高中数学第三章导数应用1.1导数与函数的单调性课件北师大版选修2_2
函数在区间 (a，b)上的单调性与其导函数的符号有如下关 系： 导函数的正负 函数在(a，b)上的单调性 f′(x)＞0 f′(x)＜0 f′(x)＝0
增加 _____ 减少 _____
常数函数 __________
(1)若在某个区间上有有限个(或无限个不连续)点使 f′(x)＝0， 而其余点恒有 f′(x)>0(或 f′(x)<0)，则 f(x)仍为增加的(或减少的)， 例如函数 y＝x3，x∈R，则 f′(x)＝3x2，尽管当 x＝0 时，f′(x)＝0， 但该函数 y＝x3 在 R 上仍为增加的． (2)在某一区间上 f′(x)>0(或 f′(x)<0)是函数 y＝f(x)在该区间 上为增加(或减少)的充分不必要条件，而不是充要条件．
1 ＝2x，(5)y5＝log2x，(6)y6＝log 1 x.
2
问题 1：求上面六个函数的导数．
提示：(1)y′1＝2，(2)y′2＝－1，(3)y′3＝2xln 2，
1 (4)y′4＝2xln
1 ＝－2xln6)y′6＝ ＝－ . xln 2 1 xln 2 xln 2
4．函数 f(x)的导函数 y＝f′(x)的图像如右图， 则函数 f(x)的递增区间为________．
解析： 当－1≤x≤0 或 x≥2 时 f′(x)≥0， 可得递增区间 为[－1,0]和[2，＋∞)．
(3)函数 f(x)的定义域为 R. f′(x)＝－3x2＋6x＝－3x(x－2)． 当 0<x<2 时，f′(x)>0，所以函数 f(x)的单调递增区间为(0,2)； 当 x<0 或 x>2 时， f′(x)<0， 所以函数 f(x)的单调递减区间为(－∞， 0)和(2，＋∞)． [一点通] 利用导数求函数 f(x)的单调区间， 实质上是转化为 解不等式 f′(x)>0 或 f′(x)<0.但要特别注意的是， 不能忽略函数 的定义域，应首先求出函数的定义域，在定义域内解不等式．另 外， 如果函数的单调区间不止一个时， 应用“及”“和”等连接， 而不能写成并集的形式．
f(x)的单调递增区间为 2 ，＋∞； 2
2 由 f′(x)<0，解得 x< ，又 x∈(0，＋∞)，所以函数 f(x)的单 2
调递减区间为 0，
2 . 2
(2)函数 f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． exx－2－ex exx－3 f′(x)＝ ＝ . x－22 x－22 因为 x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)， 所以 ex>0，(x－2)2>0. 由 f′(x)>0，解得 x>3，所以函数 f(x)的单调递增区间为(3， ＋∞)； 由 f′(x)<0，解得 x<3，又 x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以函 数 f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3)．
判断或证明函数的单调性
[例 1] ln x 证明函数 f(x)＝ x 在区间(0,2)上是增加的． 要证 函数 f(x) 在 (0,2) 上 为 增加 的 ，只 要证
[ 思 路 点拨 ]
f′(x)>0 在(0,2)上恒成立即可．
ln x [精解详析] 由于 f(x)＝ x ， 1 x－ln x 1－ln x x· 所以 f′(x)＝ ＝ ， x2 x2 由于 0<x<2，所以 ln x<ln 2<1， 1－ln x 故 f′(x)＝ >0， x2 即函数在区间(0,2)上是增加的．
(
)
解析：(sin x)′＝cos x， (x· ex)′＝ex＋x· ex＝(1＋x)· ex， 1 (x －x)′＝3x －1，(ln x－x)′＝x－1，
3 2
当 x∈(0，＋∞)时，只有(x· ex)′＝(1＋x)· ex>0.
答案：B
1 2.证明函数 f(x)＝x＋x在(0,1]上是减少的．
问题 2：试判断所求导数的符号．
提示：(1)(3)(5)的导数为正，(2)(4)(6)的导数为负．
问题 3：试判断上面六个函数的单调性．
提示：(1)(3)(5)在定义域上是增加的，(2)(4)(6)在定义域上 是减少的．
问题 4：试探讨函数的单调性与其导函数正负的关系．
提示：当 f′(x)>0 时，f(x)为增加的，当 f′(x)<0 时，f(x) 为减少的．
求函数的单调区间
[例 2] 求下列函数的单调区间： ex (2)f(x)＝ ； x－2
(1)f(x)＝x2－ln x； (3)f(x)＝－x3＋3x2.
