数学知识的综合运用
数学学科重要知识归纳代数与几何综合应用
数学学科重要知识归纳代数与几何综合应用数学学科重要知识归纳：代数与几何综合应用数学作为一门基础学科，涵盖广泛的知识体系，其中代数与几何是数学学科中的两个重要分支。
而代数与几何的综合应用，则是数学知识在实际问题中的重要应用方式。
本文将从代数与几何两个方面，探索数学学科中的重要知识，并归纳总结其在实际问题中的综合应用。
一、代数的重要知识代数是数学中研究数、符号、关系以及运算的一门学科，它涵盖了众多的数学概念和方法。
以下是代数中的几个重要知识点：1. 多项式多项式是代数中的基本概念之一，它由系数与变量的乘积的和组成。
多项式在数学中的应用非常广泛，可以用于表示函数关系、进行运算和解决方程等。
2. 方程与不等式方程和不等式是代数中的常见问题形式。
通过方程和不等式，可以描述物理、经济等实际问题中的关系和约束条件，进而解决相应的问题。
3. 函数函数是代数中的另一个核心概念，它描述了两个变量之间的关系。
函数的概念和性质对于数学建模和实际问题的求解具有重要的作用。
二、几何的重要知识几何是研究空间、形状、大小、变换等概念和性质的数学学科。
以下是几何中的几个重要知识点：1. 图形与几何体几何学中的图形和几何体是研究的基本对象，如点、线、面、多边形、球体、圆柱体等。
图形与几何体的性质和变换方式对于几何问题的解决和实际应用非常重要。
2. 三角形与三角函数三角形是最基本的几何图形之一，三角函数则是描述角度和边长之间关系的数学函数。
三角形和三角函数在测量、导航、建筑等方面的应用非常广泛。
3. 相似与全等相似和全等是几何形状间重要的关系概念。
通过相似和全等的性质，可以进行形状变换与比较，用于测量、建模和设计等实际问题中。
三、代数与几何的综合应用代数与几何在数学学科中有着密切的联系与互补。
通过将代数与几何的知识相互结合，可以解决更加复杂和实际的问题，实现问题求解的综合应用。
1. 几何建模与代数求解在实际问题中，常常需要将几何问题通过建模转化为代数问题来求解。
灵活运用：幼儿数学组成分解知识点综合实践
灵活运用：幼儿数学组成分解知识点综合实践。
一、数学组成分解的基本概念数学组成分解指的是把一个数分解成若干个数的和的过程。
在幼儿园数学教育中，组成分解是一个常见的概念。
例如，当幼儿学习到数字0-10，老师就可以通过组成分解的方式来让幼儿学习数字的不同组合方式。
比如，数字5可以分解为2和3的组合，或者4和1的组合，或者6和1的组合等等。
二、组成分解在幼儿数学教育中的重要性组成分解是幼儿数学教育的基础知识点之一，它的重要性如下：1.帮助幼儿理解加减法的概念组成分解可以帮助幼儿理解加减法的概念。
通过组成分解，幼儿可以了解两个数的和是多少，并且也可以知道这个和是由哪些数字组成的。
2.培养幼儿的数学思维能力组成分解可以帮助幼儿培养数学思维能力。
通过组成分解，幼儿需要发挥自己的想象力，去思考数字之间的关系，进而理解数字的运算规律。
3.为幼儿后续学习提供基础组成分解是幼儿后续学习的基础，它对于加减乘除等数学知识的掌握都非常重要。
如果在幼儿园阶段不能够理解组成分解的概念，那么在后续的学习中，对于数字的组合和分解都会觉得非常困难。
三、灵活运用数学组成分解进行综合实践在幼儿数学教育中，灵活运用数学组成分解进行综合实践，可以帮助幼儿更好地理解数学知识。
1.制作数字拼图数字拼图是一种非常好的组成分解实践方式。
教师可以将数字制成拼图，然后让幼儿进行组合，形成数字之间的关系，进而领会数字的运算规律。
2.玩具数学玩具数学是指利用与数学有关的玩具进行数学运算的方式。
教师可以将运算符号制成玩具，并将数字与玩具进行组合，让幼儿通过玩具掌握数学运算的概念。
3.数学游戏数学游戏是一种很好的组成分解实践方式。
游戏可以帮助幼儿通过竞争沉浸在数学游戏的氛围中，更好地理解数字的组合和分解。
四、总结数学组成分解是幼儿数学教育中的基础知识点之一。
在幼儿园教育中，灵活运用组成分解知识点进行综合实践，可以帮助幼儿更好地理解数学知识，培养数学思维能力，并为后续的学习提供基础。
义务教育阶段数学课程内容中的以培养学生综合运用所学知识和方法解决实际问题
义务教育阶段数学课程内容中的以培养学生综合运用所学知识和方
法解决实际问题
在义务教育阶段的数学课程中，培养学生综合运用所学知识和方法解决实际问题是非常重要的内容。
这不仅能够提高学生的数学综合运用能力，还可以帮助学生更好地理解和掌握数学知识。
为了实现这个目标，教师可以采用一系列的教学方法和策略。
