必修2 第五章 第4讲
第4讲 平面向量万能建系法5种常见题型(解析版) 高一数学讲义(新人教2019)必修二
第4讲平面向量万能建系法5种常见题型【考点分析】考点一：常见建立坐标系方法边长为a 的等边三角形正方形已知夹角的任意三角形矩形直角梯形平行四边形等腰梯形圆【题型目录】【题型目录】题型一：建坐标系求向量值题型二：三角形建坐标系求向量最值问题题型三：四边形建坐标系求向量最值问题题型四：多边形建坐标系求向量最值问题题型五：建坐标系设三角函数求向量最值问题【典型例题】题型一：建坐标系求向量值【例1】如图在ABC 中，90ABC ∠=︒，F 为AB 中点，3CE =，8CB =，12AB =，则EA EB ⋅= （）A ．-15B ．-13C ．13D ．14则()120A -，，(00)B ，，(08)C ，，(60)F -，，又3CE =，8CB =，12AB =，则2210CF CB BF =+=，即310CE FC =，即710FE FC =，则()77601010BE BF FE BF FC +==+=-+ ，()(776,81010EA EF FA CF FA =+=+=--+- 【例2】已知正方形ABCD 的边长为2，以CD 为边作正三角形CDE ，使得,A E 位于直线CD 的两侧，则AC AE →→⋅的值为（）A ．6-B ．6-C ．6+D ．6+【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解.【详解】以A 为坐标原点，以,AB AD 为,x y 轴非负半轴，建立平面直角坐标系，如图，由正三角形CDE 及正方形ABCD ()()2,2,1,23C E +，所以()()2,21,23AC AE →→⋅=⋅+=故选：D【例3】如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼.其平面图形记为图乙中的正八边形ABCDEFGH ，其中2OA =，则以下结论错误的是（）A 0OE OG ++=B ．OA OD ⋅=-C ．4AG EH +=D ．AO 在OH 方向上的投影向量为2OH - 【答案】C【分析】选择合适的位置建立平面直角坐标系，写出相应点的坐标，逐项验证即可.【详解】由题意，分别以,HD BF 所在直线为,x y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示：在正八边形ABCDEFGH 中，由AOB BOC COD DOE ∠=∠=∠=∠360458GOH HOA =∠=∠== 过A 作AM HD OM AM⊥⇒=因为2OA =，所以OM AM ==所以(2,2),(0,2),(2,A B E ---【例4】《九章算术》中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”其大意为现有水池1丈见方（即1CE =丈10=尺），芦苇生长在水池的中央，长出水面部分的长度为1尺．将芦苇向池岸牵引，牵引至恰巧与水岸齐接的位置（如图所示）．试问水深、芦苇的长度各是多少？若将芦苇,AB AC 均视为线段，在芦苇移动的过程中，设其长度不变，则AC DE ⋅=（）．A ．90平方尺B ．92平方尺C ．94平方尺D ．98平方尺【答案】C 【分析】设AB x =（尺），利用勾股定理可构造方程求得AB ，以A 为坐标原点可建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算可求得结果.【详解】设AB x =（尺），则1AC x =+（尺），5AD = （尺），()22251x x ∴+=+，解得：12x =．以A 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系（单位：尺），则()0,0A ，()5,0D ，()5,12C ，()5,12E -，()5,12AC ∴= ，()10,12DE =- ，5014494AC DE ∴⋅=-+= （平方尺）．故选：C.【例5】已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+ ，则||PD = _________；PB PD ⋅= _________．