[精解详析]
(1)函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)．
1 2x－1 2x＋1 f′(x)＝2x－x＝ . x 2 因为 x>0，所以 2x＋1>0，由 f′(x)>0，解得 x> ，所以函数 2
[ 一点通 ]
利用导数判断或证明一个函数在给定区间上
的单调性，实质上就是判断或证明不等式 f′(x)>0(f′(x)<0) 在给定区间上恒成立．一般步骤为： ①求导 f′(x)； ②判断 f′(x)的符号； ③给出单调性结论．
1．下列函数中，在(0，＋∞)上为增加的是 A．y＝sin x C．y＝x3－x B．y＝x· ex D.y＝ln x－x
§ 1 函 数 的 单 调 性 与 极 值
第 三 章
1 ． 1 导 数 与 函 数 的 单 调 性
理解教材 新知 考点一 考点二 考点三 应用创新 演练
把握热点 考向
§ 1
函数的单调性与极值
1．1
导数与函数的单调性
已知函数(1)y1＝2x－1，(2)y2＝－x＋10，(3)y3＝2x，(4)y4
2 1 x －1 证明：∵f′(x)＝1－ 2＝ 2 ， x x
又∵x∈(0,1]，∴x2－1≤0(只有 x＝1 时等号成立)， 1 ∴f′(x)≤0，∴f(x)＝x＋x在(0,1]上为减少的．
3．判断 y＝ax3－1(a∈R)在 R 上的单调性．
解：∵y′＝3ax2，又 x2≥0. (1)当 a＞0 时，y′≥0，函数在 R 上单调递增； (2)当 a＜0 时，y′≤0，函数在 R 上单调递减； (3)当 a＝0 时，y′＝0，函数在 R 上不具备单调性.
【高中课件】高中数学北师大版选修22第3章1第1课时导数与函数的单调性课件ppt.ppt
• 3．求可导函数单调区间的一般步骤： • 第一步，确定函数f(x)的定义域．
•在定 义域内的一切实根．
• 第三步，把函数f(x)在间断点(即f(x)的无定义点)的横 坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来， 然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区 间．
•切线的斜率和f(x)的导数的关系
1.切线的斜率为正，____f_′(_x_)_>_0_______；切线的斜率为 负，_____f_′(_x_)_<_0______.
2．用曲线的切线的斜率来理解法则．当切线斜率非负
时，切线的倾斜角小于
π 2
，函数曲线呈向上增加状态；当切线
斜率为负时，切线的倾斜角大于π2、小于π，函数曲线呈向下减
• 2．导数与函数的单调性的关系 • (1)f′(x)>0与f(x)为增函数的关系． • f′(x)>0能推出f(x)为增函数，但反之不成立． • 如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0， • ∴f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件． • (2)f′(x)≠0时，f′(x)>0与f(x)为增函数的关系． • 若将f′(x)＝0的根作为分界点，因为规定f′(x)≠0，即抠
• [解析] 用举反例的方法解本题．函数y＝x是单调增 函数，但其导函数y′＝1不具有单调性，排除①③.函 数y＝－x是单调减函数，但其导函数y′＝－1不具有 单调性，排除②.函数y＝x2，其导函数y′＝2x是单调 的，但原函数在R上不具有单调性，排除④.
4．下列函数中，在区间(－1,1)上是减函数的是( )
• A．f(x)>0
B．f(x)<0
• C．f(x)＝0
D．不能确定
高中数学 第三章 导数应用 3.1.1 导数与函数的单调性课件6 北师大版选修2-2
（2）图像法
（3）导数法
K12课件
7
一般地，函数y＝f（x）在某个区间(a,b)内：
1) 如果恒有 f′(x)>0，那么 y=f（x) 在这个区间（a,b)内单调递增； 2) 如果恒有 f′(x)<0，那么 y=f（x） 在这个区间(a,b)内单调递减。
注意:如果在某个区间内恒有f′(x)=0,则f(x)为常数函数.
