二次根式综合提高
===……二次根式单元综合提高
一、选择题
1、下列各式中，不是二次根式的是（ ）
A
B
D
2
、若a =
，5b =，则a b 、两数的关系是（ ） A ．a b 、互为相反数 B ．a b 、互为倒数 C ．5ab = D ．a b =
3、下列各数分别与（2
）相乘，结果为有理数的是（ ）
A
B
．2+ C
．2 D
．2-+4
、计算：
（ ）（不用计算器） A
． B
． C
D
．
5
）
A ．1x ；≥
B ．1x -；≥
C ．x -；
1≤≤1 D ．11x x -或≥≥． 6、正方形的面积为4，则正方形的对角线长为（ ）
A
B
． C
．．4
二、填空
7
、请你写出一个能与合并的最简二次根式 ．
8、当0a ＜
时，a 的值是 ． 9
、已知1y =
，则y x = 。
10
你发现了什么规律，请用含n （n 是正整数）的式子来表示： ．
三、计算
（1）(2-（2）-
（3） （4）+
（5）(1)(2)+ （6）)÷
（7）
))2011201222⋅
四、综合练习
11、已知：22a b =
=，，分别求下列代数式的值： （1）22a b ab -； （2）22a
ab b ++．
C D A B F E C A D
B
12、由两个等腰直角三角形拼成的四边形（如图），已知AB ＝3，求：
（1）四边形ABCD 的周长；
（2）四边形ABCD 的面积．
13、如图，扶梯AB 的坡比为4:3，滑梯CD 的坡比为1:2，设AE ＝40米，BC ＝30米，一男
孩从扶梯底走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下，共经过了多少路程？
14、如图所示，有一边长为8米的正方形大厅，它是由黑白完全相同的方砖密铺 而成。
求一块方砖的边长。
15、①已知的值。
求：22,32,32y xy x y x +++=-= ②已知12+=x ，求1
12
--+x x x 的值．
16、已知：|a-4|+09=-b ，计算22222b a ab a b ab a --⋅+的值。
17、若x x x x -⋅-=--32)3)(2(成立。
则x 的取值范围为：（ ）
A ）x ≥2
B ）x ≤3
C ）2≤x ≤3
D ） 2＜x ＜3
18、若01=++-y x x ，则20112012y x +的值为几
19、仔细观察下列计算过程：;11121,121112=∴= 同样,123211112= ;11112321=∴由此猜想=76543211234567898。
二次根式提高练习习题(含答案)
《二次根式》提高题（一）填空题：（每小题2分，共20分）1、当x __________时，式子31-x 有意义． 2、化简－81527102÷31225a ＝ ． 3、a －12-a 的有理化因式是____________．4、当1＜x ＜4时，|x －4|＋122+-x x ＝________________．5、方程2（x －1）＝x ＋1的解是____________．6、已知233x x +＝－x 3+x ，则x 的取值范围是 。
7、在实数范围内分解因式2233a a -+=______________.8、已知a 、b 、c 为正数，d 为负数，化简2222d c ab d c ab +-＝______． 9、比较大小：－721_________－341．10、化简：(7－52)2000·(－7－52)2001＝______________．11、若1+x ＋3-y ＝0，则(x －1)2＋(y ＋3)2＝____________．12、x ，y 分别为8－11的整数部分和小数部分，则2xy －y 2＝____________．（二）选择题：（每小题3分，共15分）13、已知233x x +＝－x 3+x ，则………………（ ）（A ）x ≤0 （B ）x ≤－3 （C ）x ≥－3 （D ）－3≤x ≤014、m 为实数，则245m m ++的值一定是（ ）（A ）整数 （B ）正整数 （C ）正数 （D ）负数15、设a =19－1，a 在两个相邻整数之间，则这两个整数是（ ）A ．1和2B ．2和3C ．3和4D ．4和5 16、已知a ＜b ，化简二次根式b a 3-的正确结果是（ ）A ．ab a --B ．ab a -C ．ab aD ．ab a -17、若x ＜y ＜0，则222y xy x +-＋222y xy x ++＝………………………（ ）（A ）2x （B ）2y （C ）－2x （D ）－2y18、若0＜x ＜1，则4)1(2+-x x －4)1(2-+x x 等于………………………（ ） （A ）x 2 （B ）－x2 （C ）－2x （D ）2x 19、化简aa 3-(a ＜0)得………………………………………………………………（ ） （A ）a - （B ）－a （C ）－a - （D ）a20、当a ＜0，b ＜0时，－a ＋2ab －b 可变形为………………………………………（ ）（A ）2)(b a + （B ）－2)(b a - （C ）2)(b a -+- （D ）2)(b a ---（三）计算题：21、（235+-）（235--）； 22、1145-－7114-－732+；23、 （a 2m n －m ab mn ＋m n n m ）÷a 2b 2m n ；24、（a ＋ba ab b +-）÷（b ab a +＋a ab b -－ab b a +）（a ≠b ）．25、已知x ＝2323-+，y ＝2323+-，求32234232y x y x y x xy x ++-的值．26、当x ＝1－2时，求2222a x x a x x +-+＋222222a x x x a x x +-+-＋221a x +的值．27、若x ，y 为实数，且y ＝x 41-＋14-x ＋21．求x y y x ++2－x y y x +-2的值．28、若实数,x y 满足111y x x <-+-+，求11y y --的值．29、 若a=15+， b=15-,求a 2b+ab 2的值.30、若x ，y 是实数，且314114+-+-=x x y ，求)25()4932(3xy x xy x x +-+的值。
初中数学二次根式拓展提高综合题目含答案学习资料
初中数学二次根式拓展提高综合题
一、单选题(共8道，每道12分)
1.设a,b,c都是实数,且满足,则的值为()
A.-5
B.11
C.5
D.3
答案：A
试题难度：三颗星知识点：二次根式的双重非负性
2.若,则的值为()
