高三数学一轮复习1-1集合的概念与运算
.∴a≥2.
综上知，当A⊆B时，a<－8或a≥2.. . . . . . . . . . . . . . .6分 (2)当a＝0时，显然B⊆A； 当a<0时，若B⊆A，如图，
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1 4 a≤－2 则 －1>2 a 1 ∴－ <a<0； 2 当a>0时，若B⊆A，如图， a≥－8 ，∴ 1 . a>－2
B⊆A，则实数m＝________. 解析：∵B⊆A，∴m2∈A，又m2≠3，且m2≠－1，则m2＝ 2m－1，解得m＝1. 答案：1
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考点三 集合的基本运算
例3 (1)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝
0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则集合∁ U(A∪B)中元素的个数为 ( ) A．1个 B．2个
【答案】 B
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【归纳拓展】 由本例讲透集合的基础知识： (1)由(1)讲清：看一个集合，关键是看代表元素，M是函 数y＝ 2－x2的定义域，N是函数y＝x2－1的值域． (2)由(2)讲清：列举法与描述法及它们之间的相互转换． (3)通过提问使学生深刻理解元素与集合，集合与集合之 间的关系，并共同总结此类题的解法．
1．理解命题的概念．
2．了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义． 3．理解全称量词与存在量词的含义．
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4．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
三、充分条件、必要条件与命题的四种形式 1．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与 逆否命题，会分析四种命题的相互关系． 2．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．
B．{x|0≤x≤ 2} D．Ø
【解析】 由 M＝{x|y＝ 2－x2}＝{x|2－x2≥0}＝{x|－ 2 ≤x≤ 2}，N＝{y|y＝x2－1，x∈R}＝{y|y≥－1}，得 M∩N＝ {y|－1≤y≤ 2}，故选 A.
【答案】 A
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k 1 k 1 (2)设集合P＝{x|x＝ ＋ ，k∈Z}，Q＝{x|x＝ ＋ ，k∈ 3 6 6 3 Z}，则( ) A．P＝Q B．P Q C．P Q D．P∩Q＝Ø
答案：D
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2．(2010年湖南高考)已知集合M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}，
则( ) A．M⊆N C．M∩N＝{2,3} B．N⊆M D．M∪N＝{1,4}
解析：作出集合M、N的Venn图，∴M∩N＝{2,3}．故选C.
答案：C
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答案：－1
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考点二 集合与集合的基本关系 1 例2 已知集合A＝{x|0<ax＋1≤5}，集合B＝{x|－ 2 <x≤2}． (1)若A⊆B，求实数a的取值范围； (2)若B⊆A，求实数a的取值范围； (3)A、B能否相等？若能，求出a的值；若不能，试说明理 由． 【分析】 在确定集合A时，需对x的系数a进行讨论．利
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变式迁移1 (2011年东北三校)有三个实数的集合，既可
b 以表示为{a， ，1}，也可以表示为{a2，a＋b,0}，则a2011＋ a b2011＝________. b 解析：由已知得 ＝0及a≠0，所以b＝0，于是a2＝1，即a a ＝1或a＝－1.又根据集合中元素的互异性a＝1应舍去，因而a ＝－1，故a2011＋b2011＝(－1)2011＝－1.
子集．
(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义．
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3．集合的基本运算．
(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集 合的并集与交集． (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定 子集的补集．
(3)能使用韦恩图表示集合的关系及运算．
二、命题与量词、基本逻辑联结词
并集的性质
A∪Ø＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；
A∪B＝A⇔B⊆A.
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交集的性质
A∩Ø＝Ø；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B. 补集的性质 A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝Ø；∁U(∁UA)＝A； ∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)； ∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．
表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2 ＋x＝0}关系的韦恩(Venn)图
是( )
解析：由N＝{x|x2－x＝0}＝{－1,0}，故NM，选B. 答案：B
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考点一 集合的基本概念 例 1 (1)(2011 年武汉六校模拟)集合 M＝{x|y＝ 2－x2}， 集合 N＝{y|y＝x2－1，x∈R}，则 M∩N 等于( A．{y|－1≤y≤ 2} C．{(－ 2，1)，( 2，1)} )
用数轴分析，使问题得到解决．
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【标准解答】 A中不等式的解集应分三种情况讨论： ①若a＝0，则A＝R； 4 1 ②若a<0，则A＝{x| ≤x<－ }； a a 1 4 ③若a>0，则A＝{x|－ <x≤ }...........................2分 a a (1)当a＝0时，若A⊆B，此种情况不存在． 当a<0时，若A⊆B，如图，
有限集、无限集、空集．
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小贴士：①注意集合表示的列举法与描述法在形式上的区
别，列举法一般适合于有限集，而描述法一般适合于无限集． ②常用数集：自然数集N；正整数集N ＋ (或N*)；整数集 Z；有理数集Q；实数集R.
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2．集合间的基本关系
C．3个
【解析】
D．4个
∵A＝{1,2}，∴B＝{x|x＝2a，a∈A}＝{2,4}，
∴A∪B＝{1,2,4}，所以∁U(A∪B)＝{3,5}，因此集合∁U(A∪B)中
元素的个数为2个，故选B. 【答案】 B
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(2)(2010年江苏高考)设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2
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对应学生用书1页
一、集合
1．集合的含义与表示． (1)了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系． (2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法) 描述不同的具体问题． 2．集合间的基本关系． (1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的
(1)子集、真子集及其性质 对任意的x∈A，都有x∈B，则A⊆B(或B⊇A)． 若A⊆B，且在B中至少有一个元素x∈B，但x∉A，则A B(或BA)． ØA；A⊆A；A⊆B，B⊆C⇒A⊆C. 思考探究：若A含有n个元素，则A的子集有2n 个，A的非
空子集有2n－1个，A的非空真子集有2n－2个．
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1．(2011年湖北八校第一次联考)已知集合A＝{0,1,2,3}，
集合B＝{x|x＝2a，a∈A}，则(
A．A∩B＝A C．A∪B＝B
)
B．A∩B A D．A∩B A
解析：依题意得B＝{0,2,4,6}，则A∩B＝{0,2}≠A，A∩B＝ {0,2}A，A∪B＝{0,1,2,3,4,6}≠B，因此选D
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对应学生用书1页
1．集合的概念、集合间的关系及运算是高考重点考查的
内容，正确理解概念是解决此类问题的关键． 2．对命题及充要条件这部分内容，重点关注两个方面， 一是命题的四种形式及原命题与逆否命题的等价性；二是充要 条件的判定．
3．全称命题、特称命题的否定也是高考考查的重点，正
变式迁移2 (1)(2010 年 浙 江 高 考 ) 设 P ＝ {x|x<4} ， Q ＝
{x|x2<4}，则(
A．P⊆Q C．P⊆(∁RQ)
)
B．Q⊆P D．Q⊆(∁RP)
解析：由已知可得Q＝{x|－2<x<2}，易知Q⊆P，故选B. 答案：B
(2)已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}．若
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1 4 a>－2 则 －1≤2 a a<－8 ，∴ 1 ，∴a<－8. . . . . . . . . .4分 a≤－2
当a>0时，若A⊆B，如图，
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1 1 －a≥－2 则 4≤2 a
a≥2 ，∴ a≥2
【解析】 解法一：列举法 1 1 3 5 7 9 P＝{„，－ ， ， ， ， ， ，„}． 6 6 6 6 6 6 1 1 2 3 Q＝{„，－ ，0， ， ， ，„}．显然，P Q，选B. 6 6 6 6 解法二：描述法 k 1 1 k 1 1 ＋ ＝ (2k＋1)， ＋ ＝ (k＋2)，∵k∈Z， 3 6 6 6 3 6 ∴{x|x＝2k＋1，k∈Z} {x|x＝k＋2，k∈Z}，∴P Q，故 选B.
