自旋 我们生活在一个怎样的世界里
物理学中的电子自旋研究
物理学中的电子自旋研究自旋是物理学中一个非常重要的概念，尤其在量子力学和固体物理领域。
自旋可以被看作是物质微观世界的一个内禀性质，类似于它的质量和电荷。
在本文中，我们将探讨电子自旋在物理学研究中的重要性以及一些相关的应用。
自旋是指微观粒子围绕着自身轴线旋转的现象。
虽然根据经典物理学的角度来看，自旋的存在似乎没有很大的实际意义，但事实上，在量子力学中，自旋是一种非常重要的性质。
自旋的出现使得许多现象可以在理论上得到解释，并推动了很多科学技术的发展。
量子力学的自旋理论给出了电子自旋的描述。
根据自旋理论，自旋可以取两个不同的值：上自旋和下自旋，通常用"+1/2"和"-1/2"表示。
对于每个自旋，它都对应着一个角动量，因此自旋可视为与角动量类似的物性。
电子自旋在物理学中的研究以及相关应用非常广泛。
一个经典的例子是磁共振成像技术（Magnetic Resonance Imaging，MRI）。
MRI利用了电子自旋的特性来生成人体的影像。
在MRI过程中，被研究的目标暴露在强大的磁场中，使得电子自旋在该磁场中取向有所改变。
通过改变磁场，研究者可以观察到自旋的变化，进而得到关于目标结构和组织的信息。
此外，电子自旋的研究对于开发新型电子器件和计算技术也起到了重要作用。
例如，磁随机存储器（Magnetic Random Access Memory，MRAM）利用了自旋的性质，使得存储信息的位可以通过电子自旋的状态来表示。
相比传统的电荷存储器，MRAM具有快速读写速度和低功耗的优势，因此在信息技术领域有着广泛的应用前景。
电子自旋的研究也为固体物理学提供了重要的理论基础。
例如，在自旋杂化系统中，自旋和电荷之间的相互作用可能导致新的物理现象和性质。
自旋-轨道耦合（spin-orbit coupling）是一种常见的自旋杂化现象，它可以导致自旋在材料中的演化和传输。
通过对自旋杂化现象的研究，科学家们能够发现新的奇特量子态，如拓扑绝缘体和拓扑超导体，这些都为新型能源和电子器件的发展提供了重要思路。
微观粒子的自旋
微观粒子的自旋自旋是描述微观粒子性质的一个重要概念，自旋的存在引发了对量子力学的深入研究和理解。
在本文中，我们将探讨微观粒子的自旋的概念、性质以及其在物理学中的应用。
一、自旋的定义和意义自旋是描述微观粒子的内禀角动量的量子数，与地球上物体的自转并无直接联系。
自旋属性是某些粒子独有的，例如电子、质子和中子等。
自旋量子数可以取整数或半整数，用ℏ表示。
自旋对微观粒子的性质和行为产生了重要影响。
自旋决定了粒子相对于外加磁场的取向，并在磁场中产生磁矩，从而影响粒子在磁场中的运动和相互作用。
此外，自旋还与粒子的统计性质有关，通过自旋，理论物理学家引入了泡利不相容原理等重要概念。
二、自旋的特性1. 自旋量子数：自旋量子数是自旋取值范围的一个常数。
对于半整数自旋的粒子（如电子），其自旋量子数为1/2；而对于整数自旋的粒子（如质子），其自旋量子数为1。
2. 自旋态：自旋态描述了微观粒子的自旋取向。
对于自旋1/2的粒子，其自旋态可用“上”和“下”两个本征态表示；对于自旋1的粒子，其自旋态可用“正”、“负”和“零”三个本征态表示。
3. 自旋测量：自旋的测量会使自旋态塌缩为特定的本征态。
测量自旋时，对于自旋1/2的粒子，结果为上/下两个本征态其中之一；对于自旋1的粒子，结果为正/负/零三个本征态其中之一。
4. 自旋相互作用：自旋相互作用是微观粒子之间的相互作用。
根据自旋的相对取向，自旋可以表现出平行（同向）或反平行（反向）的形式。
自旋的相互作用将影响粒子的物理行为和性质。
