考点07 期中训练之函数的概念和性质1(原卷版)
第01讲 一次函数的概念、图像与性质(考点与练习)(原卷版)
第01讲 一次函数的概念、图像与性质一、一次函数的概念1、概念：一般地，解析式形如y kx b =+（k 、b 是常数，且0k ≠）的函数叫做一次函数。
定义域：一切实数。
2、一次函数与正比例函数的关系：正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数。
3、常值函数一般的，我们把函数()y c c =为常数叫做常值函数。
二、一次函数的图像与性质1、 一次函数的图像：一般地，一次函数y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的图像是一条直线．一次函数y kx b =+的图像也称为直线y kx b =+，这时，我们把一次函数的解析式y kx b =+称为这一直线的表达式．画一次函数y kx b =+的图像时，只需描出图像上的两个点，然后过这两点作一条直线． 2、 一次函数的截距：一条直线与y 轴的交点的纵坐标叫做这条直线在y 轴上的截距，简称直线的截距，一般地，直线y kx b =+（0k ≠）与y 轴的交点坐标是(0)b ，，直线y kx b =+（0k ≠）的截距是b ．3、 一次函数图像的平移：一般地，一次函数y kx b =+（0b ≠）的图像可由正比例函数y kx =的图像平移得到．当0b >时，向上平移b 个单位；当0b <时，向下平移b 个单位．（函数平移口诀简记为：“上加下减，左加右减”） 4、 直线位置关系：如果12b b ≠，那么直线1y kx b =+与直线2y kx b =+平行．反过来，如果直线11y k x b =+与直线22y k x b =+平行，那么12k k =，12b b ≠．5、一次函数的增减性：一般地，一次函数y kx b =+（,k b 为常数，0k ≠）具有以下性质：当0k >时，函数值y 随自变量x 的值增大而增大，图像为上升； 当0k <时，函数值y 随自变量x 的值增大而减小，图像为下降． 6、一次函数图像的位置情况：直线y kx b =+（0k ≠，0b ≠）过(0,)b 且与直线y kx =平行，由直线y kx =在平面直角坐标系内的位置情况可知：（要用图像的平移推导可得） 当0k >，且0b >时，直线y kx b =+经过一、二、三象限； 当0k >，且0b <时，直线y kx b =+经过一、三、四象限； 当0k <，且0b >时，直线y kx b =+经过一、二、四象限； 当0k <，且0b <时，直线y kx b =+经过二、三、四象限．考点一：一次函数识别【例题1】（2021·上海普陀·八年级期中）下列四个函数中，一次函数是（ ） A ．y ＝x 2﹣2xB ．y ＝x ﹣2C ．11y x=+D ．y x +1【变式训练1】（2021·上海奉贤·八年级期中）下列函数中是一次函数的是（ ） A ．y ＝2x B ．2y x=C ．y ＝x 2D ．y ＝kx +b （k ，b 为常数）考点二：根据一次函数的定义求参数【例题2】（2021·上海市川沙中学南校八年级期中）当k ______时，y kx x =+是一次函数．【变式训练1】（2021·上海普陀·八年级期中）若函数y=(m-2)x+5是一次函数，则m 满足的条件是____________．【变式训练2】（2021·上海民办华二宝山实验学校八年级阶段练习）已知关于x 函数224(5)1m y m x m -=-++，若它是一次函数，则m =______.考点三：求一次函数的自变量与值域【例题3】（2021·上海杨浦·八年级期末）如果点A(3,)a 在一次函数31yx 的图像上，则a =__________．【变式训练1】（2021·上海市川沙中学南校八年级期中）已知一次函数24y x =+的图象经过点(),8A m ，那么m 的值等于______． 考点四：列一次函数的解析式并求值【例题4】（2021·上海市松江区新桥中学八年级期中）汽车油箱中现有汽油60升，若每小时耗油10升，则油箱中剩余油量y （升）与燃烧的时间x （小时）之间的函数关系式是______．【变式训练1】（2020·上海浦东新·八年级期末）汽车以60千米/时的平均速度，由A 地驶往相距420千米的上海，汽车距上海的路程s （千米）与行驶时间t （时）的函数关系式是_____．考点五：一次函数平移【例题5】（2021·上海市松江区新桥中学八年级期中）将直线112y x =--向上平移4个单位所得的直线表达式为______．【变式训练1】（2021·上海杨浦·八年级期中）将一次函数y ＝2x ﹣3的图象向上平移___个单位后，图象过原点．【变式训练2】（2021·上海浦东新·八年级期末）如果将函数31y x =-的图象向上平移3个单位，那么所得图象的函数解析式是________． 考点六：一次函数与坐标轴交点【例题6】（2021·上海普陀·八年级期末）将平面直角坐标系中一次函数的图像与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标轴三角形．如图中的一次函数图像与,x y 轴分别交于点,,A B 那么ABO 为此一次函数的坐标轴三角形．一次函数142y x =-+的坐标轴三角形的面积是_____．【变式训练1】（2021·上海杨浦·八年级期中）一次函数y ＝﹣2x ﹣3的截距是_____． 【变式训练2】（2021·上海·八年级期中）直线36y x =-与坐标轴所围成的三角形的面积是_____．【变式训练3】（2021·上海奉贤·八年级期末）直线21y x =-与x 轴交点坐标为_____________．考点七：根据一次函数解析式判断其经过象限【例题7】（2021·上海·上外附中八年级期末）一次函数y ＝2（x +1）﹣1不经过第（ ）象限 A ．一B ．二C ．三D ．四【变式训练1】（2021·上海徐汇·八年级期末）一次函数21y x =-+的图象经过哪几个象限（ ）A ．一、二、三象限B ．一、二、四象限C ．一、三、四象限D ．二、三、四象限 【变式训练2】（2021·上海崇明·八年级期末）一次函数53y x =-+的图象不经过（ ）． A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【变式训练3】（2021·上海金山·八年级期末）在直角坐标系中，一次函数y ＝12x ﹣1的图像不经过第____象限．考点八：已知函数经过的象限求参数范围【例题8】（2019·上海市西延安中学八年级期中）在同一真角坐标平面中表示两个一次函数y 1=kx +b ，y 2=−bx +k ，正确的图像为（ ）A ．B ．C ．D ．【变式训练1】（2020·上海市奉贤区弘文学校八年级期末）正比例函数()0y mx m =≠的图像在第二、四象限内，则点（--1m m ，）在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【变式训练2】（2020·上海金山·八年级阶段练习）在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象如图所示，则k 和b 的取值范围是（ ）A ．k ＞0，b ＞0B ．k ＞0，b ＜0C ．k ＜0，b ＞0D ．k ＜0，b ＜0【变式训练3】（2019·上海市闵行区七宝第二中学八年级期中）如果关于x 的一次函数(3)y m x m =-+的图像不经过第三象限，那么m 的取值范围________.【变式训练4】（2021·上海静安·八年级期末）已知一次函数y ＝（k ﹣1）x ＋1的图像经过第一、二、三象限，那么常数k 的取值范围是____．【变式训练5】（2021·上海·上外附中八年级期末）一次函数y ＝（2m ﹣1）x +m ﹣7的图像不经过第二象限，则m 的取值范围是 ___．【变式训练6】（2017·上海嘉定·八年级期中）若正比例函数25m m y mx +-=的图像经过第二、四象限，则m =____________【变式训练7】（2018·上海普陀·八年级期末）如果关于x 的一次函数y ＝mx +(4m ﹣2)的图象经过第一、三、四象限，那么m 的取值范围是_____． 考点九：已知两条直线位置关系求参数【例题9】直线2(13)(22)y k x k =-+-与已知直线21y x =-+平行，且不经过第三象限，求k 的值．1.已知一次函数21544m y x +=-与233my x =-+的图像在第四象限内交于一点，求整数m 的值．2.已知两个一次函数144b y x =--和212y x a a=+；（1）a、b为何值时，两函数的图像重合?（2）a、b满足什么关系时，两函数的图像相互平行?（3）a、b取何值时，两函数图像交于x轴上同一点，并求这一点的坐标．3.（1）一次函数3y x b=+的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为48，求b的值；（2）一次函数y kx b=+的图像与两坐标围成的三角形的面积是105，求一次函数的解析式．4.1）求直线14222y x y x=-=+和与y轴所围成的三角形的面积；（2）求直线24y x=-与直线31y x=-+与x轴所围成的三角形的面积．5.如图，已知由x轴、一次函数4(0)y kx k=+<的图像及分别过点C（1，0）、D（4，0）两点作平行于y轴的两条直线所围成的图形ABDC的面积为7，试求这个一次函数的解析式．6.在式子()y kx b k b =+，为常数中，3119x y -≤≤≤≤当时，，kb 求的值．7.已知一次函数1121y x k =+-中y 随x 的增大而增大，它的图像与两坐标轴构成的直角三 角形的面积不超过32，反比例函数23k y x-=的图像在第二、四象限，求满足以上条件的k 的 整数值．8.如图，已知函数1y x=+的图象与y轴交于点A，一次函数y kx b=+的图象经过点B（0，1-），并且与x轴以及1y x=+的图象分别交于点C、D；（1）若点D的横坐标为1，求四边形AOCD的面积（即图中阴影部分的面积）；（2）在第（1）小题的条件下，在y轴上是否存在这样的点P，使得以点P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形；如果存在，求出点P坐标；如果不存在，说明理由；（3）若一次函数y kx b=+的图象与函数1y x=+的图象的交点D始终在第一象限，则系数k 的取值范围是________（请直接写出结果）题组A 基础过关练一、单选题1.下列关于x的函数中，是一次函数的是（）222211.3(1) (3)A y xB y xC y xD y x xx x=-=+=-=+-2.正比例函数y=(1－2m)x的图象经过点（x1，y1）和点（x2，y2）当x1＜x2时，y1＞y2，则m的取值范围是（）A．m<0 B．m>0 C．m＜12D．m＞123．（2018·上海金山·八年级期中）一次函数51y x=-的图像经过的象限是（）A．一、二、三B．一、三、四C．二、三、四D．一、二、四分层提分4．（2018·上海金山·八年级期中）一次函数图像如图所示，当2y >时，x 的取值范围是（ ）A ．0x >B ．0x <C ．2x >D ．2x <5．（2020·上海浦东新·八年级期末）直线y ＝2x ﹣1在y 轴上的截距是（ ） A ．1 B ．﹣1C ．2D ．﹣2二、填空题6．（2019·上海普陀·八年级期中）如果将直线22y x =-向上平移3个单位，那么所得直线的表达式是___________．7．（2019·上海普陀·八年级期末）已知直线(2)3y k x =-+与直线32y x =-平行，那么k =_______．题组B 能力提升练1.一次函数(2)3y k x k =-+-的图像能否可以不经过第三象限?为什么?2.已知直线26x y k -=-+和341x y k +=+，若它们的交点第四象限，那么k 的取值范围是______________．3.