2018-2019学年高一数学下学期期中试题
2018-2019学年重庆市西南大学附中高一下学期期中数学试题(解析版)
2018-2019学年重庆市西南大学附中高一下学期期中数学试题一、单选题1．函数()tan 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的定义域是（ ）A ．,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z B ．,3x x k k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z C ．2,3x x k k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z D ．22,3x x k k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z 【答案】B【解析】解不等式()62x k k Z πππ+≠+∈，即可得出函数()y f x =的定义域.【详解】 解不等式()62x k k Z πππ+≠+∈，得()3x k k Z ππ≠+∈，因此，函数()tan 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的定义域是,3x x k k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z . 故选：B. 【点睛】本题考查正切型函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题.2．ABC ∆中，内角A 、B 所对的边分别为a 、b sin cos B b A ⋅=⋅，则角A 等于（ ） A ．3πB ．4π C ．6π D ．12π【答案】C【解析】根据正弦定理边角互化思想求出tan A 的值，再结合A 的范围可求出角A 的值. 【详解】sin cos B b A ⋅=⋅Q sin sin cos A B B A =，0B Q π<<，sin 0B ∴>cos A A =，可得tan A =.又0A π<<Q ，因此，6A π=.故选：C. 【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化思想求角，在计算时要结合角的取值范围来得出角的值，考查运算求解能力，属于基础题.3．非零向量a r 、b r满足：()2a b a -⊥r r r ，()2a b b -⊥r r r ，1a =r ，则b =r （ ）A ．12-B ．12C ．1D ．2【答案】B【解析】根据题意得出()()2020a b a a bb ⎧-⋅=⎪⎨-⋅=⎪⎩v v v v vv ，在方程组中消去a b ⋅r r，可得出a r 和b r 的等量关系，即可得出b r的值.【详解】由题意可得()()2020a b a a bb ⎧-⋅=⎪⎨-⋅=⎪⎩v v v v v v ，即222020a a b a b b ⎧-⋅=⎨⋅-=⎩v v v v v v①②，①+②2⨯得2240a b -=rr ，即2240a b -=r r ，因此，1122b a ==r r .故选：B. 【点睛】本题考查向量模的计算，根据向量垂直建立方程组是关键，考查运算求解能力，属于基础题.4．为了得到函数sin cos y x x =+的图象，只需将函数12y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（ ） A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移512π个单位 D ．向右平移512π个单位 【答案】A【解析】先将函数sin cos y x x =+解析式化简为sin cos 4y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，【详解】sin cos 4123y x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦Q ，因此，只需将函数12y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位即可得出函数sin cos y x x =+的图象.故选：A. 【点睛】本题考查三角函数图象变换，解题时要将两个三角函数化为同名函数，同时要注意左右平移指的是在自变量上变化了多少，考查推理能力，属于基础题.5．已知点()1,3A ，()2,7B -，则与向量AB u u u r方向相反的单位向量是（ ） A ．43,55⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．()3,4-C ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．34,55⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】D【解析】与非零向量AB u u u r 方向相反的单位向量为AB AB-u u u r u u u r ，进而可求得结果. 【详解】()1,3A Q ，()2,7B -，()3,4AB ∴=-u u u r ，则5AB ==u u u r，因此，与向量AB u u u r 方向相反的单位向量是()1343,4,555AB AB⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r . 故选：D. 【点睛】本题考查单位向量的求解，利用结论：与非零向量a r方向相反的单位向量为a a-rr 是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.6．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，45B=o ，c =3a =，则sin A =（ ） ABCD【解析】利用余弦定理求出b的值，然后利用正弦定理求出sin A的值. 【详解】由余弦定理得2222cos922352b ac ac B=+-=+-⨯=，可得b=由正弦定理得sin sina bA B=，因此，3sinsina BAb⨯===.故选：C.【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查计算能力，属于基础题.7．已知单位向量ar、br的夹角为θ，且满足()2xa b xb x+=-≥r r r，则cosθ的最小值为（）A．52B．512C．16D．13【答案】B【解析】在等式xa b xb+=-r r r两边平方，可得出cosθ关于x的函数表达式，然后利用双勾函数的单调性可求出cosθ的最小值.【详解】在等式xa b xb+=-r r r两边平方得2222222242x a xa b b a xa b x b+⋅+=-⋅+r r r r r r r r，由于向量ar、br是单位向量，整理得11cos6xxθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，由双勾函数的单调性可知，函数1y xx=+在区间[)2,+∞上单调递增，2x≥Q，当2x=时，cosθ取得最小值11526212⎛⎫⨯+=⎪⎝⎭.故选：B.【点睛】本题考查利用平面向量的模求夹角余弦值的最值，涉及双勾函数单调性的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.8．已知两不共线的向量()cos,sinaαα=r，()cos,sinbββ=r，则下列说法一定正确A ．a r 与b r的夹角为αβ-B ．a b ⋅r r的最大值为1C ．a b +≤r rD ．()()a b a b +⊥-r r r r【答案】D【解析】由向量夹角的范围可判断A 选项的正误；计算出a b ⋅r r，利用余弦函数的值域以及已知条件可判断B 选项的正误；利用平面向量模的三角不等式可判断C 选项的正误；计算()()a b a b +⋅-v vv v 的值可判断D 选项的正误.综合可得出结论.【详解】()cos ,sin a αα=Q v ，()cos ,sin b ββ=v ，则1a ==v ，同理可得1b =v，a r Q 与b r不共线，则()sin cos cos sin sin 0αβαβαβ-=-≠，则()k k Z αβπ-≠∈.对于A 选项，由题意知，a r 与b r的夹角的范围为()0,π，而()R αβ-∈且()k k Z αβπ-≠∈，A 选项错误；对于B 选项，设向量a r 与b r的夹角为θ，则0θπ<<，所以，()cos cos 1,1a b a b θθ⋅=⋅=∈-v vv v ，B 选项错误；对于C 选项，由于a r 与b r 不共线，由向量模的三角不等式可得2a b a b +<+=v vv v ，C选项错误；对于D 选项，()()22220a b a b a b a b +⋅-=-=-=v v v v Q v v v v ，所以，()()a b a b +⊥-v v v v ，D 选项正确. 故选：D. 【点睛】本题考查平面向量有关命题真假的判断，涉及平面向量的夹角、数量积与模的计算、向量垂直关系的处理，考查运算求解能力与推理能力，属于中等题. 9．已知()()2sin ,02f x x πωϕϕω⎛⎫=+<> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，对任意x 都有()f x f x π⎛⎫-=，则f π⎛⎫=（ ）A ．B ．1CD ．4【答案】C【解析】先由函数的最小正周期求得2ω=，根据题意得出函数()y f x =的一条对称轴为直线6x π=，可求出ϕ的值，然后代值计算即可.【详解】Q 函数()y f x =的最小正周期为π，则22πωπ==，此时，()()2sin 2f x x ϕ=+，由于对任意x 都有()3f x f x π⎛⎫-=⎪⎝⎭，则函数()y f x =的一条对称轴为直线6x π=，()262k k Z ππϕπ∴⨯+=+∈，可得()6k k Z πϕπ=+∈，2πφ<Q ，0k ∴=，6π=ϕ，所以，()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因此，2sin 22sin 121263f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查利用正弦型函数的基本性质求解析式，同时也考查了三角函数值的计算，求出函数解析式是关键，考查计算能力，属于中等题. 10．已知1cos cos 634ππαα⎛⎫⎛⎫+⋅-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，,32ππα骣琪Î琪琪桫，则α=（ ） A ．76π B ．6π-C ．4π-D ．512π 【答案】D【解析】利用诱导公式和二倍角的公式化简题干中的等式得出1sin 232πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，结合α的取值范围可求得α的值. 【详解】326πππαα⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭Q，所以cos cos sin 3266ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，11cos cos cos sin sin 26366234πππππααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅-=+⋅+=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，可得1sin 232πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， ,32ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ，42,33ππαπ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，则7236ππα+=，解得512πα=. 故选：D. 【点睛】本题考查利用三角函数值求角，涉及诱导公式和二倍角正弦公式的应用，在计算时要结合角的取值范围来计算，考查计算能力，属于中等题.11．已知函数()5sin 1222sin2xf x x =-，则()f x 的最小值为（ ） A ．916- B ．2 C ．0 D ．98-【答案】D【解析】利用三角恒等变换思想化简函数()y f x =的解析式为()22cos cos 1f x x x =+-，并求出cos x 的取值范围，利用二次函数的基本性质可求出函数()y f x =的最小值. 【详解】()5sin 2sin sin cos 2cos sin 211122222222sin 2sin 2sin 222x x x x x x x f x x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=-=-=-Q 2cos sin cos 2cos sin cos cos 11112222cos 2cos 222222sin sin 22x x x x x x xx x x x =+-=+-()21111cos 22cos cos cos 21cos cos 22222x x x x x x =+-=++-22222cos 1119cos cos 2cos cos 12cos 2248x x x x x x -⎛⎫=++-=+-=+- ⎪⎝⎭，由题意可知，()2xk k Z π≠∈，则()2x k k Z π≠∈，1cos 1x ∴-≤<，故选：D. 【点睛】本题考查二次型余弦函数最值的计算，涉及三角恒等变换思想的应用，容易忽略cos x 范围的计算，考查运算求解能力，属于中等题.12．O 为ABC ∆内一点内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r r ，且tan tan tan 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r r，若a =则边BC 所对的ABC ∆外接圆的劣弧长为（ ） A ．23π B ．43π C ．6π D ．3π 【答案】A【解析】根据题意得出tan tan tan A B Ca b c==，利用正弦定理边化角思想和切化弦思想得出A B C ==，从而可得知ABC ∆为等边三角形，进而可求得BC 所对的ABC ∆外接圆的劣弧长. 【详解】0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r r Q ，a b OC OA OB c c∴=--u u u r u u ur u u u r ，同理可得tan tan tan tan A B OC OA OB C C =--u u u r u u u r u u u r ，tan tan tan tan a A c Cb Bc C ⎧-=-⎪⎪∴⎨⎪-=-⎪⎩，tan tan tan A B Ca b c∴==， 由正弦定理得tan tan tan sin sin sin A B C A B C ==，所以，111cos cos cos A B C==， cos cos cos A B C ∴==，由于余弦函数cos y x =在区间()0,π上单调递减，所以，3A B C π===， 设ABC ∆的外接圆半径为R，则22sin 2aR A===，1R ∴=， 所以，边BC 所对的ABC ∆外接圆的劣弧长为222133R A ππ⨯=⨯=. 故选：A. 【点睛】本题考查弧长的计算，涉及正弦定理边角互化思想、切化弦思想以及正弦定理的应用，二、填空题13．ABC ∆内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c，若c =，b =，则cos B =_________.【答案】34【解析】利用a 表示b 和c ，然后利用余弦定理可求出cos B 的值. 【详解】b =Q，2c a ==，由余弦定理得222222423cos 2224a cb a a a B ac a a +-+-===⨯. 故答案为：34. 【点睛】本题考查利用余弦定理求角的余弦值，考查计算能力，属于基础题.14．21sin 352cos10cos80-=⋅o o o_________.【答案】1-【解析】利用二倍角公式和诱导公式可计算出所求代数式的值. 【详解】原式211cos701sin 35cos70sin 202221cos10cos80cos10sin102sin10cos10sin 20---===-=-=-⋅⋅o oo o o o o o o o o. 故答案为：1-. 【点睛】本题考查利用三角恒等变换思想求非特殊角的三角代数式的值，涉及二倍角公式和诱导公式的应用，在计算时要注意化大角为小角、化异角为同角思想的应用，考查计算能力，属于中等题.15．ABC ∆中，点D 、E 、F 分别在边AB 、BC 、CA 上，且3AD DB =u u u r u u u r ，3BE EC =u u u r u u u r ，3CF FA =u u u r u u u r，若2BC =u u u r ，则AE BF CD ++=u u u r u u u r u u u r ________.【答案】1【解析】分别用u u u r 、u u u r 、uuu r 表示u u u r 、u u ur 、CD uuu r ，可计算出u u u r u u u r u u u r ，进而可求得AE BF CD ++u u u v u u u v u u u v 的值.【详解】3AD DB =u u u r u u u rQ ，则()3AC CD CB CD +=-u u u v u u u v u u u v u u u v ，可得3144CD CB CA =+u u u r u u u r u u u r ，同理可得3144AE AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，3144BF BA BC =+u u u r u u u r u u u r，所以，31313114444442AE BF CD AB AC BA BC CB CA BC ++=+++++=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，因此，11122AE BF CD BC BC ++=-==u u u v u u u v u u u v u u uv u u u v .故答案为：1. 【点睛】本题考查平面向量模的计算，涉及平面向量加法和减法法则的应用，解题的关键就是选择合适的基底来表示向量，考查计算能力，属于中等题. 16．若2sin 2cos (0)5αααπ+=-<<24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭_______.