2020年10月山东省济南外国语学校2021届高三毕业班质量检测数学试题(解析版)
2020-2021济南外国语学校华山校区高三数学上期末试卷及答案
2020-2021济南外国语学校华山校区高三数学上期末试卷及答案一、选择题1．设,x y满足约束条件20230x yx yx y--≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≤⎩，则46yx++的取值范围是A．3[3,]7-B．[3,1]-C．[4,1]-D．(,3][1,)-∞-⋃+∞2．数列{}n a满足()11nn na a n++=-⋅，则数列{}n a的前20项的和为( )A．100B．-100C．-110D．1103．已知等比数列{}n a的公比为正数，且239522,1a a a a⋅==，则1a= ( )A．12B．2C．2D．24．已知数列{}n a的前n项和为n S，点(,3)nn S+*()n N∈在函数32xy=⨯的图象上，等比数列{}n b满足1n n nb b a++=*()n N∈，其前n项和为nT，则下列结论正确的是（）A．2n nS T=B．21n nT b=+C．n nT a>D．1n nT b+<5．若直线()10,0x ya ba b+=>>过点(1,1)，则4a b+的最小值为（）A．6B．8C．9D．106．我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，...，9填入33⨯的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图）.一般地，将连续的正整数1，2，3，…，2n填入n n⨯的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n阶幻方.记n阶幻方的一条对角线上数的和为n N(如：在3阶幻方中，315N=)，则10N=（）A．1020B．1010C．510D．5057．数列{}n a中，对于任意,m n N*∈，恒有m n m na a a+=+，若118a=，则7a等于( )A．712B．714C．74D．788．在ABC∆中，角,,A B C的对边分别为a，b，c．若ABC∆为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（ ）A ．2a b =B ．2b a =C ．2A B =D ．2B A =9．已知正项等比数列{}n a 的公比为3，若229m n a a a =，则212m n+的最小值等于（ ） A ．1B ．12C ．34 D ．3210．等差数列{}n a 中，已知611a a =，且公差0d >，则其前n 项和取最小值时的n 的值为( ) A ．6B ．7C ．8D ．911．已知x 、y 满足约束条件50{03x y x y x -+≥+≥≤，则24z x y =+的最小值是（ ）A ．6-B ．5C ．10D ．10-12．若变量x ，y 满足约束条件1358x y x x y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，，，则2yz x =-的取值范围是（ ） A ．113⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，B ．11115⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，C ．111153⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， D ．3153⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，二、填空题13．已知0a >，0b >，当()214a b ab++取得最小值时，b =__________． 14．数列{}n a 满足：1a a =（a R ∈且为常数），()()()*13343n n n n n a a a n N a a +⎧->⎪=∈⎨-≤⎪⎩，当100a =时，则数列{}n a 的前100项的和100S 为________.15．计算：23lim 123n n nn→+∞-=++++L ________16．已知数列{}n a 的前n 项和n s =23n -2n+1,则通项公式.n a =_________17．若实数,x y 满足约束条件200220x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩，则3z x y =-的最小值等于_____．18．已知x y 、满足约束条件1{1,22x y x y x y +≥-≥--≤若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为7，则34a b+的最小值为_______．19．在钝角ABC V 中，已知7,1AB AC ==，若ABC V的面积为6，则BC 的长为______．20．已知x ，y 满足3010510x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪-+≤⎩，则2z x y =+的最大值为______.三、解答题21．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足37a =，999S =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若()2nn n a b n N *=∈，求数列{}n b 的前n 项和n T . 22．设函数()112f x x =+＋|x |(x ∈R)的最小值为a . (1)求a ；(2)已知两个正数m ，n 满足m 2＋n 2＝a ，求11m n+的最小值. 23．设{}n a 是等比数列，公比不为1．已知113a =，且1a ，22a ，33a 成等差数列． （1）求{}n a 的通项公式； （2）设数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T ． 24．已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，等差数列{}n b 的公差为2d ，设n A ，n B 分别是数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，且13b =，23A =，53A B =. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设11n n n n c b a a +=+•，数列{}n c 的前n 项和为n S ，证明：2(1)n S n <+.25．如图，在四边形ABCD 中，7,2,AC CD AD ==2.3ADC π∠=（1）求CAD ∠的正弦值；（2）若2BAC CAD ∠=∠，且△ABC 的面积是△ACD 面积的4倍，求AB 的长. 26．在等比数列{}n a 中，11a =，且2a 是1a 与31a -的等差中项.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足(1)1(1)n n n n a b n n ++=+（*n N ∈），求数列{}n b 的前n 项和n S .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】 【详解】 先作可行域，而46y x ++表示两点P （x,y ）与A （-6,-4）连线的斜率，所以46y x ++的取值范围是[,][3,1]AD AC k k =-，选B.点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.2．B解析：B 【解析】 【分析】数列{a n }满足1(1)nn n a a n ++=-⋅，可得a 2k ﹣1+a 2k ＝﹣（2k ﹣1）．即可得出．【详解】∵数列{a n }满足1(1)nn n a a n ++=-⋅，∴a 2k ﹣1+a 2k ＝﹣（2k ﹣1）．则数列{a n }的前20项的和＝﹣（1+3+……+19）()101192⨯+=-=-100．故选：B ． 【点睛】本题考查了数列递推关系、数列分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．D解析：D 【解析】设公比为q ，由已知得()22841112a q a q a q ⋅=，即22q=，又因为等比数列{}n a 的公比为正数，所以q 212a a q ===，故选D. 4．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】由题意可得：332,323n nn n S S +=⨯=⨯- ，由等比数列前n 项和的特点可得数列{}n a 是首项为3，公比为2的等比数列，数列的通项公式：132n n a -=⨯ ，设11n nb b q -= ，则：111132n n n b q b q --+=⨯ ，解得：11,2b q == ，数列{}n b 的通项公式12n nb -= ，由等比数列求和公式有：21nn T =- ，考查所给的选项：13,21,,n n n n n n n n S T T b T a T b +==-<< .本题选择D 选项.5．C解析：C 【解析】 【详解】 因为直线()10,0x ya b a b+=>>过点()1,1,所以11+1a b = ,因此114(4)(+)5+59b a a b a b a b +=+≥+= ,当且仅当23b a ==时取等号,所以选C.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.6．D解析：D 【解析】n 阶幻方共有2n 个数，其和为()222112...,2n n n n ++++=Q 阶幻方共有n 行，∴每行的和为()()2221122n n n n n++=，即()()2210110101,50522n n n N N+⨯+=∴==，故选D.7．D解析：D 【解析】因为11,8m n m n a a a a +=+=,所以2112,4a a == 42122a a ==,3123,8a a a =+= 73478a a a =+=.选D.8．A解析：A 【解析】sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，选A.【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦公式转化为含有A ，B ，C 的式子，用正弦定理将角转化为边，得到2a b =.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视.9．C解析：C 【解析】∵正项等比数列{}n a 的公比为3，且229m n a a a =∴2224222223339m n m n a a a a --+-⋅⋅⋅=⋅=∴6m n +=∴121121153()()(2)(2)62622624m n m n m n n m ⨯++=⨯+++≥⨯+=，当且仅当24m n ==时取等号. 故选C.点睛：利用基本不等式解题的注意点：（1）首先要判断是否具备了应用基本不等式的条件，即“一正、二正、三相等”，且这三个条件必须同时成立．（2）若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等． （3）多次使用基本不等式求最值时，要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号．10．C解析：C 【解析】因为等差数列{}n a 中，611 a a=，所以6116111150,0,,2a a a a a d =-=-，有2[(8)64]2n dS n =--， 所以当8n =时前n 项和取最小值.故选C. 11．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】作出不等式50{03x y x y x -+≥+≥≤所表示可行域如图所示，作直线:24l z x y =+，则z 为直线l 在y 轴上截距的4倍， 联立3{x x y =+=，解得3{3x y ==-，结合图象知，当直线l 经过可行域上的点()3,3A -时，直线l 在y 轴上的截距最小， 此时z 取最小值，即()min 23436z =⨯+⨯-=-，故选A.考点：线性规划12．A解析：A 【解析】 【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合2yz x =-的几何意义求出其范围，即可得到答案. 【详解】由题意，画出满足条件的平面区域，如图所示：由358y x x y =⎧⎨+=⎩，解得11A (，)，由1x y x =-⎧⎨=⎩，解得(11)B --，， 而2yz x =-的几何意义表示过平面区域内的点与0(2)C ，的直线斜率， 结合图象，可得1AC k =-，13BC k =， 所以2y z x =-的取值范围为113⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，， 故选：A.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划问题，其中解答中作出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定出目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及计算能力，属于基础题.二、填空题13．【解析】【分析】根据均值不等式知即再由即可求解注意等号成立的条件【详解】（当且仅当等号成立）（当且仅当等号成立）（当且仅当等号成立）故答案为【点睛】本题主要考查了均值不等式不等式等号成立的条件属于中解析：14【解析】 【分析】根据均值不等式知，4a b +≥=()2416a b ab +≥，再由41684ab a b +≥=⋅即可求解，注意等号成立的条件. 【详解】4a b +≥=Q （当且仅当4a b =等号成立），()2416a b ab ∴+≥（当且仅当4a b =等号成立）， ()2444a b a b ∴++≥⋅8=（当且仅当4a b =等号成立）， ()224281a a a∴+=⇒=. 故答案为14b =. 【点睛】本题主要考查了均值不等式，不等式等号成立的条件，属于中档题.14．【解析】【分析】直接利用分组法和分类讨论思想求出数列的和【详解】数列满足：（且为常数）当时则所以（常数）故所以数列的前项为首项为公差为的等差数列从项开始由于所以奇数项为偶数项为所以故答案为：【点睛】 解析：1849【解析】 【分析】直接利用分组法和分类讨论思想求出数列的和. 【详解】数列{}n a 满足：1a a =（a R ∈且为常数），()()()*13343n n n n n a a a n N a a +⎧->⎪=∈⎨-≤⎪⎩， 当100a =时，则1100a =， 所以13n n a a +-=-（常数）， 故()10031n a n =--，所以数列的前34项为首项为100，公差为3-的等差数列. 从35项开始，由于341a =，所以奇数项为3、偶数项为1， 所以()()1001001346631184922S +⨯=+⨯+=，故答案为：1849 【点睛】本题考查了由递推关系式求数列的性质、等差数列的前n 项和公式，需熟记公式，同时也考查了分类讨论的思想，属于中档题.15．【解析】【详解】结合等差数列前n 项和公式有：则： 解析：6【解析】 【详解】结合等差数列前n 项和公式有：()11232n n n +++++=L ，则：()()226231362lim lim lim lim61123111n n n n n n n n n n n n n n n→+∞→+∞→+∞→+∞----====+++++++L . 16．【解析】试题分析：n=1时a1=S1=2；当时-2n+1－-2（n-1）+1=6n-5a1=2不满足所以数列的通项公式为考点：1数列的前n 项和；2数列的通项公式解析：na =2,1{65,2n n n =-≥ 【解析】试题分析：n=1时，a 1=S 1=2；当2n ≥时，1n n n a S S -=-=23n -2n+1－[23(1)n --2（n-1）+1]=6n-5, a 1=2不满足61n a n =-，所以数列{}n a 的通项公式为na =2,1{65,2n n n =-≥. 考点：1.数列的前n 项和；2.数列的通项公式.17．【解析】【分析】先画出可行域改写目标函数然后求出最小值【详解】依题意可行域为如图所示的阴影部分的三角形区域目标函数化为：则的最小值即为动直线在轴上的截距的最大值通过平移可知在点处动直线在轴上的截距最解析：72-【解析】 【分析】先画出可行域，改写目标函数，然后求出最小值 【详解】依题意，可行域为如图所示的阴影部分的三角形区域，目标函数化为：3y x z =-，则z 的最小值即为动直线在y 轴上的截距的最大值．通过平移可知在A 点处动直线在y 轴上的截距最大．因为20:220x y A x y +=⎧⎨-+=⎩解得11,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以3z x y =-的最小值()min 173122z =⋅--=-．【点睛】本题考查了线性规划的简单应用，一般步骤：画出可行域，改写目标函数，求出最值18．7【解析】试题分析：作出不等式表示的平面区域得到及其内部其中把目标函数转化为表示的斜率为截距为由于当截距最大时最大由图知当过时截距最大最大因此由于当且仅当时取等号 考点：1线性规划的应用；2利解析：7 【解析】试题分析：作出不等式表示的平面区域，得到及其内部，其中把目标函数转化为，表示的斜率为，截距为，由于当截距最大时，最大，由图知，当过时，截距最大，最大，因此，，由于，当且仅当时取等号，.考点：1、线性规划的应用；2、利用基本不等式求最值.19．【解析】【分析】利用面积公式可求得再用余弦定理求解即可【详解】由题意得又钝角当为锐角时则即不满足钝角三角形故为钝角此时故即故答案为：【点睛】本题主要考查了解三角形中面积公式与余弦定理的运用属于中等题 10【解析】 【分析】利用面积公式可求得A ,再用余弦定理求解BC 即可. 【详解】 由题意得,61671sin sin 227A A =⨯⇒=又钝角ABC V ,当A 为锐角时,261cos 177A ⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭则21712777BC =+-=,即7BC =.故A 为钝角.此时261cos 177A ⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭故21717107BC =++=. 即10BC =10【点睛】本题主要考查了解三角形中面积公式与余弦定理的运用,属于中等题型.20．5【解析】【分析】画出不等式表示的可行域利用目标函数的几何意义当截距最小时取z 取得最大值求解即可【详解】画出不等式组表示的平面区域(如图阴影所示)化直线为当直线平移过点A 时z 取得最大值联立直线得A （解析：5 【解析】 【分析】画出不等式表示的可行域，利用目标函数的几何意义当截距最小时取z 取得最大值求解即可 【详解】画出不等式组表示的平面区域(如图阴影所示)，化直线2z x y =+为122z y x =-+ 当直线平移过点A 时，z 取得最大值，联立直线3010x y x y +-=⎧⎨-+=⎩得A （1,2），故max 145z =+=故答案为：5【点睛】本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值，是基础题三、解答题21． （Ⅰ）21n a n =+，n *∈N （Ⅱ）2552n nn T +=- 【解析】试题分析：（1）先根据条件列出关于首项与公差的方程组,解得首项与公差,代入等差数列通项公式即可（2）利用错位相减法求和, 利用错位相减法求和时，注意相减时项的符号变化，中间部分利用等比数列求和时注意项数，最后要除以1q -试题解析：（Ⅰ）由题意得：1127989992a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩,解得132a d =⎧⎨=⎩ , 故{}n a 的通项公式为21n a n =+，*n N ∈ （Ⅱ）由（Ⅰ）得：212n nn b +=23435792122222n n n T +=++++⋯+ ① 234113572121222222n n n n n T +-+=+++⋯++ ② ①－②得：23411311112122222222n n n n T ++⎛⎫=++++⋯+- ⎪⎝⎭ 152522n n ++=-故2552n nn T +=-点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解. 22．