如图，据函数y kx b =+的图像，填空：（1） 当1x =-时，y =____________；（2） 图像与坐标轴的交点坐标是_________________； （3） 当24x -≤≤时，y 的取值范围是______________．4.根据下列条件求解相应函数解析式： （1）直线经过点(45)，且与y=2x +3轴无交点； （2）直线的截距为3(123)．5.已知函数1y x =+与3y x =-+，求： （1）两个函数图象交点P 的坐标．（2）这两条直线与x 轴围成的三角形面积．6.把一次函数的图像向上平移323y x =-，求平移前的函数图像与函数23y x =--题组C 培优拔尖练1.直线31y =+和x 轴、y 轴分别相交于点A 、点B ，以线段AB 为边在第一象限内作等边三角形ABC ，如果在第一象限内有一点P （12m ，）且△ABP 的面积与△ABC 的面积相等，求m 的值．2.函数12y y y =+且12y x m =+，2131y x m =+-． （1）若12y y 与图像的交点的纵坐标为4，求y 关于x 的函数解析式；（2）若（1）中函数y 的图像与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，若将此函数绕A 点顺时针旋转90°后交y 轴于C 点，求直线AC 的解析式．3.如图所示，直线323y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，D 是y 轴上的一点，若将DAB ∆沿直线DA 折叠，点B 恰好落在x 轴正半轴上的点C 处，求直线CD 的解析式．4.直线31y =+与x 轴、y 轴分别交于点A 、点B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰Rt ABC ∆，且90BAC ∠=，如果在第二象限内有一点P （a ，12），且ABP ∆的面积与Rt ABC∆的面积相等，求a 的值．。
函数的概念与性质练习1
函数的概念与性质练习1
函数是一种特殊的数学关系，它把一个自变量或多个自变量映射到一个固定的值。
这意味着，给定不同的输入，函数都会返回相同的值。
函数有如下特征：
1. 定义域：函数定义域是自变量可以取的值的集合。
它是必要的，因为它限定了函数可以接受的输入。
2. 值域：函数的值域是所有可能的函数输出的集合。
3. 增函数：增函数是当自变量的值增加时，函数输出值也增加的函数。
4. 减函数：减函数是当自变量的值减小时，函数输出值也减小的函数。
5. 奇函数：奇函数是当自变量的值改变时，函数输出值的正负号也会改变的函数。
6. 对称函数：对称函数是指当自变量的值变化时，函数的输出值仍保持不变的函数。
函数的基本性质(复习讲义)(解析版)-中考数学重难点题型专题汇总
题型七--函数的基本性质（复习讲义）【考点总结|典例分析】考点01一次函数一、正比例函数的概念一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做正比例系数．二、一次函数1.一次函数的定义一般地，形如y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的函数叫做x的一次函数.特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时，y=kx（k是常数，k≠0）．这时，y叫做x的正比例函数．2.一次函数的一般形式一次函数的一般形式为y=kx+b，其中k，b为常数，k≠0．一次函数的一般形式的结构特征：（1）k≠0，（2）x的次数是1；（3）常数b可以为任意实数.3.注意（1）正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数.（2）一般情况下，一次函数的自变量的取值范围是全体实数.（3）判断一个函数是不是一次函数，就是判断它是否能化成y=kx+b（k≠0）的形式.三、一次函数的图象及性质1．正比例函数的图象特征与性质正比例函数y=kx（k≠0）的图象是经过原点（0，0）的一条直线．k 的符号函数图象图象的位置性质k>0图象经过第一、三象限y 随x 的增大而增大k <0图象经过第二、四象限y 随x 的增大而减小2.一次函数的图象特征与性质（1）一次函数的图象一次函数的图象一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过点(0，b)和(-bk，0)的一条直线图象关系一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到；b>0，向上平移b 个单位长度；b<0，向下平移|b|个单位长度图象确定因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两点即可（2）一次函数的性质函数字母取值图象经过的象限函数性质y=kx+b (k≠0)k>0，b>0一、二、三y 随x 的增大而增大k>0，b<0一、三、四y=kx+b (k≠0)k<0，b>0一、二、四y 随x 的增大而减小k<0，b<0二、三、四3.k，b 的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=-b k ，即直线y=kx+b 与x 轴交于（–bk，0）．①当–bk>0时，即k，b 异号时，直线与x 轴交于正半轴．②当–bk=0，即b=0时，直线经过原点．③当–bk<0，即k，b 同号时，直线与x 轴交于负半轴．4.两直线y=k 1x+b 1（k 1≠0）与y=k 2x+b 2（k 2≠0）的位置关系：①当k 1=k 2，b 1≠b 2，两直线平行；②当k 1=k 2，b 1=b 2，两直线重合；③当k 1≠k 2，b 1=b 2，两直线交于y 轴上一点；④当k 1·k 2=–1时，两直线垂直．四、待定系数法1．定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而得出函数解析式的方法叫做待定系数法．2．待定系数法求正比例函数解析式的一般步骤（1）设含有待定系数的函数解析式为y=kx（k≠0）．（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k 的一元一次方程．（3）解方程，求出待定系数k．（4）将求得的待定系数k 的值代入解析式．3．待定系数法求一次函数解析式的一般步骤（1）设出含有待定系数k、b 的函数解析式y=kx+b．（2）把两个已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k，b 的二元一次方程组．（3）解二元一次方程组，求出k，b．（4）将求得的k，b 的值代入解析式．1.已知在平面直角坐标系xOy 中，直线y＝2x+2和直线y＝23x+2分别交x 轴于点A 和点B．则下列直线中，与x 轴的交点不在线段AB 上的直线是（）A．y＝x+2B．y＝x+2C．y＝4x+2D．y＝233x+2【答案】C【分析】分别求出点A、B 坐标，再根据各选项解析式求出与x 轴交点坐标，判断即可．【解析】解：∵直线y＝2x+2和直线y＝23x+2分别交x 轴于点A 和点B．∴A（﹣1，0），B （﹣3，0）A.y＝x+2与x 轴的交点为（﹣2，0）；故直线y＝x+2与x 轴的交点在线段AB 上；B.x+2与x ，0）；故直线x+2与x 轴的交点在线段AB上；C.y＝4x+2与x 轴的交点为（﹣12，0）；故直线y＝4x+2与x 轴的交点不在线段AB 上；D.y＝233x+2与x ；故直线y＝233x+2与x 轴的交点在线段AB 上；故选：C【点睛】本题考查了求直线与坐标轴的交点，注意求直线与x 轴交点坐标，即把y=0代入函数解析式．2.如图，在平面直角坐标系中，直线l 1：y=﹣4x+1与x 轴，y 轴分别交于点A 和点B，直线l 2：y=kx（k≠0）与直线l 1在第一象限交于点C．若∠BOC=∠BCO，则k 的值为（）A．23B．22C．【答案】B【分析】过C 作CD⊥OA 于D，利用直线l 1：y 24=-x+1，即可得到，0），B（0，1），AB ==3．依据CD∥BO，可得OD 13=AO 223=，CD 23=BO 23=，进而得到23，），代入直线l 2：y＝kx，可得k 的值．【解析】如图，过C 作CD⊥OA 于D．直线l 1：y 24=-x+1中，令x＝0，则y＝1，令y＝0，则，即，0），B（0，1），∴Rt△AOB 中，AB ==3．∵∠BOC＝∠BCO，∴CB＝BO＝1，AC＝2．∵CD∥BO，∴OD 13=AO 3=，CD 23=BO 23=，即23，），把23，）代入直线l 2：y＝kx，可得：23=k 22=．故选B．【点睛】本题考查了两直线相交或平行问题，两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．3.如图，在平面直角坐标系中，点A，C 分别在x 轴、y 轴上，四边形ABCO 是边长为4的正方形，点D 为AB 的中点，点P 为OB 上的一个动点，连接DP，AP，当点P 满足DP+AP 的值最小时，直线AP 的解析式为_____．【答案】y＝﹣2x+8【分析】根据正方形的性质得到点A，C 关于直线OB 对称，连接CD 交OB 于P，连接PA，PD，则此时，PD+AP 的值最小，求得直线CD 的解析式为y＝﹣12x+4，由于直线OB 的解析式为y ＝x，解方程组得到P（83，83），由待定系数法即可得到结论．【解析】解：∵四边形ABCO 是正方形，∴点A，C 关于直线OB 对称，连接CD 交OB 于P，连接PA，PD，则此时，PD+AP 的值最小，∵OC＝OA＝AB＝4，∴C（0，4），A（4，0），∵D 为AB 的中点，∴AD＝12AB＝2，∴D（4，2），设直线CD 的解析式为：y＝kx+b，∴424k b b +=⎧⎨=⎩，∴124k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线CD 的解析式为：y＝﹣12x+4，∵直线OB 的解析式为y＝x，∴142y x y x ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，解得：x＝y＝83，∴P（83，83），设直线AP 的解析式为：y＝mx+n，∴408833m n m n +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：28m n =-⎧⎨=⎩，∴直线AP 的解析式为y＝﹣2x+8，故答案为：y＝﹣2x+8．【点睛】本题考查了正方形的性质，轴对称﹣最短路线问题，待定系数法求一次函数的解析式，正确的找出点P 的位置是解题的关键．4.如图，在平面直角坐标系中，直线3y x =-+过点(5,)A m 且与y 轴交于点B ，把点A 向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到点C .过点C 且与2y x =平行的直线交y 轴于点D .（1）求直线CD 的解析式；（2）直线AB 与CD 交于点E ，将直线CD 沿EB 方向平移，平移到经过点B 的位置结束，求直线CD 在平移过程中与x 轴交点的横坐标的取值范围.【答案】（1）24y x =-（2）322x -≤≤【分析】（1）由题意先求出点A 的坐标，再根据平移求得点C 的坐标，由直线CD 与y=2x 平行，可设直线CD 的解析式为y=2x+b，代入点C 坐标利用待定系数法即可得；（2）先求得点B 坐标，根据直线平移后经过点B，可得平移后的解析式为y=2x+3，分别求得直线CD、直线BF 与x 轴的交点坐标即可得到平移过程中与x 轴交点横坐标的取值范围.【解析】（1） 点()A 5m ，在直线y x 3=-+上，∴m 532=-+=-，()A 52-，，又 点A 向左平移2个单位，又向上平移4个单位得到点C ，∴()C 32，， 直线CD 与y 2x =平行，∴设直线CD 的解析式为y 2x b =+，又 直线CD 过点()C 32，，∴2=6+b，解得b=-4，∴直线CD 的解析式为y 2x 4=-；（2）将x 0=代入y x 3=-+中，得y 3=，即()B 03，，故平移之后的直线BF 的解析式为y 2x 3=+，令y 0=，得x 32=-，即3F 02⎛⎫- ⎪⎝⎭，，将y 0=代入y 2x 4=-中，得x 2=，即()G 20，，∴CD 平移过程中与x 轴交点的取值范围是：3x 22-≤≤.