【答案】(1).(2).1-【解析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点()0,0A 、()2,0B 、()2,2C 、()0,2D ，()()()()1112,02,22,1222AP AB AC =+=+= ，则点()2,1P ，()2,1PD ∴=- ，()0,1PB =- ，因此，PD == ()021(1)1PB PD ⋅=⨯-+⨯-=- .【题型专练】1．已知矩形ABCD 中，4AB =uuu r ，2AD = ，3DM MC = ，BP PC = ，则AM AP ⋅= （）A ．6B ．10C ．14D ．38【答案】C 【分析】以B 为原点，,BA BC 分别为,x y 轴建立平面直角坐标系，由条件得出点,P M 的坐标，进而得出向量,AP AM uuu r uuur的坐标，从而得出向量的数量积.【详解】以B 为原点，,BA BC 分别为,x y 轴建立平面直角坐标系.则()0,4A ,()2,4,D ()2,0C 由BP PC = ，则()1,0P ,由3DM MC = ，则()2,1M 所以()1,4AP =-uuu r ,()2,3AM =-uuur 所以()()124314AM AP ⋅=⨯+-⨯-=uuur uuu r 故选：C。
氮及其化合物(4)高一化学(人教版2019必修第二册)
知识梳理
知识梳理
硝酸的性质
硝酸的化学性质
实验探究 硝酸的强氧化性
实验现象 与浓硝酸反应 剧烈、铜丝 变细 ，产生红棕色气体，溶液呈绿色 与稀硝酸反应 缓慢 、铜丝 变细 ，产生 无色 气体，溶液呈蓝色
浓硝酸
稀硝酸
知识梳理
硝酸的性质
硝酸的化学性质
探究一 硝酸的强氧化性
实验结论 铜与浓硝酸反应生成___N__O_2____
随堂演练
3.氮及其化合物的变化关系如下所示：
则下列说法不正确的是( D ) A.路线①②③是工业生产硝酸的主要途径 B.路线Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ是雷电固氮生成硝酸的主要途径 C.上述所有反应都是氧化还原反应 D.氮气可在足量的氧气中通过一步反应生成NO2
随堂演练
4.现有以下几种措施： ①对燃烧煤时产生的尾气进行除硫处理；②少用原煤作燃料；③燃煤时鼓入足量 空气；④开发清洁能源。 其中能减少酸雨产生的措施是( C ) A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①③④
热的浓硝酸可将非金属单质(碳、硫、磷等)氧化为最高价氧化物或最高价含氧酸
硝酸的强氧化性还表现在可以氧化具有还原性的化合物或离子，如SO2、FeO、Fe2＋、Br－、 I－、S2－、SO32- 等均能被硝酸氧化
典例精讲
【例1】根据浓硝酸和稀硝酸的强氧化性书写下列反应的化学方程式： ①铁与稀硝酸(HNO3过量)：
随堂演练
1.下列对于硝酸的认识，不正确的是( D ) A.浓硝酸在见光或受热时会发生分解 B.金属与硝酸反应不产生氢气 C.可用铁和铝制品盛装冷的浓硝酸 D.铜与硝酸的反应属于置换反应
2.下列有关酸雨的说法正确的是( C ) A.凡是呈酸性的雨水都称为酸雨 B.酸雨的形成只与SO2的排放有关 C.煤的脱硫可以在一定程度上防止酸雨的形成 D.为了不形成酸雨，应停止使用一切化石燃料
必修二 第五章第四讲 圆周运动中的临界问题(原卷版)
第四讲 圆周运动中的临界问题一、竖直面上的圆周运动的临界状态1、细线约束的小球在竖直面上的变速圆周运动例如，用长为R 的细绳拴着质量是m 的物体，在竖直平面内做圆周运动。
在最高点处，设绳子上的拉力为T根据牛顿第二定律列方程得：2mv T mg R+=由于绳子提供的只能是拉力，0T ≥ 所以小球要通过最高点，它的速度值v gR ≥。
临界状态：在最高点处，当只有重力提供向心力时，物体在竖直面内做圆周运动的最小速度是v =若在最高点处物体的速度小于Rg v =这个临界速度，便不能做圆周运动。
事实上，物体早在到达最高点之前，就已经脱离了圆周运动的轨道，做斜上抛运动。
