【高中数学】特征根法求通项公式

特征方程法 解递推关系中 通项公式

一、（一阶线性递推式）若已知数列}{n a 的项满足d ca a b a n n +==+11,,其中,1,0≠≠c c 求这个数列的通项公式。

采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，这里提出一种易于掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程,d cx x +=称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.

定理1：设上述递推关系式的特征方程的根为0x ，则当10a x =时，n a 为常数列，即

0101,;x b a a x a a n n n +===时当，其中}{n b 是以c 为公比的等比数列，即

01111,x a b c b b n n -==-.

证明：因为,1,0≠c 由特征方程得.10c

d

x -=

作换元,0x a b n n -=则.)(110011n n n n n n cb x a c c

cd

ca c d d ca x a b =-=--=--

+=-=-- 当10a x ≠时，01≠b ，数列}{n b 是以c 为公比的等比数列，故;11-=n n c b b 当10a x =时，01=b ，}{n b 为0数列，故.N ,1∈=n a a n （证毕） 下面列举两例，说说说说明定理1的应用.

例1．已知数列}{n a 满足：,4,N ,23

1

11=∈--=+a n a a n n 求.n a

解：作方程.2

3

,2310-=--=x x x 则

当41=a 时，.211

23,1101=+=≠a b x a

数列}{n b 是以3

1

-为公比的等比数列

.于是

.N ,)3

1

(2112323,)31(211)31(1111∈-+-=+-=-=-=---n b a b b n n n n n n

例2．已知数列}{n a 满足递推关系：,N ,)32(1∈+=+n i a a n n 其中i 为虚数单位。当1a 取何值时，数列}{n a 是常数数列？ 解：作方程,)32(i x x +=则.5360i x +-=要使n a 为常数，即则必须.5

3601i

x a +-== 二、（二阶线性递推式）

定理2：对于由递推公式n n n qa pa a +=++12，βα==21,a a 给出的数列{}n a ，方程

02=--q px x ，叫做数列{}n a 的特征方程。

若21,x x 是特征方程的两个根，当21x x ≠时，数列{}n a 的通项为1

211--+=n n n Bx Ax a ，其中A ，B 由βα==21,a a 决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入1211--+=n n n Bx Ax a ，得到关于A 、B 的方程组）；当21x x =时，数列{}n a 的通项为11)(-+=n n x B A a ，其中A ，B 由βα==21,a a 决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入11)(-+=n n x B A a ，得到关于A 、

B 的方程组）。

例3：已知数列{}n a 满足),0(0253,,1221N n n a a a b a a a n n n ∈≥=+-==++，求数列{}n a 的通项公式。

解法一（待定系数——迭加法） 由025312=+-++n n n a a a ，得

)(3

2

112n n n n a a a a -=

-+++， 且a b a a -=-12。

则数列{}n n a a -+1是以a b -为首项，

3

2

为公比的等比数列，于是 11)3

2

)((-+-=-n n n a b a a 。把n n ,,3,2,1⋅⋅⋅=代入，得

a b a a -=-12，

)32

()(23⋅-=-a b a a ，

234)3

2

()(⋅-=-a b a a ，

∙∙∙

21)3

2

)((---=-n n n a b a a 。

把以上各式相加，得

])3

2()32(321)[(21-+⋅⋅⋅+++-=-n n a b a a )(3

21)32(11

a b n ---=-。

a b b a a a b a n n n 23)3

2

)((3)]()32(33[11-+-=+--=∴--。

解法二（特征根法）：数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,的特征方程是：02532

=+-x x 。

3

2,121=

=x x , ∴1

2

11--+=n n n Bx Ax a 1)3

2(-⋅+=n B A 。 又由b a a a ==21,，于是

⎩⎨

⎧-=-=⇒⎪⎩

⎪

⎨⎧+=+=)(32332b a B a b A B A b B

A a 故1

)3

2

)((323--+-=n n b a a b a

三、(分式递推式)

定理3：如果数列}{n a 满足下列条件：已知1a 的值且对于N ∈n ，都有h

ra q

pa a n n n ++=+1（其

中p 、q 、r 、h 均为常数，且r h a r qr ph -

≠≠≠1,0,），那么，可作特征方程h

rx q px x ++=. （1）当特征方程有两个相同的根λ（称作特征根）时， 若,1λ=a 则;N ,∈=n a n λ 若λ≠1a ，则,N ,1∈+=

n b a n n λ其中.N ,)1(11∈--+-=n r p r

n a b n λ

λ特别地，当存在,N 0∈n 使00=n b 时，无穷数列}{n a 不存在.

（2）当特征方程有两个相异的根1λ、2λ（称作特征根）时，则1

1

2--=

n n n c c a λλ，,N ∈n

其中).(,N ,)(211212111λλλλλ≠∈----=-a n r

p r p a a c n n 其中

例4、已知数列}{n a 满足性质：对于,3

24

,N 1++=∈-n n n a a a n 且,31=a 求}{n a 的通项公式.

解:依定理作特征方程,3

24

++=

x x x 变形得,04222=-+x x 其根为.2,121-==λλ故特征方程有两个相异的根，使用定理2的第（2）部分，则有

.N ,)2

21211(2313)(1

1212111∈⋅-⋅-⋅+-=--⋅--=

--n r p r p a a c n n n λλλλ

∴.N ,)5

1(521

∈-=

-n c n n