三、自旋在物理学中的应用1. 磁性材料：自旋与粒子的磁矩相关联，因此在磁性材料的研究中具有重要地位。
通过调控自旋取向，可以实现磁性材料的控制与调制，如磁存储器件等。
2. 强子物理：自旋在强子物理中起着重要作用。
强子是由夸克组成的复合粒子，夸克自旋的组合决定了强子的自旋状态和统计性质。
通过粒子对撞实验，可以揭示强子的自旋结构和强子物理的基本规律。
3. 量子计算和信息：自旋也在量子计算和信息领域有着重要应用。
自旋的原理
自旋的原理自旋是量子力学中的一个重要概念，它描述了微观粒子的一种内禀性质。
在物质微观世界中，所有的粒子都有自旋，包括电子、质子、中子等。
自旋最初是根据物理学家斯特恩和格拉赫（Otto Stern和Walter Gerlach）的实验发现的。
他们在1922年的实验中，通过将银蒸汽通过一个狭缝后，将其传播到一个磁场中，发现银原子的轨迹并不均匀地分成两束。
这一实验结果表明，银原子存在一个围绕某个轴旋转的内禀角动量，这就是我们所称的自旋。
自旋是一个量子性质，与经典物理学中的角动量类似，但又有一些不同之处。
经典物理学中，角动量是轨道运动造成的，而自旋则是粒子固有的、与其自身性质相关的。
自旋可以用一个“角动量矢量”来描述，这个矢量的大小和方向代表了自旋的强度和方向。
自旋有两个可能的取值：上自旋和下自旋，通常用记号↑⟩和↓⟩来表示。
对电子而言，上自旋表示自旋朝向与外磁场相反，下自旋表示自旋朝向与外磁场相同。
自旋也可以视为粒子固有的旋转，但与经典物理学中的旋转不同，自旋并没有具体的轴，它是一种无轴的旋转。
自旋的原理可以从量子力学的观点来解释。
在量子力学中，粒子的状态可以用一个量子态来描述，量子态可以表示为一个数学上的矢量。
自旋态是另一种量子态，描述了粒子的自旋特性。
自旋态可以用一个二维向量空间来表示，这个空间称为自旋空间。
在自旋空间中，有两个正交归一的基态组成的基。
这两个基态分别对应于上自旋和下自旋。
在量子态中，一个自由粒子的自旋态可以看作是上自旋和下自旋的线性叠加。
例如，一个电子的自旋态可以表示为：ψ⟩ = a ↑⟩ + b ↓⟩其中，a和b是复数，且满足归一化条件a ^2 + b ^2 = 1。
这个复数表示了粒子的自旋在上自旋和下自旋之间的分布情况。
自旋态的系数a和b的平方可以解释为发现上自旋或下自旋的概率。
自旋在物理中起着重要的作用。
首先，自旋是粒子的内禀性质，与其它量子数（如电荷、质量等）无关。
因此，自旋在描述粒子的整体特性时是不可或缺的。
生活中的旋转
生活中的旋转旋转是生活中一个常见的现象，它存在于各个层面和方面。
从日常生活的细节到宇宙的大规模旋转，旋转是一个普遍存在且多样化的概念。
本文将探讨生活中的旋转，从物理学、生物学和文化艺术等方面分析其意义和影响。
1. 物理学中的旋转在物理学中，旋转是一个重要的概念。
从最基本的旋转运动到宏观物体的自转，旋转在物质世界中无处不在。
例如，地球的自转造成了昼夜的交替以及极地地区的极夜和极昼现象。
太阳系中的行星也以自转的方式运动，这种旋转运动对地球的稳定性和生命的存在至关重要。
除了天体运动，微观世界也存在旋转。
例如，原子和分子的旋转运动决定了物质的性质和化学反应的过程。
旋转对电子、自旋态和磁场等物理现象也有重要影响。
因此，研究旋转运动在物理学中具有重要意义，对我们理解宇宙和物质的本质有深远影响。
2. 生物学中的旋转旋转不仅存在于物理世界，也在生物世界中起着重要作用。
生物体的旋转运动广泛存在于生物学中，如旋转的细胞分裂、旋转的水涡和旋转的植物枝干等。
在细胞生物学中，旋转是细胞分裂过程中的一个重要步骤。
细胞通过旋转的方式将染色体均匀分离到新生细胞中，确保细胞遗传物质的稳定传递。