A. B.
C. D.
答案：D
试题难度：三颗星知识点：二次根式的双重非负性
3.化简的值为()
A.1
B.2
C.3
D.4
答案：D
试题难度：三颗星知识点：二次根式的双重非负性
4.已知,化简:结果为()
A.a
B.b
C.2b-a
D.a-2b
答案：A
试题难度：三颗星知识点：二次根式的化简求值
5.在如图所示的数轴上,点B和点C关于点A对称,A、B两点对应的实数分别是和-1,则点
C所对应的实数是()
A. B.
C. D.
答案：C
试题难度：三颗星知识点：数轴表示无理数
6.比较大小:()
A.大于
B.小于
C.等于
D.无法判断
答案：B
试题难度：三颗星知识点：比较大小
7.化简的结果是()
A. B.
C. D.
答案：A
试题难度：三颗星知识点：完全平方式的应用
8.若,则代数式=()
A.2013
B.2012
C.-2013
D.-2012
答案：C
试题难度：三颗星知识点：完全平方公式的运用。
二次根式能力拓展题(提高篇)
二次根式能力拓展题(提高篇)1、已知$m$是$2$的小数部分，求$m^2+\frac{1}{m^2}-2$的值。
2、化简：begin{enumerate}item $(1-x)^2-x^2-8x+16$item $\frac{32x^3+2x^2-x^2}{x}$item $4a-4b+(a-b)^3-a^3-a^2b$，其中$a>0$end{enumerate}3、当$x=2-\sqrt{3}$时，求$(7+4\sqrt{3})x^2+(2+3x)+3$的值。
4、先化简，再求值：$\frac{2a^3ab^3-b}{6\sqrt[3]{27a^3b^3}+2ab^4}$，其中$a=\frac{1}{9},b=3$。
5、计算：frac{1}{2+1}+\frac{1}{3+2}+\frac{1}{4+3}+\cdots+\frac{1 }{2005+2004}$$6、已知$a=2-\sqrt{3}$，先化简$\frac{a^2-2a+1}{a-2}+\frac{a^2-a}{a^2-4}$，再求值。
7、已知：$a=\frac{1}{2}+\frac{3}{2},b=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}$，求$\frac{2-3a+2b}{1-2a+2b}$的值。
8、已知：$a=3+2,b=3-2$，求代数式$a^2-3ab+b^2$的值。
9、已知$1\leq x\leq 3$，化简$x^2+x^2-6x+9$。
10、已知$a=2-\sqrt{3}$，化简求值$\frac{1-2a+a^2}{a^2-2a+1}-\frac{a^2-a}{a-1}-\frac{a}{a^2-a}$。
11、begin{enumerate}item 已知$x=2-\sqrt{3},y=2+\sqrt{3}$，求$x^2+xy+y^2$的值。
item 已知$x=2+\frac{1}{x-1}$，求$x+\frac{1}{x}$的值。
二次根式巩固与提高
思考：设： m , n 都是实数，且满足 m
n 9
2
9n
2
6
n3
。求： m n 的值
注意： a 0 , a 是个非负数 特别地， " " ,
2
2 ， " " 均为非负数，当几个非负数的和为 0 时，则每个非负数均为 0。
3）利用 ( a ) a ( a 0 ) 给多项式在实数范围内分解因式 反过来 a ( a ) ( a 0 ) ,这样任何一个非负数都能写成一个数（其正的平方根）的平方。
6
· · · 0 b 1
4、化简 (1 A、 1
2
2 ) 的结果是（
2
） C、 ( 2 1) ） B、 6
3 9 3
B、 2 1
D、 (1
2)
5、下列计算中，正确的是（ A、 2
3 2 3
C、 3 5 2 3 ( 3 2 ) 5 3
x 1 x2 x 1 x2
2 m 6
） D. a 2 , b 0
C. a 0 , b 2 或 a 1, b 1 是同类二次根式？
与6
2m 3 4
三、总结与反思：
四、课后练习：
1．下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）
4
A． a a 与
1 2
3a
B． 2 a 与 3 a ）
2
C． 3 a 与 3 a
三、计算或化简（1-4 每题 8 分，5-6 每题 10 分，计 52 分） 1、 12 18
0 .5 1 3
2、
1 2
10 ( 3 15 5 6 )
