一次函数——平面直角坐标系
北京四中
编稿：王润岚审稿：谷丹责编：赵云洁
平面直角坐标系
一、内容综述：
1、平面直角坐标系：
平面内有公共原点并且互相垂直的两条数轴，构成平面直角坐标系。
在平面直角坐标系内，对于平面内任意一点，都有一对有序实数和它对应，反过来，对于任意一对有序实数，在坐标平面内都有一个确定的点和它对应。
2、各象限内点的坐标的特征：
（1）如图，各象限点的符号情况。
（2）设P1（x1, y1）, P2（x2, y2），
P1、P2关于x轴对称x1=x2且y1=-y2；
P1、P2关于y轴对称x1=-x2且y1=y2；
P1、P2关于原点对称x1=-x2且y1=-y2.
（3）平行于坐标轴直线上两点的坐标：
直线P1P2平行于x轴x1≠x2且y2=y1；
直线P1P2平行于y轴x1=x2且y2≠y1.
3、象限角平分线上点的坐标
设P（x, y）
若P点在第一、三象限角平分线上x=y，
若P点在第二、四象限角平分线上x=-y.
4、距离
（1）若P（x, y）(xy≠0)，则P点到原点距离为。
（2）若P（x, y）(xy≠0)，则P点到x轴距离为|y|，
则P点到y轴距离为|x|.
（3）若P1（x, 0）, P2（0, y），则P1与P2的距离为。
（4）若P1（x1, 0）, P2（x2, 0）且x1≠x2，则P1、P2两点间距离为|x1-x2|，若P1、P2在平行于x轴的直线上，即P1（x1, y1），P2（x2, y2）且x1≠x2，y1=y2，则P1，P2两点间距离为|x1-x2|。
（若P1，P2两点在y轴上，或在平行于y轴的直线上，P1，P2两点距离为|y1-y2|）。
（5）若P1（x1, y1）且(x1y1≠0), P2（x2, 0）且x1≠x2, 则P1，P2两点距离为。
二、例题分析：
例1，已知点M（3a-8, a-1），分别根据下列条件求出M点坐标。
（1）点M在y轴上；
（2）点M在第二、四象限角的平分线上；
（3）点M在第二象限，并且a为整数；
（4）N点坐标（3，-6），并且直线MN//x轴。
解：（1）∵点M在y轴上，其横坐标为0，
∴3a-8=0, a=,
∴M点坐标为（0，）。
（2）∵点M在第二、四象限角的平分线上，其横纵坐标互为相反数。
∴3a-8+a-1=0, a=,
∴M点坐标为（-，）。
（3）∵点M在第二象限，其横坐标为负，纵坐标为正，
∴
解得，1<a<, 故整数a=2.
∴M点坐标为（-2，1）。
（4）∵MN//x轴，并且点M、N的坐标分别为（3a-8, a-1）和（3，-6），故M、N两点的纵坐标应该相等，而横坐标应该不等。
∴
∴M点坐标为（-23，-6）。
说明：（1）第一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点的横纵坐标互为相反数。
（2）与x轴平行的直线上各点的纵坐标都相等；与y轴平行的直线上各点的横坐标都相等。
例2，已知A（m-2, -3）和B（-6, 1-n）两点，分别求出当A、B满足下列条件时，m、n的值。
（1）关于x轴对称；
（2）关于y轴对称；
（3）关于原点对称。
解：（1）当A、B两点关于x轴对称时，
解得，
∴m=-4, n=-2.
（2）当A、B两点关于y轴对称，
解得，
∴m=8, n=4.
（3）当A、B两点关于原点对称时，
解得，
∴m=8,n=-2.
说明：此题考察有关对称点坐标的概念，要分清关于x轴对称，y轴对称，关于原点对称的两个点坐标的特点。
例3，已知A点坐标为（-2，-1），
（1）如果B为x轴上一点，并且AB=，求B点坐标；
（2）如果C为y轴上一点，并且C点到原点距离为3，求线段BC的长。
解：（1）如图所示，作AD⊥x轴于D，
∵A点坐标为（-2，-1），
∴D点坐标为（-2，0），
设B点坐标为（x, 0），
在Rt△A DB中，∠ADB=90°，AB=，AD=1，
∴BD==3，
∴|x-(-2)|=3,
解得，x1=-5, x2=1.
∴B点坐标为（-5，0）或（1，0），即B点坐标为B1（-5，0）或B2（1，0）。
（2）∵C点在y轴上且OC=3，
∴点C为C1（0，3）或C2（0，-3），
∵B1B2垂直平分线段C1C2，
∴B1C1=B1C2==，
B2C1=B2C2==。
答：B点坐标为（-5，0）或（1，0），BC长为或。
说明：此题先根据点在坐标轴上设出点的坐标（含有未知数），再由坐标轴上两点间距离公式，AB=|x B-x A|及勾股定理构造方程通过求方程的解使问题解决。
此题（2）要注意：C点到原点的距离为3，C点的位置是在y轴正半轴上或在y轴负半轴上。
例4，如图，直角梯形OA BC中，OA//BC，∠AOC=90°，∠OAB=60°，OA=10，梯形面积为32，求点A、B、C的坐标。
解：作BD⊥OA于D，则四边形ODBC为矩形，
设BC长为x, 则OD长为x, AD长为(10-x)，
∵Rt△BDA中，∠BA D=600，
∴BD=AD·tan60°=(10-x)，
∵S梯形=(CB+OA)·BD=32，
∴(x+10)·(10-x)=32.
