2012-2013学年广东省东莞市高二下学期期末考试数学理试题(A卷)
1 + 3i （ i 是虚数单位） ，则 z 的模 z = 1 − 2i
.
12. 若根据儿童的年龄 x（岁）和体重 y（kg） ，得到利用年龄预报体重的线性回归方程
ˆ = 3x + 5 .现已知 5 名儿童的年龄分别是 3，4，5，6，7，则这 5 名儿童的平均体 是y
重大约是 13. 由曲线 y = （kg).
2. 函数 f ( x) 的定义域为开区间（a，b）,导函数 f ′( x) 在（a，b）内的图像如图 所示， 则函数 f ( x) 在开区间 （a， b） 内的极值点是 （ ）
A. x1 ， x3 ， x5 C. x1 ， x5
2
B. x2 ， x3 ， x4 D. x2 ， x4
的随机变量在区间 （ µ −σ , µ +σ ） ， （ µ − 2σ , µ + 2σ ） ， 3. 已知服从正态分布 N （ µ ,σ ） 和（ µ − 3σ , µ + 3σ ）内取值的概率分别为 68.3%，95.4%，和 99.7%.某校为高一年级 1000 名新生每人定制一套校服，经统计，学生的身高（单位：cm）服从正态分布（165， 2 5） ，则适合身高在 155~175cm 范围内的校服大约要定制（ ） A. 683 套 B. 954 套 C. 972 套 D. 997 套 4. 用数学归纳法证明 1 + a + a + L + a
图甲 图乙 三、解答题： （本大题共 6 小题，共 80 分） 15.（本小题满分 12 分） 已知复数 z = bi ( b ∈ R ), （1）求复数 z； （2）若复数 (m + z ) 所表示的点在第一象限，求实数 m 的取值范围.
2
z−2 是实数， i 是虚数单位. 1+ i
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B.
1 4
C.
1 3
D.
1 2
8. 从 n( n ∈ N ,且 n≥2)人中选两人排 A，B 两个位置，若其中 A 位置不排甲的排法数为 25，则 n=( ) A. 3 B. 4 C. 5 9. 已知某一随机变量 X 的概率分布如下，且 E（X）=6.9，则 a 的值为 X P 4 m a 0.2 9 0.5 D. 6 ( )
东莞市 2012-2013 学年度第二学期教学质量检查 高二理科数学（A 卷）
一、选择题:(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分) 1. 已知 a − ai = b + i ，其中 i 为虚数单位， a, b 为实数，则 a + b = （ A. -2 B. -1 C. 0 D. 2 ）
n(ad − bc) 2 ，其中 n = a + b + c + d . 参考公式及数据： K = (a + b)(c + d )(a + c)(b + d )
2K2≥k0 k00.50 0.4550.40 0.708
0.25 1.323
0.15 2.072
0.10 2.706
0.05 3.841
0.025 5.024
A. 45 B. 90 C. 135 6. 曲线 y=2sinx 在点 P（π，0）处的切线方程为 （ A. y = −2 x + 2π B. y = 0
C. y = −2 x − 2π
7. 投掷一枚骰子，若事件 A={点数小于 5}，事件 B={点数大于 2}，则 P（B|A）= （ A.
1 5
*
16.（本题满分 12 分） 在对某校高一学生体育选修项目的一次调查中，共调查了 160 人，其中女生 85 人，男 生 75 人.女生中有 60 人选修排球，其余的人选修篮球；男生中有 20 人选修排球，其余 的人选修篮球.（每人必须选一项，且只能选一项） （1）根据以上数据建立一个 2×2 的列联表； （2）能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为性别与体育选修项目有关？
0.010 6.635
0.005 7.879
0.001 10.828
17.（本小题满分 14 分） 已知函数 f ( x) =
1 3 x − ax 2 + (a 2 − 1) x + b （ a, b ∈ R ） ，其图像在点（1， f (1) ） 3
处的切线方程为 x + y − 3 = 0 . （1）求 a , b 的值； （2）求函数 f ( x ) 的单调区间和极值； （3）求函数 f ( x) 在区间[-2,5]上的最大值.
2 n+ 2
=
1 − a n +3 （ a ≠ 1, n ∈ N * ） ，在验证当 n=1 时， 1− a
C. 1+a+a2 ） D. 270 ） D. y = 2 x + 2π ） D. 1+a+a2+a3
等式左边应为 A. 1
B. 1+a
2 4 6 5. ( x + 3 y ) 的二项展开式中， x y 项的系数是（
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18. 根据以往资料统计， 大学生购买某品牌平板电脑时计划采用分期付款的期数 ζ 的分布列 为 ζ
P
1 0.4
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A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
10. 函数 f ( x) 的定义域为 R， f ( −2) = 2013 ，对任意 x ∈ R ，都有 f ′( x ) ＜ 2 x 成立，则不 A. （-2，2） B. （-2，+ ∞ ） C. （- ∞ ，-2） 二、填空题： （本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 11. 若复数 z = 等式 f ( x ) f x 2 + 2009 的解集为 （ ） D. （- ∞ ，+ ∞ ）
1 1 和直线 x = ， x = 3 及 x 轴所围图形的面积为 x 3
.
14. 电脑系统中有个“扫雷”游戏，要求游戏者标出所有的雷，游戏规则是:一个方块下面 有一个雷或没有雷，如果无雷，掀开方块下面就会标有数字（如果数字是 0，常省略不 标） ，此数字表明它周围的方块中雷的个数（至多八个） ，如图甲中的“3”表示它的周围 八个方块中有且仅有 3 个雷.图乙是张三玩的游戏中的局部，根据图乙中信息，上方第一 ， 行左起七个方块中 （方块上标有字母） ， 能够确定下面一定没有雷的方块有 .（请填入所有选定方块上的字母） 下面一定有雷的方块有
广东省东莞市数学高二下学期理数期末考试试卷
广东省东莞市数学高二下学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高三上·清远期末) 设集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高二上·长安期末) 设复数满足，则 =（）A .B .C .D . 23. （2分）(2020·银川模拟) 已知角的终边经过点，则（）A .B .C .D .4. （2分）(2018·河北模拟) 已知偶函数在区间上单调递增，且，，，则满足（）A .B .C .D .5. （2分）如果执行右边的程序框图，那么输出的S= （）A . 2450B . 2500C . 2550D . 26526. （2分）已知是所在平面内一点，，现将一粒黄豆随机撒在内，则黄豆落在内的概率是（）A .B .C .D .7. （2分） (2019高三上·临沂期中) 已知定义在R上的函数满足为偶函数，若在内单调递减．则下面结论正确的是（）A .B .C .D .8. （2分） (2018高三上·大连期末) 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球半径为（）A . 1B .C .D .9. （2分）某舞步每一节共六步，其中动作A两步，动作B两步，动作C两步，同一种动作不一定相邻，则这种舞步一共有多少种不同的变化（）A . 180种B . 120种C . 90种D . 80种10. （2分）(2017·枣庄模拟) 《九章算术》是我国数学史上堪与欧几里得《几何原本》相媲美的数学名著．其中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖膈．已知直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥BC，AB=3，，将直三棱柱沿一条棱和两个面的对角线分割为一个阳马和一个鳖膈，则鳖膈的体积与其外接球的体积之比为（）A .B .C .D .11. （2分） (2017高二上·枣强期末) 如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2AD，设∠DAB=θ，θ∈（0，），以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1 ，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2 ，则（）A . 随着角度θ的增大，e1增大，e1e2为定值B . 随着角度θ的增大，e1减小，e1e2为定值C . 随着角度θ的增大，e1增大，e1e2也增大D . 随着角度θ的增大，e1减小，e1e2也减小12. （2分） (2016高二下·故城期中) 函数f（x）=ax3﹣3x+1 对于x∈[﹣1，1]总有f（x）≥0成立，则a 的取值范围为（）A . [2，+∞）B . [4，+∞）C . {4}D . [2，4]二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·桂林模拟) 已知向量，的夹角为120°，且| |=2，| +2 |=2 ，则| |=________．14. （1分）(2018·保定模拟) 的展开式中的系数是5，则 ________15. （1分） (2016高一下·随州期末) 设不等式组表示的平面区域为M，若函数y=k（x+1）+1的图象经过区域M，则实数k的取值范围是________．16. （1分）(2018·保定模拟) 已知分别为的三个内角的对边，，且，则 ________三、解答题 (共7题；共55分)17. （10分） (2018高二上·深圳期中) 已知数列满足（，），且，．（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的前项和．18. （10分） (2020·潍坊模拟) 如图，在四棱锥P-ABCD中，，平面PAB，，点E满足 .（1）证明：；（2）求二面角A-PD-E的余弦值.19. （10分）(2018·宝鸡模拟) 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出一个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获得一等奖；若只有1个红球，则获得二等奖；若没有红球，则不获奖.（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中或一等奖的次数为，求的分布列、数学期望和方差.20. （5分） (2017高二下·嘉兴期末) 已知椭圆的离心率为，且它的一个焦点的坐标为 .（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设过焦点的直线与椭圆相交于两点，是椭圆上不同于的动点，试求的面积的最大值.21. （5分）(2018·南宁模拟) 已知函数，其中（Ⅰ）若，且当时，总成立，求实数的取值范围；（Ⅱ）若，，，若存在两个极值点，，求证：22. （5分） (2017高一下·西安期中) 已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）当，求f（x）的值域．23. （10分） (2016高三上·绍兴期末) 已知函数f（x）=x2﹣ax﹣4（a∈R）的两个零点为x1 ， x2 ，设x1＜x2 ．（1）当a＞0时，证明：﹣2＜x1＜0；（2）若函数g（x）=x2﹣|f（x）|在区间（﹣∞，﹣2）和（2，+∞）上均单调递增，求a的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共55分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、21-1、22-1、23-1、23-2、。
广东省东莞中学2012-2013学年高二数学下学期期末考试试题 文(无答案)新人教A版