【点评】本题主要考查了一次函数的平移，待定系数法等，明确直线平移k 值不变是解题的关键.考点02反比例函数一、反比例函数的概念1．反比例函数的概念：一般地，函数ky x=（k 是常数，k≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成1y kx -=的形式．自变量x 的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数．2．反比例函数ky x=（k 是常数，k ≠0）中x，y 的取值范围自变量x 和函数值y 的取值范围都是不等于0的任意实数．二、反比例函数的图象和性质1．反比例函数的图象与性质（1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．（2）性质：当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y 随x 的增大而减小．当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增大．2．反比例函数图象的对称性反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=x 和y=-x，对称中心为原点．3．注意（1）画反比例函数图象应多取一些点，描点越多，图象越准确，连线时，要注意用平滑的曲线连接各点．（2）随着|x|的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永不与坐标轴相交，因为反比例函数ky x=中x≠0且y≠0．（3）反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况．当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y 随x 的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y 随x 的增大而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y 随x 的增大而增大．三、反比例函数解析式的确定1．待定系数法：确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数ky x=中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式．2．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤（1）设反比例函数解析式为ky x=（k≠0）；（2）把已知一对x，y 的值代入解析式，得到一个关于待定系数k 的方程；（3）解这个方程求出待定系数k；（4）将所求得的待定系数k 的值代回所设的函数解析式．四、反比例函数中|k|的几何意义1．反比例函数图象中有关图形的面积2．涉及三角形的面积型当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解．（1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S △ABC =2S △ACO =|k|；（2）如图②，已知一次函数与反比例函数ky x=交于A、B 两点，且一次函数与x 轴交于点C，则S △AOB =S △AOC +S △BOC =1||2A OC y ⋅+1||2B OC y ⋅=1(||||)2A B OC y y ⋅+；（3）如图③，已知反比例函数ky x=的图象上的两点，其坐标分别为()A A x y ，，()B B x y ，，C 为AB 延长线与x 轴的交点，则S △AOB =S △AOC –S △BOC =1||2A OC y ⋅–1||2B OC y ⋅=1(||||)2A B OC y y ⋅-．1.反比例函数ky x=经过点(2,1)，则下列说法错误．．的是（）A．2k =B．函数图象分布在第一、三象限C．当0x >时，y 随x 的增大而增大D．当0x >时，y 随x 的增大而减小【答案】C 【解析】【分析】将点（2,1）代入ky x=中求出k 值，再根据反比例函数的性质对四个选项逐一分析即可．【解析】将点（2,1）代入ky x=中，解得：k=2，A．k=2，此说法正确，不符合题意；B．k=2﹥0,反比例函数图象分布在第一、三象限，此书说法正确，不符合题意；C．k=2﹥0且x﹥0，函数图象位于第一象限，且y 随x 的增大而减小，此说法错误，符合题意；D．k=2﹥0且x﹥0，函数图象位于第一象限，且y 随x 的增大而减小，此说法正确，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质，理解函数图象上的点与解析式的关系是解答的关键．2.一次函数y ax a =-与反比例函数(0)ay a x=≠在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据一次函数与反比例函数图象的性质进行判断即可得解．【解析】当0a >时，0a -<，则一次函数y ax a =-经过一、三、四象限，反比例函数(0)ay a x=≠经过一、三象限，故排除A，C 选项；当0a <时，0a ->，则一次函数y ax a =-经过一、二、四象限，反比例函数(0)ay a x=≠经过二、四象限，故排除B 选项，故选：D．【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数图像的性质，熟练掌握相关性质与函数图像的关系是解决本题的关键．3.如图，平行四边形OABC 的顶点A 在x 轴的正半轴上，点()3,2D 在对角线OB 上，反比例函数()0,0k y k x x =>>的图像经过C 、D 两点．已知平行四边形OABC 的面积是152，则点B 的坐标为（）A．84,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B．9,32⎛⎫⎪⎝⎭C．105,3⎛⎫⎪⎝⎭D．2416,55⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【分析】根据题意求出反比例函数解析式，设出点C 坐标6,a a ⎛⎫⎪⎝⎭，得到点B 纵坐标，利用相似三角形性质，用a 表示求出OA，再利用平行四边形OABC 的面积是152构造方程求a 即可．【解析】解：如图，分别过点D、B 作DE⊥x 轴于点E，DF⊥x 轴于点F，延长BC 交y 轴于点H∵四边形OABC 是平行四边形∴易得CH=AF ∵点()3,2D 在对角线OB 上，反比例函数()0,0ky k x x=>>的图像经过C 、D 两点∴236k =⨯=即反比例函数解析式为6y x =∴设点C 坐标为6,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭∵DE BF ∴ODE OBF △△∴DE OE BF OF=∴236OF a=∴6392a OF a ⨯==∴9OA OF AF OF HC a a =-=-=-，点B 坐标为96,a a ⎛⎫⎪⎝⎭∵平行四边形OABC 的面积是152∴96152a a a ⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭解得122,2a a ==-（舍去）∴点B 坐标为9,32⎛⎫⎪⎝⎭故应选：B 【点睛】本题是反比例函数与几何图形的综合问题，涉及到相似三角形的的性质、反比例函数的性质，解答关键是根据题意构造方程求解．4.如图，点(,1)P m ，点(-2,)Q n 都在反比例函数4y x=的图象上，过点P 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为点M ，N ．连接OP ，OQ ，PQ ．若四边形OMPN 的面积记作1S ，POQ △的面积记作2S ，则（）A．12:2:3S S =B．12:1:1S S =C．12:4:3S S =D．12:5:3S S =【答案】C【分析】过点P 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为点M，N，根据图象上点的坐标特征得到P（4，1），Q（−2，−2），根据反比例函数系数k 的几何意义求得S 1＝4，然后根据S 2＝S△PQK−S △PON −S 梯形ONKQ 求得S 2＝3，即可求得S 1：S 2＝4：3．【解析】解：点P（m，1），点Q（−2，n）都在反比例函数y＝4x的图象上，∴m×1＝−2n＝4，∴m＝4，n＝−2，∵P（4，1），Q（−2，−2），∵过点P 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为点M，N，∴S 1＝4，作QK⊥PN，交PN 的延长线于K，则PN＝4，ON＝1，PK＝6，KQ＝3，∴S 2＝S △PQK −S △PON −S 梯形ONKQ ＝12×6×3−12×4×1−12（1＋3）×2＝3，∴S 1：S 2＝4：3，故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k 的几何意义，分别求得S 1、S 2的值是解题的关键．5.如图，直线AB 与反比例函数(0)ky x x=>的图象交于A，B 两点，已知点A 的坐标为()6,1，AOB 的面积为8．（1）填空：反比例函数的关系式为_________________；（2）求直线AB 的函数关系式；（3）动点P 在y 轴上运动，当线段PA 与PB 之差最大时，求点P 的坐标．【答案】（1）6y x =；（2）142y x =-+；（3）()0,4【分析】（1）把点()6,1代入解析式，即可得到结果；（2）过点A 作AC x ⊥轴于点C，过点B 作BD y ⊥轴于点D，,CA DB 交于点E，则四边形OCED 为矩形，设点B 的坐标为(),m n ，表示出△ABE 的面积，根据△AOB 得面积可得616m n =-，得到点B 的坐标，代入即可的到解析式；（3）根据“三角形两边之差小于第三边”可知，当点P 为直线AB 与y 轴的交点时，PA PB -有最大值为AB ，代入即可求值．【解析】解：（1）把点()6,1A 代入(0)ky x x =>可得6k =，∴反比例函数的解析式为6y x=；（2）如图，过点A 作AC x ⊥轴于点C，过点B 作BD y ⊥轴于点D，,CA DB 交于点E，则四边形OCED 为矩形．设点B 的坐标为(),m n ，∴6mn =．∵点A 的坐标为()6,1，∴6,1BE DE BD m AE CE AC n =-=-=-=-．∴11(1)(6)22ABE S AE BE n m =⋅=-- ．∵A，B 两点均在双曲线6(0)y x x=>上，∴16132BOD AOC S S ==⨯⨯= ．∴AOB AOC BOD ABE OCED S S S S S =--- 矩形11633(1)(6)322n n m n m =-----=-．∵AOB 的面积为8，∴1382n m -=，整理得616m n =-．∴23830n n --=．解得1213,3n n ==-（舍去）．∴2m =．∴点B 的坐标为(2,3)．设直线AB 的函数关系式为(0)y kx b k =+≠，则6123k b k b +=⎧⎨+=⎩．解得124k b =-=⎧⎪⎨⎪⎩．∴直线AB 的函数关系式为142y x =-+．（3）如上图，根据“三角形两边之差小于第三边”可知，当点P 为直线AB 与y 轴的交点时，PA PB -有最大值为AB ，把0x =代入142y x =-+，得4y =．