2005年成考专升本高等数学

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2005年山东专升本(数学)真题试卷(题后含答案及解析)

6．
正确答案：A
解析：
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正确答案：A
解析：
8．
A．
B．
C．
D．
正确答案：D
解析：
单选题
9．
正确答案：
10．
正确答案：
11．
正确答案：
12．
正确答案：
计算题一
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正确答案：
1正确答案：
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正确答案：
20．
正确答案：
综合题
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正确答案：
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2005年山东专升本（数学）真题试卷(题后含答案及解析)
题型有：1.填空题2.单选题3.计算题一5.综合题
填空题
1．
正确答案：C
解析：
2．
正确答案：B
解析：
3．
正确答案：A
解析：
4．
正确答案：C
解析：
5．
正确答案：D
解析：本题中，直接分别对分子分母求导即可。
22．
正确答案：
23．
正确答案：

2005年河南省专升本高等数学真题答案及解析

1河南省2005年普通高等学校专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学答案及解析一、单项选择题（每小题2分，共计60分） 1.答案：C【解析】：C x x x ⇒<<⇒⎩⎨⎧>->-510501.2.答案：D【解析】：图形关于y 轴对称,就是考察函数是否为偶函数,显然函数222xx y -+=为偶函数,应选D.3.答案：B【解析】： ⇒-x e x~12~12x e x -,应选B.4.答案：B【解析】：2)1(2lim2)1(22121lim 21lim 21lim e n n n nn n n nn n n n n n =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛++∞→+⋅∞→+∞→∞→,应选B.5.答案：C【解析】：21)11(1lim )11(lim 11lim)(lim 0000=-+=-+=--=→→→→x x x x x x x f x x x x ,应选C.6.答案：D 【解析】：41)1(21)1(22)1()21(lim 2)1()21(lim 020-='⇒='-=----=--→-→f f h f h f h f h f h h ,应选D.7.答案：A【解析】：对方程yx exy +=两边微分得)(dy dx eydx xdy yx +=++,即dy x e dx ey y x yx )()(-=-++,dy x xy dx xy y )()(-=-,所以dy dx )1()1(x y y x --=,应选A. 8.答案：B 【解析】：423)]([3)()(32)()]([2)()(2)(x f x f x f x f x f x f x f x f ！='⋅='''⇒='=''⇒ΛΛ=)()(x f n 1)]([!+n x f n ,应选B.9.答案：A【解析】：由罗尔中值定理条件：连续、可导及端点的函数值相等来确定,只有]1,1[,1)(2--=x x f 满足,应选A. 10.答案：B【解析】：在)1,21(内,显然有0)12)(1()(<+-='x x x f ,而014)(>-=''x x f ,故函数)(x f 在)1,21(内单调减少,且曲线)(x f y =为凹的,应选B.211.答案：C 【解析】：0lim ;11lim 0=⇒∞==⇒=-→±∞→x y y y x x ，应选C.12.答案：B【解析】：dxdt t a t b t a t b dx y d t a t b x y dx dy t x t t ⨯'⎪⎭⎫ ⎝⎛-='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⇒-=''=sin cos sin cos sin cos 22ta bt a t a b 322sin sin 1sin -=-⨯=,应选B. 13.答案：B【解析】：两边对x 求导 22111)()1()(xx f x e e x f xx-=⇒-⨯=,应选B. 14.答案：A【解析】：⎰⎰+==C x F x d x f dx x xf )(sin )(sin )(sin )(sin cos ,应选A. 15.答案：C 【解析】：2arctan 11002π==+∞++∞⎰x dx x ;2arcsin 1110102π==-⎰x dx x; ∞==+∞∞+⎰eex dx x x 2)(ln 21ln ;10=-=+∞-+∞-⎰xx e dx e ,应选C.16.答案：A【解析】：被积函数||x x 在积分区间[-1,1]上是奇函数,应选A. 17.答案：D 【解析】：⎰⎰⎰⎰-----===-===-aaaaa aaaut dx x f du u f u d u f dx x f )()()()()(,应选D.18.答案：B 【解析】：x x f x x f x f x sin )(cos )()()(sin -='⇒=⇒='C x x dx x xdx xdx x f ++-=--=-='⎰⎰⎰2sin 412122cos 1sin sin )(2,应选B. 19.答案：A 【解析】：⎰badx x f )(是常数,它的导数为零,而不是)(x f ,即⎰badx x f )(不是)(x f 的原函数 ,应选A.20.答案：D【解析】：n s n s ρρρρ⊥⇒--=-=)1,1,1{},2,1,1{ ,另一方面点)2,0,3(-不在平面内,所以应为平行关系,应选D. 21.答案：B 【解析】：两个偏导数存在,不一定可微,但可微一定有偏导数存在,因此为必要条件,应选B. 22.答案：C 【解析】：dy y dx x dz y x y x z 11ln 2ln 2ln -=⇒-==dy dx dz 21)2,1(-=⇒,应选C. 23.答案：B【解析】：)1,1(),(012012-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=∂∂=++=∂∂y x y x yz y x xz,应选B.24.答案：A325.答案：C【解析】：积分区域在极坐标下可表示为：}θcos 20,2πθ0|)θ,{(a r r D ≤≤≤≤=，从而⎰⎰=σDd y x f ),(⎰⎰πθθθθ20cos 20)sin ,cos (a rdr r r f d ，应选C.26.答案：B【解析】：L ：,2⎩⎨⎧==x y xx x 从0变到1 , 1422210410310332===+=+⎰⎰⎰x dx x dx x dx x dy x xydx L,应选B.27.答案：B【解析】：∑∞=+-11)1(n nn n 发散, ∑∞=-121)1(n n n 和∑∞=+-1)1()1(n n n n 绝对收敛，∑∞=-1321)1(n nn 是收敛的，但∑∞=1321n n是32=p 的级数发散的，从而级数∑∞=-1321)1(n nn条件收敛，应选B. 28. 答案：C 【解析】：正项级数∑∞=1n nu与∑∞=1n nv收敛⇒∑∞=12n nu与∑∞=12n nv收敛，而)(2)(222nnn n v u v u +≤+，所以级数21)(n n nv u+∑∞=收敛，应选C.29. 答案：D【解析】：注意对所给的方程两边求导进行验证，可得通解应为222C y xy x =+-，应选D. 30.答案：A【解析】：微分方程的特征方程为0βλ22=+，有两个复特征根i βλ±=，所以方程的通解为t C t C x βsin βcos 21+=，应选A.二、填空题（每小题2分，共30分） 1.答案：116)2(2+-=-x x x f【解析】：⇒+-=⇒++-+=+32)(3)1(2)1()1(22x x x f x x x f116)2(2+-=-x x x f .2.答案：1=a【解析】：因10)6(lim 0)2(lim 222=⇒=-+⇒=-→→a ax x x x x .3.答案：02π12=+--y x 【解析】：2111121=+='===x x x y k ，则切线方程为)1(214π-=-x y ，即02π12=+--y x 02π12=+--y x .44.答案：dx x xe x dy xx]1ln 1[21+-= 【解析】：dx x x e x x x x d edy ey x x x xxx xx]1ln 1[)ln (21ln ln +-=+=⇒=++ .5.答案：),21(∞+ 或),21[∞+【解析】：⇒>⇒⎪⎩⎪⎨⎧>>-⇒-='21001414x x xx x x y ),21(∞+ 或),21[∞+. 6.答案：),1(e【解析】：104)1(21=⇒=-=''⇒⨯='x xx x e y xe y x x,得拐点为),1(e .7.答案：271【解析】：等式x dt t f x ⎰=3)(两边求导有13)(23=x x f ,取3=x 有271)27(=f . 8.答案：45 【解析】：⎰⎰⎰'-'='=''10101012)2(41)2(21)2(21)2(x d x f x f x x f xd dx x f x 45)0(41)2(41)2(21)2(41)2(2110=+-'=-'=f f f x f f . 9.答案：0 【解析】：0)0(00=⇒=⇒=='-f x xey x.10.答案：C x x ++|cos |ln【解析】：⎰⎰++=++=+-C x x xx x x d dx x x x |cos |ln cos )cos (cos sin 1.11. 