浙江大学数学分析考研试题及解答
浙江大学大二数学专业《数学分析(二)》考试A卷及答案
数学分析（二）课程考试A 卷适用专业 考试日期：试卷所需时间120分钟 闭卷 试卷总分100分一、判断题：（对的打√，错的打×，每小题2分，共12分）1、若lim 0n n na a →∞=≠，则级数n a ∑收敛。
（ ）2、若()f x 在[,]a b 上连续，2()0baf x dx =⎰，则[,]x a b ∀∈，()0f x ≡。
（ ）3、若00(,)(,)lim(,)x y x y f x y a →=，则00lim lim (,)x x y y f x y a →→=。
（ ）4、级数2(1)sin nn n x ∞=-+∑在[0,2]x π∈上一致收敛。
（ ）5、级数,n n a b ∑∑均发散，则级数min(,)n n a b ∑也发散。
（ ）6、若在可积，则在可积。
（ ）二、填空题：（共6小题，每小题2分，共12分）1、函数1x e x-在0x =处的幂级数展开式为 。
2、函数222(,)y f x y x y=+在点(0,0)的重极限和累次极限分别为 、 、 。
3、定积分211(sin 2)x ex dx --+⎰等于 。
4、若反常积分11x dx xα+∞-+⎰收敛时，则α的取值范围是 。
5、幂级数2nn x n∑的收敛半径和收敛区域分别为 、 。
6、函数2x 在(,)ππ-上展开成傅立叶级数为 。
三、计算题：（共4小题，每小题5分，共20分）1、1ln eex dx ⎰ 2、1201x dx -3、1xe + 4、!lim lnnn n n→∞四、（10分）计算由sin ,0,2,0y x x x y π====所围成的平面图形，绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积。
院系： 专业班级： 姓名： 学号：装 订 线五、（10分）求幂级数1nn nx ∞=∑的和函数()s x ，并利用该结果求级数12nn n∞=∑的值。
六、（10分）判别：（1）级数3!n n n n∑是否收敛；（2）级数2nx n n+∑在[0,1]x ∈上是否一致收敛。
浙江大学数学分析参考解答
浙江大学 数学分析 1． 计算定积分：20sin xdx π⎰解：22001cos 21sin cos 2242x xdx dx xdx πππππ-==-=⎰⎰⎰2． 假设f(x)在[0,1]Rieman 可积，13()2f x dx =⎰，求11lim 4ln[1()]nn i i f n n →∞=+∑ 解：利用可积的定义和Taylor 展开作2222221111101201220111ln(1)()2()1114ln[1()]4()2()4()13()()2max{()}11lim |2()|2lim |max{|()|}|2lim ||0li nnnni i i i ni nn x n n n x i i x x x o x i f i i in f f f o n n n n n n n i f f x dx nn f x i f f x n n n n =====≤≤→∞→∞→∞≤≤==+=-++=++==≤==∑∑∑∑∑⎰∑∑同理，2211()1m 4()0,lim 4ln[1()]23n nn n i i i f i n o f n n n →∞→∞===⇒+=∑∑3． 设a,b,c 是实数，b>-1,c ≠0,试确定a,b,c ，使得30sin limln(1)x x b ax xc t dtt →-=+⎰解：不断利用L ’Hospital 法则30032320000322200ln(1)lim(sin )0,0lim 00sin cos cos sin cos limlim lim limln(1)3ln(1)31112sin 1cos 12lim lim .033616xbx x x x x x x b x x t ax x c dt tb ax x ax x x a x x x a xc t x x x dt t x a x a x b x x c →→→→→→→→+-=≠⇒==---+-====+++⇒=⎧⎪=⎪-==⇒=⎨=⎰⎰不难得到⎪⎪⎩4． f(x)在[a,b]上连续，对于1[,],[,],|()||()|2x a b y a b f y f x ∀∈∃∈≤，求证：[,],()0a b f ξξ∃∈=证明：利用实数系的几个定理就可以了000[,],(1)()0,(2)()0,{},lim ()0{}{}{}lim ,()[,]()lim ()lim ()0n n n n n n n n n x yn x a b f x f x x f x x x y y y f x a b f y f x f y →∞→∞→→∞∈=≠==⇒===不妨设则命题得证则根据题意，可以得到一个序列然后,有界，所以不难得到存在一个收敛的子列由于在连续，5．(1)设f(x)在[a,+∞]上连续，且()af x dx +∞⎰收敛，证明：存在数列{}[,)n x a ⊂+∞，使得满足，lim ,lim ()0n n n n x f x →∞→∞=+∞=(2) 设f(x)在[a,+∞]上连续，f(x)≥0,且()af x dx +∞⎰收敛，问：是否必有lim ()0n n f x →∞=，为什么？ 证明：（1）此题也可以用反证法来解决，也非常简单。