(1)1a =；(2)22. 【解析】 【分析】 【详解】 试题分析：（1）根据单调性求出()f x 的最小值，即可求出a 的值； （2）根据基本不等式的性质求出其最小值即可. 试题解析：(1)f(x)＝当x ∈(－∞，0)时，f(x)单调递减； 当x ∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增； ∴当x ＝0时，f(x)的最小值a ＝1. (2)由(1)知m 2＋n 2＝1，则m 2＋n 2≥2mn ，得≥2，由于m>0，n>0，则＋≥2≥2，当且仅当m ＝n ＝时取等号.∴＋的最小值为2.23．（1）13nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭； （2）13(21)34n n n T ++-⋅=【解析】 【分析】（1）由等差中项可得21343a a a =+,设数列{}n a 的公比为()1q q ≠,则211143a q a a q ⋅=+⋅,可解得q ,即可求得通项公式；（2）由（1）可得3n nnn a =⋅,再利用错位相减法求解即可. 【详解】解:（1）设数列{}n a 的公比为()1q q ≠,且1a ,22a ,33a 成等差数列,所以21343a a a =+,即211143a q a a q ⋅=+⋅,解得13q =, 因为113a =,所以13nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）由（1）知，13nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以3n nn n a =⋅, 所以1231323333nn T n =⨯+⨯+⨯++⋅L ,则234131323333n n T n +=⨯+⨯+⨯++⋅L ,作差可得,1231233333n n n T n +-=++++-⋅L则()+13312331n n nT n --=-⋅-，即1132322n n T n +⎛⎫-=-⋅- ⎪⎝⎭,所以()132134n n n T ++-⋅=【点睛】本题考查等差中项的应用,考查等比数列的通项公式,考查错位相减法求数列的和. 24．（1）n a n =，21n b n =+；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）由等差数列的通项公式及求和公式列1a d ，的方程组求解则n a n =可求，进而得21n b n =+（2）利用()111212111n c n n n n n n ⎛⎫=++=++- ⎪⋅++⎝⎭分组求和即可证明【详解】（1）因为数列{}n a ，{}n b 是等差数列，且23A =，53A B =，所以112351096a d a d d +=⎧⎨+=+⎩. 整理得1123549a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，所以()11?n a a n d n =+-=，即n a n =，()11221n b b n d n =+-⋅=+，即21n b n =+.综上，n a n =，21n b n =+. （2）由（1）得()111212111n c n n n n n n ⎛⎫=++=++- ⎪⋅++⎝⎭，所以()11111352112231n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋯+++-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 即()()22211211111n S n n n n n n =++-=+-<+++. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式及求和公式，裂项相消求和，考查推理计算能力，是中档题 25．（1）7（2【解析】 【分析】（1）ACD ∆中，设(0)AD x x =>，利用余弦定理得到1x =，再利用正弦定理得到答案. （2）利用面积关系得到sin 4sin .AB BAC AD CAD ⋅∠=⋅∠化简得到cos 2.AB CAD AD ⋅∠=根据（1）中sin 7CAD ∠=解得答案. 【详解】（1）在ACD ∆中，设(0)AD x x =>， 由余弦定理得2227=422cos 3x x x x +-⨯⋅π 整理得277x =，解得1x =. 所以1, 2.AD CD ==由正弦定理得2sin sin 3DC ACDAC =∠π，解得sin 7DAC ∠= （2）由已知得4ABC ACD S S ∆∆=， 所以11sin 4sin 22AB AC BAC AD AC CAD ⋅⋅∠=⨯⋅⋅∠，化简得sin 4sin .AB BAC AD CAD ⋅∠=⋅∠所以2sin cos 4sin ,AB CAD CAD AD CAD ⋅∠⋅∠=⋅∠ 于是cos 2.AB CAD AD ⋅∠= 因为21sin 7CAD ∠=，且CAD ∠为锐角，所以227cos 1sin CAD CAD ∠=-∠=. 代入计算2721AB ⨯=⨯ 因此7.AB = 【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生利用正余弦定理解决问题的能力.26．(1)12n n a -=.(2)121nn S n =-+. 【解析】试题分析：（1）设等比数列的公比为，运用等差数列的性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比，即可得到所求通项公式； （2）化简，运用分组求和和裂项相消求和，化简即可得到所求和．试题解析：（1）设等比数列的公比为，是与的等差中项，即有，即为，解得，即有；（2）），数列的前项和.考点：（1）数列的求和；（2）等比数列的通项公式.【方法点晴】本题考查等差数列和等比数列的通项和求和公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和和裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题.由等差中项的意义可得可求出公比，可求出数列通项公式；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消发类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.。
山东省济南市外国语学校2020-2021学年高一数学文月考试题含解析
山东省济南市外国语学校2020-2021学年高一数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 化简得（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】本题考查的知识点是向量加减混合运算及其几何意义，根据向量加法及减法的三角形法则，我们易得﹣+﹣的值．【解答】解：﹣+﹣=﹣﹣=﹣=故选D2. 长方体ABCD - A1B1C1D1中，已知，，棱AD在平面内，则长方体在平面内的射影所构成的图形面积的取值范围是（）A. B.C. D.参考答案：A【分析】本题等价于求过BC直线的平面截长方体的面积的取值范围。
【详解】长方体在平面内的射影所构成的图形面积的取值范围等价于，求过BC直线的平面截长方体的面积的取值范围。
由图形知, ，故选A.【点睛】将问题等价转换为可视的问题。
3. 某校高一年级某班共有60名学生，现采用系统抽样的方法从中抽取6名学生做“跑操与健康”的调查，为此将学生编号为1,2…，60，选取的这6名学生的编号可能是（）A. B.C. D.参考答案：B分析：根据系统抽样的定义进行求解即可．详解：根据系统抽样的定义，从60名学生中抽取6名学生，编号的间隔为∴编号组成的数列应是公差为10的等差数列，故选：B．点睛! 本题主要考查系统抽样的应用，求出号码间隔是解决本题的关键．4. 给出下列结论，其中判断正确的是 ( )A．数列前项和，则是等差数列B．数列前项和，则C．数列前项和，则不是等比数列D．数列前项和，则ks5u参考答案：D略5. 化简：=( )A．4 B．2π﹣4 C．2π﹣4或4 D．4﹣2π参考答案：A【考点】方根与根式及根式的化简运算．【专题】计算题．【分析】由π＜4，得，由此能求出原式的值．【解答】解：=4﹣π+π=4．故选：A．【点评】本题考查根式的化简运算，解题时要注意被开方数的符号，合理地选取公式．6. 下列函数中，是偶函数又在区间（0，+∞）上递增的函数为（）A．y=2|x| B．y=|log2x| C．y=x3 D．y=x﹣2参考答案：A【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据指数函数的单调性，减函数的定义，偶函数定义域的特点，以及奇函数和偶函数的定义便可判断出每个选项的正误，从而找出正确选项．【解答】解：A．y=2|x|为偶函数，且x＞0时，y=2|x|=2x为增函数；即该函数在（0，+∞）上递增，∴该选项正确；B．y=|logx|的定义域为{x|x＞0}，不关于原点对称，不是偶函数，∴该选项错误；C．y=x3为奇函数，∴该选项错误；D．若x∈（0，+∞），x增大时，x﹣2减小，即y减小；∴y=x﹣2在（0，+∞）上单调递减，∴该选项错误．故选：A．【点评】考查指数函数的单调性，单调性的定义，偶函数定义域的特点，以及奇函数和偶函数的定义．7. 如果等差数列中，，那么（A）14 （B）21 （C）28 （D）35参考答案：C8. 下列函数中，是奇函数且在区间（﹣∞，0）上为增函数的是（）A．f（x）=lgx B．y=x3 C．y=x﹣1 D．y=e x参考答案：B【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据对数函数和指数函数图象容易判断f（x）=lgx和y=e x都不是奇函数，而根据反比例函数单调性知y=x﹣1在（﹣∞，0）上为减函数，而容易判断y=x3的奇偶性和单调性，从而找出正确选项．【解答】解：A．f（x）=lgx为非奇非偶函数，∴该选项错误；B．y=x3为奇函数，在R上为增函数，则在（﹣∞，0）上为增函数，∴该选项正确；C．y=x﹣1在（﹣∞，0）上为减函数，∴该选项错误；D．y=e x的图象不关于原点对称，不是奇函数，∴该选项错误．故选B．【点评】考查，奇函数的定义，增函数的定义，奇函数图象的对称性，反比例函数的单调性，熟悉指数函数和对数函数的图象，并清楚y=x3的图象．9. 若a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是（）A． B．a2＞b2 C． D．a|c|＞b|c|参考答案：C略10. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，为使此三角形有两个，则a满足的条件是（）A. B. C. D. 或参考答案：C【分析】计算三角形AB 边上的高即可得出结论． 【详解】C 到AB 的距离d=bsinA=3， ∴当3＜a ＜2时，符合条件的三角形有两个，故选C ．【点睛】本题考查了三角形解的个数的判断，属于基础题．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设数列为公比的等比数列，若是方程的两根，则_________.参考答案： 18 略12. 执行右图所示程序框图所表达的算法，其输出的结果应为 ．参考答案： 4513. 将曲线C 1：y=ln 关于x 轴对称得到的曲线C 2，再将C 2向右平移1个单位得到函数f （x ）的图象，则f （+1）=．参考答案：考点： 函数的图象与图象变化． 专题： 函数的性质及应用．分析： 根据函数图象的对称变换和平移变换法则，求出函数f （x ）的解析式，将x=+1代入可得答案．解答： 解：将曲线C 1：y=ln 关于x 轴对称得到的曲线C 2，∴曲线C 2的方程为：y=﹣ln ，再将C 2向右平移1个单位得到函数f （x ）的图象，∴函数f （x ）=﹣ln，∴f（+1）=﹣ln =﹣ln =﹣（﹣）=，故答案为：点评： 本题考查的知识点是函数的图象与图象变化，函数求值，根据函数图象的对称变换和平移变换法则，求出函数f （x ）的解析式，是解答的关键．14. 已知 则f(3)= ________.参考答案：2 略15. 下列几个命题中真命题的序号是 ．（1）已知函数f （x ）的定义域为[2，5），则f （2x ﹣1）的定义域为[3，9）；（2）函数是偶函数，也是奇函数；（3）若f（x+1）为偶函数，则f（x+1）=f（﹣x﹣1）；（4）已知函数f（x）=x2+2ax+2在区间[﹣5，5]上是单调增函数，则实数a≥5．参考答案：（2）（4）【考点】命题的真假判断与应用．【专题】函数思想；定义法；简易逻辑．【分析】（1）由f（x）的定义域为[2，5），知2x﹣1∈[2，5），解出x的范围即为定义域；（2）求出定义域可得函数为y=0，满足f（x）=f（﹣x），也满足f（x）=﹣f（﹣x），故是偶函数，也是奇函数，（3）由f（x+1）为偶函数，由定义可知f（﹣x+1）=f（x+1）；（4）利用二次函数的对称轴可得﹣a≤﹣5，求出a的范围即可．【解答】解：（1）∵f（x）的定义域为[2，5），∴2x﹣1∈[2，5），∴x∈[，3），故错误；（2）的定义域为{1，﹣1}，此时y=0，故是偶函数，也是奇函数，故正确；（3）f（x+1）为偶函数，∴f（﹣x+1）=f（x+1），故错误；（4）已知函数f（x）=x2+2ax+2在区间[﹣5，5]上是单调增函数，∴﹣a≤﹣5，∴a≥5，故正确．故正确选项为（2）（4）．【点评】考查了符合函数的定义域和奇偶性，二次函数的单调性判断．属于基础题型，应熟练掌握．16. （5分）已知圆C：x2+y2+4y﹣21=0，直线l：2x﹣y+3=0，则直线被圆截的弦长为．参考答案：4考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题；直线与圆．分析：把圆的方程化为标准方程，可得圆心坐标与圆的半径，求出圆心到直线的距离，利用勾股定理计算直线l：2x﹣y+3=0被圆C所截得的弦长．解答：圆的标准方程为：x2+（y+2）2=25，∴圆的圆心为（0，﹣2），半径为R=5；∴圆心到直线的距离d==，∴直线l：2x﹣y+3=0被圆C所截得的弦长为2=4．故答案为：4．点评：本题考查了直线与圆的相交弦长问题及点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，比较基础．17. 设数列为公比的等比数列，若是方程的两根，则_________.参考答案：18略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
山东省济南外国语中学2021届上学期高三年级阶段性检测考试数学试卷
山东省济南外国语中学2021届上学期高三年级阶段性检测考试数学试卷第I 卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设2{|430}A x x x =-+，{|(32)0}B x ln x =-<，则A ．3(1,)2B ．(1，3]C ．3(,)2-∞ D ．3(2，3]2．设i 为虚数单位，复数z 满足(1)2z i i -=，则A ．1 B．2 D．3．若()cos sin f x x x =-在[],a a -是减函数，则a 的最大值是A ．4π B ．2πC ．34π D ．π4．已知圆C 的方程为22(1)(1)2x y -+-=，点P 在直线3y x上，线段AB 为圆C 的直径，则PA PB ⋅的最小值为 A ．2 B ．52 C ．3 D ．725．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏6．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30，则该长方体的体积为 A ．8 B．．．7．已知12F F ，是椭圆与双曲线的公共焦点，12PF PF >1PF 2F 1e 2e 21e 2e 2+63()(21)x f x e x ax a =--+1a <0x 0()0f x <a 3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭{}n a 221n n a a p --=2n ≥*n N ∈p {}n a {}n a {}2na (){}1n-{}n a {}kn a *k N ∈k {}n a P ABCD -O MN PA PBPD OMN PCD OMN PD MN 90ON PB⊥453595%()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++25456075()2ln x f x x =()f x x e=12e ()f x ()()()23f ff π<<()21f x k x<-()0,∞+2e k >0,0,25x y x y >>+=(1)(21)x y xy ++xoy ABC ∆(4,0),(4,0)A C -B 221259x y +=sin sin sin A C B +=()3x x 1f x =x 2x+e -e -()()2f a-1+f 2a 0≤、、A B C a b c、、sin sin B C 6cos cos 1,3,B C a =={}n a 123(1)(41)236n n n n a a a na +-+++⋯+=*n N ∈1a 2a {}n a 11n n n b a a +=⋅{}n b n T 12n T <ABCD ,E F ,AD BC DF DFC △C P PF BF ⊥PEF ⊥ABFD DP ABFD YY 22:12x C y +=F F l C ,A BM (2,0)l x AM O OMA OMB ∠=∠()()221ln f x ax a x x=-+-()22ln g x a x x =--a R ∈0a >()f x 21,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()f x g x ≥a A B {|13}A x x =3{|0321}{|1}2B x x x x =<-<=<<∴3(1,)2A B ⋂=A (1)2z i i-=22(1)2211(1)(1)2i i i i z i i i i +-====-+--+||2z ∴=B a π()cos sin 2cos()4=-=+f x x x x π02ππ2π,(k Z)4+≤+≤+∈k x k π3π2π2π,(k Z)44-+≤≤+∈k x k π3ππ3ππ[,][,],,044444-⊂-∴-<-≥-≤∴<≤a a a a a a a a π4sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>max min =+y A B y A B =-，2π.T ω=ππ()2x k k ωϕ+=+∈Z ππ2π2π()22k x k k ωϕ-+≤+≤+∈Z π3π2π2π()22k x k k ωϕ+≤+≤+∈Z PA PB ⋅2||2PC -||PC PA