首先，教师可以通过引导学生分析和解决实际问题的过程，培养学生的问题解决能力。
例如，在数学课堂上，教师可以提出一些实际问题，并引导学生思考和分析问题，找到解决问题的方法和步骤。
其次，教师可以通过设计一些真实、具体的数学问题，让学生在解决问题的过程中发挥自己的想象力和创造力。
例如，在教学中可以设计一些实用性强的数学问题，如如何计算房间的面积、如何计算物品的重量等，让学生在解决问题的过程中巩固所学的数学知识和技能，并培养他们的实际运用能力。
此外，教师还可以通过课堂互动、小组合作等方式，激发学生的学习兴趣，增强学生的学习动力。
例如，在课堂上可以组织学生进行小组合作，让学生们相互讨论、交流解题思路和方法，激发他们的创造性思维，提高他们的解决问题的能力。
综上所述，在义务教育阶段数学课程中，培养学生综合运用所学知识和方法解决实际问题是非常重要的。
教师应该采用多种教学方法和策略，引导学生发挥自己的想象力和创造力，提高学生的数学综合运用能力，让他们能够更好地掌握和应用数学知识，为未来的发展打下坚实的基础。
综合运用各种数学知识解决实际问题
综合运用各种数学知识解决实际问题数学是一门实用性极强的学科，它不仅仅是一种抽象的理论，更是一种解决实际问题的工具。
作为一位初中数学特级教师，我深知数学知识的实际应用对学生的成长和发展至关重要。
在本文中，我将以几个具体的例子，展示如何综合运用各种数学知识解决实际问题。
例一：购物打折假设小明去商场购买一件原价为100元的衣服，商场正在进行七折优惠活动。
小明想知道他需要支付多少钱。
首先，我们需要计算出七折的价格。
七折相当于原价的70%，所以小明需要支付的金额为100元 × 70% = 70元。
接下来，我们可以引入百分数的概念。
百分数是将一个数表示为百分之几的形式，百分之几可以用分数或小数来表示。
在这个例子中，七折可以表示为70%或0.7。
最后，我们可以运用四则运算来计算小明需要支付的金额。
100元减去70元，得到小明需要支付的金额为30元。
通过这个例子，我们可以看到，解决购物打折问题需要运用到百分数、四则运算等数学知识。
例二：计算面积和体积假设小华想要装修他的房间，他想知道需要多少平方米的地板和多少立方米的油漆。
首先，我们需要测量房间的尺寸，包括长、宽和高。
假设房间的长为5米，宽为4米，高为3米。
接下来，我们可以运用面积和体积的公式来计算地板和油漆的数量。
房间的地板面积可以通过长乘以宽来计算，所以地板的面积为5米 × 4米 = 20平方米。
房间的体积可以通过长乘以宽乘以高来计算，所以房间的体积为5米 × 4米 × 3米 = 60立方米。
最后，我们可以根据地板和油漆的价格来计算总费用。
假设地板的价格为100元/平方米，油漆的价格为50元/立方米，那么小华需要支付的费用为20平方米 ×100元/平方米 + 60立方米 × 50元/立方米 = 2000元 + 3000元 = 5000元。
通过这个例子，我们可以看到，解决装修问题需要运用到面积和体积的计算、四则运算等数学知识。
数学思想方法的综合应用
► 探究点二 使用函数方法解决非函数问题例2 (1)已知{a n }是一个等差数列，且a 2＝1，a 5＝－5，则数列{a n }前n 项和S n 的最大值是________．(2)长度都为2的向量OA →，OB →的夹角为60°，点C 在以O 为圆心的圆弧AB (劣弧)上，OC →＝mOA→＋nOB →，则m ＋n 的最大值是________． 【分析】 (1)根据方程思想求出数列的首项和公差，建立S n 关于n 的函数；(2)将向量坐标化，建立m ＋n 关于动向量OC →的函数关系．(1)4 (2)233【解析】 (1)设{a n }的公差为d ，由已知条件，⎩⎨⎧a 1＋d ＝1，a 1＋4d ＝－5，解出a 1＝3，d ＝－2.S n ＝na 1＋n n －12d ＝－n 2＋4n ＝4－(n －2)2.所以n ＝2时，S n 取到最大值4.(2)建立平面直角坐标系，设向量OA →＝(2,0)，向量OB →＝(1，3)．设向量OC →＝(2cos α，2sin α)，0≤α≤π3.由OC →＝mOA→＋nOB →，得(2cos α，2sin α)＝(2m ＋n ，3n )，即2cos α＝2m ＋n,2sin α＝3n ，解得m ＝cos α－13sin α，n ＝23sin α.故m ＋n ＝cos α＋13sin α＝233sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3≤233.