解得，x=±6,
∵x>0, ∴x=6,
∵OA=10，点A在x轴正半轴上，
∴A点坐标为（10，0），∴AD=4，
∴BC=6，BD=4，点B在第一象限，
∴B点坐标为（6，4）；
∵OC=BD=4，点C在y轴正半轴，
∴C点坐标为（0，4），
答：A、B、C三点的坐标分别为（10，0）、（6，4）、（0，4）。
说明：点在直角坐标系中的位置实际上含有两个方面：一是点在直角坐标系中所位于的象限（或位于x轴、y轴上），即位置在某一指定的范围（简称定域）；二是点到两坐标轴的距离（简称定量），点的坐标也会有两个方面：一是点的横、纵坐标的性质符号；二是点的横纵坐标的绝对值，显然点的“定域”决定于点的横、纵坐标的性质符号；点的“定量”决定于点的横、纵坐标的绝对值，所以若点的位置唯一确定（即定域又定量），则它的坐标也唯一确定；若点的位置只定域，没定量，则它的横、纵坐标有了一定的取值范围，可利用它构造方程或不等式；若点的位置只定量，未定域，则它的坐标的绝对值确定，而横、纵坐标的性质符号不能确定，应分类讨论。
此例中点既定域又定量，此类题一般确定点的坐标分为两步：一是确定此点
到轴的距离，垂足到原点的距离，即确定此点横、纵坐标的绝对值（由定量确定点坐标的绝对值）；二是由此点的位置确定此点的横、纵坐标的符号（由定域确定点的横、纵坐标的符号）。
若此题不给出此种图形，只要求OA在x轴上，OC在y轴上，那么点A、B、C的坐标分别是什么呢？请想一想。
三、自我测试
（一）填空题：
1、点A在第二象限内，且到x轴的距离为5，到原点的距离为13，则点A的坐标为________。
2、已知点A（-5，3），B（2，-7），第三象限有一点P到x轴距离与点A到x轴距离相同，点P到y轴距离与B点到y轴距离相同，则P点的坐标为___________。
3、已知点A（a, -）, B（, b），若A、B两点关于x轴对称，则a=___________, b=___________.
4、已知点P（a, -2）在第三象限，点P'（-a, -2），则（1）点P'位于第_____象限；（2）点P与点P'关于_____轴对称；（3）点P与点P'之间的距离为_______。
（二）解答题：如图，等腰梯形OBCD中，底CD=2，腰OD=4，∠BOD=450，试求等腰梯形OBCD关于y轴的轴对称图形的各顶点的坐标。
四、自我测试答案：
（一）填空：
1、（-12，5）
2、（-2，-3）
3、，
4、（1）四（2）y（3）-2a
（二）解答题：
解：过C、D两点作x轴的垂线，垂足为E、F。
∵CD//BO，OD=BC，CD=2，∠BOD=450，
∴EF=CD，∠OBC=∠BOD=450，
∵OD=4，
∴OF=DF=CE=EB=2，
∴OB=OF+EF+EB=4+2，
∴等腰梯形OBCD的四个顶点的坐标为O（0，0）、B（4+2，0）、C（2+2，2），
D（2，2），
∴等腰梯形OBCD关于y轴的轴对称图形各顶点的坐标为O（0，0），B'（-4-2，0）、
C'（-2-2，2）、D'（-2，2）。
一次函数与平面直角坐标系的关系
一次函数与平面直角坐标系的关系好吧，今天咱们聊聊一次函数和那个平面直角坐标系的关系。
哎呀，听起来有点儿枯燥对吧？其实一点儿都不！咱们把这事儿说得简单点，让你听得明明白白，乐得不行。
什么是一条一次函数的直线呢？其实它就像生活中的很多事情，有个开始，然后一路往前走。
就像你和朋友约好去吃饭，从家里出发，一步一步走到餐厅。
这里的起点，就是你家。
然后，你走的每一步，代表着你离目标的距离。
简单吧？一次函数就是这样一种关系，表示着一种线性变化。
它的标准形式是 (y = mx + b)，听起来有点儿学术，但别担心，咱们只要记住这几个字母就行了。
在这公式里，(m) 是斜率，咱们可以想象成你上坡的陡峭程度。
坡度越大，走起来就越累，就像你爬山的时候，越是陡的地方，越让人喘不过气来。
反过来，(b) 就是 y轴上的截距，简单说就是你在 y 轴上的起点。
如果把这条直线画出来，哇塞，就像一条划过纸上的闪电，真的很帅气。
现在，想象一下，你在坐标系上画一条线。
横着的是 x 轴，竖着的是 y 轴。
你在这两条轴上，随便选个点。
那就是你的出发点，接着根据一次函数的公式，画出这条线。
它就是你在生活中的各种选择，或者说是梦想的道路。
每一步，都是向着目标迈进。
再看看这条线，它可能很平滑，也可能有点儿波折，这就像人生，有高兴也有低谷。
直线的方向告诉你很多事儿。
比如说，它向上走，那就是事业顺风顺水，生活红红火火。
如果线条向下走，那可能就是最近有点不顺，心情也跟着低落。
看吧，这些看似简单的线条，背后藏着的可是大智慧呢！而且啊，不同的直线代表了不同的关系。
你和朋友的关系、家庭的关系，甚至工作上的合作，都是通过这条线的斜率和截距在反映。
不过呢，这些公式和线条可不是死板的东西。
它们是活生生的，跟我们的生活息息相关。
比如说，想象你要开一家小店，售卖你最爱的零食。
你投入的资金就是 y 轴，销售额就是 x 轴。
你可以通过一次函数来预测你可能的收入，这可比盲目猜测靠谱多了。
平面直角坐标系.一次函数知识概念
平面直角坐标系.一次函数知识概念平面直角坐标系一.知识概念1.有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对，记做（a,b）2.平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。
3.横轴、纵轴、原点：水平的数轴称为x轴或横轴；竖直的数轴称为y轴或纵轴；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
4.坐标：对于平面内任一点P，过P分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别在x轴，y 轴上，对应的数a,b分别叫点P的横坐标和纵坐标。
