大学中常用不等式

大学中常用不等式,放缩技巧

一：一些重要恒等式

ⅰ：12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)／6

ⅱ: 13+23+…+n3=(1+2+…+n)2

Ⅲ：cosa+cos2a+…+cos2na=sin2n+1a／2n+1sina

ⅳ: e=2+1／2！+1/3！+…+1/n！+a/(n！n) (0

cosαcosβ= 1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinαcosβ= 1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosαsinβ= 1/2 [sin(α+β)+sin(α-β)]

sinαsinβ=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]

sinθ+sinφ=2sin(θ/2+θ/2)cos(θ/2-φ/2)

sinθ-sinφ=2cos(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)

cosθ+cosφ=2cos(θ/2+φ/2)cos(θ/2-φ/2)

cosθ-cosφ=-2sin(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)

tan＋tanB＋tanC=tanAtanBtanC

cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1

tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1 sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC

ⅵ:欧拉等式 e∏i=-1 (i是虚数，∏是pai)

ⅶ：组合恒等式（你们自己弄吧，我不知怎样用word编）二重要不等式

1:绝对值不等式

︱︱x︱-︱y︱︱≤∣x±y∣≤︱x︱+︱y︱(别看简单，常用)

2：伯努利不等式

（1+x1）（1+x2）…（1+xn）≥1+x1+x2+…+xn(xi符号相同且大于-1)

3：柯西不等式

(∑ ai bi)2≤∑ai2∑bi2

4:︱sin nx︱≤n︱sin x︱

5; (a+b)p≤2pmax(︱ap︱,︱bp︱)

(a+b)p≤ap+ bp (0

(a+b)p≥ap+ bp (p>1)

6:(1+x)n≥1+nx (x>-1)

7:切比雪夫不等式

若a1≤a2≤…≤an, b1≤b2≤…≤bn

∑aibi≥(1/n)∑ai∑bi

若a1≤a2≤…≤an, b1≥b2≥…≥bn

∑aibi≤(1/n)∑ai∑bi

三：常见的放缩(√是根号)(均用数学归纳法证)

1：1/2×3/4×…×(2n-1)/2n<1/√(2n+1)；

2：1+1/√2+1/√3+…+1/√n>√n;

3：n！<【(n+1/2)】n

4：nn+1>(n+1)n n！≥2n-1

5：2！4！…(2n)！>｛(n+1)！｝n

6：对数不等式（重要）x/(1+x)≤㏑（1+x）≤x

7：(2/∏)x≤sinx≤x

8:均值不等式我不说了（绝对的重点）

9：（1+1/n）n<4

四：一些重要极限

(书上有，但这些重要极限需熟背如流)

假如高等数学是棵树木得话，那么极限就是他的根，函数就是他的皮。树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见这一章的重要性。

为什么第一章如此重要？各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面

首先对极限的总结如下

极限的保号性很重要就是说在一定区间内函数的正负与极限一致

1 极限分为一般极限，还有个数列极限，（区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种）

2解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！！！你还能有补充么）

1 等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在） e 的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。全部熟记

（x趋近无穷的时候还原成无穷小）

2 LHopital 法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）首先他的使用有严格的使用前提！！！！！！

必须是 X趋近而不是N趋近！！！！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件

（还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！）

必须是函数的导数要存在！！！！！！！！（假如告诉你g（x）, 没告诉你是否可导，直接用无疑于找死！！）

必须是 0比0 无穷大比无穷大！！！！！！！！！

当然还要注意分母不能为0

LHopital 法则分为3中情况

1 0比0 无穷比无穷时候直接用

2 0乘以无穷无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了

3 0的0次方 1的无穷次方无穷的0次方

对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因， LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX 趋近于0）

3泰勒公式 (含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意！！！！）

E的x展开 sina 展开 cos 展开 ln1+x展开

对题目简化有很好帮助

4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法

取大头原则最大项除分子分母！！！！！！！！！！！

看上去复杂处理很简单！！！！！！！！！！

5无穷小于有界函数的处理办法

面对复杂函数时候，尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。