浙江大学数学分析历年考研试题
浙江大学大二数学专业《数学分析(二)》考试A卷及答案
数学分析（二）课程考试A 卷适用专业 考试日期：试卷所需时间120分钟 闭卷 试卷总分100分一、判断题：（对的打√，错的打×，每小题2分，共12分）1、若lim 0n n na a →∞=≠，则级数n a ∑收敛。
（ ）2、若()f x 在[,]a b 上连续，2()0baf x dx =⎰，则[,]x a b ∀∈，()0f x ≡。
（ ）3、若00(,)(,)lim(,)x y x y f x y a →=，则00lim lim (,)x x y y f x y a →→=。
（ ）4、级数2(1)sin nn n x ∞=-+∑在[0,2]x π∈上一致收敛。
（ ）5、级数,n n a b ∑∑均发散，则级数min(,)n n a b ∑也发散。
（ ）6、若在可积，则在可积。
（ ）二、填空题：（共6小题，每小题2分，共12分）1、函数1x e x-在0x =处的幂级数展开式为 。
2、函数222(,)y f x y x y=+在点(0,0)的重极限和累次极限分别为 、 、 。
3、定积分211(sin 2)x ex dx --+⎰等于 。
4、若反常积分11x dx xα+∞-+⎰收敛时，则α的取值范围是 。
5、幂级数2nn x n∑的收敛半径和收敛区域分别为 、 。
6、函数2x 在(,)ππ-上展开成傅立叶级数为 。
三、计算题：（共4小题，每小题5分，共20分）1、1ln eex dx ⎰ 2、1201x dx -3、1xe + 4、!lim lnnn n n→∞四、（10分）计算由sin ,0,2,0y x x x y π====所围成的平面图形，绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积。
院系： 专业班级： 姓名： 学号：装 订 线五、（10分）求幂级数1nn nx ∞=∑的和函数()s x ，并利用该结果求级数12nn n∞=∑的值。
六、（10分）判别：（1）级数3!n n n n∑是否收敛；（2）级数2nx n n+∑在[0,1]x ∈上是否一致收敛。
浙江大学1999年数学分析
浙江大学1999年研究生数学分析试题 一．求极限)(ln )1(∞→−n n
n n Lim n 二．在xy 平面上求一点，使它到三条直线0,0==y x 及0162=−+y x 的距离平
方和最小
三．计算二重积分∫∫D
xydxdy ，其中D 由曲线 y x y x +=+22 所围城的区域
四．设)(x f 在0>x 时连续，3)1(=f ，并且∫∫∫+=x
y xy dt t f y dt t f x dt t f 111)()()(，)0,0(>>y x ，试求函数)(x f
五．设函数),()(b a t f 在连续，若有数列)),(,(,b a y x a y a x n n n n ∈→→使
)()()()(∞→=∞→=n B y Limf n A x Limf n n 及，则对A ，B 之间的任意数µ，可找到数列a x n →，使得µ=)(n z Limf
六．设∑===<≤n k k n k a s n k a a 1,....,2,1,0令，证明不等式n n n
k k k s n ns a a −≥−∑
=11 七．设函数f 在n a b v a f f f b a n n vn −=
+=>δδ),(,0],[记上连续，且，试证明：
)}()(ln 1exp{
∞→−=∫n dx x f a b b a 并利用上述等式证明下式r dx r x r ln 2)cos 21ln(21
202=+−∫π
π )1(>r 八．从调和级数L L +++++n
131211中去掉所有在分母的十进表示中含数码9的项，证明由此所得余下的级数必定是收敛的。
2001年浙江大学436数学分析考研真题【圣才出品】
2001年浙江大学436数学分析考研真题 浙江大学2001年攻读硕士学位研究生入学试题考试科目：数学分析（436）一、（30分)()i 用“εδ-语言”证明2211lim 3233n n n n n →∞-+=+-；()ii 求极限tan 21lim(2)x x x π→-；()iii 设101(ln )1x f x x x <≤⎧'=⎨>⎩，且(0)0f =，求()f x .二、（10分) 设()y y x =是可微函数，求(0)y '，其中2sin 7x y y ye e x x =-+-.三、（10分) 在极坐标变换cos ,sin x r y r θθ==之下，变换方程2222(,)z z f x y x y ∂∂+=∂∂.四、（20分)()i 求由半径为a 的球面与顶点在球心，顶角为2α的圆锥面所围成区域的体积； ()ii 求曲面积分222()()()s I y x dydz z y dzdx x z dxdy =-+-+-⎰⎰，其中S 是曲面 222(12)z x y z =--≤≤的上侧.五、（15分) 设二元函数(,)f x y 在正方形区域[][]0,10,1⨯上连续，记[]0,1J =. ()i 试比较inf sup (,)y J y J f x y ∈∈与supinf (,)y J y J f x y ∈∈的大小并证明之；()ii 给出一个使等式inf sup (,)supinf (,)y J y J y J y J f x y f x y ∈∈∈∈=成立的充分条件并证明之.六、（15分) 设()f x 是在[]1,1-上可积且在0x =处连续的函数，记 (1)01()10n n nx x x x e x ϕ⎧-≤≤⎪=⎨-≤≤⎪⎩ . 证明：11lim()()(0)2n n n f x x dx f ϕ-→∞=⎰.。
2000年浙江大学804数学分析考研真题【圣才出品】