答案：6【解析】： 6||2210101=⨯=⇒+-=-=⨯b a S k j i k j i b a ρρρρρρρρρρ .12.答案：)()(z x y z y z ++【解析】：令y z z xy z z x F ln ln ln +-=-= ,则221,1,1zz x z z x F y F z F z y x +-=--='='='.)(;2z x y z F F y z z x z F F x z z y z x +=''-=∂∂+=''-=∂∂ ,所以)()(z x y z y z y z x z ++=∂∂+∂∂ .513.答案：821π- 【解析】：积分区域在极坐标系下表示为}10,4πθ0|)θ,{(≤≤≤≤=r r D ,则 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=104π021024π02θ)1θ(sec θcos θsin θ)(rdr d rdr d dxdy x y D8π21)θθ(tan 21θ)1θ(sec 214π024π02-=-=-=⎰d .14.答案：)11(,21)1()2(21)()(0100<<-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+-=∑∑∑∞=+∞=∞=x x x x x f n n n nn n n n【解析】：21121112111)2)(1(323)(2x x x x x x xx x f -++=-++=-+=-+=, 所以)11(,21)1()2(21)()(0100<<-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+-=∑∑∑∞=+∞=∞=x x x x x f n n n nn n n n .15.答案：xe B Ax x 22)(+【解析】：2是特征方程04λ4λ2=+-的二重根,且)12(+x 是一次多项式,特解应设为 xe B Ax x 22)(+.三、计算题（每小题5分，共40分）1．xx x x x cos sin 1lim2-+→.【解析】：x x x x x x x xx x x x x cos sin 1)cos sin 1(limcos sin 1lim 2020-+++=-+→→ )cos sin 1(lim cos sin 1lim20x x x x x x x x x ++⨯-+=→→ xx x xx x x x x x cos sin 22lim 2cos sin 1lim 20020+=-+=→→34314sin cos 31lim4000=⨯=-=→x x x x .2.已知2arctan )(,2523x x f x x y ='⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=,求0=x dx dy . 【解析】：令u x x =+-2523,则)(u f y = , 22)25(162523arctan 2523)(+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+-='⎪⎭⎫ ⎝⎛+-'=⨯=x x x x x u f dx du du dy dx dy ,3.求不定积分⎰+dx xx 231.【解析】：⎰⎰⎰+=+=+222223111x d x dx x x x dx x x)1(11)(1122222222x d x x x x d x x x ++-+=+-+=⎰⎰C x x x ++-+=23222)1(321.4.设⎪⎩⎪⎨⎧<+≥+=0,210),1ln()(x xx x x f ,求⎰-20)1(dx x f .【解析】：令t x =-1 ,则⎰⎰-=-112)()1(dt t f dx x f⎰⎰⎰⎰+++=+=--10011001)1ln(21)()(dt t dt t dt t f dt t f ⎰+-+++=-1010011)1ln()2ln(dt tt t t t⎰+--+=10)111(2ln 2ln dt t12ln 3)1ln(2ln 21010-=++-=t t .5.设),sin (22y x y e f z x += ，其中),(v u f 可微，求yz x z ∂∂∂∂,. 【解析】：令v y x u y e x=+=22,sin ,则),(v u f z =,复合关系结构如图05-1所示,x vv z x u u z x z ∂∂⨯∂∂+∂∂⨯∂∂=∂∂),(2),(sin v u f x v u f y e v u x'+'=,yvv z y u u z y z ∂∂⨯∂∂+∂∂⨯∂∂=∂∂ ),(2),(cos v u f y v u f y e v u x'+'=.6．求⎰⎰D dxdy y x 22，其中D 是由2,1===x x y xy 及所围成的闭区域.【解析】：积分区域如图05-2所示，曲线x y xy ==,1在第一象限内的交点为（1，1），积分区域可表示为：x y xx ≤≤≤≤1,21.则⎰⎰⎰⎰⎰-==21121222122)1(dx y x dy y x dx dxdy y x x xx x D z vu x xy y 图05-1xx 图05-27⎰⎰-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=213212)(1dx x x dx x x x49242124=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x . 7．求幂级数12012)1(+∞=∑+-n n n x n 的收敛域（考虑区间端点）.【解析】：这是缺项的标准的幂级数，因为 221232113212lim )1(1232)1(lim lim ρx n n x x n n x u u n n n n n n nn n =++=-+⋅+-==∞→+++∞→+∞→，当1ρ<，即11<<-x 时，幂级数绝对收敛；当1ρ>，即1>x 或1-<x 时，幂级数发散；当1ρ=，即1±=x 时，若1=x 时，幂级数化为∑∞=+-012)1(n nn 是交错级数，满足来布尼兹定理的条件，是收敛的，若1-=x 时，幂级数化为∑∞=++-0112)1(n n n 也是交错级数，也满足来布尼兹定理的条件，是收敛的.故幂级数的收敛域为[-1,1].8．求微分方程 0cos 2)1(2=-+'+x xy y x 通解. 【解析】：微分方程可化为 1cos 1222+=++'x xy x x y ，这是一阶线性非齐次微分方程，它对应的齐次线性微分方程0122=++'y x x y 的通解为12+=x Cy . 设非齐次线性微分方程的通解为1)(2+=x x C y ，则222)1()(21)(+-+'='x x xC x x C y ，代入方程得x x C cos )(=',所以C x x C +=sin )(.故原微分方程的通解为1sin 2++=x Cx y (C 为任意常数).四、应用题（每小题7分，共计14分）1. 一房地产公司有50套公寓要出租,当月租金定为2000元时,公寓会全部租出去,当月租金每增加100元时,就会多一套公寓租不出去,而租出去的公寓每月需花费200元的维修费.试问租金定为多少可获得最大收入?最大收入是多少? 【解析】：设每套公寓租金为x 元时,所获收入为y 元,则 )2000(),200](100200050[>---=x x x y , 整理得 ),14000007200(10012-+-=x x y )72002(1001+-='x y 均有意义,8令0='y 得唯一可能的极值点3600=x ,而此时0501<-=''y ,所以3600=x 是使y 达到极大值的点,即为最大值的点.最大收入为115600340034)2003600](1002000360050[=⨯=---=y (元).故租金定为每套3600元时,获得的收入最大,最大收入为115600元. 2.平面图形由抛物线x y 22=与该曲线在点)1,21(处法线所围成,试求: (1)该平面图形的面积;(2)该平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积.【解析】：平面图形如图05-3所示,切点)1,21(A 处的切线斜率为21='=x y k ,由x y 22=得yy 1=',故A 点处的切线斜率 1121='='===y x y y k ,从而A 点处的法线斜率为-1, 法线方程为023=-+y x . 联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=02322y x xy 得另一交点)3,29(-B(1) 把该平面图形看作Y 型区域,其面积为316)6223(2)23(1332132=--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=--⎰y y y dy y y S ;(2) 根据抛物线的对称性知,该平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积等于平面图形OBC 绕x 轴旋转所成旋转体的体积,有故 ⎰⎰+--=--=292329233229022290)312349(ππ)23(π2πx x x xdx x xdx V xπ445]9481[π=-=. 五、证明题（6分）试证：当0>x 时，有xx x x 11ln 11<+<+. 【证明】：构造函数x x f ln )(=，它在)0(∞+，内连续，当0>x 时，函数在区间]1,[x x +上连续，且xx f 1)(='. 故)(x f 在]1,[x x +上满足Lagrange 中值定理,存在)1,(ξ+∈x x , 使得)ξ()()1(f x f x f '=-+，)1ξ(+<<x x .x图05-3023=-y9而x f x 1ξ1)ξ(11<='<+,故有xx x x 1ln )1ln(11<-+<+, 即0>x 时,xx x x 11ln 11<+<+成立.。