PB ⋅()()()()PA PB PC CA PC CB PC CA PC CA ⋅=+⋅+=+⋅-22223||||||222PC CA PC ⎛⎫=-=-≥- ⎪⎝⎭52=()711212a --1111ABCD A B C D-130AC B ∠=2AB =123BC =122CC =1111ABCD A B C D -1BC 130AC B ∠=2AB =123BC =122CC =222282V =⨯⨯=21e 2e 2+12a 22a 1222F F F P c ==1211222,2F P F P a F P F P a +=-=111222,22F P c a F P c a ∴+=-=122a a c-=22112122242222e a a a c ce c a ca ++=+=()222222222122242842422222c a a c e ca a c a ce ca ca c a ++++∴+===++2222222222a a cc c a c a +≥⋅=2222a c c a =21e 2e 2∴+21e 2e 2+()()21x g x e x =-()1y a x =-0x ()()01g x a x <-()y g x =()01a g ->=-()312g a e-=-≥-a ()()21x g x e x =-()1y a x =-()y g x =y ax a=-()()21xg x e x '=+12x <-()0g x '<12x >-()0g x '>()y g x =12122g e -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭()01g =-()10g e =>y ax a =-()1,0a ()01a g ->=-()31g a a e -=-≥--312a e≤<n a n=()()()422444221111n n a a n n n n n n +⎡⎤⎡⎤-=+-=+-⋅++⎣⎦⎣⎦()()221221n n n =+++{}2n a ()()22111110n n +⎡⎤⎡⎤---=-=⎣⎦⎣⎦(){}1n-{}na p R ∈221n n aa p +-={}2n a ()221kn k n a a kp +-={}kn a *k N ∈k {}n a d m R ∈n a dn m =+()()()()2221112222n n n n n n a a a a a a d dn m d d n m d d +++-=-+=++=++{}n a p 221n n a a p +-=()222d n m d d p ++=n *∈N ()2202d m d d p ⎧=⎪⎨+=⎪⎩0p d =={}n a N ，再利用面面平行的判定定理即可证明；选项C ，平移直线，找到线面角，再计算；选项D,因为ON ∥PD PD OMN M N PA PB N ∥AB,又底面为正方形，所以MN ∥CD ，由线面平行的判定定理可得，CD ∥平面OMN,又选项A 得PD ∥平面OMN ，由面面平行的判定定理可得，平面PCD ∥平面OMN ；选项C,因为MN ∥CD ，所以∠ PDC 为直线PD 与直线MN 所成的角，又因为所有棱长都相等，所以∠ PDC=60，故直线PD 与直线MN 所成角的大小为60；选项D ，因底面为正方形，所以222AB AD BD +=,又所有棱长都相等，所以222PB PD BD +=,故PB PD ⊥,又PD ∥ON ，所以ON PB ⊥，故ABD 均正确【点睛】解决平行关系基本问题的3个注意点1注意判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的条件中线在面外易忽视． 2结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断． 3会举反例或用反证法推断命题是否正确． 11．BC 【分析】设男生的人数为()5n n N*∈，列出22⨯列联表，计算出2K 的观测值，结合题中条件可得出关于n 的不等式，解出n 的取值范围，即可得出男生人数的可能值 【详解】设男生的人数为()5n n N*∈，根据题意列出22⨯列联表如下表所示：则()221042310557321n n n n n n K n n n n ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯， 由于有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则23.841 6.632K ≤<， 即103.841 6.63221n≤<，得8.066113.9272n ≤<， n N *∈，则n 的可能取值有9、10、11、12，因此，调查人数中男生人数的可能值为45或60 故选：BC【点睛】本题考查利用独立性检验求出人数的可能取值，解题时要列举出22⨯列联表，并结合临界值表列不等式求解，考查计算能力，属于中等题12．ACD 【分析】对于选项A 、C ，只需研究()f x 的单调性即可；对于选项B ，令()0f x =解方程即可；对于选项D ，采用分离常数，转化为函数的最值即可【详解】由已知，()3'12ln x fx x-=，令'()0f x >得0x <<，令'()0f x <得x >()f x在上单调递增，在)+∞单调递减，所以()f x 的极大值为12f e=，A 正确；又令()0f x =得ln 0x =，即1x =，当()(),0,x f x f x →+∞→∴只有1个零点，B 不正确；2>>>()2f ff <<，故C 正确；若()21f x k x <-在()0,∞+上恒成立，即()21f x k x +<在()0,∞+上恒成立，设()221ln 1()x g x f x x x +=+=， '32ln 1()x g x x --=，令'()0g x >得120x e -<<，令'()0g x <得12x e ->，故()g x 在12(0,)e-上单调递增，在12(,)e -+∞单调递减，所以12max ()()2eg x g e -==，2e k >，故D 正确 故选：ACD【点睛】本题考查利用导数研究函数的性质，涉及到函数的极值、零点、不等式恒成立等问题，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题13．26xy +，再利用基本不等式求最值．【详解】(1)(2xxy +=0,0,25,0,x y x y xy >>+=>∴≥= 当且仅当3xy =，即3,1x y ==时成立，故所求的最小值为【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．14．1260【分析】按是否取零分类讨论，若取零，则先排首位，最后根据分类与分步计数原理计数 【详解】若不取零，则排列数为224534C C A ,若取零，则排列数为21135333C C A A ,因此一共有22421135345333C C A C C A A 1260+=个没有重复数字的四位数点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：1元素相邻的排列问题——“捆邦法”；2元素相间的排列问题——“插空法”；3元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；4带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法15．54【详解】由题意椭圆221259x y +=中．534a b c ===，，，故()()4,0,4,0A C -是椭圆的两个焦点，2108AB BC a AC ，∴+=== ，由正弦定理得2sin sin sin a b cr A B C===， sin sin ? 105 sin 84A C a c AB BC B b AC +++∴====【点睛】本题考查椭圆的简单性质，椭圆的定义以及正弦定理的应用．其中合理转化 椭圆定义进而应用正弦定理是解题的关键 16．1[1,]2-【详解】因为31()2e ()exx f x x x f x -=-++-=-，所以函数()f x 是奇函数，因为22()32e e 320x x f 'x x x -=-++≥-+≥，所以数()f x 在R 上单调递增， 又2(1)(2)0f a f a -+≤，即2(2)(1)f a f a ≤-，所以221a a ≤-，即2210a a +-≤， 解得112a -≤≤，故实数a 的取值范围为1[1,]2-． 【点睛】解函数不等式时，首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数()f x 的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式组，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在函数()f x 的定义域内．17．12sin sin 3B C =；23+【分析】（1）由三角形面积公式建立等式21sin 23sin a ac B A=，再利用正弦定理将边化成角，从而得出sin sin B C的值；（2）由1cos cos 6B C =和2sin sin 3B C =计算出1cos()2B C +=-，从而求出角A ，根据题设和余弦定理可以求出bc 和b c +的值，从而求出ABC 的周长为3+【详解】（1）由题设得21sin 23sin a ac B A =，即1sin 23sin a c B A =由正弦定理得1sin sin sin 23sin AC B A = 故2sin sin 3B C =（2）由题设及（1）得1cos cos sin sin ,2B C B C -=-，即()1cos 2B C +=- 所以23B C π+=，故3A π=由题设得21sin 23sin a bc A A=，即8bc =由余弦定理得229b c bc +-=，即()239b c bc +-=，得b c += 故ABC的周长为3【点睛】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如sin()y A x b ωϕ=++，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可18．111a =；23a =；2 21n a n =-；3见证明； 【分析】（1）令1,2n n ==可求得12,a a ；（2）在已知等式基础上，用1n -代n 得另一等式，然后相减，可求得n a ，并检验一下1a 是否适合此表达式； （3）用裂项相消法求和． 【详解】解：（1）由已知得112316a ⨯⨯== 12237276a a ⨯⨯+==，∴23a = 2由123(1)(41)236n n n n a a a na +-++++=，①得2n ≥时，1231(1)[4(1)1]23(1)6n n n n a a a n a ----++++-=，② ①-②得(1)(41)(1)(45)(21)66n n n n n n n na n n +---=-=- ∴21n a n =-，11a =也适合此式，∴21n a n =-（*n N ∈）． （3）由（2）得21n a n =-，∴111111()(21)(21)22121n n n b a a n n n n +===-⋅-+-+∴11111111[(1)()()](1)23352121221n T n n n =-+-++-=--++ ∵*n N ∈，∴1021n >+∴12n T <【点睛】本题考查由数列的通项公式，考查裂项相消法求和．求通项公式时的方法与已知n S 求n a 的方法一样，本题就相当于已知数列{}n na 的前n 项和，要求n na ．注意首项求法的区别． 19．（1）证明见解析；（2）【分析】（1）首先从题的条件中确定相应的垂直关系，即BF PF ⊥，BF EF ⊥，又因为PFEF F =，利用线面垂直的判定定理可以得出BF ⊥平面PEF ，又BF ⊂平面ABFD ，利用面面垂直的判定定理证得平面PEF ⊥平面ABFD ；（2）结合题意，建立相应的空间直角坐标系，正确写出相应的点的坐标，求得平面ABFD 的法向量，设DP 与平面ABFD 所成角为θ，利用线面角的定义，可以求得34sin 43HP DP HP DPθ⋅===⋅，得到结果【详解】（1）由已知可得，BE PF ⊥，BE EF ⊥，又PF EF F =，所以BF ⊥平面PEF又BF ⊂平面ABFD ，所以平面PEF ⊥平面ABFD ； （2）作PH EF ⊥，垂足为H 由（1）得，PH ⊥平面ABFD以H 为坐标原点，HF 的方向为y 轴正方向，BF 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H xyz -由（1）可得，DE PE ⊥又2DP =，1DE =，所以PE =1PF =，2EF =，故PE PF ⊥可得32PHEH == 则()330,0,0,0,0,,1,,0,1,,,2222H P D DP ⎛⎛⎛⎫--=⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 0,0,2HP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭为平面ABFD 的法向量 设DP 与平面ABFD 所成角为θ，则34sin3HP DP HP DPθ⋅===⋅所以DP 与平面ABFD 【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直的证明以及线面角的正弦值的求解，属于常规题目，在解题的过程中，需要明确面面垂直的判定定理的条件，这里需要先证明线面垂直，所以要明确线线垂直、线面垂直和面面垂直的关系，从而证得结果；对于线面角的正弦值可以借助于平面的法向量来完成，注意相对应的等量关系即可 20．1 ；2万元；3见解析【分析】（1）根据频率分布直方图，求对应条形的面积，可得生猪重量达不到270斤概率；（2）利用组中值乘以频率再作和，求得生猪重量的平均数，再用重量乘以单价乘以头数得到销售收入； （3）由（1）可得随机选一头生猪，其重量达到270斤及以上的概率为310.254-=，利用二项分布的特征求得其分布列，利用公式求得其方差【详解】（1）估计生猪重量达不到270斤的概率为(0.00050.002)400.005300.25+⨯+⨯=（2）生猪重量的平均数为1800.022200.082600.23000.323400.24⨯+⨯+⨯+⨯+⨯3800.1+⨯+4200.04⨯305.6=（斤）所以估计该企业本养殖周期的销售收入是305.685000⨯⨯1222.4=（万元） （3）由（1）可得随机选一头生猪，其重量达到270斤及以上的概率为310.254-=， 由题意可得随机变量Y 的所有可能取值为0,1,2，则3~(2,)4Y B ， ∴022311(0)C ()()4416P Y ==⨯⨯=， 1112313(1)C ()()448P Y ==⨯⨯=， 2202319(2)C ()()4416P Y ==⨯⨯=， ∴随机变量Y 的分布列为∴随机变量Y 的方差3()2448D Y =⨯⨯=． 【点睛】该题主要考查了概率与统计的问题，涉及到的知识点有频率分布直方图的应用，利用频率分布直方图求平均数，二项分布的分布列以及其方差，从频率分布直方图中获取信息是解题的关键，属于简单题目21．（1）AM的方程为2y x =-2y x =-（2）证明见解析 【分析】（1）首先根据l 与x 轴垂直，且过点()1,0F ，求得直线l 的方程为1x =，代入椭圆方程求得点A 的坐标为⎛ ⎝⎭或1,⎛⎝⎭，利用两点式求得直线AM 的方程； （2）分直线l 与x 轴重合、l 与x 轴垂直、l 与x 轴不重合也不垂直三种情况证明，特殊情况比较简单，也比较直观，对于一般情况将角相等通过直线的斜率的关系来体现，从而证得结果 【详解】（1）由已知得()1,0F ，l 的方程为1x =由已知可得，点A的坐标为⎛ ⎝⎭或1,⎛ ⎝⎭ 所以AM的方程为y x =+y x = （2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为()()10y k x k =-≠，()()1122,,,A x y B x y ，则12x x <<MA 、MB 的斜率之和为121222MA MB y yk k x x +=+-- 由1122,y k k x y k x k =-=-得()()()12121223422MA MB kx x k x x kk k x x -+++=--将()1y k x =-代入2212x y +=得()2222214220k x k x k +-+-=所以，22121222422,2121k k x x x x k k -+==++ 则()33312122441284234021k k k k kkx x k x x k k --++-++==+ 从而0MA MB k k +=，故MA 、MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠ 综上，OMA OMB ∠=∠【点睛】该题考查的是有关直线与椭圆的问题，涉及到的知识点有直线方程的两点式、直线与椭圆相交的综合问题、关于角的大小用斜率来衡量，在解题的过程中，第一问求直线方程的时候，需要注意方法比较简单，需要注意的就是应该是两个，关于第二问，在做题的时候需要先将特殊情况说明，一般情况下，涉及到直线与曲线相交都需要联立方程组，之后韦达定理写出两根和与两根积，借助于斜率的关系来得到角是相等的结论22．（1）见解析；（2）[),e -+∞【分析】（1）求出函数()y f x =的定义域和导数，由()0f x '=得出1x a=和2x =，然后对1a 和2的大小关系进行分类讨论，分析导数符号，可得出函数()y f x =的单调增区间和减区间；（2）由()()f x g x ≥，得出ln 0ax x -≥，得出ln x a x ≥，构造函数()ln x h x x=，将问题转化为()min a h x ≥，其中21,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，然后利用导数求出函数()ln x h x x =在区间21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值，可得出实数a 的取值范围 【详解】（1）函数()y f x =的定义域为()0,∞+，()()()()222221212212ax a x ax x a f x a x x x x -++--+'=-+== 当0a >时，令()0f x '=，可得10x a =>或2x = ①当12a =时，即当12a =时，对任意的0x >，()0f x '≥， 此时，函数()y f x =的单调递增区间为()0,∞+； ②当102a <<时，即当12a >时， 令()0f x '>，得10x a<<或2x >；令()0f x '<，得12x a << 此时，函数()y f x =的单调递增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()2,+∞，单调递减区间为1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭； ③当12a>时，即当102a <<时， 令()0f x '>，得02x <<或1x a>；令()0f x '<，得12x a << 此时，函数()y f x =的单调递增区间为()0,2和1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭，单调递减区间为12,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭； （2）由题意()()f x g x ≥，可得ln 0ax x -≥，可得ln x a x ≥，其中21,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦构造函数()ln x h x x =，21,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()min a h x ≥ ()21ln x h x x -'=，令()0h x '=，得21,x e e e ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦当1x e e≤<时，()0h x '>；当2e x e <≤时，()0h x '< 所以，函数()y h x =在1=x e 或2x e =处取得最小值， 1h e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()222h e e =，则()1h h e e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，()min 1h x h e e ⎛⎫∴==- ⎪⎝⎭，a e ∴≥- 因此，实数a 的取值范围是[),e -+∞【点睛】本题考查函数单调区间的求解，同时也考查了利用导数研究函数不等式成立问题，在求解时充分利用参变量分离法求解，可简化分类讨论，考查分类讨论数学思想的应用，属于中等题。