浙江大学2000年研究生数学分析试题参考答案
浙江大学2000年研究生数学分析试题一．（共10分）(1)求极限1(1)lim xx e x x→-+解：原式=12(1)ln(1)2(1)lim(1)xx x xe x x x x ++-+→+=(2)设2101,,,2,3,,lim 2n n n nn x x x a x b x n x --→∞-==== 求解：)(21211-----=-n n n n x x x x ，这可以构造成为一个压缩映象，则数列收敛，以下求解就按照}{1--n n x x 这个数列来进行即可。
二．（共10分）1．设K ab a f b f K f b a =--=+-→→)()(lim,)0(0试证明‘证： K ab a f f f b f ab a f b f b a b a ==--+-=--+-+-→→→→ )()0()0()(lim )()(lim2．设()f x 在[,]a b 上连续，()f x ''在(,)a b 内存在，试证明存在(,)a b ξ∈，使得)(4)()2(2)()(2ξf a b b a f a f b f ''-=+-+分析：考虑函数)()()(2x f x f x F b a -+=+即可三．（共15分）1．求数项级数∑∞=12n nn的和S分析：S=2S-S2．试证明∑∞==11)(n xnx s 在),1(∞上的连续函数四．（共15分） 1．设方程组⎩⎨⎧=+=+++0sin sin 0v y u x v u y x ，确定了可微函数⎩⎨⎧==),(),(y x v v y x u u ，试求yvx v du ∂∂∂∂,,分析：用隐函数组的方法求解； 2．设2)()d yx y F y x x=，求)1(F '分析：dt dx dx y F tty t y yxyx yxyx ⎰⎰⎰-=+=1cos cos 0cos 0cos 232222)(五．（共30分） 1．计算定积分2sin cos 1cos x x I dx xπ=+⎰分析：令t=cosx ，I=0。
最新浙江大学数学分析试题及解答汇总
2005年浙江大学数学分析试题及解答浙江大学2005年数学分析解答一 （10分）计算定积分20sin x e xdx π⎰解：2sin xe xdx π⎰=()011cos 22x e x dx π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦⎰ ()01x e dx e ππ=-⎰ 由分部积分法0cos 2xe xdx π=⎰()1e π-+20sin 2x e xdx π=⎰()1e π-04cos 2x e xdx π-⎰所以0cos 2x e xdx π=⎰()115e π-，所以20sin x e xdx π⎰=()215e π- 解毕 二 （10分）设()f x 在[0,1]上Riemann可积，且1()2f x dx =⎰，计算 11lim 4ln[1()]nn i if n n →∞=+∑解：因为()f x 在[0,1]上Riemann 可积，所以0,()M f x M ∃>≤，所以1()0if n n→ 因为0ln(1)lim 1x x x →+=，所以114ln[1()]n i i f n n =+∑与114()ni i f n n =∑等价且极限值相等由Riemann 积分的定义：11lim 4ln[1()]nn i if n n →∞=+∑=410()f x dx =⎰解毕三 （15分）设,,a b c 为实数，且1,0b c >-≠试确定,,a b c 的值，使得30sin limln(1)x x b ax xc t dtt →-=+⎰解：若0b ≠，显然30sin lim0ln(1)x x b ax xt dtt →-=+⎰，这与0c ≠矛盾，所以0b =计算300sin limln(1)x x ax xt dtt →-+⎰，利用洛必达法则：33000sin cos lim lim ln(1)ln(1)x x x ax x a xt x dt t x→→--=++⎰，易有30ln(1)lim0x x x→+=，若1a ≠， 33000sin cos limlim ln(1)ln(1)x x x ax x a x t x dt t x →→--==∞++⎰，矛盾，所以1a =.