东莞中学2012-2013学年度第二学期高二期末考试文科数学一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的）1. 设全集U=R ，A=｛x|x(x+3)＜0｝，B=｛x|x ＜-1},则下图中阴影部分表示的集合为（ ）A. {x|-3＜x ＜-1}B. {x|-3＜x ＜0｝C. {x|x ＞0｝D. {x|x ＜-1｝2. 方程322=+-x x 的实数解的个数为（ ）A. 2B. 3C. 1D. 43. 已知函数b a x f x +=)(，其中2)0(-=f ，0)2(=f ，则)3(f =（ ） A. 222- B. 393- C. 333- D. 333-或333--4. 函数93)(23--+=x x x x f ,已知)(x f 的两个极值点为1x ，2x ，则21x x ⋅=（ ）A. -1B. -9C. 1D. 95. 已知R b a ∈,，则“b a 33log log φ”是“b a )21()21(φ”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 函数xx x f 2ln )(-=的零点所在的大致区间是（ ） A. （1，2） B. （2，e ） C. （e ，3） D. （e ，+∞）7. 若直线⎩⎨⎧+=-=t y t x 3221（t 为参数）与直线14=+ky x 垂直，则常数k=（ ） A. 38 B. -6 C. 6 D. -38 8. 函数x e x x f )3()(-=的单调递增区间是（ ）A. （-∞，2）B. （0，3）C. （1，4）D. （2，+∞）9. 函数)(x f 在定义域R 内可导，若)2()(x f x f -=，且)()1(x f x '-＜0，若)0(f a =，)21(f b =，)3(f c =，则a ,b ,c 的大小关系是（ ） A. a ＞b ＞c B. c ＞b ＞a C. b ＞a ＞c D. a ＞c＞b10. 已知定义在R 上的函数)(x f 是奇函数，且满足0)(2)2(=-++x f x f ；给出下列结论：①0)2(=f ②)(2)2(x f x f =+③)(4)4(x f x f =+④)(6)6(x f x f =+其中正确的结论的个数是（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1二、填空题：（本大题共4小题,每小题5分，共20分）11. 命题p ：R x ∈∀，m x f ≥)(，则命题p 的否定p ⌝是 12.如图所示，在四边形ABCD 中，EF ∥BC ，FG ∥AD ，则=+ADFG BC EF 13. 如图：EB 、EC 是⊙O 的两条切线，B 、C 是切点，A 、D 是⊙O 上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°，则∠A 的度数是 度．14. 我们知道：两个互为反函数的函数xy 2=与x y 2log =的图象关于直线y=x 成轴对称，利这一性质，若1x 和2x 分别是2x +x+a=0和log 2x+x+a=0的两根，则x 1+x 2的值为直线y=x与直线y=-x-a 的交点的横坐标的2倍，即x 1+x 2=-a ； 由函数y=x 3与函数3x y =互为反函数，我们可以得出：若方程x 3+x-3=0的根为x 1，方程（x-3）3+x=0的根为x 2，则x 1+x 2= .三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. （本题满分12分） 已知直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 232213（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为ρ=4.（1）将曲线C 的极坐标方程化为普通方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求线段AB 的长.16. 已知命题p ：关于x 的方程x 2+mx+1=0有两个不等的负数根；命题q ：关于x 的方程4x 2+4（m-2）x+1=0无实数根．如果命题p 和q 有且仅有一个正确，求实数m 的取值范围．17. 商场现有某商品1320件，每件成本110元，如果每件售价200元，每天可销售40件．节日期间，商场决定降价促销，根据市场信息，单价每降低3元，每天可多销售2件．（1）每件售价多少元，商场销售这一商品每天的利润最大？（2）如果商场决定在节日期间15天内售完，在不亏本的前提下，每件售价多少元，商场销售这一商品每天的销售额最大？18. 已知函数ab a x b ax x f ---+=)8()(2(0≠a )，当x∈（-3，2）时，f （x ）＞0； 当x∈（-∞，-3）∪（2，+∞）时，f （x ）＜0（1）求f （x ）在[0，1]上的值域；（2）c 为何值时，不等式02≤++c bx ax 在[1,4]上恒成立．19. 已知函数xa x x f +=2)(（x ≠0，常数a ∈R)． （1）讨论函数f （x ）的奇偶性，并说明理由．（2）若函数)(x f 在),2[+∞∈x 上为增函数，求a 的取值范围.20. 已知函数x x a x f 22)(-=，将)(x f y =的图像向右平移两个单位，得到)(x g y =的图像.（1）求函数)(x g y =的解析式；（2）若函数)(x h y =与函数)(x g y =的图像关于直线1=y 对称，求函数)(x h y =的解析式；（3）设)()(1)(x h x f ax F +=，设)(x F 的最小值为m . 是否存在实数a ，使72+φm ，若存在，求出a 的取值范围，若不存在，说明理由.。
东莞市2012—2013学年度第一学期期末教学质量检查理科数学A卷
2012—2013学年度第一学期期末教学质量检查高二理科数学（A 卷）考生注意：本卷共三大题，20小题，满分150分，时间120分钟.不准使用计算器.一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确. 请用2B 铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑．） 1．命题“存在0x R ∈，使得030x<”的否定是A ．不存在0x R ∈，使得30x ≥B ．存在0x R ∈，使得030x≥ C ．对任意的x R ∈，都有30x< D ．对任意的x R ∈，都有30x≥ 2．在数列{}n a 中，11a =，12n n a a +=()n N *∈，则5a = A. 8 B. 12 C. 16 D. 32 3．空间向量)2,1,1(=，)2,1,1(-=，则OA 与OB 的夹角为 A.30 B.60 C.90 D.1204．在等比数列{}n a 中，前三项分别为21,,q q ，若将第二项加上2后构成等差数列，则q =A ．3B ．1-C ．3或1-D ． 25．已知21F F 、为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于B A 、两点. 若1222=+B F A F ，则AB =A ．20B ．8C ．6D ．26．在ABC ∆中，若sin :sin :sin 3:2:4A B C =，则cos C 的值为A ．23 B ．－23 C ．14 D ．－147．若b a ,为实数，则 “10<<ab ”是“ab 1<”的 A. 既不充分也不必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 充要条件8．设双曲线的焦点在y 轴上，两条渐近线的方程为2y x =±，则该双曲线的离心率=eA ．2 B ．2 C ．2D9．给出平面区域如右图的阴影部分，其中A （1，1），B （2，5）， C （4，3），若使目标函数)0(>-=a y ax z 取得最小值的最 优解有无穷多个，则a 的值是A ．23B ．4C ．1D ．1-10．数列{}n a 中，已知11=a ，121+=+n nn a a a ，记数列}{1+⋅n n a a 的前n 项和为n S ，若n S a <对任意*N n ∈恒成立，则实数a 的最小值为A ．21 B ．32 C ．1 D ．34二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡中相应的位置上．）11．已知向量)4()3 12(y x b a ，，，，，-=-=，若//a b ，则=+y x ▲ ． 12．在ABC ∆中，53cos 53-===A AC AB ，，，则ABC ∆的面积等于 ▲ ． 13．过点)1,1(P 的直线l 与椭圆13422=+y x 交于B A 、两点，且点P 平分弦AB ，则直线l 的方程 是 ▲ ．14．已知等差数列{}n a 的公差1≤d ，且前5项和515S ≤，则5a 的最大值为 ▲ ． 三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分12分）已知命题0,2>++∈∀m mx x R x p ：恒成立，命题：q 双曲线122=-mx y 的离心率的范围为 )2,3(．若q p ∨⌝ 是假命题，求实数m 的范围．在ABC ∆中，已知︒=∠120A ，1AB =，2BC AC =． （1）求B ∠的大小； （2）求AC 的长．17．（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为a 的正方形，⊥PD 平面ABCD ，PD AD =， 点E 在棱PB 上，且13BE BP =. （1）求证：平面⊥ACE 平面PDB ；（2）求AE 与平面PDB 所成角θ的大小；（3）若点F 在棱PB 上，且DF ∥平面ACE ，求PF 的长.PABCDE（第17题图）如图，一变压器的铁芯截面为正十字型(其中ABCD 为正方形， 其余四个是全等的矩形)，为保证所需的磁通量，要求正十字型 区域的面积为254cm ，设正方形ABCD 的边长AB 为x cm 、 正十字型的高FG 为y cm ．（1）求出y 关于x 的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）试探究，应该怎样设计正十字型才能使绕在铁芯上的铜线最节省（即正十字型的外接圆的周长最短），并求出此时x 与y 的值．ABCD（第18题图）GHEF已知平面内一动点()()0≥y y x P ，到定点(0,2)F 的距离与到x 轴的距离的差等于2． （1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）设()00,A x y 为轨迹E 上的点，过点A 作两条斜率互为相反数的直线分别与轨迹E 交于点C B 、（C B 、是不重合的两点）；点D 是点A 关于轨迹E 的对称轴对称的点，过点D 作斜率为k 的直线L ，且直线L 与轨迹E 只有一个公共点，证明：直线BC 与直线L 平行．20．（本小题满分14分）已知))(2(log *)1(N n n a n n ∈+=+，我们把使乘积123 n a a a a ⋅⋅⋅⋅为整数的数n 叫做“回数”， 这些“回数”构成的数列记为{}m b )(*N m ∈． （1）求数列{}m b 的通项公式；（2）求区间()1 2012，内的所有“回数”的和； （3）证明：121111mb b b +++<．2012—2013学年度第一学期期末教学质量检查 高二理科数学(A 卷)参考答案及评分标准一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 11. 4- 12. 6 13. 0743=-+y x 14. 5 三、解答题（本大题共6小题，共80分．） 15．（本小题满分12分）已知命题0,2>++∈∀m mx x R x p ：恒成立，命题：q 双曲线122=-mx y 的离心率的范围为 )2,3(．若q p ∨⌝ 是假命题，求实数m 的范围．解：若p 为真，则有042<-=∆m m ， …………2分 所以40<<m ． …………3分 若q 为真，则有41132<+=<me ， …………5分 所以32<<m ． …………6分 因为q p ∨⌝ 为假命题，所以p ⌝和q 都为假命题，即p 真q 假， …………7分 由此有⎩⎨⎧≥≤<<.32,40m m m 或 …………10分解得4320<≤≤<m m 或，所以m 的取值范围是(][)4 32 0，，． …………12分16．（本小题满分12分）在ABC ∆中，已知︒=∠120A ，1AB =，BC AC =． （1）求B ∠的大小； （2）求AC 的长．解：（1）在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin AC AB BC⋅∠∠=…………1分2==．…………3分又因为︒=∠120A，即018012060B︒<∠<︒-︒=︒，………… 4分所以45B∠=︒．…………6分（2）在ABC∆中，由余弦定理得2222cosBC AB AC AB AC A=+-⋅⋅∠，…………7分即2212cos1202AC AC AC⎛⎫=+-⋅⋅︒⎪⎪⎝⎭，…………9分解得1AC=，或1AC=（舍），…………11分所以AC1．…………12分17．（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD-的底面ABCD是边长为a正方形，⊥PD平面ABCD，PD AD=，点E在棱PB上，且13BE BP=.（1）求证：平面⊥ACE平面PDB；（2）求AE与平面PDB所成角θ的大小；（3）若点F在棱PB上，且DF∥平面ACE，求PF的长.