初中数学人教版八年级上册完全平方公式的综合应用(习题及答案)
初中数学《运用完全平方公式分解因式》专项练习题(含答案)
运用完全平方公式因式分解一 、填空题（本大题共9小题）1.化简求值，其中12a =，2b =-，则22()()________a b a b +--=2.利用1个a ×a 的正方形，1个b ×b 的正方形和2个a ×b 的矩形可拼成一个正方形（如图所示），从而可得到因式分解的公式 ．3.填空：⑴222_____4(2)x y x y ++=+；⑵2229_____121(3___)a b a -+=-；⑶2244____(2___)m mn m ++=+；⑷2_____6______(3)xy x y ++=+. 4.填空：(1)222()______a b a b +=+-；(2)222()______a b a b +=-+；(3)22()()_______a b a b -=+-；5.已知3a b +=，2230a b ab +=-，则2211a ab b -++= ．6.已知2(1)()5a a a b ---=-，则222a b ab +-的值为7.若214x mx -+是一个完全平方式，则m 的值是8.若1990a =，1991b =，1992c =，则222a b c ab bc ac ++---= ． 9.设a ，b 为有理数，且20a b +=，设22a b +的最小值为m ，ab 的最大值为n ，则m n += ．二 、解答题（本大题共11小题）10.计算：⑴222(30.5)a b ab + ⑵2(1113)m n a b - ⑶2(25)(52)(25)x x x ---- 11.计算：⑴2()a b c ++ ⑵2()a b c -- ⑶2(23)a b c -+12.⑴先化简后求值：2()()()2x y x y x y x ⎡⎤-++-÷⎣⎦，其中3x =， 1.5y =.⑵计算：(22)(22)x y y x -+-+.13.已知实数a 、b 满足2()1a b +=，2()25a b -=，求22a b ab ++的值． 14.计算：⑴22(2)(2)x x +-；⑵(59)(59)x y x y +--+； ⑶()()a b c a b c ++--； ⑷先化简，再求值：2(32)(32)5(1)(21)x x x x x +-----，其中13x =-15.已知3a b +=，12ab =，求下列各式的值：⑴22a b +；⑵22a ab b -+；⑶2()a b - 16.计算（1）2(23)x y -+ （2）(2)(2)a b b a -- （3）2222()()a ab b a ab b ++-+ （4）(22)(22)x y y x -+-+ 17.计算⑴2()()()x y x y x y --+-； ⑵3131(2)(2)5353x y z y z x ---+； ⑶2222()()a ab b a ab b ++-+； 18.计算：⑴2(811)a b -+⑵2(23)x y --19.计算：⑴2(4)m n + ⑵21()2x - ⑶2(32)x y - ⑷21(4)4y -- 20.计算：⑴2(35)x y z -+；⑵2(59)x y --；填空：⑶2222111111(__________________)9164643a b c ab bc ca +++++=++； ⑷22224164816(____________4)m n p mn np pm p ++--+=-+运用完全平方公式因式分解答案解析一 、填空题1.-4；原式=2222224a ab b a ab b ab ++-+-=；当12a =，2b =-时，原式14(2)42=⨯⨯-=-2.a 2+2ab+b 2=（a+b ）2．3.⑴4xy ；⑵66ab ，11b ；⑶2n ，n ；⑷29x ，2y .4.⑴2ab ；⑵2ab ；⑶4ab ；5.22()330a b ab ab a b ab +=+==-所以10ab =-，22211()31150a ab b a b ab -++=+-+=．6.由条件得5a b -=，222()25222a b a b ab +--==7.1±8.222a b c ab bc ac ++---2221()()()2a b a c b c ⎡⎤=-+-+-⎣⎦2221(1)(2)(1)32⎡⎤=-+-+-=⎣⎦ 9.222222()()120()22a b a b a b a b ++-⎡⎤+==+-⎣⎦， 因为2()0a b -≥，所以22a b +最小值200m =；222()()1400()44a b a b ab a b +--⎡⎤==--⎣⎦，所以ab 的最大值100n =，故300m n +=． 二 、解答题10.⑴222423324(30.5)930.25a b ab a b a b a b +=++；⑵222(1113)121286169m n m m n n a b a a n b -=-+；⑶22222(25)(52)(25)(25)(25)2(25)84050x x x x x x x x ----=----=--=-+-. 11.⑴原式222222a b c ab ac bc =+++++⑵原式222222a b c ab ac bc =++--+ ⑶原式232234618a b c ab ac bc =++-+-12.⑴222222()()()2(2)2(22)2x y x y x y x x xy y x y x x xy x x y⎡⎤-++-÷=-++-÷=-÷=-⎣⎦又3x =， 1.5y =，故原式3 1.5 1.5x y =-=-=.法2：2()()()2()22 1.5x y x y x y x x y x x x y ⎡⎤-++-÷=-⋅÷=-=⎣⎦⑵原式222[2(2)][2(2)]4(2)444x y x y x y x xy y =+---=--=-+-13.2222()()132a b a b a b ++-+==，22()()64a b a b ab +--==-，227a b ab ++=．14.(1)[]2222242(2)(2)(2)(2)(4)816x x x x x x x +-=+-=-=-+；(2)22(59)(59)(59)x y x y x y +--+=--2222(259081)259081x y y x y y =--+=-+-.(3)原式[][]22222()()()2a b c a b c a b c a b c bc =++-+=-+=---(4)2222(32)(32)5(1)(21)9455(441)95x x x x x x x x x x x +-----=--+--+=- 又13x =-，故原式=1959()583x -=⨯--=-15.⑴22222222()232(12)33a b a ab b ab a b ab +=++-=+-=-⨯-=⑵2222223()345a ab b a ab b ab a b ab -+=++-=+-=⑶222222()224()457a b a ab b a ab b ab a b ab -=-+=++-=+-= 16.（1）原式222(23)4129x y x xy y =-=-+（2）原式22222(2)(44)44a b a ab b a ab b =--=--+=-+-（3）原始22224224()()a b ab a b ab a a b b ⎡⎤⎡⎤=+++-=++⎣⎦⎣⎦（4）原式222[2(2)][2(2)]4(2)444x y x y x y x xy y =+---=--=-+- 17.⑴222222()()()2()22x y x y x y x xy y x y y xy --+-=-+--=-；⑵22222313113419(2)(2)(2)()45353353925x y z y z x x z y x xz z y ---+=--=-+-⑶原式22224224()()a b ab a b ab a a b b ⎡⎤⎡⎤=+++-=++⎣⎦⎣⎦18.⑴原式222(118)12117664b a b ab a =-=-+；⑵原式222(23)4129x y x xy y =+=++.19.⑴22222(4)(4)24168m n m mn n m mn n +=+⨯+=++⑵22221111()2()2224x x x x x -=-+=-+⑶22222(32)(3)232(2)9124x y x x y y x xy y -=-⨯⨯+=-+⑷222222111111(4)(4)(4)(4)24()1624444416y y y y y y y ⎡⎤--=-+=+=+⨯⨯+=++⎢⎥⎣⎦20.⑴2222(35)92561030x y z x y z xy yz zx -+=++--+；⑵222(59)2581109018x y x y xy y x --=++-+-. ⑶13a ，14b ，12c ；⑷2m ，n .。
人教版数学八年级上册完全平方公式同步练习(解析版).doc
人教版数学八年级上册完全平方公式同步练习一、单选题(共12题；共24分)1＞下列式子成立的是()A 、 (2a ・ 1) 2=4a 2 - 1B 、 (a+3b) 2=a 2+9b 2C 、 (a+b) ( - a - b) =a 2 - b 2D 、 ( - a - b) 2=a 2+2ab+b 22、已知(m ・n) 2=32,(m+n) 2=4000,则 m'+n?的值为() A 、 2014B 、 2015C 、 2016D 、 40323、若(x ・ 2y) 2=x 2 - xy+4y 2+M,则 M 为()A 、 xyB 、 - xyC 、 3xyD 、 - 3xy6、 若(x-y) 2+M=x 2+xy+y 2,则 M 的值为()A 、 xyB 、 0C 、 2xyD 、 3xy 7、 己知 a+b=l, ab=3,则 a 2+b 2 - ab 的值为() A 、 (a+b) 2=a 2+b 2B 、 (x+6) (x - 6) =x 2 ・6C 、 (x+2) 2=X 2+2X +4D 、 (x-y) 2= (y - x) 2、唐老师给出：a+b=l, a 2+b 2=2, A 、 ・1 B 、 3 C 、 3一-D、 14、下列各式正确的是（）你能计算出ab 的值为（ 5A、- 2C、10D、・ 108、(5x2 - 4y2) ( - 5x2+4y2)运算的结果是()A、- 25x4 - 16y4B、・ 25x4+40x2y2 - 16y4C、25x4 - 16y4D、25x°・40x2y2+16y49、已知a・b=5, (a+b) J49,贝!