2020-2021学年山东省济南外国语学校九年级(上)月考数学试卷(10月份)(附答案详解)
2020-2021学年山东省济南外国语学校九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1.在下列方程中，不属于一元二次方程的是()A. 15x2−√22=x B. 7x2=0C. −0.3x2−0.2x=4D. x(1−2x2)=2x22.x=2±√(−2)2−4×3×(−1)2×3是下列哪个一元二次方程的根()A. 3x2+2x−1=0B. 2x2+4x−1=0C. −x2−2x+3=0D. 3x2−2x−1=03.用频率估计概率，可以发现抛掷硬币“正面朝上”的概率为0.5，那么掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的是()A. 每两次必有1次正面向上B. 可能有5次正面向上C. 必有5次正面向上D. 不可能有10次正面4.若yx =34，则x+yx的值为()A. 1B. 47C. 54D. 745.在4张相同的小纸条上分别写上数字−2、0、1、2，做成4支签，放在一个盒子中，搅匀后从中任意抽出1支签(不放回)，再从余下的3支签中任意抽出1支签，则2次抽出的签上的数字的和为正数的概率为()A. 14B. 13C. 12D. 236.如图，D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，∠ADE=∠ACB，若AD=2，AB=6，AC=4，则AE的长是()A. 3B. 72C. 2D. 437.已知点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC)，AB=4，则线段AC的长是()A. 2√5−2B. 6−2√5C. √5−1D. 3−√58.a是方程x2+x−1=0的一个根，则代数式−2a2−2a+2020的值是()A. 2018B. 2019C. 2020D. 20219. 下列条件不能判定△ABC 与△ADE 相似的是( )A. AE AC =ADAB ，∠CAE =∠BAD B. ∠B =∠ADE ，∠CAE =∠BAD C. AEAC =ADAB =DEBC D. ADAB =DEBC ，∠C =∠E10. 根据表格对应值：x1.1 1.2 1.3 1.4 ax 2+bx +c−0.590.842.293.76判断关于x 的方程ax 2+bx +c =3的一个解x 的范围是( )A. 1.1<x <1.2B. 1.2<x <1.3C. 1.3<x <1.4D. 无法判定11. 如图，在△ABC 中，点D 是边AB 上的一点，∠ADC =∠ACB ，AD =2，BD =6，则边AC 的长为( )A. 2B. 4C. 6D. 812. 对于实数a 、b ，定义运算“★”：a ★b ={a 2−b(a ≤b)b 2−a(a >b)，关于x 的方程(2x +1)★(2x −3)=t 恰好有两个不相等的实数根，则t 的取值范围是( )A. t <154B. t >154C. t <−174D. t >−174二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）13. 将一元二次方程−2x(x −5)=3−x 化为一般形式为______． 14. 把方程x 2−2x −5=0利用配方法配成(x +a)2=b 的形式是______．15. 在一个不透明的袋子中装有6个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀后随机摸出一个球，记下颜色后放回，不断重复这一过程，共摸球100次，发现有20次摸到红球，估计袋子中白球的个数约为______．16. 已知a ，b ，c ，d 是成比例线段，其中a =3cm ，b =2cm ，c =6cm ，求线段d 的长为______ ．17.如图，已知l1//l2//l3，CH=1.2cm，DH=2.4cm，AB=3cm，那么AG=______cm．18.如图，△ABC是正三角形，D、E分别是BC、AC上的点，已知∠ADE=60°，BD=3，CE=1，则AB=______．2三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）19.用适当的方法解下列方程：(1)2(x−1)2=18；(2)x2−2x=2x+1；(3)(3y−1)(y+1)=4；(4)x(x+3)=2(x+3)2．20.已知m、n是关于x的一元二次方程x2−3x+1=0的两个根，求(m−1)(n−1)的值．21.奥体中心为满足暑期学生对运动的需求，欲开设球类课程，该中心随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“羽毛球”、“篮球”、“足球”、“排球”、“乒乓球”中选择自己最喜欢的一项．根据调查结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，请根据图中信息，解答下列问题：(1)此次共调查了多少名学生？(2)将条形统计图补充完整；(3)我们把“羽毛球”“篮球”，“足球”、“排球”、“乒乓球”分别用A，B，C，D，E表示．小明和小亮分别从这些项目中任选一项进行训练，利用树状图或表格求出他俩选择不同项目的概率．22.已知关于x的一元二次方程x2−2mx+2m−1=0(m为常数)．(1)若方程的一个根为0，求m的值和方程的另一个根；(2)求证：不论m为何值，该方程总有实数根．23.某旅行社为吸引市民组团去某风景区旅游，推出了如下收费标准：如果人数不超过25人，人均旅游费用为1000元；如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低20元，但人均旅游费用不得低于700元．某单位组织员工去这个风景区旅游，共支付给旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少员工去这个风景区旅游．24.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”.例如，一元二次方程x2−6x+8=0的两个根是x1=2和x2=4，则方程x2−6x+8=0是“倍根方程”．(1)根据上述定义，一元二次方程2x2+x−1=0______(填“是”或“不是”)“倍根方程”．(2)若一元二次方程x2−3x+c=0是“倍根方程”，则c=______．(3)若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)是“倍根方程”，则a、b、c之间的关系为______．(4)若(x−2)(mx−n)=0(m≠0)是“倍根方程”，求代数式4m2−5mm+n2的值．25.已知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=9cm.动点P从点B出发，沿BC向点C运动，动点Q从点A出发，沿AB向点B运动，如果动点P以1cm/s，Q以2cm/s的速度同时出发，设运动时间为t(s)，解答下列问题：(1)当t=______s时，BP=BQ；(2)连接PQ．①当t=4时，求线段PQ的长；②在运动过程中，△BPQ的形状不断发生变化，是否存在时间t，使△BPQ与△BCA相似？如果存在，请求出此时t的值；如果不能，请说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：选项A、B、C均符合一元二次方程的定义，选项D化简后，未知数的最高次数是3次，所以不是一元二次方程，故选：D．一元二次方程必须满足两个条件：(1)未知数的最高次数是2；(2)二次项系数不为0．本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0(且a≠0).特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．2.【答案】D，不合题意；【解析】解：A、3x2+2x−1=0中，x=−2±√22−4×3×(−1)2×3B、2x2+4x−1=0中，x=−4±√42−4×2×(−1)，不合题意；2×2C、−x2−2x+3=0中，x=2±√(−2)2−4×(−1)×3，不合题意；2×(−1)D、3x2−2x−1=0中，x=2±√(−2)2−4×3×(−1)，符合题意；2×3故选：D．用公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c 的值；②求出b2−4ac的值(若b2−4ac<0，方程无实数根)；③在b2−4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．本题主要考查了一元二次方程的根，用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．3.【答案】B【解析】解：抛掷硬币“正面朝上”的概率为0.5，那么掷一枚质地均匀的硬币10次，可能有5次正面向上，故选：B．概率是频率(多个)的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现，据此逐项判断即可．此题主要考查了概率的意义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：概率是频率(多个)的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．4.【答案】D【解析】解：∵yx =34，∴x+yx =4+34=74．故选：D．根据合分比性质求解．本题考查了比例性质：常见比例的性质有内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质等．5.【答案】C【解析】解：根据题意画图如下：共有12种等情况数，其中2次抽出的签上的数字的和为正数的有6种，则2次抽出的签上的数字的和为正数的概率为612=12；故选：C．根据题意列出树状图得出所有等可能的结果和2次抽出的签上的数字的和为正数的情况数，然后利用概率公式求解即可．此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．6.【答案】A【解析】解：∵∠ADE=∠ACB，∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，∴ADAC =AEAB，即24=AE6，解得，AE=3，故选：A．证明△ADE∽△ACB，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．本题考查的是相似三角形的判定和性质，证明△ADE∽△ACB是解题的关键．7.【答案】A【解析】解：根据题意得AC=√5−12AB=√5−12×4=2√5−2．故选：A．根据黄金分割的定义可得到AC=√5−12AB，然后把AB=4代入计算即可．本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中项(即AB：AC=AC：BC)，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=√5−12≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．8.【答案】A【解析】解：∵a是方程x2+x−1=0的一个根，∴a2+a−1=0，即a2+a=1，∴−2a2−2a+2020=−2(a2+a)+2020=−2×1+2020=2018．故选：A．根据一元二次方程根的定义得到a2+a=1，再把−2a2−2a+2020变形为−2(a2+ a)+2020，然后利用整体代入的方法计算．本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．9.【答案】D【解析】解：A、由∠CAE=∠BAD知，∠BAC=∠DAE，则由“有两个对应边的比相等，且其夹角相等”可以判定△ABC与△ADE相似，不符合题意．B、由∠CAE=∠BAD知，∠BAC=∠DAE，则由“有两个对应角相等的三角形相似”可以判定△ABC与△ADE相似，不符合题意．C、由“三组对应边的比相等”可以判定△ABC与△ADE相似，不符合题意．D、∠C=∠E不是两个对应边的夹角，故不能判定△ABC与△ADE相似，符合题意．故选：D．应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断．此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．10.【答案】C【解析】解：当x=1.3时，ax2+bx+c=2.29，当x=1.4时，ax2+bx+c=3.76，所以方程的解的范围为1.3<x<1.4．故选：C．利用表中数据得到x=1.3和x=1.4时，代数式ax2+bx+c的值一个小于3，一个大于3，从而可判断当1.3<x<1.4时，代数式ax2+bx+c的值为3．本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．11.【答案】B【解析】解：∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，∴△ADC∽△ACB，∴ACAB =ADAC，∴AC2=AD⋅AB=AD(AD+DB)=2×8=16，∵AC>0，∴AC=4，故选：B．只要证明△ADC∽△ACB，可得ACAB =ADAC，即AC2=AD⋅AB，由此即可解决问题；本题考查相似三角形的判定和性质、解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．12.【答案】D【解析】解：①当2x+1≤2x−3成立时，即1≤−3，矛盾；所以a≤b时不成立；②当2x+1>2x−3成立时，即1>−3，所以a>b时成立；则(2x−3)2−(2x+1)=t，化简得：4x2−14x+8−t=0，该一元二次方程有两个不相等的实数根，△=142−4×4×(8−t)>0；．解得：t>−174故选：D．分两种情况：①当2x+1≤2x−3成立时；②当2x+1>2x−3成立时；进行讨论即可求解．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根．同时考查了新定义的运算．13.【答案】−2x2+11x−3=0【解析】解：−2x(x−5)=3−x移项去括号得：−2x2+10x−3+x=0，整理可得：−2x2+11x−3=0，故一元二次方程−2x(x−5)=3−x化为一般形式为：−2x2+11x−3=0．故答案为：−2x2+11x−3=0．首先去括号再移项，进而合并同类项得出即可．此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确合并同类项是解题关键．14.【答案】(x−1)2=6【解析】解：∵x2−2x−5=0，∴x2−2x=5，∴x2−2x+1=1+5，∴(x−1)2=6．故答案为(x−1)2=6．利用配方法，首先移项，再等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即可求得答案．此题考查了配方法解一元二次方程．注意掌握配方法的解题步骤是关键．15.【答案】24个【解析】解：设白球有x个，=0.2，根据题意得：6x+6解得：x=24，经检验：x=24是分式方程的解，即白球有24个，故答案为24个估计利用频率估计概率可估计摸到白球的概率为0.2，然后根据概率公式构建方程求解即可．本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．16.【答案】4cm【解析】解：已知a，b，c，d是成比例线段，根据比例线段的定义得：ad=cb，代入a=3cm，b=2cm，c=6cm，解得：d=4，则d=4cm．故答案为：4cm．如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．根据定义ad =cb ，将a ，b 及c 的值代入即可求得d ．本题考查了比例线段的定义：若四条线段a ，b ，c ，d 有a ：b =c ：d ，那么就说这四条线段成比例．17.【答案】1【解析】解：∵l 1//l 2//l 3，∴CH DH =AG GB ，∵CH =1.2cm ，DH =2.4cm ，AB =3cm ，∴1.22.4=AG 3−AG ，解得：AG =1(cm)，故答案为：1．根据平行线分线段成比例定理得出CH DH =AG GB ，代入得出1.22.4=AG 3−AG ，求出AG 即可． 本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：定理(一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例)中的对应成比例．18.【答案】92【解析】解：∵△ABC 是正三角形，∴∠B =∠ADE =∠C =60°，AB =BC =AC ，∵∠ADE +∠CDE =∠B +∠BAD ，∴∠BAD =∠CDE ，∴△ABD∽△DCE ，∴AB DC =BD CE， ∵BD =32，CE =1， ∴AB DC =32，∴2AB =3DC ，∵DC =BC −BD =AB −32，∴2AB =3(AB −32)，即AB =92，故答案为：9．2利用△ABC是等边三角形性质，可以求出三边关系和三角度数关系∠B=∠ADE=∠C= 60°，AB=BC=AC，结合条件给的角度，利用外角性质可得∠BAD=∠CDE，从而证明△ABD∽△DCE，根据相似线段比关系，线段AB的长度就比较容易求出．本题主要考查了正三角形的性质，外角的性质，相似判定以及性质的应用，通过角度转换，求证三角形相似利用相似线段比是解决问题的关键．19.【答案】解：(1)2(x−1)2=18，(x−1)2=9，∴x−1=±3，∴x1=4，x2=−2；(2)x2−2x=2x+1，x2−4x=1，x2−4x+4=1+4，即(x−2)2=5，∴x−2=±√5，∴x1=2+√5，x2=2−√5；(3)(3y−1)(y+1)=4，3y2+2y−5=0，(3y+5)(y−1)=0，∴3y+5=0或y−1=0，∴y1=−5，y2=1；3(4)x(x+3)=2(x+3)2．x(x+3)−2(x+3)2=0，(x+3)(x−2x−6)=0，∴x+3=0或−x−6=0，∴x1=−3，x2=−6．【解析】(1)利用直接开平方法求解可得；(2)利用配方法求解可得；(3)利用公式法因式分解法求解可得；(4)利用因式分解法求解可得．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．20.【答案】解：根据题意得：m+n=3，mn=1，∴(m−1)(n−1)=mn−(m+n)+1=1−3+1=−1．