【答案】1725【解析】利用同角三角函数的平方关系建立有关sin α和cos α的方程组，求出sin α和cos α的值，利用二倍角公式求出sin 2α和cos2α的值，然后利用两角和的余弦公式可计算出结果. 【详解】0απ<<Q ，可得sin 0α>，由题意可得222sin 2cos 5sin cos 1sin 0ααααα⎧+=-⎪⎪+=⎨⎪>⎪⎩，解得4sin 53cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 由二倍角公式得24sin 22sin cos 25ααα==-，27cos 22cos 125αα=-=-.17222cos 2sin 242225πααααα⎫⎛⎫+=-=-=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭. 故答案为：1725. 【点睛】本题考查三角函数值的计算，涉及同角三角函数平方关系、二倍角公式以及两角和的余三、解答题17．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边是射线()20y x x =≥.求下列各式的值： （1）sin 2cos sin cos θθθθ+-；（2）sin 24πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【答案】（1）4；（2）10. 【解析】（1）根据题意求得tan 2θ=，在所求分式的分子和分母中同时除以cos θ的值，可得出只含tan θ的分式，代值计算即可；（2）利用两角和的正弦公式、二倍角的正弦、余弦公式化简()22sin 22sin cos cos sin 42πθθθθθ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，除以22cos sin θθ+，在所得分式的分子和分母中同时除以2cos θ，可得出只含tan θ的分式，代值计算即可. 【详解】（1）由题意可得tan 2θ=，所以，sin 2cos tan 2224sin cos tan 121θθθθθθ+++===---；（2）原式)()22sin 2cos 22sin cos cos sin 22θθθθθθ=+=+-2222222sin cos cos sin 2tan 1tan 2cos sin 21tan θθθθθθθθθ+-+-=⋅=⋅++22221221210⨯+-==+. 【点睛】本题主要考查正、余弦齐次式的计算，考查弦化切思想的应用与三角函数的定义，考查计算能力，属于基础题.18．平面内给定三个向量()3,2a =r ，()1,1b =--r ，()4,1c =r，回答下列问题：（l ）若()()a kc a b +⊥+r r r r，求实数k ；（2）设d u r 满足()()//d c a b --u r r r r 且1d c -=u r r ，求d u r.【答案】（1）89k =-；（2）248,55d ⎛⎫=⎪⎝⎭u r 或162,55d ⎛⎫= ⎪⎝⎭u r . 【解析】（1）计算出向量a kc +r r和a b +r r 的坐标，由已知条件得出()()0a kc a b +⋅+=r r r r ，可得出关于实数k 的等式，解出即可；（2）设向量(),d x y =u r，根据已知条件得出关于x 、y 的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出向量d u r的坐标.【详解】（1）Q 向量()3,2a =r ，()1,1b =--r ，()4,1c =r，则()()()3,24,143,2a kc k k k +=+=++r r ，()()()3,21,12,1a b +=+--=r r，()()a kc a b +⊥+r r r r Q ，()()()()24312980a kc a b k k k ∴+⋅+=⨯++⨯+=+=r r r r，解得89k =-； （2）设(),d x y =u r ，()()()3,21,14,3a b -=---=r r Q ，()4,1d c x y -=--u r r，由于()()//d c a b --u r r r r 且1d c -=u r r ，则()()34411x y ⎧-=-=，解得24585x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或16525x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 因此，248,55d ⎛⎫=⎪⎝⎭u r 或162,55d ⎛⎫= ⎪⎝⎭u r . 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，涉及由向量垂直求参数以及向量坐标的求解，建立方程组是解题的关键，考查运算求解能力，属于中等题.19．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且()()214sincos cos sin cos sin 2223B A B BC B A C ⋅⋅++⋅-+=. （1）求sin C 的值；（2）若4c =，3a =，求向量AB u u u r 在AC u u u r方向上的投影.【答案】（1）13；（2）15. 【解析】（1）利用二倍角降幂公式、两角和的正弦公式以及诱导公式化简题干中的等式可求出sin C 的值；（2）利用正弦定理求出sin A 的值，由a c <可知A 为锐角，进而求得cos A 的值，然后利用向量投影的定义可得出结果. 【详解】 （1）()()24sincos cos sin cos sin 222B A BB C B A C ⋅⋅++⋅-+Q ()()1cos 2sin sin cos sin 2AB A B B ππ+=⋅+--- ()()1sin cos sin sin cos sin sin sin sin 3B A B A B B A BC C π=++-=+=-==；（2）由正弦定理sin sin a c A C =得13sin 13sin 44a C A c ⨯===， a c <Q ，则角A 为锐角，所以，215cos 1sin A A =-=，因此，向量AB u u u r 在AC u u u r 方向上的投影为15cos cos 415AB A c A ==⨯=u u u r. 【点睛】本题考查三角形中角的正弦值的计算以及平面向量投影的计算，难点在于利用三角恒等变换思想将等式化简，考查计算能力，属于中等题.20．如图，四边形AOCB 中，0OA OC ⋅=u u u r u u u r，2AC =，1BC =.（1）若23AB =ABC S ∆. （2）若5AB =OB 长度的取值范围.【答案】（1）12；（2）(1⎤⎦. 【解析】（1）利用余弦定理求出cos ACB ∠，进而求得sin ACB ∠，然后利用三角形的面积公式可求出ABC S ∆的值； （2）设ACO θ∠=，可知0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，以及2cos OC θ=，然后在OBC ∆中利用余弦定理将2OB 表示为θ的三角函数，并利用三角恒等变换思想化简，利用正弦函数的基本性质可求出OB 的取值范围. 【详解】（1）在ABC ∆中，AB =2AC =，1BC =， 由余弦定理得22211cos 212AC BC AB ACB AC BC +-∠==⋅，sin 12ACB ∴∠==，因此，11sin 21221212ABC S AC BC ACB ∆=⋅⋅∠=⨯⨯⨯=；（2）2AC =Q ，1BC =，AB =222AC BC AB ∴+=，2ACB π∴∠=.设ACO θ∠=，可知0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且cos 2cos OC AC θθ==， 在OBC ∆中，22222cos 4cos 14cos sin 2OB OC BC OC BC πθθθθ⎛⎫=+-⋅+=++ ⎪⎝⎭2sin 22cos 23234πθθθ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ，52444πππθ∴<+<，则sin 2124πθ⎛⎫-<+≤ ⎪⎝⎭，213OB ∴<≤+11OB <≤.因此，OB 的取值范围是(1⎤⎦. 【点睛】本题考查三角形面积的计算，同时也考查了三边形边长取值范围的计算，解题的关键就是找出一个合适的角，将所求边长表示以此角为自变量的三角函数，转化为三角函数的值域问题来求解，考查运算求解能力，属于中等题. 21．已知函数()2sin sin 2cos 662x f x x x ππωωω⎛⎫⎛⎫=++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中x ∈R ，0>ω，若()1f m =，()1f n =-，且m n -的最小值为4π. （1）求()f x ；（2）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知()1f A =，a =0AB BC ⋅>u ur u u ru u ，求b c +的取值范围.【答案】（1）()2sin 216f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；（2）322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 【解析】（1）利用三角恒等变换思想化简函数()y f x =的解析式为()2sin 16f x x πω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，利用题中条件求出函数()y f x =的最小正周期，可计算出ω的值，由此可得出函数()y f x =的解析式；（2）由0AB BC ⋅>u ur u u ru u ，可知B 为钝角，A 为锐角，结合()1f A =求出角A 的值，然后利用正弦定理结合三角恒等变换思想将b c +变形为以角C 为自变量的三角函数，利用正弦函数的基本性质可求出b c +的取值范围. 【详解】 （1）()2sin sin 2cos 662x f x x x ππωωω⎛⎫⎛⎫=++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q 1cos sin coscos sinsin coscos sin266662xx x x x ππππωωωωω+=++--⨯cos 12sin 16x x x πωωω⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭.()2sin 116f m m πω⎛⎫=--= ⎪⎝⎭Q ，得sin 16m πω⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由()2sin 116f n n πω⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，得sin 06n πω⎛⎫-= ⎪⎝⎭， m n -Q 的最小值为4π，则函数()y f x =的最小正周期为44ππ⨯=，则22πωπ==， 因此，()2sin 216f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭； （2）()cos cos 0AB BC AB BC B AB BC B π⋅=⋅⋅-=-⋅>u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rQ ，cos 0B ∴<，所以，B 为钝角，A 为锐角，()2sin 2116f A A π⎛⎫=--= ⎪⎝⎭Q ，可得sin 216A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，02A π<<Q ，52666A πππ∴-<-<，则262A ππ-=，解得3A π=.由正弦定理得1sin sin sin b c aB C A ====，则sin b B =，sin c C =， 由题意得022C B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，即02223C C ππππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得06C π<<，()1sin sin sin sin sin sin sin sin 32b c B C C A C C C C C Cπ⎛⎫∴+=+=++=++=++ ⎪⎝⎭3sin cos 226C C C π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 06C π<<Q ，663C πππ∴<+<，则1sin 262C π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，322b c <+<.因此，b c +的取值范围是32⎫⎪⎪⎝⎭.【点睛】本题是三角函数与解三角形的综合问题，考查根据三角函数的基本性质求解析式以及利用三角函数求解三角形中边长和的取值范围问题，考查化归与转化思想以及运算求解能力，属于中等题.22．已知函数()222sin 14f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.（1）当5,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且()()2sin 46g x mf x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最大值为32，求m 的值； （2）方程()32f x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的两解分别为1x 、2x ，求()12cos x x -的值. 【答案】（1）12m =；（2）()123cos 4x x -=. 【解析】（1）利用三角恒等变换思想化简函数()y f x =的解析式为()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令26s x π=-，可得()22sin 4sin 1g x s m s =-++，再令[]sin 0,1t s =∈，可将问题转化为二次函数2241y t mt =-++在[]0,1t ∈上的最大值为32，利用二次函数的基本性质可求出实数m 的值； （2）设12x x <，由题意求得123sin 2sin 2664x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1cos 264x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2cos 264x π⎛⎫-=-⎪⎝⎭，由两角差的余弦公式可求出()12cos 22x x -的值，求出12x x -的取值范围，进而利用二倍角余弦公式可求出()12cos x x -的值. 【详解】 （1）()222sin 14f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭Q 1cos 21cos 22212cos 22sin 2226x x x x x ππ⎛⎫-+ ⎪-⎛⎫⎝⎭=+⨯=-=- ⎪⎝⎭， 当5,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，令220,63s x ππ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，则26x s π=+，则[]sin 0,1s ∈.()24sin sin 2cos 24sin 2sin 4sin 12g x m s s s m s s m s π⎛⎫∴=++=+=-++ ⎪⎝⎭，令[]sin 0,1t s =∈，令2241y t mt =-++，该二次函数图象开口向上，对称轴为直线t m =.①当0m ≤时，二次函数2241y t mt =-++在区间[]0,1上单调递减，则max 312y =≠，不合乎题意； ②当01m <<时，二次函数2241y t mt =-++在区间[]0,m 上单调递增，在区间[],1m 上单调递减，则2max 3212y m =+=，解得12m =或12m =-（舍）；③当m 1≥时，二次函数2241y t mt =-++在区间[]0,1上单调递增， 则max 3412y m =-=，解得58m =（舍）. 综上所述，12m =； （2）设12x x <，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Q ，则52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 由于正弦函数sin y x =在区间,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，由()32sin 262f x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，得3sin 264x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 因为方程()32f x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的两解分别为1x 、2x ， 则123sin 2sin 2664x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，必有10262x ππ<-<，252266x πππ<-<，所以，1cos 264x π⎛⎫-== ⎪⎝⎭，同理2cos 264x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， ()1212cos 22cos 2266x x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴-=--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2121231cos 2cos 2sin 2sin 2666648x x x x ππππ⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+--=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由于102x π≤≤，202x π≤≤且12x x <，1202x x π∴-≤-<，则()12cos 0x x -≥，由()()21212cos 222cos 1x x x x -=--，可得()123cos 4x x -==.【点睛】本题考查利用二次型正弦函数的最值求参数，同时也考查了由正弦型函数的解求三角函数值，考查计算能力，属于中等题.。