初二数学特优生暑假综合提高题二次根式、四边形、勾股、一次函数
《二次根式》综合提高一、填空题1. 若a 的算术平方根是12，则a ＝________ 2. 64的平方根为__________；--=2723_________3. 若x ≤0时，则||12--=x x _______ 4. 当a<1且a ≠0时，化简a a a a2221-+-=__________ 5、 已知xy ＝3，那么x y x y xy+的值为_________ 6、 实数a 在数轴上的位置如图所示，化简||()a a -+-=122________ 7、计算12327613++-=_______ 8、 若y x x x =-+-+36633，则10x ＋2y 的平方根为_________ 9、根式：y 2，m n2，23x y ，622()a b -，7533x y ，x y 22+，22a a 中，最简根式有____个10、在实数范围内分解因式：a a a 5356--=________ 11、 已知x>0，y>0，且x x y y --=560，则x xy yx xy y-++-=22________ 12、若式子x x x ---2232有意义，则x 的取值范围是________ 13、当0<x<1时，化简式子x x x +-=12_______ 二. 选择题1. 如果最简根式3b b a -和22b a -+是同类二次根式，那么a ，b 的值是（ ）A. a ＝0，b ＝2B. a ＝2，b ＝0C. a ＝－1，b ＝1D. a ＝1，b ＝－2 2. 化简二次根式a a a-+12的结果是（ ） A.--a 1B. ---a 1C.a +1 D. --+a 1 3. 已知：ab>0，bc<0，化简-a c b333的结果为（ ） A. ac b abc 2 B. ac b abc 2- C. --ac b abc 2 D. -acbabc 24. 已知：a b =-=+152152，，则a b 227++的值为( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 三. 化简与计算 1.-a b 3（b>0） 2. a bb a a b b a bb a b bab++⋅--+÷-()13. 先化简，再求值：()x x y y x y x y x y x++++-÷-+211，其中x =+23，y =-23a -1 0 1 24. 用简便方法计算： 已知x =+512，求x x x 331++的值。
二次根式混合运算提高题
二次根式混合运算提高题
小试牛刀
(1)( 2+1)( 2-1)；
(2)( 2- 3)2 .
再试一把： 2 + ？1 2 -1
1- 5 . 1+ 5
二次根式运算 （提高篇）
三更灯火五更鸡，正是男儿读书时； 黑发不知勤学早，白首方悔读书迟。
一：二次根式混合运算
例1、计算
(1)(3 2－1)(1＋3 2)－(2 2－1)2
23
x y x y
( 2 )已 知 ： a =1,b =1 ,求 a 2 2 a b b 2 7 的 值 5 2 5 2
三：注意二次根式运算中隐含条件
例3
已知：a＝2＋1
，
3
求
a2－1 a＋1
－
a2－2a＋1 a2－a
的值．
老师忠告
三解更题灯 示火范五—更—鸡规(，范1正步)是骤题男，目儿该读得中书的时分的；一分隐不丢含！条件为a＝ 1
(2)( 10－3)2010·( 10＋3)2010
解题示范——规范步骤，该得的分一分不丢！
迁移:
(1) 62－ 18－120；
(2)(－3)2－ 4＋12－1.
(3)已知 10 的整数部分为a，小数部分 为b，求a2－b2的值．
二：二次根式运算中的技巧
例 4 、 （ 1 ） 当 x = 1 ,y 1 时 ， 求 代 数 式x y的 值
(1)题目中的隐含条件为a＝ <1，所以
＝
2＋
<1，所以 3
a2－2a＋1 ＝
三三三更更更灯 灯 灯火火火五五五更更更鸡鸡鸡，，，正正正a是是是－男男男儿儿儿1读读读书书书2 ＝时时时；；；|a－1|＝1－a，而不是a－1；
精品 八年级数学下册 二次根式基础+综合提高题
B. a ab
C.a ab
3
Da . ab
八年级数学下册 同步提高练习
8.估算
50 2 3 的值（ 2
） C．在 6 和 7 之间 D．在 7 和 8 之间
A．在 4 和 5 之间
m 1
B．在 5 和 6 之间
9.若 m 1 有意义，则 m 的取值范围是 10.已知 x 1 1 x 有意义,则 x _____________ .