【解析】利用根与系数的关系表示出m+n与mn，已知等式左边利用多项式乘多项式法则变形，将m+n与mn的值代入即可．此题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．21.【答案】解：(1)此次共调查的学生有：40÷72°360∘=200(名)；(2)足球的人数有：200−40−60−20−30=50(人)，补全统计图如下：(3)根据题意画树状图如下：共用25种等可能的情况数，其中他俩选择不同项目的有20种，则他俩选择不同项目的概率是2025=45．【解析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．(1)用羽毛球的人数除以所占的百分比即可得出答案；(2)用总人数减去其他项目的人数求出足球的人数，从而补全统计图；(3)根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数和他俩选择不同项目的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．22.【答案】(1)解：设方程的另一个根为t，则0+t=2m，0⋅t=2m−1，解得m=12，t=1所以方程的另一个根是1；(2)证明：△=b2−4ac=4m2−4(2m−1)=4m2−8m+4=4(m−1)2≥0，所以对于任意的实数m，方程总有实数根．【解析】(1)设方程的另一个根为t，根据根与系数的关系得到0+t=2m，0⋅t=2m−1，然后先求出m，再求出t的值；(2)计算判别式的值得到△=4(m−1)2，从而得到△≥0，然后根据判别式的意义得到结论．本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba ，x1x2=ca.也考查了判别式的意义．23.【答案】解：∵1000×25=25000(元)，25000<27000，∴该单位这次去这个风景区旅游的人数超过25人；∵27000÷700=3847(人)，3847不为整数，∴人均旅游费用不能为700元．设该单位这次共有x名员工去这个风景区旅游，则人均旅游费用为1000−20(x−25)= (1500−20x)元，依题意得：x(1500−20x)=27000，整理得：x2−75x+1350=0，解得：x1=30，x2=45．当x=30时，1500−20x=1500−20×30=900>700，符合题意；当x=45时，1500−20x=1500−20×45=600<700，不合题意，舍去．答：该单位这次共有30名员工去这个风景区旅游．【解析】利用总价=单价×数量可求出旅游人数为25人时所需总旅游费，由该值小于27000元可得出该单位这次去这个风景区旅游的人数超过25人，利用人数=总旅游费÷700可求出人均旅游费用为700元时的旅游人数，由该值不为整数可得出人均旅游费用不能为700元，设该单位这次共有x名员工去这个风景区旅游，则人均旅游费用为(1500−20x)元，利用总旅游费用=人均旅游费用×人数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出该单位这次共有30名员工去这个风景区旅游．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．24.【答案】不是 2 2b2=9ac【解析】解：(1)2x2+x−1=0，(2x−1)(x+1)=0，解得x1=12和x2=−1，故一元二次方程2x2+x−1=0不是(填“是”或“不是”)“倍根方程”．(2)由题意可知：x=m与x=2m是方程x2−3x+c=0的解，∴m2−3m+c=0，4m2−6m+c=0，∴m=1，c=2；(3)设x=m与x=2m是方程ax2+bx+c=0的解，∴2m+m=−ba ，2m2=ca，∴消去m得：2b2=9ac，(4)由(x−2)(mx−n)=0(m≠0)是“倍根方程”，且该方程的两根分别为x=2和x=nm，∴nm =4或nm=1，当n=4m时，原式=(m−n)(4m−n)=0当n=m时，原式=(m−n)(4m−n)=0．故答案为：不是；2；2b2=9ac．(1)根据“倍根方程”的定义即可得出结论；(2)根据倍根方程的定义以及根与系数的关系即可求出答案．(3)设x=m与x=2m是方程ax2+bx+c=0的解，然后根据根与系数的关系即可求出答案；(4)根据定义可求出n=4m或n=m，代入原式后即可求出答案；本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“倍根方程”的定义，本题属于中等题型．25.【答案】6【解析】解：(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=9cm，则AB=2BC=18cm，由题意得：BP=t cm，AQ=2t cm，∴BQ=(18−2t)cm，当BP=BQ时，t=18−2t，解得：t=6，故答案为：6；(2)①如图1，过点Q作QH⊥BC于H，则QH//AC，∴∠BQH=∠A=30°，∵t=4，∴BP=4cm，BQ=10cm，∴BH=12BQ=5，QH=BQ⋅cos∠BQH=10×√32=5√3(cm)，∴PH=BH−BP=1cm，由勾股定理得：PQ=√PH2+QH2=2√19(cm)；②当△BPQ∽△BCA时，BPBC =BQBA，即t9=18−2t18，解得：t=92，当△BQP∽△BCA 时，BP BA =BQ BC ，即t 18=18−2t 9， 解得：t =365，综上所述，t 为92或365时，△BPQ 与△BCA 相似．(1)根据直角三角形的性质求出AB ，根据题意列出方程，解方程即可；(2)①过点Q 作QH ⊥BC 于H ，根据正弦的定义求出BH ，根据余弦的定义求出QH ，进而求出PH ，根据勾股定理计算即可；②分△BPQ∽△BCA 、△BQP∽△BCA 两种情况，根据相似三角形的性质列式计算，得到答案．本题考查的是相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用，掌握相似三角形的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．。
山东省济南市2020-2021学年高三上学期期末考试数学试题(含解析)
山东省济南市2021届高三第一学期期末检测数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．设集合{}2A |60x x x =−−≤，{}B |10x x =−<，则AB =A ．{}|3x x ≤B ．{}|31x x −≤<C ．{}|21x x −≤<−D ．{}|21x x −≤< 2．已知复数i1i z =+（其中i 为虚数单位），则z 的共轭复数为 A ．11i 22−+ B ．11i 22−− C ．11i 22+ D ．11i 22−3．已知直线l 过点(2，2)，则“直线l 的方程为y ＝2”是“直线l 与圆224x y +=相切”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．十二生肖是中国特有的文化符号，有着丰富的内涵，它们是成对出现的，分别为鼠和牛、虎和兔、龙和蛇、马和羊、猴和鸡、狗和猪六对．每对生肖相辅相成，构成一种完美人格．现有十二生肖的吉祥物各一个，按照上面的配对分成六份．甲、乙、丙三位同学依次选一份作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢．如果甲、乙、丙三位同学选取的礼物中均包含自己喜欢的生肖，则不同的选法种数共有A ．12种B ．16种C ．20种D ．24种5．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且满足BEEC =，CD 2CF =，则AE AF +=AB ．3C ．D ．46．把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是1C θ︒，空气的温度是0C θ︒，那么min t后物体的温度θ（单位：C ︒）满足公式010()e kt θθθθ−=+−（其中k 为常数）．现有52C ︒的物体放在12C ︒的空气中冷却，2min 后物体的温度是32C ︒．则再经过4min 该物体的温度可冷却到A ．12C ︒B ．14.5C ︒ C ．17C ︒D ．22C ︒7．已知双曲线C ：22221(00)x y a b a b−=>>，的左、右顶点分别为A ，B ，其中一条渐近线与以线段AB 为直径的圆在第一象限内的交点为P ，另一条渐近线与直线PA 垂直，则C 的离心率为A ．3B ．2C D8．已知函数()(1)e x f x a x x =+−，若存在唯一的正整数0x ，使得0()0f x <，则实数a 的取值范围是 A ．[12e −，334e ) B ．[334e ，223e ) C ．[223e ，12e ) D ．[12e ，12) 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．为落实《山东省学生体质健康促进条例》的要求，促进学生增强体质，健全人格，锤炼意志，某学校随机抽取了甲、乙两个班级，对两个班级某一周内每天的人均体育锻炼时间（单位：分钟）进行了调研．根据统计数据制成折线图如下：下列说法正确的是A ．班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的众数为30B ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为72C ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的极差比班级乙的小D ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均值比班级乙的大10．已知函数12()sin(2)cos(2)f x a x b x ϕϕ=+++(()f x 不恒为0)，若()06f π=，则下列说法一定正确的是A ．()12f x π−为奇函数 B ．()f x 的最小正周期为πC ．()f x 在区间[12π−，125π]上单调递增 D ．()f x 在区间[0，2021π]上有4042个零点 11．如图，在正四棱柱ABCD—A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2，点P 为线段AD 1上一动点，则下列说法正确的是 A ．直线PB 1∥平面BC 1DB ．三棱锥P—BC 1D 的体积为13C ．三棱锥D 1—BC 1D 外接球的表面积为32π D ．直线PB 1与平面BCC 1B 112．已知红箱内有5个红球、3个白球，白箱内有3个红球、5个白 第11题球，所有小球大小、形状完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依次类推，第k ＋1次从与第k 次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去．记第n 次取出的球是红球的概率为n P ，则下列说法正确的是A ．21732P =B ．117232n n P P +=+C ．211221()2n n n n n n P P P P P P ++++−=−+D ．对任意的i ，j N *∈且1i j n ≤<≤，11111()()(14)(14)22180n n i ji j nP P −−≤<≤−−=−−∑ 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知1sin()63απ+=，则5sin()6απ−的值为 ． 14．若实数x ，y 满足lg lg lg()x y x y +=+，则xy 的最小值为 ． 15．已知奇函数()f x 在(0，+∞ )上单调递减，且(4)0f =，则不等式(1)0xf x +>的解集为 ．16．已知直线l 与抛物线C ：28y x =相切于点P ，且与C 的准线相交于点T ，F 为C 的焦点，连接PF 交C 于另一点Q ，则△PTQ 面积的最小值为 ；若|TF |5=，则|PQ |的值为 ．（本小题第一空2分，第二空3分）四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）在平面四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝5，∠ABC ＝120°，AD，∠ADC ＝2∠ACD ，求△ACD 的面积． 18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）在①218()n n n nb a a +=⋅，②2n n n b a =⋅，③(1)n n n b S =−⋅这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解该问题．若 ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC—A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝2，D 为BC 的中点，平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ，设直线l 为平面AC 1D 与平面A 1B 1C 1的交线．（1）证明：l ⊥平面BB 1C 1C ；（2）已知四边形BB 1C 1C 为边长为2的菱形，且∠B 1BC ＝60°，求二面角D—AC 1—C 的余弦值．某县在实施脱贫工作中因地制宜，着力发展枣树种植项目．该县种植的枣树在2020年获得大丰收，依据扶贫政策，所有红枣由经销商统一收购．为了更好的实现效益，县扶贫办从今年收获的红枣中随机选取100千克，进行质量检测，根据检测结果制成如图所示的频率分布直方图．右表是红枣的分级标准，其中一级品、二级品统称为优质品．经销商与某农户签订了红枣收购协议，规定如下：从一箱红枣中任取4个进行检测，若4个均为优质品，则该箱红枣定为A 类；若4个中仅有3个优质品，则再从该箱中任意取出1个，若这一个为优质品，则该箱红枣也定为A 类；若4个中至多有一个优质品，则该箱红枣定为C 类；其它情况均定为B 类．已知每箱红枣重量为10千克，A 类、B 类、C 类的红枣价格分别为每千克20元、16元、12元．现有两种装箱方案：方案一：将红枣采用随机混装的方式装箱；方案二：将红枣按一、二、三、四等级分别装箱，每箱的分拣成本为1元． 以频率代替概率解决下面的问题．（1）如果该农户采用方案一装箱，求一箱红枣被定为A 类的概率； （2）根据所学知识判断，该农户采用哪种方案装箱更合适，并说明理由．21．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若折线0)y k x =≠与C 相交于A ，B 两点（点A 在直线x =的右侧），设直线OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，且212k k −=，求k 的值．22．（本小题满分12分）已知函数()ln(1)f x a x x =−+． （1）讨论()f x 的单调性； （2）若1()e 1x f x x −≥−+对任意的x ∈(0，+∞)恒成立，求实数a 的取值范围．山东省济南市2021届高三第一学期期末检测数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．设集合{}2A |60x x x =−−≤，{}B |10x x =−<，则AB =A ．{}|3x x ≤B ．{}|31x x −≤<C ．{}|21x x −≤<−D ．{}|21x x −≤< 答案：D解析：{}2A |60x x x =−−≤＝[﹣2，3]，{}B |10x x =−<＝(−∞，1)，故AB =[﹣2，1)．选D ．2．已知复数i1i z =+（其中i 为虚数单位），则z 的共轭复数为 A ．11i 22−+ B ．11i 22−− C ．11i 22+ D ．11i 22−答案：D解析：i i(1i)1i1i (1i)(1i)22z −===+++−，则1i 22z =−．选D ． 3．已知直线l 过点(2，2)，则“直线l 的方程为y ＝2”是“直线l 与圆224x y +=相切”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A解析：“直线l 的方程为y ＝2”⇒“直线l 与圆224x y +=相切”, “直线l 与圆224x y += 相切”“直线l 的方程为y ＝2”，故选A ．4．十二生肖是中国特有的文化符号，有着丰富的内涵，它们是成对出现的，分别为鼠和牛、虎和兔、龙和蛇、马和羊、猴和鸡、狗和猪六对．每对生肖相辅相成，构成一种完美人格．现有十二生肖的吉祥物各一个，按照上面的配对分成六份．甲、乙、丙三位同学依次选一份作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢．如果甲、乙、丙三位同学选取的礼物中均包含自己喜欢的生肖，则不同的选法种数共有A ．12种B ．16种C ．20种D ．24种答案：B解析：甲若选牛，则有1124C C 种；甲若选马，则有1124C C 种．故共有16种，选B ．5．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且满足BEEC =，CD 2CF =，则AE AF +=AB ．3 C．D ．4答案：B解析：由题意知△AEF 的等边三角形，故AE AF +=3，选B ．6．把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是1C θ︒，空气的温度是0C θ︒，那么min t后物体的温度θ（单位：C ︒）满足公式010()e kt θθθθ−=+−（其中k 为常数）．现有52C ︒的物体放在12C ︒的空气中冷却，2min 后物体的温度是32C ︒．则再经过4min 该物体的温度可冷却到A ．12C ︒B ．14.5C ︒ C ．17C ︒D ．22C ︒ 答案：C解析：221321240e e 2k k −−=+⇒=，6311240e 1240()172k θ−=+=+⨯=，故选C ． 7．已知双曲线C ：22221(00)x y a b a b−=>>，的左、右顶点分别为A ，B ，其中一条渐近线与以线段AB 为直径的圆在第一象限内的交点为P ，另一条渐近线与直线PA 垂直，则C 的离心率为A ．3B ．2CD 答案：B解析：将直线AP 与斜率为正数的渐近线方程联立：()a y x a bb y x a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得P(322a b a −，222a b b a −)，因为OP ＝a ，则322222222()()a a b a b a b a+=−−，化简得2222222334a b a c a c a =⇒=−⇒=2e ⇒=，选B ．8．已知函数()(1)e x f x a x x =+−，若存在唯一的正整数0x ，使得0()0f x <，则实数a 的取值范围是 A ．[12e −，334e ) B ．[334e ，223e ) C ．[223e ，12e ) D ．[12e ，12) 答案：C解析：0()0f x <，参变分离得：000(1)e x x a x <+，令000()(1)(1)e x x g x x x =≥+，2000201()0(1)e x x x g x x +−'=−<+，所以0()g x 在[1，+∞)且0x Z ∈单调递增， 求得1(1)2e g =，22(2)3eg =，故要使存在唯一的正整数0x ，使得0()0f x <， 则223e ≤a ＜12e，选C ． 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．为落实《山东省学生体质健康促进条例》的要求，促进学生增强体质，健全人格，锤炼意志，某学校随机抽取了甲、乙两个班级，对两个班级某一周内每天的人均体育锻炼时间（单位：分钟）进行了调研．