2018-2019学年上海市七宝中学高一下学期期中数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市七宝中学高一下学期期中数学试题一、单选题 1．“22x ππ⎡⎥∈-⎤⎢⎣⎦，”是“()sin arcsin x x =”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分条件又非必要条件【答案】B【解析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可． 【详解】arcsin y x =的定义域为[1-，1]， sin(arcsin )[1x x x ∴=⇔∈-，1]，[2x π∈-，]2π推不出[1x ∈-，1]，[1x ∈-，1][2x π⇒∈-，]2π，∴ “[2x π∈-，]2π是“sin(arcsin)x =”的必要非充分条件．故选：B ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查反三角函数，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．2．将函数πsin 12y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上的点π,4P t ⎛⎫⎪⎝⎭向左平移(0)s s >个单位,得到点P '，若P '位于函数sin2y x =的图象上，则A ．12t s =，的最小值为π6B ．2t s =的最小值为π6C ．12t s =，的最小值为π12D ．2t s=的最小值为π12 【答案】A 【解析】【详解】 由题意得ππ1sin 4122t ⎛⎫=-=⎪⎝⎭,排除B,D;平移后π1,42P s ⎛⎫- ⎪⎝⎭',而P '位于函数sin2y x =的图象上,所以1πsin2cos224s s ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭,而0s >,则s 的最小值为π6,排除C.故选A.3．若方程212cos sin 0x x a --+=有实数解，则实数a 的取值范围是（ ）A.98⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦， B.928⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，C.908⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D.918⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 【答案】B【解析】把方程化为22cos sin 1a x x =+-，利用三角函数即可求出a 的取值范围． 【详解】方程212cos sin 0x x a --+=可化为22cos sin 1a x x =+-，则22192sin sin 12(sin )48a x x x =-++=--+，由sin [1x ∈-，1]，∴21(sin )[04x -∈，25]16， 2192(sin )[248x ∴--+∈-，9]8，即实数a 的取值范围是[2-，9]8．故选：B ． 【点睛】本题主要考查了三角函数的性质与应用问题，是基础题．4．如图，在△ABC 中，BC=，a AC=b ，AB=c ，O 是△ABC 的外心，OD ⊥BC 于D ，OE ⊥AC 于E ，OF ⊥AB 于F ，则OD:OE:OF 等于（ ）A.::a b cB.cos :cos :cos A B CC.sin :sin :sin A B CD.111::a b c【答案】B【解析】作出ABC ∆的外接圆，连接OA 、OB 、OC ，由垂径定理和圆周角定理可得12B AOC AOE ∠=∠=∠，同理可知A BOD ∠=∠、C AOF ∠=∠，若设O 的半径为R ，可用R 分别表示出OD 、OE 、OF ，进而可得到它们的比例关系． 【详解】如图，连接OA 、OB 、OC ；22BOC BAC BOD ∠=∠=∠， BAC BOD ∴∠=∠；同理可得：BOF BCA ∠=∠，AOE ABC ∠=∠； 设O 的半径为R ，则：cos cos OD R BOD R A =∠=∠， cos cos OE R AOE R B =∠=∠， cos cos OF R BOF R C =∠=∠，故::cos :cos :cos OD OE OF A B C =∠∠∠， 故选：B ．【点睛】此题主要考查了三角形的外接圆、圆周角定理及垂径定理的综合应用，解题的关键是能够作出已知三角形的外接圆，难度中等．二、填空题5．函数()12sin 4y x =-的最小正周期是________. 【答案】2π 【解析】根据三角函数的周期公式求解即可. 【详解】函数12sin(4)y x =-，所以函数()f x 的周期22||42T πππω===. 故答案为：2π． 【点睛】本题主要考查三角函数周期的求法，是基本知识的考查． 6．函数cos 2y x =的对称轴方程是________.【答案】,2k x k Z π=∈ 【解析】根据余弦函数cos y x =的对称轴方程x k π=，k Z ∈，运用整体法可得cos 2y x =的对称轴方程．【详解】 cos2y x =，令2x k =π，k Z ∈，则,2k x k Z π=∈， cos2y x ∴=的对称轴方程为：,2k x k Z π=∈．故答案为：,2k x k Z π=∈． 【点睛】本题考查了余弦型函数图象的对称轴的求法，考查了整体思想，属基础题．7．在平面直角坐标系中，已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线3y x =上，则sin2θ=_______. 【答案】35【解析】利用任意角的三角函数的定义求得tan θ，再利用同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，求得sin 2θ的值. 【详解】角θ的顶点在平面直角坐标系xOy 原点O ，始边为x 轴正半轴，终边在直线3y x =上，tan 3θ∴=2222sin cos 2tan 63sin 21105sin cos tan θθθθθθθ∴====++，故答案为：35． 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，属于基础题．8．若锐角αβ、满足()35cos cos 513ααβ=+=-，，则cos β=______. 【答案】3365【解析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin()αβ+，sin α的值，利用两角差的余弦公式即可计算得解． 【详解】αQ 、β为锐角，(0,)αβπ∴+∈，5cos()13αβ+=-，3cos 5α=，12sin()13αβ∴+==，4sin 5α=，5312433cos cos[()]cos()cos sin()sin ()13513565βαβααβααβα∴=+-=+++=-⨯+⨯=． 故答案为：3365． 【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题． 9．函数2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调递减区间为________. 【答案】511,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【解析】由题意利用正弦函数的单调性，求得该函数的单调减区间． 【详解】对于函数2sin(2)3y x π=-，令3222232k x k πππππ+-+剟，k Z ∈, 求得5111212k x k ππππ++剟， 可得它的单调递减区间为5[12k ππ+，11]12k ππ+，k Z ∈， 故答案为：5[12k ππ+，11]12k ππ+，k Z ∈． 【点睛】本题主要考查正弦函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．10．已知2sin 5x =-3()2x ππ<<，则x =________（用反正弦表示） 【答案】2arcsin 5π+【解析】【详解】 由于2arcsin5表示[]22ππ-，上正弦值等于25的一个锐角，由2sin 5x =- 3()2x ππ<<，则2arcsin 5x π=+，故答案为2arcsin 5π+.点睛：本题考查反三角函数的运用，解题的关键理解反三角函数的定义，用正确的形式表示出符号条件的角，本题重点是理解反三角函数定义，难点是表示出符合条件的角.11．方程sin x x _______.【答案】7212x k ππ=+或132,12x k k Z ππ=+∈【解析】利用三角恒等变换化方程为sin()32x π-=，求出方程的解即可．【详解】方程sin x x =12(sin )2x x ∴=sin()3x π∴-=， 解得234x k πππ-=+或3234x k πππ-=+，k Z ∈； 即7212x k ππ=+或132,12x k k Z ππ=+∈ 故答案为：7212x k ππ=+或132,12x k k Z ππ=+∈ 【点睛】本题考查了三角函数的化简与三角方程的应用问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，是基础题．12．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，且224S (a b)c =+-，则cosC =______． 【答案】0【解析】由三角形面积公式和余弦定理可将224S (a b)c =+-化为2absinC 2abcosC 2ab =+，进而可求出结果.【详解】因为1S ab 2sinC =，余弦定理222c a b 2abcosC =+-，又224S (a b)c =+-，所以有2absinC 2abcosC 2ab =+，即sinC cosC 1-=C 14π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 因此C 244k πππ-=+或()3C 2k Z 44k πππ-=+∈，所以C 22k ππ=+或()C 2k Z k ππ=+∈，因为C 三角形内角，所以C 2π=，故cosC 0=.故答案为0 【点睛】本题主要考查解三角形，熟记余弦定理和三角形面积公式即可求出结果，属于常考题型. 13．若将函数()cos()8f x x πω=-（0>ω）的图像向左平移12π个单位后，所得图像对应的函数为偶函数，则ω的最小值是________ 【答案】32【解析】由三角函数图象的平移变换得：g()cos()128x x ωππω=+-，因为g()x 为偶函数，所以=,128k k Z ωπππ-∈，由(0)>ω，所以ω的最小值为32，得解．【详解】解答：解：将函数()cos()(0)8f x x πωω=->的图象向左平移12π个单位后，所得图象对应的函数为g()cos ()+cos(+),128128x x x ππωππωω⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦因为g()x 为偶函数， 所以3=,12,1282k k Z k k Z ωπππω-∈∴=+∈， 由0>ω， 所以ω的最小值为32， 故答案为：32． 【点睛】本题考查了三角函数图象的平移变换及函数的奇偶性，属中档题．14．已知函数()()()()()sin 2cos 2sin 2cos 222x x x x f x ππππ+-=+，对任意x R ∈，都有不等式()()()12f x f x f x ≤≤恒成立，则21x x -的最小值为_________. 【答案】38【解析】先化简函数的解析式，再作出函数一个周期的图象，由三角函数的性质，确定21||x x -的最小值为相邻最小值与最大值处横坐标差的绝对值，即可得解．【详解】由22cos 2()cos 22cos 2sin x sin x xf x x sin x x ππππππ≥⎧=⎨<⎩，所以函数在一个周期的图象如图所示，因为对任意x ∈R ，都有不等式12()()()f x f x f x 剟恒成立， 即当1x x =时，函数()y f x =取最小值，当2x x =时，函数()y f x =取最大值， 则21||x x -的最小值为513848-=. 故答案为：38．【点睛】本题考查考查三角函数的图象和性质，确定21||x x -的最小值为相邻最小值与最大值处横坐标差的绝对值是关键，属于中档题． 15．已知函数()()()1sin 20192019x xx f x x R π-=∈+，下别列命题: ①函数()f x 是奇函数； ②函数()f x 在区间[]22ππ-，上共有13个零点； ③函数()f x 在区间()01，上单调递增；④函数()f x 的图像是轴对称图像。
2018-2019湖北省宜昌市高一下学期期中考试数学试题（解析版）
2018-2019学年湖北省宜昌市部分示范高中教学协作体高一下学期期中考试数学试题一、单选题1．设，且，，则下列结论一定成立的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】利用不等式相减的性质判断；利用不等式相加的性质判断；利用不等式相乘的性质判断；利用不等式相除的性质判断.【详解】对于，∵，，∴，∴与无法比较大小，故本选项错误；对于，∵，，∴，故本选项正确；对于,当，时，，故本选项错误；对于，当，时，，故本选项错误．故选B．【点睛】本题主要考查不等式的基本性质，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题. 2．不等式的解集是A．B．C．或D．【答案】B【解析】试题分析：∵，∴，即，∴不等式的解集为．【考点】分式不等式转化为一元二次不等式．3．设为第四象限的角，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：设为第四象限的角，,则,则.故本题答案应选D.【考点】1.同角间基本关系式；2.倍角公式．4．设ABC ∆的内角A ， B ， C 所对边分别为a ， b ， c 若3a =， 3b =， 3A π=，则B =（ ） A ．6π B ．56π C ．6π或56π D ．23π【答案】A【解析】由正弦定理得331sin 2sin3B π=⇒=，所以6B π=或56B π=，又因为b a <，所以应舍去56B π=，应选答案A 。
!5．已知向量，则函数的最小正周期是A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】先利用的坐标求得函数f （x ）的解析式，进而利用两角和公式和二倍角公式化简整理，利用三角函数的周期公式求得答案． 【详解】 f （x ）2cos 2x+2sinxcosx ＝cos2x+sin2x+1sin （2x）+1∴Tπ故选：B ． 【点睛】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，两角和公式和二倍角公式化简求值，平面向量的基本运算．考查了学生综合运用所学知识解决问题的能力． 6．在中，，则三角形的形状为（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形或直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形【答案】B 【解析】由，利用正弦定理以及二倍角的正弦公式可得，讨论两种情况，即可得结果. 【详解】 ∵，∴根据正弦定理，得，即．∵，∴或，得或，因此是等腰三角形或直角三角形，故选B ．【点睛】判断三角形形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形. 7．不等式的解集为，则的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】讨论两种情况，时合题意，当时，利用判别式小于零且可得结果.【详解】 当时，不等式即，恒成立．当时，由题意可得，且，解得．综上，实数的取值范围是，故选C ．【点睛】解答一元二次不等式恒成立问题主要方法：（1）若实数集上恒成立，考虑二次项系数的符号以及判别式小于零即可；（2）若在给定区间上恒成立，则考虑运用“分离参数法”转化为求最值问题.8．在ABC ∆中，32a =，23b =，1cos 3C =，则ABC ∆的面积为( )． A ．33 B ．23 C ．3 D 3 【答案】C【解析】试题分析：因为C 为三角形的内角，所以212sin 1cos 193C C =-=-=，所以三角形的面积1122sin 322343223S ab C ==⨯= C.【考点】三角形面积公式.9．下列各函数中，最小值为2的是 （ ） A ．y x x=+B ．1sin sin y x x =+，)21,0(∈xC ．222y x =+ D ．1y x x=+【答案】A【解析】试题分析：对于A ．22y x x x x=+≥⨯=，当且仅当 x x=即1x =取等号正确；对于B．1sin sin y x x=+，)21,0(∈x ，则1110sin sin1,sin 2sin 22sin sin x y x x x x <<<=+≥=当且仅当 1sin sin x x=即sin 1x =取等号，等号取不到所以错误；对于C ．22222222222y x x x x ===++≥+++ ，当且仅当2222x x +=+ 即21x =-取等号，等号取不到所以错误，D ．1y x x=+,当1,2x y =-=-不满足题意，所以应选A.【考点】基本不等式的应用.【易错点睛】利用基本不等式求最值必须满足一正，二定，三相等三个条件，并且和为定值时，积有最大值，积为定值时，和有最小值，特别是等号成立的条件是否满足，必须进行验证，否则易错；基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点.10．边长分别为1，，的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】边长为的边对的角不是最大角、也不是最小角，利用余弦定理求出该角，由三角形内角和定理可得结果. 【详解】由题意可得，边长为的边对的角不是最大角、也不是最小角，设此角为，则由余弦定理可得，∴，故三角形的最大角与最小角的和是，故选C．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理与余弦定理的应用，属于中档题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.11．2002年北京国际数学家大会会标，是以中国古代数学家赵爽的弦图为基础而设计的，弦图用四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形如图，若大、小正方形的面积分别为25和1，直角三角形中较大锐角为，则等于A．B．C．D．【答案】B【解析】根据两正方形的面积分别求出两正方形的边长，根据小正方形的边长等于直角三角形的长直角边减去短直角边，利用三角函数的定义表示出，两边平方并利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简可得的值，然后根据的范围求出的范围即可判断出的正负，利用同角三角函数间的基本关系由即可求出的值．【详解】大正方形面积为25，小正方形面积为1，大正方形边长为5，小正方形的边长为1．，．两边平方得：，．是直角三角形中较小的锐角，．．故选：B．【点睛】此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简求值，是一道中档题本题的突破点是将已知的两等式两边平方．12．方程的两根为，，且，则（）A．B．C．D．或【答案】B【解析】利用韦达定理求出与的值，由两角和的正切公式求得，从而可得结果.【详解】∵方程的两根为，，且，∴，，再结合，故，，∴，故．又，∴，故选B．【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．二、填空题13．如图所示，为测量一水塔AB的高度，在C处测得塔顶的仰角为60°，后退20米到达D处测得塔顶的仰角为30°，则水塔的高度为______米．【答案】103【解析】设AB hm =，则3BC h =， 3BD h =，则3320h h -=，∴103h m =，故答案为103. 14．比较大小： 35+__________26+（用“>”或“<”符号填空）．【答案】>【解析】∵（3+5）2=3+5+215=8+2 15，（ 2+6）2=2+6+2 12=8+212，又∵12＜15，2+6＞0， 3+5＞0，∴26+＜3+5， 故答案为：＞． 15．已知， 且，则的最小值为________．【答案】【解析】根据基本不等式，结合“1”的代换，可求得的最小值。