5.象限：两条坐标轴把平面分成四个部分，右上部分叫第一象限，按逆时针方向一次叫第二象限、第三象限、第四象限。
坐标轴上的点不在任何一个象限内。
平面直角坐标系是数轴由一维到二维的过渡，同时它又是学习函数的基础，起到承上启下的作用。
另外，平面直角坐标系将平面内的点与数结合起来，体现了数形结合的思想。
掌握本节内容对以后学习和生活有着积极的意义。
教师在讲授本章内容时应多从实际情形出发，通过对平面上的点的位置确定发展学生创新能力和应用意识。
一次函数一.知识概念1.一次函数：若两个变量x,y间的关系式可以表示成y=kx+b(k≠0)的形式,则称y是x的一次函数(x为自变量,y为因变量)。
特别地,当b=0时,称y是x的正比例函数。
2.(0,0)的一条直线。
3.正比例函数y=kx（k≠0）的图象是一条经过原点的直线，当k>0时，直线y=kx 经过第一、三象限,y随x的增大而增大，当k<0时，直线y=kx经过第二、四象限,y 随x的增大而减小，在一次函数y=kx+b中:当k>0时,y随x的增大而增大; 当k<0时,y随x的增大而减小。
4.已知两点坐标求函数解析式：待定系数法一次函数是初中学生学习函数的开始，也是今后学习其它函数知识的基石。
在学习本章内容时，教师应该多从实际问题出发，引出变量，从具体到抽象的认识事物。
培养学生良好的变化与对应意识，体会数形结合的思想。
一次函数的图像和性质
一次函数的图像和性质一次函数是一个代数函数，也称为线性函数或直线函数。
它是最简单的一种函数形式，在数学和物理等领域中都有广泛的应用。
一次函数的一般形式为y = ax + b，其中a和b是常数，且a≠0。
一次函数的图像是一个直线，在平面直角坐标系中表示为一根斜率为a的直线，并且通过点(0,b)。
斜率a表示函数的变化率，即y随x的变化速度。
当a>0时，表明随着x增大，y也增大；当a<0时，表明随着x增大，y减小；当a=0时，函数是一个常数函数。
一次函数图像的性质包括斜率、截距、与坐标轴的交点等。
1.斜率：一次函数的斜率表示函数图像在x轴方向每单位变化时，y轴方向的变化量。
斜率的计算可以通过选择两个不同的x值，计算对应的y值的差异，然后除以对应x值的差异。
即斜率a=Δy/Δx。
斜率为正的函数图像向上倾斜，斜率为负的函数图像向下倾斜，斜率为零的函数图像是水平的。
2. 截距：一次函数的截距表示函数图像与y轴的交点，它的值可以从函数的形式y=ax+b中得到。
当x=0时，y=b，因此截距为b。
3. 与坐标轴的交点：一次函数的图像与x轴的交点为y=0时的x值，可以通过令y=0，解方程ax+b=0，得到x=-b/a。
图像与y轴的交点已经在上述截距部分提到，为(0, b)。
4.平行：两个斜率相等的一次函数图像是平行的，它们可能在坐标轴上的交点不同，但是平行于同一直线。
5. 垂直平分线：对于一次函数y = ax + b，它的垂直平分线为x =-a/2、如果两个函数的图像关于该直线对称，那么它们是互为反函数。
6. 对称轴：对于一次函数y = ax + b，它的对称轴为x = -b/(2a)。
如果交换a和b的位置，可以得到该函数关于y轴对称函数。
如果交换x和y的位置，可以得到原函数的倒数。
7.等差数列：一次函数的图像可以表示等差数列，其中公差为斜率a。
数列的第一个项为截距b。
8.增长率：一次函数的增长率等于斜率a的绝对值。
中考复习——平面直角坐标系、一次函数、反比例函数及其图象 知识点汇总及典例分析
中考复习——平面直角坐标系、一次函数、反比例函数【知识梳理】一、平面直角坐标系1. 坐标平面上的点与 有序实数对 构成一一对应；2. 各象限点的坐标的符号；3. 坐标轴上的点的坐标特征．4. 点P （a ，b ）关于x 轴对称的点的坐标为 ；关于y 轴对称的点的坐标为 ；关于原点对称的点的坐标为5.两点之间的距离二、函数的概念1.概念：在一个变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有 的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数.2.自变量的取值范围： （1）使解析式 （2）实际问题具有 意义3.函数的表示方法； （1） （2） （3） 三、一次函数的概念、图象、性质1．正比例函数的一般形式是 （ ），一次函数的一般形式是 (k≠0). 2. 一次函数y kx b =+的图象是经过（ ， ）和（ ， ）两点的一条直线.4.若两个一次函数解析式中，k 相等，表示两直线 ；若两直线垂直，则 。
5.的大小决定直线的倾斜程度，越大，直线越 ；四、反比例函数的概念、图象、性质1．反比例函数：一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成y ＝ 或 或 （k 为常数，k≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数． 2. 反比例函数的图象和性质k ＞0，b ＞0k ＞0，b ＜0k ＜0，b ＞0k ＜0，21212211P P )0()0()2(y y y P y P -＝， ，，，21212211P P )0()0()1(x x x P x P -＝， ， ，， 3．k 的几何含义：反比例函数y ＝k x(k≠0)中比例系数k 的几何意义，即过双曲线y ＝k x(k≠0)上任意一点P 作x 轴、y 轴垂线，设垂足分别为A 、B ，则所得矩形OAPB 的面积为 。
【例题精讲】 例1.函数22y x =-中自变量x 的取值范围是 ;函数y =x 的取值范围是 ．例2.已知点(13)A m -，与点(21)B n +，关于x 轴对称，则m = ，n = ． 例3.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（10，0），点B 的 坐标为（8，0）,点C 、D 在以OA 为直径的半圆M 上,且四边形OCDB 是平行四边形，点C 的坐标为例4．一次函数y=(3a+2)x －(4－b),求满足下列条件的a 、b 的取值范围。