| a2+b2的值为()A、25B、27C、37D、4410、已知x+ =7,则"+占的值为()A、51B、49C、47D、4511、(a ・ b) 2=()A、a2 - 2ab - b2B、a2+2ab+b2C、a— b2D、a2 - 2ab+b222、下列各式屮能用完全平方公式进行因式分解的是()A、x2+x+lB、X2+2X・ 1C、x2 - 19Dx x - 6x+9二、填空题(共5题；共5分)13、己知m>0,并且使得X2+2 (m - 2) x+16是完全平方式，则m的值为______________ .14、已知a+b=4,则a— b2+8b= _______ .15、若9x2+kx+l是一个完全平方式，则k二_______ .26、如杲4“+kxy+25y2是一个完全平方公式，那么k的值是_________ .17> 若a+b=4,且ab=2,则a2+b2= __________ .三、解答题(共5题；共25分)18、计算：(x+y) 2- (x-y) (x+y)19、(a+2b) 2 - (a・2b) (a+2b)20、a, b, c为三角形ABC的三边,且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,试判别这个三角形的形状. 21> 先化简，再求值：(2x - y) 2+ (6x3 - 8x2y+4xy2) m ( - 2x),其中x=言，y= - 2.22、如图：某校一块长为2a米的正方形空地是七年级四个班的清洁区，其中分给七年级(1)班的清洁区是一块边长为(a - 2b)米的正方形，(0<b<T),■(1)分别求出七(2)、七(3)班的清洁区的面积；(2)七(4)班的清洁区的面积比七(1)班的清洁区的面积多多少平方米？答案解析部分一、单选题1、【答案】D【考点】完全平方公式【解析】【解答】解：A、应为(2a - 1) 2=4a2 - 2a+l,故本选项错误；B、应为(a+3b)；故本选项错误；C、应为(a+b) ( - a - b) = - a2 - 2ab - b2 ,故本选项错误；D、( - a - b) 2=a2+2ab+b2,正确.故选D.【分析】根据完全平方公式：(a士b) 2=a2±2ab+b2,对各选项展开后利用排除法求解.2、【答案】C【考点】完全平方公式【解析】【解答】解：(m・n) J32, m2 - 2mn+n2=32①，(m+n) 2=4000,m2+2mn+n2=4000 ②，①+②得：2m2+2n2=4032m2+n2=2016.故选：C.【分析】根据完全平方公式，即可解答.3、【答案】D【考点】完全平方公式【解析】【解答】解：.・° (x ・ 2y) 2=x2 - 4xy+4y2, 而(x - 2y) 2=x2 - xy+4y2+M,M= - 3xy.故选D・【分析】根据完全平方公式得到(x - 2y) 2=x2 - 4xy+4y2,然后根据已知得到M= - 3xy.4、【答案】D【考点】完全平方公式，平方差公式【解析】【解答】解：A、(a+b) 2=a2+2ab+b2 ,故此选项错误；B、(x+6) (x-6) 选项错误；C、(x+2) 2=X2+4X+4,故此选项错误；D、(x - y) 2=[ - (y - x) ]2= (y - x) 2,故此选项正确；故选：D.【分析】根据完全平方公式和平方差公式依次计算可判断.2+6ab+9b2, =x2 - 62,故此5、【答案】D【考点】完全平方公式【解析】【解答】解：2ab= (a+b) 2 - (a2+b2) , Va+b=l, a2+b2=2,A2ab=l - 2= - 1,解得ab二-故选D.【分析】此题只需由2ab二(a+b) 2 - (a2+b2)即可得出ab的值.6、【答案】D【考点】完全平方公式【解析】【解答】解：丁(x・y) 2+M=x2+xy+y2, /.M=x2+xy+y2 - (x - y) 2=3xy.故选D【分析】根据加数等于和减去另一个加数，计算即可得到M・7、【答案】B【考点】完全平方公式【解析】【解答】解:Va+b=l, ab=3, a2+b2 - ab= (a+b) 2 - 3ab=12 - 3x3 =・8.故选B.【分析】先利用完全平方公式得到a2+b2 - ab= (a+b) ?・3ab,然后利用整体代入的方法计算即可.8、【答案】B【考点】完全平方公式【解析】【解答】解：原式“(5x2-4y2) 2「25x4+40x2y2-16,,故选：B.【分析】根据完全平方公式，可得答案.9、【答案】C【考点】完全平方公式【解析】【解答】解：Va - b=5, (a+b) 2=49, .I (a - b) 2= (a+b) 2 - 4ab=25,/.49 - 4ab=25, • •3 b=6,Aa2+b2= (a+b) 2 - 2ab=49 - 2x6=37.故选：C.【分析】求出(a - b) 2= (a+b) 2 - 4ab=25,即可求出ab的值，根据a2+b2= (a+b) 2 - 2ab代入求出即可.10、【答案】C【考点】完全平方公式【解析】【解答】解：把x+ 1=7,两边平方得：(x+ 1) 2=x2+吉+2=49,故选C.【分析】把已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，即可求出所求式子的值.11、【答案】D【考点】完全平方公式【解析】【解答】解：(a-b) 2=a2-2ab+b2, 故选：D.【分析】利用完全平方公式展开可得.12、【答案】D【考点】完全平方公式【解析】【解答】解：根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，对各选项分析判断可知：A、x2+x+l不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故A错误；B、X2+2X - 1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故B错误；C、X?・1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故C错谋；D、x2 - 6x+9= (x - 3) 2,故D 正确.故选：D.二、填空题13、【答案】6【考点】完全平方公式【解析】【解答】解：・・•原式可化为知X2+2 (m - 2) x+42 ,A2 (m・2) =8或2 (m・2)=・8时，原式可化为(x+4) ?或(x・4) ?,/• m=6 或m= - 2.Vm>0,/• m=6・故答案为：6.【分析】将原式化为X2+2 (m - 2) x+42,再根据完全平方公式解答.14、【答案】16【考点】完全平方公式【解析】【解答】解：Ta+b=4, /.a=4 - b,Aa2= (4 ・ b) 2=16 ・ 8b+b2,A a2 - b2+8b=16.故答案为：16.【分析】把a+b=4写成a=4-b,然后两边平方并利用完全平方公式展开，再整理即可得解.15、【答案】±6【考点】完全平方公式【解析】【解答】解:V (3k±l) 2=9x2+kx+l,k=±6故答案为：±6【分析】根据完全平方公式可知：(3k±l) 2=9x2+kx+l,从而可求岀k的值.16、【答案】±20【考点】完全平方公式【解析】【解答】解:V4x2+kxy+25y2= (2x) 2+kxy+ (5y) 2, kxy=±2x2xx5y,解得k=±20.故答案为：±20.【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值.17、【答案】14【考点】完全平方公式【解析】【解答】解：Va+b=4, ab=2, (a+b) 2=a2+2ab+b2,:.16=a2+b2+4,.\a2+b2=14故答案为：14【分析】根据完全平方公式即可求出a2+b2的值.三、解答题18、【答案】解：(x+y) 2 - (x - y) (x+y)=x2+2xy+y2 - (x2 - y2)=2xy+2y2【考点】完全平方公式，平方差公式【解析】【分析】直接利用乘方公式法化简求出即可29、【答案】解：(a+2b) 2 - (a - 2b) (a+2b)=a2+4ab+4b2 - (a2 - 4b2)=a2+4ab+4b2 - a2+4b2=8b2+4ab【考点】完全平方公式，平方差公式【解析】【分析】根据完全平方公式和平方差公式，即可解答.20、【答案】解：由a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,得：(孑- 10a+25) + (b2 - 24b+144) + (c2 - 26c+169) =0,即：(a ・ 5) 2+ (b - 12) 2+ (c ・ 13) 2=0,5-5=0由非负数的性质可得：＜d-12 = 0,LS3解得4=12,c. =13V52+122=169=132,即a2+b2=c2,AZC=90°,即三角形ABC为直角三角形.【考点】完全平方公式，勾股定理的逆定理【解析】【分析】现对已知的式子变形，出现三个非负数的平方和等于0的形式，求岀a、b、c,再验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可.21＞【答案】解：原式=4x2 - 4xy+y2 - 3x2+4xy - 2y2=x2 - y2 , 当x二亨，y= - 2时，原式二£ - 4二-寻.【考点】完全平方公式【解析】【分析】原式利用完全平方公式，以及多项式乘以单项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x 与y的值代入计算即可求出值.22、【答案】解：(1)・・・2a- (a-2b) =a+2b,・••七(2)、七(3)班的清洁区的面积为:(a+2b) (a - 2b) = (a2-4b2)平方米；(2) (a+2b) 2 - (a - 2b) 2=a2+4ab+4b2 - (a2-4ab+4b2),=8ab.答：七(2)、七(3)班的清洁区的面积都为心2-4『)，七(4)班的清洁区的面积比七(1)班的清洁区的面积多8ab 平方米.【考点】完全平方公式的几何背景【解析】【分析】(1)求出七(2)、七(3)清洁区的长，然后根据矩形的面枳公式列式进行计算即可得解；(2)根据正方形的面积公式列式计算即可得解.。
八上完全平方公式练习题及答案