根据统计数据制成折线图如下：下列说法正确的是A ．班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的众数为30B ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为72C ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的极差比班级乙的小D ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均值比班级乙的大 答案：AC解析：班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为65，故B 错误；班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均值比班级乙的小，故D 错误．综上选AC ．10．已知函数12()sin(2)cos(2)f x a x b x ϕϕ=+++(()f x 不恒为0)，若()06f π=，则下列说法一定正确的是 A ．()12f x π−为奇函数 B ．()f x 的最小正周期为π C ．()f x 在区间[12π−，125π]上单调递增 D ．()f x 在区间[0，2021π]上有4042个零点答案：BD解析：()12f x π−为偶函数，故A 错误；()f x 在区间[12π−，125π]上单调，但不一定是单调递增，故C 错误．综上选BD ．11．如图，在正四棱柱ABCD—A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2，点P 为线段AD 1上一动点，则下列说法正确的是A ．直线PB 1∥平面BC 1DB ．三棱锥P—BC 1D 的体积为13C ．三棱锥D 1—BC 1D 外接球的表面积为32πD ．直线PB 1与平面BCC 1B 1答案：ABD解析：因为平面AB 1D 1∥平面BC 1D ，PB 1⊂平面AB 1D 1，所以直线PB 1∥平面BC 1D ，A 正确；V P—BC1D ＝V A—BC1D ＝V C1—ABD ＝111112=323⨯⨯⨯⨯，故B 正确；三棱锥D 1—BC 1D=S 球＝246ππ=，故C 错误；PB 1min 点P 到平面BCC 1B 1的距离为1，所以直线PB 1与平面BCC 1B 1所成角的正弦值的最，故D 正确．综上选ABD ．12．已知红箱内有5个红球、3个白球，白箱内有3个红球、5个白球，所有小球大小、形状完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依次类推，第k ＋1次从与第k 次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去．记第n 次取出的球是红球的概率为n P ，则下列说法正确的是A ．21732P =B ．117232n n P P +=+C ．211221()2n n n n n n P P P P P P ++++−=−+D ．对任意的i ，j N *∈且1i j n ≤<≤，11111()()(14)(14)22180n n i ji j nP P −−≤<≤−−=−−∑ 答案：ACD解析：第n 此取出球是红球的概率为n P ，则白球概率为(1)n P −，对于第1n +次，取出红球有两种情况． ①从红箱取出1(1)58n n P P +=⋅（条件概率）， ②从白箱取出2(1)3(1)8n nP P +=−⋅， 对应121(1)(1)3184n n n n P P P P +++=+=+（转化为数列问题）， 所以1111()242n n P P +−=−， 令12n n a P =−，则数列{n a 为等比数列，公比为14，因为158P =，所以118a =， 故2(21)2n n a −+=即对应(21)122n n P −+=+， 所以21732P =，故选项A 正确； [2(1)1](21)231111112[2]222224n n n n n P P −++−+−−+−=+−⨯+=−，故117232n n P P +=+不成立，故选项B 错误； 经验证可得，211221()2n n n n n n P P P P P P ++++−=−+，故选项C 正确；1(21)(21)11111()()2222n ni j i j i j n i j i P P −−+−+<==+−−=⋅∑∑∑ 1(21)(23)(23)142[22]3n i i n i −−+−+−+==⋅−∑11(44)(23)(21)114[222]3n n i n i i i −−−+−+−+===−∑∑ 844(23)3214164[(22)2(22)]3153n n n −−−−+−−−=−−⋅− 424141122218045369n n n −−−=−⋅−⋅+⋅ 421(14252)180n n −−=+⋅−⋅ 221(142)(12)180n n −−=−⋅−11(14)(14)180n n −−=−−，故D 正确． 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知1sin()63απ+=，则5sin()6απ−的值为 ． 答案：13解析：51sin()sin[()]sin()6663ππαπααπ−=−+=+=． 14．若实数x ，y 满足lg lg lg()x y x y +=+，则xy 的最小值为 ．答案：4解析：11lg lg lg()1x y x y xy x y x y+=+⇒=+⇒+=， 11()()24y xxy x y x y x y x y=+=++=++≥，当且仅当x ＝y ＝2时取“＝”．15．已知奇函数()f x 在(0，+∞ )上单调递减，且(4)0f =，则不等式(1)0xf x +>的解集为 ．答案：(0，3)(﹣5，﹣1)解析：0(1)0(1)0x xf x f x >⎧+>⇒⎨+>⎩或003(1)0x x f x <⎧⇒<<⎨+<⎩或51x −<<−，故原不等式的解集为(0，3)(﹣5，﹣1)．16．已知直线l 与抛物线C ：28y x =相切于点P ，且与C 的准线相交于点T ，F 为C 的焦点，连接PF 交C 于另一点Q ，则△PTQ 面积的最小值为 ；若|TF |5=，则|PQ |的值为 ．（本小题第一空2分，第二空3分）答案：16，252解析：当PQ 为抛物线通径时△PTQ 的面积最小，为16；当TF ＝5时，可得线段PQ 中点的纵坐标为3或﹣3，故PQ 的斜率为43或43−，故PQ ＝2228254sin 2()5p α==． 四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）在平面四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝5，∠ABC ＝120°，AD，∠ADC ＝2∠ACD ，求△ACD 的面积．解：在△ABC 中，由余弦定理可得：所以在△ACD 中，由正弦定理可得：，即所以所以 因为，所以所以所以18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）在①218()n n n nb a a +=⋅，②2n n n b a =⋅，③(1)n n n b S =−⋅这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解该问题．若 ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解：（1）因为所以所以当时，适合上式，所以（2）若选①： 因为所以若选②：因为所以则两式相减可得：所以若选③：当n为偶数时，当n为奇数时，综上：19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝AC＝2，D为BC的中点，平面BB1C1C⊥平面ABC，设直线l为平面AC1D与平面A1B1C1的交线．（1）证明：l⊥平面BB1C1C；（2）已知四边形BB1C1C为边长为2的菱形，且∠B1BC＝60°，求二面角D—AC1—C的余弦值．解：（1）证明：因为AB＝AC＝2，D为BC的中点，所以AD⊥BC，又因为平面BB1C1C⊥平面ABC，且平面BB1C1C平面ABC＝BC，AD 平面ABC，所以AD⊥平面BB1C1C，而AD∥平面A1B1C1，且AD⊂平面AC1D，平面AC1D平面A1B1C1＝l，所以AD∥l，所以l⊥平面BB1C1C；（2）因为AD⊥平面BB1C1C，AD⊂平面AC1D，所以平面AC1D⊥平面BB1C1C，在平面BB1C1C内，过C作CH⊥DC1于点H，则CH⊥平面AC1D，过C作CG⊥AC1于点G，则G为线段AC1的中点，连接HG，则∠CGH就是二面角D—AC1—C的平面角，在直角中，在中，，在中，，在直角中，，所以所以二面角D—AC1—C的余弦值为20．（本小题满分12分）某县在实施脱贫工作中因地制宜，着力发展枣树种植项目．该县种植的枣树在2020年获得大丰收，依据扶贫政策，所有红枣由经销商统一收购．为了更好的实现效益，县扶贫办从今年收获的红枣中随机选取100千克，进行质量检测，根据检测结果制成如图所示的频率分布直方图．右表是红枣的分级标准，其中一级品、二级品统称为优质品．经销商与某农户签订了红枣收购协议，规定如下：从一箱红枣中任取4个进行检测，若4个均为优质品，则该箱红枣定为A 类；若4个中仅有3个优质品，则再从该箱中任意取出1个，若这一个为优质品，则该箱红枣也定为A 类；若4个中至多有一个优质品，则该箱红枣定为C 类；其它情况均定为B 类．已知每箱红枣重量为10千克，A 类、B 类、C 类的红枣价格分别为每千克20元、16元、12元．现有两种装箱方案：方案一：将红枣采用随机混装的方式装箱；方案二：将红枣按一、二、三、四等级分别装箱，每箱的分拣成本为1元． 以频率代替概率解决下面的问题．（1）如果该农户采用方案一装箱，求一箱红枣被定为A 类的概率；（2）根据所学知识判断，该农户采用哪种方案装箱更合适，并说明理由． 解：（1）从红枣中任意取出一个，则该红枣为优质品的概率是，记“如果该农户采用方案一装箱，一箱红枣被定为A 类”为事件A ，则（2）记“如果该农户采用方案一装箱，一箱红枣被定为B 类”为事件B ，“如果该农户采用方案一装箱，一箱红枣被定为C 类”为事件C ，则所以如果该农户采用方案一装箱，每箱红枣收入的数学期望为：元；由题意可知，如果该农户采用方案二装箱，则一箱红枣被定为A 类的概率为，被定为C 类的概率也为，所以如果该农户采用方案二装箱，每箱红枣收入的数学期望为： 元；所以该农户采用方案二装箱更合适．21．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若折线0)y k x =≠与C 相交于A ，B 两点（点A 在直线x =的右侧），设直线OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，且212k k −=，求k 的值．解：（1）由题可知22c a b a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又因为，所以所以椭圆C 的标准方程为（2）因为折线与椭圆C 相交于A ，B 两点，设点B 关于x 轴的对称点为B′， 则直线与椭圆C 相交于A ，B′两点，设则由得所以所以整理得解得22．（本小题满分12分）已知函数()ln(1)f x a x x =−+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若1()e 1x f x x −≥−+对任意的x ∈(0，+∞)恒成立，求实数a 的取值范围． 解：（1）若，，此时在上单调递减；若，由得，此时在上单调递减，在上单调递增；综上所述，，在上单调递减；，在上单调递减，在上单调递增；（2）因为记所以在上单调递增，所以，所以恒成立；若不合题意；若，由（1）知，在上单调递减，所以不合题意；若，记记所以在上单调递增，所以所以符合题意；综上实数a的取值范围是．。
山东省济南市外国语学校2020-2021学年高二数学文模拟试题含解析
山东省济南市外国语学校2020-2021学年高二数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的零点个数为（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个参考答案：B【分析】求出导函数，根据导函数判定原函数单调递增，结合，即可得到零点个数.【详解】由题：，，当且仅当时导函数等于0，所以在R上单调递增，又因为所以函数有且仅有一个零点.故选：B【点睛】此题考查函数零点问题，根据导函数判断单调性，结合特殊值，判断函数零点的个数.2. 若关于x的不等式2x2﹣8x﹣4﹣a＞0在1＜x＜4内有解，则实数a的取值范围是( )A．a＜﹣4 B．a＞﹣4 C．a＞﹣12 D．a＜﹣12参考答案：A【考点】一元二次不等式的应用．【专题】计算题．【分析】先将原不等式2x2﹣8x﹣4﹣a＞0化为：a＜2x2﹣8x﹣4，设y=2x2﹣8x﹣4，y=a，只须a小于y=2x2﹣8x﹣4在1＜x＜4内的最大值时即可，从而求得实数a的取值范围．【解答】解：原不等式2x2﹣8x﹣4﹣a＞0化为：a＜2x2﹣8x﹣4，只须a小于y=2x2﹣8x﹣4在1＜x＜4内的最大值时即可，∵y=2x2﹣8x﹣4在1＜x＜4内的最大值是﹣4．则有：a＜﹣4．故选A．【点评】本小题主要考查一元二次不等式的应用等基础知识，考查等价化归与转化思想．属于基础题．3. 已知：命题P：，总有|x|≥0；命题q：x=1是方程x2+x+1=0的根，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧q C．p∧q D．p∧q参考答案：A4. 等于（）A． B． C． D．参考答案：A5. 抛物线的准线方程是( )参考答案：B6. 高一新生军训时，经过两天的打靶训练，甲每射击10次可以击中9次，乙每射击9次可以击中8次．甲、乙两人射击同一目标（甲、乙两人互不影响），现各射击一次，目标被击中的概率为（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【专题】概率与统计．【分析】先由题意根据独立事件的概率乘法公式求得两人都击不中的概率，再用1减去此概率，即为目标被击中的概率．【解答】解：由题意可得，甲射中的概率为，乙射中的概率为，故两人都击不中的概率为（1﹣）（1﹣）=，故目标被击中的概率为1﹣=，故选：D．【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，所求的事件的概率与它的对立事件的概率之间的关系，属于基础题．7. 一直线与直二面角的两个面所成的角分别为α，β，则α+β满足（）A、α+β<900B、α+β≤900C、α+β>900D、α+β≥900参考答案：B8. 甲乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以的比分获胜的概率为（）A．B．C．D．参考答案：A略9. 在△ABC 中，sinA:sinB:sinC=3:2:4，则cosC的值为（）A． B．－ C． D．－参考答案：D10. 已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，﹣1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（）A．B．C．（1，2）D．（1，﹣2）参考答案：A【考点】抛物线的简单性质．【分析】先判断点Q与抛物线的位置，即点Q在抛物线内，再由点P到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，根据图象知最小值在S，P，Q三点共线时取得，可得到答案．【解答】解：点P到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，如图PF+PQ=PS+PQ，故最小值在S，P，Q三点共线时取得，此时P，Q的纵坐标都是﹣1，故选A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知点，是椭圆的动点．若点恰在椭圆的右顶点时，两点的距离最小，则实数的取值范围为______________．参考答案：12. 若cosθ=﹣，tanθ＞0，则sinθ= _________ ．参考答案：13. 圆的过点的切线方程为.参考答案：14. 已知a ，b ，c ∈R ，命题“若=3，则≥3”，的否命题是________________．参考答案：若a+b+c≠3，则<3略15. ΔABC 中, a = 1, b =, ∠A=30°，则∠B 等于 。
山东省济南外国语学校2020-2021学年高三10月月考数学试题
山东省济南外国语学校2020-2021学年高三10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}2=A x x x <，1{|1}B x x =≥，则A B =（ ） A ．(0,1) B ．[0,1] C ．(,1]-∞ D ．(,0)(0,1]-∞ 2．已知i 为虚数单位，,a b ∈R ，复数12i i a bi i +-=+-，则a bi -=（ ） A ．1255i - B ．1255i + C ．2155i - D ．2551i + 3．命题“2[2,),4x x ∀∈+∞≥”的否定是（ ）A ．2[2,),4x x ∀∈+∞<B ．2(,2),4x x ∀∈-∞≥C ．200[2,),4x x ∃∈+∞<D ．200[2,),4x x ∃∈+∞≥4．已知向量(1,2),(2,2),(,1)a b c m ==-=，若//(2)c a b +，则m =（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．35．二项式*(1)()n x n +∈N 的展开式中3x 项的系数为10，则n =（ ）A ．8B ．6C ．5D ．106．已知0.2log 2a =，20.2b =，0.23c =，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<7．已知圆22:240C x y x y +-+=关于直线32110x ay --=对称，则圆C 中以,22a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭为中点的弦长为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．用一个体积为36π的球形铁质原材料切割成为正三棱柱的工业用零配件，则该零配件体积的最大值为（ ）A ．2 B ．C ．18 D ．27二、多选题9．下列说法正确的是( )A ．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a 后，方差也变为原来的a 倍B ．设有一个回归方程35y x =-，变量x 增加1个单位时，y 平均减少5个单位C ．线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱D ．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N （1，σ2）（σ＞0），则P （ξ＞1）=0.510．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,,F F P 为双曲线上一点，且122PF PF =，若12sin F PF ∠=,,,a b c e 的有关结论正确的是（ ）A ．e =B ．2e =C ．b =D ．b = 11．已知函数()e e x x f x -=-，()e e x x g x -=+，则以下结论错误的是（ ） A ．任意的1x ，2x ∈R 且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<- B ．