D．点 N
1 有意义，那么，直角坐标系中点 P（m，n）的位置在 - mn
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
8
八年级数学下册 同步提高练习
6.下面说法正确的是（
C. 2 与
）
B. 8 与 80 是同类二次根式 D.同类二次根式是根指数为 2 的根式
A.被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式
能力提高： 1.如果 0＜a＜ a ，那么 a 的取值范围是______ 2.计算
1 1 3 1 3 5 1 5 7 …… 1 2n 1 2n 1
的结果是_________
3.已知 a b 2 3 ， b c 2 3 ，那么 a 2 b2 c2 ab bc ac 的值是_______ 4.已知 a, b 为实数，且 1 a b 1 1 b 0 ，求 a 2005 b 2006 的值。
5.已知： x 3 2 , y 3 2 ，求
3 2 3 2
x 3 xy 2 的值。 x 4 y 2 x3 y 2 x 2 y 3
7
八年级数学下册 同步提高练习
6.若
1 17 - 12 2
的整数部分是 a。小数部分是 b，那么 a2-ab+b2 的值。
二次根式提高练习习题(含答案)
《二次根式》（一）判断题：（每小题1分，共5分）1．ab 2)2(-＝－2ab ．…………………（ ）2．3－2的倒数是3＋2．（ ）3．2)1(-x ＝2)1(-x ．…（ ）4．ab 、31b a 3、ba x 2-是同类二次根式．…（ ） 5．x 8，31，29x +都不是最简二次根式．（ ） （二）填空题：（每小题2分，共20分）6．当x __________时，式子31-x 有意义． 7．化简－81527102÷31225a ＝ ． 8．a －12-a 的有理化因式是____________．9．当1＜x ＜4时，|x －4|＋122+-x x ＝________________．10．方程2（x －1）＝x ＋1的解是____________．11．已知a 、b 、c 为正数，d 为负数，化简2222d c ab d c ab +-＝______．12．比较大小：－721_________－341．13．化简：(7－52)2000·(－7－52)2001＝______________．14．若1+x ＋3-y ＝0，则(x －1)2＋(y ＋3)2＝____________．15．x ，y 分别为8－11的整数部分和小数部分，则2xy －y 2＝____________．（三）选择题：（每小题3分，共15分）16．已知233x x +＝－x 3+x ，则………………（ ）（A ）x ≤0 （B ）x ≤－3 （C ）x ≥－3 （D ）－3≤x ≤017．若x ＜y ＜0，则222y xy x +-＋222y xy x ++＝………………………（ ）（A ）2x （B ）2y （C ）－2x （D ）－2y18．若0＜x ＜1，则4)1(2+-x x －4)1(2-+x x 等于………………………（ ） （A ）x 2 （B ）－x2 （C ）－2x （D ）2x 19．化简aa 3-(a ＜0)得………………………………………………………………（ ） （A ）a - （B ）－a （C ）－a - （D ）a20．当a ＜0，b ＜0时，－a ＋2ab －b 可变形为………………………………………（ ）（A ）2)(b a + （B ）－2)(b a - （C ）2)(b a -+- （D ）2)(b a ---（四）计算题：（每小题6分，共24分）21．（235+-）（235--）；22.1145-－7114-－732+；23.（a 2m n －m ab mn ＋m n n m ）÷a 2b 2mn ；24.（a ＋ba ab b +-）÷（b ab a +＋a ab b -－ab b a +）（a ≠b ）．（五）求值：（每小题7分，共14分）25．已知x ＝2323-+，y ＝2323+-，求32234232y x y x y x xy x ++-的值．26.当x ＝1－2时，求2222a x x a x x+-+＋222222a x x x a x x +-+-＋221a x +的值．六、解答题：（每小题8分，共16分）27．计算（25＋1）（211+＋321+＋431+＋…＋100991+）．28.若x ，y 为实数，且y ＝x 41-＋14-x ＋21．求x y y x ++2－xy y x +-2的值．。
八年级数学下册专题复习：《二次根式》的巩固与提升分专题例谈
《二次根式》的巩固与提升分专题例谈赵化中学 郑宗平在数式相关的题型中，含二次根式的题是同学们感到比较头疼的，特别是其综合解答题的正确率也比较低；二次根式涵盖知识点多，解答的技巧性强；不但在代数中占据很重要的位置，而且有时在几何计算中也常能发挥很关键的作用，二次根式是很能考查同学们在初中阶段的数学素养的；下面我“分类”例举的一部分题型是对二次根式的巩固与提升，让我们来共同探究.一、善于挖掘隐含条件，准确的“移进”和“移出”.例（ ）A.--分析a 0≤的条件.这是因为根据二次根式的定义可知3a 0-≥，所以a 0≤==-，故选C.例2.把(a 1- .分析：(a 1-101a>-的条件，所以1a 0->，可得a 1<，所以a 10-<；所以 ()a 11a -=--=则(a 1-===故应填-.