旋转在叶绿体分裂、线粒体分裂和鞭毛的生长等生物过程中也起着关键作用。
在生物体的结构和运动中，旋转同样是重要的组成部分。
例如，许多生物体拥有旋转的器官，如眼球的转动、耳朵的传声骨的旋转和蜗牛壳的螺旋形状等。
这些旋转结构和运动使得生物可以适应不同的环境，并进行感知和运动。
3. 文化艺术中的旋转旋转不仅在自然界中存在，而且在文化艺术中也得到广泛应用。
旋转运动常常被用来表达动态、活力和变化，成为了舞蹈、音乐和视觉艺术的重要元素。
在舞蹈中，旋转动作给人以独特的视觉和音乐上的享受。
旋转动作可以使得舞者在空间中留下美丽的弧线，给人以快乐和轻盈的感觉。
例如，芭蕾舞中的旋转和旋转跳动作展示了舞者的灵活性与技巧。
在音乐中，旋转音符、旋转节奏和旋转旋律常被运用，赋予音乐以律动感和活力。
“旋转”是宇宙物质运动的基本特征和存在形式
“旋转”是宇宙物质运动的基本特征和存在形式无论你感觉到或感觉不到，我们都是生活在一个旋转的世界里。
“天旋、地旋、人亦旋”是物质存在的普遍特征。
没有不旋转的物质存在，也没有物质不旋转。
物质的旋转是绝对的，不旋是相对的。
1、旋转是物质存在的最基本形态我们生活在地球上，地球不仅以大约一年的时间围绕太阳公转，而且以大约24小时的时间在自转，所以，地球上的一切，包括人和物都随地球在公转和自转，无一例外。
毛泽东诗词：“坐地日行八万里”也就是说的这个意思。
我们常见或感性认识的旋转是水中以及江河中的涡旋，还有卫星云图上气旋或台风的涡旋云系。
随着现代科技的发展，不仅探测到很多外太空的涡旋星系，而且整个宇宙都是一个大涡旋套小涡旋的众多复杂涡旋结构的系统。
如太阳系行星围绕太阳旋转；太阳系又围绕银河系的中心旋转；银河系又围绕星系团中心旋转；小星系团又围绕大星系团中心旋转，大星系团组成的整个宇宙物质围绕宇宙轴旋转等等。
从微观上讲，从组成物质的原子构成看，电子不仅有自旋而且还围绕原子核公转；原子核也是更小的基本粒子组成，并且这些基本粒子几乎都有自旋。
2、旋转的特征和产生的原因旋转的形态有左旋和右旋两种。
其结构有周期性和非周期性两种。
严格的讲，自然界的旋转多是非周期性或拟周期性的（近似周期性）。
涡旋就是一种常见的非周期性旋转，地球绕太阳公转是拟周期性的。
由于物质结构的非均匀特征，使得内部压力不均匀一致，导致系统产生扭力而表现为涡旋运动。
这种涡旋的产生机制不仅对微观还是宏观都是成立的。
理论上只有均匀的或无形状无大小的质点才会直线运动，但质点是不存在的。
所以在设计过程中，要使运动不岀现旋转或振动，其物体要尽可能的保持对称或均匀。
3、没有旋转就没有空间没有物质就没有空间，物质存在的基本运动形式是旋转。
旋转是物质和能量的高聚集区和集散地。
没有旋转，物质就会消散，就没有空间存在；只有旋转才能产生动态稳定平衡，所以，宇宙空间的大小基本就是宇宙物质旋转的大小。
自旋三重态解释
自旋三重态解释嘿，朋友们！今天咱来聊聊自旋三重态这玩意儿。
你说这自旋三重态啊，就像是一场奇妙的舞蹈。
想象一下，粒子们就像是一群欢快的舞者，它们在微观世界里尽情地跳跃、旋转。
自旋三重态呢，就是其中一种特别带劲的舞蹈风格。
在这个微观的舞台上，粒子们有着自己独特的舞步和节奏。
自旋三重态的粒子就像是那些充满活力、激情四溢的舞者，它们以一种特别的方式展现着自己的魅力。
咱们日常生活里也有类似的情况呀。
比如说，一场热闹的派对，有些人特别活跃，能带动整个气氛，这就有点像自旋三重态的粒子。
它们充满了能量，让周围的一切都变得生动起来。
而且哦，这自旋三重态可不是随随便便就出现的，它得在特定的条件下才会闪亮登场。
这就好像一个优秀的舞者，需要在合适的舞台、合适的音乐下才能发挥出最佳水平。