证明：（1）如图，以D为原点，分别以DA、DC、DP为X轴、Y轴、Z轴，建立空间直角坐标系D xyz-，则(0,0,0),(,0,0),(,,0),(0,,0),(0,0,)D A a B a a C a P a，(,,0)AC a a=-，(0,0,)DP a=，(,,0)DB a a=，)0,,0(aAB=,),,(aaaBP--=, …………3分所以0,0AC DP AC DB⋅=⋅=，即DPAC⊥，DBAC⊥,又因为DP DB D=，所以⊥AC平面PDB.又因为⊂AC平面ACE，所以平面⊥ACE平面PDB.…………5分解：（2）由（1）知，⊥AC平面PDB，所以平面PDB的法向量是(),,0AC a a=-，PA BCDE（第17题图）又1121,,3333AE AB BE AB BP a a a ⎛⎫=+=+=- ⎪⎝⎭，…………6分所以2sin 2AC AE AC AEθ⋅===⋅ …………8分 因为]2,0[πθ∈，所以3πθ=，即AE 与平面PDB 所成角θ的大小为3π. …………9分 （3）设(,,)F x y z ，因为点F 在棱PB 上，故可令()01BF BP λλ=≤≤， 所以()()(),,,,,,x a y a z a a a a a a λλλλ--=--=--，所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=--=-,,,a z a a y a a x λλλ即⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=,,)1(,)1(a z a y a x λλλ所以),)1(,)1((a a a λλλ--=. …………11分 设平ACE 面的法向量()000,,m x y z =，由000000121333m AC ax ay m AE ax ay az ⎧∙=-+=⎪⎨∙=-++=⎪⎩，并令01x =，可得()1,1,1m =-.………12分 因为DF ∥平ACE 面，所以()()110m DF a a a λλλ∙=-+--=，解得32=λ, …………13分 所以||31||32||||||||=-=-=a a a a 33)()()(31222=+-+-=. …………14分18．（本小题满分14分）如图，一变压器的铁芯截面为正十字型(其中ABCD 为正方形， 其余四个是全等的矩形)，为保证所需的磁通量，要求正十字型 区域的面积为254cm ，设正方形ABCD 的边长AB 为x cm 、 正十字型的高FG 为y cm ．（1）请求出y 关于x 的函数解析式，并指出函数的定义域；ABCD（第18题图）GHEF（2）试探究，应该怎样设计正十字型才能使绕在铁芯上的铜线最节省（即正十字型的外接圆的周长最短），并求出此时x 与y 的值． 解：（1）设h GD =，则h x y 2+=，由条件知：5442=+xh x ，即xx h 4542-=． …………2分 由⎩⎨⎧>>,0,0h x 得4520<<x ， …………4分所以，y x ==，(0,x ∈ …………6分 （2）设外接圆的圆心为O （显然为正方形ABCD 的中心），半径为R ，外接圆的周长最短即R 取最小． …………7分由图知，222)2()2(y x R += …………8分222)454(4xx x ++= 22516525xx ++=…………10分≥=…………12分 当且仅当225165x x =，即2=x 时，等号成立，此时152542+=+=xx y ， ………13分 所以，当)(2cm x =，)(15cm y +=时，R 最小，从而外接圆的周长最短，即绕在铁芯上 的铜线最节省． …………14分19．(本小题满分14分)已知平面内一动点()()0≥y y x P ，到定点(0,2)F 的距离与到x 轴的距离的差等于2． （1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）设()00,A x y 为轨迹E 上的点，过点A 作两条斜率互为相反数的直线分别与轨迹E 交于点C B ，；点D 是点A 关于轨迹E 的对称轴对称的点，过点D 作斜率为k 的直线L ，且直线L 与轨迹E 只有一个公共点，证明：直线BC 与直线L 平行．ABCD（第18题图）GHEFO解：（1）点()y x P ，到点(0,2)F 的距离为22)2(||-+=y x PF ，点()y x P ，到x 轴的距离为y ， …………1分由题意，2)2(22+=-+y y x ，即()()22222x y y +-=+， …………2分化简得：28x y =， …………3分故动点P 的轨迹E 的方程为28x y =． …………4分（2）根据题意，()00,y x A 为y x 82=上点，则8200xy =，又C B ，在轨迹E 上，可设，，⎪⎪⎭⎫⎝⎛8211x x B ，，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛8222x x C 则 88801012021x x x x x x k AB+=--=，8880202222x x x x x x k AC+=--=． …………6分 因为AC AB k k -=，所以0212x x x -=+所以4888012122122x x x x x xx k BC-=+=--=． …………8分 又由点D 是点A 关于E 的对称轴对称的点，知⎪⎪⎭⎫⎝⎛-8,20x x D ，则直线L 的方程为： ()0208x x k x y +=-，代入y x 82=得0882002=---x kx kx x ， …………10分因为直线L 与轨迹E 只有一个公共点，由()()0848202=----=∆x kx k ，解得4x k -=． …………11分 所以L BC k k =，即直线BC 与直线L 平行或重合． …………12分 如果直线BC 与直线L 重合，则点D 在直线BC 上，而直线BC 的方程为()102148x x x x y --=-，所以有()1002120488x x x xx ---=-，从而01x x -=． ……13分又因为0212x x x -=+，所以21x x =，这与C B ，是不重合的两点矛盾，所以直线BC 与 直线L 平行． …………14分20．（本小题满分14分）已知))(2(log )1(++∈+=N n n a n n ，我们把使乘积123 n a a a a ⋅⋅⋅⋅为整数的数n 叫做“回数”， 这些“回数”构成的数列记为{}()m b m N +∈． （1）求数列{}m b 的通项公式；（2）求区间()1 2012，内的所有“回数”的和； （3）证明：121111mb b b +++<． 解：（1）因为))(2(log )1(++∈+=N n n a n n ，所以)2(log 5log 4log 3log )1(432321+⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅+n a a a a n n)2(log 2+=n ． …………1分 要使123n a a a a ⋅⋅⋅⋅为整数，则有)2(log 2+n 为整数，不妨设)()2(log 2Z k k n ∈=+，即22kn =-． …………2分由于n N +∈，所以2k ≥，故21222b =-=，3222b =-，…，122m m b +=-．……4分所以数列{}m b 的通项公式为122m m b +=-)(+∈N m ． …………5分（2）由2012m b <，得1222012m +-<，所以122014m +<，而111022048201410242=<<=，则101≤+m ，即9m ≤， …………7分 所以区间()1 2012，内的所有“回数”的和为：=++++9321b b b b ()2310922229421182026+++-⨯=⨯--=． …………9分证明：（3）证法一 由（1）知341123111111112222222m m b b b b +++++=++++---． …………10分因为222122212211-+=-⋅=-+m m m m ，当2≥m 时，22>m，所以m m m 212221<-+，即mm 212211<-+． …………11分所以32431111111222222222m m+<<<---，，，， …………12分 即23123111111111122222m m m b b b b ++++<++++=-． …………13分 又102m>，所以1112m -<，即121111mb b b +++<． …………14分 证法二由（1）知341123111111112222222m m b b b b +++++=++++---． …………10分因为()()11111122222222222222m m m m m m m m m ++++-+--==---，当2≥m 时，()1220222mm m +-<-，即111222m m +<-， …………11分 所以32431111111222222222m m+<<<---，，，， …………12分 即23123111111111122222m m m b b b b ++++<++++=-． …………13分 又102m>，所以1112m -<，即121111mb b b +++<． …………14分。
广东省东莞市高二数学下学期期末试卷a理(含解析)
广东省东莞市高二数学下学期期末试卷a理（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请把正确选择支号在答题卡中的相应位置涂黑．1．复数z=i2+i的实部与虚部分别是（）A．﹣1，1 B．1，﹣1 C．1，1 D．﹣1，﹣12．对具有线性相关关系的两个变量y与x进行回归分析，得到一组样本数据（x1，y1），（x2，y2）…（x n，y n），则下列说法中不正确的是（）A．若最小二乘法原理下得到的回归直线方程=0.52x+，则y与x具有正相关关系B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C．在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适D．用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小说明拟合效果越好3．向量的运算常常与实数运算进行类比，下列类比推理中结论正确的是（）A．“若ac=bc（c≠0），则a=b”类比推出“若•=•（≠），则=”B．“在实数中有（a+b）c=ac+bc”类比推出“在向量中（+）•=•+•”C．“在实数中有（ab）c=a（bc）”类比推出“在向量中（•）•=•（•）”D．“若ab=0，则a=0或b=0”类比推出“若•=0，则=或=”4．用反证法证明命题：“已知a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x2+ax+b=0没有实根B．方程x2+ax+b=0至多有一个实根C．方程x2+ax+b=0至多有两个实根D．方程x2+ax+b=0恰好有两个实根5．已知随机变量ξ服从正态分布N（5，9），若p（ξ＞c+2）=p（ξ＜c﹣2），则c的值为（）A．4 B．5 C．6 D．76．已知具有线性相关关系的变量y与x之间的一组数据：x 1 2 3 4 5y 2 4 6 8 5若由最小二乘法原理得到回归方程=x+0.5；可估计当x=6时y的值为（）A．7.5 B．8.5 C．9.5 D．10.57．若弹簧所受的力x＞1与伸缩的距离按胡克定律F=kl（k为弹性系数）计算，且10N的压力能使弹簧压缩10cm；为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置8cm处，则克服弹力所做的功为（）A．0.28J B．0.12J C．0.26J D．0.32J8．若（3x+）n（n∈N*）的展开式中各项系数的和为P，所有二项式系数的和为S，若P+S=272，则函数f（x）=（3x+）n在（0，+∞）上的最小值为（）A．144 B．256 C．24D．649．若3位老师和3 个学生随机站成一排照相，则任何两个学生都互不相邻的概率为（）A．B．C．D．10．经检测有一批产品合格率为，现从这批产品中任取10件，设取得合格产品的件数为ξ，则P（ξ=k）取得最大值时k的值为（）A．6 B．7 C．8 D．911．已知函数f（x）=在点（1，2）处的切线与f（x）的图象有三个公共点，则b的取值范围是（）A．[﹣8，﹣4+2） B．（﹣4﹣2，﹣4+2）C．（﹣4+2，8] D．（﹣4﹣2，﹣8]12．设函数f（x）=﹣ax+a，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）＞1，则a的取值范围是（）A．（1，2] B．（1，] C．（1，] D．（1，2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡中相应的位置上．13．用0，2，4，8这四个数字能组成_______个没有重复数字的四位数．14．已知函数f（x）=3x﹣x3，当x=a时f（x）取得极大值为b，则a﹣b的值为_______．15．设f（x）=，若f（f（1））=8则（x2﹣）m+4展开式中常数项为_______．16．