∴点P 的坐标为()0,4．【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合，准确分析题意是解题的关键．6.如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x=的图象相交于()1,2A ，(),1B n -两点．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）直线AB 交x 轴于点C ，点P 是x 轴上的点，若ACP △的面积是4，求点P的坐标．【答案】（1）一次函数的表达式为1y x =+，反比例函数的表达式为2y x=；（2）（3，0）或（-5，0）【分析】（1）将点A 坐标代入my x=中求得m，即可得反比例函数的表达式，据此可得点B 坐标，再根据A、B 两点坐标可得一次函数表达式；（2）设点P(x，0)，由题意解得PC 的长，进而可得点P 坐标．【解析】（1）将点A （1,2）坐标代入m y x =中得：m=1×2=2，∴反比例函数的表达式为2y x=，将点B(n，-1)代入2y x =中得：21n-=，∴n=﹣2，∴B(-2，-1)，将点A（1，2）、B（-2，-1）代入y kx b =+中得：221k b k b +=⎧⎨-+=-⎩解得：11k b =⎧⎨=⎩，∴一次函数的表达式为1y x =+；（2）设点P（x，0），∵直线AB 交x 轴于点C ，∴由0=x+1得：x=﹣1，即C（-1，0），∴PC=∣x+1∣，∵ACP △的面积是4，∴11242x ⨯+⨯=∴解得：123,5x x ==-，∴满足条件的点P 坐标为（3，0）或（-5，0）．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，会用待定系数法求函数的解析式，会用坐标表示线段长是解答的关键．考点03二次函数一、二次函数的概念：一般地，形如y=ax 2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．二、二次函数解析式的三种形式（1）一般式：y=ax 2+bx+c（a，b，c 为常数，a≠0）．（2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k 为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）．（3）交点式：y=a（x–x 1）（x–x 2），其中x 1，x 2是二次函数与x 轴的交点的横坐标，a ≠0．三、二次函数的图象及性质1．二次函数的图象与性质解析式二次函数y=ax 2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）对称轴x=–2b a顶点（–2b a ，244ac b a-）a 的符号a>0a<0图象开口方向开口向上开口向下最值当x=–2b a 时，y 最小值=244ac b a-当x=–2b a 时，y 最大值=244ac b a-最点抛物线有最低点抛物线有最高点增减性当x<–2b a 时，y 随x 的增大而减小；当x>–2ba时，y 随x 的增大而增大当x<–2ba 时，y 随x 的增大而增大；当x>–2ba时，y 随x 的增大而减小2.二次函数图象的特征与a，b，c 的关系四、抛物线的平移1．将抛物线解析式化成顶点式y=a（x–h）2+k，顶点坐标为（h，k）．2．保持y=ax 2的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，具体平移方法如下：3．注意二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．五、二次函数与一元二次方程的关系1．二次函数y=ax 2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）2．ax 2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax 2+bx+c（a≠0）的图象与x 轴交点的横坐标．（1）b 2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x 轴有两个交点；（2）b 2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x 轴有且只有一个交点；（3）b 2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x 轴没有交点．1.如图，二次函数y＝ax 2+bx+c （a≠0）图象的对称轴为直线x＝﹣1，下列结论：①abc＜0；②3a＜﹣c；③若m 为任意实数，则有a﹣bm≤am 2+b；④若图象经过点（﹣3，﹣2），方程ax 2+bx+c+2＝0的两根为x 1，x 2（|x 1|＜|x 2|），则2x 1﹣x 2＝5．其中正确的结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】C【分析】由图象可知a＜0，c＞0，由对称轴得b=2a＜0，则abc＞0，故①错误；当x=1时，y=a+b+c=a+2a+c=3a+c＜0，得②正确；由x=-1时，y 有最大值，得a-b+c≥am 2+bm+c，得③错误；由题意得二次函数y=ax 2+bx+c 与直线y=-2的一个交点为（-3，-2），另一个交点为（1，-2），即x 1=1，x 2=-3，进而得出④正确，即可得出结论．【解析】解：由图象可知：a＜0，c＞0，12ba-=-，∴b＝2a＜0，∴abc＞0，故①abc＜0错误；当x＝1时，y＝a+b+c＝a+2a+c＝3a+c＜0，∴3a＜﹣c，故②3a＜﹣c 正确；∵x＝﹣1时，y 有最大值，∴a﹣b+c≥am 2+bm+c（m 为任意实数），即a﹣b≥am 2+bm，即a﹣bm≥am 2+b，故③错误；∵二次函数y＝ax 2+bx+c （a≠0）图象经过点（﹣3，﹣2），方程ax 2+bx+c+2＝0的两根为x 1，x 2（|x 1|＜|x 2|），∴二次函数y＝ax 2+bx+c 与直线y＝﹣2的一个交点为（﹣3，﹣2），∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴二次函数y＝ax 2+bx+c 与直线y＝﹣2的另一个交点为（1，﹣2），即x 1＝1，x 2＝﹣3，∴2x 1﹣x 2＝2﹣（﹣3）＝5，故④正确．所以正确的是②④；故选：C．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系：二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时，对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时，对称轴在y 轴右．常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c）．2.如图，抛物线y＝ax 2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与y 轴交于点B（0，﹣2），点A（﹣1，m）在抛物线上，则下列结论中错误的是（）A．ab＜0B．一元二次方程ax 2+bx+c＝0的正实数根在2和3之间C．a＝23m D．点P 1（t，y 1），P 2（t+1，y 2）在抛物线上，当实数t＞13时，y 1＜y 2【答案】D【分析】由抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴方程得到b＝−2a＜0，则可对A 选项进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点坐标在（2，0）与（3，0）之间，则根据抛物线与x 轴的交点问题可对B 选项进行判断；把B（0，−2），A（−1，m）和b＝−2a 代入抛物解析式可对C 选项进行判断；利用二次函数的增减性对D 进行判断．【解析】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣2ba＝1，∴b＝﹣2a＜0，∴ab＜0，所以A 选项的结论正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与x 轴的一个交点坐标在（0，0）与（﹣1，0）之间，∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标在（2，0）与（3，0）之间，∴一元二次方程ax 2+bx+c＝0的正实数根在2和3之间，所以B 选项的结论正确；把B（0，﹣2），A（﹣1，m）代入抛物线得c＝﹣2，a﹣b+c＝m，而b＝﹣2a，∴a+2a﹣2＝m，∴a＝23m +，所以C 选项的结论正确；∵点P 1（t，y 1），P 2（t+1，y 2）在抛物线上，∴当点P 1、P 2都在直线x＝1的右侧时，y 1＜y 2，此时t≥1；当P 1在直线x＝1的左侧，点P 2在直线x＝1的右侧时，y 1＜y 2，此时0＜t＜1且t+1﹣1＞1﹣t，即12＜t＜1，∴当12＜t＜1或t≥1时，y 1＜y 2，所以D 选项的结论错误；故选：D．【点睛】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根：利用二次函数图象的对称性确定抛物线与x 轴的交点坐标，从而得到一元二次方程的根．也考查了二次函数的性质．3.二次函数y=x 2的图象平移后经过点（2，0），则下列平移方法正确的是（）A．向左平移2个单位，向下平移2个单位B．向左平移1个单位，向上平移2个单位C．向右平移1个单位，向下平移1个单位D．向右平移2个单位，向上平移1个单位【答案】C【分析】求出平移后的抛物线的解析式，利用待定系数法解决问题即可．【解析】解：A、平移后的解析式为y=（x+2）2﹣2，当x=2时，y=14，本选项不符合题意．B、平移后的解析式为y=（x+1）2+2，当x=2时，y=11，本选项不符合题意．C、平移后的解析式为y=（x﹣1）2﹣1，当x=2时，y=0，函数图象经过（2，0），本选项符合题意．D、平移后的解析式为y=（x﹣2）2+1，当x=2时，y=1，本选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的平移问题，掌握二次函数的平移特征是解题的关键．4.下列关于二次函数22()1y x m m =--++（m 为常数）的结论，①该函数的图象与函数2y x =-的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点(0,1)；③当0x >时，y 随x 的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数21y x =+的图像上，其中所有正确的结论序号是__________．【答案】①②④【分析】①两个二次函数可以通过平移得到，由此即可得两个函数的图象形状相同；②求出当0x =时，y 的值即可得；③根据二次函数的增减性即可得；④先求出二次函数22()1y x m m =--++的顶点坐标，再代入函数21y x =+进行验证即可得．【解析】 当0m >时，将二次函数2y x =-的图象先向右平移m 个单位长度，再向上平移21m +个单位长度即可得到二次函数22()1y x m m =--++的图象；当0m <时，将二次函数2y x =-的图象先向左平移m -个单位长度，再向上平移21m +个单位长度即可得到二次函数22()1y x m m =--++的图象∴该函数的图象与函数2y x =-的图象形状相同，结论①正确对于22()1y x m m =--++当0x =时，22(0)11y m m =--++=即函数图象一定经过点(0,1)，②正确由二次函数的性质可知，当x m ≤时，y 随x 的增大而增大；当x m >时，y 随x 的增大而减小，③错误22()1y x m m =--++的顶点坐标为2(),1m m +对于二次函数21y x =+当x m =时，21y m =+即该函数的图象的顶点2(),1m m +在函数21y x =+的图象上，结论④正确综上，所有正确的结论序号是①②④故答案为：①②④．