点评：关于二次根式的根号内外的“移进”和“移出”，关键是要抓住二次根式的被开方数是a 进行“移进”和“移出”的变形化简；这类题在考试中常出现在考题的填空和选择题中，是正确率比较低的热点考题.追踪练习：1.把下列各式化简：①；②.2.把根号外的因式“移入”根号内：①...(x 1-.-二、利用二次根式中的算术平方根的双重非负数性[ )a 0≥有a 00≥]巧解题例1.x y 、6y =-，求1x y -的值？分析：根据式子有13x 03x 10-≥⎧⎨-≥⎩，从中可求得x 的值，进一步求得y 的值，使问题得以解决.略解：根据题意可知：13x 03x 10-≥⎧⎨-≥⎩ 解得：1x 3=；把1x 3=6y-有：6y -，解得：y 6= 所以111x y 636183--⎛⎫=⨯=⨯= ⎪⎝⎭.例2.已知：2a 12a +=，求20151ab 2⎛⎫⎪⎝⎭的值？分析：2a 2a 10-+=()2a 10-=，利用非负数的性质可求得ab 、的值.略解：2a 2a 10-+= ，进一步可得()2a 10-=0≥，()2a 10-≥∴ ()2a 10⎧-=⎪ ∴a 10a b 10-=⎧⎨++=⎩ 解得：a 1b 2=⎧⎨=-⎩∴()()20152015201511ab 121122⎛⎫⎡⎤=⨯⨯-=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.例3.的值？分析：本题显得比较抽象，似乎难以找到突破口，但题中有二次根式这一重要特点，所以抓住23a 0-≥，可求得a0=. 略解：23a 0-≥，可得a 0≤ ；又∵a 0≥ ∴a 0= ∴原式32106+++=.点评：二次根式的算术平方根的双重非负数性是属于考试中的高频考点，这个知识点容易与其它知识点联姻构成有一定含金量的综合题，而双重非负数性在其中扮演的往往是关键角色，上面的几道例题就是要抓住算术平方根及其被开方数都是非负数的破题；比如很多同学对于例3这类题不知从何入手，但只要抓住本题是二次根式构建的，从被开方数是非负数这点入手，就可以隐藏在其中的a 的值挖出来，从而使问题得以解决.追踪练习：1.已知y=2.已知a 40-+=,化简并求22222a ab a abb a b +-+-的值？3.若2m 6m 9-+xy 的值？ 4.5.已知2014a a -+=，试求2a 2014-的值？三、逆用()2a a 0=≥即()2a a 0=≥巧化简.例1.化简： 分析：根据题中式子可知,a 0b 0≥≥，∴,22a b ==∴22a b -=-=,L等，即逆用()2a a 0=≥可以巧化简.略解：原式=()()222222⎛⎫-⎪+⎪⎪⎭=22⎛⎫+=ab+⋅=abab++=ab ab-==a bab+-例2.分析：本题按常规可以把分母中根号化去，但若用()2aa 0=≥可以进行巧算，更简捷.分子分别有)231=，22253=-=-=.略解：原式=21=-=点评：逆用()2a a 0=≥即()2a a 0=≥来化简、计算或分解因式等往往能起到“四两破千斤”的作用.比如例2的计算化简（主要把分母中的根号化去，即分母有理化），按常规方法要分子和分母要同时乘以有理化因式，在计算中是容易出错的，但用()2a a 0=≥进行巧算，可以做到快速准确.追踪练习：1.. 2.化简：⎫3.已知：y18=a 计算或化简.例1.若0m 1<<111m 1m⎛⎫+⨯ ⎪+⎝⎭. 分析：本题关键是含二次根号的部分化简.的221m 2m+-可以借助因式分解的方法化成21m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭a=来可将根号化去.略解：∵0m 1<<2111m m m m m m -=-=-=∴原式=()()21m 1m 1m 11m 11m1m m 1m m m 11m 1m +---⎛⎫⨯+⨯=⨯⨯= ⎪++++⎝⎭. 例2.若ab c 、、为ABC 的三边.分析：a的部分的正负情况是本题的关键，根据三角形三边之间的关系可以搞定.略解：∵a b c、、为ABC的三边∴,,a0b0c0>>>；a b c-<；b c a+>；c b a-<.∴,,,a b c0a b c0b c a0c b a0++>--<+->--<∴原式=a b c a b c b a c c b a+++--+-+---=a b c a b c b a c c b a++-+++-++--=2a2b4c-++例3.分析：双重二次根式的计算或化简往往是同学们感到比较抽象的.其实关键也是把被开方数部分化成“平方”的形式，本题比较抽象的是被开方数部分是两“项”，但我们若用“拆项”的技巧，可以使问题得以解决.也就是2532-=-=-，此时被开方数可以化成2a=来可将外层根号化去.==点评：a=也是属于考试中的高频考点，这个知识点更容易与其它知识点联姻构成的综合题，本专题的前面两道例题就这方面的题型. 《二次根式》一章“几乎所有”涉及a=的这个二次根式的性质.a抓住这几个环节:首先想办法把被开方数写成2a的形式；a；最后根据绝对值的代数意义[ 即()()a a0aa a0⎧≥⎪=⎨-≤⎪⎩] 来化简.追踪练习：1.计算：①(()2101---+；②.2. 实数m n、如图所示：请化简+3. 1=a？五、利用幂的运算法则、乘法公式等进行二次根式的计算或化简.例.计算：1.))2015201544；2.(21+； 3..分析：本例的3道小题都是幂的运算法则、乘法公式在二次根式中的稍难运算的运用.1小题逆用积的乘方的法则和平方差公式进行计算；2小题可以把括号的其中两项看成一个整体，然后里利用完全平方公式计算；3小题抓住两个括号里的“项”相同．．