八上完全平方公式练习题及答案一．选择题 1．图①是一个边长为的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②能验证的式子是2．利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：2 =a+2ab+b．你根据图乙能得到的数学公式是223．如图，你能根据面积关系得到的数学公式是4．如图，是一个长为2a宽为2b的矩形，用剪刀沿矩形的两条对角轴剪开，把它分成四个全等的小矩形，然后按图拼成一个新的正方形，则中间空白部分的面积是5．如图的图形面积由以下哪个公式表示2二．填空题7．如图，在一个矩形中，有两个面积分别为a、b的正方形．这个矩形的面积为 _________228．如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为2，则另一边长是 _________ ．9．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为 _________ ．10．如图1和图2，有多个长方形和正方形的卡片，图1是选取了2块不同的卡片，拼成的一个图形，借助图中阴影部分面积的不同表示可以用来验证等式a=a+ab成立．根据图2，利用面积的不同表示方法，写出一个代数恒等式_________ ．211．如图，正方形广场的边长为a米，中央有一个正方形的水池，水池四周有一条宽度为路，那么水池的面积用含a、b的代数式可表示为 _________ 平方米．的环形小12．如图，请写出三个代数式、、ab之间的等量关系是 _________ ．2213．如图，长为a，宽为b的四个小长方形拼成一个大正方形，且大正方形的面积为64，中间小正方形的面积为16，则a= _________ ，b= _________ ．三．解答题 14．阅读学习：数学中有很多等式可以用图形的面积来表示．如图1，它表示=m+3mn+2n，22观察图2，请你写出，，ab之间的关系 _________ ．小明用8个一样大的长方形，，拼成了如图甲乙两种图案，图案甲是一个正方形，图案甲中间留下了一个边长为2的正方形；图形乙是一个长方形．①a﹣4ab+4b= _________②ab= _________ ．222215．我们已经知道，根据几何图形的面积关系可以说明完全平方公式，说明如下：如图1，正方形ABCD的面积=正方形EBNH的面积++正方形MHFD222的面积．即：=a+2ab+b．还有一些等式也可以用上述方式加以说明，请你尝试完成．如图2，长方形ABNM的面积=长方形EBCF的面积+长方形AEFD的面积﹣长方形HNCF的面积﹣ _________ 的面积，即：= _________ ．计算= _________ ．仿照上述方法，画图并说明．16．阅读下列文字，我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式，例如由图221可以得到=a+3ab+2b．请解答下列问题：写出图2中所表示的数学等式 _________ ；利用中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a+b+c的值；图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片．若干个长为a和宽为b的长方形纸片，利用所给22的纸片拼出一个几何图形，使得计算它的面积能得到数学公式：2a+5ab+2b=．22217．如图1，将一个长为4a，宽为2b的长方形，沿图中虚线均匀分成4个小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．图2的空白部分的边长是多少？若2a+b=7，且ab=3，求图2中的空白正方形的面积．22观察图2，用等式表示出，ab和的数量关系．18．动手操作：如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中的虚线剪开分成四个大小相等的长方形，然后按照图②所示拼成一个正方形．提出问题：观察图②，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积；22请写出三个代数式，，ab之间的一个等量关系．问题解决：根据上述中得到的等量关系，解决下列问题：已知：x+y=6，xy=3．求：的值．2第1课时完全平方公式要点感知 =______.即两个数的和的平方，等于它们的_____加上_____.222预习练习1-1 计算：=+2·_____·_____+=_____. 1- 填空：2=_____；2=_____；2=_____；2=_____.知识点1 完全平方公式的几何意义1.如图，将完全相同的四个长方形纸片拼成一个正方形，则可得出一个等式为A.2=a2+2ab+bB.2=a2-2ab+bC.a2-b2=D.2=2+4ab2.下列四个图形中，图①是长方形，图②、③、④是正方形.把图①、②、③三个图形拼在一起，其面积为S，则S=_____；图④的面积P=_____；则P_____S.3.下列计算结果为2ab-a-b的是A. B. C.- D.-24.若关于x的多项式x2-8x+m是2的展开式，则m的值为A.4B.16C.±D.±165.计算2的结果为_____.26.化简代数式-2x，所得的结果是_____.知识点运用完全平方公式计算7.直接运用公式计算：2； 2； 2； 2.8.运用完全平方公式计算：2012；99.82.9.计算：2-2； 22； .10.下列运算中，错误的运算有12①2=4x2+y2，②2=a2-9b2，③2=x2-2xy＋y2，④=x-x ＋.4A.1个B.2个C.3个D.4个222211.已知=8，=2，则m+ｎ=A.10B.6C.5D.3212.计算：-=_____.13.若2=2，则代数式x2-2x+5的值为_____.14.由完全平方公式可知：32+2×3×5+52=2=64，运用这一方法计算：224.321 0+8.642×0.670+0.670=_____.15.计算：2； 2；； 2-2+2.16.先化简，再求值：2b2+-2，其中a=-3，b=1.挑战自我17.观察下列关于自然数的等式：223-4×1=5①52-4×22=9②72-4×32=13③…根据上述规律解决下列问题：完成第四个等式：92-4×_____2=_____；写出你猜想的第n个等式，并验证其正确性.参考答案课前预习要点感知a2±2ab+b2平方和它们的积的2倍22222222预习练习1-12a a 1 1 a+4a+11-a+2ab+ba-2ab+b 25+30p+9p 4x-28xy+49y 当堂训练22221.D2.a+b+2ab2=.D4.B.a-6a+6.x+17.原式=9+30p+25p2.原式=49x2-28x+4.原式=4a2+20a+25.原式=4x2-12xy+9y2.8.原式=2=4001.原式=2=960.04.422442249.原式=-5x-10x.原式=a-2ab+b.原式=-x+2xy-y.课后作业10.C 11.C 12.2x+ 13. 14.2515.原式=4m2+12mn+9n2.原式=x2-4xy+4y2.原式=a4-2a2+1.原式=36b2.16.-3.17.417第n个等式为2-4n2=2-1.左边=2-4n2=4n2+4n+1-4n2=4n+1，右边=2-1=4n+2-1=4n+1.∵左边=右边，∴2-4n2=2-1.2平方差、完全平方公式讲义知识点平方差公式：完全平方公式：完全平方式：完全平方公式公式变形：例1.利用完全平方公式计算：21012例2.已知a+b=3，ab=2，求a2+b2；若已知a+b=10，a2+b2=4，求ab的值。
人教版八年级数学上册14.2完全平方公式同步测试题(附答案)
人教版八年级数学上册14.2完全平方公式同步测试题（附答案）完全平方公式测试题时间：60分钟总分：100 题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）已知x^2-2(m-3)x+16是一个完全平方式，则m的值是( ) A. -7 B. 1 C. -7或1 D. 7或-1 如果9a^2-ka+4是完全平方式，那么k的值是( ) A. -12 B.6 C. ±12 D. ±6 若a+b=7，ab=5，则(a-b)^2=( ) A. 25 B. 29C. 69D. 75 运用乘法公式计算(x+3)^2的结果是( ) A. x^2+9 B. x^2-6x+9 C. x^2+6x+9 D. x^2+3x+9 已知2a-b=2，那么代数式4a^2-b^2-4b的值是( ) A. 6 B. 4 C. 2 D. 0 下列运算正确的是( ) A. a^2+a^2=a^4 B. (-b^2 )^3=-b^6 C. 2x⋅2x^2=2x^3 D. (m-n)^2=m^2-n^2 2√(3-2√2) +√(17-12√2) 的值等于( ) A. 5-4√2 B. 4√2-1 C. 5 D. 1 下列计算结果正确的是( ) A.2+√3=2√3 B. √8÷√2=2 C. (-2a^2 )^3=-6a^6 D. (a+1)^2=a^2+1 下列式子正确的是( ) A. (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 B.(a-b)^2=a^2-b^2 C. (a-b)^2=a^2+2ab+b^2 D. (a-b)^2=a^2-ab+b^2 已知1/4 m^2+1/4 n^2=n-m-2，则1/m-1/n的值等于( ) A. 1 B.0 C. -1 D. -1/4 二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）已知a+1/a=5，则a^2+1/a^2 的值是______．已知4y^2+my+1是完全平方式，则常数m的值是______．已知(x+y)^2=20，(x-y)^2=4，则xy的值为______ ．若关于x的二次三项式x^2+ax+1/4是完全平方式，则a的值是______ ．已知x+1/x=-4，则x^2+1/x^2 的值为______ ．已知a>b，如果1/a+1/b=3/2，ab=2，那么a-b的值为______．若代数式x^2+kx+25是一个完全平方式，则k=______．已知a+b=8，a^2 b^2=4，则(a^2+b^2)/2-ab= ______ ．已知：m-1/m=5，则m^2+1/m^2 = ______ ．如果多项式y^2-2my+1是完全平方式，那么m=______．三、计算题（本大题共4小题，共24.0分）已知：x+y=6，xy=4，求下列各式的值 (1)x^2+y^2 (2)(x-y)^2．已知x+y=8，xy=12，求： (1)x^2 y+xy^2 (2)x^2-xy+y^2的值．计算 (1)(2x+y-2)(2x+y+2) (2)(x+5)^2-(x-2)(x-3)计算： (1)3x^2 y⋅(-2xy^3) (2)(2x+y)^2-(2x+3y)(2x-3y)四、解答题（本大题共2小题，共16.0分） (1)已知xy=2，x^2+y^2=25，求x-y的值． (2)求证：无论x、y为何值，代数式x^2+y^2-2x-4y+5的值不小于0．回答下列问题 (1)填空：x^2+1/x^2 =(x+1/x )^2- ______=(x-1/x )^2+ ______ (2)若a+1/a=5，则a^2+1/a^2 = ______ ； (3)若a^2-3a+1=0，求a^2+1/a^2 的值．答案和解析【答案】 1. D 2. C 3. B 4. C 5. B 6. B 7. D 8.B 9. A 10.C 11. 23 12. ±4 13. 4 14. ±1 15. 14 16. 1 17. -10或10 18. 28或36 19. 27 20. ±1 21. 