人教版九年级数学上典中点课后作业21.2.4公式法解方程(A)(含答案)
人教版九年级数学上册《21.2 公式法、因式分解法》训练题-附带答案
人教版九年级数学上册《21.2 公式法、因式分解法》训练题-附带答案一元二次方程的求根公式一元二次方程当时.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：．①当时原方程有两个不等的实数根；②当时原方程有两个相等的实数根；③当时原方程没有实数根.题型1：利用△判断根的情况1.一元二次方程x2-4x+5=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定【答案】C【解析】【解答】解：∵a=1 b=-4 c=5∴∆=b2-4ac=（-4）2-4×1×5=-4＜0∴方程没有实数根.故答案为：C.【分析】根据一元二次方程根的判别式进行解答即可.【解析】【解答】解：原方程中a=−3b=−4c=1∴Δ=b2−4ac=(−4)2−4×(−3)×1=28故答案为：28．【分析】利用根的判别式求解即可。
【变式1-2】下列方程没有实数根的是（）A．x2﹣1＝0B．x2﹣x﹣3＝0C．x2﹣4x＋4＝0D．x2﹣x＋2＝0【答案】D【解析】【解答】解：A.∵Δ=02-4×1×（-1）=0+4=4＞0 ∴方程有两个不相等实数根故本选项不符合题意；B.∵Δ=（-1）2-4×1×（-3）=1+12=13＞0 ∴方程有两个相等的实数根故本选项不符合题意；C.∵Δ=（-4）2-4×1×4=0 ∴方程有两个相等的实数根故本选项符合题意；D.∵Δ=（-1）2-4×1×2=1-8=-7<0 ∴方程没有实数根故本选项符合题意．故答案为：D．【分析】利用根的判别式进行判断即可得到结论。
【变式1-3】判断关于x的方程(x−3)(x−2)=p2根的情况并说明理由.【答案】解：方程有两个不相等的实数根.理由如下：方程整理为一般式得x2−5x+6−p2=0∵Δ=b2−4ac=25−4(6−p2)=25−24+4p2=4p2+1而4p2≥0∴1+4p2＞0 即Δ＞0∴方程有两个不相等的实数根.【解析】【分析】先将方程化为一般形式再求出判别式△的值根据一元二次方程“ax2+bx+c=0(a、b、c是常数且a≠0）”中△＞0时方程有两个不相等的实数根△=0时方程有两个相等的实数根△＜0时方程没有实数根据此判断即可.题型2：利用根的情况确定字母取值范围2.若关于x的一元二次方程x2−2x−k=0有两个不相等的实数根则k的取值范围是（）A．k≤1B．k<1C．k≥−1D．k>−1【解析】【分析】因为方程有两个不相等的实数根所以△=b-4ac>0 把a、b、c代入求出k的值。
21.2.2公式法九年级数学人教版(上册)(解析版)
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！第二十一章 一元二次方程21.2.2 公式法一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．方程2x 2－5x ＋3＝0的根的情况是A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．无实数根D ．两根异号【答案】B【解析】∵D =（﹣5）2﹣4×2×3=1＞0，∴方程22530x x -+=有两个不相等的实数根．故选B ．2．方程(x －5)(x ＋2)＝1的解为A ．5B ．－2C ．5和－2D ．以上结论都不对【答案】D【名师点睛】考查了公式法解一元二次方程，用到的知识点是一元二次方程的求根公式，注意只有当D ≥0时，.3．用公式法解方程4y 2=12y +3，得到A ．y =B ．y =C ．y =D ．y =【答案】D 【解析】4y 2=12y +3，4y 2−12y −3=0，a =4，b =−12，c =−3，b2−4ac=(−12)2−4×4×(−3)=192>0，y=，故选D．4．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实根，则k的值为A．B．C．2或3 D．或【答案】A【解析】∵方程有两个相等的实根，∴D=k2−4×2×3=k2−24=0，解得：k=．故选A．【名师点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握“当D=0时，方程有两个相等的两个实数根．”是解题的关键．5．关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是A．B．C．且D．且【答案】D【名师点睛】考查一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根.当时，方程有两个相等的实数根.当时，方程没有实数根.6．关于的一元二次方程的根的情况是A．有两不相等实数根B．有两相等实数根C．无实数根D．不能确定【答案】A【名师点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式D=b2−4ac ．当D＞0时，方程有两个不相等的实数根；当D=0时，方程有两个相等的实数根；当D＜0时，方程没有实数根．二、填空题：请将答案填在题中横线上．7．方程x2﹣4x﹣3=0的解为__________．【答案】【解析】故答案为：【名师点睛】考查一元二次方程的解法，常用的解法有：直接开方法，配方法，公式法，因式分解法.根据题目选择合适的方法.8．