2005年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学(一)》试卷【附答案】

2005年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（一）》试卷考试说明：1、考试时间为150分钟；2、满分为150分；3、答案请写在试卷纸上，用蓝色或黑色墨水的钢笔、圆珠笔答卷，否则无效；4、密封线左边各项要求填写清楚完整。

一、填空题：（只需在横线上直接写出答案，不必写出计算过程，本题共有8个空格，每一空格5分，共40分）1．函数x e x x xy --=)1(sin 2的连续区间是____________________. 2．___________________________)4(1lim 2=-+-∞→x x x x .3．（1）x 轴在空间中的直线方程是________________________.（2）过原点且与x 轴垂直的平面方程是._____________________4．设函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<+=>+=--1 ,1b 1 ,1,)1(1)(2)1(12x x x a x e x x f x ,当_________,==b a 时，函数)(x f 在点x=1处连续.5．设参数方程⎩⎨⎧==θθ2sin 2cos 32r y r x ，（1）当r 是常数,θ是参数时，则_______________=dx dy.（2）当θ是常数，r 是参数时，则=dxdy_____________.二．选择题. （本题共有5个小题，每一小题4分，共20分，每个小题给出的选项中，只有一项符合要求）1．设函数)(x f y =在b], [a 上连续可导，),(b a c ∈，且0)('=c f ，则当（）时，)(x f 在c x =处取得极大值.)(A 当c x a <≤时，0)('>x f ，当b x c ≤<时，0)('>x f ,)(B 当c x a <≤时，0)('>x f ，当b x c ≤<时，0)('<x f , )(C 当c x a <≤时，0)('<x f ，当b x c ≤<时，0)('>x f ,)(D 当c x a <≤时，0)('<x f ，当b x c ≤<时，0)('<x f .2．设函数)(x f y =在点0x x =处可导，则). ()2()3(lim000=--+→hh x f h x f h).(5)( ),( 4)( ),(x 3)( ),()(0'0'0'0'x f D x f C f B x f A3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=--0,0 0,0x ,)(22x e x e x f x x ，则积分⎰-11)(dx x f ＝（）..2)( ,e1)( 0)( ,1)(D C B A -4．可微函数),(y x f z =在点),(00y x 处有0=∂∂=∂∂yz x z 是函数),(y x f z =在点),(00y x 取得极值的（）.(超纲,去掉))(A 充分条件， )(B 必要条件，)(C 充分必要条件， )( D 既非充分条件又非必要条件.5．设级数∑∞=1n na和级数∑∞=1n nb都发散，则级数∑∞=+1)(n n nb a是（）.)(A 发散， )(B 条件收敛， )(C 绝对收敛，)( D 可能发散或者可能收敛.三．计算题：（计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分,本题共10个小题，每小题7分，共70分） 1．求函数x x x y )1(2+-=的导数.2. 求函数1223+-=x x y 在区间（－1，2）中的极大值，极小值.3. 求函数xe x xf 2)( 的n 阶导数nn dxfd .12231dxxx.4．计算积分⎰-+ -5．计算积分⎰+dx e x 211.6．计算积分⎰-+12)2(dx e x x x.7．设函数)sin()cos(y x xy z ++=，求偏导数x z ∂∂和yx z∂∂∂2.(超纲,去掉).8.把函数11+=x y 展开成1-x 的幂级数，并求出它的收敛区间.9.求二阶微分方程x y dx dydx y d =+-222的通解.10.设b a ,是两个向量，且,3,2==b a 求2222b a b a -++的值，其中a 表示向量a 的模..四．综合题：（本题共2个小题，每小题10分，共20分）1．计算积分⎰++π212sin 212sinxdx m x n ，其中m n ,是整数.2．已知函数d cx bx ax x f +++=234)(23，其中常数d c b a ,,,满足0=+++d c b a ，（1）证明函数)(x f 在（0，1）内至少有一个根，（2）当ac b 832时，证明函数)(x f 在（0，1）内只有一个根.2005年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（一）》参考答案一．填空题：(每空格5分，共40分)1．连续区间是),1()1,0()0,(+∞-∞ ，2．21， 3．（1）⎩⎨⎧==00z y 或者001zy x ==，或者0,0,===z y t x （其中t 是参数），（2）0=x4．1,0-==b a ，5．（1）yxr 2-，（2）x y 23.三．计算题。

2005年河北专接本高等数学答案02

河北省2005年试卷数学（二）（财经类）参考答案一、选择题 1．B解设任意21,x x [)+∞∈,0，且21x x <，则f(x)由在[)+∞,0内严格单调增得)()(21x f x f <，于是再有)(x f 是()+∞∞-,上的奇函数，得12x x -<-，且)()(12x f x f -<-=0)()(21<+-x f x f ，即)(x f 在[)+∞,0上严格单增，故)(x f 在()+∞∞-,内严格单调增。

说明：原题为“)(x f 在[)+∞,0内严格单调增”。

如果不将左端点取成闭的，则本题无可选答案。

2．A这是第一个重要极限，注意趋向。

3、D解因为a t f xf xg t x x )(lim )1(lim )(lim 0∞→→→==由)(x g 在0=x 连续当且仅当)0()(lim 0g x g x =→知，需且仅需a=0，所以选D4、D解记 1)(-==x x f y 因为 [])1()1(lim lim 0f x f y x x -∆+=∆→∆→∆= )1111(lim 0---∆+→∆x x=x x ∆→∆0lim=0不存在，即f '不存在，故选c 5、A由判定极值的第二充分条件即得。

)(0'x f =0处为驻点， 0)(0''>x f 时在处取得极小值 0)(0''<x f 时在处取得极大值由题0)(0'≠x f 处不知正负，但可知在此处一定取得极值。

6、C解因为被积函数为奇函数，故为0。

若)(x f 在[]a a ,-上连续且为偶函数，则有dx x f dx x f aaa⎰⎰=-0)(2)(若在上连续且为奇函数，则有0)(=⎰-dx x f a a故有有0sin cos =⎰-dx x x n ππ7、B解考察P 级数，当1>P 时收敛，当)10(11<<∑∞=p nn p时发散，当1=P 时为调和级数，发散。

2005年普通专升本高等数学真题

2005年普通高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段考试试题高等数学一、单项选择题（每小题2分，共60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后面的括号内。

不选、错选或多选者，该题不得分。

1.函数xx y --=5)1ln(的定义域为（）。

A.x>1B.x<5C.1<x<5D.1<x ≤5 2.下列函数中，图形关于y 轴对称的是（）。

A.y=xcosx B.13++=x x y C.222xxy --=D. 222xxy -+=3.当x →0时，12-xe等价的无穷小量是（）。

A.x B.x 2 C.2x D.2x 2 4.∞→n lim 1)21(++n n=( )。

A.eB.e 2C.e 3D.e 45.设函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠--0,0,11x a x xx在x=0处连续，则a=（）。

A. 1 B. -1 C. 21 D. 21-6.设函数f(x)在点x=1出可导，则21)1()21(lim =--∞→hf h f h ,则=)1('f （）。

A. 21B. 21-C.41 D. 41-7.由方程y x e xy +=确定的隐函数x(y)的导数dxdy 为（）A.)1()1(x y y x -- B.)1()1(y x x y -- C.)1()1(-+y x x y D.)1()1(-+x y y x8.设函数f(x)具有任意阶导数，且()()[]x f x f n =)('=（）。

A.()[]1+n x f n B.()[]1!+n x f n C.()[]1)1(++n x f n D.()[]1)!1(++n x f n9.下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是（）。

A.[]1,1,1)(2--=x x f B.[]1,1,)(-=-xxe x fC.[]1,1,11)(2--=xx f D. []1,1,)(-=x x f10.设)12)(1()('+-=x x x f ,),(+∞-∞∈x ,则在(21,1)内,f(x)单调（）。