解：(1)∵x^2+y^2=(x+y)^2-2xy，∴当x+y=6，xy=4，x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=6^2-2×4=28；(2)∵(x-y)^2=(x+y)^2-4xy，∴当x+y=6，xy=4，(x-y)^2=(x+y)^2-4xy=6^2-4×4=20． 22. 解：(1)∵x+y=8，xy=12，∴原式=xy(x+y)=96；(2)∵x+y=8，xy=12，∴原式=(x+y)^2-3xy=64-36=28． 23. 解：(1)原式=(2x+y)^2-4=4x^2+4xy+y^2-4； (2)原式=x^2+10x+25-x^2+5x-6=15x+19． 24. 解：(1)原式=-6x^3 y^4； (2)原式=4x^2+4xy+y^2-4x^2+9y^2=4xy+10y^2． 25. (1)解：∵(x-y)^2=x^2+y^2-2xy=25-2×2=21，∴x-y=±√21； (2)证明∵x^2+y^2-2x-4y+5=(x-1)^2+(y-2)^2≥0，∴无论x、y为何值，代数式x^2+y^2-2x-4y+5的值不小于0． 26. 2；2；23 【解析】 1. 解：∵x^2-2(m-3)x+16是一个完全平方式，∴-2(m-3)=8或-2(m-3)=-8，解得：m=-1或7，故选：D．利用完全平方公式的特征判断即可得到结果．此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 2. 解：∵9a^2-ka+4=(3a)^2±12a+2^2=(3a±2)^2，∴k=±12．故选：C．根据两数的平方和加上或减去两数积的2倍等于两数和或差的平方，即可得到k的值．本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 3. 解：∵a+b=7，ab=5，∴(a+b)^2=49，则a^2+b^2+2ab=49，故a^2+b^2+10=49，则a^2+b^2=39，故(a-b)^2=a^2+b^2-2ab=39-2×5=29．故选：B．首先利用完全平方公式得出a^2+b^2的值，进而求出(a-b)^2的值．此题主要考查了完全平方公式，正确得出a^2+b^2的值是解题关键． 4. 解：(x+3)^2=x^2+6x+9，故选：C．根据完全平方公式，即可解答．本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式． 5. 解：4a^2-b^2-4b=4a^2-(b^2+4b+4)+4=(2a)^2-(b+2)^2+4=[2a+(b+2)][2a-(b+2)]+4=(2a+b+2)(2a-b-2)+4 当2a-b=2时，原式=0+4=4，故选：B．根据完全平方公式，可得平方差公式，根据平方差公式，可得答案．本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式得出平方差公式是解题关键． 6. 解：A、a^2+a^2=2a^2，故本选项错误； B、(-b^2 )^3=-b^6，故本选项正确； C、2x⋅2x^2=4x^3，故本选项错误； D、(m-n)^2=m^2-2mn+n^2，故本选项错误．故选B．结合选项分别进行合并同类项、积的乘方、单项式乘单项式、完全平方公式的运算，选出正确答案．本题考查了合并同类项、积的乘方、单项式乘单项式、完全平方公式，掌握运算法则是解答本题的关键． 7. 解：原式=√(12-8√2) +√(17-12√2)=√((√8-2)^2 )+√((3-√8 )^2 )=(√8-2)+(3-√8)=1，故选D． 8. 解：A、2+√3不是同类二次根式，所以不能合并，所以A错误； B、√8÷√2=2，所以B正确； C、(-2a^2 )^3=-8a^6≠-6a^6，所以C错误； D、(a+1)^2=a^2+2a+1≠a^2+1，所以D错误．故选B 依次根据合并同类二次根式，二次根式的除法，积的乘方，完全平方公式的运算．此题是二次根式的乘除法，主要考查了合并同类二次根式，二次根式的除法，积的乘方，完全平方公式的运算.，掌握这些知识点是解本题的关键． 9. 解：A.(a-b)^2=a^2-2ab+b^2，故A选项正确； B.(a-b)^2=a^2-2ab+b^2，故B选项错误；C.(a-b)^2=a^2-2ab+b^2，故C选项错误；D.(a-b)^2=a^2-2ab+b^2，故D选项错误；故选：A．根据整式乘法中完全平方公式(a±b)^2=a^2±2ab+b^2，即可作出选择．本题考查了完全平方公式，关键是要了解(x-y)^2与(x+y)^2展开式中区别就在于2xy项的符号上，通过加上或者减去4xy可相互变形得到． 10. 【分析】此题主要考查了分式的化简求值、偶次方的非负性、完全平方公式的知识点，把所给等式整理为2个完全平方式的和为0的形式是解决本题的突破点；用到的知识点为：2个完全平方式的和为0，这2个完全平方式的底数为0 把所给等式整理为2个完全平方式的和为0的形式，得到m，n的值，代入求值即可．【解答】解：由1/4 m^2+1/4 n^2=n-m-2，得 (m+2)^2+(n-2)^2=0，则m=-2，n=2，∴1/m-1/n=1/(-2)-1/2=-1．故选C． 11. 解：a^2+1/a^2=(a+1/a )^2-2=5^2-2=23．故答案为：23．根据完全平分公式，即可解答．本题考查了完全平分公式，解决本题的关键是熟记完全平分公式． 12. 【分析】利用完全平方公式的结构特征确定出m的值即可.此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．【解答】解：∵4y^2+my+1是完全平方式，∴m=±4，故答案为±4 13. 解：∵(x+y)^2=x^2+2xy+y^2=20①，(x-y)^2=x^2-2xy+y^2=4②，∴①-②得：4xy=16，则xy=4，故答案为：4 已知等式利用完全平方公式化简，相减即可求出xy的值．此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 14. 解：中间一项为加上或减去x和1/2积的2倍，故a=±1，解得a=±1，故答案为：±1．这里首末两项是x和1/2这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和1/2积的2倍，故-a=±1，求解即可本题考查了完全平方式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式.关键是注意积的2倍的符号，避免漏解． 15. 解：∵x+1/x=-4，∴(x+1/x )^2=16，∴x^2+1/x^2 +2=16，即x^2+1/x^2 =14．故答案为：14．直接把x+1/x=-4两边平方即可．本题考查的是完全平方公式，熟记完全平方公式是解答此题的关键． 16. 解：1/a+1/b=(a+b)/ab=3/2，将ab=2代入得：a+b=3，∴(a-b)^2=(a+b)^2-4ab=9-8=1，∵a>b，∴a-b=1．故答案为：1 已知等式左边通分并利用同分母分式的加法法则计算，将ab的值代入求出a+b的值，再利用完全平方公式即可求出a-b的值．此题考查了完全平方公式，以及分式的加减法，熟练掌握公式及法则是解本题的关键． 17. 解：∵代数式x^2+kx+25是一个完全平方式，∴k=-10或10．故答案为：-10或10．利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k的值．此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 18. 解：(a^2+b^2)/2-ab=((a+b)^2-2ab)/2-ab=((a+b)^2)/2-ab-ab=((a+b)^ 2)/2-2ab ∵a^2 b^2=4，∴ab=±2，①当a+b=8，ab=2时，(a^2+b^2)/2-ab=((a+b)^2)/2-2ab=64/2-2×2=28，②当a+b=8，ab=-2时，(a^2+b^2)/2-ab=((a+b)^2)/2-2ab=64/2-2×(-2)=36，故答案为28或36．根据条件求出ab，然后化简(a^2+b^2)/2-ab=((a+b)^2)/2-2ab，最后代值即可．此题是完全平方公式，主要考查了完全平方公式的计算，平方根的意义，解本题的关键是化简原式，难点是求出ab． 19. 解：把m-1/m=5，两边平方得：(m-1/m )^2=m^2+1/m^2 -2=25，则m^2+1/m^2 =27，故答案为：27．把已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，整理即可求出所求式子的值．此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 20. 解：∵y^2-2my+1是一个完全平方式，∴-2my=±2y，∴m=±1．故答案是：±1．根据完全平方公式，这里首末两项是y和1这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去y 和1积的2倍．本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式.注意积的2倍的符号，避免漏解． 21. (1)根据完全平方公式可得x^2+y^2=(x+y)^2-2xy，然后把x+y=6，xy=4整体代入进行计算即可；(2)根据完全平方公式可得(x-y)^2=(x+y)^2-4xy，然后把x+y=6，xy=4整体代入进行计算即可．本题考查了完全平方公式：(a±b)^2=a^2±2ab+b^2.也考查了代数式的变形能力以及整体思想的运用． 22. (1)原式提取公因式，将已知等式代入计算即可求出值；(2)原式利用完全平方公式变形后，将各自的值代入计算即可求出值．此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 23. (1)原式利用平方差公式，完全平方公式化简即可得到结果； (2)原式利用完全平方公式，多项式乘以多项式法则计算即可得到结果．此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 24. (1)原式利用单项式乘单项式法则计算即可得到结果；(2)原式利用完全平方公式，以及平方差公式计算即可得到结果．此题考查了平方差公式，以及完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键． 25. (1)把x-y两边平方，然后把xy=2，x^2+y^2=25代入进行计算即可求解． (2)将式子配方，再判断式子的取值范围即可．本题考查了配方法的应用、完全平方公式，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式，熟练掌握完全平方式的各种变形是解答此类题目的关键． 26. 解：(1)2、2． (2)23．(3)∵a^2-3a+1=0 两边同除a得：a-3+1/a=0，移向得：a+1/a=3，∴a^2+1/a^2 =(a+1/a )^2-2=7． (1)根据完全平方公式进行解答即可； (2)根据完全平方公式进行解答； (3)先根据a^2-3a+1=0求出a+1/a=3，然后根据完全平方公式求解即可．本题考查了完全平方公式，解答本题的关键在于熟练掌握完全平方公式．。