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1，3，6，10，…记为数列{a n}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n}，可以推测：（1）b5=_______；（2）b2n﹣1=_______．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．复数z=（1﹣i）a2﹣3a+2+i（a∈R），（1）若z=，求|z|；（2）若在复平面内复数z对应的点在第一象限，求a的范围．18．某市教育局委托调查机构对本市中小学使用“微课掌上通”满意度情况进行调查．随机选择小学和中学各50所学校进行调查，调查情况如表：评分等级☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆小学 2 7 9 20 12中学x y 18 12 8（备注：“☆”表示评分等级的星级，如“☆☆☆”表示3星级．）（1）从评分等级为1星级的学校中随机选取两所学校，恰有一所学校是中学的概率为，求整数x，y的值；（2）规定：评分等级在4星级及以上（含4星级）为满意，其它星级为不满意．完成下列2×2列联表并帮助教育局判断：能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为使用“微课掌上通”满意度与学校类型有关系？学校类型满意不满意总计小学50中学50总计100注意：请将答案填入答题卡中的表格．19．“莞马”活动中的α机器人一度成为新闻热点，为检测其质量，从一生产流水线上抽取20件该产品，其中合格产品有15件，不合格的产品有5件．（1）现从这20件产品中任意抽取2件，记不合格的产品数为X，求X的分布列及数学期望；（2）用频率估计概率，现从流水线中任意抽取三个机器人，记ξ为合格机器人与不合格机器人的件数差的绝对值，求ξ的分布列及数学期望．20．已知f（x）=lnx+ax2﹣ax+5，a∈R．（1）若函数f（x）在x=1处有极值，求实数a的值；（2）若函数f（x）在区间（0，+∞）内单调递增，求实数a的取值范围．21．已知f（x）=ln（x+1）﹣（a∈R）．（1）求证：a≤1且x≥0时，f（x）≥0恒成立；（2）设正项数列{a n}满足a1=1，a n=ln（a n﹣1+1）（n≥2），求证：≤a n≤（n∈N*）．22．设f（x）=e x﹣ax2，g（x）=kx+1（a∈R，k∈R），e为自然对数的底数．（1）若a=1时，直线y=g（x）与曲线y=f′（x）相切（f′（x）为f（x）的导函数），求k的值；（2）设h（x）=f（x）﹣g（x），若h（1）=0，且函数h（x）在（0，1）内有零点，求a 的取值范围．2015-2016学年广东省东莞市高二（下）期末数学试卷（理科）（A卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请把正确选择支号在答题卡中的相应位置涂黑．1．复数z=i2+i的实部与虚部分别是（）A．﹣1，1 B．1，﹣1 C．1，1 D．﹣1，﹣1【考点】复数的基本概念．【分析】利用复数的幂运算以及复数的基本概念求解即可．【解答】解：复数z=i2+i=﹣1+i．复数的实部与虚部分别是：﹣1；1．故选：A．2．对具有线性相关关系的两个变量y与x进行回归分析，得到一组样本数据（x1，y1），（x2，y2）…（x n，y n），则下列说法中不正确的是（）A．若最小二乘法原理下得到的回归直线方程=0.52x+，则y与x具有正相关关系B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C．在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适D．用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小说明拟合效果越好【考点】线性回归方程．【分析】可以用来衡量模拟效果好坏的几个量分别是相关指数，残差平方和和相关系数，只有残差平方和越小越好，其他的都是越大越好．【解答】解：若最小二乘法原理下得到的回归直线方程=0.52x+，b=0.52＞0，则y与x 具有正相关关系，正确；残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，正确；可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．故正确；相关指数R2取值越大，说明残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故不正确．故选：D．3．向量的运算常常与实数运算进行类比，下列类比推理中结论正确的是（）A．“若ac=bc（c≠0），则a=b”类比推出“若•=•（≠），则=”B．“在实数中有（a+b）c=ac+bc”类比推出“在向量中（+）•=•+•”C．“在实数中有（ab）c=a（bc）”类比推出“在向量中（•）•=•（•）”D．“若ab=0，则a=0或b=0”类比推出“若•=0，则=或=”【考点】类比推理．【分析】对四个选项，利用向量的数量积的定义与性质，分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：由条件，得出（﹣）•=0，∴（﹣）与垂直，则=，不一定成立，故A不正确；向量的乘法满足分配律，故B正确；在向量中（•）•与共线，•（•）与共线，故C不正确；若•=0，则⊥， =或=不一定成立，故D不正确．故选：B．4．用反证法证明命题：“已知a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x2+ax+b=0没有实根B．方程x2+ax+b=0至多有一个实根C．方程x2+ax+b=0至多有两个实根D．方程x2+ax+b=0恰好有两个实根【考点】反证法与放缩法．【分析】直接利用命题的否定写出假设即可．【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是：方程x2+ax+b=0没有实根．故选：A．5．已知随机变量ξ服从正态分布N（5，9），若p（ξ＞c+2）=p（ξ＜c﹣2），则c的值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】随机变量ξ服从正态分布N（5，9），得到曲线关于x=5对称，根据P（ξ＞c+2）=P（ξ＜c﹣2），结合曲线的对称性得到点c+2与点c﹣2关于点5对称的，从而解出常数c 的值得到结果．【解答】解：随机变量ξ服从正态分布N（5，9），∴曲线关于x=5对称，∵P（ξ＞c+2）=P（ξ＜c﹣2），∴c+2+c﹣2=10，∴c=5，故选：B．6．已知具有线性相关关系的变量y与x之间的一组数据：x 1 2 3 4 5y 2 4 6 8 5若由最小二乘法原理得到回归方程=x+0.5；可估计当x=6时y的值为（）A．7.5 B．8.5 C．9.5 D．10.5【考点】线性回归方程．【分析】求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于b的方程，解方程即可．求出b，从而估计当x=6时y的值．【解答】解：∵=3， =5，∴这组数据的样本中心点是（3，5）把样本中心点代入回归直线方程=x+0.5∴5=3+0.5，∴=1.5，当x=6时y=9+0.5=9.5．故选：C．7．若弹簧所受的力x＞1与伸缩的距离按胡克定律F=kl（k为弹性系数）计算，且10N的压力能使弹簧压缩10cm；为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置8cm处，则克服弹力所做的功为（）A．0.28J B．0.12J C．0.26J D．0.32J【考点】平面向量数量积的运算．【分析】先求出F（x）的表达式，再根据定积分的物理意义即可求出．【解答】解：∵F=10N，x=10cm=0.1m∴k=100，∴W=∫100xdx=50x2|=0.32J，故选：D．8．若（3x+）n（n∈N*）的展开式中各项系数的和为P，所有二项式系数的和为S，若P+S=272，则函数f（x）=（3x+）n在（0，+∞）上的最小值为（）A．144 B．256 C．24D．64【考点】二项式定理的应用．【分析】由题意求得S和 P的值，根据P+S=272求得n的值，再利用基本不等式求得函数f （x）的最小值．【解答】解：由题意可得P=4n，S=2n，∴P+S=4n+2n=272，解得2n=16，∴n=4，在（0，+∞）上，函数f（x）=（3x+）n=（3x+）4≥=144，当且仅当x=时，等号成立，故函数f（x）=（3x+）n在（0，+∞）上的最小值为144，故选：A．9．若3位老师和3 个学生随机站成一排照相，则任何两个学生都互不相邻的概率为（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数，再求出两位男生不相邻包含的基本事件个数，由此能求出两位男生不相邻的概率．【解答】解：3位老师和3 个学生随机站成一排照相，基本事件总数n=A66=720，任何两个学生都互不相邻包含的基本事件个数m=A33A43=144，∴任何两个学生都互不相邻的概率P==．故选：C．10．经检测有一批产品合格率为，现从这批产品中任取10件，设取得合格产品的件数为ξ，则P（ξ=k）取得最大值时k的值为（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】随机变量ξ～B（10，），P（ξ=k）=，由式子的意义知：概率最大也就是ξ最可能的取值．这和期望的意义接近，由此能求出p（ξ=k）取最大值时k的值．【解答】解：由题意，随机变量ξ～B（10，），∴P（ξ=k）=，由式子的意义知：概率最大也就是ξ最可能的取值．这和期望的意义接近．∵Eξ=10×=7.5，∴k=7或8可能是极值，P（ξ=7）==，P（ξ=8）==∴P（ξ=k）取最大值时k的值是7．故选：B．11．已知函数f（x）=在点（1，2）处的切线与f（x）的图象有三个公共点，则b的取值范围是（）A．[﹣8，﹣4+2） B．（﹣4﹣2，﹣4+2）C．（﹣4+2，8] D．（﹣4﹣2，﹣8]【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先利用导数研究在点（1，2）处的切线方程，然后作出函数图象，随着b减小时，半圆向下移动，当点A（﹣4，b）落在切线上时，在点（1，2）处的切线与f（x）的图象有三个公共点，直到半圆与直线相切前，切线f（x）的图象都有三个公共点，只需求出零界位置的值即可．【解答】解：当x＞0时，f（x）=x2+1，则f′（x）=2x，∴f′（1）=2×1=2，则在点（1，2）处的切线方程为y=2x，当x≤0时，y=f（x）=+b，即（x+2）2+（y﹣b）2=4（y≥b）作出函数图象如右图随着b减小时，半圆向下移动，当点A（﹣4，b）落在切线上时，在点（1，2）处的切线与f（x）的图象有三个公共点，即b=2×（﹣4）=﹣8，再向下移动，直到半圆与直线相切前，切线f（x）的图象有三个公共点，相切时与f（x）的图象有两个交点即=2，解得b=﹣4﹣2＜﹣8∴b的取值范围是（﹣4﹣2，﹣8]．故选：D．12．设函数f（x）=﹣ax+a，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）＞1，则a的取值范围是（）A．（1，2] B．（1，] C．（1，] D．（1，2）【考点】特称命题．【分析】把存在唯一的整数x0，使得f（x0）＞1，转化为存在唯一的整数x0，使得，即．令g（x）=，h（x）=ax﹣a+1，求得分析g （x）的单调性，作g（x）=，h（x）=ax﹣a+1的图象，数形结合得到，则答案可求．【解答】解：f（x）=﹣ax+a，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）＞1，即存在唯一的整数x0，使得，也就是存在唯一的整数x0，使得．令g（x）=，h（x）=ax﹣a+1，∵g′（x）=，∴g（x）=在（﹣∞，1]上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，又∵h（x）=ax﹣a+1是恒过点（1，1）的直线，∴作g（x）=，h（x）=ax﹣a+1的图象如下，则，即1．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡中相应的位置上．13．用0，2，4，8这四个数字能组成18 个没有重复数字的四位数．【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】特殊元素优先安排，0不能在首位，先排0，再排其它，根据分步计数原理可得．【解答】解：因为首位不能为0，从2，4，8中选一个排在首位有3种方法，其它位置任意排，故有3A33=18个，故答案为：18．14．已知函数f（x）=3x﹣x3，当x=a时f（x）取得极大值为b，则a﹣b的值为﹣1 ．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求导数得到f′（x）=3﹣3x2，根据二次函数符号的判断便可判断导函数的符号，从而得出函数f（x）的极大值点和极大值，从而求出a﹣b的值．