你知道吗，科学家们为了研究这自旋三重态可没少下功夫！他们就像一群执着的观众，努力去理解这些粒子的“舞蹈语言”。
他们通过各种实验和观察，一点点地揭开自旋三重态的神秘面纱。
想想看，要是没有这些科学家们的努力，我们怎么能知道这么奇妙的微观世界呢？这自旋三重态可真是让我们大开眼界啊！它就像是一个隐藏在微观世界里的宝藏，等待着我们去发现、去探索。
每次想到这里，我就忍不住感叹，这世界可真是太神奇了！我们生活的这个世界，既有宏观的壮丽景象，又有微观的奇妙之处。
而自旋三重态就是微观世界里一颗璀璨的明珠。
它让我们看到了物质的另一种表现形式，让我们对世界的认识更加深入、更加全面。
这难道不令人兴奋吗？所以啊，朋友们，不要小看这小小的自旋三重态，它里面蕴含着大大的学问呢！让我们一起保持对科学的好奇心，继续去探索这个充满神奇的世界吧！总之，自旋三重态就是这么神奇、这么有趣，值得我们好好去研究和了解。
量子力学科普：电子自旋，一种在宏观世界无法理解的特殊运动
量子力学科普：电子自旋，一种在宏观世界无法理解的特殊运动量子力学科普：电子自旋，一种在宏观世界无法理解的特殊运动相信喜欢量子力学的读者一定听说过这样一个名词：自旋，的确，每一个微观粒子都存在自旋这种现象，但微观粒子的自旋行为又与宏观物体的自旋行为截然不同，在宏观世界又找不到相同的现象作为参考，所以微观粒子的自旋是很难理解的，而在互联网上关于粒子自旋介绍的更是少之又少，往往都是简单介绍一下定义与公式，这篇文章以电子自旋为例，和大家一起聊一聊在微观世界中，自旋究竟是一种什么样的行为。
自旋，量子力学对自旋的定义是：由粒子内禀角动量引起的内禀运动，好吧，我相信大多数人看了这个定义之后还是无法理解自旋是什么，由粒子内禀角动量引起的内禀运动，这个解释实在是太抽象，角动量是什么？我们可以通俗的将角动量理解为一个描述物质旋转的物理量，角动量等于质量×半径平方×角速度，微观粒子的旋转可以分为两种，第一种是自旋角动量，第二种是轨道角动量，如果是质子、中子、原子核这种复合粒子，那么复合粒子的自旋就等于自旋角度量与轨道角动量之和。
下面来讲一讲自旋，从字面上来理解，就是代表这物体沿轴做自我旋转，例如：地球沿着地轴做自转，这里以电子为例，如果将宏观物质的自转概念直接套用到带电子身上，那么电子自旋也就是电子沿着电子中心轴进行自转，可问题来了：电子是一种不可再分的点粒子，点粒子有点类似于物理中质点的概念，点粒子是没有体积的，那么一个不存在体积的电子如何沿着中心轴自转呢？因为不存在体积，就根本不会存在中心轴的概念，所以将宏观物体自转的概念直接套用到电子身上是根本解释不通的。
早在1925年，著名物理学家泡利手下的两个助手就结合实验现象提出了电子存在自旋的行为，结果被泡利大骂了一顿，因为如果将电子的自旋理解成宏观物体的自转，那么电子表面的速度就要超越光速，这显然违背了相对论中光速最快的定论（如果当时泡利没有大骂这两个助手，而是认真的分析、总结，可能泡利就是第一个提出自旋行为的物理学家，那么泡利将会提前20年获得诺贝尔物理学奖）。
我们应该如何来理解粒子的自旋
我们应该如何来理解粒子的自旋导读：本章摘自独立学者灵遁者量子力学科普书籍《见微知著》。
此文旨在帮助大家认识我们身处的世界。
世界是确定的，但世界的确定性不是我们能把我的。
自旋现象在经典物理学和量子力学中都存在，我们这里着重介绍量子力学中的特点。
在量子力学中，自旋是粒子所具有的内禀性质，其运算规则类似于经典力学的角动量，并因此产生一个磁场。
虽然有时会与经典力学中的自转（例如行星公转时同时进行的自转）相类比，但实际上本质是迥异的。
经典概念中的自转，是物体对于其质心的旋转，比如地球每日的自转是顺着一个通过地心的极轴所作的转动。
地球自转并不是内在性质。