关于x 的一元二次方程（m ﹣5）x 2+2x +2=0有实根，则m 的最大整数解是__________．【答案】m =4．【名师点睛】考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式D 的关系：（1）D ＞0，方程有两个不相等的实数根；（2）D =0，方程有两个相等的实数根；（3）D ＜0方程没有实数根．9．若关于x 的一元二次方程240x x a ++=有两个相等的实数根，则a 的值是__________．【答案】4【解析】∵关于x 的一元二次方程240x x a ++=有两个相等的实数根，∴D =42﹣4a =16﹣4a =0，解得：a =4．故答案为4．10．已知关于x 的一元二次方程有两个相等实数根，则m 的值为______．【答案】0【解析】∵关于x 的一元二次方程（m −1）x 2−（2m −2）x −1=0有两个相等的实数根，∴D =（2m −2）2+4（m −1）=0，且m −1≠0，∴110m -+=，m ≠1.解得，m =0．故答案是0．【名师点睛】本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义．一元二次方程根的情况与判别式D 的关系：（1）D ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）D =0⇔方程有两个相等的实数根；（3）D ＜0⇔方程没有实数根．11．已知方程组有两组不相等的实数解，则的取值范围是_________．【答案】且【解析】,把方程组有两组不相等的实数解故答案为：且.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解方程：【答案】=4=144．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围【答案】时，方程有两个不相等的实数根．嘉淇同学用配方法推导一元二次方程+x﹣，+x（）2=﹣+（）+）=，+=（=，公式是x=；故答案为：四；x=；（2）x2﹣2x=24，配方得：x2﹣2x+1=24+1，即（x﹣1）2=25，开方得：x﹣1=±5，解得：x1=6，x2=﹣4．【名师点睛】此题考查了解一元二次方程——公式法与配方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键.。
人教版九年级数学上册 21.2.4 课后作业：方案(A)部分
21.2.4 公式法——公式法解方程课后作业：方案（A ）一、教材题目：P12 T1（3）（4）（5）、 T ２，Ｐ17 T5、T8、T91. 解下列方程：(3)3x 2－6x －2＝0；(4)4x 2－6x ＝0；(5)x 2＋4x ＋8＝4x ＋11；2．求第21.1节中问题1的答案．5．用公式法解下列方程：(1)x 2＋x －12＝0；(2)x 2－2x －14＝0；(3)x 2＋4x ＋8＝2x ＋11；(4)x(x －4)＝2－8x ；(5)x 2＋2x ＝0；(6)x 2＋25x ＋10＝0.8．一个直角三角形的两条直角边相差5 cm ，面积是7 cm 2.求斜边的长．9． 参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会？二、补充题目：部分题目来源于《典中点》7．已知a 是一元二次方程x 2－4x ＋1＝0的两个实数根中较小的根．(1)求a 2－4a ＋2 016的值；(2)化简求值1－2a ＋a 2a －1－a 2－2a ＋1a 2－a－1a .8．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6 cm ，BC ＝12 cm ，点P 从点B 开始沿AB 边向点A 以1 cm /s 的速度移动．点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2 cm /s 的速度移动．如果P ，Q 分别从点B 同时出发，问几秒钟时△DPQ 的面积等于12 cm 2?(第8题)答案一、 教材1.解：(3)a ＝3，b ＝－6，c ＝－2.Δ＝b 2－4ac ＝(－6)2－4×3×(－2)＝60＞0.方程有两个不等的实数根x ＝－（－6）±602×3. 即x 1＝3＋153，x 2＝3－153.(4)a ＝4，b ＝－6，c ＝0.Δ＝b 2－4ac ＝(－6)2－4×4×0＝36＞0.方程有两个不等的实数根x ＝－（－6）±362×4，即x 1＝0，x 2＝32. (5)移项，合并同类项，得x 2－3＝0，a ＝1，b ＝0，c ＝－3.Δ＝02－4×1×(－3)＝12＞0.方程有两个不等的实数根x ＝0±122×1. 即x 1＝－3，x 2＝ 3.2．解：x 2－75x ＋350＝0，a ＝1，b ＝－75，c ＝350，Δ＝b 2－4ac ＝(－75)2－4×1×350＝4 225＞0.方程有两个不等的实数根x ＝－（－75）±4 2252×1，即x 1＝5，x 2＝70. 检验：当x ＝70时，盒底的长和宽都为负数，不合题意．所以取x ＝5，即铁皮各角应切去边长为5 cm 的正方形．5．