八年级数学完全平方公式(含答案)
完全平方公式（二）一、填空题：（每格2分，共21224⨯=分）1、=+-2)(c b a __________；2、22239(__________)625525x x xy y +=++；3、2222()__________()__________a b a b a b +=-+=+-；4、计算：22222()()()x y x y x y -+-+=__________；5、22()()__________a b a b -=+-；6、=+-+]6)32)[(32(2ab b a b a __________；7、若7=+b a ，12=ab ，则=+-22b ab a __________；8、已知2x y a +=，2x y b -=，则xy =__________；9、81=+a a ，则=+221a a __________；10、=⨯9999911111__________；11、若41822=+y x ，5.1=-y x ，则=4)(xy __________；二、选择题：（每题2分，共248⨯=分）12、要使等式22)()(b a M b a +=+-成立，代数式M 应是 （ ） A 、ab 2 B 、ab 4 C 、ab 4- D 、ab 2-13、若n m ≠，下列等式中，①22)()(m n n m -=-；②22)()(m n n m --=-； ③))(())((n m n m n m n m +---=-+；④22)()(n m n m --=--中错误的有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个14、不等式)1)(1(5)31()12(22+-<---x x x x 的解集是 （ ） A 、5.2->x B 、5.2-<x C 、5.2>x D 、5.2<x15、如果2,1022=+=+y x y x ，那么=xy （ ）A 、3B 、3-C 、6D 、7-16、2)312(+-y x 17、))()(()()(2222y x y x y x y x y x ++---+18、)322)(232(2222b a b a +-+- 19、))((d c b a d c b a --++--20、2298102⨯ 21、224.106.9⨯四、先化简，再求值：（每题5分，共5210⨯=分）22、2)121()121)(121(---+---y x y x y x ，其中 1.7x =， 3.9y =。
人教版八年级数学上册14 2完全平方公式同步测试题 附答案
人教版八年级数学上册14 2完全平方公式同步测试题附答案完全平方公式测试题时间：60分钟总分：100题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）已知x^2-2(m-3)x+16是一个完全平方式，则m的值是( )A. -7B. 1C. -7或1D. 7或-1如果9a^2-ka+4是完全平方式，那么k的值是( )A. -12B. 6C. ±12D. ±6若a+b=7，ab=5，则(a-b)^2=( )A. 25B. 29C. 69D. 75运用乘法公式计算(x+3)^2的结果是( )A. x^2+9B. x^2-6x+9C. x^2+6x+9D. x^2+3x+9已知2a-b=2，那么代数式4a^2-b^2-4b的值是( )A. 6B. 4C. 2D. 0下列运算正确的是( )A. a^2+a^2=a^4B. (-b^2 )^3=-b^6C. 2x⋅2x^2=2x^3D. (m-n)^2=m^2-n^22√(3-2√2) +√(17-12√2) 的值等于( )A. 5-4√2B. 4√2-1C. 5D. 1下列计算结果正确的是( )A. 2+√3=2√3B. √8÷√2=2C. (-2a^2 )^3=-6a^6D. (a+1)^2=a^2+1 下列式子正确的是( )A. (a-b)^2=a^2-2ab+b^2B. (a-b)^2=a^2-b^2C. (a-b)^2=a^2+2ab+b^2D. (a-b)^2=a^2-ab+b^2已知1/4 m^2+1/4 n^2=n-m-2，则1/m-1/n的值等于( )A. 1B. 0C. -1D. -1/4二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）已知a+1/a=5，则a^2+1/a^2 的值是______．已知4y^2+my+1是完全平方式，则常数m的值是______．已知(x+y)^2=20，(x-y)^2=4，则xy的值为______ ．若关于x的二次三项式x^2+ax+1/4是完全平方式，则a的值是______ ．已知x+1/x=-4，则x^2+1/x^2 的值为______ ．已知a>b，如果1/a+1/b=3/2，ab=2，那么a-b的值为______．若代数式x^2+kx+25是一个完全平方式，则k=______．已知a+b=8，a^2 b^2=4，则(a^2+b^2)/2-ab= ______ ．已知：m-1/m=5，则m^2+1/m^2 = ______ ．如果多项式y^2-2my+1是完全平方式，那么m=______．三、计算题（本大题共4小题，共24.0分）已知：x+y=6，xy=4，求下列各式的值(1)x^2+y^2 (2)(x-y)^2．已知x+y=8，xy=12，求：(1)x^2 y+xy^2(2)x^2-xy+y^2的值．计算(1)(2x+y-2)(2x+y+2)(2)(x+5)^2-(x-2)(x-3)计算：(1)3x^2 y⋅(-2xy^3)(2)(2x+y)^2-(2x+3y)(2x-3y)四、解答题（本大题共2小题，共16.0分）(1)已知xy=2，x^2+y^2=25，求x-y的值．(2)求证：无论x、y为何值，代数式x^2+y^2-2x-4y+5的值不小于0．回答下列问题(1)填空：x^2+1/x^2 =(x+1/x )^2- ______ =(x-1/x )^2+ ______(2)若a+1/a=5，则a^2+1/a^2 = ______ ；(3)若a^2-3a+1=0，求a^2+1/a^2 的值．答案和解析【答案】1. D2. C3. B4. C5. B6. B7. D8. B9. A10. C11. 2312. ±413. 414. ±115. 1416. 117. -10或1018. 28或3619. 2720. ±121. 解：(1)∵x^2+y^2=(x+y)^2-2xy，∴当x+y=6，xy=4，x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=6^2-2×4=28；(2)∵(x-y)^2=(x+y)^2-4xy，∴当x+y=6，xy=4，(x-y)^2=(x+y)^2-4xy=6^2-4×4=20．22. 解：(1)∵x+y=8，xy=12，∴原式=xy(x+y)=96；(2)∵x+y=8，xy=12，∴原式=(x+y)^2-3xy=64-36=28．23. 解：(1)原式=(2x+y)^2-4=4x^2+4xy+y^2-4；(2)原式=x^2+10x+25-x^2+5x-6=15x+19．24. 解：(1)原式=-6x^3 y^4；(2)原式=4x^2+4xy+y^2-4x^2+9y^2=4xy+10y^2．25. (1)解：∵(x-y)^2=x^2+y^2-2xy=25-2×2=21，∴x-y=±√21；(2)证明∵x^2+y^2-2x-4y+5=(x-1)^2+(y-2)^2≥0，∴无论x、y为何值，代数式x^2+y^2-2x-4y+5的值不小于0．26. 2；2；23【解析】1. 解：∵x^2-2(m-3)x+16是一个完全平方式，∴-2(m-3)=8或-2(m-3)=-8，解得：m=-1或7，故选：D．利用完全平方公式的特征判断即可得到结果．此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．2. 解：∵9a^2-ka+4=(3a)^2±12a+2^2=(3a±2)^2，∴k=±12．故选：C．根据两数的平方和加上或减去两数积的2倍等于两数和或差的平方，即可得到k 的值．本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．3. 解：∵a+b=7，ab=5，∴(a+b)^2=49，则a^2+b^2+2ab=49，故a^2+b^2+10=49，则a^2+b^2=39，故(a-b)^2=a^2+b^2-2ab=39-2×5=29．故选：B．首先利用完全平方公式得出a^2+b^2的值，进而求出(a-b)^2的值．此题主要考查了完全平方公式，正确得出a^2+b^2的值是解题关键．4. 解：(x+3)^2=x^2+6x+9，故选：C．根据完全平方公式，即可解答．本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式．5. 解：4a^2-b^2-4b=4a^2-(b^2+4b+4)+4=(2a)^2-(b+2)^2+4=[2a+(b+2)][2a-(b+2)]+4=(2a+b+2)(2a-b-2)+4当2a-b=2时，原式=0+4=4，故选：B．根据完全平方公式，可得平方差公式，根据平方差公式，可得答案．本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式得出平方差公式是解题关键．6. 解：A、a^2+a^2=2a^2，故本选项错误；B、(-b^2 )^3=-b^6，故本选项正确；C、2x⋅2x^2=4x^3，故本选项错误；D、(m-n)^2=m^2-2mn+n^2，故本选项错误．故选B．结合选项分别进行合并同类项、积的乘方、单项式乘单项式、完全平方公式的运算，选出正确答案．本题考查了合并同类项、积的乘方、单项式乘单项式、完全平方公式，掌握运算法则是解答本题的关键．7. 解：原式=√(12-8√2) +√(17-12√2) =√((√8-2)^2 )+√((3-√8 )^2 )=(√8-2)+(3-√8)=1，故选D．8. 解：A、2+√3不是同类二次根式，所以不能合并，所以A错误；B、√8÷√2=2，所以B正确；C、(-2a^2 )^3=-8a^6≠-6a^6，所以C错误；D、(a+1)^2=a^2+2a+1≠a^2+1，所以D错误．故选B依次根据合并同类二次根式，二次根式的除法，积的乘方，完全平方公式的运算．此题是二次根式的乘除法，主要考查了合并同类二次根式，二次根式的除法，积的乘方，完全平方公式的运算.