如果地球不转了,它还是地球,但是粒子如果自旋不一样,它就是一个新粒子。
首先对基本粒子提出自转与相应角动量概念的是1925年由拉尔夫·克罗尼希（英语：Ralph Kronig）、乔治·乌伦贝克与山缪·古德斯密特（英语：Samuel Goudsmit）三人所开创。
他们在处理电子的磁场理论时，把电子想象一个带电的球体，自转因而产生磁场。
后来在量子力学中，透过理论以及实验验证发现基本粒子可视为是不可分割的点粒子，所以物体自转无法直接套用到自旋角动量上来，因此仅能将自旋视为一种内禀性质，为粒子与生俱来带有的一种角动量，并且其量值是量子化的，无法被改变（但自旋角动量的指向可以透过操作来改变）。
自旋对原子尺度的系统格外重要，诸如单一原子、质子、电子甚至是光子，都带有正半奇数（1/2、3/2等等）或含零正整数（0、1、2）的自旋；半整数自旋的粒子被称为费米子（如电子），整数的则称为玻色子（如光子）。
复合粒子也带有自旋，其由组成粒子（可能是基本粒子）之自旋透过加法所得；例如质子的自旋可以从夸克自旋得到。
灵遁者量子物理科普书籍《见微知著》在灵遁者淘宝有。
自旋角动量是系统的一个可观测量，它在空间中的三个分量和轨道角动量一样满足相同的对易关系。
每个粒子都具有特有的自旋。
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电子的自旋对于电子，我们已经有些了解，知道它带一个单位的负电荷，与带电体发生Coulomb相互作用。
除了带电这一属性，电子的另外一个内在属性就是自旋。
自旋是一个非常重要的概念，是本书的基础。
作为一个纯量子力学概念，自旋和生活中的直观经验并不符合。
为了理解自旋，我们把它与一些熟悉的事物作类比。
a)自旋与地球自转自旋，顾名思义，“绕着自己旋转”。
电子也在绕着自己转动，就好象地球自转一样。
但是这有本质的不同。
地球自转，是绕着固定的地轴旋转，而电子自旋，作为一种内秉的对称性，其轴是不确定的。
当我们想知道这个旋转轴的方向，从某个角度看过去的时候，自旋的“旋转轴”，就总是垂直于我们观测的方向[注]。
我们可以把旋转轴看作一个向量，它有大小，表示旋转的强弱，也有方向，是绕轴旋转的方向。
对于一个来说，当我们从不同方向去看它的时候，我们看到的是它在视角上方向上的投影，见下图1-3。
图1-3 观察地轴投影。
我们看到的是向量在这个方向上的投影，长度为Lcos(theta)，其中L为向量的长度，theta为向量方向与观察方向的夹角。
显然，当我们平行与地轴的方向看过去时，投影为零，但当我们垂直看过去时，投影最大。
如果我们把自旋的轴也当作向量，对电子做同样的“观测”，则会发现，无论我们从何种角度看过去，电子自旋的轴（以下简称自旋）在各个方向上，投影大小都相同——它们都一样长！(见图1-4) 此外，自旋向量的方向，在每个视角看去，都有两个选择，彼此反平行。
但是一次观测中，只能看到一种选择，或是朝“上”，或是朝“下”。
具体哪个指向被观察到，对于一束非极化的电子（没有故意保留一个指向的电子而剔除掉另外一个指向），是完全随机的。
因为向量的投影大小随着视角的方向变化，而自旋的投影却保持不变，所以把电子自旋当作通常意义上的向量是不恰当的。
实际上，它是向量算子，代表着一类和向量有相同变换规律的运算。
即便如此，在很多情形下，我们就用通常意义上的向量（经典向量），来近似的描述电子自旋的性质。
图1-4 与观测地轴投影不同，自旋的“轴”在不同方向的投影大小相同。
在任一视角上，其投影方向有两种选择，或“上”或“下”。
地球的自转轴的长度，随着自转快慢而变长变短，而电子的自旋的“长度”，是一个固定的值，与外界任何条件都无关，就像它的电荷数是定值一样。