变式题若a >1，则双曲线x 2a 2－y 2a ＋12＝1的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(2，5)C ．[2，5]D ．(3，5) B 【解析】 e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝a 2＋a ＋12a 2＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a 2，因为1a 是减函数，所以当a >1时，0<1a<1，所以2<e 2<5，即2<e < 5.► 探究点三 联用函数与方程的思想例3 已知函数f (x )＝x (x －a )2，g (x )＝－x 2＋(a －1)x ＋a (其中a 为常数)．设a >0，问是否存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，a 3，使得f (x 0)>g (x 0)？若存在，请求出实数a 的取值范围，若不存在，请说明理由；【解答】 假设存在，即存在x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫－1，a 3，使得， f (x 0)－g (x 0)＝x 0(x 0－a )2－[－x 20＋(a －1)x 0＋a ]＝x 0(x 0－a )2＋(x 0－a )(x 0＋1)＝(x 0－a )[x 20＋(1－a )x 0＋1]>0，当x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，a 3时，又a >0，故x 0－a <0，则存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，a 3，使得x 20＋(1－a )x 0＋1<0， ①当a －12>a3即a >3时，⎝ ⎛⎭⎪⎫a 32＋(1－a )⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＋1<0得a >3或a <－32，∴a >3； ②当－1≤a －12≤a 3即0<a ≤3时，4－a －124<0得a <－1或a >3，∴a 无解．综上：a >3.► 探究点四 以形助数探索解题思路例4 (1)不等式|x ＋3|－|x －1|≤a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．[1,2]D ．(－∞，1]∪[2，＋∞)(2)已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1C ．(1,2)D ．(1，－2)【分析】 (1)把不等式的左端看作一个函数，问题等价于这个函数的最大值不大于不等式右端的代数式的值，通过画出函数图象找到这个函数的最大值即可；(2)画出抛物线，根据抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离，把问题归结为两点之间的距离．(1)A (2)A 【解析】 (1)f (x )＝|x ＋3|－|x －1|＝⎩⎨⎧－4x <－3，2x ＋2－3≤x <1，4x >1.画出函数f (x )的图象，如图，可以看出函数f (x )的最大值为4，故只要a 2－3a ≥4即可，解得a ≤－1或a ≥4.正确选项为A.(2)点P 到抛物线焦点距离等于点P 到抛物线准线距离，如图，PF ＋PQ ＝PS ＋PQ ，故最小值在S ，P ，Q 三点共线时取得，此时P ，Q 的纵坐标都是－1，代入y 2＝4x 得x ＝14，故点P 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1，正确选项为A.(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－43，7 (2)⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪[－1，＋∞) 【解析】 (1)g (x )＝f ′(x )＝3x 2＋4x －a ，g (x )＝f ′(x )在区间(－1,1)上存在零点，等价于3x 2＋4x ＝a 在区间(－1,1)上有解，等价于a 的取值范围是函数y ＝3x 2＋4x 在区间(－1,1)上的值域，不难求出这个函数的值域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－43，7.