K12课件
6
结论：
设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这
个区间内y ′ >0，那么y=f(x)为这个区间内的增函数； 如果在这个区间内y ′ <0，那么y=f(x)为这个区间内的
减函数.
y ′ >0
增函数
判断函数单 调性
新疆
王新敞 奎屯
y ′ <0
减函数
判断函数单调性的常用方法：
（1）定义法
f(x) lim f(x Δx) f(x)
Δx0
Δx
K12课件
2
新课讲授
引例 区
已知函数y=x2－4x＋3,求证：这个函数在 间用(定2，义+法∞判)上断是函单数调单递调性增的的步. 骤：
（1）任取x1<x2 ( 2 ) 作差f（x1）-f（x2）并变形 （3）判断符号
（4）下结论 引入
函数单调性体现出了函数值y随自变量x的变化而变化 的情况,而导数也正是研究自变量的增加量与函数值的增 加量之间的关系，于是我们设想一下能否利用导数来研究
单调性呢？
K12课件
3
增函数时有
f ( x1) f ( x2 ) 0也即 y 0
x1 x2
x
减函数时有
f ( x1) f ( x2 ) 0也即 y 0
高中数学 第三章 导数应用 3.1.1 导数与函数的单调性课件2 北师大版选修22
一、复习回顾：1.基本初等函数的导数公式
（1）常函数：(C)/ 0, (c为常数)； （2）幂函数 ： (xn)/ nxn1
（3）三角函数 ：
(sin x) cos x (cos x) sin x
（4）对数函数的导数:
(ln x) 1 x
f ( x) 0. (我们把它称为“临界点”)
综上, 函数 f (x)图象
O1
4
的大致形状如右图所示.
x
点评：1）数形结合思想、转化思想； 2）临界点为单调区间的分水岭。
例2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
(1) f (x) x3 3x (2) f (x) x2 2x 3 解: (1) 因为 f (x) x3 3x 的定义域为（-，）
所以 f (x) 3x2 3 3(x2 1) 0. 因此, 函数 f (x) x3 3x在 x R上单调递增.
单调递增区间为(-,+)
(2) 因为 f (x) x2 2x 3 的定义域为（-，） 所以 f (x) 2x 2 2(x 1). 当 f (x) 0, 即 x 1时, 函数 f (x) x2 2x 3单调递增; 当 f (x) 0, 即 x 1时, 函数 f (x) x2 2x 3单调递减.
(log a
x)
1 x ln
a
（5）指数函数的导数:
(ex ) ex (a x ) a x ln a(a 0, a 1)
2.导数的几何意义
函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意 义，就是曲线 y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处 的切线的斜率.
2020-2021学年高中北师大版数学选修2-2课件：3.1.1 导数与函数的单调性
【题后反思】 函数f(x)的单调性与其导数f′(x)的符号有什么关系?
提示:在区间(a,b)内函数的单调性与导数有如下关系:
函数的单调性 单调递增
单调递减 常函数
导数
f′(x)≥0,且f′(x)在(a,b)内的任何子区间上都 不恒为零
f′(x)≤0,且f′(x)在(a,b)内的任何子区间上都 不恒为零
f′(x)=0
【解题策略】 原函数与导函数关系的判定方法
(1)对于原函数图像,要看其在哪个区间内是增加的,则在此区间内导数值大于零. 在哪个区间内是减少的,则在此区间内导数值小于零.根据导数值的正负可判定 导函数图像. (2)对于导函数的图像可确定原函数的增减区间及增减快慢.
【跟踪训练】 已知函数y=xf′(x)的图像如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数),下面四 个图像中,y=f(x)的图像大致是 ( )
(2)函数y=f(x)的导数是f′(x)=x2-3x+2,由f′(x)>0解得x<1或x>2,那么函数 y=f(x)的递增区间是(-∞,1)∪(2,+∞)吗? 提示:不是,函数的单调区间不能用“∪”连接.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)函数的导数越小,函数值的变化越慢,函数的图像就越“平缓”. ( )
()
A.增函数
B.减函数
C.有增有减 D.不能确定
【解析】选A.y′=1-sin x≥0,因此函数为增函数.
3.若函数y=x3+ax在R上是增函数,则a的取值范围是
.