，掌握这些知识点是解本题的关键．9. 解：A.(a-b)^2=a^2-2ab+b^2，故A选项正确；B.(a-b)^2=a^2-2ab+b^2，故B选项错误；C.(a-b)^2=a^2-2ab+b^2，故C选项错误；D.(a-b)^2=a^2-2ab+b^2，故D选项错误；故选：A．根据整式乘法中完全平方公式(a±b)^2=a^2±2ab+b^2，即可作出选择．本题考查了完全平方公式，关键是要了解(x-y)^2与(x+y)^2展开式中区别就在于2xy项的符号上，通过加上或者减去4xy可相互变形得到．10. 【分析】此题主要考查了分式的化简求值、偶次方的非负性、完全平方公式的知识点，把所给等式整理为2个完全平方式的和为0的形式是解决本题的突破点；用到的知识点为：2个完全平方式的和为0，这2个完全平方式的底数为0把所给等式整理为2个完全平方式的和为0的形式，得到m，n的值，代入求值即可．【解答】解：由1/4 m^2+1/4 n^2=n-m-2，得(m+2)^2+(n-2)^2=0，则m=-2，n=2，∴1/m-1/n=1/(-2)-1/2=-1．故选C．11. 解：a^2+1/a^2 =(a+1/a )^2-2=5^2-2=23．故答案为：23．根据完全平分公式，即可解答．本题考查了完全平分公式，解决本题的关键是熟记完全平分公式．12. 【分析】利用完全平方公式的结构特征确定出m的值即可.此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．【解答】解：∵4y^2+my+1是完全平方式，∴m=±4，故答案为±413. 解：∵(x+y)^2=x^2+2xy+y^2=20①，(x-y)^2=x^2-2xy+y^2=4②，∴①-②得：4xy=16，则xy=4，故答案为：4已知等式利用完全平方公式化简，相减即可求出xy的值．此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．14. 解：中间一项为加上或减去x和1/2积的2倍，故a=±1，解得a=±1，故答案为：±1．这里首末两项是x和1/2这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和1/2积的2倍，故-a=±1，求解即可本题考查了完全平方式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式.关键是注意积的2倍的符号，避免漏解．15. 解：∵x+1/x=-4，∴(x+1/x )^2=16，∴x^2+1/x^2 +2=16，即x^2+1/x^2 =14．故答案为：14．直接把x+1/x=-4两边平方即可．本题考查的是完全平方公式，熟记完全平方公式是解答此题的关键．16. 解：1/a+1/b=(a+b)/ab=3/2，将ab=2代入得：a+b=3，∴(a-b)^2=(a+b)^2-4ab=9-8=1，∵a>b，∴a-b=1．故答案为：1已知等式左边通分并利用同分母分式的加法法则计算，将ab的值代入求出a+b 的值，再利用完全平方公式即可求出a-b的值．此题考查了完全平方公式，以及分式的加减法，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．17. 解：∵代数式x^2+kx+25是一个完全平方式，∴k=-10或10．故答案为：-10或10．利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k的值．此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．18. 解：(a^2+b^2)/2-ab=((a+b)^2-2ab)/2-ab=((a+b)^2)/2-ab-ab=((a+b)^2)/2-2ab∵a^2 b^2=4，∴ab=±2，①当a+b=8，ab=2时，(a^2+b^2)/2-ab=((a+b)^2)/2-2ab=64/2-2×2=28，②当a+b=8，ab=-2时，(a^2+b^2)/2-ab=((a+b)^2)/2-2ab=64/2-2×(-2)=36，故答案为28或36．根据条件求出ab，然后化简(a^2+b^2)/2-ab=((a+b)^2)/2-2ab，最后代值即可．此题是完全平方公式，主要考查了完全平方公式的计算，平方根的意义，解本题的关键是化简原式，难点是求出ab．19. 解：把m-1/m=5，两边平方得：(m-1/m )^2=m^2+1/m^2 -2=25，则m^2+1/m^2 =27，故答案为：27．把已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，整理即可求出所求式子的值．此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．20. 解：∵y^2-2my+1是一个完全平方式，∴-2my=±2y，∴m=±1．故答案是：±1．根据完全平方公式，这里首末两项是y和1这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去y和1积的2倍．本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式.注意积的2倍的符号，避免漏解．21. (1)根据完全平方公式可得x^2+y^2=(x+y)^2-2xy，然后把x+y=6，xy=4整体代入进行计算即可；(2)根据完全平方公式可得(x-y)^2=(x+y)^2-4xy，然后把x+y=6，xy=4整体代入进行计算即可．本题考查了完全平方公式：(a±b)^2=a^2±2ab+b^2.也考查了代数式的变形能力以及整体思想的运用．22. (1)原式提取公因式，将已知等式代入计算即可求出值；(2)原式利用完全平方公式变形后，将各自的值代入计算即可求出值．此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．23. (1)原式利用平方差公式，完全平方公式化简即可得到结果；(2)原式利用完全平方公式，多项式乘以多项式法则计算即可得到结果．此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．24. (1)原式利用单项式乘单项式法则计算即可得到结果；(2)原式利用完全平方公式，以及平方差公式计算即可得到结果．此题考查了平方差公式，以及完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．25. (1)把x-y两边平方，然后把xy=2，x^2+y^2=25代入进行计算即可求解．(2)将式子配方，再判断式子的取值范围即可．本题考查了配方法的应用、完全平方公式，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式，熟练掌握完全平方式的各种变形是解答此类题目的关键．26. 解：(1)2、2．(2)23．(3)∵a^2-3a+1=0两边同除a得：a-3+1/a=0，移向得：a+1/a=3，∴a^2+1/a^2 =(a+1/a )^2-2=7．(1)根据完全平方公式进行解答即可；(2)根据完全平方公式进行解答；(3)先根据a^2-3a+1=0求出a+1/a=3，然后根据完全平方公式求解即可．本题考查了完全平方公式，解答本题的关键在于熟练掌握完全平方公式．。
八年级数学上册《完全平方公式》练习题及答案解析
八年级数学上册《完全平方公式》练习题及答案解析学校:___________姓名：___________班级：____________一、单选题1．下列计算正确的是（ ）A ．236a a a ⋅=B ．()32639a a =C ．2225420a a a ⋅=D ．444235a a a +=2．若多项式294x mx -+是一个完全平方式，则m 的值为（ ）A ．12B ．12±C ．6D ．6±3．我们经常利用完全平方公式以及变形公式进行代数式变形．已知关于a 的代数式2A a a =+，请结合你所学知识，判断下列说法正确的有（ ）个①当2a =-时，2A =；①存在实数a ，使得104A +<； ①若10A -=，则2213a a +=；①已知代数式A 、B 、C 满足A B -=B C -=22218A B C AB AC BC ++---=．A ．4B ．3C ．2D ．14．阅读材料：我们把形如2ax bx c ++的二次三项式（或其中一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式就是完全平方公式的逆写，即222)2(a ab b a b ±+=±．例如：2(1)3x -+，2(2)2x x -+，2213224x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭是224x x -+的三种不同形式的配方．则下列说法正确的个数是（ ） ①2(2)2x x +-和2(31)x ++都是224x x ++不同形式的配方①22(1)4x k x --+是完全平方式，则k 的值为3 ①23534b b +-有最小值，最小值为2 A ．0 B ．1 C ．2 D ．35．小亮想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多2m ，当他把绳子的下端拉开8m 后，下端刚好接触到地面，则学校旗杆的高度为（ ）A ．10mB ．12mC ．15mD ．18m6．如图所示，在这个运算程序当中，若开始输入的x 是2，则经过2021次输出的结果是（ ）A ．1B ．3C ．4D ．8二、填空题7．若m ，n 是关于x 的方程x 2-3x -3＝0的两根，则代数式m 2+n 2-2mn ＝_____．8．若x ＝3是关于x 的一元一次方程mx ﹣n ＝3的解，则代数式10﹣3m ＋n 的值是___．9．如果用公式222()2a b a ab b +=++计算2()a b c ++，那么第一步应该写成2()a b c ++=________．三、解答题10．已知xy (1)求代数式2x 2+2y 2﹣ x y 的值；(2)2x y 的值．11．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题．例题：求代数式248y y ++的最小值．解：22248444(2)4y y y y y ++=+++=++①()220y +≥①()2244y ++≥①代数式248y y ++的最小值为4．(1)求代数式222x x --的最小值.(2)若269|1|0a a b -+++=，则b a =_________.(3)某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m ）的空地上建一个长方形花园ABCD ，花园一边靠墙，另三边用总长为20m 的栅栏围成．