和互为相反数．．．．．的特征，利用平方差公式可以进行简便运算.略解：1.原式)()()222201520152444151611⎡⎤⎡⎤==-=-=-=-⎢⎥⎣⎦⎣⎦；2.原式((2221116⎡=+=-+-+==-⎣L3.原式22235⎡⎡==-=+-=⎣⎣点评：二次根式的运算中，以前学习过的法则、运算律以及乘法公式同样适用.本专题的三个例子都是同学们感到有一定难度的计算题，但是我们运用幂的运算法则、乘法公式使其运算过程大大简化了；运用幂的运算法则、乘法公式要注意两点：其一.运算式子有没有符合法则和公式的结构特征；其二.要有整体的思想.追踪练习：1.计算：①.；②.2⎝⎭；③.2；④.(21；⑤. ))2015201622；⑥. (11+.2. .计算：22-.六、含二次根式的代数式的整数部分与小数部分例.已知a是1-b5+的小数部分，c abc的值？分析：由..,14014123<<可得：,,61575823-<--<<<<.由此根据题中的条件可以分别确定题中a b c、、的值.略解：∵..,14014123<<∴,,61575823-<-<-<<∴,,a5b572c2=-=-==11-mn∴())()()()22abc 522522256450⎡⎤=-=--+=--=⎢⎥⎣⎦点评：含二次根式的代数式的值的整数部分与小数部分的确定，关键是确定根式部分值的范围，然后在此基础上确定整个代数式的值的范围，使其整数部分与小数部分得以确定；特别要注意其小数部分往往是一个含二次根式的式子，它是整个式子减去整数，比如上面b c 、的值的确定：,b 572c 2-==，除非题有要求，小数部分不要写成一个近似的小数，而是一个含二次根式的式子，这正是这类题的“魅力”所在，是众命题人青睐和关注的原因.追踪练习：1.若x y 、分别是822xy y -的值？ 2.已知a b 、分别为6-2a b -的值？3.5+的小数部分是a，5b ，求ab 5b +的值？4.的整数部分为a ，小数部分为b ，求22a b +的值？5.已知x是6y2的小数部分，z是)12--的整数部分，求22x z y z -的值？6. 周六，小华的妈妈和小华作了一个小游戏.小华的妈妈说：“你现在学习了二次根式，若m 表n表示它的小数部分，我这个钱包里的钱数是)m n ⋅元，你猜一下这个钱包的钱数是多少？若猜对了，钱包里的钱就由你支配.”你能运用数学知识帮小华获得支配权吗？七、整体代换·巧变求值.例1.已知x 5y 5=-=+，求223x 5xy 3y ++的值？分析：从要求值的式子特征来看，若直接代入求值计算过程比较繁琐；若从223x 5xy 3y ++变形即()2223x 6xy 3y xy 3x y xy ++-=+-，从已知整体求出xy 和x y +的值，整体代入过程便变得简捷了.略解：∵x 5y 5=-=+∴(((,xy 5525241x y 5510=-+=-=+=-++= ∴原式()22223x 6xy 3y xy 3x y xy 31013001299=++-=+-=⨯-=-= 例2.已知a b =2a b +的值.分析：从要求值的式子特征来看，是以ab 和a b +为架构的；恰巧a b 、互为倒数，所以我们可以先整体求出ab 和a b +的值，在此基础上求代数式的值便轻松了.略解：∵a b=∴((,22ab 1a b 22434314==+==+=++-=L L2a b 11961961196195++==--点评：上面两道题如果直接代入求值，计算量比较大，而且容易出错，通过观察已知和要求的值的式子，发现都可以变形和化简，若运用整体的代换的思想， “两头凑”，也就比较容易求出式子的值.追踪练习：1.若x 2=-2x 4x 6--的值？2.已知：,11a b 22==，求：①.22a ab b -+的值；②.a bb a+的值.3.已知：x y y z -=-，求222x y z xy xz yz ++---的值？八、稍复杂的含二次根式的代数式值的大小比较例.的大小.分析：若我们采用“倒数法”，倒数值大的反而小，问题便可以解决.略解：设m n ==，则m n===∴m n > ∴11m n<点评：平时我们常用“近似数法”、“平方法”和“比差法”等来比较含二次根式的代数式值的大小，但稍微复杂的，这些方法就不管用了，所以必须突破常规才能解决问题.比如本题采用“倒数法”， 通过分母有理化分别求出原式的倒数值，比较其倒数的大小，从而比较原式值的大小.追踪练习：1.比较大小：()--（填“>”或“<”或“=”）2.()（填“>”或“<”或 “=”）3..4.设a ＞b ＞c ＞d ＞0且，x y z ===．试比较x 、y 、z的大小关系．九、解含无理系数的方程（组）和不等式（组）例1.解x 1+ 分析：本题关键是未知数的系数含有无理数，在系数化为1的时候要特别注意系数的正负情况，同时要注意将结果中分母中的根号化去，即分母有理化.略解：由x 1+得x 1>∴(1x 1>∵10<∴x =∴x 1=--例2.解方程组：2y +=+=分析：解二元一次方程组的方法消元.关键是本题未知数的系数含有无理数，这种特点的方程组若采用代入消元法，过程较为繁琐，一般采用加减法消元.略解：①3y += ③③-②得：y =将y ==解得：x∴原方程组的解是x y ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩点评：解含无理系数的方程（组）和不等式（组）都要注意结果要把分母中的根号化去（即分母有理化），解含无理系数的方程（组）一般采用加减法更简捷，而解含无理系数的不等式（组）要注意的是系数化为1时系数的正负性.