2005年陕西高校专升本招生高等数学试题

2005年陕西高校专升本招生高等数学试题一. 单选题 (每题5分,共25 分)1. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(x x xx x f ,则0=x 是( ) A. 可去间断点 B. 跳跃间断点 C. 第二类间断点 D. 连续点 2.⎰='dx x f )3(( )A. c x f +)3(B.c x f +)3(31 C. c x f +)(3 D.c x f +)(313. 设由方程0),(=++bz y az x F 确定隐函数),(y x z z =,则yzb x z a ∂∂+∂∂= ( ) A. a B. b C. 1- D. 1 4. 下列级数为绝对收敛的是( ) A.n n n1)1(1∑∞=- B. ∑∞=-12)1(n nn C. ∑∞=-12)1(n nnD.nn n )23()1(0∑∞=- 5.=⎰⎰-dx e dy yx112( ) A.)11(21e - B. )11(21-e C. )11(2e - D. )11(2-e二. 填空题 (每题5分,共25 分)6. 已知)(x f 的定义域为[0,2], 则)21()21(-++x f x f 的定义域为__________. 7. 设e xm xx =+∞→3)1(lim ,则=m __________. 8. 设23)(23+-=x x x f ,则曲线)(x f y =的拐点是__________.9.dx x x x)1sin (1122⎰--+=___________.10. 设)cos(y x ez xy-+=,则=)1,1(|dz __________.三. 计算题 (每题9分.共81分)11. 计算.sin )1ln(lim2202xx dtt x x ⎰+→12. 已知参数方程 ⎩⎨⎧+-==)1ln(1arctan 2t y t x ,求.,|221dx yd dx dy t = 13. 求不定积分.1arctan 22dx xxx ⎰+ 14. 已知)(x f 是可导函数,且0)1(=f ,,311)(=⎰dx ex f 求dx x f xe x f )(1)('⎰.15. 已知xy v y x u v u f z =+==,),,(,f 具有二阶连续的偏导数,求.2y x z∂∂∂16. 已知曲线方程⎩⎨⎧==21x y xyz ,求在点(1,1,1)处曲线的切线方程和法平面方程. 17. 求曲线积分,22⎰+-Lyx xdyydx 其中L 为)0(222>=+a a y x 取逆时针方向. 18. 将函数24xxy +=展开为麦克劳林级数,并确定其定义域. 19. 求微分方程xxe y y y 244=+'-''的通解. 四. 应用与证明题 (20题11分,21题8分)20. 设抛物线,2bx ax y +=当0,10≥≤≤y x 时，已知它与直线1,0==x y 所围成的图形的面积为31.求b a ,的值,使此图形绕X 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小. 21. 证明:若)(),(x g x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内可导,,0)(,0)()(≠==x g b f a f 则至少存在一点),(b a ∈ξ,使.0)()(2)()(='+'ξξξξf g g f2005年陕西高校专升本招生高等数学试题答案一. 单选题1. D2. B3. C4. B5. A 二. 填空题6. ]23,21[ 7. 31 8. )0,1( 9. 2π10. )(dy dx e + 三. 计算题11. 21 12. 2|)2(|11-=-===t t t dx dy . )1(2112)2()(2222t t dt dx t dt ddx dy dx d dxy d +-=+-=-== 13. C x x x x +++-22)(arctan 21)1ln(21arctan14.dx x f xex f )(10)('⎰=32311|)(1)(1)(1)(=-=-=⎰⎰dx e xeexd x f x f x f 15. 2222112112)(f y x f f x f f yx z +⋅++⋅+=∂∂∂16. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧==y x xz dx dz x dx dyx dx dy x dx dz y dx dy z x y x yz 222122211,在(1,1,1)处 3,2)1,1,1()1,1,1(-==dx dz dx dy, 切向量)3,2,1(-=T 切线为312111--=-=-z y x 法平面为0)1(3)1(2)1(1=---+-⋅z y x 即032=-+z y x 17. 不能用格林公式. L:π20,sin ,cos ≤≤==t t a y t a x 有.2cos sin 202222222⎰⎰-=--=+-Ldt a ta t a yx xdy ydx ππ 18. )2,2(,2)1()2()1(4)2(1144112022-∈-=-⋅=+⋅=+=+∞=+∞=∑∑x x x x x xx x y n n n n n nn 19. 特征根221==r r ，齐次方程通解为x xxe C e C Y 2221+=.设非齐次方程的特解形式为xeb ax x y 22)(+=*，代入非齐次方程比较系数得：0,61==b a .故非齐次方程的通解为x xxe x xeC e C y 2322216++= 四. 应用题与证明题20. 有3123)(102=+=+⎰b a dx bx ax ，)325()(22122b ab a dx bx ax V ++=+=⎰ππ 因)1(32a b -=，故)94954514(2+-=a a V π，令0='V ，得2825=a ，又 04528)2825(>=''V ，于是141,2825==b a 时旋转体的体积最小. 21. 令)()()(2x g x f x F =,则)(x F 在],[b a 上连续,在),(b a 内可导.0)()(==b F a F ,由罗尔定理知,至少存在),(b a ∈ξ使0)(='ξF , 0)()()(2)()(2='+'ξξξξξf g g g f即.0)()(2)()(='+'ξξξξf g g f。