(2)集合相等 若A⊆B且B⊆A，则A＝B.
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3．集合的运算及其性质
(1)集合的并、交、补运算 并集：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}； 交集：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}； 补集：∁UA＝{x|x∈U且x∉A}． U为全集，∁UA表示A相对于全集U的补集． (2)集合的运算性质
＋4}，A∩B＝{3}，则实数a的值为________． 【解析】 ∵A∩B＝{3}，a2＋4≥4， ∴a＋2＝3，∴a＝1. 故填1. 【答案】 1
高考数学一轮复习 1.1 集合的概念与运算
2.如果集合 A 中含有 n 个元素,则集合 A 有 2n 个子集,2n-1 个真子集. 3.正确理解交、并、补集的含义是解决集合的运算问题的关键.数轴和 Venn 图是进行集合交、并、补运算的有力工具.
12
核心考点
(4)空集: 不含任何元素的集合
叫做空集,记作: ⌀
.
规定:空集是 任何集合的子集 .
4
知识梳理
双击自测
知识梳理
-5-
3.集合的基本运算
并集
符号 表示
A∪B
图形 表示
交集 A∩B
补集
设全集为 U,集合 A 的 补集∁UA
含义
A∪
B={x|x∈A,或 x∈B}
A∩B={x|x∈A,且 x∈B}
∁UA={x|x∈U,且 x∉ A}
-13-
考点一
考点二
考点三
考点一集合的基本概念
1.设集合 A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则 M 中元素的
个数为( )
A.3
B.4
C.5
D.6
关闭
由题意知 x=a+b,a∈A,b∈B,则 x 的可能取值为 5,6,7,8.因此,集合 M 共有 4 个元素.故选 B.
关闭
B
13 解析 答案
核心考点
-14-
考点一
考点二
考点三
2.若集合 A={x∈R|ax2+ax+1=0}中只有一个元素,则 a=( )
(6)设全集为 R,函数 y= 1-������2的定义域为 M,则∁RM={x|x>1,或 x<1}.( )
高考数学一轮复习目录
高考数学一轮复习书目一、集合与常用逻辑用语1.1集合的概念与运算1.2命题及其关系、充分条件与必要条件1.3简洁的逻辑联结词、全称量词与存在量词二．函数1.1函数及其表示2.2函数的单调性与最值2.3函数的奇偶性与周期性2.4一次函数、二次函数2.5指数与指数函数2.6对数与对数函数2.7幂函数2.8函数的图象及其变换2.9函数与方程2.10函数模型及其应用三、导数及其应用3.1导数、导数的计算3.2导数在函数单调性、极值中的应用3.3导数在函数最值及生活实际中的应用3.4 微积分基本定理四、三角函数、解三角形4.1随意角和弧度制及随意角的三角函数4.2同角三角函数的基本关系及三角函数的诱导公式4.3三角函数的图象与性质4.4函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质4.5简洁的三角恒等变换4.6正、余弦定理及其应用举例五、平面对量5.1平面对量的概念及其线性运算5.2平面对量的基本定理及坐标运算5.3平面对量的数量积及其应用六、数列6.1数列的概念与简洁表示法6.2等差数列及其前n项和6.3等比数列及其前n项和6.4数列的通项与求和6.5数列的综合应用七、不等式7.1不等式的概念与性质7.2一元二次不等式及其解法7.3二元一次不等式组与简洁的线性规划问题7.4基本不等式及其应用八．立体几何8.1空间几何体的结构及其三视图与直观图8.2空间几何体的表面积与体积8.3空间点、直线、平面之间的位置关系8.4直线、平面平行的判定及其性质8.5直线、平面垂直的判定及其性质8.6空间向量及其运算8.7空间向量的应用九、解析几何9.1直线及其方程9.2点与直线、直线与直线的位置关系9.3圆的方程9.4直线与圆、圆与圆的位置关系9.5椭圆9.6双曲线9.7抛物线9.8直线与圆锥曲线的位置关系9.9曲线与方程十．计数原理10.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理10.2排列与组合10.3二项式定理十一、概率与统计11.1事务与概率11.2古典概型与几何概型11.3离散型随机变量及其分布列11.4二项分布及其应用11.5离散型随机变量的均值与方差、正态分布11.6随机抽样与用样本估计总体11.7变量间的相关关系十二、选修部分选修4-4坐标系与参数方程选修4-5不等式选讲十三、算法初步、推理与证明、复数12.1算法与程序框图12.2基本算法语句12.3合情推理与演绎推理12.4干脆证明与间接证明12.5数学归纳法12.6数系的扩充与复数的引入。
高三数学一轮复习 第1单元 1.1 集合的概念与运算课件 理 新人教A版
1．集合元素的三个特征：确定性、互异性、 无序性 ． 2．集合的表示法：列举法、 描述法 、图示法．
提示：(1)注意集合表示的列举法与描述法在形式上的区别，列举法一般适合 于有限集，而描述法一般适合于无限集．
(2)注意集合中元素的互异性：集合{x|x2－2x＋1＝0}可写为{1}，但不可写为 {1，1}． 3．元素与集合的关系有：属于和不属于，分别用符号∈ 和 ∉ 表示．
结合思想方法的运用．
二、集合的运算 1．两个集合的交、并、补的运算分别与逻辑联结词且、或、非对应，但不能等同
和混淆． 2．数形结合的思想方法在集合的运算中也是常见的，对于一般的集合运算时可用
文氏图直观显示，例如若A⊆S，B⊆S，则全集S最多被四个集合A∩B，A∩(∁SB)， B∩(∁SA)和∁U(A∪B)所划分；对于可以用区间表示的数集可以利用数轴进行集合 的运算．
【例2】 (2010·衡水中学调研)已知集合A＝{x|x2＋ x＋1＝0}，B＝{y|y＝x2＋a，
x∈R}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－ ] B.
C.
D．(－∞，－2]
解析：由x2＋ x＋1＝0得(2x＋1)(x＋2)＝0，则x＝－ ，或x＝－2，
既A＝ ≤－ .
. 又B＝{y|y＝x2＋a，x∈R}＝[a，＋∞)．由A∩B≠∅，知a
1．已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的韦恩 (Venn)图是( )
解析：N＝{x|x2＋x＝0}＝{－1,0}，则N M，故选B. 答案：B
2． 已知集合A＝{－1,2}，B＝{x|mx＋1＝0}，若A∩B＝B，则所有实数m的值组 成的集合是( ) A．{－1,2} B．{1，－ } C．{1,0，－ } D．{－1,0， } 解析：∵A∩B＝B，即B⊆A，若m＝0，B＝∅⊆A； 若m≠0，B＝{x|x＝－ }；由B⊆A得：－ ＝－1或－ ＝2， ∴m＝1或m＝－ .综上选C. 答案：C
01集合的概念及运算
251 16, 261 32, 271 64, 281 128,
且1 4 16 64 128 211,
i1 1, i2 2, i3 5, i4 7, i5 8.
