、弹性力学对杆件分析（C）A、无法分析B、得出近似的结果C、得出精确的结果D、需采用一些关于变形的近似假定5、图示弹性构件的应力和位移分析要用什么分析方法？（C）A、材料力学B、结构力学C、弹性力学D、塑性力学6、弹性力学与材料力学的主要不同之处在于（ B ）A、任务B、研究对象C、研究方法D、基本假设7、下列外力不属于体力的是（D）A、重力B、磁力C、惯性力D、静水压力8、应力不变量说明（ D ）。
A. 应力状态特征方程的根是不确定的B. 一点的应力分量不变C. 主应力的方向不变D. 应力随着截面方位改变，但是应力状态不变9、关于应力状态分析，（D）是正确的。
A. 应力状态特征方程的根是确定的，因此任意截面的应力分量相同B. 应力不变量表示主应力不变C. 主应力的大小是可以确定的，但是方向不是确定的D. 应力分量随着截面方位改变而变化，但是应力状态是不变的10、应力状态分析是建立在静力学基础上的，这是因为（ D ）。
A. 没有考虑面力边界条件B. 没有讨论多连域的变形C. 没有涉及材料本构关系D. 没有考虑材料的变形对于应力状态的影响11、下列关于几何方程的叙述，没有错误的是（ C ）。
A. 由于几何方程是由位移导数组成的，因此，位移的导数描述了物体的变形位移B. 几何方程建立了位移与变形的关系，因此，通过几何方程可以确定一点的位移C. 几何方程建立了位移与变形的关系，因此，通过几何方程可以确定一点的应变分量D. 几何方程是一点位移与应变分量之间的唯一关系12、平面应变问题的应力、应变和位移与那个（些）坐标无关（纵向为 z 轴方向）（ C ）A、 xB、 yC、 zD、 x, y, z13、平面应力问题的外力特征是（A）A 只作用在板边且平行于板中面B 垂直作用在板面C 平行中面作用在板边和板面上D 作用在板面且平行于板中面。
弹性力学简明教程第四版习题详解
弹性力学简明教程（第四版）习题解答第一章【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。
【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。
非均匀的各向同性体如：混凝土。
【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性假定。
【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。
【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。
引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。
因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。
完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。
这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。
均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。
各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。
小变形假定：假定位移和变形是微小的。
亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。
弹性力学试题参考答案
《弹性力学》试题参考答案(总13页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--《弹性力学》试题参考答案（答题时间：100分钟）一、填空题（每小题4分）1．最小势能原理等价于弹性力学基本方程中： 平衡微分方程 ， 应力边界条件 。
2．一组可能的应力分量应满足： 平衡微分方程 ，相容方程（变形协调条件） 。
3．等截面直杆扭转问题中， M dxdy D=⎰⎰ 2ϕ的物理意义是 杆端截面上剪应力对转轴的矩等于杆截面内的扭矩M 。
4．平面问题的应力函数解法中，Airy 应力函数ϕ在边界上值的物理意义为 边界上某一点（基准点）到任一点外力的矩 。
5．弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为：0,=+i j ij X σ ，)(21,,i j j i ij u u +=ε。
二、简述题（每小题6分）1．试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。
圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同），则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。
作用：（1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。
（2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。
2．图示两楔形体，试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数ϕ的分离变量形式。
题二（2）图（a ）⎩⎨⎧=++= )(),(),(222θθϕϕf r r cy bxy ax y x （b ）⎩⎨⎧=+++= )(),(),(33223θθϕϕf r r dy cxy y bx ax y x3．图示矩形弹性薄板，沿对角线方向作用一对拉力P ，板的几何尺寸如图，材料的弹性模量E 、泊松比 已知。
试求薄板面积的改变量S ∆。
题二（3）图设当各边界受均布压力q 时，两力作用点的相对位移为l ∆。
由q E)1(1με-=得，)1(2222με-+=+=∆Eb a q b a l设板在力P 作用下的面积改变为S ∆，由功的互等定理有：l P S q ∆⋅=∆⋅将l ∆代入得：221b a P ES +-=∆μ显然，S ∆与板的形状无关，仅与E 、μ、l 有关。
弹性力学简明教程第四版_课后习题解答
弹性力学简明教程(第四版)课后习题解答徐芝纶第一章绪论【1-1】试举例说明什么就是均匀的各向异性体,什么就是非均匀的各向同性体？【分析】均匀的各项异形体就就是满足均匀性假定,但不满足各向同性假定;非均匀的各向异性体,就就是不满足均匀性假定,但满足各向同性假定。
【解答】均匀的各项异形体如:竹材,木材。
非均匀的各向同性体如:混凝土。
【1-2】一般的混凝土构件与钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基与土质地基能否作为理想弹性体？【分析】能否作为理想弹性体,要判定能否满足四个假定:连续性,完全弹性,均匀性,各向同性假定。
【解答】一般的混凝土构件与土质地基可以作为理想弹性体;一般的钢筋混凝土构件与岩质地基不可以作为理想弹性体。
【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？【解答】(1)连续性假定:假定物体就是连续的,也就就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满,不留下任何空隙。
引用这一假定后,物体的应力、形变与位移等物理量就可以瞧成就是连续的。
因此,建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示她们的变化规律。
完全弹性假定:假定物体就是完全弹性的,即物体在对应形变的外力被去除后,能够完全恢复原型而无任何形变。
这一假定,还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义,亦即两者之间就是成线性关系的,即引用这一假定后,应力与形变服从胡克定律,从而使物理方程成为线性的方程,其弹性常数不随应力或形变的大小而变。
均匀性假定:假定物体就是均匀的,即整个物体就是由同一材料组成的,引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性,所研究物体的内部各质点的物理性质都就是相同的,因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。
各向同性假定:假定物体就是各向同性的,即物体的弹性在所有各个方向都相同,引用此假定后,物体的弹性常数不随方向而变。
小变形假定:假定位移与变形就是微小的。
亦即,假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸,而且应变与转角都远小于1。