任意的1x ，2x ∈R 且12x x ≠，都有()()12120g x g x x x -<- C ．()f x 有最小值，无最大值D ．()g x 有最小值，无最大值12．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点E 在线段11A C 上，F 、M 分别是AD 、CD 的中点，则下列结论中正确的是（ ）A ．11//FM ACB ．BM ⊥平面1CC FC ．存在点E ，使得平面//BEF 平面11CCD D D ．三棱锥B CEF -的体积为定值三、填空题13．若tan 3α=，则sin 2tan 4απα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为__________. 14．甲、乙等5名同学参加志愿者服务,分别到三个路口硫导交通,每个路口有1名或2名志原者,则甲、乙在同一路口的分配方案共有种数________(用数字作答).15．在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ︒∠=且AB =14BB =，设其外接球的球心为O ，且球O 的表面积为28π，则ABC ∆的面积为__________.四、双空题16．抛物线C ：22y x =的焦点坐标是________；经过点()4,1P 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，且点P 恰为AB 的中点，F 为抛物线的焦点，则AF BF +=________.五、解答题17．已知首项为1的等比数列{}n a 的前3项和为3.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若21a ≠，2log n n b a =，求数列121n n b b ++⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 18．在ABC ∆中，23AB AC D ==，，为BC 边上的中点．（1）求sin sin BAD DAC∠∠的值； （2）若2BAD DAC ∠=∠，求AD ．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥底面ABCD ，其中底面ABCD 为等腰梯形，//AD BC ，PA AB BC CD ===，PA PD ⊥，60PAD ∠=︒，Q为PD 的中点.（1）证明：//CQ 平面PAB ；（2）求二面角P AQ C --的余弦值.20．根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y （百千克）与某种液体肥料每亩使用量x （千克）之间的对应数据的散点图，如图所示.（1）依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请计算相关系数r 并加以说明（若0.75r >，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）； （2）求y 关于x 的回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少？ 附：相关系数公式()()n n i i i i x xy y x y nx y r ---==∑∑回归方程y bx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()111222111ˆn n i i i i i n n i i i x xy y x y nx y b xx x nx ====---==--∑∑∑∑，ay bx =-.21．已知椭圆(222:12x y C a a +=>的右焦点为F，P 是椭圆C 上一点，PF x ⊥轴，2PF =. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，且OM =AOB ∆面积的最大值.22．已知函数21()2ln (2)2f x x a x a x =+-+． （1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）是否存在实数a ，使函数34()()9g x f x ax x =++在(0,)+∞上单调递增？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案1．A【分析】根据一元二次不等式和分式不等式的解法求得集合{}=|01A x x <<，{|01}B x x =<≤，再结合集合交集的运算，即可求解.【详解】 由题意，集合{}{}2=|01A x x x x x <=<<，1{|1}{|01}B x x x x=≥=<≤， 则{|01}(0,1)A B x x =<<=.故选：A.【点睛】本题主要考查了集合的交集的概念及运算，以及一元二次不等式和分式不等式的解法，其中解答中根据一元二次不等式和分式不等式的解法求得集合,A B 是解答的关键，着重考查运算与求解能力.2．B【分析】 由复数的除法运算，可得(1)(2)12(2)(2)55i i i i i i a b i=+++-=--+，即可求解a b i -，得到答案． 【详解】 由题意，复数12i i a bi i+-=+-，得(1)(2)1312(2)(2)555i i a b i=i i i i i i ++++-=-=--+， 所以1255a b i=i -+，故选B ． 【点睛】 本题主要考查了复数的运算，其中解答中熟记复数的基本运算法则，准确化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3．C【分析】根据全称命题的否定形式书写.【详解】命题“2[2,),4x x ∀∈+∞≥”的否定是[)02,x ∃∈+∞，204x <.故选C【点睛】本题考查全称命题的否定，属于基础题型.4．C【分析】根据向量的坐标运算，求得2(4,2)a b +=，再结合//(2)c a b +，即可求解.【详解】由题意，向量(1,2),(2,2),(,1)a b c m ==-=，可得2(4,2)a b +=，因为//(2)c a b +，可得142m =，解得2m =. 故选：C.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，以及共线向量的坐标表示及应用，其中解答中熟记向量的共线的坐标表示，列出方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力.5．C【分析】写出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数为3，即可求出n 的值．【详解】由二项式*(1)()n x n +∈N 的展开式的通项1r n r r n T C x -+=得：令3n r -= ，得3r n =-，则3310r n n n n C C C -=== ，所以(1)(2)60n n n --=，解得5n =， 故选C ．【点睛】本题考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．6．A【分析】利用指对函数的单调性，借助中间量0，1比较大小.0.2log 20a =<，20.2(0,1)b =∈，0.231c =>，所以a b c <<，故选：A .【点睛】利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值0，1的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．7．D【分析】圆22:240C x y x y +-+=关于直线32110x ay --=对称即说明直线32110x ay --=过圆心(1,2)-，即可求出2a =，即可由中点弦求出弦长.【详解】依题意可知直线过圆心(1,2)-，即34110a +-=，2a =． 故(),1,122a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．圆方程配方得22(1)(2)5x y -++=，(1,1)-与圆心距离为1，故弦长为4=．故选D ．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，利用中点弦三角形解弦长，属于基础题。
山东省济南外国语学校三箭分校2021-2022学年高三上学期模拟考试数学试题及参考答案
山东省济南外国语学校三箭分校2021-2022学年高三上学期模拟考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．下列各组集合表示同一集合的是（ ） A ．{}{}(3,2),(2,3)M N == B ．{}{}(,)1,1M x y x y N y x y =+==+= C ．{}4,5M =，{}5,4N =D ．{}{}1,2,(1,2)M N ==2．已知0a <，则关于x 的不等式22450x ax a --<的解集是（ ） A ．{|5x x a >或}x a <- B ．{|5x x a <或}x a >- C ．{}|5x a x a -<<D ．{}5x a x a <<-3．已知函数()()1,03,0f x x f x x x ⎧->=⎨-+≤⎩，则()2f 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34．已知函数()y f x =在R 是奇函数，当0x >时，()21xf x =+， 则()2f - 的值（ ） A ．5B ．-5C ．9D ．-95．若函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且其图象向左平移6π个单位后所得图象对应的函数()g x 为奇函数，则()f x 的图象（ ） A ．关于直线3x π=对称 B ．关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．关于直线6x π=-对称D ．关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称6．若(2,1)a =，(1,2)b =-，(2)//()a b a mb +-，则m =（ ） A ．12-B ．12 C ．2D ．-27．英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列{}n x 满足()()n 1n n n f x x x f x +'=-，则称数列{}n x 为牛顿数列.如果函数2()2f x x x =--，数列{}n x 为牛顿数列，设n n 2ln1n x a x -=+且11a =-，2n x >，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2021S =（ ）A ．202121-B ．202112-C ．20211122⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．2021122⎛⎫- ⎪⎝⎭8．已知双曲线2212y x m -=，直线l 过其上焦点2F ，交双曲线上支于A ，B 两点，且AB 4=，1F 为双曲线下焦点，1ABF 的周长为18，则m 值为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．254二、多选题9．如图，点M 是正方体1111ABCD A B C D -中的侧面11ADD A 上的一个动点，则下列结论正确的是（ ）A ．点M 存在无数个位置满足1CM A D ⊥B ．若正方体的棱长为1，三棱锥1BC MD -的体积最大值为13C ．在线段1AD 上存在点M ，使异面直线1B M 与CD 所成的角是30° D ．点M 存在无数个位置满足到直线AD 和直线11C D 的距离相等 10．经过点()4,2P -的抛物线的标准方程为（ ） A ．2y x =B ．2y x =-C ．28y x =-D ．28x y11．假定某射手每次射击命中的概率为34，且只有3发子弹.该射手一旦射中目标，就停止射击，否则就一直射击到子弹用完.设耗用子弹数为X ，则（ ） A ．目标被击中的概率为3132B ．()314P X == C ．()2316E X =D ．()87256D X =12．已知()f x 是定义域为R 的奇函数，且满足(2)(2)f x f x -+=+，则下列结论正确的是（ ） A ．(4)0f =B ．函数()y f x =的图象关于直线1x =对称C ．(8)()f x f x +=D ．若(3)1f -=-，则(2021)1f =- 三、填空题13．设集合{}2,0a A x x a ==>，{}2230B x x x =-+>，则A B =_________.14．设曲线e x y ax =+在点(0,1)处的切线方程为21y x =+，则=a ___________. 15．已知圆22(1)4x y -+=内一点P (2，1)，则过P 点的最短弦所在的直线方程是________.16．如图所示，公园直立的路灯杆BC 正前方有棵挺拔的小树NH ，在路灯杆前的点A （BC ，NH ，点A 在同一平面内）处测得路灯顶点B 处和小树顶点N 处的仰角分别为45°和30°.再朝小树正前方行走到点M ，此时M ，N ，B 三点在同一条直线上.在点M 处测得MH =1m ，小树顶点N 处的仰角为60°，则路灯杆BC 的长为___________m .四、解答题17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ． (1)若1+2cos A cos B ＝2sin A sin B ，求角C ；(2)若()()()2221tan 1tan b A c a A +=--，求角C ．18．已知数列{n a }是首项1a =1，公差为d 的等差数列，数列{n b }是首项1b =2，公比为q 的正项等比数列，且公比q 等于公差d ，3a +6a =32b .（1）求数列{n a }，{n b }的通项公式；（2）若数列{n c }满足21123333n n c c c c +++⋯+－=n a （n *∈N ），求数列{n c }的通项公式.19．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ADC ∠=，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，2PA PD ==，112BC AD ==，CD =（1）求证：平面MQB ⊥平面PAD ；（2）若BM PC ⊥，求直线AP 与BM 所成角的余弦值.20．甲、乙两位大学生参加一企业的招聘，其中有三道测试题△△△，已知甲同学对这三道题解答正确的概率分别为13，13，23，乙同学对这三道题解答正确的概率均为12，公司规定甲、乙均从这三道试题中抽取两道试题进行解答，且两道试题解答完全正确就可以被录用．（1）求甲同学被录用的概率；（2）若甲同学抽中试题△△，乙同学抽中试题△△，设两人解答正确的试题总数为X ，求X 的分布列与数学期望．21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且离心率12e =.（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 为椭圆C 上任一点，12,A A 为椭圆C 的左､右顶点，M 为2PA 中点，求证：直线2PA 与直线OM 它们的斜率之积为定值；（3）若椭圆C 的右焦点为F ，过()4,0B 的直线l 与椭圆C 交于,D E ，求证：直线FD 与直线FE 斜率之和为定值.22．设函数()1xf x e -=-.（1）求函数()()g x f x x =-的极值点； （2）令()()()1h x x f x =-. （i ）求()h x 的最大值； （ii ）如果12x x ≠，且12h x h x ，判断12x x +与2的大小关系，并证明你的结论.参考答案：1．C 【解析】 【分析】根据集合的表示法一一判断即可； 【详解】解：对于A ：集合{}(3,2)M =表示含有点()3,2的集合，{}(2,3)N =表示含有点()2,3的集合，显然不是同一集合，故A 错误；对于B ：集合M 表示的是直线1x y +=上的点组成的集合，集合N R =为数集，故B 错误；对于C ：集合M 、N 均表示含有4,5两个元素组成的集合，故是同一集合，故C 正确； 对于D ：集合M 表示的是数集，集合N 为点集，故D 错误； 故选：C 2．D 【解析】 【分析】直接根据一元二次不等式的解法解不等式即可. 【详解】解：因为方程22450x ax a --=的解为x a =-或5a ，且0a <， 所以不等式22450x ax a --<的解集是{}5x a x a <<-. 故选：D. 3．D 【解析】 【分析】根据分段函数解析式求得正确答案. 【详解】()()()210033f f f ===-+=.故选：D 4．B【解析】 【分析】利用函数的奇偶性，可直接得到答案. 【详解】数()y f x =在R 是奇函数，当0x >时，()21xf x =+所以()22(2)(21)5f f -=-=-+=-，故选：B. 5．D 【解析】 【分析】先求出()sin()f x x π=-223，再求出函数的对称轴方程和对称中心即得解.【详解】解：由函数()f x 的最小正周期T π=可得0>ω， 所以2T ππω==，可得2ω=，这时()2sin(2)f x x ϕ=+，向左平移6π可得()2sin[2()]2sin(2)63g x x x ππϕϕ=++=++，要使函数()g x 为奇函数，则3k πϕπ+=，k Z ∈，而||2ϕπ<，所以3πϕ=-，所以()sin()f x x π=-223， 对称轴满足232x k πππ-=+，k Z ∈，可得A,C 不正确；对称中心满足23x k ππ-=，k Z ∈，所以26k x ππ=+，可得D 正确，B 不正确； 故选：D 6．A 【解析】 【分析】首先求出2a b +，a mb -的坐标，再根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可； 【详解】解：因为(2,1)a =，(1,2)b =-，所以()23,4a b +=，()2,12a mb m m -=+- ，因为(2)//()a b a mb +-，所以()()31242m m -=+，解得12m =-故选：A 7．B 【解析】 【分析】先由题设得到：221222121n n n n n n n x x x x x x x +--+=-=--，从而得到12n n a a +=，即可说明数列{}n a 是以-1为首项，2为公比的等比数列，再利用等比数列前n 项和求和公式得到结果. 【详解】解：由题知()21f x x '=-221'()22()2121n n n n n n n n n n f x x x x x x x f x x x +--+=-=-=--22121222212211121n n n n n n n n x x x x x x x x +++-⎛⎫---∴== ⎪+++⎝⎭+-两边取对数得：1122ln 2ln 11n n n n x x x x ++--=++令2ln1n n n x a x -=+即12n n a a +=，所以数列{}n a 是以-1为首项，2为公比的等比数列， ()1202120211121n a q S q-∴==--故选：B 8．D 【解析】 【分析】根据三角形1ABF 周长和双曲线的定义，可得到周长与实半轴a 和||AB 的关系，进而求出m 的值．【详解】：由题意三角形1ABF 的周长为11||||||AB AF BF ++，由双曲线的定义，可知12||2||AF a AF =+，12||2||BF a BF =+ 所以1122||||||||||||442||AB AF BF AB AF BF a a AB ++=+++=+， 由题意，可知42||18a AB +=，||4AB =，a =所以10，解得254m =． 