故所求的a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－43，7. (2)由⎩⎨⎧Δ1＝4a2－43－4a <0，Δ2＝a －12－4a 2<0，Δ3＝2a2＋8a <0，解得－32<a <－1，再求它的补集，则a 的取值范围是：a ≤－32或a ≥－1.例4 (1)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2，则sin(α－2π)sin(α－π)－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝________.(2)函数f (x )＝sin x ＋cos x ＋sin2x 的最小值是________．【分析】 (1)化简已知和求解目标，然后采取适当的方法；(2)把sin x ＋cos x 看做一个整体，用这个整体表示已知函数．(1)－35 (2)－54 【解析】 (1)已知条件即sin α＝2cos α，求解目标即cos 2α－sin 2α.已知条件转化为tan α＝2，求解目标转化为cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α，把已知代入得求解结果是－35. (2)令t ＝sin x ＋cos x ，则t 2＝1＋sin2x ，且t ∈[]－2，2.此时函数化为y ＝t ＋t 2－1＝⎝⎛⎭⎪⎫t ＋122－54，故所求函数的最小值为－54.。
小学数学“综合与实践”的课型及其教学策略
小学数学“综合与实践”的课型及其教学策略小学数学的“综合与实践”是指教学内容中融入多种数学知识和技能的整合与应用，通过实际问题和情境，培养学生的综合运用能力和解决问题能力。
在实施“综合与实践”教学的过程中，可以采用以下几种常见的课型和教学策略。
一、实践探究型：1. 循环训练法：以实际问题为基础，引导学生凭借已有知识和经验逐步解决问题，通过多个循环的训练和反复演练，提高学生的学科水平。
2. 游戏型：将数学知识和技能与游戏相结合，创设有趣的游戏情景，激发学生的学习兴趣，并通过游戏的过程中不断提升学生的综合能力和解决问题的能力。
3. 手工实践型：通过手工制作、实物制作等实践活动，让学生亲自动手进行操作，培养学生的动手能力和创造力，同时巩固和应用所学的数学知识。
二、合作学习型：1. 小组合作型：将学生分成小组，在小组内共同讨论和解决问题，通过彼此合作和互助，提升学生的学科水平和解决问题的能力。
2. 互助学习型：将学生分成学习小组，每个小组由不同能力水平的学生组成，由高水平学生帮助低水平学生，促进学生之间的互助学习和共同进步。
3. 项目合作型：设计一些数学项目，在小组内由学生共同完成，通过实际项目的合作完成，培养学生的团队合作精神和解决实际问题的能力。
三、场景应用型：1. 情景模拟型：创设各种情境和实际场景，让学生置身运用所学的数学知识和技能解决实际问题，培养学生的应用能力和创新意识。
2. 实际问题解决型：引导学生通过举一反三的思维方式，将所学的数学知识和技能应用于解决实际生活中的问题，提高学生的实际运用能力和解决问题的能力。
3. 项目设计型：设计一些与学生生活息息相关的数学项目，引导学生自主思考和设计解决方案，通过项目的实施和实践培养学生的综合能力和问题解决能力。
在实施“综合与实践”教学的过程中，教师还需注意以下几点：1. 创设良好的学习氛围，激发学生的学习兴趣和积极性。
2. 给予学生足够的自主选择权，鼓励学生独立思考和探索。
六年级数学全册知识点教材分析综合运用四则运算代数和几何的知识解决实际问题
六年级数学全册知识点教材分析综合运用四则运算代数和几何的知识解决实际问题在六年级数学教材中，涵盖了广泛而丰富的知识点，包括四则运算、代数和几何等。
这些知识点不仅是我们学习数学的基础，也是我们解决实际问题时的重要工具。
本文将对六年级数学全册的知识点进行深入分析，并探讨如何综合运用四则运算、代数和几何的知识来解决实际问题。
一、四则运算四则运算是数学学习的基础，包括加法、减法、乘法和除法。
在六年级的数学课程中，学生将深入学习这些运算符号，并学会运用它们解决实际问题。
1. 加法加法是最简单的四则运算之一，通过将两个或多个数值相加，求得它们的和。
例如，我们可以用加法来解决以下问题：小明手上有5个苹果，他又收到了3个苹果，那么他手上一共有多少个苹果？2. 减法减法是求一个数值与另一个数值的差。