走进高考
综上知，当A⊆B时，a<-8或a≥2.
(2)当 a=0 时，显然 B ⊆A；
当 则 又当∵ 当a则则 又则又<a－ 4aaa∵<0≤∵<>1a0－4a－0时 0a4a－－ 时4aa≤， 时<≤1a≥>1a<， 0≤1a2，－20∴ ，，2－>，若－12>2∴－ 若若12212∴， B－12BB⊆ ，<－⊆⊆∴ 12a，，<∴AA1<2a∴，，<0<∴－ － .a0－ －如如如 <.00128<<1208≤ <－－图图图 <≤aa. a≤ ≤a128a，，a<，<<≤<22<0000aa.<<0.0.
走进高考
【2】（10 湖南文 15）若规定 E={a1,a2 ,..., a10}的子集{ai1 ai2 ,..., ain }
为 E 的第 k 个子集，其中 k 2i11 2i2 1 2in 1 ，则
（1）{a1, a3} 是 E 的第_____5____个子集；
（2）E 的第 211 个子集是_{__a_1_,__a_2_,__a_5_,__a_7__,_a_8_}___．
(4)常用数集的记法
数集
自然 数集
正整数集
整数 集
有理 数集
实数 集
复数 集
记法 N N(或N ) Z Q R C
2022届高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套学案1 集合的概念和运算
第一章 集合与常用规律用语学案1 集合的概念与运算 导学目标：1.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简洁集合的并集与交集.4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.5.能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算．自主梳理1．集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．2．元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示． 3．集合的表示法：列举法、描述法、图示法、区间法． 4．集合间的基本关系对任意的x ∈A ，都有x ∈B ，则A ⊆B (或B ⊇A )．若A ⊆B ，且在B 中至少有一个元素x ∈B ，但x ∉A ，则A B (或B A )． 若A ⊆B 且B ⊆A ，则A ＝B . 5．集合的运算及性质设集合A ，B ，则A ∩B ＝{x |x ∈A 且x ∈B }，A ∪B ＝{x |x ∈A 或x ∈B }． 设全集为U ，则∁U A ＝{x |x ∈U 且x ∉A }． A ∩∅＝∅，A ∩B ⊆A ，A ∩B ⊆B ， A ∩B ＝A ⇔A ⊆B .A ∪∅＝A ，A ∪B ⊇A ，A ∪B ⊇B ， A ∪B ＝B ⇔A ⊆B .A ∩∁U A ＝∅；A ∪∁U A ＝U . 自我检测 1．(2021·长沙模拟)下列集合表示同一集合的是( ) A ．M ＝{(3,2)}，N ＝{(2,3)}B ．M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，N ＝{y |x ＋y ＝1}C ．M ＝{4,5}，N ＝{5,4}D ．M ＝{1,2}，N ＝{(1,2)} 答案 C 2．(2009·辽宁)已知集合M ＝{x |－3<x ≤5}，N ＝{x |－5<x <5}，则M ∩N 等于( ) A ．{x |－5<x <5} B ．{x |－3<x <5} C ．{x |－5<x ≤5} D ．{x |－3<x ≤5} 答案 B解析 画数轴，找出两个区间的公共部分即得M ∩N ＝{x |－3<x <5}．3．(2022·湖北)设集合A ＝{(x ，y )|x 24＋y 216＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝3x }，则A ∩B 的子集的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1 答案 A解析 易知椭圆x 24＋y 216＝1与函数y ＝3x 的图象有两个交点，所以A ∩B 包含两个元素，故A ∩B 的子集个数是4个．4．(2022·潍坊五校联考)集合M ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R }，集合N ＝{x |y ＝9－x 2，x ∈R }，则M ∩N 等于( )A ．{t |0≤t ≤3}B ．{t |－1≤t ≤3}C ．{(－2，1)，(2，1)}D ．∅ 答案 B解析 ∵y ＝x 2－1≥－1，∴M ＝[－1，＋∞)． 又∵y ＝9－x 2，∴9－x 2≥0.∴N ＝[－3,3]．∴M ∩N ＝[－1,3]． 5．(2021·福州模拟)已知集合A ＝{1,3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，且B ⊆A ，则a ＝________. 答案 －1或2解析 由a 2－a ＋1＝3，∴a ＝－1或a ＝2，经检验符合．由a 2－a ＋1＝a ，得a ＝1，但集合中有相同元素，舍去，故a ＝－1或2.探究点一 集合的基本概念例1 (2021·沈阳模拟)若a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝{0，ba，b }，求b －a 的值．解题导引 解决该类问题的基本方法为：利用集合中元素的特点，列出方程组求解，但解出后应留意检验，看所得结果是否符合元素的互异性．解 由{1，a ＋b ，a }＝{0，ba，b }可知a ≠0，则只能a ＋b ＝0，则有以下对应关系：⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，ba ＝a ，b ＝1①或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，b ＝a ，b a ＝1.②由①得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，符合题意；②无解．∴b －a ＝2.变式迁移1 设集合A ＝{1，a ，b }，B ＝{a ，a 2，ab }，且A ＝B ，求实数a ，b . 解 由元素的互异性知， a ≠1，b ≠1，a ≠0，又由A ＝B ，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝1，ab ＝b ，或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b ，ab ＝1，解得a ＝－1，b ＝0. 探究点二 集合间的关系例2 设集合M ＝{x |x ＝5－4a ＋a 2，a ∈R }，N ＝{y |y ＝4b 2＋4b ＋2，b ∈R }，则下列关系中正确的是( ) A ．M ＝N B ．M N C ．M N D ．M ∈N解题导引 一般地，对于较为简单的两个或两个以上的集合，要推断它们之间的关系，应先确定集合中元素的形式是数还是点或其他，属性如何．然后将所给集合化简整理，弄清每个集合中的元素个数或范围，再推断它们之间的关系．答案 A。
高三数学一轮复习 第1章 集合与常用逻辑用语第1课时 集合的概念与运算精品课件
• 集合是高中数学的基础内容，也是高考数学的必考内容，难度 不大，一般是一道选择题或填空题．通过对近两年高考试题的统 计分析可以看出，对集合内容的考查一般以两种方式出现：一是 考查集合的概念、集合间的关系及集合的运算．
• (3){x|x2－ax－1＝0}和{a|方程x2－ax－1＝0有实根}的意义不 同．{x|x2－ax－1＝0}表示由二次方程x2－ax－1＝0的解构成的集 合，而集合{a|方程x2－ax－1＝0有实根}表示方程x2－ax－1＝0有 实数解时参数a的范围构成的集合．
【变式训练】 1.现有三个实数的集合，既可以表示为a，ba，1， 也可表示为{a2，a＋b,0}，则 a2 011＋b2 011＝________.
命题与量 词、 基本 逻辑 联结 词
1.了解命题的概念． 2.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义． 3.理解全称量词与存在量词的含义． 4.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
充分条件、
必要
条件 1.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四
与命
种命题的相互关系．
题的 2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.