【解答】解：f′（x）=3﹣3x2；∴x＜﹣1时，f′（x）＜0，﹣1＜x＜1时，f′（x）＞0，x＞1时，f′（x）＜0；∴x=1时，f（x）取得极大值2；即a=1，b=2；∴a﹣b=﹣1．故答案为：﹣1．15．设f（x）=，若f（f（1））=8则（x2﹣）m+4展开式中常数项为15 ．【考点】二项式系数的性质；函数的值；定积分．【分析】利用分段函数的意义可得f（1），再利用微积分基本定理解得m．再利用二项式定理的通项公式即可得出．【解答】解：∵f（1）=ln1=0，∴f（f（1））=f（0）=0+3t2dt==m3﹣0，∴m3=8，解得m=2．的展开式的通项公式：T r+1==（﹣1）r x12﹣3r，令12﹣3r=0，解得r=4．∴（x2﹣）m+4展开式中常数项===15．故答案为：15．16．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1，3，6，10，…记为数列{a n}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n}，可以推测：（1）b5= 105 ；（2）b2n﹣1= ．【考点】归纳推理．【分析】（1）由题设条件及图可得出a n+1=a n+（n+1），由此递推式可以得出数列{a n}的通项为，a n=n（n+1），由此可列举出三角形数1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，105，120，…，从而可归纳出可被5整除的三角形数每五个数中出现两个，即每五个数分为一组，则该组的后两个数可被5整除，由此规律即可求出b5；（2）由（1）中的结论即可得出b2n﹣1═（5n﹣1）（5n﹣1+1）．【解答】解：（1）由题设条件可以归纳出a n+1=a n+（n+1），故a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=n+（n﹣1）+…+2+1=n（n+1）由此知，三角数依次为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，105，120，…由此知可被5整除的三角形数每五个数中出现两个，即每五个数分为一组，则该组的后两个数可被5整除，∴b5=105；（2）由于2n﹣1是奇数，由（I）知，第2n﹣1个被5整除的数出现在第n组倒数第二个，故它是数列{a n}中的第n×5﹣1=5n﹣1项，所以b2n﹣1═（5n﹣1）（5n﹣1+1）=．故答案为：105；．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．复数z=（1﹣i）a2﹣3a+2+i（a∈R），（1）若z=，求|z|；（2）若在复平面内复数z对应的点在第一象限，求a的范围．【考点】复数求模；复数的基本概念．【分析】（1）根据z=，确定方程即可求|z|；（2）利用复数的几何意义，即可得到结论．【解答】解 z=（1﹣i）a2﹣3a+2+i=a2﹣3a+2+（1﹣a2）i，（1）由知，1﹣a2=0，故a=±1．当a=1时，z=0；当a=﹣1时，z=6．（2）由已知得，复数的实部和虚部皆大于0，即，即，所以﹣1＜a＜1．18．某市教育局委托调查机构对本市中小学使用“微课掌上通”满意度情况进行调查．随机选择小学和中学各50所学校进行调查，调查情况如表：评分等级☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆小学 2 7 9 20 12中学x y 18 12 8（备注：“☆”表示评分等级的星级，如“☆☆☆”表示3星级．）（1）从评分等级为1星级的学校中随机选取两所学校，恰有一所学校是中学的概率为，求整数x，y的值；（2）规定：评分等级在4星级及以上（含4星级）为满意，其它星级为不满意．完成下列2×2列联表并帮助教育局判断：能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为使用“微课掌上通”满意度与学校类型有关系？学校类型满意不满意总计小学50中学50总计100注意：请将答案填入答题卡中的表格．【考点】独立性检验的应用．【分析】（1）由古典概型公式，分别求得评分等级为1星级的学校中随机选取两所学校总事件个数m及恰有一所学校是中学的事件个数n，P==，代入即可求得x和y的值；（2）根据所给数据，可得2×2列联表，求出K2，与临界值比较，在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为使用满意与学校类型有关系．【解答】解：（1）因为从1星级的2+x的学校中随机选取2所学校，共有=种结果，…；其中恰有1所学校是中学的共有种结果，…；故=．解得：x=3，…；所以y=50﹣3﹣18﹣12﹣8=9…；（2）完成列2×2列联表：学校类型满意不满意总计小学32 18 50中学20 30 50总计52 48 100…；经计算K2的观测值：K2=≈5.769＞3.841 …；所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为使用满意与学校类型有关系．…；19．“莞马”活动中的α机器人一度成为新闻热点，为检测其质量，从一生产流水线上抽取20件该产品，其中合格产品有15件，不合格的产品有5件．（1）现从这20件产品中任意抽取2件，记不合格的产品数为X，求X的分布列及数学期望；（2）用频率估计概率，现从流水线中任意抽取三个机器人，记ξ为合格机器人与不合格机器人的件数差的绝对值，求ξ的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）随机变量X的可能取值为0，1，2，求出相应的概率，可求X的分布列及数学期望；（2）合格机器人的件数可能是0，1，2，3，相应的不合格机器人的件数为3，2，1，0．所以ξ的可能取值为1，3，求出相应的概率，可求ξ的分布列及数学期望．【解答】解：（1）随机变量X的可能取值为0，1，2 …；P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，所以随机变量X的分布列为：X 0 1 2P…；∴E（X）=0×+1×+2×=．…；（2）合格机器人的件数可能是0，1，2，3，相应的不合格机器人的件数为3，2，1，0．所以ξ的可能取值为1，3 …；由题意知：…；P（ξ=3）=+=…；所以随机变量ξ的分布列为：ξ 1 3P…；∴…；20．已知f（x）=lnx+ax2﹣ax+5，a∈R．（1）若函数f（x）在x=1处有极值，求实数a的值；（2）若函数f（x）在区间（0，+∞）内单调递增，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求导数得到，根据f（x）在x=1处有极值便可得到f′（1）=0，从而可求出a的值，并可验证该值成立；（2）根据f（x）在区间（0，+∞）内单调递增便可得出f′（x）≥0恒成立，进而得出2ax2﹣ax+1≥0在（0，+∞）上恒成立，这样讨论a的值：a＜0，a=0，和a＞0这三种情况，对每种情况验证是否满足条件，从而求出实数a的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），；∵f（x）在x=1处有极值，∴f′（1）=1+2a﹣a=0；解得：a=﹣1；此时；当0＜x＜1时f′（x）＞0，当x＞1时f′（x）＜0，符合题意；∴实数a的值为﹣1；（2）∵函数f（x）在区间（0，+∞）内单调递增；∴在（0，+∞）恒成立；即2ax2﹣ax+1≥0在（0，+∞）恒成立；当a＜0时，显然不符合题意；当a=0时，1≥0恒成立，符合题意；当a＞0时，要使恒成立；需，解得0＜a≤8；综上可知实数a的取值范围是[0，8]．21．已知f（x）=ln（x+1）﹣（a∈R）．（1）求证：a≤1且x≥0时，f（x）≥0恒成立；（2）设正项数列{a n}满足a1=1，a n=ln（a n﹣1+1）（n≥2），求证：≤a n≤（n∈N*）．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，得到函数的单调性，从而证出结论；（2）a=1时，在[0，+∞）内恒成立，在[0，3）内恒成立，由a1=1及a n=ln（a n﹣1+1）（n≥2）知0＜a n≤1，根据数学归纳法证明即可．【解答】证明：（1）…；当a≤1，x≥0时，f'（x）≥0恒成立…；此时函数f（x）在（0，+∞）内单调递增…；所以f（x）≥f（0）=0，得证…；（2）由（1）可知a=1时，在[0，+∞）内恒成立…；同理可证：在[0，3）内恒成立…；由a1=1及a n=ln（a n﹣1+1）（n≥2）知0＜a n≤1…下面用数学归纳法证明：当n=1时，，结论成立…；设当n=k时结论成立，即那么当n=k+1时，……即当n=k+1时有，结论成立，由此可知对任意n∈N*结论都成立，原不等式得证．…22．设f（x）=e x﹣ax2，g（x）=kx+1（a∈R，k∈R），e为自然对数的底数．（1）若a=1时，直线y=g（x）与曲线y=f′（x）相切（f′（x）为f（x）的导函数），求k的值；（2）设h（x）=f（x）﹣g（x），若h（1）=0，且函数h（x）在（0，1）内有零点，求a 的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，求得切线的斜率和切点，由切线的方程，解得k的值；（2）利用等价转换，若函数h（x）在区间（0，1）内有零点，则函数h（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，所以h′（x）在（0，1）上应有两个不同的零点．【解答】解：（1）a=1时，f（x）=e x﹣x2，f'（x）=e x﹣2x…设曲线y=f'（x）与直线y=g（x）的切点为（x0，kx0+1）∵切点在曲线y=f'（x）上，∴…又f''（x）=e x﹣2，由导数的几何意义知：…由此解得x0﹣+1=0 …设t（x）=xe x﹣e x+1，则t′（x）=xe x，当x＞0时，t′（x）=xe x＞0，t（x）递增；当x＜0时，t′（x）=xe x＜0，t（x）递减；∴t（x）≥t（0）=0，∴x0=0 …∴k=﹣1．…（2）h（x）=e x﹣ax2﹣kx﹣1由h（1）=0得：k=e﹣a﹣1又h（0）=0，且函数h（x）在区间（0，1）内有零点，∴函数h（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，即h′（x）=0在区间（0，1）内至少有两个实根，…h′（x）=e x﹣2ax﹣k，h''（x）=e x﹣2a∵x∈（0，1），∴e x∈（1，e）当时，h''（x）=e x﹣2a＞0，函数h'（x）在区间（0，1）单调递增，方程h'（x）=0在区间（0，1）内至多一个实根，不符合题意．当时，h''（x）=e x﹣2a＜0，函数h'（x）在区间（0，1）单调递减，方程h'（x）=0在区间（0，1）内至多一个实根，不符合题意．…当＜a＜时，令h''（x）＜0得：0＜x＜ln（2a），令h''（x）＞0得：x＞ln（2a），即函数h'（x）在区间（0，ln（2a））内单调递减，在区间（ln（2a），+∞）内单调递增∴h'（x）min=h'（ln（2a））=2a﹣2aln（2a）﹣k=3a﹣2aln（2a）﹣e+1…记H（x）=x﹣xlnx﹣e+1其中1＜x＜e，则，令H'（x）＞0得：1＜x＜，令H'（x）＜0得：＜x＜e，∴函数H（x）在（1，）内单调递增，在（，e）内单调递减…∴H（x）max=H（）=﹣ln﹣e+1=+1﹣e故H（x）＜0，也即h'（x）min＜0∵函数h（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，∴即解得：e﹣2＜a＜1符合＜a＜综上可知，实数a的取值范围是（e﹣2，1）…。
广东省东莞市2012-2013学年高二数学3月月考试题 理 新人教A版