通过减法，我们可以解决例如以下问题：小红有10个橙子，她吃掉了3个橙子，那么她手上还剩下几个橙子？3. 乘法乘法是将两个或多个数值相乘得到一个新的数值。
通过乘法，我们可以解决例如以下问题：每个班级有35个学生，学校一共有6个班级，那么学校一共有多少个学生？4. 除法除法是将一个数值分割成若干部分，或将一个数值分成若干等份的运算。
通过除法，我们可以解决例如以下问题：一共有60个苹果，将它们平均分给15个人，每个人分到几个苹果？二、代数代数是数学中研究数值关系的一门学科，它使用字母和符号来表示数和数之间的关系。
在六年级的数学教材中，学生将学会通过代数方法解决实际问题。
在解决实际问题时，我们经常会遇到未知数，即需要求解的数值。
代数可以帮助我们建立方程或不等式，通过求解这些方程或不等式，我们可以找到问题的答案。
例如，解决以下问题：小明的年龄是X岁，他的爸爸年龄是他的2倍，那么他爸爸的年龄是多少？三、几何几何是研究图形形状、大小和相对位置的学科。
在六年级的数学教材中，学生将学习不同类型的几何形状，并掌握如何计算它们的周长、面积和体积等属性。
高考数学中的立体几何与概率与数列与数学归纳法与指数对数与向量的综合运用方法
高考数学中的立体几何与概率与数列与数学归纳法与指数对数与向量的综合运用方法在高考数学中，立体几何、概率、数列、数学归纳法、指数对数和向量是常见的考点。
这些概念在数学中是相对独立的，但在解决实际问题时，可以进行综合运用，有效提升解题能力。
本文将围绕这些内容，详细介绍高考数学中的综合运用方法。
一、立体几何与概率的综合运用方法立体几何是高考数学中的重要考点之一，而概率则是数学中的一门独立分支。
然而，在某些问题中，立体几何和概率可以相互结合，帮助我们解决一些更复杂的问题。
以一个简单例子来说明，假设有一个正方体，如果骰子掷出的点数是奇数，则取一个白色的小球放入一个盒子里；如果骰子掷出的点数是偶数，则取一个黑色的小球放入盒子里。
现在假设有人从盒子中随机取出一个小球，问取出的小球是白色的概率是多少？解决这个问题可以综合运用立体几何和概率的知识。
首先，我们知道正方体共有6个面，每个面上的点数是1、2、3、4、5、6。
而在这6个数字中，奇数有1、3、5，偶数有2、4、6。
根据概率的定义，概率可以用“事件发生的次数/总的可能性次数”来表示。
在这个问题中，白色小球出现的次数是3（奇数），总的可能性次数是6。
所以，取出白色小球的概率是3/6=1/2。
这个例子中，我们综合运用了立体几何中正方体的知识和概率的计算方法，帮助我们解决了一个复杂的问题。
在高考数学中，类似的综合运用方法还可以遇见很多。
通过积极梳理知识点，善于思考，我们可以更好地应用所学知识解决难题。
二、数列与数学归纳法与指数对数的综合运用方法数列是高考数学中经常出现的考点，在解题过程中常常需要运用到数学归纳法。
而指数对数作为数学中的另一重要知识点，也有着广泛的应用，它们和数列可以相互结合，形成综合运用的方法。
假设有一个数列：1，2，4，8，16，...，其中每一项都是前一项的2倍。
现在要求证明这个数列可以写成2的n次方形式，其中n为正整数。
解决这个问题可以综合运用数列、数学归纳法和指数的知识。
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数学知识的综合运用
学生要能灵活地应用数学知识解决问题，最基本的一点是要牢固地掌握数学的基础知识。
俗话说万丈高楼平地起，美丽的高楼大厦必然有坚实的基础，地基不牢，再高明的建筑师也只能望楼兴叹！学生知识的掌握关键在于平时的积累与应用，在学习中应注意加强知识间的联系，让学生学以致用。
不然的话，学生就会感到数学知识零散、杂乱。
要让学生在学习过程中逐步形成知识网络，做到融汇绝贯通，举一反三，体验数学学习的乐趣。
不少学生很想学好数学，有学习数学的激情，但缺乏学好数学的方法。
总是今天学了明天忘，知识在大脑中存留的时间非常短暂，这怎么能学好呢？这也说明他没有学好。
要让学生在平时的练习中深切地感受到昨天所学的知识是今天学习的基础，让他们明确今天我们在学习及解决问题中用到了哪些以往学习的知识；同样的道理，今天的学习是明天的基础，在将来的学习中必将用到现在的知识。
因此所学知识不能出现盲点，不能有断层，必须行成知识体系，建立网络结构，才能进行发散思维。
下面举一个初三复习试题預以说明。
已知抛物线c bx a y x ++=2经过()01，-A 、()03，B 、
()30，C 三点，直线