①集合 S＝{a＋b 3|a，b 为整数}为封闭集； ②若 S 为封闭集，则一定有 0∈S； ③封闭集一定是无限集； ④若 S 为封闭集，则满足 S⊆T⊆R 的任意集合 T 也是封闭集． 其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)
序号 结论
理由
• 【全解全析】对于任意整数 a1，b1，a2，b2，有 a1＋b1 3＋a2＋b2 3
B．{a|a≤2或a≥4}
高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题1
D．(1,2)
3、已知全集 = ， = { | > 1}， = { | > 1}，那么(∁ ) ∩ 等于（ ）
A．{ | − 1 < ≤ 1} B．{ | − 1 < < 1} C．{ | < −1} D．{ | ≤ −1}
4、已知全集 = ， = { | > 1}，则 =（ ）
A．{ | ≤ 1}
（4）Venn 图法
5、常见数集的记法
集合 自然数集
符号
N
6、集合的分类
正整数集
*
N (或 N＋)
整数集 有理数集 实数集 复数集
Z
Q
R
C
（1）有限集：含有有限个元素的集合.（2）无限集：含有无限个元素的集合.（3）空集 ：不含任何元素
的集合
7、若一个集合含有 n 个元素，则子集个数为 2n 个，真子集个数为 2n 1
【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始
考向一 点集
【例 1】（1）已知集合 A 0,1, 4, B {y | y x2, x A} ，则 A B A．0,1,16 B．0,1 C．1,16 D．0,1, 4,16 （2）设全集U 1,3,5, 6,9 ， A 3, 6,9 ，则图中阴影部分表示的集合是
（1）自然语言描述法：用自然的文字语言描述.
（2）列举法：把集合中的元素一一列举出来，元素之间用逗号隔开，然后用一个花括号全部括上.
（3）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在花括号内表示集合的方法.
它的一般格式为 {x | P(x)} ，“|”前是集合 元素的一般形式，“|”后是集合元素的公共属性.
A.(1,2)
B.[0,2]
2023届高考数学一轮复习讲义：第1讲 集合的概念与运算
第1讲集合的概念与运算1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：、、．(2)元素与集合的关系是或关系，用符号或表示．(3)集合的表示法：、、．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号[注意]N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N*和N＋的含义是一样的，表示正整数集，不包含0.2．集合间的基本关系表示关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)真子集 集合A 是集合B 的子集，且集合B 中至少有一个元素不在集合A 中集合 相等集合A ，B 中元素相同A ＝B3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形 语言符号 语言A ∪B ＝A ∩B ＝∁U A ＝➢考点1 集合的含义与表示[名师点睛]与集合元素有关问题的解题策略(1)研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义． (2)利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性．2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( )A ．9B ．8C ．5D ．4(2)设A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，3，a 2－3a ，a ＋2a ＋7，B ＝{|a －2|,3}，已知4∈A 且4∉B ，则a 的取值集合为________．[举一反三]1．（2022·江西·新余四中模拟预测（理））已知集合()(){}20A x a x x a =--<，若2A ∉，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()(),12,-∞+∞ B ．[)1,2 C ．()1,2D ．[]1,22．（2022·菏泽模拟）设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝( ) A ．1 B ．－1 C ．2D ．－23．(多选)（2022· 广州一调）已知集合{x |mx 2－2x ＋1＝0}＝{n }，则m ＋n 的值可能为( )A ．0B ．12C ．1D ．24．（2022·福建·模拟预测）设集合{2,1,1,2,3}A =--，{}2|log ||,B y y x x A ==∈ ，则集合B 元素的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．55．（2022·武汉校级月考）已知集合A ＝{m ＋2，2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________．➢考点2 集合的基本关系R N )＝( )A ．∅B ．MC ．ND ．R(2)[2022·广东阳江月考]已知集合A ＝{x |y ＝4－x 2}，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，若B ⊆A ，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－3]∪[2，＋∞)B ．[－1，2]C ．[－2，1]D ．[2，＋∞)[举一反三]1.（2022·广东广州·一模）已知集合{}11A x x =∈-≤≤Z ，{}02B x x =≤≤，则A B 的子集个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．62．[2022·湖北武汉摸底]已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．43．（2022·山东·潍坊一中模拟预测）已知集合M ，N 是全集U 的两个非空子集，且()U M N ⊆，则（ ）A ．M N ⋂=∅B ．M N ⊆C ．N M ⊆D ．()U N M U ⋃=4.[2021·湖南长沙长郡中学适应性考试]已知集合A ＝{x ∈Z |x ≥a }，集合B ＝{x ∈Z |2x ≤4}．若A ∩B 只有4个子集，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2，－1]B ．[－2，－1]C ．[0,1]D ．(0,1]5．[2022·吉林辽源五校期末联考]已知集合M ＝{x |x －a ＝0}，N ＝{x |ax －1＝0}，若M ∩N ＝N ，则实数a 的值是________．➢考点3 集合的基本运算[典例]1.(1)（2021·全国·高考真题）设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()UAB =（ ）A ．{3}B ．{1,6}C ．{5,6}D ．{1,3}(2)(多选)[2022·湖南长沙模拟]已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |－3≤x <4}，N ＝{x |x 2－2x －8≤0}，则( )A ．M ∪N ＝{x |－3≤x <4}B ．M ∩N ＝{x |－2≤x <4}C ．(∁U M )∪N ＝(－∞，－3)∪[－2，＋∞)D ．M ∩(∁U N )＝(－3，－2)2.(1)(2020·高考全国卷Ⅰ)设集合A ＝{x |x 2－4≤0}，B ＝{x |2x ＋a ≤0}，且A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，则a ＝( )A ．－4B ．－2C ．2D ．4(2)[2022·湖南六校联考]集合A ＝{0，2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0，1，2，4，16}，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．4[举一反三]1．（2022·河北石家庄·二模）已知集合{3,2,1,0,1}A =---，301x B x Zx +⎧⎫=∈<⎨⎬-⎩⎭，则A B =（ ）A ．[3,1)-B ．[3,1]-C ．{3,2,1,0,1}---D ．{2,1,0}--2．[2022·华南师范大学附属中学月考]已知集合A ＝{x |x <3}，B ＝{x |x >a }，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围为( )A ．[3，＋∞)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，3)D ．(－∞，3]3．