重庆专升本2005-2011年高等数学真题附参考答案

2005年重庆专升本高等数学真题一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）、1、下列极限中正确的是（）A 、0lim x →12x =∞ B 、0lim x →12x=0 C 、0lim x →=sin1x 0 D 、0lim x →sin x x=02、函数f （x ）={x-12-x (0≦x ≦1)(1﹤x ≦3) 在x=1处间断是因为（）A 、f （x ）在x=1处无定义B 、1lim x -→f （x ）不存在 C 、1lim x →f （x ）不存在 D 、1lim x +→f （x ）不存在 3、y=ln （1+x ）在点（0,0）处的切线方程是（）A 、y=x+1B 、y=xC 、y=x-1D 、y=-x 4、在函数f （x ）在（a ，b ）内恒有f ′(x)﹥0 , f ″(x)﹤0，则曲线在（a ，b ）内（）A 、单增且上凸B 、单减且上凸C 、单增且下凸D 、单减且下凸 5、微分方程y ′－y cotx=0的通解（）A 、y=sin cxB 、y= c sinxC 、y=cos c xD 、y=c cosx6、n 元线性方程组Ax=0有非零解的充要条件是（） A 、方程个数m ﹤n B 、方程个数m ﹥n C 、方程个数m=n D 、秩(A) ﹤n二、判断题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分）1、若极限0lim x x →f （x ）和0lim x x →f （x ）g （x ）都存在，则0lim x x →g （x ）必存在（）2、若0x 是函数f （x ）的极值点，则必有'()0f x = ( )3、4sin x xdx ππ-⎰=0 （）4、设A 、B 为n 阶矩阵，则必有222()2A B A AB B +=++ ( ) 三、计算题（1-12题每题6分，13题8分，共80分）1、计算32lim3x x →-2、计算57lim 53xx x x →∞+⎛⎫⎪-⎝⎭3、设y=(1+2x )arctanx ，求'y4、设y=sin （10+32x ），求dy5、求函数f （x ）=3212313x x x -++的增减区间与极值6、计算3ln x xdx ⎰7、 5⎰8、设44224z x y x y =+-，求dz9、计算sin Dxd xσ⎰⎰，其中D 是由直线y=x 及抛物线y=2x 所围成的区域10、求曲线x y e =与过其原点的切线和y 轴所围成的平面图形的面积及该平面图形绕x 轴旋转所形成的旋转体的体积11、求矩阵133143134A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵12、求线性方程组1231235224{x x x x x x -+=-++=的通解13、证明：当x ﹥0时，arctan x ﹥313x x -2006年重庆专升本高等数学真题一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）1、当0x →时，下列各无穷小量与x 相比是高阶无穷小的是（）A 、22x x +B 、2sin xC 、sin x x +D 、2sin x x + 2、下列极限中正确的是（）A 、sin lim 1x x x →∞=B 、01lim sin 1x x x →=C 、0sin 2lim 2x xx→= D 、10lim 2x x →=∞3、已知函数f （x ）在点0x 处可导，且0'()3f x =，则000(5)()limh f x h f x h→+-等于（）A 、6B 、0C 、15D 、104、如果00(,),'()0,x a b f x ∈则0x 一定是f （x ）的（）A 、极小值点B 、极大值点C 、最小值点D 、最大值点5、微分方程0dy xdx y+=的通解为（） A 、22x y c += ()c R ∈ B 、22x y c -= ()c R ∈C 、222x y c += ()c R ∈D 、222x y c -= ()c R ∈6、三阶行列式231502201298523-等于（）A 、82B 、-70C 、70D 、-63二、判断题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分）1、设A 、B 为n 阶矩阵，且AB=0，则必有A=0或B=0 （）2、若函数y=f （x ）在区间（a ，b ）内单调递增，则对于（a ，b ）内的任意一点x 有'()0f x （）3、 21101xxe dx x-=+⎰ （） 4、若极限0lim ()x x f x →和0lim ()x x g x →都不存在，则[]0lim ()()x x f x g x →+也不存在（）三、计算题（1-12题每题6分，13题8分，共80分） 1、计算2cos xdx x⎰2、计算311ln lim x x x xe e→-+-3、设arcsin 'y x y =+求4、计算23lim 25xx x x →∞+⎛⎫⎪-⎝⎭5、求函数3()3f x x x =-的增减区间与极值6、设函数2xy z e yx =+，求dz7、设2cos(523)y x x =++，求dy8、计算4⎰9、求曲线ln y x =的一条切线，其中[2,6]x ∈，使切线与直线x=2，x=6和曲线y=lnx 所围成面积最少。

2005河南专升本高数真题

2005年河南省普通高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试高等数学试卷一、单项选择题（每小题2分，共计60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后面的括号内。