从这一点我们也可以看出，自旋是电子的内在属性。
b) 自旋与翻硬币搞清楚自旋与地球自转的区别之后，自旋的故事似乎结束了。
然而，真正的有趣尚未开始。
在上面的例子里，我们看到，每次对于自旋的观测，都能得到或“上”或下的结果。
而且，对于一束没有特别安排自旋方向的电子，其结果是随机的。
这很像翻硬币过程——同样都是输出两个结果，而且输出哪个是随机的。
但这和翻硬币有本质的不同。
为了说明这个不同，先推广空间的概念：对于一个物理过程，所有可能物理状态的**就叫做空间。
比如三维实空间，一个“状态”就意味着粒子处在一个三维坐标上。
对于翻硬币过程，所有可能结果即正面和反面，非正即反[忽略零测度的],根据以上空间的定义，{正，反}这两个状态，构成了这个空间有且仅有的两个元素。
我们管“正”“反”叫做这个空间的“态”，那么结果的**{正，反}就定义了一个态空间。
这有何神奇的呢？只要再外加一个看似不起眼原理，就能完完全全的改变它的性质，得它们成为量子力学的空间。
这个原理叫做叠加原理，就是说，如果“正面”和“反面”是空间里的态，那么它们的任意线性叠加也是该空间的态。
薛定谔的猫，亦死亦活，就是这个意思。
如果“死”是空间里的一个态，“活”是空间里的另一个态，那么“死+活”的又死又活态也是该空间的一个态。
也许这看似不可思议，但这正是量子力学的神奇之处；在非量子的经典空间1，如翻硬币的空间或者猫的死活的空间，没有亦正亦反的态，但是如果是量子力学的硬币，或量子力学里的猫，那么允许这种又死又活的猫，或者又正又反的硬币的叠加态的存在。
图1-5 叠加态的概念。
这样，如果把电子自旋朝“↑”看作硬币正面，自旋朝“↓”看作硬币反面，“↓”和“↑”，即观察自旋后，看到的态，如同硬币翻之后得到正反面一样。
在物理上，我们把态写在尖括号里，即|↑>和|↓>。
对于经典的硬币，其态空间里仅有{正，反}两个元素，对于电子自旋（量子硬币），虽然输出的测量结果也是非“↑”即“↓”，但是根据叠加原理，其态空间却允许任意的a|↑>+b|↓>存在，其中a与b是复系数。
c) 自旋与二维笛卡尔坐标系(x, y)电子自旋空间里，一个态可以分解为以|↓>与|↑>基向量的线性组合。
这不难联想到二维笛卡尔坐标系的向量：一个向量，可以分解为x分量与y分量的组合：|Ψ>=a|↑>+b|↓> = <↑|Ψ>|↑>+<↓|Ψ>|↓>式中，与分别为x, y方向上的单位向量。
这样，我们就建立了态与向量之间的类比。
它们都存在基向量，都可以被分量分解。
更进一步，我们就管态，叫做态矢量，尽管在与地球自转的类比中，它和向量有本质区别。
我们也可以定义内积，就是如同<↓|Ψ>的形式。
在向量空间里，内积表示两个向量“靠近”的程度：平行时完全重合，内积最大，垂直时内积为零，又叫做“正交”。
这里，|↓>与|↑>两个态，如同x与y一样，互相正交，<↓|↑>=0.这在物理上是可以理解的，两个态互相独立，没有外界机制时，不会互相转换。
d) 自旋的数学表述电子自旋的态空间，|↓>与|↑>两个态矢量，作为基向量构成；在某个方向上，做一次测量，就相当于对其做基向量方向的一次投影，得到|↓>或|↑>。
这里，我们并没有仔细考虑三维空间里的“某方向”。
怎么样可以既考虑到电子在态空间里的|↓>与|↑>自旋态，又考虑自旋本身在三维空间里的方向呢？既然自旋类比于矢量，先把它写成类似矢量的形式：这里用“S”，是因为自旋的英语是Spin,取其第一个字母。
由于图1-4里，电子自旋在任何方向的投影都相同，我们有对任意方向的单位矢量n，S ·n=常数。
显然，如果S的各个分量Sx, Sy, Sz只是通常意义的数，则不可能满足这个条件：不同方向上的投影一定不同。