一次函数总结
一次函数总结一次函数，也称一次方程，是指其最高次幂为1的方程。
一次函数的一般形式可以表示为y = kx + b，其中k和b为常数，k代表斜率，b表示截距。
一次函数是数学中最简单的函数之一。
它的图像是一条直线，因此也被称为直线函数。
一次函数是平面直角坐标系中最基本的图形，具有很多重要的性质和应用。
首先，一次函数的斜率k表示了直线的倾斜程度。
当k大于0时，直线向右上方倾斜；当k小于0时，直线向右下方倾斜；当k等于0时，直线与x轴平行。
斜率的绝对值越大，直线的倾斜程度越大。
其次，一次函数的截距b表示了直线与y轴的交点，在图像中可以看出直线在y轴上的截距。
当b大于0时，直线与y轴的交点位于y轴的上方；当b小于0时，直线与y轴的交点位于y轴的下方；当b等于0时，直线经过坐标原点。
截距的正负决定了直线在y轴上的位置。
通过斜率和截距，我们可以对一次函数的图像进行定位和研究。
例如，当斜率为正且截距为0时，直线将从原点出发，逐渐向右上方倾斜。
当斜率为负且截距为0时，直线将从原点出发，逐渐向右下方倾斜。
当斜率为0且截距为正时，直线将平行于x轴，并在y轴上方与之平行的一条水平线相交。
当斜率为0且截距为负时，直线将平行于x轴，并在y轴下方与之平行的一条水平线相交。
一次函数在实际中有许多应用。
例如，在经济学中，一次函数可以用来描述市场的供求关系。
在物理学中，一次函数可以用来描述速度与时间的关系，即速度等于斜率乘以时间加上初始速度。
在工程学中，一次函数可以用来描述物体的运动轨迹。
在统计学中，一次函数可以用来拟合数据并进行线性回归分析。
总之，一次函数作为最简单的函数之一，在数学和应用领域都有广泛的应用。
通过斜率和截距，我们可以对一次函数的图像进行定位和研究，并利用其性质进行建模和分析。
掌握一次函数的基本概念和应用，对于理解数学和解决实际问题都具有重要意义。
平面直角坐标系与一次函数(一轮复习)
一、平面直角坐标系 １. 有序数对有顺序的两个数a 与b 组成的数对叫做有序数对，记作(),a b ．利用有序数对，可以准确地表示出一个位置．２. 平面直角坐标系定义：平面直角坐标系是由两条互相垂直的数轴组成，且两轴的交点是原点，同一数轴上的单位长度是一样的，但两轴上的单位长度不一定相同.注意数轴有三个要素——原点、正方向和单位长度.我们规定水平的数轴叫做横轴，取向右为正方向；另一数轴叫纵轴，取向上为正方向.知识点睛中考要求平面直角坐标系与一次函数３. 象限和轴：横轴（x 轴）上的点（x ，y ）的坐标满足：0y =；纵轴（y 轴）上的点（x ，y ）的坐标满足：0x =；第一象限内的点（x ，y ）的坐标满足：00x y >⎧⎨>⎩；第二象限内的点（x ，y ）的坐标满足：00x y <⎧⎨>⎩；第三象限内的点（x ，y ）的坐标满足：00x y <⎧⎨<⎩；第四象限内的点（x ，y ）的坐标满足：00x y >⎧⎨<⎩；４. 点的坐标：已知点P 分别向x 轴和y 轴作垂线，设垂足分别是A 、B ，这两点在x 轴、y 轴的坐标分别是a 、b ，则点P 的坐标为（a ，b ）.点的坐标是一对有序数，横坐标写在纵坐标前面，中间用“，”号隔开，再用小括号括起来.５. 特殊直线：与横轴平行的直线：点表示法（x ，m ），x 为任意实数，0m ≠的常数（即直线y m =）；与纵轴平行的直线：点表示法（n ，y ），y 为任意实数，0n ≠的常数（即直线x n =）； 一、三象限角平分线：点表示法（x ，y ），x ，y 为任意实数，且x y =； 二、四象限角平分线：点表示法（x ，y ），x ，y 为任意实数，且x y =-；６. 点到线的距离点（a ，b ）到直线y m =（m 为常数）的距离为b m -，当0m =时，就是点到横轴（x 轴）的 距离为b ；点（a ，b ）到直线x n =（n 为常数）的距离为a n -，当0n =时，就是点到纵轴（y 轴）的距离为a ；这个知识点在已知三点的坐标求三角形面积时会用到.７. 对称：①点（x ，y ）关于横轴（x 轴）的对称点为（x ，y -）； ②点（x ，y ）关于纵轴（y 轴）的对称点为（x -，y ）；③点（x ，y ）关于原点（0，0）的对称点为（x -，y -）； ④点（x ，y ）关于点（a ，b ）的对称点为（2a x -，2b y -）；８. 平移：⑴点平移：①将点（x ，y ）向右（或向左）平移a 个单位可得对应点（x a +，y ）或（x a -，y ）. ②将点（x ，y ）向上（或下）平移b 个单位，可得对应点（x ，y b +）或（x ，y b -）. ⑵图形平移：①把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个正数a ，相应的新图形就是把原图形向右（或 向左）平移a 个单位.②如果把图形各个点的纵坐标都加上（减去）一个正数a ，相应的新图形就是把原图形向上（或 向下）平移a 个单位.二、函数与变量 常量与变量的概念：我们在现实生活中所遇到的一些实际问题，存在一些数量关系，其中有的量永远不变，同时也出现了一些数值会发生变化的两个量，且这两个量之间相互依赖、密切相关．在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量．在某一变化过程中，有两个量，例如x 和y ，对于x 的每一个值，y 都有惟一的值与之对应，其中x 是自变量，y 是因变量，此时也称y 是x 的函数．在一些变化过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量．