东莞市第七高级中学2012-2013学年高二3月月考数学理试题第Ⅰ卷（选择题，共50分） 一．选择题：本大题共l0小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题5分，满分50分．1. 函数221y x =+在闭区间[1,1]x +∆内的平均变化率为 A.12x +∆ B. 2x +∆ C. 32x +∆ D. 42x +∆2．用反证法证明命题：“,,,a b c d R ∈,1a b +=,1c d +=,且1ac bd +>,则,,,a b c d 中至少有一个负数”时的假设为A ．,,,a b c d 中至少有一个正数B ．,,,a b c d 全为正数C ．,,,a b c d 全都大于等于0D ．,,,a b c d 中至多有一个负数3. 函数sin y x =的图象上一点(3π处的切线的斜率为A ．1 B． C ．D ．124. 已知函数()sin 2f x x =, 则)(x f '等于A ．cos 2xB ． cos 2x -C ． sin cos x xD ． 2cos 2x5. 各项都为正数的数列{}n a 中，12341,3,6,10.....a a a a ====猜想数列{}n a 的通项A ．(1)2n n n a +=B.(2)2n n n a +=C.(1)2n n n a -=D ．(1)(1)2n n n a -+=6. 函数33x x y -=的单调递增区间是A. (1,1)-B. (,1)-∞- C ．(0,)+∞D.(1,)+∞7. 已知函数f (x)的导函数()f x '的图象如右图所示，那么函数f (x)的图象最有可能的是A BC D8. 函数3()34([0,1])f x x x x =-∈的最大值是 A ．1 B ．12 C ．0 D ．-19. 由直线1,2x x ==，曲线2y x =及x 轴所围图形的面积为A ．3B ．7C ．73D ． 1310. 设平面内有n 条直线（3n ≥），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点.若用)(n f 表示这n 条直线交点的个数， )(n f =A ．)1)(2(21+-n nB ． 1(2)(1)2n n ++C ．1(2)(1)2n n +- D ．1(2)(1)2n n --第Ⅱ卷（非选择题，共100分） 二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．）11. 计算dxx ⎰-1021=12. 一物体沿直线以速度()2v t t =（t 的单位为:秒,v 的单位为:米/秒）的速度作变速直线运动，则该物体从时刻0t =秒至时刻2t =秒间运动的路程13.函数2()ln 2x f x x =+在区间[1,]e 上的最大值是 14. 在Rt ABC ∆中，两直角边分别为a 、b ，设h 为斜边上的高，则222111h a b =+，由此类比：三棱锥S ABC -中的三条侧棱SA 、SB 、SC 两两垂直，且长度分别为a 、b 、c ，设棱锥底面ABC 上的高为h ，则 ．三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明．证明过程和演算步骤．15.（本题满分12分）计算由曲线21y x=+，直线3x y+=以及两坐标轴所围成的图形的面积S.16.（本题满分14分）已知函数3()395 f x x x=-+.（Ⅰ）求函数()f x的单调递增区间；（Ⅱ）求函数()f x在[2,2]-上的最大值和最小值.17．（本小题满分12分）若,x y都是正数,且x+y>2,求证：1122x yy x++<<和中至少有一个成立18. （本小题满分14分）一艘轮船在航行过程中的燃料费与它的速度的立方成正比例关系，其他与速度无关的费用每小时96元，已知在速度为每小时10公里时，每小时的燃料费是6元，要使行驶1公里所需的费用总和最小，这艘轮船的速度应确定为每小时多少公里？19. （本小题满分14分）（1）已知等差数列{}n a ，123........nn a a a a b n ++++=（N n ∈），求证：{}n b 仍为等差数列；（2）已知等比数列{},0n n c c >()n N ∈），类比上述性质，写出一个真命题并加以证明．20．（本小题满分14分）已知函数()241(12)ln(21)22x a f x a x x +=-+++.（1）设1a =时，求函数()f x 极大值和极小值;（2）a R ∈时讨论函数()f x 的单调区间.高二年级理科数学答题卷11、4π12、413、212e +14、22221111h a b c =++ 15．（本小题满分12分）解：解：如图，由21y x =+与直线x+y=3在点(1，2)相交, ……………2分 直线x+y=3与x 轴交于点(3，0) ……………3分 所以,所求围成的图形的面积30S=f(x)dx⎰ ，其中被积函数f(x)2x +1(0x 1)=3-x(1x 3)⎧≤≤⎨<≤⎩………6分32123130101x x 10S=(x +1)dx+(3-x)dx=(+x)+(3x-)=.323⎰⎰……11分所以,所求围成的图形的面积为10/3……………………12分16．（本小题满分14分）解：(1)2'()99f x x =-. ------------------------------------------------- 2分 令2990x ->, ------------------------------------------------4分解此不等式，得11x x <->或.因此，函数()f x 的单调增区间为(,1)(1,)-∞-+∞和.------------------6分(2) 令2990x -=,得1x =或1x =-.----------------------------------------8分当x 变化时，'()f x ，()f x 变化状态如下表：x -2(2,1)-- -1 (1,1)- 1 (1,2) 2'()f x +0 - 0 + ()f x-1 ↑ 11 ↓ -1 ↑ 11-------------------------------------------12分从表中可以看出，当21x x =-=或时，函数()f x 取得最小值1-. 当12x x =-=或时，函数()f x 取得最大值11.-----------------------------14分18．（本小题满分14分）解: 设轮船的速度为x 千米/小时（x>0），…………1分则航行1公里的时间为x t 1=小时。
广东省东莞市2013-2014学年高二下学期期末考试数学理(A卷)试题Word版含答案
2013-2014学年广东省东莞市高二（下）期末试卷（A卷）数学（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题各有四个选项支，仅有一个选项支正确）1．（5分）对两个变量x和y进行回归分析，得到一组样本数据：（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），则下列说法中不正确的是（）A．由样本数据得到的回归方程=x+必过样本点的中心（，）B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C．用相关指数R2=1﹣来刻画回归效果，R2的值越小，说明模型的拟合效果越好D．用相关指数R2=1﹣来刻画回归效果，R2的值越大，说明模型的拟合效果越好2．（5分）复数z=（i为虚数单位），则z的共轭复数z为（）A．2﹣i B．2+i C．4﹣2i D．4+2i3．（5分）随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），已知P（ξ＜0）=0.4，则P（ξ＜2）=（）A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.64．（5分）用反证法证明命题：“若a、b、c是三连续的整数，那么a、b、c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是（）A．假设a、b、c中至多有一个偶数B．假设a、b、c中至多有两个偶数C．假设a、b、c都是偶数D．假设a、b、c都不是偶数5．（5分）曲线y=ln（x+1）在x=0处的切线方程是（）A．y=x B．y=﹣x C．y﹣x D．y=2x 6．（5分）若随机变量X服从两点分布，其中P（X=0）=，则E（3X+2）和D（3X+2）的值分别是（）A．4和2 B．4和4 C．2和4 D．2和27．（5分）（x+）11的展开式中，常数项是（）A．第3项B．第4项C．第7项D．第8项8．（5分）计算：|1﹣x2|dx=（）A．﹣B．C．2D．9．（5分）7人排成一排，限定甲要排在乙的左边，乙要排在丙的左边，甲、乙相邻，乙、丙不相邻，则不同排法的种数是（）A．60 B．120 C．240 D．360 10．（5分）设f（x）=x3+ax2+bx+c，当x=x1∈（﹣1，0）时取得极大值，当x=x2∈（0，1）时取得极小值，则2b﹣a的取值范围为（）A．﹣3，1）B．（﹣2，1）C．（﹣1，1）D．（﹣2，﹣1）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．（5分）某班收集了50位同学的身高数据，每一个学生的性别与其身高是否高于或低于k2的观测值k=≈4.84，因为K2≥3.841，所以在犯错误的概率不超过_________的前提下认为性别与身高有关系．12．（5分）若（1﹣2x）2014=a0+a1x+…+a2014x2014，则++…+=_________．13．（5分）等比数列{a n}中，a1=1，a2=2，f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）（x﹣a3）（x﹣a4），f′（x）为函数f（x）的导函数，则f′（0）=_________．14．（5分）从装有n+1个球（其中n个白球，1个黑球）的口袋中取出m个球（0＜m≤n，m，n∈N），共有种取法．在这种取法中，可以分成两类：一类是取出的m个球全部为白球，另一类是取出m﹣1个白球，1个黑球，共有，即有等式：成立．试根据上述思想化简下列式子：=_________．（1≤k＜m≤n，k，m，m∈N）．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（12分）已知z是复数，若z+2i为实数（i为虚数单位），且z（1﹣2i）为纯虚数．（1）求复数z；（2）若复数（z+mi）2在复平面上对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．16．（12分）偏差是指个别测定值与测定的平均值之差，在成绩统计中，我们把某个同学的某科考试成绩与该科班平均分的差叫某科偏差，在某次考试成绩统计中，某老师为了对学生数学偏差x（单位：分）与物理偏差y（单位：分）之间的关系进行分析，随机挑选了8位（2）若该次考试该班数学平均分为120分，物理平均分为91.5分，试由（1）的结论预测数学成绩为128分的同学的物理成绩．参考数据：=20×6.5+15×3.5+13×3.5+3×1.5+2×0.5+（﹣5）×（﹣0.5）+（﹣10）×（﹣2.5）+（﹣18）×（﹣3.5）=324x=202+152+132+32+22+（﹣5）2+（﹣10）2+（﹣18）2=1256．17．（14分）抽奖游戏规则如下：一个口袋中装有完全一样的8个球，其中4个球上写有数字“5”，另外4个球上写有数字“10”．（1）每次摸出一个球，记下球上的数字后放回，求抽奖者四次摸球数字之和为30的概率；（2）若抽奖者每交2元钱（抽奖成本）获得一次抽奖机会，每次摸出4个球，若4个球数字之和为20或40则中一等奖，奖励价值20元的商品一件；若4个球数字之和为25或35则中二等奖，奖励价值2元的商品一件；若4个球数字之和为30则不中奖．试求抽奖者收益ξ（奖品价值﹣抽奖成本）的期望．18．（14分）已知f（x）=alnx，g（x）=f（x）+bx2+cx，且f′（2）=1，g（x）在x=和x=2处有极值．（1）求实数a，b，c的值；（2）若k＞0，判断g（x）在区间（k，2k）内的单调性．19．（14分）将正整数按如图的规律排列，把第一行数1，2，3，10，17，…记为数列{a n}（n∈N+），第一数列1，4，9，16，25，…记为数列{b n}（n∈N+）（1）写出数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）若数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，用数学归纳法证明：3（T n+T n）=2n3+4n （n∈N+）；（3）当n≥3时，证明：＜+++…+＜．20．（14分）定义：若曲线y=f（x）与y=g（x）都和直线y=kx+b相切，且满足：f（x）≤kx+b≤g （x）或g（x）≤kx+b≤f（x）恒成立，则称直线y=kx+b为曲线y=f（x）与y=g（x）的“内公切线”．已知f（x）=﹣x2，g（x）=e x．（1）试探究曲线y=f（x）与y=g（x）是否存在“内公切线”？若存在，请求出内公切线的方程；若不存在，请说明理由；（2）g′（x）是函数g（x）的导设函数，P（x1，g（x1）），Q（x2，g（x2））是函数y=g（x）图象上任意两点，x1＜x2，且存在实数x3，使得g′（x3）=，证明：x1＜x3＜x2．2013—2014学年度第二学期教学质量检查高二理科数学（A 卷）参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 11．0.05 12．1- 13．64 14． mk n C + 三、解答题：本大题共6小题，共80分． 15．（本小题满分12分）解：（1）设(),z x yi x y R =+∈． ………1分由2z i +i y x )2(++=为实数，得02=+y ，即2y =-． ……2分 又()()()()12212421z i x i i x x i -=--=--+， (3)分由()12z i -为纯虚数，得()40210x x -=⎧⎪⎨+≠⎪⎩， …………5分∴4x =， ………6分 ∴i z 24-=． ……7分（2）∵i m m m mi z )2(8)124()(22-+++-=+， ………9分根据条件，可知⎪⎩⎪⎨⎧<->-+,0)2(8,04122m m m …………10分解得22<<-m ， ………11分∴实数m 的取值范围是()2,2-． ………12分16．