但是如果S各个分量为矩阵，则还是可以满足这个条件的。
巨磁电阻效应——自旋电子的一个应用早期的电脑，存储能力十分有限，一个移动的存储介质，如3.5英寸软盘，只能储存1.44Mb 大小的文件。
而今天，体积更小的U盘，可以轻易的储存32G的数据量，比十多年前大了两万倍。
这是怎么做到的呢？这是利用了巨磁电阻效应。
该效应在1988年，由德国尤利西研究中心的彼得·格林贝格和巴黎第十一大学的艾尔伯·费尔分别独立发现的，他们因此共同获得2007年诺贝尔物理学奖。
所谓“磁电阻”，即有外加磁场时，材料的电阻随之改变。
“巨磁电阻”，即外加磁场时，材料电阻发生巨大改变的现象，如下图。
铁(Fe) 薄层——铬（Cr）薄层——铁(Fe)薄层的交替结构。
导线中的自旋电子，穿过交替结构，产生电阻。
当没有外加磁场或弱磁场(下图a) 时，结构中的两个Fe薄层里的电子自旋，反向排列。
这里顺带提一下，电子自旋的有序排列，正是磁铁形成的微观机制。
在图a)里，左边的Fe 层，自旋朝↑，从而磁铁N极朝上，S极朝下，右边的Fe层恰相反。
这时，对于导线中的自旋为↑的电子，它感受到的总电阻为(R↑↑+R↑↓)，其中，R↑↑为自旋向上的电子遇到自旋也向上(即N极向上)的铁磁层产生的电阻；R↑↓为自旋向上的电阻，遇到自旋向下的铁磁层产生的电阻。
同理，对于导线里自旋向下的电子，其感受到的薄层的总电阻为(R↓↑+R↓↓)。
其等效过程，见下图b)。
把两路电子产生的电阻看作并联电阻，并且根据对称性，认为R↑↑= R↓↓=R大，R↓↑= R↑↓= R小。
这样，该薄层结构的总电阻为（2）图1-6 在外加弱磁场时，产生巨磁电阻效应的薄层结构a)以及等效的电阻示意图b)。
外加强磁场时，两个Fe薄层都被磁化，自旋都朝↑排列。
如图1-7。
对于导线中自旋为↑的电子，其产生的电阻为R↑↑+ R↑↑，而导线里自旋为↓的电子，产生的电阻为R↓↓+ R↓↓。
并联后，总电阻为（3）图1-7 在强磁场时，两个Fe薄层的自旋方向平行，即均为N极朝上，S极朝下。
该薄层结构产生的总电阻，相当于导线中自旋为↑上的电子产生的电阻，与自旋为↓的电子产生的电阻的并联。
由于在数学上，调和平均值一定小于等于算术平均，我们有（4）这样，我们证明了一个重要结论：由于电子的自旋，在铁磁薄层结构里，电阻随着外加磁场的增加而减小，见图1-8。
图1-8 巨磁电阻效应示意图。
外加强磁场时，电阻很小，而且趋于恒定值；不加磁场时，电阻最大。
这和磁存储有何关系呢？由于计算机存储的是二进制”01110011”序列，巨磁电阻效应，使得磁场改变很小时，电阻发生很大的改变。
从而可以发生很灵敏的电阻转换，在很小的空间范围内，高低电阻即对于数据“0”和“1”这存储的基本单元。
由于巨磁电阻效应的空间灵敏度很高，同样大小的空间内可以有更多的存储单元存在，磁盘的容量也就变大了。
小结三维空间只是描述坐标位置的空间，其他空间的存在却很难被意识到。
也许平日里，上学回家，只时刻关注着自己的空间位置。
我们从不关心自己带有多少动量。
对于描述一个物理系统，三维实空间是远远不够的。
动量空间就是一个例子。
密闭容器里的气体，在实空间看来平淡无奇，密度均匀而已；但从动量空间看去，气体动量的分布呈一个简单的函数，从中可以知道气体很多其他性质，比如零速度的粒子是不存在的，比如在什么速率下粒子最多，还能知道温度性质。
动量空间也只是实空间以外的一个例子。
物理的状态，就活在那些基础状态组成的态空间里。
电子除了电荷以外的另一个性质，自旋就是如此。
它是旋转，却和地球自转不像；它有两个输出结果，却和翻硬币不像；它分解为基础态的叠加，却和向量分解为分量也不像。
自旋看似如此神秘，但是神奇的数学却可以描述它的全部性质。