例如：圆的面积S 与圆的半径r 存在相应的关系：2πS r =，这里π表示圆周率；它的数值不会变化，是常量，S 随着r 的变化而变化，r 是自变量，S 是因变量；◆ “y 有唯一值与x 对应”是指在自变量的取值范围内，x 每取一个确定值，y 都唯一的值与之相对应，否则y 不是x 的函数．◆ 判断两个变量是否有函数关系,不仅要有关系式，还要满足上述确定的对应关系．x 取不同的值，y 的取值可以相同． 例如:函数2(3)y x =-中，2x =时，1y =；4x =时，1y =．◆ 函数不是数，它是指在一个变化过程中两个变量之间的关系，函数本质就是变量间的对应关系．数学上表示函数关系的方法通常有三种：⑴解析法：用数学式子表示函数的方法叫做解析法．譬如：30S t =，2S R π=． ⑵列表法：通过列表表示函数的方法．⑶图象法：用图象直观、形象地表示一个函数的方法．关于函数的关系式(即解析式)的理解：● 函数关系式是等式． 例如4y x =就是一个函数关系式． ● 函数关系式中指明了那个是自变量，哪个是函数．通常等式右边代数式中的变量是自变量，等式左边的一个字母表示函数．例如：y =x 是自变量，y 是x 的函数． ● 函数关系式在书写时有顺序性．例如：31y x =-+是表示y 是x 的函数，若写成13yx -=就表示x 是y 的函数． ● 求y 与x 的函数关系时，必须是只用变量x 的代数式表示y ，得到的等式右边只含x 的代数式．自变量的取值范围：很多函数中，自变量由于受到很多条件的限制，有自己的取值范围，例如y =中，自变量x 受到开平方运算的限制，有10x -≥即1x ≥；当汽车行进的速度为每小时80公里时，它行进的路程s 与时间t 的关系式为80s t =；这里t 的实际意义影响t 的取值范围t 应该为非负数，即0t ≥． 在初中阶段，自变量的取值范围考虑下面几个方面： ⑴根式：当根指数为偶数时，被开方数为非负数． ⑵分母中含有自变量：分母不为0．⑶实际问题：符合实际意义．函数图象：函数的图象是由平面直角中的一系列点组成的．描点法画函数图象的步骤：⑴列表； ⑵描点； ⑶连线．函数解析式与函数图象的关系：⑴满足函数解析式的有序实数对为坐标的点一定在函数图象上； ⑵函数图象上点的坐标满足函数解析式．三、一次函数及其性质● 知识点一 一次函数的定义一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，0k ≠）的函数，叫做一次函数，当0b =时，即y kx =，这时即是前一节所学过的正比例函数．⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．⑵当0b =，0k ≠时，y kx =仍是一次函数． ⑶当0b =，0k =时，它不是一次函数．⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．● 知识点二 一次函数的图象及其画法⑴一次函数y kx b =+（0k ≠，k ，b 为常数）的图象是一条直线． ⑵由于两点确定一条直线，所以在平面直角坐标系内画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可．①如果这个函数是正比例函数，通常取()00，，()1k ，两点； ②如果这个函数是一般的一次函数（0b ≠），通常取()0b ，，0b k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，即直线与两坐标轴的交点．⑶由函数图象的意义知，满足函数关系式y kx b =+的点()x y ，在其对应的图象上，这个图象就是一条直线l ，反之，直线l 上的点的坐标()x y ，满足y kx b =+，也就是说，直线l 与y kx b =+是一一对应的，所以通常把一次函数y kx b =+的图象叫做直线l ：y kx b =+，有时直接称为直线y kx b =+．● 知识点三 一次函数的性质⑴当0k >时，一次函数y kx b =+的图象从左到右上升，y 随x 的增大而增大； ⑵当0k <时，一次函数y kx b =+的图象从左到右下降，y 随x 的增大而减小．● 知识点四 一次函数y kx b =+的图象、性质与k 、b 的符号⑵一次函数y kx b =+中，当0k >时，其图象一定经过一、三象限；当0k <时，其图象一定经过二、四象限．当0b >时，图象与y 轴交点在x 轴上方，所以其图象一定经过一、二象限；当0b <时，图象与y 轴交点在x 轴下方，所以其图象一定经过三、四象限．反之，由一次函数y kx b =+的图象的位置也可以确定其系数k 、b 的符号．知识点五 用待定系数法求一次函数的解析式⑴定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待字系数法． ⑵用待定系数法求函数解析式的一般步骤： ①根据已知条件写出含有待定系数的解析式； ②将x y ，的几对值，或图象上的几个点的坐标代入上述的解析式中，得到以待定系数为未知数的方程或方程组； ③解方程（组），得到待定系数的值； ④将求出的待定系数代回所求的函数解析式中，得到所求的函数解析式．板块一、平面直角坐标系【例1】 ⑴在平面直角坐标系中，点()12A x x --，在第一象限，则x 的取值范围是 ；⑵ 点12,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭在第二象限的角平分线上，则a = ；⑶如果点()12P m m -，在第四象限，那么m 的取值范围是（ ） A ．210<<m B ．021<<-m C ．0<m D ．21>m ⑷对任意实数x ，点2(2)P x x x -，一定不在．．（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【例2】 ⑴点()35P -，关于x 轴对称的点的坐标为（ ） A ．