2000年浙江大学804数学分析考研真题浙江大学2000年攻读硕士学位研究生入学试题考试科目：数学分析（804）一、（10分)()i 求极限10(1)lim x x e x x →-+； ()ii 设01,x a x b ==，21,2,3,2n n n x x x n ---==.求lim n n x →∞.二、（10分) ()i 设(0)f K '=，试证明00()()lim a b f b f a K b a -+→→-=-；()ii 设()f x 在[],a b 上连续，()f x ''在(),a b 内存在，试证明存在(),a b ξ∈，使得2()()()2()()24a b b a f b f a f f ξ+-''+-=.三、（15分)()i 求数项级数12n n n ∞=∑的和；()ii 试证明函数11()x n S x n ∞==∑在()1,+∞上连续.四、（15分)()i 设方程组0sin sin 0x y u v x u y v +++=⎧⎨+=⎩，确定了可微函数(,)(,)u u x y v v x y =⎧⎨=⎩，试求,,v v du x y ∂∂∂∂； ()ii 设2)()y x y F y dx x =，求(1)F '.五、（30分) ()i 计算积分20sin 1cos x x I dx x π=+⎰；()ii 求以曲面22x y z e --=为顶，平面0z =为底，柱面221x y +=为侧面的曲顶柱体的体积V ；()iii 设S 表示半球面221)z x y =+≤的上侧，求第二类曲面积分222()(2)(2)S J x y z dydz x y z dzdx x z y dxdy=++-++⎰⎰.六、（20分)()i 将函数(),()f x x x ππ=-≤≤展开成Fourier 级数；()ii 求级数211n n ∞=∑的和；()iii 计算广义积分10ln(1)x dx x -⎰.。
浙大02数分
浙 江 大 学
2002年攻读硕士学位研究生入学考试试题 考试科目：数学分析 编号：441
一、（共30﹪）
1． 用“εδ-语言”证明()()121lim 03
x x x x →--=- 2． 给出一个一元函数f ，在有理点都不连续、在无理点都连续，并证明之
3． 设为二元函数(),f x y ，在()00,x y 附近有定义，试讨论“(),f x y 在()00,x y 处可微”与“(),f x y 在()00,x y 附近关于,x y 的偏导数都存在”之间的关系，必要时，请给出反例。
二、（共30﹪）
1． 设()21
x f x x +=+，数列{}n x 由如下递推公式定义： ()()011,,0,1,2,n n x x f x n +=== ，
求证：lim n n x →∞=2．
求2
lim x x →∞； 3． 求()()0n f ，其中()()1
1,2,,00,x n f f x e -=== （当0x ≠时）
4．
求不定积分
5． 证明()1
1x n g x n ∞==
∑在()1,∞上连续可微 三、（共20﹪） 1． 求第一型曲面积分
2222x y z R I ++==⎰⎰，其中h R = 2． 设,,a b c 为3个实数。
证明：方程2x e ax bx c =++的根不超过3个。
四、（共20﹪）
设()2cos cos cos n
n f x x x x =+++ ，求证：
1． 对任意自然数n ，方程()1n f x =在1[0,)3
内有且仅有一个根； 2． 设1[0,)3n x ∈是()1n f x =的根，则lim 3n n x π
→∞=。
最新浙江大学数学分析试题及解答汇总
2005年浙江大学数学分析试题及解答浙江大学2005年数学分析解答一 （10分）计算定积分20sin x e xdx π⎰解：2sin xe xdx π⎰=()011cos 22x e x dx π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦⎰ ()01x e dx e ππ=-⎰ 由分部积分法0cos 2xe xdx π=⎰()1e π-+20sin 2x e xdx π=⎰()1e π-04cos 2x e xdx π-⎰所以0cos 2x e xdx π=⎰()115e π-，所以20sin x e xdx π⎰=()215e π- 解毕 二 （10分）设()f x 在[0,1]上Riemann可积，且1()2f x dx =⎰，计算 11lim 4ln[1()]nn i if n n →∞=+∑解：因为()f x 在[0,1]上Riemann 可积，所以0,()M f x M ∃>≤，所以1()0if n n→ 因为0ln(1)lim 1x x x →+=，所以114ln[1()]n i i f n n =+∑与114()ni i f n n =∑等价且极限值相等由Riemann 积分的定义：11lim 4ln[1()]nn i if n n →∞=+∑=410()f x dx =⎰解毕三 （15分）设,,a b c 为实数，且1,0b c >-≠试确定,,a b c 的值，使得30sin limln(1)x x b ax xc t dtt →-=+⎰解：若0b ≠，显然30sin lim0ln(1)x x b ax xt dtt →-=+⎰，这与0c ≠矛盾，所以0b =计算300sin limln(1)x x ax xt dtt →-+⎰，利用洛必达法则：33000sin cos lim lim ln(1)ln(1)x x x ax x a xt x dt t x→→--=++⎰，易有30ln(1)lim0x x x→+=，若1a ≠， 33000sin cos limlim ln(1)ln(1)x x x ax x a x t x dt t x →→--==∞++⎰，矛盾，所以1a =.