计算301cos lim ln(1)x xx x→-+，继续利用洛必达法则：33001cos cos limlim ln(1)ln(1)x x x x x x x x x →→--=++24003321cos sin 2sin cos lim lim 3631(1)x x x x x x x x x x x x x →→-++==-++332243343cos sin 1lim(612)(1)6(63)(1)2(1)x x x x c x x x x x x x →-===-+--++ 解毕 四 （15分）设()f x 在[,]a b 上连续，且对每一个[],x a b ∈，存在[],y a b ∈，使得1()()2f y f x ≤，证明：在存在[,],a b ξ∈使得()0f ξ=证明:反证法,由于()f x 在[,]a b 上连续,由闭区间上连续函数的性质,不妨假设0()m f x M <<<对于任选的一点1x ,存在2,x 使得211()()2f x f x ≤, 存在3,x 使得321211()()()22f x f x f x ≤≤所以1111[,],()()0,()22n n n n Mx a b f x f x n --∈≤≤→→∞即lim ()0n n f x →∞=,但对所有的x, 0()m f x M <<<,矛盾.所以[,]a b 存在零点 证毕五 （20分）（1）设()f x 在[,)a +∞上连续，且()af x dx +∞⎰收敛。
浙江大学数学试题及答案
浙江大学数学试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数是无理数？A. 2B. πC. 0.5D. √4答案：B2. 函数f(x)=x^2的反函数是？A. f^(-1)(x)=√xB. f^(-1)(x)=x^2C. f^(-1)(x)=1/xD. f^(-1)(x)=x答案：A3. 集合A={1,2,3}，集合B={2,3,4}，A∩B的结果是？A. {1}B. {2,3}C. {3,4}D. {1,2,3}答案：B4. 以下哪个命题是假命题？A. 所有偶数都是整数B. 所有的整数都是有理数C. 无理数不能表示为两个整数的比D. 所有实数都是有理数或无理数答案：D二、填空题（每题5分，共20分）5. 若函数f(x)=2x+3，求f(-1)的值为______。
答案：-16. 圆的方程为(x-2)^2+(y-3)^2=9，则圆心坐标为______。
答案：(2,3)7. 矩阵A=\[\begin{array}{cc}1 & 2 \\ 3 & 4\end{array}\]的行列式值为______。
答案：-28. 已知等差数列的首项a1=3，公差d=2，求第5项a5的值为______。
答案：11三、解答题（每题15分，共30分）9. 证明：如果一个数列是单调递增且有界的，那么它必定收敛。
证明：设数列{a_n}是单调递增的，即对任意的n，有a_n ≤ a_{n+1}。
又设该数列有上界M，即对任意的n，有a_n ≤ M。
由于数列是单调递增的，因此存在一个子列{a_{n_k}}，使得a_{n_k} ≤ a_{n_{k+1}}。
因为数列有界，所以子列{a_{n_k}}也是有界的。
根据单调有界定理，子列{a_{n_k}}收敛，设其极限为L。
由于{a_{n_k}}是{a_n}的子列，因此数列{a_n}也收敛，且极限也为L。
10. 计算定积分∫(0到π) sin(x) dx。
解：根据定积分的基本定理，我们有∫(0到π) sin(x) dx = [-cos(x)](0到π) = -cos(π) - (-cos(0)) = 2。
浙江大学1999年——2008年数学分析
1 在 (1, ∞ ) 上连续可微． x n =1 n
x + y + z =R
2 2
∫∫
dS
2
x 2 + y 2 + ( z h) 2
，其中 h ≠ R ．
（2）设 a, b, c 为三个实数，证明：方程 e x = ax 2 + bx + c 的根不超过三个． 四、 （20 分）设 f n ( x) = cos x + cos 2 x +
四、 （20 分）设 f ( x ) 连续， ( x) = ∫ f ( xt )dt ，且 lim
0
x →0
1
论 '( x ) 在 x = 0 处的连续性． 五、 （10 分）定义 Pn ( x ) 为 Pn ( x) = 1 d n ( x 2 1) n ， n = 1, 2, 2n n ! dx n P0 ( x) = 1 ．
D
四、设 f (x ) 在 x > 0 时连续， f (1) = 3 ，并且 ∫
( x > 0, y > 0) ，试求函数 f (x ) ．
xy
1
f (t ) dt = x ∫ f (t ) dt + y ∫ f (t ) dt ，
1 1
y
x
五、设函数 f (t )在(a, b) 连续，若有数列 x n → a, y n → a ( x n , y n ∈ (a, b)) 使 lim f ( xn ) = A 及
2 2
五、 （15 分）设二元函数 f ( x, y ) 在正方形区域 [0,1] × [0,1] 上连续．记 J = [0,1] ． （1）试比较 inf sup f ( x, y ) 与 sup inf f ( x, y ) 的大小并证明之；
(NEW)浙江大学819数学分析历年考研真题汇编(含部分答案)
且假定 与 都在 上有界.试证明：
在 上也一致收敛于
；
如果只给出条件： 与
否保证必有
一致收敛于
分别一致收敛于 与 .能 请说明理由.