【解析】因为y′=3x2+a,由题意得3x2+a≥0,a≥-3x2在R上恒成立,因为-3x2≤0,
3.1.1 导数与函数的单调性 课件(北师大版选修2-2)
x (2,3) 时，f ( x ) 0 则 f ( x )
∴ f ( x ) 2 x 3 3 x 2 36 x 16 的增区间为 ( ,2) 和 ( 3, ) ，减区间为 ( 2,3) 。 图形
2 2 f ( x ) 3 x 3 3 ( x 1) ∵ 解 : （ 1）
0
f ( x)
y log 0.5 x
1 y k切线 x ln 0.5
0
f ( x)
y x 的导数与其单调性又如何？？试描述其中关系。 2 yx
2
x ( ,0)时，
y k切线 2 x 0
f ( x ) 在 ( ,0)上
x (0,) 时， y k切线 2 x 0
再观察指数、对数函数的导数及单调性： x y y 2x 1 y y 2
x
y k切线 2 ln 2 0
x
f ( x)
(递增)
y k切线 0.5 x ln 0.5 0 f ( x) (递减)
x
y log 3 x
y k切线
1 x ln 3
y 6 x 1
y
y = 2x + 5
y=x
y = -3x + 4 的导数是-3 ，
是负数，其图像单调递减。 再画 y 0.5 x 2 ，
x
y= -0.4x + 1
y 0.5 x 2
y 6 x 1及 y 0.4 x 1
的图像，观察规律。
y = -3x + 4
引例
观察下列函数的导数，它们与函数的单调性是 否有关系？？
(1) y x , y 1
( 2) y 2 x 5 , y 2
高中数学北师大版选修2-2第3章《导数与函数的单调性》ppt参考课件2
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面 的内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知 识逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等 等，这些用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
-1
-0.5
-0.2
0.5
1
1.5
2
2.5
观察图像3
f (x)
1
2
0
x ln 21.5
f (x) log2 x
1
对数函数的导数的正负与函数的递增或递减有同
0.5
样的关系吗？
-2
-1
1
2
3
4
-0.5
f (x)
1 -1 0
1 x ln -1.5
2
-2
f (x) log 1 x
2
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/29
最新中小学教学课件
16
谢谢欣赏！
2019/8/29
高中数学 北师大选修2-2 3.1.1导数与函数的单调性
只需证
g(1) g(1)
0,0即11
a a
2 2
0, 0
解得
:
1
a
1
例2.判断下列函数的单调性,并求出单调区间．
(1) f (x) x3 3x
(2) f (x) x2 2x 3
(3) f (x) sin x x x (0, ) (4) f (x) 2x3 3x2 24x 1
解 : (1) f (x) x3 3x f (x) 3x2 3 3(x2 1) 0 因此, f (x) x3 3x在R上单调递增.如图1所示.
x 在(, 0)上单调递减,在(0, )上单调递减.
而y
1 x2
,因为x
0, 所以y
0.
再观察函数y=x2－4x＋3的图象：
y
0 ....2
.. .
该函数在区间（－∞，2） 上单减,切线斜率小于0, 即其导数为负;
在区间（2，+∞）上单 增,切线斜率大于0,即
x 其导数为正.
而当x=2时其切线斜率 为0,即导数为0. 函数在该点单调性发 生改变.
解: (3) f (x) sin x x x (0, ) f (x) cos x 1 0
因此,函数f (x) sin x x 在(0, )单调递减, 如图
解: (4) f (x) 2x3 3x2 24x 1
当f (x) 0,即
时,函数f (x) 2x3 3x2 24x 1
函数的单调性与导数的关系:
一般地,设函数y=f(x)在某个区间(a,b)内可导,
则函数在该区间 如果f´(x)>0, 则f(x)在这个区间为增函数; 如果f´(x)<0, 则f(x)在这个区间为减函数. 如果在某个区间内恒有f´(x)=0,则f(x)为常数函数.
3.1.1 导数与函数的单调性 课件(北师大选修2-2)
第 三 章 §1
1.1
把握热 点考向
考点一 考点二 考点三
应用创新演练
1．1 导数与函数的单调性
已知函数(1)y1＝2x－1，(2)y2＝－x＋10，(3)y3＝2x，
1 (4)y4＝2x，(5)y5＝log2x，(6)y6＝log 1 2
x.