解：(1)a ＝1，b ＝1，c ＝－12，Δ＝b 2－4ac ＝12－4×1×(－12)＝49＞0，方程有两个不等的实数根x ＝－1±492×1＝－1±72，即x 1＝3，x 2＝－4. (2)a ＝1，b ＝－2，c ＝－14，Δ＝b 2－4ac ＝(－2)2－4×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝3＞0，方程有两个不等的实数根x ＝－（－2）±32×1， 即x 1＝3＋22，x 2＝－3＋22. (3)方程可化为x 2＋2x －3＝0，a ＝1，b ＝2，c ＝－3，Δ＝b 2－4ac ＝22－4×1×(－3)＝16＞0，方程有两个不等的实数根x ＝－2±162×1＝－2±42，即x 1＝－3，x 2＝1.(4)方程可化为x 2＋4x －2＝0，a ＝1，b ＝4，c ＝－2，Δ＝b 2－4ac ＝42－4×1×(－2)＝24＞0，方程有两个不等的实数根x ＝－4±242×1，即x 1＝－2＋6，x 2＝－2－ 6.(5)a ＝1，b ＝2，c ＝0，Δ＝b 2－4ac ＝22－4×1×0＝4＞0，方程有两个不等的实数根x ＝－2±42×1， 即x 1＝0，x 2＝－2.(6)a ＝1，b ＝25，c ＝10，Δ＝b 2－4ac ＝(25)2－4×1×10＝－20＜0，方程无实数根．8．解：设长的直角边长为x cm ，则短的直角边长为(x －5) cm ，所以列方程为12x(x－5)＝7，可化为x 2－5x －14＝0，因式分解，得(x －7)(x ＋2)＝0，x 1＝7，x 2＝－2(舍去)，所以长直角边长为7 cm ，短直角边长为2 cm ，斜边长为72＋22＝53 (cm )．点拨：先列方程求出两直角边长，再利用勾股定理求出斜边长．9．解：设共有x 家公司参加商品交易会．12x(x －1)＝45，方程可化为x 2－x －90＝0，即(x －10)(x ＋9)＝0，x 1＝10，x 2＝－9(舍去)，所以共有10家公司参加商品交易会．二、 典中点7．解：(1)∵a 是方程x 2－4x ＋1＝0的实数根，∴a 2－4a ＋1＝0，∴a 2－4a ＋2 016＝a 2－4a ＋1＋2 015＝2 015.(2)解方程x 2－4x ＋1＝0，得x 1＝2＋3，x 2＝2－ 3.∴a ＝2－3，∴a －1＜0.原式＝（a －1）2a －1－（a －1）2a （a －1）－1a＝a －1－1－a a （a －1）－1a ＝a －1＋1a －1a＝a －1.当a ＝2－3时，原式＝2－3－1＝1－ 3.8．解：设x s 时，△DPQ 的面积等于12 cm 2.由题意，得12×6－12（6－x ）2－x 2－6（12－2x ）2＝12. 解得x 1＝6＋26(不合题意，舍去)，x 2＝6－26，∴在(6－26)s 时，△DPQ 的面积等于12 cm 2.。
人教版九年级数学上册《21.2解一元二次方程》练习题-附参考答案
人教版九年级数学上册《21.2解一元二次方程》练习题-附参考答案一、选择题1．用配方法解一元二次方程2x 2−3x −1=0，配方正确的是（ ） A ．(x −34)2=1716 B ．(x −34)2=12 C ．(x −34)2=134D ．(x −34)2=1142．一元二次方程(x −22)2=0的根为（ ）． A ．x 1=x 2=22B ．x 1=x 2=−22C ．x 1=0，x 2=22D ．x 1=−223．关于一元二次方程x 2+kx −9=0（k 为常数）的根的情况，下列说法正确的是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根D ．不能确定根的情况4．若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围是（ ）A ． 且B ．C ．且D ．5．若关于 的一元二次方程 有一根为0，则的的值为（ ）A ．2B ．-1C ．2或-1D ．1或-26．已知a ，b 是一元二次方程x 2+3x −2=0的两根，则a 2+5a +2b 的值是（ ） A ．-5B ．-4C ．1D ．07．三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程x 2−16x +60=0一个实数根，则该三角形的面积是（ ） A ．24B ．48C ．24或8√5D ．8√5 8．已知一元二次方程x 2+2x +6=10x +2的两实数根分别为x 1，x 2，则x 1+x 2x 1x 2的值为（ ） A ．－2 B ．2C ．12D ．−12二、填空题9．若用配方法解方程x 2+4x +1=0时，将其配方为(x +b)2=c 的形式，则c = ． 10．若实数a ，b 满足a −2ab +2ab 2+4=0，则a 的取值范围是 ． 11．已知(a 2+b 2)2−a 2−b 2−6=0，求a 2+b 2的值为 .12．关于x 的一元二次方程x 2+2x-a ＝0的一个根是2，则另一个根是 .13．设x1，x2是方程2x2+6x−1=0的两根，则x1+x2+x1x2的值是．三、解答题14．解方程：（1）x2−4x+3=0；（2）3x2−5x+1=0．15．已知x=√5−1，求代数式x2+2x−3的值．16．关于的一元二次方程有两个实数根，求实数的取值范围．17．已知关于的一元二次方程（1）若方程的一个根为，求的值及另一个根；（2）若该方程根的判别式的值等于，求的值.18．若关于x的方程有两个不相等的实数根.（1）求k的取值范围；（2）设方程的两根分别是、且满足，求的值.参考答案1．A2．A3．A4．A5．A6．B7．C8．B9．310．−8≤a<011．312．-413．−7214．（1）解：∵x2−4x+3=0∴(x−3)(x−1)=0∴x−3=0或x−1=0∴x1=3，x2=1．