追踪练习：1.1+2.解方程组：11+==十、几何计算中的二次根式运算或化简例1.若一个矩形的的周长为cm，一边长为cm ，求另一边长和此矩形的面积？分析：根据矩形的的周长可以先求出两邻边的和（即长与宽的和），再用两邻边的和减去已知的一边长；根据矩形的面积公式可求得矩形的面积. 略解：根据题意和矩形的周长公式可知另一边为：1111122222-=⨯⨯=此矩形的面积为：66==-=故矩形另一边长为(cm ，而矩形的面积为2例2.如图，在方格纸中的小正方形的面积为1，ABC 的三个顶点都在小正方形的格点上，小刚通过观察探究得出如下结论： ①.△ABC 的形状是等腰三角形；②.△ABC的周长是③.△ABC 的面积是5；④.点C 到AB ⑤.直线EF 是线段BC 的垂直平分线.你认为刚观察的结论正确的序号有 .解析：结合图形和已知条件可以求出方格纸中的小正方形的边长为1，再根据勾股定理可计算出ABC 的三边长分别为故①正确，②错误；ABC 的面积由间接计算得到：11333122422⨯-⨯⨯-⨯⨯=，故③错误；利用三角形的等积法：1AB h 42⋅=，h 4=，解得h 故④正确；根据垂直平分线的判定并结合图象可知EF 是线段BC 的垂直平分线，⑤正确.故选①④⑤.点评：几何的相关计算中往往要通过二次根式的计算或化简来解决不在少数，是中考和各类考试的热点考题；这类题型把二次根式的计算或化简和勾股定理即其它几何知识很好结合在一起考察，是数形结合等思想方法较好体现.追踪练习：1.如图在四边形ABCD 中，,,1AB BC DC BC AE CD BC 4⊥⊥===求四边形ABCD 的周长和面积？2.如图一块长方形场地ABCD 的长AB 与宽AD1，DE ⊥AC于点E ，BF ⊥AC 于点F ，连结BE 、DF ；现计划在四边形DEBF 区域内（阴影部分）种植花草，求四边形DEBF 与长方形ABCD 的面积之比.3.已知边长为1的正方形OABC 在直角坐标系中，B C 、两点在第二象限内，OA 与x 轴的夹角为60°，求出点B 点坐标.。
二次根式的概念和性质(提高)知识讲解
二次根式的概念和性质（提高）知识讲解【学习目标】1、理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由.2、理解并掌握下列结论：，，，并利用它们进行计算和化简．3、理解并掌握同类二次根式和最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简. 【要点梳理】要点一、二次根式及代数式的概念 1.二次根式：一般地，我们把形如(a ≥0)•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．要点诠释：二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.2.代数式：形如5，a ，a+b ，ab ，，x 3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式. 要点二、二次根式的性质 1、； 2.；3..要点诠释： 1.二次根式(a ≥0)的值是非负数。
一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，即2(0a a a =≥）.2a 2()a 要注意区别与联系：1).a 的取值范围不同，2)a 中a ≥02a a 为任意值. 2).a ≥0时，2()a 2a a ；a <0时，2)a 2a a -.要点三、最简二次根式（1）被开方数不含有分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：（1) 被开放数是分数或分式；（2）含有能开方的因数或因式.要点四、同类二次根式1. 定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.要点诠释：(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关. 2.合并同类二次根式合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似). 要点诠释：(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式. 【典型例题】类型一、二次根式的概念1．（天津期末）已知y=+﹣4，计算x ﹣y 2的值．【思路点拨】根据二次根式有意义的条件可得：，解不等式组可得x 的值，进而可求出y的值，然后代入x ﹣y 2求值即可． 【答案与解析】解：由题意得：，解得：x=， 把x=代入y=+﹣4，得y=﹣4，当x=，y=﹣4时x ﹣y 2=﹣16=﹣14．【总结升华】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数． 举一反三【变式】方程480x x y m -+--=，当0y >时，m 的取值范围是（ ）A ．01m << B.m ≥2 C.2m < D.m ≤2【答案】 C.类型二、二次根式的性质2.根据下列条件，求字母x 的取值范围：(1)； (2).【答案与解析】(1)(2)【总结升华】二次根式性质的运用.举一反三【变式】（铁东区校级月考）问题探究：因为，所以，因为，所以请你根据以上规律，结合你的以验化简下列各式：（1）；（2）．【答案】解：（1）==；（2）==．