2、轻杆约束小球在竖直面上的变速圆周运动例如，一根长度为R 轻质杆一端固定，另一端连接一质量为m 的小球，使小球在竖直面内做圆周运动。
在最高点，设杆对球的作用力为F N ，规定向下的方向为正方向，根据牛顿第二定律列方程得：2N mv F mg R+=因为杆既可以提供拉力，又可以提供支持力，所以可以00N N F F ≥<，也可以当0N F <时，杆对球提供向上的支持力，与重力的方向相反；当0N F ≥时，这与绳子约束小球的情况是一样的。
所以轻杆约束的情况可以存在两个临界状态：①在最高点处的速度为零，小球恰好能在竖直面内做圆周运动，此时杆对小球提供支持力，大小等于小球的重力；②在最高点处的速度是Rg v时，轻杆对小球的作用力为零，只由重力提供向心力。
球的速度大于这个速度时，杆对球提供拉力；球的速度小于这个速度时，杆对球提供支持力。
二、静摩擦力提供向心力的圆周运动的临界状态 1、水平面上的匀速圆周运动，静摩擦力的大小和方向物体在做匀速圆周运动的过程中，物体的线速度大小不变，它受到的切线方向的力必定为零，提供向心力的静摩擦力一定沿着半径指向圆心。
临界状态：物体恰好要相对滑动，静摩擦力达到最大值的状态。
2、水平面上的变速圆周运动中的静摩擦力的大小和方向无论是加速圆周运动还是减速圆周运动，静摩擦力都不再沿着半径指向圆心，静摩擦力一定存在着一个切向分量改变速度的大小。
高中英语 必修二 unit5 Reading 课文串讲
想象一下你独自在家就有机会与数百人一起歌唱。你可以在虚拟合唱团中做到这一点。虚拟合唱团成员 在单独录制视频的同时进行录制他们自己。这些视频被上传到网上，然后被整合成一个你可以在线观看 的视频——一个虚拟合唱团。任何人从任何地方都可以参加虚拟合唱团——你所需要的只是一台摄像机 和互联网连接。你甚至不需要录音棚。
虚拟合唱团有助于将普通人联系在一起。许多人没有对音乐有相同兴趣的亲密朋友或联系人。许多其他 人没有机会参加当地的合唱团。虚拟合唱团使他们能够将自己的声音加入到其他人的声音中，并成为全 球社区的一部分。事实证明，这对许多人的生活产生了积极影响。正如一位虚拟合唱团成员所说：“音乐 可以帮助我……忘记我的烦恼。在音乐的帮助下，我变成了另一个人。”
A virtual choir helps connect ordinary people together. Many people do not have close friends or contacts who have the same interest in music. Many others do not have the chance to join a local choir. A virtual choir enables them to add their voices to those of other individuals and become part of the global community. It has proved to be a positive influence on the lives of many people. As one virtual choir member said, “Music helps me to ... forget my problems. With music, I become someone else.”
第五章第四讲对称矩阵特征值和特征向量的性质
⎛ λ1 ⎜ , pn ) ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
λ2
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ λn ⎠
通识教育必修课程——线性代数
定理： n 阶矩阵 A 和对角阵相似（即 A 能对角化）的充分 必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量．（P.123定理4） 推论：如果 A 有 n 个不同的特征值，则 A 和对角阵相似． 说明：当 A 的特征方程有重根时，就不一定有 n 个线性无关 的特征向量，从而不一定能对角化．（P.118例6）