（2）解：∵3x2−5x+1=0∴a=3，b=−5，c=1∴Δ=25−12=13>0∴x=5±√136∴x1=5+√136，x2=5−√136．15．解：当x=√5−1时x2+2x−3＝x2+2x+1−1−3＝(x+1)2−4＝(√5−1+1)2−4＝5－4＝1．16．解：∵∴且，即．解得：且．17．（1）解：设方程的另一根是x2.∵一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0的一个根为3∴x=3是原方程的解∴9m﹣（m+2）×3+2=0解得m= ；又由韦达定理，得3×x2=∴x2=1，即原方程的另一根是1（2）解：∵△=（m+2）2﹣4×m×2=1∴m=1，m=3.18．（1）解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根∴即解得：；（2）解：设方程的两根分别是∴又∵∴∴∴解得：. 经检验，都符合原分式方程的根∵，∴。
21.2.2 公式法 初中数学人教版九年级上册课后练习(含答案)
21.2.2 公式法一、单选题1．若关于的一元二次方程没有实数根，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．2．一元二次方程的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．无实数根3．当时，下列一元二次方程中两个根是实数的是（）A．B．C．D．4．一元二次方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，则m应满足的条件是（）A．m＞1B．m＝1C．m＜1D．m≤15．若关于x的方程的一个根是2，则a的值为（）A．B．C．或D．或6．形如的方程，下列说法错误的是（）A．时，原方程有两个不相等的实数根B．时，原方程有两个相等的实数根C．时，原方程无实数根D．原方程的根为7．关于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a满足（）A．a≥1B．a＞1且a≠5C．a≥1且a≠5D．a≠58．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“美丽”方程．已知是“美丽”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．9．一元二次方程的较大实数根在下列数轴中哪个范围之内（）A．B．C．D．10．用求根公式法解得某方程的两个根互为相反数，则（）A．B．C．D．二、填空题11．方程的解为________．12．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是______．13．若关于x的一元二次方程x2+2x+a=0有两个不同的实数根，则a应满足的条件_________________ 14．已知关于的一元二次方程，若，则________．15．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的最小整数值是____．16．若k为实数，关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2（k+1）x+k+5=0有实数根，则实数k的取值范围为__．17．一元二次方程，当=________时，方程有两个相等的实根；当_______时，方程有两个不相等的实根；当=______时，方程有一个根为0．18．关于x的一元二次方程kx2﹣x+2=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是_____．三、解答题19．已知关于的方程有两个不相等的实数根．求的取值范围；若，且方程的两个实数根都是整数，求的值．20．若关于的一元二次方程无实数根，求的取值范围．21．公式法解方程：（1）；（2）；（3）．22．李老师在课上布置了一个如下的练习题：若，求的值．看到此题后，晓梅立马写出了如图所示的解题过程：解：，①，②．③晓梅上述的解题步骤哪一步出错了？请写出正确的解题步骤．23．已知：关于x的方程，（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；（2）若等腰三角形ABC的一边长a=1，两个边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．参考答案1．C【分析】根据判别式的意义得到△=（-2）2-4m＜0，然后解关于m的不等式即可．【详解】解：根据题意得△=（-2）2-4m＜0，解得m＞1．故选：C．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．2．D【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断．【详解】解：∵，∴方程没有实数根．故选：D．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．3．A【分析】根据公式法，判断选项中的一元二次方程的实数根是否是题目中给出的那个．【详解】一元二次方程，当，的时候，它有两个实数根．故选：A．【点睛】本题考查一元二次方程的解法——公式法，解题的关键是掌握求根公式．4．A【分析】根据一元二次方程根的判别式即可求解.