不选、错选或多选者，该题无分.1.函数xx y --=5)1ln(的定义域为为（）A. 1>xB.5<xC.51<<xD. 51≤<x解：C x x x ⇒<<⇒⎩⎨⎧>->-510501.2.下列函数中,图形关于y 轴对称的是（）A ．x x y cos = B. 13++=x x yC. 222x x y --=D. 222x x y -+=解：图形关于y 轴对称,就是考察函数是否为偶函数,显然函数222xx y -+=为偶函数,应选D.3. 当0→x 时，与12-x e 等价的无穷小量是（）A. xB.2xC. x 2D. 22x 解： ⇒-x e x~12~12x e x -,应选B.4.=⎪⎭⎫⎝⎛++∞→121lim n n n （） A. e B. 2e C. 3e D. 4e解：2)1(2lim2)1(22121lim 21lim 21lim e n n n nn n n nn n n n n n =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛++∞→+⋅∞→+∞→∞→,应选B.5.设⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=0,0,11)(x a x xxx f 在0=x 处连续，则常数=a （） A. 1 B. -1 C. 21 D. 21-解：21)11(1lim )11(lim 11lim)(lim 0000=-+=-+=--=→→→→x x x x x x x f x x x x ,应选C.6.设函数)(x f 在点1=x 处可导,且21)1()21(lim 0=--→h f h f h ,则=')1(f （）A. 1B. 21-C. 41D. 41-解：41)1(21)1(22)1()21(lim 2)1()21(lim020-='⇒='-=----=--→-→f f h f h f h f h f h h ,应选D.7.由方程y x e xy +=确定的隐函数)(y x 的导数dydx为（）A.)1()1(x y y x --B.)1()1(y x x y --C.)1()1(-+y x x yD.)1()1(-+x y y x 解：对方程y x e xy +=两边微分得)(dy dx e ydx xdy y x +=++, 即dy x e dx e y y x y x )()(-=-++, dy x xy dx xy y )()(-=-,所以dy dx )1()1(x y y x --=,应选A. 8.设函数)(x f 具有任意阶导数,且2)]([)(x f x f ='，则=)()(x f n （） A. 1)]([+n x f n B. 1)]([!+n x f nC. 1)]()[1(++n x f nD. 1)]([)!1(++n x f n 解：423)]([3)()(32)()]([2)()(2)(x f x f x f x f x f x f x f x f ！='⋅='''⇒='='',⇒ =)()(x f n 1)]([!+n x f n ,应选B.9.下列函数在给定的区间上满足罗尔定理的条件是（） A.]1,1[,1)(2--=x x f B.]1,1[,)(-=-x xe x fC.]1,1[,11)(2--=xx f D ．]1,1[|,|)(-=x x f 解：由罗尔中值定理条件：连续、可导及端点的函数值相等来确定,只有]1,1[,1)(2--=x x f 满足,应选A.10.设),(),12)(1()(+∞-∞∈+-='x x x x f ,则在)1,21(内,)(x f 单调 ( )A.增加,曲线)(x f y =为凹的B.减少,曲线)(x f y =为凹的C.增加,曲线)(x f y =为凸的D.减少,曲线)(x f y =为凸的解: 在)1,21(内,显然有0)12)(1()(<+-='x x x f ,而014)(>-=''x x f ,故函数)(x f 在)1,21(内单调减少,且曲线)(x f y =为凹的,应选B.11.曲线xey 1-=（）A. 只有垂直渐近线B. 只有水平渐近线C. 既有垂直渐近线，又有水平渐近线，D. 无水平、垂直渐近线解：0lim ;11lim 0=⇒∞==⇒=-→±∞→x y y y x x ，应选C. 12.设参数方程为⎩⎨⎧==t b y t a x s i n c os ,则二阶导数=22dx yd （）A.t a b 2sin B.t a b32sin - C.t a b 2cos D.t t a b22cos sin -解：dxdt t a t b t a t b dx y d t a t b x y dx dy t x t t ⨯'⎪⎭⎫ ⎝⎛-='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⇒-=''=sin cos sin cos sin cos 22ta b t a t a b 322sin sin 1sin -=-⨯=,应选B. 13.若⎰+=C e dx e x f xx 11)(，则=)(x f （）A. x 1-B. 21x -C. x 1D. 21x解：两边对x 求导 22111)()1()(xx f x e e x f x x -=⇒-⨯=,应选B.14. 若⎰+=C x F dx x f )()( ，则⎰=dx x xf )(sin cos （）A.C x F +)(sinB.C x F +-)(sinC.C x F +)(cosD.C x F +-)(cos 解:⎰⎰+==C x F x d x f dx x xf )(sin )(sin )(sin )(sin cos ,应选A.15.下列广义积分发散的是（）A.⎰+∞+0211dx xB.⎰-10211dx xC.⎰+∞e dx x x lnD.⎰+∞-0dx e x解：2arctan 11002π==+∞++∞⎰x dx x ;2arcsin 1110102π==-⎰x dx x ; ∞==+∞∞+⎰eex dx x x 2)(ln 21ln ;10=-=+∞-+∞-⎰xx e dx e ,应选C.16.=⎰-11||dx x x（）A.0B.32C.34D.32-解：被积函数||x x 在积分区间[-1,1]上是奇函数,应选A.17.