五、（15分) 设 在 上可积，并且在 处连续，证明： .
六、（15分) 设 ， 证明：数列 有极限，并求其值. 七、（20分) 设
证明： 在
在
在 上连续； 处可导； ； 处不可导.
（1)
；
（2)
；
（3)
；
（4) 计算
，其中 是三角形
方向与 方向相同；
（5)
；
（6)
.
，其法
二、（15分) 设
，且 ，计算
.
三、（15分) 设函数 证明：若
在
上连续， 为奇数.
，则方程
有实根.
四、（20分) 证明：
在
上一致收敛（其中 ）.
五、（20分) 设 连续，证明
公式：
.
六、（20分) 设 ；
2007年浙江大学427数学分析考研真题
浙江大学2007年攻读硕士学位研究生入学试题
考试科目：数学分析（427） 考生注意： 1．本试卷满分为150 分，全部考试时间总计180 分钟； 2．答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上均无效。 一、（30分) 证明：
； ； 设 是 上的可积函数，则有
六、（15分) 计算第二类曲面积分
.其中 是椭球面
的下半部分，并选取外侧为正向.
七、（20分) 设 其中 是有理数域， .试问：
在原点处是否连续 是否可微 并证明你的结论； 讨论在其它点处的连续可微情况，并说明理由. 八、（15分) 设 是连续函数，证明：
浙江大学1数学分析考研试题解答
浙江大学 数学分析考研试题解答一、（1）证明 l i m c o s c o s c o s 222n n tt t →∞⋅⋅⋅ (cos cos cos )sin 2222limsin 2n nn nt t t t t→∞⋅⋅⋅= sin lim2sin2n n nt t →∞=sin sin limsin 22n n nt tt tt t-→∞-==； （2）利用1cos42π=，及111cos cos 2222n n ππ+=+， 2312lim coscoscos222n n ππππ+→∞=⋅⋅⋅，即得2111111111222222222π=+++。
二、解 101()()()xg x f xt dt f u du x==⎰⎰，（0x ≠）；显然10(0)(0)0g f dt ==⎰ 102000()1lim ()lim xx x f u du f xt dt x x →→=⎰⎰ 00()1()(0)15limlim (0)22022x x f x f x f f x x →→-'====- 。
三、解 令sin .n a nx =，111(1),2n b n n=+++ 由于1n n b b +-=111111(1)(1)2121n n n n +++-+++++1111111(1)(1)(1)12121n n n n n =++++-++++++1111111(1)(1)012(1)121n n n n n n >++++-+++>++++， 所以{}n b 单调递减. 又因为1lim0,n n →∞=所以111lim lim (1)0.2n n n b n n→∞→∞=+++= 而 1121|||sin |,|sin |nnk xk k a kx ===≤∑∑ (2)x k π≠ 即 1k k a ∞=∑的部分和有界，于是,由Dirichlet 判别法可知级数收敛； 当 2x k π=时，显然级数收敛。