（本小题满分12分） 解：（1）由题意，258)18()10()5(23131520=-+-+-+++++=x ， ……1分898)5.3()5.2()5.0(5.05.15.35.35.6=-+-+-+++++=y ， (2)分所以41)25(8125689258324ˆ2281281=⨯-⨯⨯-=--=∑∑==xn x yx n y x bi i i i i ， ………4分21254189ˆˆ=⨯-=-=x b y a， …………6分 故y关于x 的线性回归方程：11ˆ42yx =+． …………7分 （2）由题意，设该同学的物理成绩为w ，则物理偏差为：5.91-w ． ………8分而数学偏差为128-120=8， …………9分∴218415.91+⨯=-w ， ……10分 解得94=w ， ……11分所以，可以预测这位同学的物理成绩为94分． ………12分17．（本小题满分14分）解：（1）由题意，每次摸球写有数字“5”的概率为21． …1分 四次摸球数字之和为30，只能是两次摸到写有数字“5”，另两次写有数字“10”. …………2分设X 为4次摸球中写有数字“5”的次数，则)21,4(~B X ， …3分 所以抽奖者四次摸球数字之和为30的概率为：83)211()21()2(24224=-⨯⨯==-C X P ．……5分（2）由题意，抽奖者获得的收益ξ可取18元、0元、-2元. ……6分 从8个球中任取4个球的结果数为48C ，其中恰好有k 个球写有数字“5”的结果数为kk C C -⋅444，所以从8个球中任取4个球，其中恰好k 个球写有数字“5”的概率为：48444)(C C C k Y P k k -⋅==，4,3,2,1,0=k ， …………8分 所以351)4()0()18(48044044844444=⋅+⋅==+===--C C C C C C Y P Y P P ξ， (9)分3516)3()1()0(48344344814414=⋅+⋅==+===--C C C C C C Y P Y P P ξ， (10)分3518)2()2(4824424=⋅===-=-C C C Y P P ξ， ……11分 因此，随机变量ξ的分布列为…………12分35183518)2(3516035118)(-=⨯-+⨯+⨯=ξE . ………13分 所以，(1)抽奖者四次摸球数字之和为30的概率为38；(2) 抽奖者收益的期望为18-35元.…14分18．（本小题满分14分）解：（1）由x a x f ln )(=，得x a x f =')(，∴12)2(=='af ，即2=a ，∴x x f ln 2)(=.…2分∴cx bx x x g ++=2ln 2)(， 从而xcx bx c bx x x g 2222)(2++=++='. ……3分∵)(x g 在21=x 和2=x 处有极值， ∴0221)21(2)21(2=++⨯='xc b g ，02222)2(2=++⨯='x c b g ， ……5分解得：1=b ，5-=c ， …………7分 经检验：1=b ，5-=c 满足题意. …………8分（2）由（1），x x x x g 5ln 2)(2-+=，()2252()0x x g x x x-+'=>.令()0g x '>，得102x <<或2x >；令()0g x '<，得122x <<. ∴()g x 在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，，()2+∞，上单调递增，在122⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减.……9分 若0,212>≤k k 且，即410≤<k 时，)(x g 在区间)2,(k k 内的单调递增； (10)分若22210<<<<k k ，即2141<<k 时，)(x g 在区间)21,(k 内的单调递增，在区间)2,21(k 内 的单调递减； …………11分若2221≤<≤k k ，即121≤≤k 时，)(x g 在区间)2,(k k 内的单调递减；…12分若k k 2221<<<，即21<<k 时，)(x g 在区间)2,(k 内的单调递减，在区间)2,2(k 内的单调 递增； ………13分若2≥k ，)(x g 在区间)2,(k k 内的单调递增. ………14分19．（本小题满分14分）解：（1）由121n n a a n +-=-，得：21132322n a a n n n =++++-=-+， …3分2n b n =. …………4分（2）① 当1n =时，111T S ==，∴()1136T S +=，又3246n n +=，∴1n =时等式成立；……5分② 假设n k =时等式成立，即()3324k k T S k k +=+，则1n k =+时，()()()()()()223111133324311212k k k k k k T S T S b a k k k k k ++++⎡⎤+=+++=+++++-++⎣⎦()()232466161k k k k =++++-+ ()()()2216161k k k k k =-++++ ()()22461k k k =+++()()22141k k ⎡⎤=+++⎣⎦()()32141k k =+++，∴1n k =+时等式也成立． …………8分根据①②，()()33+24n n T S n n n N +=+∈都成立． ……9分（3）当3n ≥时，20n b n =>，∴1231211111154n b b b b b b ++++>+=． ……11分 又22212311111111123n b b b b n ++++=++++()2111111223341n n <+++++⨯⨯-5111111423341n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭5117424n =+-<． 综上可知：12351111744n b b b b <++++<成立． ………14分20．（本小题满分14分）可解：（1）假设曲线()y f x =与()y g x =存在“内公切线”，记内公切线与曲线()xg x e =的切点为()00x y ，，则切线l 方程为：()000xx y e ex x -=-． ………2分又由()000214x x y e e x x y x⎧-=-⎪⎨=-⎪⎩可得：()00201104x x x e x x e ++-=． ………3分 由于切线l 也和曲线()214f x x =-相切， 所以()()000200110x x x x ex e e e x ∆=--=-+=．000010x x e e x >∴-+=． …………4分当00x >时，0001,10x x e e x >∴-+>； 当00x =时，0001,10x x e e x =∴-+=； 当00x <时，0001,10x x e e x <∴-+<．所以000,1x y ==，故公切线l 的方程为：1y x =+． (5)分下面证明1y x =+就是()f x 与()g x 内公切线，即证2114x x x e -≤+≤． ∵2221111110442x x x x x ⎛⎫⎛⎫+--=++=+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴2114x x -≤+成立． …………7分 设()1xh x e x =--，则()/1xh x e =-． 令()/0h x =，得0x =．当0x <时，()/0h x <，当0x >时，()/0h x >，∴()h x 在(),0-∞上为减函数，在()0+∞，上为增函数，所以()()00h x h ≥=，即1xx e +≤． ………9分∴2114x x x e -≤+≤，即1y x =+就是曲线()y f x =与()y g x =的内公切线． ……10分（2）∵()/x g x e =，∴21321x x x e e e x x -=-． 要证明：132x x x <<，只需证明：2131221x x x x x e e e e e x x -<=<-， 只需证明：()()12122121x x x xx x e e e x x e -<-<-， 只需证明：()12121x x x x x e e e -<-，及()21221x x xe e x x e -<-， 只需证明：()21211x x x x e--+<，及()12121x x x x e --+<． …………13分由（1）知：()1x x ex R +≤∈，所以()21211x x x x e --+<及()12121x x x x e --+<成立， ∴ 132x x x <<． …………14分。
广东省执信中学2012-2013学年高二下学期期末数学理试题 含答案
2012-2013学年度第二学期高二级数学科(理)期末考试试卷本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分.考试用时120分钟注意事项:1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。
2、选择题每小题选出答案后，有2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案;不能答在试卷上。
3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上,超出指定区域的答案无效;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。
4、考生必须保持答题卡的整洁和平整.第一部分选择题 （共40 分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．函数()sin cos f x x x =的最小正周期是(*）A ．2πB ．32πC ．πD ．2π2．集合{|lg 0}M x x =>，2{|9}N x x=≤，则M N =（＊）A ．(1,3)B ．(1,3]C ．(0,3]D ．[1,3] 3．已知复数12,z z 在复平面内对应的点分别为(0,1),(1,3)A B -,则21z z = (＊）A ．13i -+B ．3i --C ．3i +D ．3i - 4．设,x y R ∈，则“0x =”是“复数x yi +为纯虚数"的（＊）A 。
充分而不必要条件B 、必要而不充分条件C ．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5。
双曲线221xmy -=的实轴长是虚轴长的2倍，则m =(*）A ．14B ．12C ．2D ．46．在实验员进行一项实验中，先后要实施5个程序，其中程序A 只能出现在第一步或最后一步,程序C 和D 实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有（*）A 、15种B 、18种C 、44种D 、24种7．已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图与俯视图 如图1所示,则其侧视图的面积为（*）A 64B 62C 22D 28．对于函数()y f x =,如果存在区间[,]m n ，同时满足下列条件： ①()f x 在[,]m n 内是单调的；②当定义域是[,]m n 时，()f x 的值域也是[,]m n ,则称[,]m n 是该函数的“和谐区间”．若函数11()(0)a f x a ax+=->存在“和谐区间”，则a 的取值范围是（＊）ks5uA ．(0,1)B ． (0,2)C ．15(,)22D ．(1,3)第二部分 非选择题 （共110分)二、填空题：本大题共6小题,每小题5分，满分30分 9．如图2，在O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足E 在半径AO 上()AE AO <，EF BC ⊥，垂足为F ，若6AB =，5CF CB ⋅=，则___.AE =10．计算112ex dx x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎰.11．若执行图3中的框图，输入13N =，则输出的数等于______12．若二项式(n x +的展开式中,第4项与第7项的二项式系数相等，则展开式中6x 的系数为 ．（用数字作答）13．观察下列不等式：1<<<；… 则第⑤个不等式为 ．ks5u14．设函数()f x 的定义域为D ，若存在非零实数l 使得对于任意()x M M D ∈⊆,有x l M+∈，且()()f x l f x +≥，则称()f x 为M 上的l 高调函数,如果定义域为R 的函数()f x 是奇函数，当0x ≥时，()f x ＝22||x aa --,且()f x 为R 上的8高调函数，那么实数a 的取值范围是三、解答题：本大题共6小题,满分80分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15。
2012~2013学年高二下学期数学期末测试题(理)模拟六答案