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．5.二次函数y＝ax 2+bx+c 的图象如图所示，下列结论：①ab＞0；②a+b﹣1＝0；③a＞1；④关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c＝0的一个根为1，另一个根为﹣1a ．其中正确结论的序号是_____．【答案】②③④【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点得出c 的值，然后根据抛物线与x 轴交点的个数及x＝1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解析】解：①由二次函数的图象开口向上可得a＞0，对称轴在y 轴的右侧，b＜0，∴ab ＜0，故①错误；②由图象可知抛物线与x 轴的交点为（1，0），与y 轴的交点为（0，﹣1），∴c＝﹣1，∴a+b﹣1＝0，故②正确；③∵a+b﹣1＝0，∴a﹣1＝﹣b，∵b＜0，∴a﹣1＞0，∴a＞1，故③正确；④∵抛物线与y 轴的交点为（0，﹣1），∴抛物线为y＝ax 2+bx﹣1，∵抛物线与x 轴的交点为（1，0），∴ax 2+bx﹣1＝0的一个根为1，根据根与系数的关系，另一个根为﹣1a ，故④正确；故答案为②③④．【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，二次函数与方程之间的转换．会利用特殊值代入法求得特殊的式子，如：y＝a+b+c，然后根据图象判断其值．6.已知抛物线22232(0)y ax ax a a =--+≠．（1）求这条抛物线的对称轴；（2）若该抛物线的顶点在x 轴上，求其解析式；【答案】（1）1x =；（2）233322y x x =-+或221y x x =-+-；（3）当a＞0时，13m -<<；当a＜0时，1m <-或3m >．【分析】（1）将二次函数化为顶点式，即可得到对称轴；（2）根据（1）中的顶点式，得到顶点坐标，令顶点纵坐标等于0，解一元二次方程，即可得到a 的值，进而得到其解析式；【解析】（1）∵22232y ax ax a =--+，∴22(1)32y a x a a =---+，∴其对称轴为：1x =．（2）由（1）知抛物线的顶点坐标为：2(1,23)a a --，∵抛物线顶点在x 轴上，∴2230a a --=，解得：32a =或1a =-，当32a =时，其解析式为：233322y x x =-+，当1a =-时，其解析式为：221y x x =-+-，综上，二次函数解析式为：233322y x x =-+或221y x x =-+-．【点睛】本题考查了二次函数对称轴，解析式的计算，熟知相关计算是解题的关键．7.已知抛物线224y x x c =-+与x 轴有两个不同的交点.(1)求c 的取值范围；(2)若抛物线224y x x c =-+经过点()2,A m 和点()3,B n ，试比较m 与n 的大小，并说明理由.【答案】(1)c 的取值范围是2c <；(2)m n <.理由见解析.【分析】（1）由二次函数与x 轴交点情况，可知△＞0；（2）求出抛物线对称轴为直线x=1，由于A（2，m）和点B（3，n）都在对称轴的右侧，即可求解；【解析】(1)()2244816 8b ac c c -=--=-.由题意，得240b ac ->，∴16 80c ->∴c 的取值范围是2c <.(2)m n <.理由如下:∵抛物线的对称轴为直线1x =，又∵20a =>，∴当1x ≥时，y 随x 的增大而增大.∵23<，∴m n <.【点睛】本题考查二次函数图象及性质；熟练掌握二次函数对称轴，函数图象的增减性是解题的关键．。
函数概念与性质(综合测试卷)(原卷版)附答案.docx
《函数概念与性质》综合测试卷一、单选题1．（2019·浙江南湖 嘉兴一中高一月考）下列四组函数中,()f x 与()g x 表示同一函数是（ ）A ．()1f x x =-,()211x g x x -=+B ．()1f x x =+,()1,11,1x x g x x x +≥⎧=⎨--<-⎩C ．()1f x =,()()01g x x =+D ．()f x =()2g x =2．（2020·浙江高一课时练习）已知2()f x x x =+,则(1)f x -等于（ ）A ．21x x -+B ．2x x -C ．221x x --D ．22x x -3．（2020·浙江高一课时练习）函数y x=的定义域为A ．[4,1]-B ．[4,0)-C ．(0,1]D ．[4,0)(0,1]-⋃4．（2020·全国高一课时练习）下列函数()f x 中,满足对任意()12,0,x x ∈+∞,当x 1<x 2时,都有()()12f x f x >的是( ) A ．()2f x x =B ．()1f x x=C ．()f x x =D ．()21f x x =+5．（2020·,则函数235y x x =+-的值域为（ ）A ．(,)-∞+∞B ．[0,)+∞C ．[7,)-+∞D ．[5,)-+∞6．（2020·全国高一课时练习）函数(21)y m x b =-+在R 上是减函数．则（ ）A ．12m >B ． 12m <C ．12m >-D ．12m <-7．（2020·全国高一课时练习）若函数()(31)4,1,1a x a x f x ax x -+<⎧=⎨-≥⎩,是定义在R 上的减函数,则a 的取值范围为（ ）A ．11,83⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．11,,83⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭8．（2019·浙江高一期中）已知函数222,0()1,0x x f x xx x ⎧++<⎪=⎨⎪--≥⎩,则()f x 的最大值是( )A ．2+B ．2-C ．1-D ．19．（2020·荆州市北门中学高一期末）已知奇函数()f x 的定义域为R ,若()2f x +为偶函数,且()11f -=-,则()()20172016f f +=（ ） A ．2-B ．1-C ．0D ．110．（2019·山西高一月考）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x =-,且在(0,)+∞上是增函数,不等式()()21f ax f +≤-对于[]1,2x ∈恒成立,则a 的取值范围是A ．3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]0,1二、多选题11．（2019·山东莒县 高一期中）已知函数2()23(0)f x ax ax a =-->,则（ ）A ．()()33f f ->B ．()()23f f -<C ．()()42f f =-D ．()()43f f >12．（2020·浙江高一单元测试）函数2()xf x x a=+的图像可能是（ ） A ． B ．C ．D ．13．（2019·山东莒县 高一期中）下列命题为真命题的是（ ） A ．函数1y x =-既是偶函数又在区间[)1,+∞上是增函数B ．函数()f x =的最小值为2C ．“2x =”是“2x -=的充要条件D ．1,1x R x x∃∈<+ 14．（2019·山东黄岛 高一期中）已知定义在R 上函数()f x 的图象是连续不断的,且满足以下条件：①R x ∀∈,()()f x f x -=；②12,(0,)x x ∀∈+∞,当12x x ≠时,都有()()21210f x f x x x ->-；③(1)0f -=.则下列选项成立的是（ ） A ．(3)(4)>-f fB ．若(1)(2)-<f m f ,则(,3)∈-∞mC ．若()0f x x>,(1,0)(1,)x ∈-+∞ D ．x R ∀∈,∃∈M R ,使得()f x M ≥三、填空题15．（2020·全国高一课时练习）已知函数f (x )＝24,03,0x x x x ->⎧⎨--<⎩则f (f (－4))＝________.16．（2020·全国高一课时练习）函数()f x 在R 上是减函数,且()()||1f x f >,则x 的取值范围是________.17．（2020·全国高一课时练习）若f (x )M ,g (x )N ,令全集为R ,则()RM N ＝________.四、双空题18．（2019·浙江湖州 高一期中）若定义域为[]210,3a a -的函数()25231f x x bx a =+-+是偶函数,则a =______,b =______.19．（2020·安达市第七中学高一月考）已知函数2(),()2f x x g x x =-=-,设函数()y M x =,当()()f xg x >时,()()M x f x =；当()()g x f x ≥时,()()M x g x =,则()M x =________ ；函数()y M x =的最小值是________.20．（2020·山西高一期末）已知函数22,0(),,0x ax x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩是奇函数,且在(1)2m m +，上单调递减,则实数a =______；实数m 的取值范围用区间表示为______.21．（2018·浙江余姚中学高一月考）已知()f x 是定义在R 上的偶函数,若()f x 在[0,)+∞上是增函数,则满足(1)(1)f m f -<的实数m 的取值范围为________;若当0x ≥时,2()4f x x x =+,则当0x <时,()f x 的解析式是________. 五、解答题22．（2020·全国高一课时练习）如图是定义在区间[5-,5]上的函数()y f x =,根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数？23．（2020·全国高一课时练习）已知f (x )＝11xx-+ (x ≠－1).求： （1）f (0)及12f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值；（2）f (1－x )及f (f (x )).24．（2020·全国高一课时练习）某市“招手即停”大众汽车的票价按下列规则制定： (1)5公里以内(含5公里),票价2元；(2)5公里以上,每增加5公里,票价增加1元(不足5公里的按5公里计算).如果某条线路的总里程为20公里,请根据题意,写出票价与里程之间的函数关系式,并画出函数的图像.25．（2020·浙江高一课时练习）若函数()f x 的定义域为[0,1],求()()()(0)g x f x m f x m m =++->的定义域．26．（2020·浙江高一课时练习）已知函数22()x x a f x x++=在[1,)+∞上单调递增,若对任意[1,)x ∈+∞,()0f x >恒成立,试求实数a 的取值范围.27．（2020·浙江高一课时练习）定义在(0,)+∞上的函数()f x ,满足()()()(,0)f mn f m f n m n =+>,且当1x >时,()0f x >.（1）求(1)f 的值.（2）求证：()()m f f m f n n ⎛⎫=-⎪⎝⎭. （3）求证：()f x 在(0,)+∞上是增函数.（4）若(2)1f =,解不等式(2)(2)2f x f x +->.（5）比较2m n f +⎛⎫⎪⎝⎭与()()2f m f n +的大小.《函数概念与性质》综合测试卷一、单选题1．（2019·浙江南湖 嘉兴一中高一月考）下列四组函数中,()f x 与()g x 表示同一函数是（ ）A ．()1f x x =-,()211x g x x -=+B ．