()35--，B ．()53，C ．()35-，D ．()35， ⑵点()21P -，关于y 轴对称的点的坐标为（ ） A ．()21--，B ．()21，C ．()21-，D ．()21-，⑶在平面直角坐标系中，点()23P -，关于原点对称点P '的坐标是 ． ⑷已知点P (1a +，21a -)关于x 轴的对称点在第一象限，求a 的取值范围．【例3】 ⑴ 如图，在平面直角坐标系中，直线l 是第一、三象限的角平分线．实验与探究：①由图观察易知A （2，0）关于直线l 的对称点'A 的坐标为（0，2），请在图中分别标明B （5，3），C （2-，5）关于直线l 的对称点'B 、'C 的位置，并写出他们的坐标: 'B ,'C ； 归纳与发现：②结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P （a ，b ）关于第一、三象限的角平分线l 的对称点'P 的坐标为 （不必证明）； ③点A （a ，b ）在直线l 的下方，则a ，b 的大小关系为 ；若在直线l 的上方，则 ． ⑵ 已知：如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为(100)A ，，(04)C ，，点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动．当ODP △是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为________．例题精讲y xl665454332121-1-2-3-1-2-3CPBDOAxy【巩固】 如图，把图①中的A 经过平移得到O (如图②)，如果图①中A 上一点P 的坐标为()m n ，，那么平移后在图②中的对应点P '的坐标为 ．【例4】 在平面直角坐标系中，点()25A ，与点B 关于y 轴对称，则点B 的坐标是（ ） A ．(52)--，B ．()25--，C ．()25-，D ．()25-，【例5】 在平面直角坐标系中，已知线段AB 的两个端点分别是()41A --，，()11B ，，将线段AB 平移后得到线段A B ''，若点A '的坐标为()22-，，则点B '的坐标为（ ） A ．()43，B ．()34，C ．()12--，D ．()21--，板块二、函数及其图像【例6】 ⑴下列图形中的曲线不表示y 是x 的函数的是（ ）.DCBAyxOyxO yx OyxO⑵小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来．他已存有50元，从现在起每个月节存12元．请写出小张的存款y 与从现在开始的月份数x 之间的函数关系式及自变量x 的取值范围．【例7】 如图，在矩形ABCD 中，AB=2，1BC =，动点P 从点B 出发，沿路线B C D →→作匀速运动，那么ABP ∆的面积S 与点P 运动的路程x 之间的函数图象大致是（ ）【例8】 某污水处理厂的一个净化水池设有2个进水口和1个出水口，三个水口至少打开一个．每个进水口进水的速度由图甲给出，出水口出水的速度由图乙给出.某一天0点到6点，该水池的蓄水量与时间的函数关系如图丙所示.通过对图象的观察，小亮得出了以下三个论断：⑴0点到3点只进水不出水；⑵3点到4点不进水只出水，⑶4点到6点不进水也不出水.其中正确的是( )A ．⑴B ．⑶C ．⑴⑶D ．⑴⑵⑶甲 乙 丙(小时)))【例9】 小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点A ，再走上坡路到达点B ，最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示．下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到家门口需要的时间是（ ） A ．12分钟 B ．15分钟 C ．25分钟 D ．27分钟DC P B AB ．C ．D ．【例10】 如图表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程y （km ）随时间x （min ）的变化的图像（全程），根据图像回答以下问题：（1）求比赛开始多少分钟时，两人第一次相遇？ （2）求这次比赛的全程是多少？（3）求比赛开始多少分钟时，两人第二次相遇？板块三、一次函数图像【例11】 一次函数的图象过点()1,0，且函数值随着自变量的增大而减小，写出一个符合这个条件的一次函数解析式 ．【巩固】 已知一次函数的图象过点()0,3与()2,1，则这个一次函数y 随x 的增大而 ．【例12】 下列图形中，表示一次函数y mx n =+与正比例函数y mnx =（m 、n 为常数且0mn ≠)的图像是下图中的()AB C D【例13】 如图所示，在同一直角坐标系中，一次函数1y k x =，2y k x =，3y k x =，4y k x =的图像分别是1l ，2l ，3l ，4l ；那么1k ，2k ，3k ，4k 的大小关系是.ll【例14】 已知函数y kx b =+的图象如图，则2y kx b =+的图象可能是（ ）ABCD板块四、一次函数解析式的确定【例15】 已知一次函数y ax b=+的图象经过点(02A，，(14B ，，()4C c c +，．⑴ 求c ；⑵ 求222a b c ab ac bc ++---的值．【例16】如图，将直线OA向上平移1个单位，得到一个一次函数的图像，那么这个一次函数的解析式是．板块五、一次函数与几何综合【例17】已知：如图，直线y=+与x轴交于点A，与直线y=相交于点P．（1）求点P的坐标．（2）请判断OPA∆的形状并说明理由．