2018-2019学年江苏省南通中学高一(下)期中数学试卷
2018-2019学年江苏省南通中学高一（下）期中数学试卷试题数：22，总分：1001.（单选题，3分）下列说法正确的是（）A.三点确定一个平面B.四边形一定是平面图形C.梯形一定是平面图形D.共点的三条直线确定一个平面2.（单选题，3分）已知正方体的表面积为96，则正方体的体积为（）A. 48√6B.64C.16D.963.（单选题，3分）已知sinα= 1，则cos2α的值为（）8A. −3132B. 3132C. 6364D. −63644.（单选题，3分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，则异面直线CD和D1E所成角的余弦值为（）A. 23B. √53C. 2√55D. √555.（单选题，3分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2sinAcosB=sinC，则△ABC的形状为（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.正三角形6.（单选题，3分）如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，O′A′=O′B′=2，∠A′O′B′=45°，则△OAB的面积是（）A.2B.3C.4D.57.（单选题，3分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B=60°，a=1，b=2，则sinA的值为（）A. √32B. 14C. √34D. 12的值为（）8.（单选题，3分）已知tanα=2，则sinα+cosαsinα−3cosαA.-3B.3C. 13D.- 139.（单选题，3分）已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中正确为（）A.若m || β，n⊥α，α⊥β，则m⊥nB.若m⊥α，n⊥β，则α || βC.若m || α，n || β，α || β，则m || nD.若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，m⊥n，则n⊥α10.（单选题，3分）设锐角ABC的三内角A，B，C所对边的边分别为a，b，c，且a=2，B=2A，则b的取值范围为（）A. (2√2，2√3)B. (2√2，4)C. (2，2√3)D.（0，4）11.（单选题，3分）在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是BC中点，点P是正方形DCC1D1内的动点（含边界），且满足∠APD=∠MPC，则三棱锥P-BCD的体积最大值是（）A. 649B. 4√3C. 16√33D. 32√3912.（单选题，3分）点M是棱长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球O球面上的动点，点N为B1C1上一点，2NB1=NC1，DM⊥BN，则动点M运动路线的长度为（）A. 3√15π5B. 6√15π5C. 3√10π5D. 3√3π513.（填空题，3分）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为___ ．14.（填空题，3分）线段AB外有一点C，∠ABC=60°，AB=200km，汽车以80km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50km/h的速度由B向C行驶，则运动开始___ h后，两车的距离最小．15.（填空题，3分）在等腰直角△ABC中，AB=BC=1，M为AC的中点，沿BM把△ABC折，则二面角C-BM-A的大小为___ ．成二面角，折后A与C的距离为√6216.（填空题，3分）在锐角△ABC中，若sinA=4sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是___ ．17.（问答题，8分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知sinB+sinC=msinA（m∈R），且a2-4bc=0．时，求b、c的值；（1）当a=2，m=54（2）若角A为锐角，求m的取值范围．18.（问答题，8分）如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是菱形，PA=PC，E为PB的中点．（1）求证：PD || 面AEC；（2）求证：平面AEC⊥平面PDB．19.（问答题，8分）如图，某市市区有一条过市中心O的南北走向道路，市政府决定修建两条道路：一条路是从市中心O出发沿北偏西60°向至点B处，另一条是从市中心O的正南方向的道路上选取点A，在A、B之间修建一条道路．，求在点B处看市中心O和点A （1）如果在点A处看市中心O和点B视角α的正弦值为35处视角β的余弦值；km2，点A到市中心O的距离为（2）如果△AOB区域作为保护区，保护区的面积为15√343km，求此时A、B间的距离．20.（问答题，8分）如图1所示，在直角△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，∠ACB的平分线CD交AB于点D，点E在线段AC上，且CE=4．将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，连结AB，设点F是AB的中点，如图2所示．（1）求证：DE⊥平面BCD；（2）若EF || 平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，求三棱锥G-BDE的体积．．21.（问答题，10分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cosB= 45的值；（1）若c=2a，求sinBsinC，求sinA的值．（2）若C-B= π422.（问答题，10分）通常用a、b、c表示△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C所对边的边长，R 表示△ABC外接圆半径．（1）如图所示，在以O为圆心，半径为2的⊙O中，BC和BA是⊙O的弦，其中BC=2，∠ABC=45°，求弦AB的长；（2）在△ABC中，若∠C是钝角，求证：a2+b2＜4R2；（3）给定三个正实数a、b、R，其中b≤a，问：a、b、R满足怎样的关系时，以a、b为边长，R为外接圆半径的△AB C不存在，存在一个或两个（全等的三角形算作同一个）？在△ABC存在的情况下，用a、b、R表示c．2018-2019学年江苏省南通中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：1001.（单选题，3分）下列说法正确的是（）A.三点确定一个平面B.四边形一定是平面图形C.梯形一定是平面图形D.共点的三条直线确定一个平面【正确答案】：C【解析】：在A中，不同线的三点确定一个平面；在B中，四边形有可能是空间四边形；在C中，梯形有一组对边平行，一定是平面图形；在D中，共点的三条直线确定一个或三个平面．【解答】：解：在A中，不同线的三点确定一个平面，故A错误；在B中，四边形有可能是空间四边形，故四边形不一定是平面图形，故B错误；在C中，∵梯形有一组对边平行，而平行线能确定一个平面，∴梯形一定是平面图形，故C正确；在D中，共点的三条直线确定一个或三个平面，故D错误．故选：C．【点评】：本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、平面的基本性质及定理等基础知识，属于基础题．2.（单选题，3分）已知正方体的表面积为96，则正方体的体积为（）A. 48√6B.64C.16D.96【正确答案】：B【解析】：由正方体的表面积为96，求出正方体的棱长为4，由此能求出正方体的体积．【解答】：解：设正方体的棱长为a，∵正方体的表面积为96，∴S=6a2=96，解得a=4，∴正方体的体积为V=43=64．故选：B．【点评】：本题考查正方体的体积的求法，考查正方体的结构特征等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于基础题．3.（单选题，3分）已知sinα= 18，则cos2α的值为（）A. −3132B. 3132C. 6364D. −6364【正确答案】：B【解析】：由sinα计算二倍角的余弦值即可．【解答】：解：由sinα= 18，则cos2α=1-2sin2α=1-2× (18) 2= 3132．故选：B．【点评】：本题考查了二倍角的余弦值的计算问题，是基础题．4.（单选题，3分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，则异面直线CD和D1E所成角的余弦值为（）A. 23B. √53C. 2√55D. √55【正确答案】：A【解析】：以D 为原点建立空间直角坐标系D-xyz ，利用向量法能求出异面直线CD 和D 1E 所成角的余弦值．【解答】：解：以D 为原点建立空间直角坐标系D-xyz ，设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中棱长为2，则C （0，2，0），D （0，0，0），D 1（0，0，2），E （1，2，0），CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，-2，0）， D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（1，2，-2），设异面直线CD 和D 1E 所成角为θ，则cosθ= |CD ⃗⃗⃗⃗⃗ •D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |•|D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = 4√4•√9 = 23 ． ∴异面直线CD 和D 1E 所成角的余弦值为 23 ．故选：A ．【点评】：本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．5.（单选题，3分）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2sinAcosB=sinC ，则△ABC 的形状为（ ）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.正三角形【正确答案】：B【解析】：由已知等式可得sin（A-B）=0，结合角的范围可得A=B，则答案可求．【解答】：解：由2sinAcosB=sinC，得2sinAcosB=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，∴sinAcosB-cosAsinB=0，∴sin（A-B）=0．∵0＜A＜π，0＜B＜π，∴-π＜A-B＜π，则A-B=0，即A=B．∴△ABC的形状为等腰三角形．故选：B．【点评】：本题考查三角形形状的判断，考查两角和与差的正弦，是基础题．6.（单选题，3分）如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，O′A′=O′B′=2，∠A′O′B′=45°，则△OAB的面积是（）A.2B.3C.4D.5【正确答案】：C【解析】：根据题意，设△OAB的面积为S，其直观图面积为S′，分析可得△O′A′B′的面积S′，由直观图的性质S′S = √24计算可得答案．【解答】：解：根据题意，设△OAB的面积为S，其直观图面积为S′，△O′A′B′中，O′A′=O′B′=2，∠A′O′B′=45°，则其面积S′= 12×2×2×sin∠A′O′B′= 12×2×2× √22= √2，又由S′S = √24，则S= S′√24=4；故选：C．【点评】：本题考查平面图形的直观图，涉及由直观图还原原图，属于基础题．7.（单选题，3分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B=60°，a=1，b=2，则sinA的值为（）A. √32B. 14C. √34D. 12【正确答案】：C【解析】：直接利用正弦定理求出结果．【解答】：解：已知：B=60°，a=1，b=2，利用正弦定理：asinA =bsinB，解得：sinA= √34，故选：C．【点评】：本题考查的知识要点：正弦定理的应用及相关的运算问题．8.（单选题，3分）已知tanα=2，则sinα+cosαsinα−3cosα的值为（）A.-3B.3C. 13D.- 13【正确答案】：A【解析】：由题意利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．【解答】：解：∵tanα=2，则sinα+cosαsinα−3cosα = tanα+1tanα−3=-3，故选：A．【点评】：本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．9.（单选题，3分）已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中正确为（）A.若m || β，n⊥α，α⊥β，则m⊥nB.若m⊥α，n⊥β，则α || βC.若m || α，n || β，α || β，则m || nD.若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，m⊥n，则n⊥α【正确答案】：D【解析】：在A中，m与n相交、平行或异面；在B中，α与β相交或平行；在C中，m与n相交、平行或异面；在D中，由面面垂直的性质定理得n⊥α．【解答】：解：由m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，得：在A中，若m || β，n⊥α，α⊥β，则m与n相交、平行或异面，故A错误；在B中，若m⊥α，n⊥β，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若m || α，n || β，α || β，则m与n相交、平行或异面，故C错误；在D中，若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，m⊥n，则由面面垂直的性质定理得n⊥α，故D正确．故选：D．【点评】：本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题．10.（单选题，3分）设锐角ABC的三内角A，B，C所对边的边分别为a，b，c，且a=2，B=2A，则b的取值范围为（）A. (2√2，2√3)B. (2√2，4)C. (2，2√3)D.（0，4）【正确答案】：A【解析】：根据锐角三角形的性质，先求出A的范围，结合正弦定理进行转化求解即可．【解答】：解：在锐角三角形中，0＜2A＜π2，即0＜A＜π4，且B+A=3A，则π2＜3A＜π，即π6＜A＜π3，综上π6＜A＜π4，则√22＜cosA＜√32，∵a=2，B=2A，∴由正弦定理得asinA =bsinB=b2sinAcosA，得b=4cosA，∵ √22＜cosA＜√32，∴2 √2＜4cosA＜2 √3，即2 √2＜b＜2 √3，则b的取值范围是（2 √2，2 √3），故选：A．【点评】：本题主要考查三角函数的图象和性质，结合锐角三角形的性质以及正弦定理进行转化是解决本题的关键．11.（单选题，3分）在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是BC中点，点P是正方形DCC1D1内的动点（含边界），且满足∠APD=∠MPC，则三棱锥P-BCD的体积最大值是（）A. 649B. 4√3C. 163√3D. 329√3【正确答案】：D【解析】：由题意画出图形，可得PD=2PC，研究点P在面ABCD内的轨迹（立体几何平面化），可知当P到底面距离为4√33时三棱锥P-BCD的体积最大，则答案可求．【解答】：解：∵AD⊥底面D1DCC1，∴AD⊥DP，同理BC⊥平面D1DCC1，则BC⊥CP，∠APD=∠MPC，∴△PAD∽△PMC，∵AD=2MC，∴PD=2PC，下面研究点P在面ABCD内的轨迹（立体几何平面化），在平面直角坐标系内设D（0，0），C（4，0），C1（4，4），设P（x，y），∵PD=2PC，∴ √x2+y2 = 2√(x−4)2+y2，化简得：3x2+3y2-32x+64=0（0≤x≤4）．该圆与CC1交点的纵坐标最大，交点坐标为（4，4√33），三棱锥P-BCD的底面BCD的面积为8，则三棱锥P-BCD的体积最大值是13×8×4√33=32√39．故选：D．【点评】：本题考查棱锥体积的求法，考查函数与方程思想的应用，考查计算能力，是中档题．12.