()1f x x =+,()1,11,1x x g x x x +≥⎧=⎨--<-⎩C ．()1f x =,()()01g x x =+D ．()f x =()2g x =【参考答案】B 【解析】两个函数如果是同一函数,则两个函数的定义域和对应法则应相同,A 选项中,()f x 定义域为R ,()g x 的定义域为(,1)(1,)-∞-⋃-+∞,所以二者不是同一函数,所以A 错误；B 选项中,1,1()11,1x x f x x x x +≥-⎧=+=⎨--<-⎩,与()g x 定义域相同,都是R ,对应法则也相同,所以二者是同一函数,所以B 正确；C 选项中,()f x 定义域为R ,()g x 的定义域为(,1)(1,)-∞-⋃-+∞,所以二者不是同一函数, 所以C 错误；D 选项中,()f x 定义域为R ,()g x 的定义域为[0,)+∞,所以二者不是同一函数,所以D 错误. 故选：B2．（2020·浙江高一课时练习）已知2()f x x x =+,则(1)f x -等于（ ）A ．21x x -+B ．2x x -C ．221x x --D ．22x x -【参考答案】B 【解析】因为2()f x x x =+,所以22(1)(1)(1)f x x x x x -=-+-=-． 故选：B3．（2020·浙江高一课时练习）函数y =A ．[4,1]-B ．[4,0)-C ．(0,1]D ．[4,0)(0,1]-⋃【参考答案】D 【解析】由2340x x --+≥可得{}/41x x -≤≤,又因为分母0x ≠,所以原函数的定义域为[4,0)(0,1]-⋃． 4．（2020·全国高一课时练习）下列函数()f x 中,满足对任意()12,0,x x ∈+∞,当x 1<x 2时,都有()()12f x f x >的是( )A ．()2f x x =B ．()1f x x=C ．()f x x =D ．()21f x x =+【参考答案】B 【解析】由12x x <时,()()12f x f x >,所以函数()f x 在()0,∞+上为减函数的函数.A 选项,2y x 在()0,∞+上为增函数,不符合题意.B 选项,1y x=在()0,∞+上为减函数,符合题意.C 选项,y x =在()0,∞+上为增函数,不符合题意.D 选项,()21f x x =+在()0,∞+上为增函数,不符合题意.故选B.5．（2020·,则函数235y x x =+-的值域为（ ）A ．(,)-∞+∞B ．[0,)+∞C ．[7,)-+∞D ．[5,)-+∞【参考答案】D 【解析】∵0x ,且函数235y x x =+-的对称轴为302x =-< ∴2355x x +-- 故选：D6．（2020·全国高一课时练习）函数(21)y m x b =-+在R 上是减函数．则（ ） A ．12m >B ．12m < C ．12m >-D ．12m <-【参考答案】B 【解析】根据题意,函数(21)y m x b =-+在R 上是减函数,则有210m -＜, 解可得12m <, 故选B ．7．（2020·全国高一课时练习）若函数()(31)4,1,1a x a x f x ax x -+<⎧=⎨-≥⎩,是定义在R 上的减函数,则a 的取值范围为（ ）A ．11,83⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．11,,83⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【参考答案】A 【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的减函数,所以310314a a a a a-<⎧⎪-<⎨⎪-+≥-⎩,解得1183a ≤<. 故选：A.8．（2019·浙江高一期中）已知函数222,0()1,0x x f x xx x ⎧++<⎪=⎨⎪--≥⎩,则()f x 的最大值是() A ．2+ B ．2-C ．1- D ．1【参考答案】B 【解析】（1）当0x <时,2()2=++f x x x,任取120x x <<,则1212121212222()()22()1⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=++-++=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f x f x x x x x x x x x ,当12<<x x ,12122()10⎛⎫--< ⎪⎝⎭x x x x ,即12()()f x f x <,函数()f x 单调递增；当120<<<x x 时,12122()10⎛⎫-->⎪⎝⎭x x x x ,即12()()f x f x >,函数()f x 单调递减；所以max ()(2f x f ==-（2）当0x ≥时,2()1f x x =--单调递减,所以max ()(0)1f x f ==-；而21->-,所以max ()2f x =- 故选：B9．（2020·荆州市北门中学高一期末）已知奇函数()f x 的定义域为R ,若()2f x +为偶函数,且()11f -=-,则()()20172016f f +=（ ） A ．2- B ．1-C ．0D ．1【参考答案】D 【解析】奇函数()f x 的定义域为R ,若(2)f x +为偶函数,(0)0f ∴=,且(2)(2)(2)f x f x f x -+=+=--,则(4)()f x f x +=-,则(8)(4)()f x f x f x +=-+=, 则函数()f x 的周期是8,且函数关于2x =对称,则(2017)(25281)f f f =⨯+=（1）(1)(1)1f =--=--=,(2016)(2528)(0)0f f f =⨯==,则(2017)(2016)011f f +=+=, 故选：D ．10．（2019·山西高一月考）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x =-,且在(0,)+∞上是增函数,不等式()()21f ax f +≤-对于[]1,2x ∈恒成立,则a 的取值范围是A ．3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]0,1【参考答案】A 【解析】()()f x f x =- ()f x ∴为定义在R 上的偶函数,图象关于y 轴对称又()f x 在()0,∞+上是增函数 ()f x ∴在(),0-∞上是减函数()()21f ax f +≤- 21ax ∴+≤,即121ax -≤+≤121ax -≤+≤对于[]1,2x ∈恒成立 31a x x∴-≤≤-在[]1,2上恒成立 312a ∴-≤≤-,即a 的取值范围为：3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦本题正确选项：A 二、多选题11．（2019·山东莒县 高一期中）已知函数2()23(0)f x ax ax a =-->,则（ ）A ．()()33f f ->B ．()()23f f -<C ．()()42f f =-D ．()()43f f >【参考答案】ACD2()23(0)f x ax ax a =-->对称轴为1x =,且在[1,)+∞是增函数,()()3(5)3f f f -=>,选项A 正确； ()()2(4)3f f f -=>,选项B 错误；()()42f f =-,选项C 正确； ()()43f f >,选项D 正确.故选:ACD.12．（2020·浙江高一单元测试）函数2()xf x x a=+的图像可能是（ ） A ． B ．C ．D ．【参考答案】ABC由题可知,函数2()xf x x a=+, 若0a =,则21()x f x x x==,选项C 可能； 若0a >,则函数定义域为R ,且(0)0f =,选项B 可能；若0a <,则x ≠选项A 可能, 故不可能是选项D, 故选：ABC.13．（2019·山东莒县 高一期中）下列命题为真命题的是（ ） A ．函数1y x =-既是偶函数又在区间[)1,+∞上是增函数B ．函数()f x =的最小值为2C ．“2x =”是“2x -=的充要条件D ．1,1x R x x∃∈<+ 【参考答案】CD 【解析】1y x =-当1x =时,0y =,当1x =-时,2y =,所以1y x =-不是偶函数,选项A 错误；令1[3,),()t g t t t=+∞=+根据对勾函数的单调性可得,()g t 在[3,)+∞是增函数,()g t 的最小值为103, 即()f x 的最小值为103,选项B 错误；20,20,2x x x -=≥-≥∴=,选项C 正确；当1x =时,11x x<+成立,选项D 正确. 故选:CD.14．（2019·山东黄岛 高一期中）已知定义在R 上函数()f x 的图象是连续不断的,且满足以下条件：①R x ∀∈,()()f x f x -=；②12,(0,)x x ∀∈+∞,当12x x ≠时,都有()()21210f x f x x x ->-；③(1)0f -=.则下列选项成立的是（ ） A ．(3)(4)>-f f B ．若(1)(2)-<f m f ,则(,3)∈-∞m C ．若()0f x x>,(1,0)(1,)x ∈-+∞ D ．x R ∀∈,∃∈M R ,使得()f x M ≥【参考答案】CD 【解析】由条件①得()f x 是偶函数,条件②得()f x 在(0,)+∞上单调递增 所以(3)(4)(4)f f f <=-,故A 错若(1)(2)-<f m f ,则12m -<,得13m -<<,故B 错若()0f x x >则0()0x f x >⎧⎨>⎩或0()0x f x <⎧⎨<⎩,因为(1)(1)0f f -== 所以1x >或01x <<,故C 正确因为定义在R 上函数()f x 的图象是连续不断的,且在(0,)+∞上单调递增所以min ()(0)f x f =,所以对x R ∀∈,只需(0)M f ≤即可,故D 正确 故选：CD 【点睛】1.偶函数的图象关于y 轴对称,比较函数值的大小即比较自变量到y 轴的远近2. 12,(,)x x a b ∀∈,当12x x ≠时,都有()()21210f x f x x x ->⇔-()f x 在(,)a b 上单调递增；12,(,)x x a b ∀∈,当12x x ≠时,都有()()21210f x f x x x -<⇔-()f x 在(,)a b 上单调递减.三、填空题15．（2020·全国高一课时练习）已知函数f (x )＝24,03,0x x x x ->⎧⎨--<⎩则f (f (－4))＝________.【参考答案】－2 【解析】由题得(4)(4)31f -=---=, 所以f (f (－4))=(1)242f =-=-. 故参考答案为：－216．（2020·全国高一课时练习）函数()f x 在R 上是减函数,且()()||1f x f >,则x 的取值范围是________. 【参考答案】(－1,1) 【解析】函数()f x 在R 上是减函数,且()()||1f x f >, ||1x ∴<,解得11x -<<, 故参考答案为：(1,1)-17．（2020·全国高一课时练习）若f (x )M ,g (x )N ,令全集为R ,则()RM N ＝________.【参考答案】{x |x <2} 【解析】由题意{}100M xx x x ⎧⎫=≥=>⎨⎬⎩⎭,{}{}202N x x x x =-≥=≥, 所以{}{}{}022M N x x x x x x ⋂=>⋂≥=≥,所以(){}2RM N x x ⋂=<.故参考答案为：{}2x x <.四、双空题18．（2019·浙江湖州 高一期中）若定义域为[]210,3a a -的函数()25231f x x bx a =+-+是偶函数,则a =______,b =______. 【参考答案】2 0 【解析】偶函数()f x 的定义域为[]210,3a a -,则21030a a -+=,解得2a =,所以()2525f x x bx =+-,满足()f x 的对称轴关于y 轴对称,所以对称轴05bx =-=,解得0b =. 