(2020·高考全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈N *，y ≥x }，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8}，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．64．（2022·重庆·二模）已知集合{}{}21,3,5,6,7,8,9,14480A B xx x ==-+∣，则下图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}1,3,5,7,9B ．{}1,3,5,9C ．{}1,3,5D ．{}1,3,95．（2021·全国·高考真题（理））已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T （ ）A ．∅B ．SC ．TD ．Z6.[2021·豫北名校联考]设集合A ＝{x |x 2＋2x －3>0}，集合B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a >0}，若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫0，34 B ．⎣⎡⎭⎫34，43 C ．⎣⎡⎭⎫34，＋∞ D ．(1，＋∞)7.（2020·浙江·高考真题）设集合S ，T ，S ⊆N *，T ⊆N *，S ，T 中至少有两个元素，且S ，T 满足：①对于任意x ，y ∈S ，若x ≠y ，都有xy ∈T ②对于任意x ，y ∈T ，若x <y ，则yx∈S ； 下列命题正确的是（ ）A ．若S 有4个元素，则S ∪T 有7个元素B ．若S 有4个元素，则S ∪T 有6个元素C ．若S 有3个元素，则S ∪T 有5个元素D ．若S 有3个元素，则S ∪T 有4个元素➢考点4 集合中的创新问题[典例] 1.（2022·北京房山·一模）已知U 是非实数集，若非空集合A 1，A 2满足以下三个条件，则称（A 1，A 2）为集合U 的一种真分拆，并规定（A 1，A 2）与（A 2，A 1）为集合U 的同一种真分拆 ①A 1∩A 2=0 ②A 1A 2=U③(1,2)i A i =的元素个数不是i A 中的元素.则集合U ={1，2，3，4，5，6}的真分拆的种数是（ ） A ．5B ．6C ．10D ．152.[2022·广东六校联考]已知集合A 0＝{x |0<x <1}．给定一个函数y ＝f (x )，定义集合A n＝{y |y ＝f (x )，x ∈A n －1}，若A n ∩A n －1＝∅对任意的x ∈N *成立，则称该函数具有性质 “∅”． (1)具有性质“∅”的一个一次函数的解析式可以是________．(2)给出下列函数：①y ＝1x ；②y ＝x 2＋1；③y ＝cos π2x ＋2.其中具有性质“∅”的函数的序号是________．3.[2022·河北保定质检]现有100名携带药品出国的旅游者，其中75人带有感冒药，80人带有胃药，那么对既带感冒药又带胃药的人数统计中，下列说法正确的是( ) A ．最多人数是55 B ．最少人数是55 C ．最少人数是75 D ．最多人数是80[举一反三]1．（2022·湖南·雅礼中学一模）已知集合{}22(,)|1,,A x y x y x y Z =+≤∈，{}(,)|2,2,,B x y x y x y Z =≤≤∈，定义集合{}12121122(,)|(,),(,)A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为A ．77B ．49C ．45D ．302．[2021·四川成都联考]已知集合A ＝{1,2,3,4,5,6}的所有三个元素的子集记为B 1，B 2，B 3，…，B k ，k ∈N *.记b i 为集合B i (i ＝1,2,3，…，k )中的最大元素，则b 1＋b 2＋b 3＋…＋b k ＝( )A ．45B ．105C ．150D ．2103．[多选][2022·湘赣皖十五校第一次联考]已知集合M ，N 都是非空集合U 的子集，令集合S ＝{x |x 恰好属于M ，N 中的一个}，下列说法正确的是( )A ．若S ＝N ，则M ＝∅B ．若S ＝∅，则M ＝NC ．若S ⊆M ，则M ⊆ND ．∃M ，N ，使得S ＝(∁U M )∪(∁U N )4．[2022·湖北华大新联盟考试]中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：今有物，不知其数．三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二．问：物几何？现有如下表示：已知A ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N *}，B ＝{x |x ＝5n ＋3，n ∈N *}，C ＝{x |x ＝7n ＋2，n ∈N *}，若x ∈(A ∩B ∩C )，则整数x 的最小值为( ) A ．128 B ．127 C ．37D ．235．[2022·山东省实验中学第二次诊断]若集合{a ，b ，c ，d }＝{1,2,3,4}，且下列四个关系：①a ＝1；②b ≠1；③c ＝2；④d ≠4有且只有一个是正确的．请写出满足上述条件的一个有序数组(a ，b ，c ，d )＝________，符合条件的全部有序数组(a ，b ，c ，d )的个数是________．6．[2022·山东潍坊重点高中联考]已知U ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，集合A 是集合U 中的两个元素所组成的集合，且同时满足下列三个条件：①若a 1∈A ，则a 2∈A ；②若a 3∉A ，则a 2∉A ；③若a 3∈A ，则a 4∉A .求集合A .第1讲 集合的概念与运算1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N＋)Z Q R [注意]N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N*和N＋的含义是一样的，表示正整数集，不包含0.2．集合间的基本关系表示关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)A⊆B(或B⊇A)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中A⫋B(或B⫌A)集合 相等集合A ，B 中元素相同 A ＝B3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形 语言符号 语言A ∪B ＝ {x |x ∈A 或x∈B }A ∩B ＝ {x |x ∈A 且x ∈B }∁U A ＝ {x |x ∈U 且 x ∉A }➢考点1 集合的含义与表示[名师点睛]与集合元素有关问题的解题策略(1)研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义． (2)利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性．2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( )A ．9B ．8C ．5D ．4(2)设A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，3，a 2－3a ，a ＋2a ＋7，B ＝{|a －2|,3}，已知4∈A 且4∉B ，则a 的取值集合为________．[解析] (1)将满足x 2＋y 2≤3的整数x ，y 全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个．故选A.(2)因为4∈A ，即4∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，3，a 2－3a ，a ＋2a ＋7，所以a 2－3a ＝4或a ＋2a ＋7＝4.若a 2－3a ＝4，则a ＝－1或a ＝4；若a ＋2a ＋7＝4，即a 2＋3a ＋2＝0，则a ＝－1或a ＝－2.由a 2－3a 与a ＋2a ＋7互异，得a ≠－1.故a ＝－2或a ＝4.又4∉B ，即4∉{|a －2|,3}， 所以|a －2|≠4，解得a ≠－2且a ≠6. 综上所述，a 的取值集合为{4}． [答案] (1)A (2){4} [举一反三]1．（2022·江西·新余四中模拟预测（理））已知集合()(){}20A x a x x a =--<，若2A ∉，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()(),12,-∞+∞B ．[)1,2C ．()1,2D ．[]1,2【答案】D【解析】因为2A ∉，所以()()2220a a --≥，解得12a ≤≤．故选：D ．2．（2022·菏泽模拟）设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：选C.因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，则ba ＝－1，所以a＝－1，b ＝1.所以b －a ＝2.3．(多选)（2022· 广州一调）已知集合{x |mx 2－2x ＋1＝0}＝{n }，则m ＋n 的值可能为( )A ．