⎛ −1 ⎞ ⎛ 1⎞ [ξ 3 ,η2 ] 1⎜ ⎟ ⎜ ⎟ η2 = ξ 2 = ⎜ 1 ⎟ , η3 = ξ 3 − η2 = ⎜ 1 ⎟ [η2 ,η2 ] 2⎜ ⎟ ⎜ 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ 2⎠ 此时ξ1⊥η2 ， ξ1⊥η3 ，η2⊥η3 ．
通识教育必修课程——线性代数
单位化：
⎛ −1 ⎞ ξ 1 = ⎜ −1 ⎟ 当 λ1 = −2时，对应的特征向量为 ； ⎜ ⎟ ⎛ −1 ⎞ ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠ 1 ⎜ ⎟ p1 = ⎜ −1 ⎟ 3⎜ ⎟ ⎝ 1⎠ ⎛ −1 ⎞ ⎛ 1⎞ 1⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 当 λ2 = λ3 = 1 时，对应的特征向量为 η2 = ⎜ 1 ⎟ , η3 = 2 ⎜ 1 ⎟. ⎜ 0⎟ ⎜ 2⎟ ⎛ −1 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 ⎜ ⎟ 1 ⎜ ⎟ p2 = ⎜ 1 ⎟ , p3 = 6 ⎜ 1 ⎟ 2⎜ ⎟ ⎜ 2⎟ 0⎠ ⎝ ⎝ ⎠
说明：当 A 的特征方程有重根时，就不一定有 n 个线性无关 的特征向量，从而不一定能对角化．
通识教育必修课程——线性代数
二、对称矩阵正交对角化
定理：设 A 为 n 阶对称阵，则必有正交阵 P，使得 P −1AP = PTAP = Λ， 其中 Λ 是以 A 的 n 个特征值为对角元的对角阵（不唯一）. （P.124定理7）
新教材 高中政治必修2 第四课 我国的个人收入分配与社会保障 知识点重点难点提炼汇总
第四课我国的个人收入分配与社会保障第一框我国的个人收入分配...................................................................................... - 1 - 第二框我国的社会保障.............................................................................................. - 7 -第一框我国的个人收入分配1．决定因素：生产资料所有制决定分配方式。
我国坚持公有制为主体、多种所有制经济共同发展，决定了分配制度必然是按劳分配为主体、多种分配方式并存。
2．按劳分配(1)性质：社会主义的分配原则。
(2)原因：是由一定的经济条件决定的。
生产资料公有制是实行按劳分配的前提；社会主义公有制条件下的生产力发展水平，是实行按劳分配的物质基础；社会主义条件下人们劳动的性质和特点，是实行按劳分配的直接原因。
(3)要求：有劳动能力的社会成员必须参加劳动；在作了必要的扣除后，以劳动者提供的劳动(包括劳动数量和质量)为尺度对个人进行分配，多劳多得，少劳少得。
(4)作用①提高效率：劳动者的个人收入与其付出的劳动数量和质量直接联系在一起，有助于充分调动劳动者的积极性和创造性，激励劳动者努力学习科学技术、提高劳动技能，促进社会生产的发展。
②促进公平：实行按劳分配是对以往几千年来不劳而获的剥削制度的根本否定，体现了劳动者共同劳动、平等分配的社会地位。
3．按要素分配(1)内容：让劳动、资本、土地、知识、技术、管理、数据等生产要素参与收入分配。
(2)意义：有利于让一切要素的活力竞相迸发，让一切创造社会财富的源泉充分涌流，推动资源优化配置，促进经济发展。
[辨析] 按劳分配和按要素分配都是社会主义的分配原则。
提示：按劳分配是社会主义的分配原则。
4．居民收入来源多样化(1)原因：我国现阶段的个人收入分配制度，使我国居民收入来源多样化。
必修2第四课4-1我国的收入分配-【高效一轮】备战2025年高考政治一轮复习考点精讲课件
考点一：我国的个人收入分配 考点（二）：完善个人收入分配
（一）为什么要完善收入分配？
1、分配制度是促进共同富裕的基础性制度。收人分 配是民生之源，是改善民生、实现发展成果由人民共 享最重要、最直接的方式。（新教材47）
基尼系数：判断收入分配公平
程度的指标
2、完善收入分配制度有利于理顺国家、企业和个人 三者的收入分配关系。