故参考答案为：2；019．（2020·安达市第七中学高一月考）已知函数2(),()2f x x g x x =-=-,设函数()y M x =,当()()f xg x >时,()()M x f x =；当()()g x f x ≥时,()()M x g x =,则()M x =________ ；函数()y M x =的最小值是________.【参考答案】(][)()22,,21,,2,1x x x x ⎧-∈-∞-⋃+∞⎪⎨-∈-⎪⎩1- 【解析】解不等式()()f x g x >,即22x x ->-,解得21x -<<,即21x -<<时,()M x x =-,解不等式()()f x g x ≤,即22x x -≤-,解得2x -≤或1x ≥,即2x -≤或1x ≥时,2()2M x x =-,即()M x =(][)()22,,21,,2,1x x x x ⎧-∈-∞-⋃+∞⎪⎨-∈-⎪⎩当2x -≤或1x ≥时,min ()(1)1M x M ==-,当21x -<<时,min ()(1)1M x M >=-,即函数()y M x =的最小值是1-,故参考答案为（1）.(][)()22,,21,,2,1x x x x ⎧-∈-∞-⋃+∞⎪⎨-∈-⎪⎩,(2).1-. 20．（2020·山西高一期末）已知函数22,0(),,0x ax x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩是奇函数,且在(1)2m m +，上单调递减,则实数a =______；实数m 的取值范围用区间表示为______.【参考答案】1 1[,0]2- 【解析】因为函数22,0(),0x ax x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩是奇函数,所以(1)(1)0f f +-=,即1(1)10a -+-+=,解得：1a =；因此22,0(),,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩根据二次函数的性质,可得,当0x >时,函数2()f x x x =-在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；又因为(0)0f =,所以由奇函数的性质可得：函数()f x 在区间11,22⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减； 因为函数()f x 在(1)2m m +，上单调递减, 所以只需：111),222(m m ⎛⎫+⊆- ⎪⎝⎭， ,即121122m m ⎧≥-⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩,解得102m -≤≤. 故参考答案为：1；1[,0]2-.21．（2018·浙江余姚中学高一月考）已知()f x 是定义在R 上的偶函数,若()f x 在[0,)+∞上是增函数,则满足(1)(1)f m f -<的实数m 的取值范围为________;若当0x ≥时,2()4f x x x =+,则当0x <时,()f x 的解析式是________.【参考答案】02m << 2()4f x x x =- 【解析】∵()f x 是定义在R 上的偶函数,若()f x 在[0,)+∞上是增函数, ∴不等式(1)(1)f m f -<等价为()()|1|1f m f -<,即|1||1|1m m -=-<得111m -<-<,得02m <<, 若0x <,则0x ->,则当0x -≥时,()()24f x x x f x -=-=,则当0x <时,()24f x x x =-,故参考答案为：（1）02m <<,（2）2()4f x x x =- 五、解答题22．（2020·全国高一课时练习）如图是定义在区间[5-,5]上的函数()y f x =,根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数？【参考答案】参考答案见解析 【解析】从函数图象上看,当52x --时,图象呈下降趋势,所以[]5,2--为函数的单调减区间,函数在此区间单调递减；从函数图象上看,当21x -时,图象呈上升趋势,所以[]2,1-为函数的单调增区间,函数在此区间单调递增； 从函数图象上看,当13x 时,图象呈下降趋势,所以[]1,3为函数的单调减区间,函数在此区间单调递减；从函数图象上看,当35x 时,图象呈上升趋势,所以[]3,5为函数的单调增区间,函数在此区间单调递增．23．（2020·全国高一课时练习）已知f (x )＝11xx-+ (x ≠－1).求： （1）f (0)及12f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值；（2）f (1－x )及f (f (x )).【参考答案】（1）()01f =,1122f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()()1,22xf x x x -=≠-,()()(),1f f x x x =≠-. 【解析】 （1）因为()()111xf x x x-=≠-+, 所以()100110f -==+,1111212312f -⎛⎫== ⎪⎝⎭+, 所以111113123213f ff -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+； （2）因为()()111xf x x x-=≠-+, 所以()()()()111,2112x xf x x x x---==≠+--, ()()()111,1111xx f f x x x x x--+==≠--++.24．（2020·全国高一课时练习）某市“招手即停”大众汽车的票价按下列规则制定： (1)5公里以内(含5公里),票价2元；(2)5公里以上,每增加5公里,票价增加1元(不足5公里的按5公里计算).如果某条线路的总里程为20公里,请根据题意,写出票价与里程之间的函数关系式,并画出函数的图像.【参考答案】2,053,510()4,10155,1520x x f x x x <≤⎧⎪<≤⎪=⎨<≤⎪⎪<≤⎩,图像见解析。
函数的基本概念及性质典型例题
函数的概念及性质一、知识导航1.常量和变量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫变量，数值保持不变的量叫常量。
2.函数的概念：一般地，在一个变化过程中的两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x为自变量，y为应变量。
3.自变量的取值范围（1）自变量的取值必须使含自变量的代数式都有意义。
①当自变量以整式形式出现时，自变量取值范围是全体实数；②当自变量以分式形式出现时，自变量取值范围是使分母不为零的实数；③当自变量以偶次方根形式出现时，自变量的取值范围是使被开方数为非负数的实数；④当自变量出现在零次幂（或负整数指数幂）的底数中时，自变量的取值范围是使底数不为零的实数4.函数值（1）概念：对于自变量在取值范围内时应变量的一个确定值（2）求法：①代入②求值5.函数图象（1）概念：对于一个函数，如果把自变量x和函数y的每一对对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，在坐标平面内就有一个相应的点。
由这样的点的集合组成的图形叫做函数的图象。
（2）画法：①列表；②描点；③连线。
6.函数的三种表示方法（1）解析法：用含自变量的代数式表示函数的方法；（2）列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系的方法；（3）图象法：用图象表示函数关系的方法二、典例导学例1、汽车在匀速行驶的过程中，若用s表示路程，v表示速度，t表示时间，那么对于等式s=vt，下列说法正确的是（）A.s与v是变量，t是常量B.t与s是变量，v是常量C.t与v是变量，s是常量D.s、v、t三个都是变量例2、下列变量之间的关系中，不是函数关系的是（）A.长方形的宽一定，其长与面积B.正方形的周长与面积C.等腰三角形的底边和面积D.球的体积和球的半径例3、下列四个图象中，不表示某一函数图象的是( )．例4、 求下列各函数的自变量的取值范围: （1）21-=x y （2）21-=x y （3）5+=x y （4）53+-=x x y （5）11-+=x x y （6）x x y -+-=531例5、求下列函数当x 分别为21,4-时的函数值. （1）)2)(1(-+=x x y （3）322+-=x x y例6、甲、乙两个准备在一段长为1200米的笔直公路上进行跑步，甲、乙跑步的速度分别为4s m /和6s m /，起跑前乙在起点，甲在乙前面100米处，若同时起跑，则两人从起跑至其中一人先到达终点的过程中，甲、乙两之间的距离)(m y 与时间)(s t 的函数图象是 （ ）例7、甲、乙两人以相同路线前往距离单位10km的培训中心参加学习.图中l甲、l乙分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程S(km)随时间t(分)变化的函数图象.以下说法：①乙比甲提前12分钟到达；②甲的平均速度为15千米/小时；③乙走了8km后遇到甲；④乙出发6分钟后追上甲.其中正确的有( )A.4个B.3个C.2个D.1个举一反三1、《大河报》每份0.5元，购买《大河报》所需钱数y（元）与所买份数x之间的关系是，其中是常量，是变量。
(2021年整理)函数的概念及基本性质练习题
（完整）函数的概念及基本性质练习题编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（完整）函数的概念及基本性质练习题）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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函数的概念及基本性质练习题1. 下列各图中，不能是函数f(x)图象的是( ）2．若f（错误!)＝错误!,则f(x）等于（)A.错误!（x≠－1）B。
错误!(x≠0）C.错误!（x≠0且x≠－1） D．1＋x（x≠－1)3．已知f(x）是一次函数，2f(2)－3f（1)＝5,2f（0)－f(－1)＝1，则f（x)＝（）A．3x＋2 B．3x－2C．2x＋3 D．2x－34．函数f(x)＝lg（x－1)＋4－x的定义域为( )A．(1，4］B．（1,4）C．［1,4] D．[1，4）5。
已知函数f(x）＝错误!若f［f（0)］＝4a，则实数a等于( )A。
错误!B。
错误!C．2 D．96．下列集合A到集合B的对应f是函数的是（）A．A＝｛－1,0，1},B＝｛0,1｝，f：A中的数平方B．A＝{0，1｝,B＝｛－1，0,1}，f:A中的数开方C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数D．A＝R，B＝{正实数｝，f:A中的数取绝对值7．下列各组函数表示相等函数的是( )A．y＝错误!与y＝x＋3(x≠3）B．y＝x2－1与y＝x－1C．y＝x0(x≠0）与y＝1(x≠0）D．y＝2x＋1，x∈Z与y＝2x－1,x∈Z8．求下列函数的定义域：(1)y＝错误!;(2）y＝错误!9．下列命题中,正确的是（ )A．函数y＝错误!是奇函数，且在定义域内为减函数B．函数y＝x3（x－1)0是奇函数，且在定义域内为增函数C．函数y＝x2是偶函数,且在(－3,0)上为减函数D．函数y＝ax2＋c（ac≠0）是偶函数，且在（0，2）上为增函数10．奇函数f(x）在区间[3，7］上是增函数，在区间［3,6]上的最大值为8，最小值为－1，则2f（－6)＋f(－3)的值为( ）A．10 B．－10C．－15 D．1511．f(x)＝x3＋错误!的图象关于( ）A．原点对称B．y轴对称C．y＝x对称D．y＝－x对称12．如果定义在区间［3－a，5]上的函数f(x）为奇函数，那么a＝________。