（单选题，3分）点M是棱长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球O球面上的动点，点N为B1C1上一点，2NB1=NC1，DM⊥BN，则动点M运动路线的长度为（）A. 3√15π5B. 6√15π5C. 3√10π5D. 3√3π5【正确答案】：B【解析】：由题意画出图形，在BB1上取点P，使2BP=PB1，连接CP、DP，由线面垂直的判定和性质可得M点的轨迹为平面DCP与球O的截面圆周，利用空间向量求解球心的平面的距离，然后求解圆的半径得答案．【解答】：解：如图：棱长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1，在BB1上取点P，使2BP=PB1，连接CP、DP，BN，∵NC1=2NB1，∴CP⊥BN，又DC⊥平面BCC 1B 1，∴DC⊥BN ，则BN⊥平面DCP ，则M 点的轨迹为平面DCP 与球O 的截面圆周．建立如图所示的坐标系，则D （0，0，0），C （0，6，0），P （6，6，2），O （3，3，3）， 设平面DOP 的法向量为 n ⃗ =（x ，y ，z ），由 {n ⃗ •DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ •CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即 {6y =06x +2z =0 ，令x=1．y=0，z=-3，所以 n ⃗ =（1，0，-3）， O 到平面DOP 的距离为： |DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •n ⃗ ||n ⃗ | = |3+0−9|√1+9 = 6√10， 所以截面圆的半径为： √32−(6√10)2 = 3√155 ． 所以动点M 运动路线的长度为： 2×3√155×π = 6√155π ． 故选：B ．【点评】：本题考查考查空间想象能力和思维能力，训练了点到平面的距离的求法，正确找出M 点的轨迹是关键，属于难题．13.（填空题，3分）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为___ ．【正确答案】：[1]3：1：2 【解析】：由已知中一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则我们易根据圆柱、圆锥及球的体积公式，求出圆柱、圆锥及球的体积，进而得到答案．【解答】：解：设球的半径为R ，则圆柱和圆锥的高均为2R ，则V 圆柱=2π•R 3，V圆锥= 2π•R3，3π•R3，V球= 43故圆柱、圆锥、球的体积之比为：3：1：2故答案为：3：1：2【点评】：本题考查的知识点是圆柱、圆锥及球的体积公式，其中根据已知，设出球的半径，进而求出圆柱、圆锥及球的体积中解答本题的关键．14.（填空题，3分）线段AB外有一点C，∠ABC=60°，AB=200km，汽车以80km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50km/h的速度由B向C行驶，则运动开始___ h后，两车的距离最小．【正确答案】：[1] 7043【解析】：设t小时后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，进而根据时间和速度表示出AD和BE，求得BD=200-80t，题就就抓化为求DE最小时t的值．利用余弦定理建立方程，根据二次函数的性质求得函数取最小值时t的值．【解答】：解：如图所示：设th后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，则AD=80t，BE=50t．因为AB=200，所以BD=200-80t，问题就是求DE最小时t的值．由余弦定理：DE2=BD2+BE2-2BD•BEcos60°=（200-80t）2+2500t2-（200-80t）•50t=12900t2-42000t+40000．时DE最小．当t= 7043故答案为：7043【点评】：本题主要考查了解三角形的实际应用．应熟练掌握如正弦定理，余弦定理及其变形公式．15.（填空题，3分）在等腰直角△ABC中，AB=BC=1，M为AC的中点，沿BM把△ABC折成二面角，折后A与C的距离为√62，则二面角C-BM-A的大小为___ ．【正确答案】：[1]120°【解析】：推导出MC=AM= √22，且CM⊥BM，AM⊥BM，从而∠CMA是二面角C-BM-A的大小，利用余弦定理能求出二面角C-BM-A的大小．【解答】：解：∵在等腰直角△ABC中，AB=BC=1，∴AC= √12+12 = √2，∵M为AC的中点，沿BM把△ABC折成二面角，折后A与C的距离为√62，∴MC=AM= √22，且CM⊥BM，AM⊥BM，∴∠CMA是二面角C-BM-A的大小，∴cos∠CMA= AM2+CM2−AC22×AM×CM =12+12−322×√22×√22=- 12，∴∠CMA=120°，∴二面角C-BM-A的大小为120°．故答案为：120°．【点评】：本题考查二面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题．16.（填空题，3分）在锐角△ABC中，若sinA=4sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是___ ．【正确答案】：[1]16【解析】：结合三角形关系和式子sinA=4sinBsinC可推出sinBcosC+cosBsinC=4sinBsinC，进而得到tanB+tanC=4tanBtanC，结合函数的单调性可求得最小值．【解答】：解：由sinA=sin（π-A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，sinA=4sinBsinC，可得sinBcosC+cosBsinC=4sinBsinC，①由三角形ABC为锐角三角形，则cosB＞0，cosC＞0，在① 式两侧同时除以cosBcosC，可得：tanB+tanC=4tanBtanC，又tanA=-tan（π-A）=-tan（B+C）=- tanB+tanC1−tanBtanC，② ，则tanAtanBtanC=- tanB+tanC1−tanBtanC•tanBtanC，由tanB+tanC=4tanBtanC，可得tanAtanBtanC=- 4(tanBtanC)21−tanBtanC，令tanBtanC=t，由A，B，C为锐角可得tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0，由② 式得1-tanBtanC＜0，解得t＞1，tanAtanBtanC=- 4t21−t =- 41t2−1t，1t2- 1t=（1t- 12）2- 14，由t＞1得，- 14≤ 1t2- 1t＜0，因此tanAtanBtanC的最小值为16．故答案为：16．【点评】：本题考查了三角恒等式的变化技巧和函数单调性知识，考查了转化思想，有一定灵活性，属于中档题．17.（问答题，8分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知sinB+sinC=msinA（m∈R），且a2-4bc=0．（1）当a=2，m=54时，求b、c的值；（2）若角A为锐角，求m的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）sinB+sinC=msinA（m∈R），利用正弦定理可得：b+c=ma，且a2-4bc=0．a=2，m=54时，代入解出即可得出．（2）利用余弦定理、不等式的解法即可得出．【解答】：解：（1）由题意得b+c=ma，a2-4bc=0．当a=2，m=54时，b+c=52，bc=1．解得 {b =2c =12或{b =12c =2． （2） cosA =b 2+c 2−a 22bc =(b+c )2−2bc−a 22bc =m 2a 2−a 22−a 2a 22=2m 2−3∈(0，1) ． ∴ 32＜m 2＜2 ，又由b+c=ma 可得m ＞0，所以√62＜m ＜√2 ． 【点评】：本题考查了正弦定理余弦定理、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.（问答题，8分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，四边形ABCD 是菱形，PA=PC ，E 为PB 的中点．（1）求证：PD || 面AEC ；（2）求证：平面AEC⊥平面PDB ．【正确答案】：【解析】：（1）设AC∩BD=O ，连接EO ，证明PD || EO ，利用直线与平面平行的判定定理证明PD || 面AEC ．（2）连接PO ，证明AC⊥PO ，AC⊥BD ，通过PO∩BD=O ，证明AC⊥面PBD ，然后证明面AEC⊥面PBD【解答】：解：（1）证明：设AC∩BD=O ，连接EO ，因为O ，E 分别是BD ，PB 的中点，所以PD || EO…（4分）而PD⊄面AEC ，EO⊂面AEC ，所以PD || 面AEC…（7分）（2）连接PO，因为PA=PC，所以AC⊥PO，又四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD…（10分）而PO⊂面PBD，BD⊂面PBD，PO∩BD=O，所以AC⊥面P BD…（13分）又AC⊂面AEC，所以面AEC⊥面PBD…（14分）【点评】：本题考查直线与平面平行，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力．19.（问答题，8分）如图，某市市区有一条过市中心O的南北走向道路，市政府决定修建两条道路：一条路是从市中心O出发沿北偏西60°向至点B处，另一条是从市中心O的正南方向的道路上选取点A，在A、B之间修建一条道路．，求在点B处看市中心O和点A （1）如果在点A处看市中心O和点B视角α的正弦值为35处视角β的余弦值；km2，点A到市中心O的距离为（2）如果△AOB区域作为保护区，保护区的面积为15√343km，求此时A、B间的距离．【正确答案】：【解析】：（1）由题意，利用两角差的余弦公式求出cosβ的值；（2）由△AOB的面积值求出OB，再利用余弦定理求得AB的值．【解答】：解：（1）由题可得∠AOB=120°，∠BAO为锐角，且sin∠BAO=sinα= 35，所以cosα= 45，所以cosβ=cosB=cos（60°-α）=cos60°cosα+sin60°sinα= 12 × 45+ √32× 35= 4+3√310；（2）由OA=3，计算△AOB的面积为：S= 12OA×OB×sin∠AOB= 12×3OB×sin120°= 3√34OB= 15√34，解得OB=5；由余弦定理可得AB2=OA2+OB2-2OA•OBcos∠AOB=9+25-2×3×5×（- 12）=49，所以AB=7，即A、B间的距离为7km．【点评】：本题考查了三角函数求值运算问题，也考查了解三角形的应用问题，是基础题．20.（问答题，8分）如图1所示，在直角△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，∠ACB的平分线CD交AB于点D，点E在线段AC上，且CE=4．将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，连结AB，设点F是AB的中点，如图2所示．（1）求证：DE⊥平面BCD；（2）若EF || 平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，求三棱锥G-BDE的体积．【正确答案】：【解析】：（1）取AC的中点P，连接DP，证明DP⊥AC，∠EDC=90°，ED⊥DC；利用平面与平面垂直的性质证明DE⊥平面BCD；（2）说明G为EC的中点，求出B到DC的距离h，说明到DC的距离h就是三棱锥B-DEG 的高，求出三角形DEG的面积，再由等体积法即可求得三棱锥G-BDE的体积．【解答】：（1）证明：取AC的中点P，连接DP，∵在Rt△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD为∠ACB的平分线，∴∠A=30°，△ADC是等腰三角形，得DP⊥AC，DP= √3，∠DCP=30°，∠PDC=60°，又点E在线段AC上，CE=4，∴AE=2，EP=1，得∠EDP=30°，∴∠EDC=90°，即ED⊥DC；∵平面BCD⊥平面ACD，平面BDC∩平面EDC=DC，∴DE⊥平面BCD；（2）解：EF || 平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，G为EC的中点，此时AE=EG=GC=2，在Rt△ABC中，∵AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD为∠ACB的平分线，∴BD= √3，DC= √32+(√3)2=2√3，∴B到DC的距离h= BD×BCDC = √3×32√3=32，∵平面BCD⊥平面ACD，平面BDC∩平面EDC=DC，∴B到DC的距离h就是三棱锥B-DEG的高．∵ S△DEG=12×2×√3=√3，∴ V G−BDE=V B−DEG=13S△DEG×ℎ = 13×√3×32=√32．即三棱锥G-BDE的体积为√32．【点评】：本题考查直线与平面垂直的判定、直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．21.（问答题，10分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cosB= 45．（1）若c=2a，求sinBsinC的值；（2）若C-B= π4，求sinA的值．【正确答案】：【解析】：（1）由已知及余弦定理可得a 2+c2−b22ac= 45，结合c=2a，可求bc= 3√510，进而利用正弦定理即可得解．（2）利用二倍角的余弦公式可求cos2B的值，进而可求sinB，sin2B的值，由于A= 3π4-2B，利用两角差的正弦函数公式即可计算得解．【解答】：（本小题满分14分）解：（1）在△ABC中，因为cosB= 45，所以a 2+c2−b22ac= 45．因为c=2a，所以(c2)2+c2−b22c×c2= 45，即b2c2= 920，所以bc = 3√510，由正弦定理得sinBsinC =bc，所以：sinBsinC =3√510．（2）因为cosB= 45，所以cos2B=2cos2B-1= 725．又0＜B＜π，所以sinB= √1−cos2B = 35，所以sin2B=2sinBcosB=2× 35×45= 2425．因为C-B= π4，即C=B+ π4，所以A=π-（B+C）= 3π4-2B，所以sinA=sin（3π4 -2B）=sin 3π4cos2B-cos 3π4sin2B= √22×725-（- √22）× 2425= 31√250．【点评】：本题主要考查了余弦定理，正弦定理，二倍角的余弦公式，两角差的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．22.（问答题，10分）通常用a、b、c表示△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C所对边的边长，R 表示△ABC外接圆半径．（1）如图所示，在以O为圆心，半径为2的⊙O中，BC和BA是⊙O的弦，其中BC=2，∠ABC=45°，求弦AB的长；（2）在△ABC中，若∠C是钝角，求证：a2+b2＜4R2；（3）给定三个正实数a、b、R，其中b≤a，问：a、b、R满足怎样的关系时，以a、b为边长，R为外接圆半径的△ABC不存在，存在一个或两个（全等的三角形算作同一个）？在△ABC存在的情况下，用a、b、R表示c．【正确答案】：【解析】：（1）由正弦定理知ABsinC = bsinB= asinA=2R，根据题目中所给的条件，不难得出弦AB的长；（2）若∠C是钝角，故其余弦值小于0，由余弦定理得到a2+b2＜c2＜（2R）2，即可证得结果；（3）根据图形进行分类讨论判断三角形的形状与两边a，b的关系，以及与直径的大小的比较，分成三类讨论即可．【解答】：解：（1）在△ABC中，BC=2，∠ABC=45°，由ABsinC = bsinB= asinA=2R=4⇒b=2 √2，sinA= 12∵A为锐角∴A=30°，又B=45°∴C=105°，∴AB=2Rsin105°=4sin75°= √6+√2；（2）∠C为钝角，∴cosC＜0，且cosC≠1，cosC= a2+b2−c22ab＜0，∴a2+b2＜c2＜（2R）2，即a 2+b 2＜4R 2．（3）a ＞2R 或a=b=2R 时，△ABC 不存在， 当 {a =2R b ＜a 时，A=90°，△ABC 存在且只有一个，∴c= √a 2−b 2 ，当 {a ＜2R b =a时，∠A=∠B 且都是锐角即sinA=sinB= a2R 时，△ABC 存在且只有一个，∴c=2RsinC=2Rsin2A=2R×2sinAcosA= a R√4R 2−a 2 ， 当 {a ＜2Rb ＜a时，∠B 总是锐角，∠A 可以是钝角，可是锐角，∴△ABC 存在两个， ∠A ＜90°时，c= √a 2+b 2+ab2R 2(√4R 2−a 2√4R 2−b 2−ab) ， ∠A ＞90°时， c= √a 2+b 2+ab2R 2(√4R 2−a 2√4R 2−b 2−ab) ，【点评】：本题考查三角形中的几何计算，综合考查了三角形形状的判断，解三角形，三角形的外接圆等知识，综合性很强，尤其是第三问需要根据a ，b 两边以及直径的大小比较确定三角形的形状．再在这种情况下求第三边的表达式，本解法主观性较强．难度较大．。
高一数学下学期期中试题(含解析)
，
原式=
=
=
．
【点睛】本题考查了余弦函数的定义、同角三角函数关系中的正弦、余弦平方和为 1 的关系 和商关系，考查了数学运算能力.
18.（1）已知扇形的周长为 8，面积是 4，求扇形的圆心角．
（2）已知扇形的周长为 40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形的面积最大？
【答案】（1）2；（2）当半径为 10 圆心角为 2 时，扇形的面积最大，最大值为 100．
体重超过
的总人数为
在
的人数为
，应抽取的人数为
，
在
的人数为
，应抽取的人数为
，
在
的人数为
，应抽取的人数为
.
所以在
，
，
三段人数分别为 3，2，1.
甘肃省会宁县第一中学 2018-2019 学年高一数学下学期期中试题（含
解析）
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1.与
终边相同的角是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据与 终边相同的角可以表示为
这一方法，即可得出结论．
【详解】与
角终边相同的角为：
，
当 时，
．
故选：C．
11.函数
的值域是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
因为角 的终边不能落在坐标轴上，所以分别求出角 终边在第一、第二、第三、第四象限时，
根据三角函数的正负性，函数的表达式，进而求出函数的值域.