设)(x f 在],[a a -上连续,则定积分⎰-=-aadx x f )( （）A.0B.⎰a dx x f 0)(2 C.⎰--a adx x f )( D.⎰-aadx x f )(解：⎰⎰⎰⎰-----===-===-aaaaa aaaut dx x f du u f u d u f dx x f )()()()()(,应选D.18.设)(x f 的一个原函数是x sin ,则='⎰xdx x f sin )( （）A.C x x +-2sin 2121B.C x x ++-2sin 4121 C.x 2sin 21 D.C x +-2sin 21解: x x f x x f x f x sin )(cos )()()(sin -='⇒=⇒='C x x dx x xdx xdx x f ++-=--=-='⎰⎰⎰2sin 412122cos 1sin sin )(2,应选B. 19.设函数)(x f 在区间],[b a 上连续,则不正确的是（）A.⎰b a dx x f )(是)(x f 的一个原函数B.⎰xadt t f )(是)(x f 的一个原函数 C.⎰ax dt t f )(是)(x f -的一个原函数 D.)(x f 在],[b a 上可积解: ⎰badx x f )(是常数,它的导数为零,而不是)(x f ,即⎰badx x f )(不是)(x f 的原函数 ,应选A.20.直线22113+=-=-z y x 与平面01=+--z y x 的关系是（） A. 垂直 B.相交但不垂直 C. 直线在平面上 D. 平行解：n s n s⊥⇒--=-=)1,1,1{},2,1,1{ ,另一方面点)2,0,3(-不在平面内,所以应为平行关系,应选D..21.函数),(y x f z =在点),(00y x 处的两个偏导数x z ∂∂和yz∂∂存在是它在该点处可微的（）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.无关条件解：两个偏导数存在,不一定可微,但可微一定有偏导数存在,因此为必要条件,应选B.22.设yxz 2ln = ，则=)2,1(dz （）A.dx x y 2B.dy dx 2121-C.dy dx 21-D.dy dx 21+ 解：dy ydx x dz y x y x z 11ln 2ln 2ln -=⇒-==dy dx dz 21)2,1(-=⇒,应选C.23.函数1),(22+-+++=y x y xy x y x f 的极小值点是（）A.)1,1(-B.)1,1(-C. )1,1(--D. )1,1(解：)1,1(),(012012-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=∂∂=++=∂∂y x y x y z y x xz,应选B.24.二次积分⎰⎰202),(x dy y x f dx 写成另一种次序的积分是（）A. ⎰⎰402),(y dx y x f dy B. ⎰⎰400),(ydx y x f dy C. ⎰⎰4022),(xdx y x f dy D. ⎰⎰402),(ydx y x f dy解：积分区域}2,40|),{(}0,20|),{(2≤≤≤≤=≤≤≤≤=x y y y x x y x y x D ,应选A.25.设D 是由上半圆周22x ax y -=和x 轴所围成的闭区域,则⎰⎰=σDd y x f ),(（）A.⎰⎰πθθθ2020)sin ,cos (a rdr r r f d B.⎰⎰πθθθ2020)sin ,cos (adr r r f d C.⎰⎰πθθθθ20cos 20)sin ,cos (a rdr r r f d D.⎰⎰πθθθθ20cos 20)sin ,cos (a dr r r f d解：积分区域在极坐标下可表示为：}θcos 20,2πθ0|)θ,{(a r r D ≤≤≤≤=，从而⎰⎰=σDd y x f ),(⎰⎰πθθθθ20cos 20)sin ,cos (a rdr r r f d ，应选C.26.设L 为抛物线2x y =上从)0,0(O 到)1,1(B 的一段弧，=+⎰Ldy x xydx 22（）A. -1B.1C. 2D. -1解：L ：,2⎩⎨⎧==xy xx x 从0变到1 , 1422210410310332===+=+⎰⎰⎰x dx x dx x dx x dy x xydx L,应选B.27.下列级数中，条件收敛的是（）A ．∑∞=+-11)1(n nn n B ．∑∞=-1321)1(n n nC ．∑∞=-121)1(n nn D ．∑∞=+-1)1()1(n nn n解：∑∞=+-11)1(n n n n 发散, ∑∞=-121)1(n n n 和∑∞=+-1)1()1(n n n n 绝对收敛，∑∞=-1321)1(n nn 是收敛的，但∑∞=1321n n 是32=p 的级数发散的，从而级数∑∞=-1321)1(n n n条件收敛，应选B.28. 下列命题正确的是（）A ．若级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 收敛，则级数21)(n n n v u +∑∞=收敛B ．若级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 收敛，则级数)(212n n nv u +∑∞=收敛 C ．若正项级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 收敛，则级数21)(n n n v u +∑∞=收敛D ．若级数∑∞=1n n n v u 收敛，则级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 都收敛解：正项级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 收敛⇒ ∑∞=12n nu 与∑∞=12n n v 收敛，而)(2)(222n n n n v u v u +≤+，所以级数21)(n n n v u +∑∞=收敛，应选C 。