如图，设()m AB x =，请问：当x 取何值时，花园的面积最大?最大面积是多少?12．图a 是由4个长为m ，宽为n 的长方形拼成的，图b 是由这四个长方形拼成的正方形，中间的空隙，恰好是一个小正方形．（1）用m 、n 表示图b 中小正方形的边长为 ．（2）用两种不同方法表示出图b 中阴影部分的面积；（3）观察图b ，利用（2）中的结论，写出下列三个代数式之间的等量关系，代数式2()m n +，2()m n -，mn ；（4）根据（3）中的等量关系，解决如下问题：已知7a b +=，5ab =，求2()a b -的值．参考答案：1．D【分析】运用同底数幂的乘法，积的乘方，单项式乘单项式，合并同类项的运算法则分别对各项进行运算，即可得出结果【详解】解：A 、235a a a ⋅=，故A 不符合题意；B 、()326327a a =，故B 不符合题意； C 、2245420a a a =，故C 不符合题意；D 、444235a a a +=，故D 符合题意．故选：D ．【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，积的乘方，单项式乘单项式，合并同类项，解答的关键是对这些知识点的运算法则的掌握与应用．2．B【分析】利用完全平方公式的结构特征解答即可．【详解】解：①9x 2-mx +4是一个完全平方式，①-m =±12，①m =±12．故选：B ．【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．3．B【分析】利用代数式的值可判断①，利用完全平方公式可判断①，利用公式变形，整体代入求值可判断①，根据A B -=B C -=A C -=222A B C AB AC BC ++---配方得出(222111222++，然后代入求值可判断①． 【详解】解①当2a =-时，()2222A =--=，故①正确； ①存在实数a ，使得221110442A a a a ⎛⎫+=++=+≥ ⎪⎝⎭，故①不正确； ①若10A -=，①21a a +=，当0,01a =≠，①0a ≠， ①11a a-=-， 则2221123a a a a ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭； 故①正确；①已知代数式A 、B 、C 满足A B -=B C -=①()()A C A B B C -=-+-=则222A B C AB AC BC ++--- =()22212222222A B C AB AC BC ++---=()()()222111222A B B C A C -+-+-=(222111222++ =18；故①正确，①正确的个数有3个，故选B ．【点睛】本题考查代数式求值，完全平方公式性质，二次根式的混合运算，掌握完全平方公式及其变形公式，和代数式求值方法是解题关键．4．C【分析】①各式化简得到结果，比较即可作出判断；①利用完全平方公式的结构特征判断即可；①原式配方后，求出最小值，即可作出判断．【详解】解：①①(x +2)2-2x= x 2+2x +4，(x +1)2+3= x 2+2x +4，①(x +2)2-2x 和(x +1)2+3都是x 2+2x +4不同形式的配方，符合题意；①x 2-2(k -1)x +4是完全平方式，则k -1=2或k -1=-2，即k =3或-1，不符合题意；①原式=34(b 2-4b +4)+2=34(b -2)2+2，当b =2时，取得最小值，最小值为2，符合题意． 故选：C ．【点睛】此题考查了配方法的应用，以及偶次方的非负性，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．5．C【分析】根据题意设旗杆的高AB 为x m ，则绳子AC 的长为（x +2）m ，再利用勾股定理即可求得AB 的长，即旗杆的高．【详解】解：根据题意画出图形如下所示：则BC ＝8m ，设旗杆的高AB 为x m ，则绳子AC 的长为（x +2）m ，在Rt①ABC 中，AB 2+BC 2＝AC 2，即x 2+82＝（x +2）2，解得x ＝15，故AB ＝15m ，即旗杆的高为15m ．故选：C ．【点睛】此题考查了学生利用勾股定理解决实际问题的能力，在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．6．C【分析】根据运算程序代值求解得到输出结果的规律求解即可．【详解】解：把x ＝2代入得：2÷2＝1，把x ＝1代入得：1+5＝6，把x ＝6代入得：6÷2＝3，把x ＝3代入得：3+5＝8，把x ＝8代入得：8÷2＝4，把x ＝4代入得：4÷2＝2，把x ＝2代入得：2÷2＝1，……以此类推，可知每6个一循环，且输入次数与输出结果的对应规律是：61n +对应1；62n +对应6；63n +对应3；64n +对应8；65n +对应4；6n +6对应2；①202163365=⨯+，①经过2021次输出的结果是4．故选：C ．【点睛】本题考查运算程序背景下的数字规律，根据运算程序算出输出结果，然后找到输出结果的规律是解决问题的关键．7．21【分析】先根据根与系数的关系得到m +n ＝3，m n ＝﹣3，再根据完全平方公式变形得到m 2+n 2﹣2mn ＝（m +n ）2﹣4mn ，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：①m ，n 是关于x 的方程x 2-3x -3＝0的两根，①m +n ＝3，m n ＝﹣3，①m 2+n 2﹣2mn ＝（m +n ）2﹣4mn ＝32﹣4×（﹣3）＝21．故答案为：21．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2b a =-，x 1x 2c a =． 8．7【分析】根据题意得到﹣3m +n ＝﹣3，然后代入代数式10﹣3m ＋n 求解即可．【详解】解：由题意得：3m ﹣n ＝3，①﹣3m +n ＝﹣3，①原式＝10﹣3＝7．故答案为：7．【点睛】此题考查了一元一次方程的解的含义以及解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的解的含义．9．22()2()a b c a b c ++++【分析】利用完全平方公式即可得．【详解】[]2222()()()2()a b c a b c a b c a b c ++=++=++++，故答案为：22()2()a b c a b c ++++．【点睛】本题考查了完全平方公式，熟记公式是解题关键．10．(1)27；(2)【分析】（1）求得x +y 和x y 的值，再利用完全平方公式变形求值即可；（2）根据x ＜1，先分母开方，约分，再代入求值即可；(1)解：原式＝2x 2+4xy +2y 2﹣5xy ＝2（x +y ）2﹣5xy ，①2x =2y ==，①x +y ＝24，(221xy ==，①原式＝2×42﹣5×1＝2×16﹣5＝27；(2)解：①x ＝21，①x yx yx y ＝x y＝1 ＝﹣1＝ 【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式的混合运算，完全平方公式，掌握相关运算法则是解题关键．11．(1)−3； (2)13； (3)当x 取5时，花园的面积最大，最大面积是50m 2．【分析】（1）根据阅读材料将所求的式子变形为()213x --，再根据非负数的性质得出最小值； （2）根据阅读材料将所求的式子变形为()23|1|0a b -++=，再根据非负数的性质求出a 、b ，代入b a 计算即可；（3）先根据矩形的面积公式列出式子，再根据阅读材料将式子变形，求出最值即可．（1）解：()222213x x x --=--，①()210x -≥，①()2133x --≥-，①代数式222x x --的最小值为−3；（2）①()2269|1|3|1|0a a b a b -+++=-++=，①a −3＝0，b ＋1＝0，①a ＝3，b ＝−1， ①1133b a -==， 故答案为：13； （3）设()m AB x =，由题意可得，花园的面积为：()()()2222022202102550x x x x x x x -=-+=--=--+， ①()2250x --≤，①当x ＝5时，花园的面积取得最大值，此时花园的面积是50，BC 的长是20−2×5＝10＜15，答：当x 取5时，花园的面积最大，最大面积是50m 2．【点睛】本题考查了完全平方公式的变形及应用，非负数的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．12．（1）m n -；（2）方法①：2()()()m n m n m n --=-，方法①：2()4m n mn +-；（3）22()()4m n m n mn -=+-；（4）29．【分析】（1）根据图形即可得出图b 中小正方形的边长为m n -；（2）直接利用正方形的面积公式得到图中阴影部分的面积为2()m n -；也可以用大正方形的面积减去4个长方形的面积得到图中阴影部分的面积为2()4m n mn +-；（3）根据图中阴影部分的面积是定值得到等量关系式；（4）利用（3）中的公式得到22()()4a b a b ab -=+-．【详解】解：（1）图b 中小正方形的边长为m n -．故答案为m n -；（2）方法①：2()()()m n m n m n --=-；方法①：2()4m n mn +-；（3）因为图中阴影部分的面积不变，所以22()()4m n m n mn -=+-；（4）由（3）得：22()()4a b a b ab -=+-，7a b +=，5ab =，2()a b ∴-222a ab b =-+2()4a b ab =+-2745=-⨯4920=-29=．【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，列代数式，可以根据题中的已知数量利用代数式表示其他相关的量．。
人教版八年级上册数学 14.2.2完全平方公式 同步习题(含解析)