（3）动点E从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿着O→P→A的路线向点A匀速运动（E 与点O、A重合），过点E分别作EF x⊥轴于F，EB y⊥轴于B．设运动t秒时，矩形EBOF与OPA∆重叠部分的面积为S．求：①S与t之间的函数关系式．②当t为何值时，S最大，并求S的最大值．【例18】 在平面直角坐标系中，直线162y x =-+与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，⑴ 直接写出B 、C 两点的坐标；⑵ 直线y x =与直线162y x =-+交于点A ，动点P 从点O 沿OA 方向以每秒1个单位的速度运动，设运动时间为t 秒（即OP t =）过点P 作PQ x ∥轴交直线BC 于点Q ，①若点P 在线段OA 上运动时（如图），过P 、Q 分别作x 轴的垂线，垂足分别为N 、M ，设矩形PQMN 的面积为S ，写出S 和t 之间的函数关系式，并求出S 的最大值；②若点P 经过点A 后继续按原方向、原速度运动，当运动时间t 为何值时,过P 、Q 、O 三点的圆与x 轴相切.【例19】 如图，平面直角坐标系xOy 中，一条直线l 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点(0,2)B ,与正比例函数(0)y mx m =≠的图像交于点(1,1)P （1）求直线l 的解析式；（2）求AOP ∆的面积MSDC 模块化分级讲义体系 初中数学．中考复习．第04讲．学生版 Page 13 of 15【例20】 如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 是坐标原点。
平面直角坐标系和一次函数的复习课件
一次函数的应用
解方程
线性方程可以使用一次函数的 相关知识进行求解。
统计学
在统计学中，一次函数常用来 探索变量之间的线性关系。
实际应用
一次函数在各种现实生活问题 中都有着广泛的应用。
一次函数和平面直角坐标系的联系
平面直角坐标系的定义
是一个平面上的几何工具，可以用于描述点 和图形的位置。
平面直角坐标系的坐标轴
一次函数的定义和特点
1 定义
2 特点
定义: $y=kx+b$，其中$k$是斜率，$b$是 截距。
图像是直线，斜率为直线的倾斜程度，截 距表示图像与$y$轴交点的高度。
平面直角坐标系中一次函数的图像
图像
一次函数的图像是一条直线， 可以通过特殊点如截距点,斜率 等来讨论。
斜率截距式
斜率截距式为$y=kx+b$，$k$ 是斜率，$b$是截距。
联系
平面直角坐标系的坐标轴和一次函数的图像 都可以用于定位和描述位置。
坐标轴将平面分为四个象限，用于定位点的 位置。
一次函数的定义
是代数工具，用于描述变量之间的线性关系。
一次函数的图像
一次函数的斜率和截距唯一地决定了图像的 位置。Βιβλιοθήκη 复习和总结平面直角坐标系
可以用于描述平面上的点和图形的位置。
应用
可以解方程，处理统计学中的数据和应对现 实生活中的问题。
一次函数的定义
是代数工具，用于描述变量之间的线性关系， 包括斜率和截距。
截距
截距是线段与$y$轴相交点离 原点的距离，$x$轴也有相应 的截距。
一次函数的斜率和截距
1
斜率
表示直线的倾斜程度，计算公式为: $k=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$。
一次函数平面直角坐标系
一次函数平面直角坐标系在数学的世界里，一次函数就像是平面直角坐标系里的那位老朋友，简单又亲切。
想象一下，坐标系就像是一张大桌子，而一次函数就是摆在上面的那盘美味佳肴，永远让人觉得有滋有味。
说到一次函数，它的标准形式是 (y = mx + b)，这其实就像是在告诉我们，这个函数的图像是一条斜斜的直线。
哎，别小看这条直线，它可是有故事的人呢。
它的斜率 (m) 就像是你攀登人生高峰的劲头，正负之分也许代表着你心情的起伏。
往上走，心情就好；往下走，哎，那可是阴雨天。
记得我第一次接触一次函数的时候，心里可不太情愿。
觉得这玩意儿复杂得像个高深的哲学问题。
可是慢慢地，我发现这玩意儿其实挺有趣。
比如说，想象一下，如果你和朋友约好一起去喝奶茶，你们走路的速度就是那斜率。
越快，斜率就越大，喝到奶茶的时间也就越短，哈哈。
要是你们悠闲得像是散步，斜率就小了，等着喝奶茶的时间也就多了。
然后说到这个 (b)，它就像是你们约的地方。
比如说，在坐标系的原点，就是你们的出发点。
无论你们走得多远，最终都得在这个 (b) 这个地方见面。
它是你的起点，也是你的归宿。
看，这个一次函数真的是一个充满人生哲理的家伙。
它教会我们，不管走得多远，最终都得有个归属感，不是吗？一次函数的图像是直线，这样的简单形式就像是生活中的很多事情，表面上看似简单，实则内涵丰富。
比如说，生活中的很多问题其实也是线性的，越努力，结果越好。
这时候，你可能会想，“哎，生活不就是这样吗？”其实没错，很多时候只要保持一个良好的斜率，生活就会顺畅得多。
人们常说“稳中求进”，这不就是在说保持一个适合的斜率吗？当我们在课堂上画出一次函数的图像时，那种直线的感觉就像是跟数学谈了一场甜蜜的恋爱，心里暖暖的。
你想啊，数学本身就给人一种神秘感，而这条简单的直线却能把所有的复杂问题统统解决。
哇，这简直是太神奇了，真是让人对数学刮目相看。
我还记得，有一次在学校做实验，老师让我们用一次函数来预测未来的成绩。
一次函数与平面直角坐标系测试卷(完整版)
一次函数与平面直角坐标系测试卷一，选择题（10*3=30） 1．若a>0,b<-2，则点(a,b+2)在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知点P 关于x 轴的对称点P 1的坐标是（2，3），那么点P 关于原点的对称点P 2的坐标是 （ ） A ．（－3，－2）B ．（2，－3）C ．（－2，－3）D ．（－2，3）3．下列函数关系式:①x y -=；②;112+=x y ③12++=x x y ；④xy 1=。