0B ．12C ．1D ．2解析：选BD.因为集合{x |mx 2－2x ＋1＝0}＝{n }，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，－2n ＋1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0，Δ＝4－4m ＝0，n ＝－－22m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n ＝12或⎩⎨⎧m ＝1，n ＝1，所以m ＋n ＝12或m ＋n ＝2.故选BD.4．（2022·福建·模拟预测）设集合{2,1,1,2,3}A =--，{}2|log ||,B y y x x A ==∈ ，则集合B 元素的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B 【解析】当2x =±时，y ＝1；当1x =±时，y ＝0；当x ＝3时，2log 3y =．故集合B 共有3个元素．故选：B.5．（2022·武汉校级月考）已知集合A ＝{m ＋2，2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________． 解析：由题意得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3， 则m ＝1或m ＝－32.当m ＝1时，m ＋2＝3且2m 2＋m ＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意； 当m ＝－32时，m ＋2＝12，而2m 2＋m ＝3，符合题意，故m ＝－32.答案：－32➢考点2 集合的基本关系R N )＝( )A ．∅B ．MC ．ND ．R(2)[2022·广东阳江月考]已知集合A ＝{x |y ＝4－x 2}，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，若B ⊆A ，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－3]∪[2，＋∞)B ．[－1，2]C ．[－2，1]D ．[2，＋∞)【解析】 (1)因为M ，N 均为R 的子集，且∁R M ⊆N ，所以N ＝∁R M ，所以M ∪(∁R N )＝M .故选B.(2)集合A ＝{x |y ＝4－x 2}＝{x |－2≤x ≤2}，因为B ⊆A ，所以有⎩⎨⎧a ≥－2，a ＋1≤2，所以－2≤a ≤1. 【答案】 (1)B (2)C [举一反三]1.（2022·广东广州·一模）已知集合{}11A x x =∈-≤≤Z ，{}02B x x =≤≤，则A B 的子集个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】C【解析】由题可知{}1,0,1A =-，所有{}0,1A B =，所有其子集分别是{}{}{},1,0,0,1∅，所有共有4个子集，故选：C2．[2022·湖北武汉摸底]已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选D 求解一元二次方程，得A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }＝{x |(x －1)(x －2)＝0，x ∈R }＝{1,2}，易知B ＝{x |0<x <5，x ∈N }＝{1,2,3,4}．因为A ⊆C ⊆B ，所以根据子集的定义，集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，原题即求集合{3,4}的子集个数，即有22＝4个，故选D.3．（2022·山东·潍坊一中模拟预测）已知集合M ，N 是全集U 的两个非空子集，且()U M N ⊆，则（ ）A ．M N ⋂=∅B ．M N ⊆C ．N M ⊆D ．()U N M U ⋃=【答案】A 【解析】UN 表示集合N 的补集，因为()U M N ⊆，所以M N ⋂=∅．故选：A4.[2021·湖南长沙长郡中学适应性考试]已知集合A ＝{x ∈Z |x ≥a }，集合B ＝{x ∈Z |2x ≤4}．若A ∩B 只有4个子集，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2，－1]B ．[－2，－1]C ．[0,1]D ．(0,1][答案] D [解析] 本题考查根据集合的子集个数求参数的取值．集合A ＝{x ∈Z |x ≥a }，集合B ＝{x ∈Z |2x ≤4}＝{x ∈Z |x ≤2}，故A ∩B ＝{x ∈Z |a ≤x ≤2}．因为A ∩B 只有4个子集，所以A ∩B 中元素只能有2个，即A ∩B ＝{1,2}，所以0<a ≤1，故选D.5．[2022·吉林辽源五校期末联考]已知集合M ＝{x |x －a ＝0}，N ＝{x |ax －1＝0}，若M ∩N ＝N ，则实数a 的值是________．解析：由题易得M ＝{a }．因为M ∩N ＝N ， 所以N ⊆M ， 所以N ＝∅或N ＝M ， 所以a ＝0或a ＝±1. 答案：0或1或－1➢考点3 集合的基本运算[典例]1.(1)（2021·全国·高考真题）设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()UAB =（ ）A ．{3}B ．{1,6}C ．{5,6}D ．{1,3}【答案】B【解析】由题设可得{}U1,5,6B =，故(){}U 1,6A B ⋂=，故选：B.(2)(多选)[2022·湖南长沙模拟]已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |－3≤x <4}，N ＝{x |x 2－2x －8≤0}，则( )A ．M ∪N ＝{x |－3≤x <4}B ．M ∩N ＝{x |－2≤x <4}C ．(∁U M )∪N ＝(－∞，－3)∪[－2，＋∞)D ．M ∩(∁U N )＝(－3，－2)【解析】 (1)方法一：由题意，得A ∪B ＝{－1，0，1，2}，所以∁U (A ∪B )＝{－2，3}，故选A.方法二：因为2∈B ，所以2∈A ∪B ，所以2∉∁U (A ∪B )，故排除B ，D ；又0∈A ，所以0∈A ∪B ，所以0∉∁U (A ∪B )，故排除C ，故选A.(2)由x 2－2x －8≤0，得－2≤x ≤4，所以N ＝{x |－2≤x ≤4}，则M ∪N ＝{x |－3≤x ≤4}，A 错误；M ∩N ＝{x |－2≤x <4}，B 正确；由于∁U M ＝(－∞，－3)∪[4，＋∞)，故(∁U M )∪N ＝(－∞，－3)∪[－2，＋∞)，C 正确；由于∁U N ＝(－∞，－2)∪(4，＋∞)，故M ∩(∁U N )＝[－3，－2)，D 错误．故选BC.【答案】 (1)A (2)BC2.(1)(2020·高考全国卷Ⅰ)设集合A ＝{x |x 2－4≤0}，B ＝{x |2x ＋a ≤0}，且A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，则a ＝( )A ．－4B ．－2C ．2D ．4(2)[2022·湖南六校联考]集合A ＝{0，2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0，1，2，4，16}，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．4【解析】 (1)方法一：易知A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{x |x ≤－a2}，因为A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，所以－a2＝1，解得a ＝－2.故选B.方法二：由题意得A ＝{x |－2≤x ≤2}．若a ＝－4，则B ＝{x |x ≤2}，又A ＝{x |－2≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |－2≤x ≤2}，不满足题意，排除A ；若a ＝－2，则B ＝{x |x ≤1}，又A ＝{x |－2≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，满足题意；若a ＝2，则B ＝{x |x ≤－1}，又A ＝{x |－2≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |－2≤x ≤－1}，不满足题意，排除C ；若a ＝4，则B ＝{x |x ≤－2}，又A ＝{x |－2≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |x ＝－2}，不满足题意．故选B.(2)根据集合并集的概念，可知{a ，a 2}＝{4，16}，故a ＝4. 【答案】 (1)B (2)D [举一反三]1．（2022·河北石家庄·二模）已知集合{3,2,1,0,1}A =---，301x B x Zx +⎧⎫=∈<⎨⎬-⎩⎭，则A B =（ ）A ．[3,1)-B ．[3,1]-C ．{3,2,1,0,1}---D ．