【详解】由题意可知：角 的终边不能落在坐标轴上，
当角 终边在第一象限时，
2018-2019学年湖北省宜昌市第二中学高一下学期期中数学试题(解析版)
2018-2019学年湖北省宜昌市第二中学高一下学期期中数学试题一、单选题1．设a b c d R ∈、、、,且a bc d ><，，则下列结论中正确的是（ ） A ．a c b d +>+ B ．a c b d ->-C ．ac bd >D ．a bd c> 【答案】B【解析】利用不等式性质判断或者举反例即可. 【详解】对A,当1,0,2,4a b c d ====时a c b d +<+不满足对B,因为,a b c d ><则a d b c +>+⇒a c b d ->-成立.故B 正确. 对C,当1,0,1,2a b c d ===-=时不满足ac bd >,故不成立. 对D,当3,2,1,2a b c d ====时不满足,故不成立. 故选：B 【点睛】本题主要考查了不等式的性质运用等,属于基础题型.2．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是如图所示的一个正方形，则原来的图形是（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】试题分析：由斜二测画法的规则知与x'轴平行或重合的线段与x ’轴平行或重合，其长度不变，与y 轴平行或重合的线段与x ’轴平行或重合，其长度变成原来的一半，正方形的对角线在y'轴上，可求得其长度为，故在平面图中其在y 轴上，且其长度变为原来的2倍，长度为2，观察四个选项，A 选项符合题意．故应选A ．【考点】斜二测画法。
点评：注意斜二测画法中线段长度的变化。
3．若平面向量,a b r r 的夹角为30︒，且22a b ==r r ，则b r 在a r 方向上的投影为（ ）A 3B ．12C ．32D ．1【答案】C【解析】由b r 在a r方向上的投影为cos30b ︒r 求解即可.【详解】b r 在ar 方向上的投影为3cos302b ︒=r . 故选：C 【点睛】本题主要考查了投影的求解方法,属于基础题型. 4．在ABC ∆中，已知,45,1,2ο===B c b 则此三角形有几个解 ( )A ．0B ．1C ．2D ．不确定【答案】B【解析】利用三角形多解问题判断方法即可判断. 【详解】 因为2sin 122c B b ⋅=<<=，所以三角形只有一个解，故选B. 【点睛】主要考查了三角形多解问题，属于基础题.对于三角形多解问题，判断方法如下：已知,,a b A ，且A 为锐角，则（1）如果0cos 7228'，无解；（2）如果=sin a b A ，有一解且90B =o ；（3）如果sin b A a b <<，B 有两解（一个锐角，一个钝角）； （4）如果a b ≥，有一解且B 为锐角. 已知,,a b A ，且A 为钝角，则 （1）如果a b ≤，无解；（2）如果a b >，则有一解且B 为锐角.5．设a ，b 是空间中不同的直线，αβ，是不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．,a b b α⊂P ，则a P αB ．,a b αβαβ⊂⊂P ， ，则a b ∥C ．,a b b ααβ⊂⊂P ， ，则a β∥D ．a αβα⊂P ， ，则a β∥【答案】D【解析】根据直线与直线,平面等的位置关系判断或举出反例即可. 【详解】对A,当a α⊂时//a α不成立,故A 错误.对B,当,,//a b αβαβ⊂⊂则有//a β,但不能推出a b ∥,故B 错误. 对C,当,,//a b b ααβ⊂⊂不一定有//a β,故C 错误.对D,由平行的判定定理,//,a αβα⊂则由面面平行能推导出线面平行//a β,故D 正确. 故选：D 【点睛】本题主要考查了线面垂直平行等的判断,属于基础题型.6．在ABC ∆中，角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、，若sin ,cos b a C c a B ==，则ABC ∆一定是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形 【答案】C【解析】利用正弦定理化简cos c a B =可得2A π=,再根据sin b a C =可得b c = .【详解】由cos c a B =与正弦定理有sin sin cos C A B =,即sin()sin cos sin cos cos sin sin cos A B A B A B A B A B +=⇒+=,故cos sin 0=A B ,因为sin 0B ≠,故cos 0A =,故2A π=.又sin b a C =,故sin sin sin B A C =.又sin 1A =,故sin sin B C =,故b c =.故ABC ∆一定是等腰直角三角形. 故选：C 【点睛】本题主要考查了根据正弦定理求解三角形的问题,属于中等题型. 7．下列各函数中，最小值为2的是( ) A ．1y x x=+B ．1sin sin y x x =+，(0,)2x π∈C ．2y =D ．y =【答案】D【解析】对于选项A 中的x 来说，因为x 不等于0，所以x 大于0小于0不确定，所以最小值不一定为2；对于选项B 和C 中的函数来说，sinx 大于0也大于0，但是基本不等式不满足取等号的条件；从而可得结果． 【详解】对于A ：不能保证x ＞0， 对于B ：不能保证sinx =1sin x，对于C=，对于D ：2y=≥=， 当1x =时，最小值为2． 故选D 【点睛】利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）． 8．设有四个命题，其中真命题的个数是（ ）①有两个平面互相平行，其余各面都是四边形的多面体一定是棱柱；②以直角三角形的一边为轴旋转一周所得到的旋转体是圆锥；③用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台；④侧面都是长方形的棱柱叫长方体． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个【答案】A【解析】根据常用立体几何的定义与性质判定即可. 【详解】对①,棱台也满足上下底面平行,且其余各面都是四边形.故①错误.对②,若以直角三角形的斜边为轴旋转一周则得到的旋转体不是圆锥.故②错误. 对③,面去截棱锥需要面与底面平行才能得出棱台,故③错误. 对④,正三棱柱满足侧面都是长方形,但不是长方体,故④错误. 故选：A 【点睛】本题主要考查了常见空间几何体的概念与性质,属于基础题型. 9．若(cos ,sin ),a αα=r b (cos ,sin )ββ=r，则（ ）A ．a b ⊥r rB ．//a b r rC ．(a )(a )b b +⊥-r r r rD ．(a )(a )b b +//-r r r r【答案】C【解析】根据向量平行垂直的条件进行判断. 【详解】因为cos cos sin sin cos()αβαβαβ+=-不恒等于0，所以A 错误； 因为cos sin sin cos sin()αβαββα-=-不恒等于0，所以B 错误；(cos cos ,sin sin )a b αβαβ+=++r r，(cos cos ,sin sin )a b αβαβ-=--r r，因为cos cos cos cos )(sin sin )(sin sin )0αβαβαβαβ+⋅--+⋅-=（）(， 所以()()a ab b +⊥-r r r r ，因为cos cos (sin sin )(sin sin )cos cos )2sin()αβαβαβαβαβ+⋅--+⋅-=-（）(不恒等于0，所以D 错误.故选C. 【点睛】本题主要考查了向量平行与向量垂直的判定，属于中档题.10．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若2()21a b +=，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】由大正方形的面积为13可得2213a b +=,再根据()221a b +=求得小正方形面积2()a b -即可.【详解】由大正方形的面积为13可得2213a b +=,故()2222113a b a b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩28ab ⇒=. 故小正方形面积224211()(65)a b a b ab =-=--=+. 故选：C 【点睛】本题主要考查了平面图形的分析与勾股定理的运用等,属于基础题型.11．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos 23sin B C Ab c +=，π3B =，则a c +的取值范围是 A ．33] B ．3(3]2C ．2D ．3[2【答案】A【解析】因为cos cos B C b c +=sin cos cos 3sin 3A cB bC C +==，由正弦定理可得sin cos cos sin C B C B +=sin 3A，即()sin sin sin 3AB C A +==，所以b =π3B =，所以1sin sin sin a b c A B C ===， 所以2π3πsin sin sin sin sin 326a c A C A A A A A ⎛⎫⎛⎫+=+=+-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为2π03A <<，所以ππ5π666A <+<，所以π26A ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，即2a c <+≤， 故选A ．12．在ABC ∆中，若23()2||CA AB CB AB AB ⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则1tan tan A B+的最小值为（ ）A ．B ．CD ．2【答案】B 【解析】【详解】设ABC △的内角A ，B ，C 所对应的三条边分别为a b c ，，， 则有3(?·)CA AB CB AB +=u u u r u u u r u u u r u u u r23(cos cos )2bc A ac B c -+=， 由正弦定理得：()()3sinBcosA sinAcosB 22sin sinC A B -+==+展开可得sin cos 5cos sin A B A B =，所以tan 5tan A B =， 则1tan tan A B +=15tan tan B B+≥当且仅当tan 5B =时，等号成立， 故选B ．点睛：当方程左右两边关于边或角为齐次式时，可以利用正弦定理统一化为边或化为角来处理；在三角形中要注重利用条件A B C π++=进行化简运算； 用均值不等式求最值时要注意“一正二定三相等”.二、填空题13．棱长为1的正方体的内切球与其外接球的表面积之比为___________． 【答案】13【解析】求得内切球与外接球的半径,再求表面积之比即可. 【详解】易得棱长为1的正方体的内切球半径为12.故外接球的故正方体的内切球与其外接球的表面积之比为22141234ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎝⎭. 故答案为：13【点睛】本题主要考查了正方体内切球外接球的表面积问题,属于基础题型. 14．已知00x y >>，，且2x y +=，若13m x y+≥恒成立，则m 的取值范围为_________．【答案】(,2-∞+ 【解析】根据基本不等式求解13x y+的最小值,再利用恒成立问题求解即可. 【详解】因为0,0x y >>,且2x y +=,故()13113131322y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()131424232322y x x y ⎛⎫≥+⋅=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭当且仅当3y x x y =,即3y x =时等号成立. 又13m x y+≥恒成立,故23m ≤+ 故答案为：(,23⎤-∞+⎦ 【点睛】本题主要考查了基本不等式的运用与恒成立问题,属于中等题型.15．如图,无人机在离地面高200m 的A 处,观测到山顶M 处的仰角为15°、山脚C 处的俯角为45°,已知∠MCN=60°,则山的高度MN 为_________m.【答案】300【解析】试题分析：由条件，,所以,,,所以,,这样在中，,在中，，解得,中，，故填：300.【考点】解斜三角形【思路点睛】考察了解三角形的实际问题，属于基础题型，首先要弄清楚两个概念，仰角和俯角，都指视线与水平线的夹角，将问题所涉及的边和角在不同的三角形内转化，最后用正弦定理解决高度.16．已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，点,E F 分别在边BC ，DC 上，BE BC λ=，DF DC μ=。
2018-2019学年七宝中学高一年级下学期期中考试数学试卷
2018-2019学年上海市闵行区七宝中学高一下学期期中考试数学试卷一. 填空题1. 函数12sin(4)y x =-的最小正周期是 【答案】：2π 【解析】：242T ππ== 2. 函数cos2y x =的对称轴方程是 【答案】2k x π=，k ∈Z 【解析】：2x k π=，k ∈Z3. 在平面直角坐标系中，已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直 线3y x =上，则sin2θ= 【答案】35【解析】：sin 22sin cos θθθ= 4. 若锐角α、β满足3cos 5α=，5cos()13αβ+=-，则cos β= 【答案】3365【解析】：()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=- 5. 函数2sin(2)3y x π=-的单调递减区间为【答案】511[,]1212k k ππππ++，k ∈Z 【解析】：22,2,322x k k k Z πππππ⎡⎤-∈-++∈⎢⎥⎣⎦6. 已知2sin 5x =-（32x ππ<<），则x = （用反正弦表示） 【答案】2arcsin5π+ 【解析】：,02x ππ⎛⎫-∈-⎪⎝⎭7. 方程sin x x =的解是 【答案】7212x k ππ=+或13212x k ππ=+，k ∈Z 【解析】：先用辅助角公式8. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，面积为S ，且224()S a b c =+-， 则cos C =【答案】0【解析】：1sin 2S ab C =，222cos 2a b c C ab +-=9. 若将函数()cos()8f x x πω=-（0ω>）的图像向左平移12π个单位后，所得图像对应的 函数为偶函数，则ω的最小值是 【答案】32【解析】：()()f x f x -= 10. 已知函数sin(2)cos(2)sin(2)cos(2)()||22x x x x f x ππππ+-=+，对任意x ∈R ，都有不等式12()()()f x f x f x ≤≤恒成立，则21||x x -的最小值为 【答案】38【解析】：比较sin(2)cos(2)x x ππ和的大小 11. 已知函数1sin()()20192019x xx f x π-=+（x ∈R ），下列命题：① 函数()f x 是奇函数；② 函数()f x 在区间[2,2]ππ-上共有13个零点； ③ 函数()f x 在区间(0,1)上单调递增； ④ 函数()f x 的图像是轴对称图形.其中真命题有 （填所有真命题的序号） 【答案】②④ 【解析】()()112f x f x x -=∴=为()f x 的对称轴，故①错④对； ()()0,sin 0,,.f x x x k k Z π=∴=∴=∈所以区间[2,2]ππ-有654321,0,1,2,3,4,5,6------，，，，，共计13个零点，故②对；()()()01,f f f x =∴在区间(0,1)不可能单调，故③错。
2018-2019学年吉林省长春外国语学校高一下学期期中考试数学试题Word版含解析
2018-2019学年吉林省长春外国语学校高一下学期期中考试数学试题一、单选题1．设集合,,则()A．B．C．D．【答案】D【解析】先化简集合，再和集合求交集，即可得出结果.【详解】因为，又，所以.故选D【点睛】本题主要考查集合的交集，熟记概念即可，属于基础题型.2．＝()A．B．C．D．【答案】D【解析】根据诱导公式，以及特殊角所对应的三角函数值，即可求出结果.【详解】因为.故选D【点睛】本题主要考查三角函数的值，熟记诱导公式即可，属于基础题型.3．等差数列中,,则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由等差数列的前项和公式，结合等差数列的性质，即可求出结果.【详解】因为等差数列中,,所以，即，因此.故选A 【点睛】本题主要考查等差数列的性质，熟记等差数列的性质以及前项和公式，即可求解，属于基础题型. 4．有4个式子：①；②；③；④；其中正确的个数为( ) A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据向量的数乘运算，可判断①②；根据相反向量可判断③；由向量的数量积可判断④. 【详解】由向量乘以实数仍然为向量，所以，故①正确，②错误； 由，所以，即③正确；由，得不一定成立，故④错误.故选C 【点睛】本题主要考查平面向量的数乘、相反向量以及向量的数量积，熟记概念即可，属于常考题型.5．在ABC ∆中，已知40,20,60b c C ==∠= ，则此三角形的解的情况是（ ） A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的情况不确定 【答案】C【解析】分析：利用正弦定理列出关系式，将,,sin b c C 的值代入求出sin B 的值，即可做出判断. 详解：在ABC ∆中，40,20,60b c C ===，∴由正弦定理sin sin b cB C=，得40sin 2sin 120b CB c===>，则此时三角形无解，故选C.点睛：本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.6．在中,若,则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据余弦定理，即可求出结果.【详解】因为，所以，由余弦定理可得，因此.故选D【点睛】本题主要考查解三角形，熟记余弦定理即可，属于基础题型.7．要得到函数的图象，只要将函数的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【答案】D【解析】由函数图像的平移变换规律：左加右减即可得答案．【详解】，故要得到的图象，只需将函数的图象向右平移个单位，故选：D．【点睛】本题考查三角函数图象的平移变换，该类题目要注意平移方向及平移对象． 8．在中，,则的值为（ ） A ．B ．C ．D ．±【答案】B 【解析】先由判断的正负，再求出的值，即可得出结果. 【详解】 因为在中，,所以，因此，又，所以.故选B 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，熟记二倍角公式、同角三角函数基本关系即可，属于基础题型.9．