合振动的初相位确定方法

合振动的初相位确定方法
梁沙莎
引言
（ 延安大学西安创新学院 建筑工程系 陕西 长安区 710100）
振动是自然界中最常见的运动形式之一，同时也是近代物理学和科学技术众
多领域中的重要课题。随着生产技术的发展，动力结构又向大型化，复杂化，轻
量化和高速化发展的趋势，由此而带来的工程振动问题更为突出。振动在当今不
物体运动时，如果离开平衡位置的位移（或角位移）按余弦函数（或按正弦 函数）的规律随时间变化，这种运动称为简谐振动，简称谐振动[1]。简谐振动是
一种最简单和最基本的振动，一切复杂的振动都可以看作是由若干个简谐振动合
成的结果。而振动的合成问题实际上是个运动合成问题，合振动的求解方法是用
矢量求和的方法。同方向同频率的的合成是简谐振动合成最简单的形式，对于这
种合成的求解，可以用代数法，也可以用几何法。各种相关资料中都只有这个合
成的结果，却没有对合成振动初相位两个 值的比较，和用什么样的方法进一 步的探讨挑选其中的一个最佳 值。下面就此问题进行深究。
二、简谐振动合成分析
由相关计算可知，这个合成的运动是简谐振动。若两个分振动的表达式是：
x1 A1 cos(wt 1) x2 A2 cos(wt 2)
取值。

A x 由图可知， 与 轴的夹角就是 ，且 1 2 ，因此，由②、
③、④各式中的任意一个计算出 后，就取介于 1 和 2 之间的那个为 值。
（二）当 1 2 时

A 说明两个简谐振动是反相位的，从旋转矢量图上可以看出，合振幅 与
，可用情况（二）进行计算。
由于 A1
1

A2
6
，说明：旋转矢量
A与
A1
同指向，则
五、结论（很重要，可以参照摘要加以扩充）
通过上文对简谐振动合成分析，探讨了同方向同频率简谐振动合成中初相位
的确定方法，提出了一种初相位的简便确定方法。
（一）当 1
2 时，两组 值的重叠部分即为所挑选出的 值，所需要
振动的振幅和初相位决定。
三、简谐振动合成初相位的确定方法
各种科技资料中，都只给出了初相位的计算公式，但这是一个三角函数表达
A A , 式。对于确定的 1 ， 2 ， 1 2 ，就是在一个同期中， 也应该有两个 值，这是数字计算所给出的结果，毋庸质疑。问题是：怎样从这两个 值中确
定这个合振动的初相位？怎样进行挑选？一般的科技资料中都没有给出。对于这
的那个 值。（即就取介于 1 和 2 之间的那个为 值。） （二）当 1 2 时，用 A 与 A1 或 A2 的指向关系，就可用 1
或 2 表示 ，从而确定了 ：
当 A1 A2 时， A 与 A1 同指向，则 1 ，
当 A1 A2 时， A 与 A2 同指向，则 2 ，
A A A （三）当
2 时，用 与 1 和 2 的指向关系就可确定 。
通过具体例子，证明这种方法是正确可行的，结论是正确的。对于我国这样
一个地震多发国家的建筑物设计人员，有着不可忽视的作用；也为探讨振动问题
的科技人员提供理论基础。
参考文献 《普通物理学》程守洙编（高等教育出版社）1998 年版[1] 《大学物理》朱峰主编（清华大学出版社）2004 年版 《高等数学》同济大学应用数学系主编（高等教育出版社）2002 年(5)版
5 6

]
解csio：ns用41 44cossi2n6的6方法31cI3ossi(n(565)6)
可解得：
4x
3
3(6
3)
1
3
4x 12 3( 12) 1 2
可解得：2
22
取它们的重[叠4部si分n，则有 3sin( 5 )]
还tg可计算：
A A 1 和 2 共线，由①式知：
A2
A
A A1 A2 2
在此情况，可不必用②、③、④式进行计 O A A A 算 ，只需用 与 1 或 2 的指向关系，就
1

ω
A1
可用 1 或 2 表示 ，从而确定了 ： 当 A1 A2 时， A 与 A1 同指向，则 1 ， 当 A1 A2 时， A 与 A2 同指向，则 2 ，
仅作为基础科学的一个重要分支，而且正走向工程科学发展的道路，它在地震学、
建筑力学、机械、航空、航天、等工业技术部门中占有越来越重要的地位。因此，
掌握同方向同频率简谐振动合成中初相位的确定方法，从而为研究现代科学技术
振动和动态问题是十分重要的，更为初学者探讨振动问题打下良好的基础。
一、简谐振动基本概念
类问题，初次接触是不易解决的。我们学习土木工程专业的学生研究振动很有必
要。因为我国是一个多地震的区域，各种建筑物的设计中必须考虑防震的因素，
因此，必须深刻理解、牢固掌握、灵活运用有关地震方面的振动知识，确定合振
的初相位 。
对于 值的确定，可以按以下几种情况，通过不同途径计算和挑选。
（一）当 1 2 时 方法 I：通过计算、比较、确定 值
由②、③、④中的任意两式分别计算可各得两个 值，两组 值的重叠
部分即为所挑选出的 值，所需要的那个 值。
方法 II：通过计算，结合旋转矢量图确定 。
A , A, A 由旋转矢量法可知：振幅矢量 1
都以角速度 w 沿逆时针方向转动，
因此，在旋转过程中，平行四边形的形状不会发生变化，可用 t=0 时刻讨论 的
（三）当 2 时
A 说明两个简谐振动是同相位的，从旋转矢量图上可以看出，振幅矢量 与 A A 1 和 2 同指向，则有
1 2

A A A 在此情况下，也不必用②、③、④式进行计算，只用 与 1 和 2 的
指向关系就可确定 。
四例求xxA、：合121例两振证个动434同的cc2方表oo向达ss3((同式1120频。0tt率2简x谐4566振x)3动)c的os表[达6式为(：
[4cos
可解得：
6
6

或6
73sin(
6
6
5
6
)]
同样，由 cos 与 tg 的重叠部分，则有

同样，由
sin

与
tg

的重叠部分，则有

6
6
则合振动的表达式：
x
1Acocos(s1(0tt
) )
6
方法 II：
由于 1
2


6
(
5 6

)

1
A2 A2
sin 2 Ac2osin2
2
②
或
cos
或

A1 cos 1
A A2 cos2
A
③ ④
A A , 说明：合振动的初相们与分振动的振幅 1 ， 2 和初相位 1 2 都有关。
由此可见，这是确实合振动的振幅 A 和初相位 的确定与简谐振动确定振幅和
初相的不同之处是：这里的振幅和初相位不是由初始条件确定的，完全由两个分
则合振动的表达式是：
x A cos(wt )
合振动的振幅是：
A A12 A22 2 A1 A2 cos(12 ) ① A A , 说明：合振动的振幅与两个分振动的振幅 1 ， 2 和初相位 1 2 都有关
合tg振si动n的初AA相11位csA：oi1nssin11