要素：劳动、资本、土地、知识、技术、管理、数据等 意义：一切要素活力迸发，优化资源配置
收入途径：劳动性收入、财产性收入、经营性收入、转移性收入
完善个人 收入分配
原因：是民生之源，是改善民生、实现发展成果由人民共享最 重要、最直接的方式 措施：根本措施、制度基础、理顺关系、两个同步、初次分配、 再分配、第三次分配、规范收入分配秩序、消除贫困
为什么不选择平均分配或者按需分配呢？
是社会主义的分配原则 （公有制经济范围内）
（3）具体形式
（1）性质：
（2）基本内容和要求： ①有劳动能力的社会成员 必须参加劳动；
按劳 分配
①在公有制企业、公有制控股的股份制企 业中以及国家机关，公有制事业单位的 职工工资、奖金、津贴。
②集体经济中农民自己经营所承包土地获 得的收入属于按劳分配所得
国民收入
国民收入
2、制度保障：理顺国家、企业和个人三者的收入分配关系 ，构建初次分配、再分配、第三次分配协调配套的制度体系 ，健全体现效率、促进公平的收入分配制度。 （按劳分配为主体，多种分配方式并存）
“分好蛋糕”
考点（二）：完善个人收入分配 （二）怎样完善收入分配（措施-重点） 3、重要举措：实现“两个基本同步”
(4)按生产要素分配≠非公有制经济中的分配。按生产要素分配既可以与非公有制经济 相适应，也可以与公有制经济相适应。
新人教版高中英语必修二unit5课文讲解
新人教版高中英语必修二unit5课文讲解
《新人教版高中英语必修二》第五单元的课文是《The Power of Nature》。
以下是对该课文的讲解：
课文主要讲述了自然力量的无穷威力，以及人类面对自然力量时
的无助和敬畏。
文章以作者在平静的海滩度假的经历为起点，突然遭遇到了近乎
毁灭性的飓风。
飓风席卷而来，大海狂暴地涌来，具备强大的力量。
作者在瞬间意识到自己的渺小和无助，以及人类在自然面前的脆弱。
接着，文章通过描写历史上几次大规模自然灾害，如1883年爪哇
火山喷发、1991年菲律宾领先火山喷发、2004年印度洋海啸等，来强
调自然力量的巨大威力。
这些灾难造成了巨大的人员伤亡和财产损失，让人们真切体会到了自然的力量对人类的威胁。
最后，文章通过描述科学家如何努力研究自然力量的方式，以及
人类如何对抗灾害和保护自然，来表达人类对自然力量的敬畏和尊重。
文章以强调人类必须更好地与自然相处，学会更好地建设和保护家园。
总体来说，本课文旨在让学生认识到自然力量的无穷威力，并引导学生反思人类与自然的关系，增强对自然的敬畏和保护意识。
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【变式训练】质量为m的滑块，沿高为h、长为L的粗糙斜面匀
速下滑，在滑块从斜面顶端滑到底端的过程中，下列说法中正 确的是( )
A.滑块的机械能减少了mgh B.重力对滑块所做的功等于mgh C.滑块重力势能的变化量等于mgh D.滑块动能的变化量等于mgh
【解析】选A、B。滑块匀速下滑时，滑动摩擦力Ff=mgsinθ
【典例透析2】如图所示,AB为半径 R=0.8 m的1/4光滑圆弧轨道,下端B
恰与小车右端平滑对接。小车质量
M=3 kg,车长L=2.06 m,车上表面距 地面的高度h=0.2 m,现有一质量m=1kg的滑块,由轨道顶端无初 速度释放,滑到B端后冲上小车。已知地面光滑,滑块与小车上 表面间的动摩擦因数μ =0.3,当车运动了t0=1.5 s时,车被地面 装置锁定(g=10 m/s2)。
定量关系 (1)弹力做正功,弹性势能减少
弹簧弹力的功
弹性势能变化
(2)弹力做负功,弹性势能增加 (3)WF=-Δ Ep=Ep1-Ep2
只有重力、弹簧 弹力做功
不引起机械能 变化
机械能守恒Δ E=0 (1)其他力做多少正功,物体的机械
除重力和弹簧弹 力之外的其他力 做的功 机械能变化
能就增加多少 (2)其他力做多少负功,物体的机械 能就减少多少 (3)W =Δ E
(1)物体与斜面间的动摩擦因数μ ;
(2)弹簧的最大弹性势能Epm。 【解题探究】(1)物体到达C点时,原来在A点的动能和重力势能 转化成了何种能量? 提示:转化成了弹簧的弹性势能以及由于克服摩擦阻力做功而 产生的热量。 (2)物体由A到C的整个过程中,能量是如何转化的?