【详解】解：∵一元二次方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，∴△＝（﹣2）2﹣4×1×m＜0，∴m＞1．故选A．【点睛】此题主要考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟知根的判别式. 5．D【分析】将2代入方程，得到关于a的方程，求解方程即可；【详解】把代入方程，得，即，所以，解得或，故选D．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的知识点，准确理解是解题的关键．6．D【分析】根据应用直接开平方法求解的条件逐项判断即得答案．【详解】解：A、当时，原方程有两个不相等的实数根，故本选项说法正确，不符合题意；B、当时，原方程有两个相等的实数根，故本选项说法正确，不符合题意；C、当时，原方程无实数根，故本选项说法正确，不符合题意；D、当时，原方程的根为，故本选项说法错误，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题目，熟练掌握应用直接开平方法求解的条件是关键．7．C【分析】由方程有实数根可知根的判别式b2﹣4ac≥0，结合二次项的系数非零，可得出关于a的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．【详解】解：由已知得：，解得：a≥1且a≠5，故选：C．【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是得出关于a的一元一次不等式组，由根的判别式结合二次项系数非零得出不等式组是关键．8．D【分析】根据已知得出方程有x=-1，再判断即可．【详解】把x=−1代入方程得出a−b+c=0，∴b=a+c，∵方程有两个相等的实数根，∴△=，∴a=c，故选D．【点睛】此题考查根的判别式，解题关键在于利用有两个相等的实数根.9．B【分析】利用公式法解方程求得较大的实数根，根据无理数的估算得到这个实数根的范围，即可判断．【详解】解方程得．设是方程的较大的实数根，，，，则，只有B符合要求．故选：B．【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，无理数的估算以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握公式法解一元二次方程和无理数大小的估算是解题的关键．10．A【分析】根据求根公式法求得一元二次方程的两个根，由题意得，可求出．【详解】方程有两根，且．求根公式得到方程的根为，两根互为相反数，所以，即，解得．故选：A．【点睛】本题考查了解一元二次方程－公式法，相反数的意义，熟练掌握用公式法解一元二次方程是解题的关键．11．或【分析】首先把方程转化为一般形式，再利用公式法求解．【详解】（x-1）（x+3）=12x2+3x-x-3-12=0x2+2x-15=0x=,∴x1=3，x2=-5故答案是:3或-5．【点睛】考查了学生解一元二次方程的能力，解决本题的关键是正确理解运用求根公式．12．9【分析】根据方程两个相等的实数根可得根的判别式，求出方程的解即可．【详解】解：一元二次方程有两个相等的实数根，△，解得：，故答案为：9．【点睛】本题考查了根的判别式．一元二次方程的根与△有如下关系：①当△时，方程有两个不相等的实数根；②当△时，方程有两个相等的实数根；③当△时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．13．a<1【分析】若一元二次方程x2+2x+a=0有两个不同的实数根，则根的判别式，建立关于a的不等式，求出a的取值范围．【详解】解：∵方程有两个不同的实数根，a＝1，b＝2，c＝a，∴，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．14．【解析】【分析】找出方程中二次项系数a，一次项系数b及常数项c，将a，b及c的值代入计算，即可求出m的值．【详解】∵a=1，b=m，c=6，∴∴m=.故答案为：.【点睛】本题考查一元二次方程的解法，掌握公式法是解题的关键.15．0【分析】根据一元二次方程根的存在性，利用判别式求解即可；【详解】一元二次方程有两个不相等的实数根，∴△=4，∴故答案为0【点睛】本题考查一元二次方程的根的存在性；熟练掌握利用判别式确定一元二次方程的根的存在性是解题的关键．16．且【分析】根据二次项系数非零及一元二次方程根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出结论．【详解】∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2（k+1）x+k+5=0有实数根，∴∴且故答案为：且．【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，利用二次项系数非零及根的判别式，找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．17．-1 ＞-1 0【分析】先计算，当4+4m=0，方程有两个相等的实根；当4+4m＞0，方程有两个不等实根；把x=0代入方程，得-m=0；然后分别解方程或不等式即可得到对应得答案．【详解】∵，，，，当，即时，方程有两个相等的实根；当，即时，方程有两个不等实根；令，则有，即时，方程有一个根为0．故答案为：；；0．