已知()162a b a b a ==-=，，，则向量a 与向量b 的夹角是（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π【答案】C【解析】试题分析：由条件得22a b a ⋅-=，所以223cos 16cos a b a a b αα⋅=+==⋅=⨯⨯，所以1cos 2α=，即3πα=． 【考点】向量的数量积运算． 10．在中，，则这个三角形一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形【答案】A【解析】在△ABC 中，，由正弦定理可得：，即.又. 所以，即.有.所以△ABC为等腰三角形.故选A.11．在数列中，（）,则该数列的前10项和为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】先由题意得到数列为等差数列，根据等差数列前项和，即可得出结果. 【详解】因为在数列中，（），所以数列是以2为公差的等差数列，又，所以，故，因此，该数列的前10项和为.故选B【点睛】本题主要考查等差数列的基本运算，熟记等差数列的通项公式以及前项和公式即可，属于常考题型.12．函数在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为A．B．C．D．【答案】A【解析】由函数的图象可得函数的最大值为2，最小值为–2，故有A=2．再由函数的周期性可得，解得ω=2，∴y=2sin（2x+φ）．把点（–，2）代入函数的解析式可得2sin[2×（–）+φ]=2，∴2×（–）+φ=2kπ+，k∈Z，解得φ=2kπ+，k∈Z．故函数的解析式为y=2sin（2x+2kπ+），k∈Z，考查四个选项，只有A符合题意．故选A．二、填空题13．在等差数列中，，则________．【答案】2【解析】由，结合题中条件，即可得出结果.【详解】因为在等差数列中，，所以，即.故答案为2【点睛】本题主要考查等差中项的问题，熟记概念即可，属于基础题型.14．在中，已知，是方程的两个实根，则___________.【答案】-7【解析】试题分析：，，.【考点】三角恒等变换．15．已知，，则_______．【答案】【解析】先由题意求出，再由两角差的正弦公式即可得出结果.【详解】因为，，所以，因此.故答案为【点睛】本题主要考查三角恒等变换，给值求值问题，熟记两角差的正弦公式即可，属于基础题型.16．一个扇形的面积为1，周长为4，则这个扇形的圆心角为__________．【解析】解：设这个扇形的圆心角为，则利用已知条件可知，4=r+2r,1=1/2r 2联立方程组可知=2三、解答题 17．已知，求 （1）的值； （2）的值.【答案】【解析】试题分析：由的值求得的值，（1）中利用两角和的正切公式展开，代入即可求值；（2）中将分式的分子分母同除以，将其转化为用表达的式子，代入求值试题解析：（1）∵tan ="2," ∴；所以=；（2）由（1），tanα=－, 所以==．【考点】二倍角公式及同角间的三角函数关系式18．已知平面向量，.（1）若⊥ ，求x 的值； （2）若∥ ，求|-|. 【答案】（1）或（2）|-|=||=||【解析】（1）由⊥，•0，构造一个关于x 的方程，解方程即可求出满足条件的x 的值．（2）若∥，根据两个向量平行，构造一个关于x 的方程，解方程求出x 的值后，分类讨论后，即可得到||．（1）∵⊥，∴•（1，x）•（2x+3，﹣x）＝2x+3﹣x2＝0整理得：x2﹣2x﹣3＝0解得：x＝﹣1，或x＝3（2）∵∥∴1×（﹣x）﹣x（2x+3）＝0即x（2x+4）＝0解得x＝﹣2，或x＝0当x＝﹣2时，（1，﹣2），（﹣1，2）（2，﹣4）∴||＝2当x＝0时，（1，0），（3，0）（﹣2，0）∴||＝2故||的值为2或2．【点睛】本题考查了判断两个平面向量的垂直关系的转化，向量的模，平行向量与共线向量的概念及公式，考查了向量的坐标运算，属于基础题．19．已知、、为的三内角，且其对边分别为、、，若．（1）求角的大小；（2）若，求的面积．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）已知等式左边利用两角差的余弦函数公式化简，求出的值，确定出的度数，即可求出的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将与的值代入求出的值，再由的值，利用三角形面积公式即可求出三角形的面积.【详解】(1)∵cos B cos C－sin B sin C＝，∴cos(B＋C)＝.∵A＋B＋C＝π，∴cos(π－A)＝.∴cos A＝－.又∵0<A<π，∴A＝.(2)由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc·cos A.则(2)2＝(b＋c)2－2bc－2bc·cos.∴12＝16－2bc－2bc·(－)．∴bc＝4.∴S△ABC＝bc·sin A＝×4×＝.【点睛】本题主要考查余弦定理、特殊角的三角函数以及三角形面积公式的应用，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.20．记为等差数列的前项和，已知.（1）求的通项公式（2）求，并求的最小值【答案】(1) ；(2) ，最小值.【解析】（1）设等差数列的公差为，根据题意求出，进而可得出通项公式；（2）根据等差数列的前项和公式先求出，再由得到范围，进而可得出结果.【详解】（1）因为数列为等差数列，设公差为，由可得，即，所以；（2）因为为等差数列的前项和，所以，由得，所以当时，取最小值，且最小值为.【点睛】本题主要考查等差数列，熟记通项公式以及前项和公式即可，属于常考题型.21．已知函数（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；（2）求在区间的最大值和最小值.【答案】(1)最小正周期为；单调增区间；(2) 最大值2最小值-1 【解析】（1）先化简整理，结合正弦函数的周期性以及单调性，即可求出结果；（2）先由，得到，由正弦函数的性质得到，进而可得出结果.【详解】（1）因为，所以最小正周期为；由得，即单调递增区间为；（2）因为，所以，所以，故，即函数在区间的最大值为2，最小值为-1.【点睛】本题主要考查正弦型三角函数的性质，熟记正弦函数的性质即可，属于常考题型. 22．在中，角所对的边分别是，且（1）求证: 为直角三角形；（2），求的取值范围.【答案】(1)见详解；(2).【解析】（1）根据正弦定理，将化简整理，即可得出结果；（2）先由二倍角公式，将化为二次函数的形式，用换元法令，得到关于的二次函数，根据角的范围，求出的范围，再结合二次函数的单调性，即可得出结果.【详解】（1）因为，所以，即，因为角为三角形内角，所以角，故，即角，为直角，所以为直角三角形；（2）因为，所以，令，由（1）可知，所以，所以，因此在上单调递减；在上单调递增；故，，又，所以.故的取值范围.【点睛】本题主要考查三角形形状的判定以及函数的值域，熟记正弦定理、以及三角函数与二次函数的性质即可，属于常考题型.。
辽宁省沈阳市2018-2019学年高一数学下学期期中试题(含解析)
辽宁省沈阳市2018-2019学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.cos225︒=（ ） A.12B.2C. 2-D. -【答案】C 【解析】 【分析】可以把225o 角化成18045︒︒+，利用诱导公式化成0180︒︒-以内的特殊角，从而得到结果. 【详解】由三角函数的诱导公式可知：cos 225cos(18045)cos 45︒=+=-=o o o 故选C.【点睛】诱导公式是三角中最基本的运算，可以把任意大小的角化成0到180︒范围内进行求解.2.已知向量(3,2)m =u r ，(1,)n λ=r ，且//m n u r r，则λ=（ ）A.13B.23C. 1D. 32-【答案】B 【解析】 【分析】由向量平行的性质可以得到32λ=，从而得到23λ=. 【详解】由向量(3,2)m =u r，(1,)n λ=r，且//m n r r，可由向量平行的性质得到2323λλ=⇒=. 故答案选B【点睛】若向量1122(,),(,)a x y b x y ==r r ，且a b r P r，则可以推出1221x y x y =.3.已知向量(1,tan )m θ=u r ，(1,cos )n θ=-r ，(,)2πθπ∈，若12m n ⋅=-u r r ，则角θ=（ ）A.6πB.3π C.23π D.56π【答案】D 【解析】 【分析】由向量点乘的公式带入，可以得到11tan cos 2θθ-+=-，再由,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭求出θ角的精确数值.【详解】由(1,tan )m θ=u r ，(1,cos )n θ=-r 及12m n ⋅=-u r r 可得11tan cos 2m n θθ⋅=-+=-u r r ，化简得1sin 2θ=26k πθπ=+或52()6k k Z πθπ==∈又,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则56πθ=为唯一解，答案选D. 【点睛】1、若向量1122(,),(,)a x y b x y ==r r ，则向量点乘1212a b x x y y ⋅=+rr ；2、解三角方程时，若sin a θ=，则arcsin 2a k θπ=+或arcsin 2a k θππ=-+；3、解三角方程时尤其要注意角度的取值范围.4.函数()tan()6f x x π=+的图象的一个对称中心是（ ）A. (,0)3πB. (,0)4πC. (,0)2πD. (,0)6π【答案】A 【解析】 【分析】由正切函数对称中心(,0),()2k k Z π∈可以得到62k x ππ+=，从而解出满足条件的对称中心. 【详解】由正切函数的对称中心(,0),()2k k Z π∈可以推出()f x 对称中心的横坐标满足 ()6262k k x x k Z ππππ+=⇒=-+∈，带入四个选项中可知，当1k =时，3x π=.故,03π⎛⎫⎪⎝⎭是图像的一个对称中心，选A. 【点睛】正切函数的对称中心为,02k π⎛⎫⎪⎝⎭，正弦函数的对称中心为(),0k π，余弦函数的对称中心为,0()2k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭，解关于对称中心的题目时需要把整个三角函数看成一个整体，从整体性入手求出具体范围.5.已知cos 2sin αα+=m n a a ÷=（ ） A.12B. 2C. 12-D. -2【答案】B 【解析】 由题cos 2sin αα+=，两边平方得2222cos 4cos sin 4sin 55(cos sin )αααααα++==+，两边同时除以2cos α并化简得2tan 4tan 40αα-+=，解得tan 2.α=故本题正确答案为.B6.已知3sin 7a π=，4cos 7b π=，3tan()7c π=-，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A. a b c << B. b a c <<C. c b a <<D. c a b <<【答案】C 【解析】 【分析】可以看出0,0,0a b c ><<，直接排除A 、B ，再比较1,1b c >-<-，从而选出正确答案. 【详解】可以看出37π是一个锐角，故3sin 07a π=>；又4coscos 72ππ<，故10b -<<；又34tan tan 77ππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，而43274πππ<<， 故1c <-；从而得到c b a <<，故选C.【点睛】比较大小时常用的方法有①单调性法，②图像法，③中间值法；中间值一般选择0、1、-1等常见数值.7.已知函数()cos()(0)3f x x πωω=+>的一条对称轴为直线3x π=，一个对称中心为点(,0)12π，则ω有（ ） A. 最小值2 B. 最大值2C. 最小值1D. 最大值1【答案】A 【解析】 【分析】 将3x π=代入余弦函数对称轴方程，可以算出ω关于k 的一个方程，再将12x π=代入余弦函数的对称中心方程，可求出另一个ω关于k 的一个方程，综合两个等式可以选出最终答案. 【详解】由3x π=满足余弦函数对称轴方程可知1331()333x k k k k k Z πππωπωπωω+=⇒+=⇒+=⇒=-∈，再由12x π=满足对称中心方程可知321232126x k k k πππππππωπωπωπ+=+⇒+=+⇒=+212()k k Z ω=+∈，综合可知ω的最小值为2，故选A.【点睛】正弦函数的对称轴方程满足()2x k k Z ππ=+∈，对称中心满足(),0()k k Z π∈；余弦函数的对称轴方程满足()x k k Z π=∈，对称中心满足,0()2k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭；解题时一定要注意k Z ∈这个条件，缩小范围.8.如图，在ABC ∆中，34AD AC =u u u r u u u r ，13BP BD =u u u r u u u r ，若AP BA BC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+=（ ）A.89B. 29-C.76D. 23-【答案】D 【解析】()11131113334343BP BD AD AB AC AB AC AB ==-=⨯-⨯=-⨯u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v()111143412AB BC AB BC AB =+-=-u u uv u u u v u u u v u u u v u u u v 111124AP AB BP AB BC =+=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v∴λ=1112-，μ=14．23λμ+=-.故答案为：D 。
2018-2019学年辽宁省抚顺市第十中学高一下学期期中考试数学试题(解析版)
2018-2019学年辽宁省抚顺市第十中学高一下学期期中考试数学试题一、单选题1．命题“0x R ∃∈，2000x x ->”的否定是（ ） A ．x R ∀∈，20x x -> B ．0x R ∃∈，2000x x -≤ C ．x R ∀∈，20x x -≤ D ．0x R ∃∈，2000x x -<【答案】C【解析】根据特称命题的否定可得出正确选项. 【详解】由特称命题的否定可知，命题“0x R ∃∈，2000x x ->”的否定是“x R ∀∈，20x x -≤”，故选：C. 【点睛】本题考查特称命题的否定，着重考查对特称命题概念的理解，属于基础题. 2．如果a ＜b ＜0，则下列不等式成立的是（） A.11a b< B.a 2＜b 2 C.a 3＜b 3 D.ac 2＜bc 2【答案】C【解析】根据a 、b 的范围，取特殊值带入判断即可． 【详解】 ∵a ＜b ＜0，不妨令a ＝﹣2，b ＝﹣1，则11112a b=->=-，a 2>b 2 所以A 、B 不成立，当c=0时，ac 2=bc 2所以D 不成立，故选：C ． 【点睛】本题考查了不等式的性质，考查特殊值法进行排除的应用，属于基础题．3．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A.若m α，n αβ=，则m n B.若m α，m n ⊥，则n α⊥C.若m α⊥，n α⊥，则m nD.若m α⊂，n β⊂，αβ⊥，则m n ⊥【答案】C【解析】若m α，n αβ⋂=，当β过m 时m n ；若m α，m n ⊥，则n 可以与α平行、相交或在面内；若m α⊥，n α⊥，则m n ；若m α⊂，n β⊂，αβ⊥，则m n ，可以平行、相交或异面，所以选C.4．一个调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［2500，3000）（元）月收入段应抽出人数为A ．5B ．10C ．25D ．50【答案】C 【解析】【详解】在［2500，3000）（元）月收入段频率为0.00055000.25⨯= 所以在［2500，3000）（元）月收入段应抽出人数为0.2510025⨯= 选C.5．已知0a >，0b >，且231a b +=，则23a b+的最小值为（ ） A ．24 B ．25C ．26D ．27【答案】B【解析】将代数式23a b +与23a b +相乘，展开后利用基本不等式可求出23a b+的最小值. 【详解】0a >，0b >，且231a b +=，由基本不等式得()232323a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭66131325b a a b =++≥=，当且仅当a b =时，等号成立， 因此，23a b+的最小值为25，故选：B. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，解题的关键就是对代数式进行配凑，并充分利用定值条件，考查计算能力，属于中等题.6．在下列函数中，最小值是2的函数是（ ） A ．()1f x x x=+B ．1cos 0cos 2y x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭C ．()2f x =D ．()42xxf x e e =+- 【答案】D【解析】利用基本不等式求各选项函数的最值，但要注意“一正、二定、三相等”三个条件的成立. 【详解】对于A 选项中的函数()1f x x x=+，当0x <时，()()11f x x x x x ⎡⎤=+=--+≤⎢⎥-⎣⎦2-=-，则函数()1f x x x =+没有最小值；对于B 选项中的函数1cos 0cos 2y x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，0cos 1x <<，1cos cos y x x =+≥2=，当且仅当cos 1x =时，等号成立，但0cos 1x <<，等号不成立，则2y >；对于C 选项中的函数()2f x ==≥当且仅当0x =时，等号成立，对于D 选项中的函数()42xx f x e e=+-，由基本不等式得()42x x f x e e =+-≥22=，当且仅当4x x e e =时，即当ln 2x =时，等号成立，该函数的最小值为2.故选：D. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，利用基本不等式求最值时，要注意“一正、二定、三相等”三个条件的成立，考查计算能力，属于中等题.7．设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，若2,3sin 5sin b c a A B +==,则角C =（ ）A ．3πB ．23πC ．34πD ．56π【答案】B【解析】【详解】试题分析：3sin 5sin A B =，由正弦定理可得35a b =即53a b =； 因为2b c a +=，所以73c b =，所以22222222549151999cos 51022233b b b a bc C ab b +--+-====-⨯，而(0,)C π∈，所以23C π=，故选B.【考点】1.正弦定理；2.余弦定理.8．在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，且()2f A =，1b =，ABC ∆sin a A 的值为（ ）A．B ．2C．D ．4【答案】B【解析】由()2f A =，结合角A 的取值范围得出A 的值，由三角形的面积求出c 的值，并利用余弦定理求出a 的值，最后求出sin aA的值. 