{2,1,0}--【答案】D 【解析】因为30311x x x +<⇒-<<-，所以{}2,1,0B =--，而{3,2,1,0,1}A =---， 所以A B ={2,1,0}--，故选：D2．[2022·华南师范大学附属中学月考]已知集合A ＝{x |x <3}，B ＝{x |x >a }，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围为( )A ．[3，＋∞)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，3)D ．(－∞，3]解析：选C 因为A ∩B ≠∅，所以结合数轴可知实数a 的取值范围是a <3，故选C. 3．(2020·高考全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈N *，y ≥x }，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8}，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．6解析：选C.由题意得，A ∩B ＝{(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)}，所以A ∩B 中元素的个数为4，选C.4．（2022·重庆·二模）已知集合{}{}21,3,5,6,7,8,9,14480A B xx x ==-+∣，则下图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}1,3,5,7,9B ．{}1,3,5,9C ．{}1,3,5D ．{}1,3,9【答案】B【解析】由图可知，图中阴影部分表示()R A B ⋂，由214480x x -+≤，得68x ≤≤， 所以{}68B x x =≤≤，所以{R 6B x x =<或}8x >，因为{}1,3,5,6,7,8,9A =， 所以(){}R1,3,5,9AB =，故选：B5．（2021·全国·高考真题（理））已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T （ ）A ．∅B ．SC ．TD ．Z【答案】C【解析】任取t T ∈，则()41221t n n =+=⋅+，其中n Z ∈，所以，t S ∈，故T S ⊆， 因此，S T T =.故选：C.6.[2021·豫北名校联考]设集合A ＝{x |x 2＋2x －3>0}，集合B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a >0}，若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫0，34 B ．⎣⎡⎭⎫34，43 C ．⎣⎡⎭⎫34，＋∞D ．(1，＋∞)[答案] B [解析] A ＝{x |x 2＋2x －3>0}＝{x |x >1或x <－3}，设函数f (x )＝x 2－2ax －1，因为函数f (x )＝x 2－2ax －1图象的对称轴为直线x ＝a (a >0)，f (0)＝－1<0，根据对称性可知，若A ∩B 中恰有一个整数，则这个整数为2，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)≤0，f (3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4－4a －1≤0，9－6a －1>0，所以⎩⎨⎧a ≥34，a <43，即34≤a <43.故选B. 7.（2020·浙江·高考真题）设集合S ，T ，S ⊆N *，T ⊆N *，S ，T 中至少有两个元素，且S ，T 满足：①对于任意x ，y ∈S ，若x ≠y ，都有xy ∈T ②对于任意x ，y ∈T ，若x <y ，则yx∈S ； 下列命题正确的是（ ）A ．若S 有4个元素，则S ∪T 有7个元素B ．若S 有4个元素，则S ∪T 有6个元素C ．若S 有3个元素，则S ∪T 有5个元素D ．若S 有3个元素，则S ∪T 有4个元素 【答案】A 【解析】 首先利用排除法：若取{}1,2,4S =，则{}2,4,8T =，此时{}1,2,4,8S T =，包含4个元素，排除选项 C ； 若取{}2,4,8S =，则{}8,16,32T =，此时{}2,4,8,16,32S T =，包含5个元素，排除选项D ； 若取{}2,4,8,16S =，则{}8,16,32,64,128T =，此时{}2,4,8,16,32,64,128S T =，包含7个元素，排除选项B ；下面来说明选项A 的正确性：设集合{}1234,,,S p p p p =，且1234p p p p <<<，*1234,,,p p p p N ∈，则1224p p p p <，且1224,p p p p T ∈，则41p S p ∈， 同理42p S p ∈，43p S p ∈，32p S p ∈，31p S p ∈，21p S p ∈，若11p =，则22p ≥，则332p p p <，故322p p p =即232p p =，又444231p p p p p >>>，故442232p p p p p ==，所以342p p =， 故{}232221,,,S p p p =，此时522,p T p T ∈∈，故42p S ∈，矛盾，舍.若12p ≥，则32311p p p p p <<，故322111,p pp p p p ==即323121,p p p p ==， 又44441231p p p p p p p >>>>，故441331p p p p p ==，所以441p p =， 故{}2341111,,,S p p p p =，此时{}3456711111,,,,p p p p p T ⊆.若q T ∈， 则31q S p ∈，故131,1,2,3,4i qp i p ==，故31,1,2,3,4i q p i +==，即{}3456711111,,,,q p p p p p ∈，故{}3456711111,,,,p p p p p T =，此时{}234456711111111,,,,,,,S T p p p p p p p p ⋃=即S T 中有7个元素.故A 正确. 故选：A .➢考点4 集合中的创新问题[典例] 1.（2022·北京房山·一模）已知U 是非实数集，若非空集合A 1，A 2满足以下三个条件，则称（A 1，A 2）为集合U 的一种真分拆，并规定（A 1，A 2）与（A 2，A 1）为集合U 的同一种真分拆 ①A 1∩A 2=0 ②A 1A 2=U③(1,2)i A i =的元素个数不是i A 中的元素.则集合U ={1，2，3，4，5，6}的真分拆的种数是（ ） A ．5 B ．6C ．10D ．15【答案】A 【解析】解：由题意，集合U ={1，2，3，4，5，6}的真分拆有{}{}125,1,2,3,4,6A A ==；{}{}121,4,2,3,5,6A A ==；{}{}123,4,1,2,5,6A A ==；{}{}124,5,1,2,3,6A A ==；{}{}124,6,1,2,3,5A A ==，共5种，故选：A.2.[2022·广东六校联考]已知集合A 0＝{x |0<x <1}．给定一个函数y ＝f (x )，定义集合A n＝{y |y ＝f (x )，x ∈A n －1}，若A n ∩A n －1＝∅对任意的x ∈N *成立，则称该函数具有性质 “∅”． (1)具有性质“∅”的一个一次函数的解析式可以是________．(2)给出下列函数：①y ＝1x ；②y ＝x 2＋1；③y ＝cos π2x ＋2.其中具有性质“∅”的函数的序号是________．[解析] (1)答案不唯一，合理即可．示例： 对于解析式y ＝x ＋1，因为A 0＝{x |0<x <1}，所以A 1＝{x |1<x <2}， A 2＝{x |2<x <3}，…，显然符合A n ∩A n －1＝∅.故具有性质“∅”的一个一次函数的解析式可以是y ＝x ＋1. (2)对于①，A 0＝{x |0<x <1}，A 1＝{x |x >1}，A 2＝{x |0<x <1}，…， 依次循环下去，符合A n ∩A n －1＝∅.对于②，A 0＝{x |0<x <1}，A 1＝{x |1<x <2}，A 2＝{x |2<x <5}，A 3＝{x |5<x <26}，…，根据函数y ＝x 2＋1的单调性得相邻两个集合不会有交集，符合A n ∩A n －1＝∅.对于③，A 0＝{x |0<x <1}，A 1＝{x |2<x <3}，A 2＝{x |1<x <2}，A 3＝{x |1<x <2}， 不符合A n ∩A n －1＝∅.所以具有性质“∅”的函数的序号是①②. [答案] (1)y ＝x ＋1 (2)①②3.[2022·河北保定质检]现有100名携带药品出国的旅游者，其中75人带有感冒药，80人带有胃药，那么对既带感冒药又带胃药的人数统计中，下列说法正确的是( ) A ．最多人数是55 B ．最少人数是55 C ．最少人数是75D ．最多人数是80解析：选B 设100名携带药品出国的旅游者组成全集I ，其中带感冒药的人组成集合A ，带胃药的人组成集合B .设所携带药品既非感冒药又非胃药的人数为x ，则0≤x ≤20.设以上两种药都带的人数为y .由图可知，x ＋card(A )＋card(B )－y ＝100.∴x ＋75＋80－y ＝100，∴y ＝55＋x .∵0≤x ≤20，∴55≤y ≤75，故最少人数是55. [举一反三]1．