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第 1 页 2005年成考专升本高等数学 6
一、单项选择题(本大题共3小题，每小题4分，共12分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.可数个闭集的并集一定是（）
A.开集
B.闭集
C.F σ集
D.G δ集
2.若[][][]Q Q -=⋂-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=6,5,313121110C ，，B ，，，，A ，则与（A ∩B ）∪C 对等的集合是
（）
A.（A ∪C ）∩（B ∪C ）
B.（A ∩C ）∪B
C.（A ∪B ）∩C
D.（A ∪C ）∩B
3.若简单函数列{ fn(x)}满足| fn(x)|≤| fn+1(x)|，则∞→n lim fn(x)一定是（）
A.简单函数
B.可测函数
C.连续函数
D.可积函数
二、判断题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
判断下列各题，正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”。

4.对一切正整数n ，R 与Rn 一定对等.（）
5.若用A 表示平面上以有理点为中心、有理数为半径的所有圆，则A 是可数集.（）
6.f(x)为［a,b ］上连续函数∀⇔
实数c ，E=｛x|f(x)≥c ｝是闭集.（） 7.若A 、B R ⊂，A ∪B 可测，m(A ∪B)＜+∞,m(A ∪B)=m*A+m*B,则A 与B 都是可测集.（）
8.两个不可测函数的乘积一定不是可测函数.（）
9.设｛En ｝为两两不交的可测集列，f(x)在En 上Lebesgue 可积，则f(x)在
∞
==
1n n E E 上也Lebesgue
可积.（）
三、填空题(本大题共10小题，每空4分，共40分)
第 2 页请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

10.设A2n-1=(-n,
n 1
)，A2n=(0,n),则集列｛An ｝的上限集为___________. 11.设An=(1-n 21,2+n 1
)，则 ∞=∞
==1m m n n A ___________.
12.用E 表示平面上无穷多个两两不相交的圆所成之集，则E 的基数为___________.
13.设⎭⎬⎫⎩⎨⎧∞∈==),0(,1sin |),(x x y y x F ，E=｛(0,y)|y ∈(1,2)｝∪F ，则E 的导集E ′=___________.
14.记E 为R3中边长为2的立方体，则E 中的有理点集的外测度为___________.
15.设E 是一个可数点集A 和有理数集Q 的并集，则mE=___________.
16.函数f(x)在区间［0,1］上几乎处处连续是指___________.
17.设非负函数f(x)在E 上可积，⎰=0)(dx x f E ，则mE ［ f >0］=___________.
18.设在Cantor 集P0上定义函数f(x)=0，而在P0的余集中长为n 31
的构成区间上定义为1(n=1,2,…)，则f(x)在
［0,1］上的Lesbegue 积分值为___________.
19.设f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧⋂∈-∈其他,1]3,1[,sin ]1,0[,2Q
Q
x x x x ，则⎰]8,0[f(x)dx=___________.
四、完成下列各题(本大题共4小题，每小题9分，共36分)
20.如果m*E=0，证明E 可测.
21.设E 是Rn 中的可测集，函数f(x)定义在E 上，若δ∀＞0，存在Rn 中的闭集E δ，使E E ⊂δ，m(E-E δ)＜
δ，且f(x)是E δ上的连续函数，证明f(x)是E 上的可测函数.
22.利用Lebesgue 控制收敛定理，说明x nx x n x n n d sin 1lim
2122⎰+∞∞→+·存在，并求之.
23.计算函数f(x)=⎩⎨⎧∈+∈]2,1(,4]1,0[,2x x x x 在［0,2］上的全变差.。