问题1：求上面六个函数的导数．
数的单调减区间．
1 (2)函数的定义域为R，y′＝ －sin x. 2 1 令 －sin x<0， 2 π 5π 解得2kπ＋ <x<2kπ＋ (k∈Z)； 6 6 1 7π π 令 －sin x>0，解得2kπ－ <x<2kπ＋ (k∈Z)． 2 6 6
π 5π 因此函数递减区间为 2kπ＋ 6，2kπ＋ 6 (k∈Z)，递增区间 7π π 为2kπ－ 6 ，2kπ＋6 (k∈Z)．
(3)由不等式恒成立求参数范围；
(4)验证等号是否成立．
7．若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则m的 取值范围是________．
解析：因为f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数， f′(x)＝3x2＋2x＋m，由题意可知f(x)在R上只能增 1 加，所以Δ＝4－12m≤0，所以m≥ . 3 1 答案：[ ，＋∞) 3
[思路点拨]
先确定函数的定义域，再对函数求导，
然后求解不等式f′(x)>0，f′(x)<0，并与定义域求交集从 而得到相应的单调区间．
[精解详析]
(1)函数的定义域为(0，＋∞)，
1 其导函数为y′＝2－x. 1 1 令2－x>0，解得x> ； 2 1 1 令2－x<0，解得0<x< . 2
高中数学第三章导数应用1_1导数与函数的单调性教材基础北师大版选修22
第三章导数应用走进学科思想要想应用导数解决好实际问题,关键是先将实际问题转化为数学问题,再通过对导数知识的熟练掌握和运用来解决实际问题,导数在各类题型中的应用已越来越广泛了,已逐渐由解决问题的辅助地位上升为分析和解决问题时的必不可少的工具.此外,学习中还要注意数形结合.导数是依照实际问题为背景提出的概念.利用函数的导数可以研究函数的性质,诸如单调性、极值点、凹凸性、函数的渐进线、画图像等,它可以给中学里解决数学问题拓展新的思路,可以使得有些数学问题得到简化.本章导读知识要点重要指数链接考题学习策略导数与函数的单调性★★★P164，例1(2006高考全国Ⅰ，理21)；P166,例4(2006高考全国Ⅱ，理20)；P167,例5(2007陕西高考，理11)学习这部分内容要注意借助数形结合思想来加深对函数的导数与单调性的关系的理解.通过实例,体会利用导数解决单调性问题的方法函数的极值★★★★P176,例4(2006湖北高考，文19)；P177,例5(2006江西高考，理17文17)；P178,例6(2007海南、宁夏高考，理21)学习时要利用导数判断函数的单调性的方法和一般步骤以及函数单调区间的求法.学习过程中要把握住极值点的实质和它与导数的联系函数的最大值和最小值★★★★P192,例3(2006福建高考，文21)；P193,例4(2006福建高考，理19)；P195,例7(2007重庆高考，文20)；P197,11(2006江苏高考，18)该知识点和极值有着密切的联系,要重点抓住求函数的最大值和最小值的方法,在学习中要注意数形结合思想的应用,注意函数的定义域§1 函数的单调性与极值导数与函数的单调性导数是依照实际问题为背景提出的概念.利用函数的导数可以研究函数的许多性质,这节课我们就利用导数来研究函数的单调性.高手支招1细品教材一、函数的单调性状元笔记如何判断一个函数是增函数还是减函数呢？可以根据定义,在区间内任取两个数x1,x2,先假设x1＜x2,然后比较f(x1)与f(x2)的大小,f(x1)＜f(x2)则是增函数;f(x1)＞f(x2)则是减函数.1.增函数和减函数(1)增函数:对于任意的两个数x 1,x 2∈I,如果当x 1＜x 2时,都有f(x 1)＜f(x 2),那么函数f(x)就是区间I 上的增函数.(2)减函数:对于任意的两个数x 1,x 2∈I,如果当x 1＜x 2时,都有f(x 1)＞f(x 2),那么函数f(x)就是区间I 上的减函数. 2.函数的单调性如果函数f(x)在某个区间上是增函数或减函数,那么就说f(x)在这个区间上具有单调性. 二、用导数判断函数单调性的法则 状元笔记一般地,如果一个函数在某一范围内的导数的绝对值较大,说明函数在这个范围内变化得快,这时,函数的图像就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图像就较“平缓”. 1.切线的斜率和f(x)的导数的关系(1)切线的斜率为正,f′(x)＞0;切线的斜率为负,f′(x)＜0.