2019年华侨港澳台学生联招：数学测试(含答案)

2
） D.
2
2
B. a b 2 ab
C.
1 1 2 a b ab
b a 2 a b
）
x2 y2 1 的焦点重合， 且双曲线 C2 的渐近线为 y 3 x ， 则双曲线 C2 a 2 b2 1 4 1 16
1 2
C．
D．
二、填空题
2
13. 函数 fΒιβλιοθήκη x log 1 x x 【答案】 ,1
15 17
3 ，则 sin 2 = （ 5 15 B. 17
） C.
8 17
D.
8 17
2
【答案】B. 5. 在 ABC 中，内角 A , B , C 所对应的边分别为 a , b , c ,若 b sin A 3a cos B 0 ，且 b ac ，则 （ A. ）
ac 的值为 b
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数学测试
一、选择题 1．已知全集 U {x | x 1} ，集合 A {x | x 4 x 3 0} ，则 CU A （ A． (1,3) 【答案】C 2. 已知奇函数 f ( x ) 当 x 0 时， f ( x ) 1 x ，则当 x 0 时， f ( x ) 的表达式是( A、 1 x 【答案】A B、 1 x C、 1 x D、 ). B． ( ,1) [3, ) C． ( , 1) [3, )
曲线 y f ( x ) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y x .
（Ⅱ）由 f ' x 1 kx e kx 0 ，得 x 若 k 0 ，则当 x ,
1 k 0 ， k

1 ' 时， f x 0 ，函数 f x 单调递减， k
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若 k 0 ，则当且仅当
即 k 1 时，函数 f x 1,1 内单调递增， 若 k 0 ，则当且仅当
1 1， k
即 k 1 时，函数 f x 1,1 内单调递增， 综上可知，函数 f x 1,1 内单调递增时， k 的取值范围是 1, 0 0,1 .
4. 椭圆 L :
x2 y2 1 的右焦点为 2, 0 ，点 2, 2 在 L 上。 a 2 b2


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2. 设数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 已知 a1 1, S n 1 4an 2
（I）设 bn an 1 2an ，证明数列 {bn } 是等比数列
（II）求数列 {an } 的通项公式。
解：（I）由 a1 1, 及 S n 1 4an 2 ，有 a1 a2 4a1 2, a2 3a1 2 5, b1 a2 2a1 3 由 S n 1 4an 2 ，．．．① 则当 n 2 时，有 S n 4an 1 2 ．．．．．②
当 x
1 , , 时， f ' x 0 ，函数 f x 单调递增， k 1 ' 时， f x 0 ，函数 f x 单调递增， k
若 k 0 ，则当 x ,
当 x
1 , , 时， f ' x 0 ，函数 f x 单调递减， k 1 1 ， k
kx
3. 设函数 f ( x ) xe (k 0) （Ⅰ）求曲线 y f ( x ) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程； （Ⅱ）求函数 f ( x ) 的单调区间；（Ⅲ）若函数 f ( x ) 在区间 ( 1,1) 内单调递增，求 k 的取值范围. （Ⅰ） f
'
x 1 kx e kx , f ' 0 1, f 0 0 ,
2 2
）
D． ( , 1) (3, )
x 1
） D． 2 7
3. 已知平面向量 a ， b 满足 a A． 1 【答案】B 4. 已知 tan A. B． 7



3 ， b 2 ， a b 3 ，则 a 2b （
C． 4 3
数列 { an 1 an 3 2n 1 2n 4
an 1 3 } 是首项为 ，公差为 的等比数列． n 2 2 4
3
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an 1 3 3 1 (n 1) n ， an (3n 1) 2 n 2 n 2 2 4 4 4
2 2
B. 2
C.2
D.4
【答案】 C 6. 袋中有 5 个黑球和 3 个白球，从中任取 2 个球，则其中至少有 1 个黑球的概率是（ A.
）
15 28
B.
25 28
C.
5 14
D.
5 28
【答案】B 7. 数列 a n 是公差不为零的等差数列，并且 a 5 , a8 , a13 是等比数列 bn 的相邻三项，若 b2 5 ，则 bn 等于（ A． 5 ( ) ）
5 3
n 1
B． 3 ( )
5 3
n 1
C． 3 ( )
3 5
n 1
D． 5 ( )
3 5
n 1
【答案】B
x y 3 8. 已知实数 x, y 满足不等式组 x 0 ，则 2 x y 的最大值为（ y 0
A.3 【答案】C B.4 C.6 D.9
）
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9. 若 a ， b R ，且 ab 0 ，则下列不等式中恒成立的是（ A. a b 2ab 【答案】D 10. 设 m , n 是两条不同的直线， , , 是三个不同的平面，给出下列命题，正确的是（ A．若 m , ，则 m B．若 m// ， m ，则 C．若 ， ，则 D．若 m ， n ， m//n ，则 // [ 【答案】B 11. 设抛物线 C1 : y 2 x 与双曲线 C 2 : 的实轴长为（ A． 1 【答案】B 12. 等差数列 an 的前 n 项和为 S n ，已知 S10 0, S15 25 ，则 nS n 的最小值为（ A． 47 【答案】C B． 48 C． 49 D． 50 ） ） B．

2
的单调递增区间是
1 2
14. 设 i 时虚数单位，若复数
2 mi 为纯虚数，则实数 m 的值为（ 1 i
）2 ）
15. 已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的 2 倍，则侧棱与底面所成的角的余弦值为（ A. 16. 五个人排成一排，则甲乙相邻且丙丁不相邻的概率是 1/5
17. 设多项式 p ( x ) x x ax x 3 除以 x x 1 所得的余式为 x 2 ，则 a 0 18. 在空间直角坐标系中，经过坐标原点与、 0,3, 2 、 1,1, 1 的平面方程是 x+2y+3z=0
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三、解答题 1. 已知函数 f x 2 cos x 1 sin 2 x
2


1 cos 4 x ， 2
（1）求 f x 的最小正周期及最大值；（2）求 f x 的单调增区间。
②－①得 an 1 4an 4an 1 , an 1 2an 2(an 2an 1 ) 又 bn an 1 2an ， bn 2bn 1 {bn } 是首项 b1 3 ，公比为２的等比数列． （II）由（I）可得 bn an 1 2an 3 2 n 1 ，