提示:物体在A点的动能和重力势能转化为弹簧的弹性势能和由
1 2
① ② ③ ④ ⑤
由①②③④⑤式解得μ=0.52。
(2)由A到C的过程中，动能减少ΔEk′= 1 mv02
重力势能减少ΔEp′=mglACsin37° 摩擦生热Q=FflAC=μmgcos37°lAC 由能量守恒定律得弹簧的最大弹性势能为 ΔEpm=ΔEk′+ΔEp′-Q 联立⑥⑦⑧⑨解得ΔEpm=24.5 J。 答案：(1)0.52 (2)24.5 J
分析:物体本身就具有内能,故(1)错;在真空中自由下落的小球 重力做功,但小球的机械能守恒,故(2)错;能量在转化或转移的 过程中,其总量保持不变,故(3)、(4)均错;虽然能量转化过程 中总量守恒,但能量的转化具有方向性,会产生能量耗散,故需 要节约能源,(5)错,(6)对;滑动摩擦力做功会引起机械能向内 能转化,(7)对。
2
【总结提升】功能关系问题选择题的解答技巧 对各种功能关系熟记于心，力学范围内，应牢固掌握以下三条 功能关系： (1)重力的功等于重力势能的变化，弹力的功等于弹性势能的 变化； (2)合外力的功等于动能的变化；
(3)除重力、弹力外，其他力的功等于机械能的变化。
运用功能关系解题时, 应弄清楚重力做什么功,合外力做什么 功,除重力、弹力外的力做什么功,从而判断重力势能或弹性势 能、动能、机械能的变化。
mg
能减少了mgh，A正确；重力做的功为mgh，滑块重力势能的变 化量为-mgh，故B正确，C错误；滑块匀速下滑，动能不变， D错误。
h 故下滑过程中滑动摩擦力做的功为-F ·L=-mgh,机械 , f L
考点 2
摩擦力做功与能量的关系(三年4考) 对比分析
【考点解读】两种摩擦力的做功情况比较
B.由于木板转动，物块下降的竖直高度必大于0.8 m
C.物块获得的动能为4 J D.由于木板转动，物块的机械能必定增加
【解析】选A。由重力势能的表达式Ep=mgh,重力势能减少了 4 J，而mg=5 N,故h=0.8 m,A项正确、B项错误；木板转动， 木板的支持力对物块做负功，故物块机械能减小，C、D项均 错误。
以
)
C.重力对物体做功mgh D.物体的动能增加 mgh
1 2
【解题探究】(1)物体应该受到几个力，才能以 g 的加速度竖 直上升？ 提示：受到的力有重力、向上的拉力。 (2)各力做功情况如何？哪些力做功可引起机械能的变化？ 提示：重力做负功，拉力做正功，除重力以外的力做功可引 起机械能的变化。
2
)
)
(3)能量在转化或转移的过程中,其总量有可能增加。(
(4)能量在转化或转移的过程中,其总量会不断减少。(
)
(5)能量在转化或转移的过程中总量保持不变,故没有必要节 约能源。( )
(6)能量的转化和转移具有方向性,且现在可利用的能源有限, 故必须节约能源。( ) )
(7)滑动摩擦力做功时,一定会引起能量的转化。(
一对相互作用的 滑动摩擦力的总 功 内能变化
(1)作用于系统的一对滑动摩擦力一 定做负功,系统内能增加 (2)Q= Ff·L相对
【典例透析1】(2013·芜湖模拟)质量为m的物体从静止开始
g 的加速度竖直上升h，对该过程下列说法中正确的是( 2 A.物体的机械能增加 1 mgh 2 B.物体的机械能减少 3 mgh 2
解得：v=1 m/s,t1=1 s，因t1<t0 故滑块与小车同速后，小车继续向左匀速行驶了0.5 s， 则小车右端距B端的距离为l车 v t1 v t 0 t1 。 解得l车=1 m
2
(3)Q=μmgl相对= mg(
解得Q=6 J
vB v v t1 t1 )。 2 2
【解析】选D。由题意可知，物体受到向上的拉力F，
据F-mg=ma，求出拉力 F 3 mg， 竖直上升h过程拉力做功
2 W Fh 3 3 mgh ，所以机械能增加 mgh，故A、B均错。 2 2
此过程中重力做负功，WG=-mgh，故C错。由动能定理 Fh-mgh=ΔEk，可得ΔEk= 1 mgh，故D正确。