2012~2013学年高二下学期数学期末测试题（理）模拟六答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． BDD二、填空题：8. i 是虚数单位，则=++++44433422414004i C i C i C i C i C .9.在口袋中有不同编号的3个白球和2个黑球．如果不放回地依次取两个球，则在第1次取到白球的条件下，第2次也取到白球的概率是________1\2______．10.明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率是0．80，乙闹钟准时响的概率是0．90，则两个闹钟至少有一准时响的概率是 0.98 ．11.从6名短跑运动员中选4人参加4×100米接力，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则共有______252______多少种参赛方法（用数字作答） ． 三、解答题：12. 解：前三项系数为C n 0，21C n 1，41C n 2，由已知C n 1＝C n 0＋41C n 2，即n 2-9n ＋8=0，解得n =8或n =1（舍去）．展开式的通项为T r +1=C r 8（x ）8-r （2·4x ）-r =C r8.r 21. x 434r -，r =0，1， (8)∵4-43r ∈Z 且0≤r ≤8，r ∈Z ，∴r =0，r =4，r =8， ∴展开式中x 的有理项为T 1=x 4，T 5=835x ，T 9=2561x -2． 13. 设数列{}n a 对一切*n N ∈，满足21=a ，241+=++n a a n n .试用数学归纳法证明：n a n 2=.14. 解：（1）记“甲射击一次,击中目标”为事件A ，“乙射击一次,击中目标”为事件B ，“甲射击一次,未击中目标”为事件A ，“乙射击一次,未击中目标”为事件B ，则()()52,53==A P A P ，()()p B P p B P -==1,. 依题意得()209531153=⎪⎭⎫⎝⎛-+-p p ， 解得43=p . 故p 的值为43.（2）ξ的取值分别为,4,2,0. ()()()()10141520=⨯=⋅===B P A P B A P P ξ，()2092==ξP ， ()()()()20943534=⨯=⋅===B P A P AB P P ξ， ξ∴的分布列为∴E .1027209420921010=⨯+⨯+⨯=ξ ……………………13分 15. (Ⅰ）当R b a ∈=,0时函数为偶函数 ……………………5分 （Ⅱ）322()434(434)f x x ax x x x ax '=++=++． …………………………………6分当103a =-时，2()(4104)2(21)(2)f x x x x x x x '=-+=--． …………………………7分 令()0f x '=，解得10x =，212x =，32x =． ……………………………………………8分当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：3)2(,0)0(-==f f ∴当2=x 时取得最小值3-16. （Ⅰ）解法一：“有放回摸两次，颜色不同”指“先白再黑”或“先黑再白”，记“有放回摸球两次，两球恰好颜色不同”为事件A ， ………………………2分∵“两球恰好颜色不同”共24+42=16⨯⨯种可能， ∴164()669P A ==⨯． 解法二：“有放回摸取”可看作独立重复实验， ∵每次摸出一球得白球的概率为3162==P ．∴“有放回摸两次，颜色不同”的概率为1224(1)(1)9P C p p =⋅⋅-=． …………6分（Ⅱ）设摸得白球的个数为ξ，依题意得：432(0)655P ξ==⨯= ，42248(1)656515P ξ==⨯+⨯=，211(2)6515P ξ==⨯=．…9分∴∴012215153E ξ=⨯+⨯+⨯=， 222(0)(1)(2)3531531545D ξ=-⨯+-⨯+-⨯=．17.已知函数)0()1()(2>⨯--=a e ax x x f ax . （Ⅰ）当2=a 时，求)(x f 的的单调区间；（Ⅱ）若对于任意[]2,0∈x ，恒有02)(≥+ax f 恒成立，求a 的取值范围.18. （本题满分14分）已知R m m mx x x f ∈-+-=),12lg()(2 （Ⅰ）当0=m 时，求)(x f 的单调递增区间； （Ⅱ）若函数)(x f 的值域是[)+∞,2lg ，求m 的值；（Ⅲ）若[0,1]x ∈时不等式0)(>x f 恒成立，求实数m 的取值范围.（Ⅰ）当0=m 时，()1lg )(2-=x x f当),1(+∞∈x 时，12-=x t 递增，而当0>t 时，t y lg =递增所以)(x f 的递增区间是()+∞,1 …………………………4分（Ⅱ）依题意得122-+-=m mx x t 的最小值是2，解21242=-+-m m 得2=m 或6=m …………………………8分 （Ⅲ）法一：当[0,1]x ∈时，将2220x mx m -+->分离变量后得到m x x <--222 令22)(2--=x x x g ，则22')2(24)(-+-=x x x x g ， 令0)('=x g 得22±=x ………11分∴当220-<<x 时0)('>x g ，当122<<-x 时0)('<x g而22-=x 时取得最大值4->∴m 4-…………14分法二：依题意得：2220x mx m -+->，令22)(2-+-=m mx x x h ，轴是2m x =（1）当02≤m时，则有022)0(>-=m f ，解得Φ∈m ； （2）当120≤<m时，则有0882>+-=∆m m ，解得2224≤<-m ； （3）当21m<时，则有01)1(>-=m f ，解得2>m综上所求，实数m的取值范围是（4-)∞+法三：将2220x mx m -+->移项得222x mx m >-+22m +，则1()f x 、2()f x 1]，12()()f x f x >恒成立，即要使得[0,1]x ∈时，抛物线段总在直线段的上方，因为直线恒过定点(2,2),切时的斜率可用判别式或导数易求得为4-所以4m >-……)22m +。
广东省实验中学2012-2013学年高二下学期期末考试数学理试题 含答案
2012—2013学年(下）高二级第二学段模块考试理科数学本试卷分选择题和非选择题两部分,共4页,满分150分,考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其它答案;不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
参考公式：一般地，若离散型随机变量X 的分布列为则1122()......i i n nE X x p x p x p x p =+++++。
第一部分 选择题（共40分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若复数2()1ai a i+∈-R 是纯虚数（i 是虚数单位），则a 的值为（＊)A ．2-B ．1-C ．1D ．22．随机变量ξ服从正态分布2(40,)Nσ,若(30)0.2Pξ<=,则(3050)Pξ<<=(*）A．0.2B．0.4C．0.6D．0.8ks5u3．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照,要求排成一排，2位老人相邻，不同的排法共有（*）A．1440种B．960种C．720种D．480种4．一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中(＊）A．//AB CD B．AB与CD相交C．AB CD⊥D．AB与CD所成的角为60︒5．对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想出：正四面体的内切球切于四面都为正三角形的什么位置？(＊）A．正三角形的顶点 B．正三角形的中心C．正三角形各边的中点D．无法确定6．甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军。
广东省东莞市数学高二下学期理数期末考试试卷
广东省东莞市数学高二下学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一上·鹤壁期中) 已知集合，集合，若，则集合的子集个数为（）A . 2B . 4C . 8D . 162. （2分）函数的零点所在的一个区间是（）A . (-2,-1)B . (-1,0)C . (0,1)D . (1,2)3. （2分）已知、则a,b,c三者的大小关系是（）A . c<b<aB . c<a<bC . a<b<cD . b<a<c4. （2分）设集合，N={x|y=log2（2﹣x）}，则图中阴影部分表示的集合为（）A . {x|2≤x≤3}B . {x|1≤x≤2}C .D . ∅5. （2分） (2019高一上·沈阳月考) 奇函数，，当时，，则函数的图为（）A .B .C .D .6. （2分）在一次跳高比赛前，甲、乙两名运动员各试跳了一次．设命题p表示“甲的试跳成绩超过2米”，命题q表示“乙的试跳成绩超过2米”，则命题p∨q表示（）A . 甲、乙恰有一人的试跳成绩没有超过2米B . 甲、乙至少有一人的试跳成绩没有超过2米C . 甲、乙两人的试跳成绩都没有超过2米D . 甲、乙至少有一人的试跳成绩超过2米7. （2分）已知函数f（log4x）=x，则等于（）A .B .C . 1D . 28. （2分）定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是，且当时，f(x)=sinx，则的值为（）A .B .C .D .9. （2分） (2018高三上·双鸭山月考) 已知函数，若恒成立，则的最大值为（）A .B .C .D .10. （2分） (2018高一上·定远期中) 已知幂函数(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为（）A . －3B . 1C . 2D . 1或211. （2分）下列函数中，既是奇函数，又在（﹣∞，0）上单调递增的是（）A . y=x﹣1B . y=x2C . y=x3D . y=12. （2分）(2017·红河模拟) 函数f（x）=eln|x|+ 的大致图象为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一上·沙湾期中) 若3x=4y=36，则 =________．14. （1分） (2018高一上·营口期中) 函数＝的定义域为________（结果用区间表示）15. （1分） (2017高二下·南昌期末) 设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1]上，f（x）= 其中a，b∈R．若 = ，则a+3b的值为________．16. （1分）(2014·新课标II卷理) 已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是________．三、解答题 (共7题；共65分)17. （5分）设集合A={x|2≤x≤4}，B={x|x＞3，或x＜1}，C={x|t+1＜x＜2t}，t∈R．（Ⅰ）求A∪∁UB；（Ⅱ）若A∩C=C，求t的取值范围．18. （10分） (2019高一上·杭州期中) 已知函数， .（1）当时，求函数的单调递增区间、值域；（2）求函数在区间的最大值 .19. （10分） (2016高二下·宁波期末) 已知函数f（x）=x2﹣2x﹣t（t为常数）有两个零点，g（x）= ．（1）求g（x）的值域（用t表示）；（2）当t变化时，平行于x轴的一条直线与y=|f（x）|的图象恰有三个交点，该直线与y=g（x）的图象的交点横坐标的取值集合为M，求M．20. （10分） (2019高一上·温州期中) 经过函数性质的学习，我们知道：“函数的图象关于轴成轴对称图形”的充要条件是“ 为偶函数”.（1）若为偶函数，且当时，，求的解析式，并求不等式的解集；（2）某数学学习小组针对上述结论进行探究，得到一个真命题：“函数的图象关于直线成轴对称图形”的充要条件是“ 为偶函数”.若函数的图象关于直线对称，且当时， .（i）求的解析式；21. （10分）(2017·武邑模拟) 已知函数f（x）=x﹣ax（a＞0，且a≠1）．（1）当a=e，x取一切非负实数时，若，求b的范围；（2）若函数f（x）存在极大值g（a），求g（a）的最小值．22. （10分） (2016高二下·南城期末) 如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于E、D，连接EC、CD．（1）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）若tan∠CED= ，⊙O的半径为3，求OA的长．23. （10分）已知函数f（x）= ．（1）判断函数在区间[1，+∞）上的单调性，并用定义证明你的结论；（2）求该函数在区间[1，4]上的最大值与最小值．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共65分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。