3. （罗平县校级模拟）已知，1≤x≤3，化简：=_______.【思路点拨】由题意1≤x≤3，可以判断1﹣x≤0；x﹣3≤0，然后再直接开平方进行求解．【答案】2.【解析】解：∵1≤x≤3，∴1﹣x≤0，x﹣3≤0，∴=x﹣1+3﹣x=2.【总结升华】此题主要考查二次根式的性质和化简，计算时要仔细，是一道基础题．【高清课堂：高清ID号： 381279关联的位置名称（播放点名称）：经典例题4】4.已知c b a ,,为三角形的三边，则222)()()(a c b a c b c b a -++--+-+=． 【答案】a b c ++. 【解析】c b a ,,为三角形的三边,0,0,0a b c b c a b c a ∴+->--<+->,即原式=a b c a c b b c a +-++-++-=a b c ++. 【总结升华】重点考查二次根式的性质：的同时，复习了三角形三边的性质.类型三、最简二次根式5.已知0<a <b ,化简2232232a b b ab aa b a b a b+-+-+.【答案与解析】原式=222()()a b b a a b a b a b +--+=1()()()a b b a a b a b ab a b a b +-⨯+⨯-++=1a b ab-+. 【总结升华】2a a =成立的条件是a >0;若a <0,则2a a =-.类型四、同类二次根式6. 如果两个最简二次根式和是同类二次根式，那么a 、b 的值是( ) A.a =2，b =1 B.a =1，b =2 C. a =1，b =-1 D. a =1，b =1【答案】 D. 【解析】根据题意，得,解之，得，故选D.【总结升华】同类二次根式必须满足两个条件：(1)根指数是2；(2)被开方数相同；由此可以得到关于a 、b 的二元一次方程组，此类问题都可如此.举一反三【变式】若最简根式与根式是同类二次根式，求a 、b 的值．【答案】同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；•事实上，根式不是最简二次根式，因此把化简==|b|×由题意得，∴，∴a =1，b=1.二次根式的概念和性质（提高）巩固练习【巩固练习】一、选择题1. （贵港）式子在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．x ＜1B ．x ≤1C ．x ＞1D ．x ≥1 2.使式子有意义的未知数x 有( )个A ．0B ．1C ．2D ．无数 3. 把mm 1-根号外的因式移到根号内，得（ ）． A ．m B ．m -C ．m --D ．m -4.（蓬溪县校级模拟）下列四个等式：①2(4)4-=；②（﹣）2=16；③（）2=4；④2(4)4-=-．正确的是（ ） A.①② B.③④ C.②④ D.①③5. 若 ，则等于（ ） A ．B ．C ．D ．6.将a a --中的a 移到根号内，结果是（ ） A ．3a -- B. 3a - C.3a - D.3a 二. 填空题7. 若最简二次根式与是同类二次根式，则.8. （江干区一模）在，，，﹣，中，是最简二次根式的是_________.9.已知，求的值为____________.10.若，则化简的结果是__________.11. 观察下列各式：，，,……请你探究其中规律,并将第 n(n ≥1)个等式写出来________________.12. （乐山）在数轴上表示实数a 的点如图所示，化简+|a ﹣2|的结果为 ．三. 综合题13. 已知x x y 211221-+-+=，求22y xy x ++的值. 14. 若时，试化简.15. （武昌区期中）已知a 、b 、c 满足+|a ﹣c+1|=+，求a+b+c 的平方根．【答案与解析】一、选择题 1．【答案】C.【解析】依题意得：x ﹣1＞0，解得x ＞1．2．【答案】B. 3．【答案】C. 4．【答案】D. 【解析】解：①==4，正确；②=（﹣1）2=1×4=4≠16，不正确；③=4符合二次根式的意义，正确； ④==4≠﹣4，不正确．①③正确．故选：D ．5．【答案】D. 【解析】 因为=22(4)a +，即222(4)4A a a =+=+.6．【答案】 A.【解析】因为a ≤0，所以a a --=23()()a a a a a ---=---=--.二、填空题 7.【答案】1；1. 【解析】12,1;2534a a a b a +=∴=+=+又，所以1b =. 8.【答案】52. 9.【答案】5.【解析】23100x x x -+=∴≠,13,x x ∴+=即21()9x x+=,2217x x ∴+=，即原式=725-=. 10.【答案】3.【解析】因为原式=21x x -++=213x x -++=.11．【答案】 11(1)22n n n n +=+++ . 12．【答案】 3.【解析】由数轴可得：a ﹣5＜0，a ﹣2＞0，则+|a ﹣2|=5﹣a +a ﹣2=3．三、解答题 13.【解析】因为1+21122y x x =--2x-1≥0,1-2x ≥0，即x=12，y=12则2234x xy y ++=. 14.【解析】 因为，所以原式==23523510x x x x x x x -+++-=-+++-=-. 15.【解析】解：由题意得，b ﹣c ≥0且c ﹣b ≥0，所以，b ≥c 且c ≥b ， 所以，b=c ，所以，等式可变为+|a ﹣b+1|=0，由非负数的性质得，，解得，所以，c=2， a+b+c=1+2+2=5， 所以，a+b+c 的平方根是±．。