计算301cos lim ln(1)x xx x→-+，继续利用洛必达法则：33001cos cos limlim ln(1)ln(1)x x x x x x x x x →→--=++24003321cos sin 2sin cos lim lim 3631(1)x x x x x x x x x x x x x →→-++==-++332243343cos sin 1lim(612)(1)6(63)(1)2(1)x x x x c x x x x x x x →-===-+--++ 解毕 四 （15分）设()f x 在[,]a b 上连续，且对每一个[],x a b ∈，存在[],y a b ∈，使得1()()2f y f x ≤，证明：在存在[,],a b ξ∈使得()0f ξ=证明:反证法,由于()f x 在[,]a b 上连续,由闭区间上连续函数的性质,不妨假设0()m f x M <<<对于任选的一点1x ,存在2,x 使得211()()2f x f x ≤, 存在3,x 使得321211()()()22f x f x f x ≤≤所以1111[,],()()0,()22n n n n Mx a b f x f x n --∈≤≤→→∞即lim ()0n n f x →∞=,但对所有的x, 0()m f x M <<<,矛盾.所以[,]a b 存在零点 证毕五 （20分）（1）设()f x 在[,)a +∞上连续，且()af x dx +∞⎰收敛。
浙江大学1999年——2008年数学分析
1 在 (1, ∞ ) 上连续可微． x n =1 n
x + y + z =R
2 2
∫∫
dS
2
x 2 + y 2 + ( z h) 2
，其中 h ≠ R ．
（2）设 a, b, c 为三个实数，证明：方程 e x = ax 2 + bx + c 的根不超过三个． 四、 （20 分）设 f n ( x) = cos x + cos 2 x +
四、 （20 分）设 f ( x ) 连续， ( x) = ∫ f ( xt )dt ，且 lim
0
x →0
1
论 '( x ) 在 x = 0 处的连续性． 五、 （10 分）定义 Pn ( x ) 为 Pn ( x) = 1 d n ( x 2 1) n ， n = 1, 2, 2n n ! dx n P0 ( x) = 1 ．
D
四、设 f (x ) 在 x > 0 时连续， f (1) = 3 ，并且 ∫
( x > 0, y > 0) ，试求函数 f (x ) ．
xy
1
f (t ) dt = x ∫ f (t ) dt + y ∫ f (t ) dt ，
1 1
y
x
五、设函数 f (t )在(a, b) 连续，若有数列 x n → a, y n → a ( x n , y n ∈ (a, b)) 使 lim f ( xn ) = A 及
2 2
五、 （15 分）设二元函数 f ( x, y ) 在正方形区域 [0,1] × [0,1] 上连续．记 J = [0,1] ． （1）试比较 inf sup f ( x, y ) 与 sup inf f ( x, y ) 的大小并证明之；
浙江大学数学试题及答案
浙江大学数学试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是正确的？A. \(\sqrt{2}\)是有理数B. \(\pi\)是无理数C. \(e\)是有理数D. \(0.3333...\)是无理数答案：B2. 函数\(f(x) = x^2 - 4x + 4\)的顶点坐标是？A. (2, 0)B. (-2, 0)C. (2, 4)D. (-2, 4)答案：A3. 以下哪个级数是发散的？A. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\)B. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\)C. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}\)D. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}\)答案：B4. 矩阵\(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\)的行列式是？A. 5B. -5C. 2D. -2答案：B5. 函数\(y = \sin(x)\)的周期是？A. \(\pi\)B. \(2\pi\)C. \(\frac{\pi}{2}\)D. \(\frac{2\pi}{3}\)答案：B6. 以下哪个函数是奇函数？A. \(f(x) = x^2\)B. \(f(x) = x^3\)C. \(f(x) = \cos(x)\)D. \(f(x) = \sin(x)\)答案：D7. 已知\(\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 2\)，则\(\lim_{x \to 0} f(x)\)是？A. 0B. 2C. -2D. 不存在答案：A8. 以下哪个选项是正确的？A. \(\int_0^1 x^2 dx = \frac{1}{3}\)B. \(\int_0^1 x^2 dx = \frac{1}{2}\)C. \(\int_0^1 x^2 dx = 1\)D. \(\int_0^1 x^2 dx = \frac{1}{6}\)答案：A9. 以下哪个选项是正确的？A. \(\ln(e^x) = x\)B. \(\ln(e^x) = e^x\)C. \(\ln(e^x) = e\)D. \(\ln(e^x) = \ln(x)\)答案：A10. 以下哪个选项是正确的？A. \(\frac{d}{dx}(x^2) = 2x\)B. \(\frac{d}{dx}(x^2) = x^2\)C. \(\frac{d}{dx}(x^2) = 2\)D. \(\frac{d}{dx}(x^2) = x\)答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数\(f(x) = x^3 - 3x\)的导数是\(f'(x) =\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\ _\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\ _\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\。