【点睛】本题考查了一元二次方程()的根的判别式．当＞0时，方程有两个不相等的实数根；当=0时，方程有两个相等的实数根；当＜0时，方程没有实数根．18．且k≠0【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴解得：﹣≤k＜且k≠0故答案为﹣≤k＜且k≠0．点睛：本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义以及二次根式有意义的条件，根据一元二次方程的定义、二次根式下非负以及根的判别式列出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．19．；，或．【分析】(1)关于x的方程x2-2x-2n=0有两个不相等的实数根，即判别式△=b2-4ac>0，即可得到关于n的不等式，从而求得n的范围；(2)利用配方法解方程，然后根据n的取值范围和限制条件“方程的两个实数根都是整数”来求n的值即可．【详解】∵关于的方程的二次项系数、一次项系数、常数项，∴，解得；由原方程，得，解得，∵方程的两个实数根都是整数，且，不是负数，∴，且是完全平方形式，∴，或，解得，或．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．20．【分析】确定a、b、c，计算，根据方程没有实数根得关于m的不等式，继而根据一元二次方程的定义可得答案．【详解】∵，，，∴，∵方程无实数根，∴，解得，又根据一元二次方程的定义，解得，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程()的根的判别式：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＜0，方程有两个相等的实数根；当△=0，方程没有实数根；也考查了一元二次方程的定义．21．（1）；（2）；（3）．【分析】（1）直接利用公式法求解即可；（2）方程整理成一般式后，直接利用公式法求解即可；（3）方程整理成一般式后，直接利用公式法求解即可．【详解】（1），，，即；（2），，，，，；（3），整理，得，，，，．【点睛】本题考查了解一元二次方程-公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．22．晓梅的解题步骤在第③步出错了，正确解题步骤详见解析．【分析】根据的值非负即可判断出错的解题步骤，根据直接开平方法和的非负性解答即可．【详解】解：晓梅的解题步骤在第③步出错了．正确解题步骤如下：，，．不论为何值都不等于，．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法和代数式求值，解决此类问题时，我们需要注意所求代数式的范围，本题容易忽略的值是非负的，所以要找出题干所隐含的条件再解题．23．（1）证明见解析；（2）△ABC的周长为5．【分析】（1）根据一元二次方程根与判别式的关系即可得答案；（2）分a为底边和a为腰两种情况，当a为底边时，b=c，可得方程的判别式△=0，可求出k值，解方程可求出b、c的值；当a为一腰时，则方程有一根为1，代入可求出k值，解方程可求出b、c的值，根据三角形的三边关系判断是否构成三角形，进而可求出周长．【详解】（1）∵判别式△=[-(k+2)]²-4×2k=k²-4k+4=(k-2)²≥0，∴无论k取任何实数值，方程总有实数根．（2）当a=1为底边时，则b=c，∴△=(k-2)²=0，解得：k=2，∴方程为x2-4x+4=0，解得：x1=x2=2，即b=c=2，∵1、2、2可以构成三角形，∴△ABC的周长为：1+2+2=5．当a=1为一腰时，则方程有一个根为1，∴1-（k+2）+2k=0，解得：k=1，∴方程为x2-3x+2=0，解得：x1=1，x2=2，∵1+1=2，∴1、1、2不能构成三角形，综上所述：△ABC的周长为5．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式及三角形的三边关系．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根；三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；熟练掌握根与判别式的关系是解题关键。
人教版数学 九年级上册 21.2.2 公式法 课后练习题
一、单选题
1. 若关于的方程有实数根，则的取值范围是（）A．B．C．D．
2. 若关于x的方程有两个实数根，则a的最大整数值为（）A．-1 B．0 C．1 D．2
3. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是
（）
A．B．C．且D．且
4. 若方程有两个不等的实数根，则m的取值范围是 ( ) A．m=1
B．C．且D．且
5. 不解方程，判别方程的根的情况（）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．有一个实数根D．无实数根
二、填空题
6. 若关于的一元二次方程有实数根，则常数的范围是_____．
7. 一元二次方程根的判别式的值为__________．
8. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是
______．
三、解答题
9. 计算
(1)x2+6x﹣2＝0(配方法)
(2)已知关于x的方程2x2+(k﹣2)x+1＝0有两个相等的实数根，求k的值．
