合肥工业大学工程硕士矩阵理论及应用笔记第二章
工程光学第二,三 章(合肥工业大学)
R
1.5 1 1.5 1 l '1 R
l1 ' 3R
图2-12a
即无穷远物体经第一面后成实像，是一个实物成实像的过 程，其像位于距玻璃球前表面的右侧3R处，同时位于距第 二面的右侧R处。由于第一面的像是第二面的物，又因为 其位于第二面的右侧，因此对于第二面而言是个虚物。
第一节 理想光学系统的共线理论
例3-1 如图3-1，已知Q、Q′为某理想光学 系统的一对共轭面， 并且已知该共轭面的垂 轴放大率，同时已知该系统的另外两对共轭 物像点C、C′和D、D′，试求图中任一物点P 的像点。
图 3-1
第一节 理想光学系统的共线理论
解：由P点过C点和D点分别作两条光线⑴和⑵，交Q 面于A点和B点,由于共轭面的垂轴放大率已知，根据 推论③，故容易得到Q′面上的A′点和B′点，即AB 和A′B′为这对共轭面上的一对共轭物像。根据推 论①，光线⑴的共轭光线⑴′必经过A′点和C′点， 光线⑵的共轭光线⑵′必经过B′点和D′点，得到 光线⑴′和⑵′的相交点P′,即为所求之像。
第四节 共轴球面系统的成像
l 2 l '1 d 3R 2R R ，r2 R 第二次成像， ' n2 1.5 ， n2 1
代入公式得
1 1.5 1 1.5 l2 ' R R
得 l2 ' R 2 即最终会聚于第二面的右侧 R 2 处，对第二 面而言，是一个虚物成实像的过程。
1 1 2 R 代入公式：l ' R R ，得 l 2 ' 2 3
R/2 R/3
R
即经第二面反射后成像于反射面左 图2-12b 侧 R 3 处，虚物成实像 第三次成像，光线从右到左，为了与符号规则一致，可将系统翻转 180°来计算第三次成像,此时有 l3 5R 3 , r3 R， n 1.5，n3 ' 1 1 1.5 1 1.5 代入公式得 l ' 5R / 3 R 得 l3 ' 5R / 2 2.5R
第二章第二章矩阵的相似及应用矩阵的相似及应用
x1 x2 = ( α 1 , α 2 , Λ , α n )Ａ Μ x n
x1 x2 λξ = (α 1 , α 2 , Λ , α n )λ Μ x n
T ξ = λξ
T(α1,α2 ,Λ ,αn )x = λ(α1,α2 ,Λ ,αn )x
(α1,α2 ,Λ ,αn )Ax= (α1,α2,Λ ,αn )λx
,α
n
x1 x2 其中 x = Μ x 坐标。 n
x1 x2 ( A λ I ) Μ x n
= 0
(2.1.4)
是特征向量 ξ 在基
s 下的
（2.1.4）有非零解 x 的充分必要 条件是：
( λ ) = det( λ I A ) = 0
定义2.1.2 λ I A 为矩阵 A 的特征矩阵，
T
酉矩阵 U ，使得 u1是它的第1列量。
定理 2.1.6
（Schur定理) A 设 n 为
阶方阵，λ1 ,λ 2 ,Λ , λn 是 A 的特征值，不论 它们是实数还是复数，总存在相似酉矩 阵 U 使得
A = UTU H ,
其中
T
为三角矩
λ 阵，对角线上的元素1 ,λ 2 ,Λ , λn
是
.
推论 1
x1 x1 x2 x2 (α 1 , α 2 , Λ , α n )Ａ = (α 1 , α 2 , Λ , α n )λ Μ Μ x x n n （２ １ . ３） .
（2.1.3）成立可以等价于 α 1 , α 2 , Λ
ξj 在变换
T 下满足：
Tξ j = λ jξ j
定义2.1.1 ξ ≠ 0 是线性空间 V 中的 向量，如果对于线性变换
Tξ = λξ λ ∈Ｐ
矩阵理论与应用(张跃辉)(上海交大)第二章参考答案
(0.0.3)
是 U + W 的一组基. 为此需要证明该向量组线性无关, 且 U + W 的任何向量均可由这些向量 线性表示.