14.2.2完全平方公式同步习题一．选择题（共10小题）1．计算：（2x﹣y）2＝（）A．4x2﹣4xy+y2B．4x2﹣2xy+y2C．4x2﹣y2D．4x2+y22．若a﹣b＝5，ab＝﹣6，则a2﹣3ab+b2的值为（）A．13B．19C．25D．313．若x2+y2＝（x+y）2+A＝（x﹣y）2﹣B，则A、B的数量关系为（）A．相等B．互为相反数C．互为倒数D．无法确定4．若x+y＝6，x2+y2＝20，求x﹣y的值是（）A．4B．﹣4C．2D．±25．计算（x+3y）2﹣（x﹣3y）2的结果是（）A．12xy B．﹣12xy C．6xy D．﹣6xy6．若（ax+3y）2＝4x2+12xy+by2，则a，b的值分别为（）A．a＝4，b＝3B．a＝2，b＝3C．a＝4，b＝9D．a＝2，b＝9 7．小淇将（2019x+2020）2展开后得到a1x2+b1x+c1；小尧将（2020x﹣2019）2展开后得到a2x2+b2x+c2，若两人计算过程无误，则a1﹣a2的值为（）A．﹣1B．﹣4039C．4039D．18．下列等式成立的是（）A．（a+1）2＝（a﹣1）2B．（﹣a﹣1）2＝（a+1）2C．（﹣a+1）2＝（a+1）2D．（﹣a﹣1）2＝（a﹣1）29．设m＝xy，n＝x+y，p＝x2+y2，q＝x2﹣y2，其中，①当n＝3时，q＝6．②当p＝时，m＝．则下列正确的是（）A．①正确②错误B．①正确②正确C．①错误②正确D．①错误②错误10．如果（x+3）2＝x2+ax+9，那么a的值为（）A．3B．±3C．6D．±6二．填空题（共5小题）11．已知a，b满足a﹣b＝1，ab＝2，则a+b＝．12．计算（a﹣2b）2﹣2a（3a﹣4b）的结果是．13．已知（2020+x）（2018+x）＝55，则（2020+x）2+（2018+x）2＝．14．用简便方法计算：10.12﹣2×10.1×0.1+0.01＝．15．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出如图，此表揭示了（a+b）n （n为非负整数）展开式的各项系数的规律，例如：（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1；（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1；（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1；（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1；…根据以上规律，（a+b）5展开式共有六项，系数分别为．拓展应用：（a﹣b）4＝．三．解答题（共3小题）16．已知：x+y＝5，xy＝3．求：①x2+5xy+y2；②x4+y4．17．利用整式乘法公式计算：（1）2012；（2）19992﹣1998×2000．18．同学们知道，完全平方公式是：（a+b）2＝a2+b2+2ab，（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab，由此公式我们可以得出下列结论：ab＝[a+b）2﹣（a2+b2）]①（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab②利用公式①和②解决下列问题：已知m满足（3m﹣2020）2+（2019﹣3m）2＝5，（1）求（3m﹣2020）（2019﹣3m）的值；（2）求（6m﹣4039）2的值．参考答案1．解：（2x﹣y）2＝4x2﹣4xy+y2，故选：A．2．解：∵a﹣b＝5，ab＝﹣6，∴a2﹣3ab+b2＝（a﹣b）2﹣ab＝52﹣（﹣6）＝31，故选：D．3．解：∵x2+y2＝（x+y）2+（﹣2xy）＝（x﹣y）2﹣（﹣2xy），∴A＝﹣2xy，B＝﹣2xy，∴A＝B．故选：A．4．解：∵x+y＝6，x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝20，∴2xy＝62﹣20＝16，∴xy＝8，∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝20﹣2×8＝4，∴x﹣y＝±2，故选：D．5．解：原式＝x2+6xy+9y2﹣（x2﹣6xy+9y2）＝x2+6xy+9y2﹣x2+6xy﹣9y2＝12xy．故选：A．6．解：（ax+3y）2＝4x2+12xy+by2，则a2x2+6axy+9y2＝4x2+12xy+by2，故a2＝4且6a＝12，b＝9，解得：a＝2，b＝9．故选：D．7．解：∵（2019x+2020）2展开后得到a1x2+b1x+c1；∴a1＝20192，∵（2020x﹣2019）2展开后得到a2x2+b2x+c2，∴a2＝20202，∴a1﹣a2＝20192﹣20202＝（2019+2020）（2019﹣2020）＝﹣4039，故选：B．8．解：A、（a+1）2≠（a﹣1）2，原等式不成立，故此选项不符合题意；B、（﹣a﹣1）2＝（a+1）2，原等式成立，故此选项符合题意；C、（﹣a+1）2≠（a+1）2，原等式不成立，故此选项不符合题意；D、（﹣a﹣1）2≠（a﹣1）2，原等式不成立，故此选项不符合题意；故选：B．9．解：当n＝3时，即x+y＝3，由可得，x﹣y＝2，因此，x＝，y＝，∴q＝x2﹣y2═﹣＝＝6，因此①正确；当p＝时，即x2+y2＝，又∴x﹣y＝2，∴x2﹣2xy+y2＝4，∴﹣2xy＝4，∴m＝xy＝，因此②正确；故选：B．10．解：∵（x+3）2＝x2+6x+9，∴a＝6．故选：C．11．解：因为a﹣b＝1，ab＝2，所以a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝12+2×2＝1+4＝5，所以（a+b）2＝a2+b2+2ab＝5+2×2＝9，所以a+b＝±3．故答案为：±3．12．解：（a﹣2b）2﹣2a（3a﹣4b）＝a2﹣4ab+4b2﹣6a2+8ab＝﹣5a2+4ab+4b2，故答案为：﹣5a2+4ab+4b2．13．解：∵（2020+x）（2018+x）＝55，∴（2020+x）2+（2018+x）2＝[（2020+x）﹣（2018+x）]2+2（2020+x）（2018+x）＝22+2×55＝114．故答案为114．14．解：原式＝（10.1﹣0.1）2＝102＝100．故答案是：100．15．解：（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5．（a﹣b）4＝a4﹣4a3b+6a2b2﹣4ab3+b4．故答案为：1 5 10 10 5 1，a4﹣4a3b+6a2b2﹣4ab3+b4．16．解：①∵x+y＝5，xy＝3，∴x2+5xy+y2＝（x+y）2+3xy＝52+3×3＝34；②∵x+y＝5，xy＝3，∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝52﹣2×3＝19，∴x4+y4＝（x2+y2）2﹣2x2y2＝192﹣2×32＝343．17．解：（1）原式＝（200+1）2＝2002+2×200×1+12＝40401；（2）原式＝19992﹣（1999﹣1）（1999+1）＝19992﹣19992+1＝1．18．解：（1）设3m﹣2020＝x，2019﹣3m＝y，∴x2+y2＝5且x+y＝﹣1，∴（3m﹣2020）（2019﹣3m）＝xy＝[（x+y）2﹣（x2+y2）]＝﹣2；（2）（6m﹣4039）2＝[（3m﹣2020）﹣（2019﹣3m）]2＝（3m﹣2020）2+（2019﹣3m）2﹣2（2019﹣3m）（3m﹣2020）＝x2+y2﹣2xy＝5+4＝9．。
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初中数学人教版八年级上册实用资料
完全平方公式的综合应用（习题）
➢ 例题示范
例1：已知12x x -
=，求221x x +，441x x +的值． 【思路分析】
① 观察题目特征（已知两数之差和两数之积11x x ⋅
=，所求为两数的平方和），判断此类题目为“知二求二”问题；
② “x ”即为公式中的a ，“
1x ”即为公式中的b ，根据他们之间的关系可得：2
221112x x x x x x
⎛⎫+=-+⋅ ⎪⎝⎭； ③ 将12x x -=，11x x
⋅=代入求解即可； ④ 同理，2
4224221112x x x x x x ⎛⎫+=+-⋅ ⎪⎝⎭，将所求的221x x +的值及2211x x ⋅=代入即可求解．
【过程书写】
例2：若2226100x x y y -+++=，则x =_______，y =________．
【思路分析】
此题考查完全平方公式的结构，“首平方，尾平方，二倍乘积放中央”．
观察等式左边，22x x -以及26y y +均符合完全平方式结构，只需补全即可，根据“由两边定中间，由中间凑两边”可配成完全平方式，得到22(1)(3)0x y -++=． 根据平方的非负性可知：2(1)0x -=且2(3)0y +=，从而得到1x =，3y =-． ➢ 巩固练习
1. 若2(2)5a b -=，1ab =，则224a b +=____，2(2)a b +=____．
2. 已知3x y +=，2xy =，求22x y +，44x y +的值．
3. 已知2310a a -+=，求221a a +，44
1a a +的值.
4. （1）若229x mxy y ++是完全平方式，则m =________．
（2）若22916x kxy y -+是完全平方式，则k =_______．
5. 多项式244x +加上一个单项式后，能使它成为一个整式的平方，则可以加上
的单项式共有_______个，分别是__________
______________________________．
6. 若22464100a b a b +--+=，则a b -=______．
7. 当a 为何值时，2814a a -+取得最小值，最小值为多少？
8. 求224448x y x y +-++的最值．
➢ 思考小结
1. 两个整数a ，b （a ≠b ）的“平均数的平方”与他们“平方数的平均数”相等
吗？若不相等，相差多少？
2. 阅读理解题：
若x 满足(210)(200)204x x --=-，试求22(210)(200)x x -+-的值． 解：设210-x =a ，x -200=b ，
则ab =-204，且(210)(200)10a b x x +=-+-=， 由222()2a b a ab b +=++得，
2222()2102(204)508a b a b ab +=+-=-⨯-=， 即22(210)(200)x x -+-的值为508． 根据以上材料，请解答下题：
若x 满足22(2015)(2013)4032x x -+-=， 则(2015)(2013)x x --=______．
【参考答案】
➢ 例题示范
例1．解：1
2x x -=∵
2
14x x ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭∴
222111
2426
x x x x x x
⎛⎫+=-+⋅ ⎪⎝⎭=+=∴
2
22136x x ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭∴
2
422422
1
11
236234
x x x x x x ⎛⎫+=+-⋅ ⎪⎝⎭=-=∴
例2：1 -3
➢ 巩固练习
1. 9 13
2. 5 17
3. 7 47
4. ±6 ±24
5. 5 24x - -4 8x -8x 4x
6. 8
7. 4a =时取得最小值，最小值为-2
8. 最小值为3
➢ 思考小结
1. 不相等，相差2
()4a b -
2. 2 014。