(2)用曲线的切线的斜率来理解法则.当切线斜率非负时,切线的倾斜角小于2π,函数曲线呈向上增加状态;当切线斜率为负时,切线的倾斜角大于2π、小于π,函数曲线呈向下减小状态.【示例】 证明函数f(x)=e x +e -x在［0,+∞)上是增函数.思路分析:只需证明f′(x)在［0,+∞)上大于等于零恒成立.证明:f′(x)=(e x)′+(x e1)′=e x +(x e 1-)=e x -e -x =x x e e 1)(2-, ∵当x∈［0,+∞)时,e x≥1,∴f′(x)≥0.∴f(x)=e x +e -x在［0,+∞)上为增函数. 2.用导数判断函数的单调性 状元笔记对于可导函数f(x)来说,f′(x)＞0是函数f(x)在(a,b)上为单调增函数的充分不必要条件,f′(x)＜0是函数f(x)在(a,b)上为单调减函数的充分不必要条件,如函数f(x)=x 3在R 上为增函数,但f′(0)=0,所以在x=0处不满足f′(x)＞0.(1)一般地,函数的单调性与其导函数的正负有如下关系:在某个区间(a,b)内,如果f′(x)＞0,那么函数f(x)在这个区间内单调递增;如果f′(x)＜0,那么函数f(x)在这个区间内单调递减.【示例】 f(x)=5x 2-2x 的单调增区间为 …( )A.(51,+∞) B.(-∞,51) C.(51-,+∞) D.(-∞,51-)思路分析:求f′(x),解不等式f′(x)＞0.答案:A(2)利用导数判断函数单调性的一般步骤: ①求导数f′(x);②在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)＞0和f′(x)＜0; ③根据②的结果确定函数f(x)的单调区间.【示例】求下列函数的单调区间.(1)y=x 4-2x 2+6;(2)y=-lnx+2x 2.思路分析:求出导数y′,分别令y′＞0和y′＜0,解出x 的取值范围,便可得出单调区间.解:(1)y′=4x 3-4x,令y′＞0,即4x 3-4x ＞0,解得-1＜x ＜0或x ＞1,所以单调增区间为(-1,0)和(1,+∞).令y′＜0,解得x ＜-1或0＜x ＜1,因此单调减区间为(-∞,-1)和(0,1).(2)y′=4x -x 1,令y′＞0,即4x-x 1＞0,解得21＜x ＜0或x ＞21;令y′＜0,即4x-x 1＜0,解得x ＜21 或0＜x ＜21.∵定义域为x ＞0,∴单调增区间为(21,+∞),单调减区间为(0,21).高手支招2基础整理本节是通过联系单调性的定义和斜率的结构式来得到函数的导数与单调性的关系的.利用导数解决含有参数的单调性问题,一般是将问题转化为不等式的恒成立问题,要注意分类讨论和数形结合思想的应用.。
优课系列高中数学北师大版选修22 3.1.1导数与函数的单调性 课件(19张)
例1 已知导函数 f (x) 的下列信息: 当1 < x < 4 时, f(x)0;
当 x > 4 , 或 x < 1时, f(x)0;
当 x = 4 , 或 x = 1时, f(x)0. 试画出函数 f (x) 的图象的大致形状.
解: 当1 < x < 4 时, f(x)0;可知 f (x) 在此区间内
Hale Waihona Puke 1 xlna（5）指数函数的导数:
(ex) ex (a x) a xln a (a 0 ,a 1 )
2.导数的几何意义 函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意
义，就是曲线 y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处 的切线的斜率.
即: k切线 f '(x0)
二、复习引入:
1．要判断 f (x) = x2 的单调性，如何进行？
2.函数 yf(x) 的图象如图所示, 试画出导函数
图象的大致形状
1、已知 f(x)x3bx2cxd的图像过点 P (0 , 2 )且在 x 1
处的切线方程为 6xy70，
求：（1）的解析式；（2）求函数的单调区间. 2、已知函数 f(x)a3x3x2x在1R上是减函数，求a的取值范围.
3） 解 f ' (x) 0和 f '(x) 0； 4）写出单调区间。
3、单调区间不能合并。
4、端点有意义时，单调区间为闭区间。
例4．已知函数
，试讨论出此函数的单调区间.
解：函数的定义域为 （ -， 0） （ 0， ）
.
令
，解得
∴
的单调增区间是：
令
，解得
∴
的单调减区间是：
试总结用“导数法” 求单调区间的步骤？