最全函数概念及基本性质知识点总结及经典例题
函数及基本性质一、函数的概念（1）设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．（2）函数的三要素:定义域、值域和对应法则．注意1：只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数 例1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ）⑪3)5)(3(1+-+=x x x y ，52-=x y ；⑫111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ；⑬x x f =)(，2)(x x g =；⑭()f x =()F x =⑮21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f 。
A ．⑪、⑫B ．⑫、⑬ C ．⑭D ．⑬、⑮ 2：求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．如：943)(2-+=x x x f ，R x ∈ ②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．如：()635-=x x f ，2≠x ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．如()1432+-=x x x f ，131><x x 或 ④对数函数的真数大于零0,log )(>=x x x f a ，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1。
如：()212()log 25f x x x =-+⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．如：2)32()(-+=x x f⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．如：)2(log 22x y --=⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．如：()[]()x f x f 28,2，的定义域是的定义域为822≤≤x⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．例：求函数()())1lg(lg x k x x f -+-=的定义域。
函数的概念和性质高考真题
函数的概念和性质高考真题1.函数的概念和性质1.1 函数的定义函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素上。
通常用符号f(x)表示函数，其中x是定义域中的元素，f(x)是值域中的元素。
1.2 函数的性质函数有很多性质，其中一些比较重要的包括：1）定义域和值域：函数的定义域是所有可能输入的集合，值域是所有可能输出的集合。
2）奇偶性：如果对于函数f(x)，有f(-x)=-f(x)，则称f(x)是奇函数；如果有f(-x)=f(x)，则称f(x)是偶函数。
3）单调性：如果对于函数f(x)，当x1f(x2)，则称f(x)在区间(x1,x2)上单调递减。
4）零点和极值：函数的零点是函数图像与x轴的交点，极值是函数在某一区间内的最大值或最小值。
2.例题解答2.1（2019江苏4）函数y=7+6x-x^2的定义域是所有实数。
函数f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)=-eax。
若f(ln2)=8，则a=ln(1/4)。
2.2（2019全国Ⅱ理14）已知。
2.3（2019全国Ⅲ理11）设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0,+∞)上单调递减，则正确的不等式是B。
2.4（2019北京理13）设函数f(x)=ex+ae-x(a为常数)，若f(x)为奇函数，则a=0；若f(x)是R上的增函数，则a的取值范围是(-∞,0)。
2.5（2019全国Ⅰ理11）关于函数f(x)=sin|x|+|sinx|有下述四个结论：①f(x)是偶函数；②f(x)在区间(π/2,π)单调递增；③f(x)在[-π,π]有4个零点；④f(x)的最大值为2.其中所有正确结论的编号是B。
2.6（2019全国Ⅰ理5）函数f(x)=sinx+x/cosx+x^2在[-π,π]的图像大致为D。
2.7（2019全国Ⅲ理7）函数y=2x+2-x在[-6,6]的图像大致为A。
2.8（2019浙江6）在同一直角坐标系中，函数y=11/x^2，y=loga(x+2)(a>0且a≠1)的图像可能是B。
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考点07 期中训练之函数的概念和性质1
1.（2020•洛阳期中）定义运算：，则函数f（x）＝1⊕2x的值域是（）
A．（0，1]B．（0，1）C．（l，+∞）D．[l，+∞）
2.（2020•东湖区校级期中）已知函数y＝log a（x﹣1）+4（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，点P在幂函
数y＝f（x）的图象上，则lgf（2）+lgf（5）＝（）
A．﹣2B．2C．﹣1D．1
3.（2020•丽水期中）已知函数f（x）＝ax5+bx3+cx+3，若f（5）＝7，则f（﹣5）＝（）
A．﹣1B．﹣4C．﹣7D．10
4.（2020•张家口期中）f（x）＝ax5+bx3+cx+7（a，b，c为常数，x∈R），若f（﹣7）＝﹣17，则f（7）＝（）
A．31B．17C．﹣31D．24
5.（2020•潍坊期中）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在（0，+∞）是增函数，设a＝f（﹣3），b＝f
（π），c＝f（﹣1），则a，b，c的大小关系是（）
A．a＜c＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b
6.（2020•小店区校级期中）若f（x）是偶函数，且对任意x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2，都有
＜0，则下列关系式中成立的是（）
A．B．
C．D．
7.（2020•湖北期中）函数的定义域为（）
A．B．
C．D．
8.（2020•普宁市期中）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）＝3x+1，则f（x）＝（）
A．3x B．3x+1C．3x﹣1D．3x﹣2
9.（2020•蚌埠期中）函数y＝f（x）的定义域是[﹣1，3]，则函数g（x）＝的定义域是（）A．[0，2]B．[﹣3，5]
C．[﹣3，﹣2]∪（﹣2，5]D．（﹣2，2]
10.（2020•常州期中）若幂函数y＝f（x）的图象经过点，则f（9）＝（）
A．9B．C．3D．
11.（2020•浙江期中）已知幂函数f（x）＝xα（α是常数），则（）
A．f（x）的图象一定经过点（1，1）
B．f（x）在（0，+∞）上单调递增
C．f（x）的定义域为R
D．f（x）的图象有可能经过点（1，﹣1）
12.（2020•湖北期中）已知幂函数y＝f（x）的图象过（27，3），求f（8）＝（）
A．2B．C．3D．
13.（2020•城关区校级期中）已知函数f（x+1）的定义域为[﹣2，1]，则函数的定义域为（）
A．[1，4]B．[0，3]C．[1，2）∪（2，4]D．[1，2）∪（2，3]
14.（2020•高安市校级期中）已知函数y＝x2﹣4x+3在区间[a，b]上的值域为[﹣1，3]，则b﹣a的取值范围是（）
A．[0，2]B．[0，4]C．（﹣∞，4]D．[2，4]
15.（2020•香坊区校级期中）已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x∈[0，+∞）时，f（x）＝2x﹣2，则
不等式f（x﹣1）＞0的解集为（）
A．（0，2）B．（﹣∞，0）∪（1，2）
C．（2，+∞）D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）
16.（2020•海安县校级期中）设函数g（x）＝e x+ae﹣x（x∈R）是奇函数，则实数a＝﹣．
17.（2020•长治县校级期中）已知函数f（x）＝﹣x2+ax﹣在x∈[0，1]时最大值为2，则a的值为﹣．
18.（2020•太原期中）函数y＝2x﹣1在[1，3]上的最大值为．
19.（2020•芜湖期中）已知幂函数f（x）的图象过点（3，），则函数g（x）＝（2x﹣1）f（x）在区间[，2]上的最大值是．
20.（2020•南岗区校级期中）已知函数f（x）＝a（e x﹣e﹣x）+b+2，若f（lg3）＝3，则f（lg）＝．
21.（2020•海安县期中）已知函数为奇函数，则不等式f（x）＜1的解集为﹣．
22.（2020•江阴市期中）已知函数是定义在[﹣1，1]的奇函数（其中e是自然对数的底数）．
（1）求实数m的值；
（2）若f（a﹣1）+f（2a2）≤0，求实数a的取值范围．
23.（2020•岳麓区校级期中）已知函数的图象经过点．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的定义域和值域；
（3）证明：函数f（x）是奇函数．
24.（2020•东海县期中）已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x+2．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当x∈[m，n]时，f（x）的取值范围为[2m，2n]，试求实数m，n的值．
25.（2020•沭阳县期中）函数f（x）＝log2（4x﹣1）
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若x∈[1，2]，函数g（x）＝2f（x）﹣m•2x+1，是否存在实数m使得g（x）的最小值为，若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
26.（2020•东海县期中）设函数f（x）＝a x﹣（k+2）a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．
（1）求实数k的值；
（2）若f（1）＝，g（x）＝a2x+a﹣2x﹣2mf（x），且g（x）在[1，+∞）上的最小值为1，求实数m的值．
27.（2020•湖北期中）近年来，中美贸易摩擦不断．特别是美国对我国华为的限制．尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G，然而这并没有让华为却步．华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲．今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机．通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，
每生产x（千部）手机，需另投入成本R（x）万元，且
由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．
（Ⅰ）求出2020年的利润W（x）（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式（利润＝销售额﹣成本）；（Ⅱ）2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？。