【详解】()2sin 2126f A A π⎛⎫=++= ⎪⎝⎭Q ，得1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0A π<<，132666A πππ∴<+<，5266A ππ∴+=，3A π∴=.由三角形的面积公式得1sin 242ABC S bc A ∆===，得2c =.由余弦定理得a ===所以2sin sin3a A π==，故选：B.【点睛】本题考查给值求角，同时也考查了余弦定理以及三角形面积公式解三角形，综合性较强，属于中等题.9．下列说法正确的是（ ）A ．命题:p “x R ∀∈，sin cos x x +≤，则p ⌝是真命题B ．“1x =-”是“2320x x ++=”的必要不充分条件C ．命题“x R ∃∈，2230x x ++<”的否定是：“x R ∀∈，2230x x ++>”D ．“1a >”是“()()log 0,1a f x x a a =>≠在()0,∞+上为增函数”的充要条件 【答案】D【解析】判断出命题选项A 中命题p 的真假，可判断出A 选项的正误；根据集合的包含关系与充分必要性的关系可判断出B 选项的正误；利用特称命题的否定可得出C 选项的正误；求出选项D 中参数a 的取值范围，可判断出选项D 的正误. 【详解】对于A 选项，sin cos 4x x x π⎛⎫+=+≤ ⎪⎝⎭Q ，命题p 为真命题，则p ⌝是假命题，A 选项说法错误；对于B 选项，解方程2320x x ++=，得1x =-或2x =-，则“1x =-”是“2320x x ++=”的充分不必要条件，B 选项说法错误；对于C 选项，由特称命题的否定可知，命题“x R ∃∈，2230x x ++<”的否定是：“x R ∀∈，2230x x ++≥”，C 选项说法错误；对于D 选项，若函数()()log 0,1a f x x a a =>≠在()0,∞+上为增函数，则1a >；若1a >，则()()log 0,1a f x x a a =>≠在()0,∞+上为增函数，所以，“1a >”是“()()log 0,1a f x x a a =>≠在()0,∞+上为增函数”的充要条件，D 选项说法正确. 故选D. 【点睛】本题考查全称命题真假的判断、特称命题的否定以及充分必要条件的判断，着重考查对这些基础知识点的理解，考查推理能力，属于中等题.10．关于x 的不等式0ax b -<的解集是()1,+∞，则关于x 的不等式()()30ax b x +->的解集是( ) A.()(),13,-∞-+∞ B.()1,3C.()1,3-D.()(),13,-∞⋃+∞【答案】C【解析】关于x 的不等式0ax b -<,即ax b <的解集是()1,,0a b +∞∴=<，∴不等式()()30ax b x +->,可化为()()130x x +-<，解得13x -<<，∴所求不等式的解集是()1,3-,故选C.11．若不等式()116m x y x y ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭对任意的x 、y 恒成立，则正实数m 的最小值为（ ） A ．1 B ．4C ．9D ．14【答案】C【解析】将代数式()1m x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开后，利用基本不等式求出其最小值)2116≥，然后解此不等式可得出正实数m 的最小值.【详解】 由基本不等式可得()1111m y mx x y m m m x y xy ⎛⎫++=+++≥+=+ ⎪⎝⎭)21=，当且仅当y =时，等号成立，由题意可得)2116≥，解得9m ≥，因此，正实数m 的最小值为9，故选：C.【点睛】本题考查基本不等式恒成立求参数的取值范围，首先利用基本不等式求出最值，然后结合题中条件得出不等式进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.12．已知对任意的[]1,1a ∈-，函数()()2442f x x a x a =+-+-的值总大于0，则x的取值范围是（ ） A ．2x <或3x > B ．13x << C ．12x << D ．1x <或3x >【答案】D【解析】将函数()y f x =的解析式变形为()()2244f x a x x x =-+-+，并构造函数()()()222g a a x x =-+-，由题意得出()()1010g g ⎧->⎪⎨>⎪⎩，解此不等式组可得出实数x 的取值范围. 【详解】()()2244f x a x x x =-+-+Q ，构造函数()()()222g a a x x =-+-.由题意可知()()1010g g ⎧->⎪⎨>⎪⎩，即22560320x x x x ⎧-+>⎨-+>⎩，解得1x <或3x >，故选：D.【点睛】本题考查不等式在区间上恒成立，在解题时，给定范围的参数可视为函数的自变量，可构造以此变量的函数，利用函数的性质求解，属于中等题.二、填空题13．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为 .【答案】3:1:2 【解析】【详解】 设球的半径为r,则2322V r r r ππ=⨯=圆柱,3212233r V r r ππ=⨯=圆锥， 343V r π=球，所以33324::2::3:1:233r V V V r r πππ==圆柱圆锥球，故答案为3:1:2.【考点】圆柱，圆锥，球的体积公式.点评：圆柱，圆锥，球的体积公式分别为22314,,33V r h V r h V r πππ===圆柱圆锥球. 14．不等式x 2－2x ＋3≤a 2－2a －1在R 上的解集是∅，则实数a 的取值范围是______．【答案】(－1,3)【解析】由题意得222min (23)2122113x x a a a a a -+>--∴>--⇒-<< 15．命题p:0x R ∃∈，20020x mx ++≤,若“非p”为真命题，m 的取值范围为____________【答案】(-【解析】由题意知， x 2+mx +2>0恒成立，即0<，即可得到结果.【详解】由题意知，命题p:0x R ∃∈，20020x mx ++≤为假，即x 2+mx +2>0恒成立，即0<，所以242m -⨯<0，得到m -<故答案为(-. 【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，考查转化思想以及计算能力．16．已知三角形ABC 中，AB AC =，AC 边上的中线长为3，当三角形ABC 的面积最大时，AB 的长为__________.【答案】【解析】设2AB AC x ==，利用余弦定理得出cos A 的表达式，利用同角三角函数得出sin A 的表达式，由此得出ABC ∆关于x 的表达式，利用函数求出ABC ∆面积的最大值以及对应的x 的值，从而得出AB 的长. 【详解】 如下图所示：设点D 为AC 边的中点，设2AB AC x ==，则3BD =，由余弦定理得2222259cos 24AB AD BD x A AB AD x+--==⋅，sin A ∴====ABC ∆∴的面积为11sin 2222ABCS AB AC A x x ∆=⋅⋅=⋅⋅=，当25x =时，即当x =ABC ∆的面积取得最大值6，此时，AB 的值为2x=，故答案为：【点睛】本题考查余弦定理解三角形、同角三角函数的基本关系以及三角形面积公式的应用，将面积转化为二次函数求解，是解本题的关键，考查计算能力，属于中等题.三、解答题17．已知p:22320x x -->,q:22(1)(2)0x a x a a --+-≥,若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围 【答案】3,22a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【解析】根据一元二次不等式的解法分别求出命题p 和q ，由p 是q 的充分不必要条件，可知p ⇒q ，从而求出a 的范围. 【详解】解22320x x -->得()1,2,2x ⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭，解()()22120x a x a a --+-≥得：(][),2,x a a ∈-∞-⋃+∞，若p 是q 的充分不必要条件，则()(][)1,2,,2,2a a ⎛⎫-∞-⋃+∞⊂-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭，∴1222a a ⎧-≤-⎪⎨⎪≥⎩，解得：3,22a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查充分条件、必要条件和充要条件，解题时要认真审题，仔细解答，注意不等式组的解法，是一道基础题； 18．在ABC 中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,满足()2cos cos b c A a C -=.(1)求角A 的大小;(2)若2,4a b c =+=,求ABC 的面积.【答案】(1)π3A = 【解析】试题分析：本题考查正余弦定理、和角公式、三角形面积公式的应用．(1)由()2cos cos b c A a C -=及正弦定理，得()2sin sin cos sin cos B C A A C -=，再利用和角公式、三角形内角和定理以及诱导公式得出1cos 2A =，即可解答．(2)由余弦定理得2222π42cos3b c bc b c bc =+-=+- ，把已知条件代入，求出bc ，即可得结论． 试题解析：(1)由()2cos cos b c A a C -=及正弦定理，得()2sin sin cos sin cos B C A A C -=，2sin cos sin cos sin cos B A C A A C ∴=+， ()2sin cos sin sin B A C A B ∴=+=， ()0πB ∈，，sin 0B ∴≠，1cos 2A ∴=． ()0πA ∈，，π3A ∴=． (2)由(1)知π3A =， 由余弦定理得2222π42cos 3b c bc b c bc =+-=+-， ()234b c bc ∴+-=， 4b c +=， 4bc ∴=，∴Δ11sin 422ABC S bc A ==⨯=．故ABC19．某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是： [)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100.（1）求图中a 的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数x 与数学成绩相应分数段的人数y 之比如下表所示，求数学成绩在[)50,90之外的人数.【答案】（1）0.005a =（2）73．（3）有10人【解析】【详解】试题分析：（1）每一个小矩形的面积是该组的频率，频率和等于1，列式求a ；（2）用每个小矩形的底边中点乘以该组的频率求和就是平均分；（3）首先计算语文成绩分别在四个小组的人数，对比:x y 可求数学成绩的人数，这样就可得到所有数学成绩落在[)50,90的人数，再用100减，可得结果.试题解析：（1）由()20.020.030.04101a +++⨯=,解得0.005a =.（2）0.05550.4650.3750.2850.059573⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（3）这100位学生语文成绩在[)50,60、[)60,70、[)70,80、[)80,90的分别有5人、40人、30人、20人,按照表中所给比例,数学成绩在[)50,60、[)60,70、[)70,80、[)80,90的分别有5人、20人、40人、25人，共90人，所以数学成绩在[)50,90之外的人数有10人.【点睛】本题考查了频率分布直方图，频率分布直方图的高不表示频率，而是面积表示频率，样本容量⨯频率=频数，每一组的频率和等于1，以及根据频率分布直方图求众数，中位数和平均数，众数是最高组的底边中点，中位数的两边的频率都是0.5，平均数是每一组的底边中点乘以该组的频率的和，这是处理这类问题使用到的知识.20．在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱与底面垂直，190,BAC AB AA ∠=︒=，点,M N 分别为1A B 和11B C 的中点.（1）证明：1A M ⊥平面MAC ；（2）证明：//MN 平面11A ACC .【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）先证明AC ⊥平面11,AA BB ，从而可得1A M AC ⊥，再由正方形的性质可得1,A M MA ⊥进而根据线面垂直的判定定理可得结果；（2）连接11,,AB AC 由题意可知，点,M N 分别为1AB 和11B C 的中点，由中位线定理可得1//MN AC ，根据线面平行的判定定理可得结果.证明：（1）由题设可知，1AA ⊥平面,ABC AC ⊂面ABC ，1AC A A ∴⊥， 又90,,BAC AC AB ∠=︒∴⊥1AA ⊂平面11,AA BB AB ⊂ 111,,AA BB AA AB A ⋂=AC ∴⊥平面111,AA BB A M ⊂平面11,AA BB1.A M AC ∴⊥又因四边形11AA BB 为正方形，M 为1A B 的中点，1,A M MA ∴⊥,AC MA A AC ⋂=⊂平面,MAC MA ⊂平面1,MAC A M ∴⊥平面MAC ； （2）连接11,,AB AC 由题意可知，点,M N 分别为1AB 和11B C 的中点，1//.MN AC ∴ 又MN ⊄平面111,A ACC AC ⊂平面11,//A ACC MN ∴平面11.A ACC【方法点晴】本题主要考查线面垂直、线面平行的判定定理以及空间想象能力，属于难题.证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论(,)a b a b αα⊥⇒⊥；（3）利用面面平行的性质(),a a ααββ⊥⇒⊥；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.21．据市场分析,广饶县驰中集团某蔬菜加工点,当月产量在10吨至25吨时,月生产总成本y （万元）可以看成月产量x （吨）的二次函数.当月产量为10吨时,月总成本为20万元；当月产量为15吨时,月总成本最低为17.5万元.（1）写出月总成本y （万元）关于月产量x （吨）的函数关系；（2）已知该产品销售价为每吨1.6万元,那么月产量为多少时,可获最大利润； （3）当月产量为多少吨时, 每吨平均成本最低,最低成本是多少万元？【答案】（1）（），（2）月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元．（3）月产量为20吨时，每吨平均成本最低，最低成本为1万元.【解析】试题分析：（1）由待定系数法设出将x=10，y=20代入可得．（2）利润＝收入－成本，设利润为可得化为二次函数求最值即可．（3）平均成本＝2134010x x y x x-+=可化为140310x x +-利用基本不等式求最小值． 试题解析：解：（1）（） 2分将x=10，y=20代入上式得，20=25a+17.5，解得3分（） 4分（2）设利润为则6分因为，所以月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元8分 （3）10分 当且仅当，即时上式“=”成立. 11分故当月产量为20吨时，每吨平均成本最低，最低成本为1万元. 12分【考点】本题主要考查二次函数，基本不等式的应用．22．如图,正在四棱柱1111ABCD A B C D -中,已知11,2AB AA ==,S 是11A C 的中点（1）求证:AC SD ⊥；（2）求三棱锥11A BC D -的体积.【答案】（1）见解析；（2）2.3.【解析】试题分析： (1)利用题意首先证得AC ⊥平面11BB D D ,由线面垂直的定义可得.AC SD ⊥(2)利用题意转化顶点可得三棱锥11A BC D -的体积为2.3试题解析：（1）证明:在正四棱柱1111ABCD A B C D -中,底面ABCD 是正方形，可得AC BD ⊥，又11//BD B D ，所以11AC B D ⊥ ① 由1DD ⊥平面ABCD ，可得1DD AC ⊥ ②由①②，且1111B D DD D ⋂=，所以AC ⊥平面11BB D D ,而SD ⊂平面11BB D D ，所以.AC SD ⊥（2）由S 是11A C 中点，可得1112A C SC =,由（1）中AC ⊥平面11BB D D ，可知11A C ⊥平面11BB D D ，即1C S ⊥平面SBD ，所以11111111222222.3323A BC D S BC D C BSD BSD V V V S C S ---∆===⨯⋅⋅=⨯⨯= 点睛：求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．。
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2018-2019学年高一数学下学期期中试题
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合则（）
2．下列函数中，与函数y＝x 相同的是（）
3．集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（）
4．函数的零点是（）
A．（3,0） B．3 C.（4,0） D．4
5．已知则 a，b ，c 的大小关系为
A．c<a<b B．c<b<a C．b<a<c D．b<c<a
6．已知函数且的图象恒过定点，若定点在幂函数的图象上，则幂函数的图象是（）
7．函数的图象的一条对称轴方程是（）
8．函数f（x）＝log a（4﹣3ax）在[1，3]是增函数，则a 的取值范围是（）
9．已知则（）
10．已知函数的实根个数为（）
A．5 个 B．4 个 C．3 个 D．2 个
二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分．
11．
12．若为锐角，则
13．已知扇形的圆心角为，其弧长为，则此扇形的半径为_________，面积为_____．
14．已知则= _________；若，则实数a 的值为 _________．
15．若集合，至多有一个元素，则a 的取值范围是_________．
16．定义运算：则函数的值域为_________．17．设函数，函数，若存在，使得与同时成立，则实数a 的取值范围是_________
三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．已知集合，．
（1）当m=1 时，求；
（2）若集合B 是集合A 的子集，求实数m 的取值范围．
19．已知函数的定义域为（-1,1），
（1）证明在（-1,1）上是增函数；
（2）解不等式．
20．已知函数，在同一周期内，当时，取得最大值 4；当时，取得最小值．
（1）求函数的解析式；
（2）若时，函数有两个零点，求实数的取值范围21．已知函数，
（1）当a=1 时，求函数在上的值域；
（2）若不等式对恒成立，求实数a 的取值范围．
22．已知函数为偶函数，当时，（a为常数）．（1）当时，求的解析式：
（2）设函数在上的最大值为，求的表达式；
（3）对于（2）中的，试求满足的所有实数m的取值集合.
数学参考答案。