其中一次函数的个数是（ ）A ． 1个B ．2个C ．3个D ．4个4．要从x y 34=的图象得到直线324+=x y ，就要将直线x y 34=（ ） A ．向上平移 32个单位 B ．向下平移 32个单位C ．向上平移 2个单位D ．向下平移 2个单位5．下面图象中，不可能是关于x 的一次函数()3--=m mx y 的图象的是（ ）6．已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象（如图），当x ＜0时，y 的取值范围是（ ） A ．y ＞0 B ．y ＜0 C ．-2＜y ＜0 D ．y ＜-2 7．已知一次函数y=23x+a 和y=-21x+b 的图像都经过点A(-2,0), 且与y 轴分别交于B,C 两点,那么△ABC 的面积是 ( )A. 2B. 3C. 4D. 68．某小汽车的油箱可装汽油30升，原有汽油10升，现再加汽油x 升。
如果每升汽油2.6元，求油箱内汽油的总价y （元）与x （升）之间的函数关系是（ ）A ． 2.6(020y x x =≤≤）B ． 2.626(030y x x =+<<）C ． 2.610(020y x x =+≤<）D ． 2.626(020y x x =+≤≤）-21xy9．小明的父亲饭后出去散步，从家走20分钟到一个离家900米的报亭，看10分钟报纸后，用15分钟返回家里．下面四个图象中，表示小明父亲的离家距离与时间之间关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．若点（－4，y 1），（2，y 2）都在直线y=1x t 3-+上，则y 1与y 2的大小关系是 （ ）A ．y 1>y 2B ．y 1=y 2C ．y 1<y 2D ．无法确定二、填空题(10*3=30)1．一次函数12-=x y 一定不经过第 象限．2．在函数23x y x -=-中，自变量x 的取值范围是__________.3．直线y=2x-1与x 轴的交点坐标是A____________;与y 轴的交点坐标是B_____________.4．已知函数1231xy x -=-，x ＝__________时，y 的值时0，x=______时，y 的值是1；x=_______时，函数没有意义．5．点Ａ（２，３）到x 轴的距离为 ；点Ｂ（-４，０）到y 轴的距离为 ；点C 到x 轴的距离为1，到y 轴的距离为3，且在第三象限，则C 点坐标是 ． 6．函数n m x m y n +--=+12)2(，当m= ，n= 时为正比例函数；当m ，n= 时为一次函数．7．写出具备下列条件的一次函数表达式（写出一个即可）： （1）y 随着x 的增大而减小：（2）图象经过点（1，－3）： ． 8．直线y=kx+b 与直线y=32x -平行，且与直线y=312+-x 交于y 轴上同一点，则该直线的解析式为________________________________.9．三角形ABC 中BC 边上的中点为M ，在把三角形ABC 向左平移2个单位，再向上平移3个单位后，得到三角形A 1B 1C 1的B 1C 1边上中点M 1此时的坐标为（-1，0），则M 点坐标为 .10．观察下列各正方形图案，每条边上有n (n ＞2)个圆点，每个图案中圆点的总数是S ．按此规律推断出S 与n 的关系式为 ． 三、解答题1．已知函数y=(2m+1)x+m -3(1)若函数图象经过原点，求m 的值(2)若这个函数是一次函数，且y 随着x 的增大而减小，求m 的取值范围（8分）2．在某地，人们发现某种蟋蟀1分钟所叫次数与当地温度之间近似为一次函数关系。
平面直角坐标系与一次函数
平面直角坐标系和一次函数对于这一部分知识中考中主要以选择和填空的形式出现，主要考查不同坐标系中点的特点及函数的图象、性质与函数的解析式，在解答题中经常出现用函数知识解决实际问题，在中考中一般占到6-10分左右。
知识梳理知识点1：平面直角坐标系及函数图象例1：已知点P （a ＋1，2a －1）关于x 轴的对称点在第一象限，求a 的取值围． 解体思路：本题根据点的坐标特征建立起不等式组是解题的关键．对称点在第一象限，则点P 在第四象限．根据各象限点的坐标特征，可以建立关于a 的不等式组，求出a 的取值围．依题意P 点在第四象限，则有⎩⎨⎧<->+01201a a ，解得－1＜a ＜12． 答案：a 的取值围是－1＜a ＜12． 例2：函数y=21x +中，自变量x 的取值围是 ． 解体思路：要使代数式211x x +-有意义，必须有21010x x +≥⎧⎨-≠⎩，解得x≥－12 且x≠15． 答案：x≥－12 且x≠15． 例3 ：三军受命，我解放军各部奋力抗战在救灾一线.现有甲、乙两支解放军小分队将救灾物资送往某重灾小镇，甲队先出发，从部队基地到该小镇只有唯一通道，且路程为24km ．如图是他们行走的路程关于时间的函数图象，四位同学观察此函数图象得出有关信息,其中正确的个数是（ ）A.1B.2C.3D.4解题思路：结合题意、图象看出，甲队出发2小时后乙队出发，他们同时到达目的地，路程都是24 km ，甲队用了6小时，乙队用了4小时．可以求得，乙队行驶的平均速度是24÷4=6 km/h ．所以，第二、第三个同学的叙述正确．又观察图象，甲、乙两队行走的路程、时间的函数图象相交，交点的横坐标是4.5，这说明两个队在行驶途中有一次相遇，是在乙队出发2.5小时后追上甲队，所以，第一个同学的叙述正确．在甲队行走的路程、时间的函数图象中，在3～4小时之间的一段是水平的，意味着这段时间甲队在途中停留，所以第四个同学的叙述是正确的．综上所述，四个同学的叙述都正确。