设
k1α1 + k2α2 + · · · + krαr + br+1βr+1 + · · · + bsβs + cr+1γr+1 + · · · + ctγt = 0. (0.0.4)
0 = V0 ⊂ F α1 ⊂ (F α1 ⊕ F α2) · · · ⊂ (F α1 ⊕ · · · ⊕ F αm) ⊂ · · · ⊂ (F α1 ⊕ · · · ⊕ F αn) = V
显然是一个空间的真包含的链，其长度 m = n. 因此需证的等式成立。该等式说明线性空间的 维数是子空间按包含关系所形成的链的最大长度。
3. (1) 设 V 是线性空间, U 与 W 是 V 的两个子空间. 证明：
dim (U + W ) = (dim U + dim W ) − dim (U ∩ W ).
(2) 设 V 是有限维线性空间. 证明并解释下面的维数公式: dim V = max{m | 0 = V0 ⊂ V1 ⊂ · · · ⊂ Vm−1 ⊂ Vm = V, Vi 是 Vi+1 的真子空间}
5. 设
112
A = 0 1 1 ,
134
求 A 的四个相关子空间. 解：
R(A) = [(1, 0, 1)T , (1, 1, 3)T ], R(AT ) = [(1, 0, 1)T , (0, 1, 1)T ], N (A) = [(−1, −1, 1)T ], N (AT ) = [(−1, −2, 1)T ]
2011年合工大工程硕士《矩阵理论》考试范围与重要习题
2011年合工大工程硕士《矩阵理论》考试范围与重要习题1、两个子空间的直和例：设1V 和2V 分别是齐次方程组12...0n x x x +++=和12...n x x x ===的解空间，证明12V V V =⊕。
证明：因方程组12...0n x x x +++=和12...n x x x ===，只有零解，故{}120V V = ，从而21V V +=21V V ⊕，且21V V ⊕是V 的子空间，即21V V ⊕≤V 。
又1V 的维数是n-1，2V 的维数是1故21V V ⊕的维数是n 维，所以12V V V ⊕=。
注：任给一个V 的子空间1V ，可以找到子空间2V 使得：12V V V =⊕此式称为V 的一个直和分解，1V ，2V 称为互补空间2、 线性空间中线性变换的象空间与核例题1:证明：线性空间V 的线性变换T 的象空间和核都是V 的子空间 证明：V (),,,,()()()()()V 0k e r ()k e r (),k e r (),0,()0,k e r ()(),k e r ()k e r ()VT V x y V P x y V x V Tx Ty T x y T V Tx T x T V T V T T x y T P Tx Ty T x y Tx Ty x y T T x Tx x T T λλλλλλλλ∀∈∀∈+∈∈+=+∈=∈∈∀∈∀∈==+=+=+∈=∈因为非空，所以非空故是是的线性子空间因为所以非空因为所以非空则于是故故因此是的线性子空间。
例题2:线性空间V 中的线性变化T 的象空间和核的维数之和等于V 的维数 dim(T(V))+dim(ker(T))=dim(V)证明：设dim(V)=n dim(ker(T))=s 只需证明dim(T(V))=n-s 即可取ker(T)的一组基12s ,,...,x x x 再添加n-s 个向量将这组向量扩充为V 的一组基12s 122,,...,,,,...,,s s s x x x y y y +++112211n n112211n n11n n111...............(){,,...,}s s s s s s s s s s s s s x V x x x x y y Tx Tx Tx Tx Ty Ty Ty Ty T V Span Ty Ty Ty λλλμμλλλμμμμ+++++++++∀∈=++++++=++++++=++=对则现在只需证明12,,...,s s n Ty Ty Ty ++线性无关。
矩阵理论复习总结 PPT课件
1.几种常用的矩阵范数
A (aij ) Cnn ,
n
A
1
max
1 jn
i1
|
aij
|;
nn
1
n
A
max
1in
| aij
j 1
|;
1
A ( F
| aij2 |)2 (tr( AH A))2 .
i1 j1
UA A AU .