是抛物线的对称轴 （1）求抛物线的函 数关系式。
（2）设点P 是直线 上的一个动点，当△PAC 的周长最小时，求点P 的坐标。
（3）在直线 上是否 存在点M ，使△MAC 为等 腰三角形。
若存在，直接写出所
有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由。
分析与解答：（1）求抛物线的函数关系式。
这个问题绝大多数学生都能解决，不过询问不同的学生他们的思路却有所不同：
①直接将()01，-A 、()03，B 、()30，C 三点坐标代入
c bx a y x ++=2得一个三元一次方程组，解这个三元一次方
程组得到a 、b 、c 的值，从而求出抛物线的函数关系式为
3
22++-=x y x
②根据()30，C 可知c = 3, 再把()01，-A 、()03，B 代入
32++=bx a y x 得到一个二元一次方程组，解这个二元一次
方程组得到a 、b 的值，同样可求出抛物线的函数关系式； ③由于()01，-A 、()03，B 两点是抛物线与x 轴的交点，因而可重设抛物线的解析式为()()x x x x a y 21--=，即是
()()31-+=x x a y ，把()30，C 代入，就求出a = -1，则抛物
线的函数关系式为()()31--+=x x y ，即322++-=x y x 。
可以看出，同一个问题，不同的人从不同的角度去观察、思考，会得出不一样的解决方案。
因此这就要求同学们在平时做练习的过程中，独立思考，充分发挥自己的主观能动性，一定要相信自己，问题总是有办法解决的。
（2）研究△PAC 的周长最小。
△PAC 的周长等于三边长度之和，无论P 点在直线 的何处，AC 的长度都是固定不变的。
这样一来△PAC 的周长最小，实质就是求PA + PC 之值最小。
其实同学们已在八年级做过这样的题目：图中直线表示一条小河，牧童在A 处放牛，牧童从A 处将牛牵到河边饮水后再回到B 处的家中。
试问在 何处饮水，所走路程最短？ 结合这个问题，我们自然就会想到，本题中的关键是作
出一个点关于直线 的对称
点。
比如作出C 点关于直线 的称点C '，由
322++-=x y x = ()4-12+-x 知，抛物线的对称轴 的直线
方程为 x = 1 ，则 C '（2，3），连接A 、C '与 的交点P 即为所求的点。
凭直观可见点P 的坐标为p （1，2）。
怎样从理论上来解答呢? 我们看Rt △AD C '，会发现它是一个等腰直角三角形，则∠C 'A D = 45°，可见直线C A '与一、三象限的角平分线y = x 平行，设A C '的解析式为y = x + b ，利用()01，-A ，可求出b = 1, 从而得出p (1 , 2 )。
这个小问题的解决，充分利用了轴对称以及一次函数等知识，突出地体现了数学知识之间的密切联系。
（3）△MAC 为等腰三角形的研究要分类进行，主要是讨论谁为等腰三角形的腰谁为底边的问题。
①以∠A 为等腰三角形的顶角，即M A AC 1=，在Rt △AOC 中可得10=AC ,在Rt △M M A 13∆ 中（M 3是抛物线的对称轴 与x 轴的交点）有
101==AC A M ,23=M A ,可求出 613=M M ，因此
M 3的坐标为
（1，- 6 ）；这时M 1于x 轴对称的点 M 2为
()61，，M
2与
A 、C 同样形成一个等腰三角形。
②以∠C 为等腰三角形的顶角时，显然M CA 3∆是一个等腰三角形，M 3 的坐标为（1，0）；若CA = CE ,此时由于有CA = CE = M C 3,那么A 、M 3、E ，三点在以C 为圆心的
••l
B
A
同一个圆上，再加上9003=∠E A M ，AE 必为⊙C 的直径，即A 、C 、E 三点在同一直线上不构成三角形。
③以AC 为等腰三角形的底边时，作出AC 边的垂直平分线与 的交点M 4为所求的第四个点。
此点坐标可利用图形直接写出，也可设M 4（1，y)，由 C A M M 44=，利用坐标表示线段的长度可得：
()()31112
222-++=+y y 解得y =
1，那么 M 4的坐标为（1，1）。
这个小问题的解决是将几何知识与代数知识融为一体，几何引路，代数解答，相互辉映，从而使问题得以顺利解决。
不难看出，复杂问题其实是由几个简单问题组合而成的。
要想能够解决复杂的数学问题，数学基础知识不容忽视。
这就要求学生不仅要牢固地掌握数学基础知识，而且要能灵活运用，多比较，常归纳是很有必要的。