故选：D ． 9．ABD 【解析】 【分析】画出示意图，由直线与平面垂直的判定定理，可判断A 正确；求出三棱锥1B C MD -体积的最大值，可判定B 正确；由线面角的概念，求得其正切值，可判定C 错误；根据抛物线的定义，可得M 的轨迹为平面11ADD A 上抛物线的部分，可判断D 正确. 【详解】如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，CD ⊥平面11ADD A ，则1CD AD ⊥， 又由111,AD A D A DDC D ⊥=，所以1AD ⊥平面1A DC ,当点M 在线段1A D 上时，可得1CM A D ⊥，所以A 正确； 由正方体的性质，可知1A C ⊥平面1BC D ，若正方体的棱长为1， 则M 与1A 重合时，三棱锥1B C MD -的体积取得最大值，最大值为111323⨯=，所以B 正确；异面直线1B M 与CD 所成的角，即为11A B M ∠，当M 在线段1AD 上运动时，取1AD 的中点M 时，11A B M ∠最小，可得11111tan A M A B M A B ∠==>C 错误； 平面11ADD A 上的点M 到直线11C D 的距离等于点M 到1D 的距离，则满足到直线AD 和直线11C D 的距离相等，即满足到直线AD 和点1D 的距离相等， 可知M 的轨迹为平面11ADD A 上抛物线的部分，故D 正确.故选：ABD.10．AD 【解析】 【分析】把点()4,2P -代入选项，逐项检验即可求解. 【详解】因为抛物线过点()4,2P -， 所以代入2y x =，28x y 满足，2y x =-，28y x =-不符合.故选：AD 11．BD 【解析】 【分析】求随机变量X 的分布列，由期望，方差公式求其期望，方差，由此判断各选项对错. 【详解】由题意可得，目标没有被击中的概率为30311464C ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以目标被击中的概率为16316464-=，A 错误. 易知该射手每次射击命中失败的概率为14，X 的取值范围为{1，2，3}，所以()314P X ==，()13324416P X ==⨯=，()11134416P X ==⨯=，所以X 的分布列为：()331211234161616E X =⨯+⨯+⨯=，()2222132132118712316416161616256D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， B ，D 正确，C 错误， 故选：BD. 12．ACD 【解析】 【分析】由()f x 奇函数可得(0)0f =，令2x =-，(4)(0)f f =可判断A ；由(2)(2)f x f x -+=+，可得2x =为对称轴，可判断B ；由()f x 是奇函数，(2)(2)f x f x +=-+，分析可判断C ；由()f x 周期为8，可判断D【详解】选项A ，由于()f x 是定义域为R 的奇函数，故(0)0f =，令2x =-，(4)(0)0f f ==，故A 正确；选项B ，由于(2)(2)f x f x -+=+，故函数()f x 关于2x =对称，不一定关于1x =对称，故B 错误；选项C ，()f x 是奇函数，故(2)(2)(2)f x f x f x +=-+=--，令2t x =-，有(4)()f t f t +=-，故(8)(4)()f t f t f t +=-+=，即(8)()f x f x +=，故C 正确； 选项D ，由C ，()f x 周期为8，故(2021)(25383)(3)1f f f =⨯-=-=-，故D 正确 故选：ACD13．{}1x x >##()1,+∞ 【解析】【分析】求出集合A 、B ，利用交集的定义可求得集合A B . 【详解】因为{}{}2,01a A x x a x x ==>=>，{}2230B x x x R =-+>=，因此，{}1A B x x ⋂=>. 故答案为：{}1x x >. 14．1 【解析】 【分析】由题意02x y ='=，求导，代入0x =，即得解 【详解】对函数x y ax e =+求导得xy a e '=+， 由已知可得012x y a ==+='，解得1a =. 故答案为：1 15．30x y +-= 【解析】 【分析】要使过P 点的最短弦，则圆心到弦所在直线的距离最大，由当CP 与所求弦垂直时，圆心到弦所在直线的距离最大，先求出CP k ，从而可得答案. 【详解】圆22(1)4x y -+=的圆心为()1,0C ，半径2r =要使过P 点的最短弦，则圆心到弦所在直线的距离最大. 当CP 与所求弦垂直时，圆心到弦所在直线的距离最大. 由10121CP k -==-,所以所求弦的斜率为1- 故所求弦的方程为()12y x -=--，即30x y +-= 故答案为：30x y +-=16．33 【解析】 【分析】设CH x =，结合Rt MNH △，Rt ANH △中的长度和角度关系可求得3AH =，再由MNH △MBC △，可得NH MHBC MC=，解得x = 【详解】设CH x =，在Rt MNH △中，有1MH =，60NMH ，所以NH =在Rt ANH △中，有NH =30NAH ∠=︒，则3AH =， 所以 3BC AC x ==+， 由题意可知MNH △MBC △，可得NH MHBC MC=，11x =+，解得x =所以3BC =故答案为：3 17．(1)3C π=(2)34C π=【解析】 【分析】（1）根据两角和的余弦公式求出C 的余弦值，求出C 的值即可； （2）结合余弦定理求出C 的正切值，求出C 的值即可． (1)若1+2cos A cos B ＝2sin A sin B ，则cos A cos B ﹣sin A sin B ＝12-，即故1cos()2A B +=-，即()1cos()cos cos 2A B C C π+=-=-=-,所以1cos 2C =，由0C π<< ，故3C π=(2)若()()()2221tan 1tan b A c a A +=--，显然2A π≠，所以2222222cos cos tan tan 2cos cos tan c a b ab C a C AA b c a bc A c A C-----====+-， 又由tan A ≠0得到tan C ＝﹣1，0C π<<，故34C π=．18．（1）21n a n =-，2n n b =；（2）11,112,23n n n c n -=⎧⎪=⎨⎛⎫⨯≥ ⎪⎪⎝⎭⎩. 【解析】 【分析】（1）用基本量11,,,a d b q 表示题干中的条件，求解即可；（2）构造对2n ≥时，有2212311333n n n c c c c a ---++++=，与原式相减，即得解【详解】（1）由题意3632a a b +=，可得211272a d b q +=，因为d q =，则2274d d +=，解得2d =或14-，因为等比数列{}n b 各项为正项，所以2d q ==，则12(1)21n a n n =+-=-，1222n nn b -=⨯=.（2）因为对n *∈N ，有21123333n n n c c c c a -++++=成立，对2n ≥时，有2212311333n n n c c c c a ---++++=成立，两式相减得1132n n n n c a a --=-=，所以()11212233n n n c n --⎛⎫==⨯≥ ⎪⎝⎭，当1n =时，111c a ==不符合上式，所以11,112,23n n n c n -=⎧⎪=⎨⎛⎫⨯≥ ⎪⎪⎝⎭⎩.19．（1）证明见解析；（2 【解析】 【分析】（1）证明BQ AD ⊥，利用面面垂直的性质可得出BQ ⊥平面PAD ，再利用面面垂直的判定定理可证得平面MQB ⊥平面PAD ；（2）连接PQ ，以点Q 为坐标原点，QA 、QB 、QP 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设(01)PM PC λλ→→=≤≤，根据BM PC ⊥可得出0BM PC →→⋅=，求出λ的值，利用空间向量法可求得直线AP 与BM 所成角的余弦值. 【详解】（1）Q 为AD 的中点，且2AD BC =，则DQ BC =，又因为//BC AD ，则//BC DQ ，故四边形BCDQ 为平行四边形， 因为90ADC ∠=，故四边形BCDQ 为矩形，所以BQ AD ⊥，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，BQ ⊂平面ABCD ， BQ ∴⊥平面PAD ，因为BQ ⊂平面MBQ ，因此，平面MQB ⊥平面PAD ；（2）连接PQ ，由（1）可知，BQ ⊥平面PAD ，PA PD =，Q 为AD 的中点，则PQ AD ⊥，以点Q 为坐标原点，,,QA QB QP 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(1,0,0)A 、P 、B 、(C -、(1,0,0)D -， 设((,)(01)PM PC λλλλ→→==-=-≤≤，(0,(,)()BM BP PM λλ→→→=+=+-=-,因为BM PC ⊥，则3333760BM PC λλλλ→→⋅=+--+=-=，解得67λ=，6(,7BM →∴=-，(AP →=-，则9cos ,||||AP BM AP BM AP BM →→→→→→⋅<>===⋅. 因此，直线AP 与BM所成角的余弦值为28. 20．（1）527；（2）53.【解析】 【分析】（1）利用独立事件的概率公式，分别计算甲同学抽取△△，△△和△△被录用的概率，再利用互斥事件的加法公式计算即可；（2）列出X 的可能取值为0，1，2，3，4，利用事件的独立性分别计算概率，列出分布列，求解数学期望即可. 【详解】（1）甲同学抽取△△被录用的概率为1311113327C ⨯⨯= 甲同学抽取△△和△△被录用的概率均为1311223327C ⨯⨯= 所以甲同学被录用的概率为1252272727+⨯=. （2）由题意可知X 的可能取值为0，1，2，3，4，可知22214(0)3236P X ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 22211221212112(1)3323236P X C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 222221122111212113(2)323323236P X C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 2221122111216(3)3233236P X C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，22111(4)3236P X ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以X 的分布列为：所以4121361605012343636363636363EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==. 21．（1）22143x y +=；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用离心率公式得到,a c 的关系，得到b 和c 的关系，将点31,2Q ⎛⎫⎪⎝⎭的坐标代入椭圆方程，即可求出c 的值，从而得到a 和b 的值，求出椭圆的标准方程；（2）设()00,P x y 为椭圆C 上任意一点，由题意可得1//OM PA ，由两点间斜率公式表示出2PA OM k k ，由点P 在椭圆上，化简求解即可证明结论；（3）设直线l 的方程为()4y k x =-，与椭圆方程联立方程组，得到韦达定理，利用两点间斜率公式表示出FD FE k k +，结合韦达定理进行化简整理，即可证明结论. 【详解】（1）由题意，椭圆C 的离心率12e =，即12c e a ==，可得2a c =， 又由22223b a c c =-=，所以椭圆的方程为2222143x y c c+=，因为点31,2Q ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆C 上，可得所以22914+143c c =，解得21c =， 则224,3a b ==，所以椭圆的方程为22143x y +=. （2）设()00,P x y 为椭圆C 上任意一点，由题意可知，212,PM MA AO OA ==，所以1//OM PA ， 故210000,22PA OM PA y y k k k x x ===-+，所以22222003334444PA OMx y k k x x -===---， 故直线2PA 与直线OM 它们的斜率之积为定值34-.（3）设直线l 的方程为()4y k x =-，()()1122,,,D x y E x y ， 联立方程组()224143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，可得()2222343264120k x k x k +-+-=，则()()()2223243464120k k k ∆=-+->，解得214k <， 所以22121222326412,3434k k x x x x k k-+==++， 故()()()12121212122581111FD FE k x x x x y y k k x x x x -++⎡⎤⎣⎦+=+=----， 因为()22212122221282416024322580343434k k k x x x x k k k -+-++=-+=+++， 即0FD FE k k +=，所以直线FD 与直线FE 斜率之和为定值0. 【点睛】直线与圆锥曲线的综合问题的求解策略：对于直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题，通常联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系，以及弦长公式等进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力．22．（1）0x =；（2）（i ）()h x 的最大值为1e ；（ii ）122x x +>；证明见详解.【解析】 【分析】（1）由()()1x g x f x x e x -=-=--，则()1xg x e -'=-，利用导数求出函数()g x 的单调性，进而求出函数的极值点.（2）由题意得()xh x xe -=，()()1xh x x e -'=-，（i ）利用导数求出函数的单调性，从而得到函数的极值与最值； （ii ）由题意不妨设12x x <，又12h x h x ，可得1201x x <<<，令()()()2H x h x h x =--，[)1,x ∈+∞，利用导数可得函数()H x 在[)1,+∞上单调递增，从而可推出()()2h x h x >-，结合条件可得()()122h x h x >-，易得12,21x x -<，从而借助函数()h x 在(),1-∞上单调递增即可证明．【详解】（1）证明：由()()1x g x f x x e x -=-=--，则()1xg x e -'=-，由()0g x '≤得0x ≥，由()0g x '>得0x <，△函数()g x 在(),0-∞上单调递增，在[)0,+∞上单调递减， △0x =是函数()g x 的极大值点.（2）解：()()()1h x x f x =-()11xx x e xe --⎡⎤=--=⎣⎦，()()1x h x x e -'=-， （i ）由()0h x '≤得1≥x ，由()0h x '>得1x <，△函数()h x 在(),1-∞上单调递增，在[)1,+∞上单调递减， △函数()h x 在1x =处取得极大值，也是最大值， △()h x 的最大值()()1max 11h x h e e-===；（ii ）由12x x ≠，不妨设12x x <，又12h x h x ，△当0x >时，()0xh x xe -=>，且()00h =，△1201x x <<<，令()()()2H x h x h x =--()22x x xe x e --=--，[)1,x ∈+∞，则()()()2112x x H x x e x e --'=---+-()()2211x x x ee --=--， △1≥x ，△220x -≥，2210x e --≥，△()0H x '≥，△函数()H x 在[)1,+∞上单调递增， 又()10H =，△当1x >时，()()()()210H x h x h x H =-->=， 即()()2h x h x >-，则()()222h x h x >-， 又12h x h x ，则()()122h x h x >-，△1201x x <<<，△221x -<，即12,21x x -<， 而函数()h x 在(),1-∞上单调递增，△122x x >-， △122x x +>．。
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绝密★启用前
山东省济南外国语学校
2021届高三毕业班上学期10月质量检测
数学试题
(解析版)
2020年10月
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合{}2=A x x x <，1{|1}B x x
=≥，则A B =（ ） A. (0,1)
B. [0,1]
C. (,1]-∞
D.
(,0)(0,1]-∞ 【答案】A
【解析】
【分析】
根据一元二次不等式和分式不等式的解法求得集合{}=|01A x x <<，{|01}B x x =<≤，再结合集合交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合{}{}2=|01A x x x x x <=<<，1{|1}{|01}B x x x x
=≥=<≤， 则{|01}(0,1)A B x x =<<=.
故选：A.
【点睛】本题主要考查了集合的交集的概念及运算,以及一元二次不等式和分式不等式的解法,其中解答中根据一元二次不等式和分式不等式的解法求得集合,A B 是解答的关键,着重考查运算与求解能力.
2. 已知i 为虚数单位,,a b ∈R ,复数12i i a bi i
+-=+-,则a bi -=（ ）
A. 1255i -
B. 1255i +
C. 2155i -
D. 255
1i + 【答案】B
【解析】
【分析】
由复数的除法运算,可得(1)(2)12(2)(2)55
i i i i i i a b i=
+++-=--+,即可求解a b i -,得到答案．
【详解】由题意,复数12i i a bi i +-=+-,得(1)(2)1312(2)(2)555i i a b i=i i i i i i ++++-=-=--+, 所以1255a b i=i -+,故选B ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算,其中解答中熟记复数的基本运算法则,准确化简是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题． 3. 命题“2[2,),4x x ∀∈+∞≥”的否定是（ ） A. 2[2,),4x x ∀∈+∞<
B. 2(,2),4x x ∀∈-∞≥
C. 200[2,),4x x ∃∈+∞<
D. 200[2,),4x x ∃∈+∞≥
【答案】C
【解析】
【分析】
根据全称命题的否定形式书写.
【详解】命题“2[2,),4x x ∀∈+∞≥”的否定是
[)02,x ∃∈+∞,204x <.
故选C
【点睛】本题考查全称命题的否定,属于基础题型.
4. 已知向量(1,2),(2,2),(,1)a b c m ==-=,若//(2)c a b +,则m =（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
【答案】C。