F
F
F
三、向量与矩阵的极限
2.线性空间v中有限个向量的线性相关性.
3.线性空间的基与维数.
dim(V ) n.
4. 基变换公式.
(1,2, ,n ) (1,2, ,n )P.
X PY.
5.子空间:对加法封闭，对数乘封闭.
L(1,2, ,s ) span1,2, ,s;
A (aij ) Rmn,
1,2, ,n ,
(1)
A Pdiag(1,2 , ,n )P1
(1,2 ,
,n )diag(1,2,
,n )
1T
T 2
T n
111T
2
2
T 2
n
n
T n
1G 12G 2 nGn
k
(2) A i Ai i 1
3.正交补空间
V1 V2 , V1 V2 V
4.内积空间的同构.
(x y) (x) ( y); (x) (x); ( (x), ( y)) (x, y).
工程矩阵理论
双语国际教育版系统分析的数学工具——工程矩阵理论（适用于数学专业和其它理工科研究生）倪郁东编著合肥工业大学数学学院目录第一章线性空间与线性变换 1 §1.1 线性空间 1§1.2 线性变换及其矩阵 3§1.3 内积空间8§1.4 正交变换及其几何与代数特征§1.5 应用于小波变换的框架理论15 第二章矩阵的标准形理论§2.1 线性变换的特征值和特征向量29 §2.2 矩阵的相似对角化32 §2.3 特征矩阵的Smith标准形34 §2.4 矩阵的Jordan标准形34 §2.5 矩阵的最小多项式第三章矩阵分解29 §3.1 Gauss消去法与矩阵三角分解29 §3.2 矩阵的QR分解32 §3.3 矩阵的满秩分解34 §3.4 矩阵的奇异值分解34 §3.5 矩阵分解的应用第四章矩阵范数理论及其应用16 §4.1 范数与赋范线性空间§4.2 向量范数及其性质17 §4.3 矩阵的范数18 §4.4 范数的应用19 第五章矩阵分析及其应用20 §5.1 矩阵序列20 §5.2 矩阵级数21 §5.3 矩阵函数22 §5.4 矩阵的微分和积分25§5.5 矩阵函数的一些应用26 §5.6 梯度分析和最优化27 第六章特征值估计及极性38 §6.1 特征值的估计38 §6.2 广义特征值问题40 §6.3 对称矩阵特征值的极性41 §6.4 广义特征值分析的应用42 第七章广义逆矩阵43 §7.1 投影矩阵43 §7.2 广义逆矩阵46 §7.3 总体最小二乘方法49 第八章Matlab中的矩阵运算简介50 §8.1 基本矩阵运算50 §8.2 矩阵分解52 §8.3 广义逆矩阵和解线性系统54 参考文献57编著者说明1、体例格式为：知识要点，章节内容，各章习题。
研究生矩阵理论及其应用课后答案——黄有度
研究生矩阵理论课后答案——黄有度版习题一1．检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域的线性空间： （1）设A 是n 阶实数矩阵.A 的实系数多项式()f A 的全体，对于矩阵的加法和数乘；（2）平面上不平行于某一向量所组成的集合，对于向量的加法和数与向量的乘法；（3）全体实数的二元数列，对于如下定义的加法⊕和数乘运算：),,(),(),(ac d b c a d c b a +++=⊕)2)1(,(),(2a k k kb ka b a k -+= （4）设R +是一切正实数集合，定义如下加法和数乘运算：,k a b ab k a a ⊕==其中,,a b R k R +∈∈；（5）二阶常系数非齐次线性微分方程的解的集合，对于通常函数的加法和数乘；（6）设{}12sin sin 2sin ,,02k i V x x c t c t c kt c R t π==+++∈≤≤，V 中元素对于通常的加法与数乘，并证明：{}sin ,sin 2,,sin t t kt 是V 的一个基，试确定i c 的方法.● 解 （1）是.● 令{}矩阵为是实系数多项式，n n x f f V ⨯=A A )()(1.由矩阵的加法和数乘运算知,●),()(),()()(A A A A A d kf h g f ==+● 其中k 为实数，)(),(),(x d x h x f 是实系数多项式.1V 中含有A 的零多项式，为1V 的零元素.)(A f 有负元1)(V f ∈-A .由于矩阵加法与数乘运算满足其它各条，故1V 关于矩阵加法与数乘运算构成实数域上的线性空间.