10. 已知关于的方程有两个相等的实数根，求的值及方程的根．
11. 解方程：（1）
（2）。
九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.2公式法检测(含解析)新人教版
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21.2.2 公式法测试时间：15分钟一、选择题1。
一元二次方程x2-=2x的解是（）A.x=B。
x= C.x=D。
x=2。
(2018辽宁葫芦岛建昌期末)一元二次方程x2—4x+3=0的解是( ）A。
x=1 B.x1=—1,x2=-3 C.x=3 D.x1=1,x2=33。
(2018广东汕头潮南期末）下列的一元二次方程中,有实数根的是( ) A。
x2-x+1=0 B。
x2=-x C.x2-2x+4=0 D。
(x-2）2+1=04.(2018四川泸州泸县一模）关于x的方程x2+2x—1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（)A。
k≥0B。
k>0 C.k≥-1 D。
k〉-1二、填空题5。
一元二次方程3x2—4x—2=0的解是。
6。
关于x的方程kx2-4x+3=0有实数根,则实数k的取值范围是.7.等腰三角形的边长是方程x2—2x+1=0的两根，则它的周长为.三、解答题8。
用公式法解方程：x2+x-3=0。
9.用公式法解一元二次方程.(1）2x-1=-2x2;（2)3x2+1=2x;（3)2(x-1)2—（x+1）(1—x)=(x+2）2。
人教版九年级上册数学 21.2.2：公式法 作业
1．C 2．C 3．B 4．B 5．B 6．D 7．C 8．C 9．C 10．C
11． a 1
16
14．3 17．1．
12．-1 15．四．
（1）求证：无论实数 m 取何值，方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根的平方等于 4，求 m 的值． 20．已知关于 x 的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中 a、b、c 分别为△ABC 三边的长． （1）如果 x=﹣1 是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由； （3）如果△ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 21．如图，是小明的作用，请你认真阅读，解答下列问题：
九年级上册数学 21.2.2 公式法 作业
一、单选题 1．已知关于 x 的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1=0 有两个不相等的实数根，则 a 的取值范围是（ ）
A．a＞2
B．a＜2
C．a＜2 且 a≠1
D．a＜－2
2．一元二次方程 x2﹣2x﹣1＝0 的根是（ ）
A．x1＝1，x2＝2
B．x1＝﹣1，x2＝﹣2
C．x1＝1+ 2 ，x2＝1﹣ 2
D．x1＝1+ 3 ，x2＝1﹣ 3
3．关于 x 的一元二次方程 x2 − 2x + k = 0 有两个实数根，则 k 的取值范围在数轴上可以表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．若关于 x 的一元二次方程 x2 + 6x + k = 0 有两个相等的实数根，则 k 的值为（ ）
从而达到“降次”的目的，又如 x3 = x x2 = x( px − q) = …，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法
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21.2.4 公式法——公式法解方程
课后作业：方案（A）
一、教材题目：P12 T1（3）（4）（5）、T２，Ｐ17 T5、T8、T9
1. 解下列方程：
(3)3x2－6x－2＝0；
(4)4x2－6x＝0；
(5)x2＋4x＋8＝4x＋11；
2．求第21.1节中问题1的答案．
5．用公式法解下列方程：
(1)x2＋x－12＝0；
(2)x2－2x－1
4＝0；
(3)x2＋4x＋8＝2x＋11；
(4)x(x－4)＝2－8x；
(5)x2＋2x＝0；
(6) x2＋25x＋10＝0.
8．一个直角三角形的两条直角边相差5 cm，面积是7 cm2.求斜边的长．
9．参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会？
二、补充题目：部分题目来源于《典中点》
7．已知a 是一元二次方程x 2－4x ＋1＝0的两个实数根中较小的根．
(1)求a 2－4a ＋2 016的值；
(2)化简求值1－2a ＋a 2a －1－a 2－2a ＋1a 2－a
－1a .
8．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6 cm ，BC ＝12 cm ，点P 从点B 开始沿AB 边向点A 以1
cm /s 的速度移动．点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2 cm /s 的速度移动．如果P ，Q 分别从点B 同时出发，问几秒钟时△DPQ 的面积等于12 cm 2?
