简谐振动中的振幅周期频率和相位

T
三 相位（Phase）描述振动物体运动状态的物理量
x Acos(t ) x
A
v A sin(t ) o
用相位来描述运动状态，
就可以区分位置和速度都相 同的状态。
A v
v v
T 2
xt 图
v
T
v
t
t : t 时刻的相位，描述 t 时刻的运动状态。
相位在 0 ~ 2内π变化，质点无相同的运动状态；
解：1）因T = 2s。于是
2
T
(rad / s)
将已知条件代入运动方程 x Acos(t )
得： x0 A cos 即 考虑到 t = 0时 v0 A sin
于是运动学方程为 x 0.12
3
0
cos(
t
)
3
m 16
3
于是运动学方程为 x 0.12 cos( t ) m
2）已知物体作简谐运动，由系统的力学 性质及初始条件求出振动表达式；
或 3）已知由振振动动表曲达线式求，出求振出动：表达式。
A、、 及、a、F 等
12
例：一弹簧振子系统，弹簧的弹性系数为 k = 0.72N/m，物体的 质量为 m = 20 g。今将物体从平衡位置沿桌面向X轴正向拉长到
0.04m 处静止释放，求：振动方程。
2π 2π
表示 2π秒时间内物体完 成全振动的次数。
T
（也称圆频率）
4
说明： 1）简谐运动的基本特性是它的周期性；
2）周期、频率或圆频率均由振动系统本身的性 质所决定。
对于弹簧振子：
k , 1 k , T 2 m
m
2 m
k
简谐运动的表达式还可以写为:
x Acos( t ) Acos(2 t ) Acos(2 t 5 )
幅和初相位由初始条件决定。
9
说明：
A
x02
v02
2
tan v0 x0
（1）j 的取值在 -π和 +π（或0和2π）之间；
（2）应用上面的式子求j 时，一般来说有两个值，还要由初始
条件来判断应该取哪个值；
（3） 常用方法：由 求出A，
然后由
A＝
x02
v0
2
x0 = Acosj，v0 = - Aωsinj
两个同频率的简谐振动，在同时刻的相位差：
( t 20 ) ( t 10 ) 20 10
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A 四 常数 和 的确定
x Acos(t ) v A sin(t )
初始条件 t 0 x x0 v v0
x0 A cos v0 Asin
A
x02
v02
2
tan v0 x0
对给定振动系统，周期由系统本身性质决定，振
x0
又由
Acos
0 A
即：
sin 0
2
,
4cos ， sin 0 ,
2
3
214
3
由 t 1s 时，x1 2cm,
即：2 4cos( 2 )
3
cos( 2 ) 1
32
4 x (cm )
o2
-2
1
-4
xt 图
t (s)
2
2
,
（注意：这里不能等于
）
3
3
又由 1 Asin(
两者的共同部分求j 。
10
讨论 已知 t 0, x0 0,0 0 ，求
x Acos(t )
0 Acos
π
2
0 A sin 0
x
A
sin 0 取 π
2
o
x Acos(t π) A
2
v
x
o
Tt
T
2
11
求解简谐运动的典型问题：
1）给出振动系统，证明物体的运动 是简谐运动。
3
2）当 t = 0.5s 时，质点的位置、速度、加速度；
x 0.12 cos( t )
t = 0.5
13
因而简谐振动的方程为： x 0.04cos(6t) (m)
例：已知振动曲线，求：振 动表达式。
解：设振动表达式为：
x Acos(t )
4 x (cm )
o2
-2
1
-4
xt 图
t (s)
由振动曲线知： A 4cm
初始条件： t 0 时 ，x0 2cm, 0 0
由振动曲线还可知： t 1s 时，x1 2cm, 1 0
16.1.2 描述简谐振动的特征量
1
主要内容： 描述简谐振动的物理量：
振幅 周期 频率 角频率 位相和初位相
学习中的重点和难点：
位相（phase）
2
x Acos(t )
一、 振幅（Amplitude） 反映振动幅度的大小
x xt图
A
o
Tt
T
A
2
A xmax
振幅A：物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。
振幅的大小与振动系统的能量有关，由系统的初
始条件确定。
3
二 周期、频率（ Period 、 Frequency ）
周期T：物体完成一次完全振动所用的时间。
x Acos(t ) Acos[(t T ) ]
T 2
频率 1
T 2π
T 2π
表示单位时间内物体完成 全振动的次数。
角频率
sin( 2 ) 0 ,
2) 0 ,
3
2
5
,
3
3
33
振动表达式为： x 4cos0.12m，T =2s。当t = 0时，x0= 0.06m，此时， 质点沿 x 轴正向运动。
求：1）简谐振动方程；
2）当 t = 0.5s 时，质点的位置、速度、加速度； 3）由初始时刻到 x = - 0.06m 处的最短时间。
态。初相位由初始条件确定。
( 取 [ π π或] [0 )2π]
7
初相位与时间零点的选择有关。
x Acos(t )
对于一个简谐振动，若振幅、周期和初相位已知， 就可以写出完整的运动方程，即掌握了该运动的全部信息， 因此我们把振幅、周期和初相位叫做描述简谐运动的三个 特征量。
相位差：两个振动在同一时刻的相位之差，或同一振动在 不同时刻的相位之差。
质点运动状态全同，则相位一定相差 ，或2π
2π的整数倍 。（周期性）
6
t 0 对应
x Acos0 A
v A sin0 0
正的最大位移， 速度为0的状态。
t / 2 对应
x Acos / 2 0 v A sin / 2 A
平衡位置，速度最大且向 x
负向运动的状态。
初相位 是 t = 0时刻的相位，描述质点初始时刻的运动状
解：要求振动方程，只要确定 A、ω和 即可。
由题可知：k、m、x0、v0，代入公式可得：
k m
0.72 6 rad s1 , A
0.02
x02
v02
2
0.04m
又因为 x0 为正，初速度 v0＝0，可得
0
0 Asin 0 , sin 0 , 0 或
又由 x0 Acos 0 cos 0 ,