● （2）否.例如以那个已知向量为对角线的任意平行四边形的两个邻边向量，它们的和不属于这个集合，因此此集合对向量的加法不封闭.（3）是. 封闭性显然成立.下面证明此集合满足线性空间的八个要求.任取该集合中的三个元素，设为),(),,(),,(g f d c b a ===γβα,以及任意实数l k ,,则有① αββα+=+++=⊕),(ac d b c a ; ② γγβα⊕+++=⊕⊕),()(ac d b c a))()(,)((f c a g ac d b f c a +++++++=))()(),((f c a cf g d b f c a +++++++= )(),(γβαα⊕⊕=+++⊕=cf f d f c ;③存在(0,0),使得),()00,0()0,0(),(b a a b a b a =+++=⊕,即(0,0)为零元;④存在),(2b a a --,使得)0,0())()(,(),(),(22=-+-+-=--⊕a a b a b a a b a a b a ,即),(2b a a --是),(b a 的负元;⑤),()2)11(11,1(),(12b a a b a b a =-+= ⑥)2)1(,()),(()(2a l l lb la k b a l k l k -+== α))(2)1()2)1((),((22la k k a l l lb k la k -+-+=α )(),()()2)1()(,(2kl b a kl a kl kl b kl kla ==-+=;⑦)2)1))((()(,)((),()()(2a l k l kb l k a l k b a l k l k -+++++=+=+ α )))(()2)1(()2)1((,(22la ka a l l lb a k k kb la ka +-++-++=)2)1(,()2)1(,(22a l l lb la a k k kb ka -+⊕-+= αα l k b a l b a k ++=+=),(),(;⑧),()(ac d b c a k k +++=⊕ βα))(2)1()(),((2c a k k ac d b k b a k +-++++= )))(()2)1(()2)1((,(22kc ka c k k kd a k k kb kb ka +-++-++=)2)1(,()2)1(,(22c k k kd kc a k k kb ka -+⊕-+=)()(βα k k ⊕=.（4）是.对任意a ，b ∈R +，有+∈=⊕R ab b a ；又对任意R k ∈和+∈R a ，有+∈=R a a k k ，即R +对所定义的加法与数乘运算封闭。
工程数学第二章矩阵课件
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例 6 若 A 为 n 阶方阵， k 为实数，则 kA kn A .
证 由于 A 为 n 阶方阵， k 为实数，根据数与矩阵乘法的定义知， kA 是将 A 的 每个元素都乘以 k ，在求 kA 时，根据行列式性质的单行可提性，每一行提出一个 k ， 所以 kA kn A .
例1
已知
a
3
b
a
3
b
c
7
d
2c d 3
，求
a,b,c, d
．
解 根据题意，得
a b 7,
2c d 3,
cd
3,
a b 3
故 a 5,b 2,c 2, d 1 .
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例2 设
A
1 3
2 4
，
B
0 1
2 1
，
试求：（1） A 与 B 是否相等？（2） A , B .
；
0
0
A
0
0 0
0 0
0 2 1 0 4 2
0
3
2
5
1
3
10 2 5
4
1
.
0 A 称为 A 的负矩阵，记为 A，其中 A与 A 的每个对应元素都互为相反数．
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矩阵加法具有如下性质：
假设 A, B,C, 0 均为 m n 矩阵，则 （1） A B B A（交换律）； （2） (A B) C A (B C) （结合律）； （3） A 0 0 A A； （4） A (A) 0 .
5
3
7 5
4 2