(第8题)
答案
一、 教材 1.解：(3)a ＝3，b ＝－6，c ＝－2.
Δ＝b 2－4ac ＝(－6)2－4×3×(－2)＝60＞0.
方程有两个不等的实数根x ＝－（－6）±602×3. 即x 1＝3＋153，x 2＝3－153
. (4)a ＝4，b ＝－6，c ＝0.
Δ＝b 2－4ac ＝(－6)2－4×4×0＝36＞0.
方程有两个不等的实数根x ＝－（－6）±362×4，即x 1＝0，x 2＝32
. (5)移项，合并同类项，得x 2－3＝0，a ＝1，b ＝0，c ＝－3.Δ＝02－4×1×(－3)＝12＞0.
方程有两个不等的实数根x ＝0±122×1
. 即x 1＝－3，x 2＝ 3.
2．解：x 2－75x ＋350＝0，a ＝1，b ＝－75，c ＝350，
Δ＝b 2－4ac ＝(－75)2－4×1×350＝4 225＞0.
方程有两个不等的实数根
x ＝－（－75）±4 2252×1
，即x 1＝5，x 2＝70. 检验：当x ＝70时，盒底的长和宽都为负数，不合题意．所以取x ＝5，即铁皮各角应切去边长为5 cm 的正方形．
5．解：(1)a ＝1，b ＝1，c ＝－12，Δ＝b 2－4ac ＝12－4×1×(－12)＝49＞0，方程有两个不等的实数根x ＝－1±492×1＝－1±72
，即x 1＝3，x 2＝－4. (2)a ＝1，b ＝－2，c ＝－14
，Δ＝b 2－4ac ＝(－2)2－4×1×⎝⎛⎭⎫－14＝3＞0，方程有两个不等的实数根x ＝－（－2）±32×1
， 即x 1＝3＋22，x 2＝－3＋22
. (3)方程可化为x 2＋2x －3＝0，a ＝1，b ＝2，c ＝－3，Δ＝b 2－4ac ＝22－4×1×(－3)＝16
＞0，方程有两个不等的实数根x ＝－2±162×1＝－2±42
，即x 1＝－3，x 2＝1. (4)方程可化为x 2＋4x －2＝0，a ＝1，b ＝4，c ＝－2，Δ＝b 2－4ac ＝42－4×1×(－2)＝24
＞0，方程有两个不等的实数根x ＝－4±242×1
，即x 1＝－2＋6，x 2＝－2－ 6. (5)a ＝1，b ＝2，c ＝0，Δ＝b 2－4ac ＝22－4×1×0＝4＞0，
方程有两个不等的实数根x ＝－2±42×1
， 即x 1＝0，x 2＝－2.
(6)a ＝1，b ＝25，c ＝10，
Δ＝b 2－4ac ＝(25)2－4×1×10＝－20＜0，方程无实数根．
8．解：设长的直角边长为x cm ，则短的直角边长为(x －5) cm ，所以列方程为12
x(x －5)＝7，可化为x 2－5x －14＝0，因式分解，得(x －7)(x ＋2)＝0，x 1＝7，x 2＝－2(舍去)，所以长直角边长为7 cm ，短直角边长为2 cm ，斜边长为72＋22＝53 (cm )．
点拨：先列方程求出两直角边长，再利用勾股定理求出斜边长．
9．解：设共有x 家公司参加商品交易会．
12
x(x －1)＝45，方程可化为x 2－x －90＝0，即(x －10)(x ＋9)＝0，x 1＝10，x 2＝－9(舍去)，所以共有10家公司参加商品交易会．
二、
典中点 7．解：(1)∵a 是方程x 2－4x ＋1＝0的实数根， ∴a 2－4a ＋1＝0，
∴a 2－4a ＋2 016＝a 2－4a ＋1＋2 015＝2 015.
(2)解方程x 2－4x ＋1＝0，得x 1＝2＋3，x 2＝2－ 3. ∴a ＝2－3，∴a －1＜0.
原式＝（a －1）2a －1－（a －1）2a （a －1）－1a
＝a －1－1－a a （a －1）－1a
＝a －1＋1a －1a ＝a －1.
当a ＝2－3时，原式＝2－3－1＝1－ 3.
8．解：设x s 时，△DPQ 的面积等于12 cm 2.
由题意，得12×6－12（6－x ）2－x 2－6（12－2x ）2
＝12. 解得x 1＝6＋26(不合题意，舍去)，x 2＝6－26， ∴在(6－26)s 时，△DPQ 的面积等于12 cm 2.。