②如果系统每个物体除弹簧弹力外所受合外力为零,则当弹簧
伸长或压缩到最大程度时两物体速度相同。 ③当弹簧为自然状态时系统内某一端的物体具有最大速度。 (2)不涉及弹簧时,弄清各种力做功的情况,并分析有多少种形 式的能量在转化。
【典例透析3】如图所示,一物体质量m=2 kg,在倾角θ =37°
的斜面上的A点以初速度v0=3 m/s下滑,A点距弹簧上端B的距 离AB=4 m。当物体到达B点后将弹簧压缩到C点,最大压缩量 BC=0.2 m,然后物体又被弹簧弹上去,弹到的最高位置为D点, D点距A点的距离AD=3 m。挡板及弹簧质量不计,g取10 m/s2, sin37°=0.6,求:
W=μmgd
由能量守恒定律得 1 mv 2 E p mgd
2
以上各式联立得Ep=mgh-μmgd。
(3)物块A被弹回的过程中，克服摩擦力所做的功仍为 W=μmgd 由能量守恒定律得Ep=μmgd+mgh′。
所以物块A能够上升的最大高度为
h′=h-2μd。
答案：(1) 2gh
(3)h-2μd
(3)公式Q=Ff·l相对中l相对为两接触物体间的相对位移，若物体
在传送带上做往复运动时，则l相对为总的相对路程。
考点 3
能量转化问题的应用(三年4考)
拓展延伸
【考点解读】解决能量守恒问题的方法 (1)两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统相互作用的过程, 具有以下特点: ①能量变化上,如果只有重力和系统内弹簧弹力做功,系统机械 能守恒。
【变式训练】如图所示，光滑坡道顶端距水平面高度为h，质
量为m的小物块A从坡道顶端由静止滑下，进入水平面上的滑道
时无机械能损失，为使A制动，将轻弹簧的一端固定在水平滑
道延长线M处的墙上，另一端恰位于坡道的底端O点。已知在OM
段，物块A与水平面间的动摩擦因数均为μ ,其余各处的摩擦不 计，重力加速度为g，求：
答案：(1)30 N
(2)1 m
(3)6 J
【互动探究】试判断车被锁定后，滑块能否从车的左端滑出？ 若能滑出，试确定滑块落点到车左端的水平距离？
vB v v t1 t1 【解析】车被锁定时，m相对车面已滑动了l相对= 2 2
=2 m,故此时滑块离车的左端的距离为l=L-l相对=0.06 m。 假设滑块能从车的左端滑出，速度为v′，则由
考点 1
功能关系的理解和应用(三年6考)
深化理解
【考点解读】几种常见的功能关系及其表达式
力做功 合力的功 能的变化 动能变化 定量关系 W=Ek2-Ek1=Δ Ek
(1)重力做正功,重力势能减少
重力的功 重力势能变化 (2)重力做负功,重力势能增加 (3)WG=-Δ Ep=Ep1-Ep2
力做功
能的变化
(2)mgh-μmgd
【变式备选】如图所示，一表面光
滑的木板可绕固定的水平轴O转动，
木板从水平位置OA转到位置OB的过 程中，木板上重为5 N的物块从靠 近转轴的位置由静止开始滑到图中 虚线所示位置，在这一过程中，物块的重力势能减少了4 J。 则以下说法正确的是(取g=10 m/s2)( A.物块的竖直高度降低了0.8 m )
于克服摩擦力做功所产生的热量。
【解析】(1)物体从开始位置A点到最后D点的过程中，弹性势
能没有发生变化，动能和重力势能减少，机械能的减少量为 ΔE=ΔEk+ΔEp= mv02+mglADsin37° 物体克服摩擦力产生的热量为Q=Ffx 其中x为物体的路程，即x=5.4 m Ff=μmgcos37° 由能量守恒定律可得ΔE=Q
1 1 mv 2 mv2 mgl 可得：v′=0.8 m/s＞0， 2 2
故滑块能从车的左端滑出。
又 h gt2 , x vt1 2可得：x=0.源自6 m答案：能 0.16 m
【总结提升】求解相对滑动物体的能量问题的方法 (1)正确分析物体的运动过程，做好受力情况分析。 (2)利用运动学公式，结合牛顿第二定律分析物体的速度关系 及位移关系。