（2022·湖南·雅礼中学一模）已知集合{}22(,)|1,,A x y x y x y Z =+≤∈，{}(,)|2,2,,B x y x y x y Z =≤≤∈，定义集合{}12121122(,)|(,),(,)A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，中元素的个数为则A BA．77 B．49 C．45 D．30【答案】C【解析】因为集合，所以集合中有5个元素（即5个点），即图中圆中的整点，集合中有25个元素（即25个点）：即图中正方形中的整点，集合的元素可看作正方形中的整点（除去四个顶点），即个．2．[2021·四川成都联考]已知集合A＝{1,2,3,4,5,6}的所有三个元素的子集记为B1，B2，B3，…，B k，k∈N*.记b i为集合B i(i＝1,2,3，…，k)中的最大元素，则b1＋b2＋b3＋…＋b k＝()A．45 B．105C．150 D．210[答案]B[解析]本题考查集合的新定义问题．集合A的含有3个元素的子集共有C36＝20个，所以k＝20.在集合B i(i＝1,2,3，…，k)中，最大元素为3的集合有C22＝1个；最大元素为4的集合有C23＝3个；最大元素为5的集合有C24＝6个；最大元素为6的集合有C25＝10个，所以b1＋b2＋b3＋…＋b k＝3×1＋4×3＋5×6＋6×10＝105.故选B.3．[多选][2022·湘赣皖十五校第一次联考]已知集合M，N都是非空集合U的子集，令集合S＝{x|x恰好属于M，N中的一个}，下列说法正确的是()A．若S＝N，则M＝∅B．若S＝∅，则M＝NC．若S⊆M，则M⊆ND．∃M，N，使得S＝(∁U M)∪(∁U N)[答案] ABD [解析]本题考查Venn 图．用Venn 图表示，集合S 为如图1中的阴影部分，对于A 选项，若S ＝N ，利用S 的Venn 图观察，则有M ∩N ＝∅，M ＝∅，故A 选项正确；对于B 选项，若S ＝∅，则M ＝N ，故B 选项正确；对于C 选项，反例：如图集合S 为如图2中的阴影部分，N ⊆M ，故C 选项错误；对于D 选项，例如U ＝{1,2,3,4}，M ＝{1,2,3}，N ＝{4}，S ＝{x |x 恰好属于M ，N 中的一个}＝{1,2,3,4}＝U ，而(∁U M )∪(∁U N )＝{4}∪{1,2，3}＝{1,2,3,4}＝S ，故D 选项正确，故选ABD.图1 图24．[2022·湖北华大新联盟考试]中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：今有物，不知其数．三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二．问：物几何？现有如下表示：已知A ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N *}，B ＝{x |x ＝5n ＋3，n ∈N *}，C ＝{x |x ＝7n ＋2，n ∈N *}，若x ∈(A ∩B ∩C )，则整数x 的最小值为( ) A ．128 B ．127 C ．37D ．23解析：选D ∵求整数的最小值，∴先将23代入检验，满足A ，B ，C 三个集合，故选D.5．[2022·山东省实验中学第二次诊断]若集合{a ，b ，c ，d }＝{1,2,3,4}，且下列四个关系：①a ＝1；②b ≠1；③c ＝2；④d ≠4有且只有一个是正确的．请写出满足上述条件的一个有序数组(a ，b ，c ，d )＝________，符合条件的全部有序数组(a ，b ，c ，d )的个数是________． 解析：显然①不可能正确，否则①②都正确；若②正确，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝3，c ＝1，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝2，c ＝1，d ＝4.若③正确，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝1，c ＝2，d ＝4.若④正确，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1，c ＝4，d ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝1，c ＝4，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1，c ＝3，d ＝2.所以符合条件的数组共6个． 答案：(3,2,1,4)(填一个正确的即可) 66．[2022·山东潍坊重点高中联考]已知U ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，集合A 是集合U 中的两个元素所组成的集合，且同时满足下列三个条件：①若a1∈A，则a2∈A；②若a3∉A，则a2∉A；③若a3∈A，则a4∉A.求集合A.解：假设a1∈A，则a2∈A.又若a3∉A，则a2∉A，∴a3∈A，与集合A中有且仅有两个元素不符，∴假设不成立，∴a1∉A.假设a4∈A，则a3∉A，则a2∉A，且a1∉A，与集合A中有且仅有两个元素不符，∴假设不成立，∴a4∉A.故集合A＝{a2，a3}，经检验知符合题意．。
高三一轮复习集合知识点和题型
第一章 集合与常用逻辑用语1.1集合的概念知识点1.元素和集合的概念元素：一般地，我们把研究对象统称为元素集合：把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）。
集合通常用大写的字母表示，如A B C 、、、……；元素通常用小写的字母表示，如a b c d 、、、……。
知识点2.集合中元素的特性（1）确定性：给定一个集合，它的元素必须是确定的。
设A 是一个给定的集合，x 是某一具体的对象，则x 或者是A 的元素，或者不是A 的元素，二者必居其一，不能模棱两可．（2）互异性： 给定一个集合，它的任意两个元素是互不相同的。
也就是说集合中的元素是不重复出现的。
集合中相同的元素只能算是一个。
（3）无序性：集合中的元素是不分先后顺序的．知识点3.元素与集合的关系一般地，如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a A ∈；如果a 不是集合的元素，就说a 不属于A ，记作A a ∉。
特别注意：（1）集合和元素是两个不同的概念，它们之间是个体与整体的关系，并且这种关系是相对的；（2）元素与集合之间不存在大小与相等的关系，只存在属于或不属于的关系。
如2与{}3，只能是{}23∉，不能写成{}23≠。
知识点4.集合的第一种表示方法自然语言和常用数集及记法上面举的例子：中国的直辖市组成的集合。
还比如：地球上的四大洋组成的集合；小于10的所有自然数组成的集合等等我们是可以用自然语言表示一个集合。
数学中有一些常用数集，就是自然语言表示的， 这些常用数集及记法如下： （1）全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N 。
（2）所有正整数组成的集合称为正整数集，记作*N 或+N 。
（3）全体整数组成的集合称为整数集，记作Z 。
（4）全体有理数数组成的集合称为有理数集，记作Q 。
（5）全体实数组成的集合称为实数集，记作R 。
知识点5.集合的表示方法 （1）自然语言 （2）列举法列举法概念：像这样把集合中的元素一一列举出来，并用大括号括起来表示集合的方法叫做列举法。
1、集合的概念与运算(一)
诸城繁华中学高三数学文科第一轮复习讲义1 第一章《集合与简易逻辑》§1.1 集合的概念和运算（一）【复习目标】1． 了解集合中元素的三种特性，正确使用集合的符号和语言表达数学问题；2． 分清集合中的两种关系，即元素与集合关系、集合与集合的关系；3． 了解空集的意义，在解题中强化空集的意识。
【重点难点】集合语言的正确、准确理解；熟练进行集合的基本运算【知识回顾】1、基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；2、集合的表示法： 、 、 .3、集合元素的特征： 、 、 .4、集合与元素的关系： 。
【课前预习】1． 数0与空集φ的关系是 （ ）A ．0φ∈B ．0φ=C ．{0}φ=D ．0φ∉2． 集合M=8|,,3y y x y Z x ⎧⎫=∈⎨⎬+⎩⎭的元素个数是 （ ） A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．8个 3． 用适当符号（,,,,∈∉=刭）填空： π Q ；{3.14} Q ；N N *；{|21,}x x k k Z =+∈ {|21,}x x k k Z=-∈； *{|21,}x x k k N =+∈ *{|21,}x x k k N =-∈. 4． 用描述法表示下列集合（1） 由直线y=x+1上所有点的坐标组成的集合 ；（2） {0，－1，－4，－9，－16，－25，－36，－49} ；5． 设集合M=1{|,}24k x x k Z =+∈，N=1{|,}42k x x k Z =+∈，则 （ ） A ．M=N B ．M ØN C ．M ÙN D ．M ⋂N=φ6． 若A ⋂B=B ，，则A B （填,⊆⊇）；若A ⋃B=B ，则A B. 【典型例题】例1 已知集合M={|3,}x x n n Z =∈，N={|31,}x x n n Z =+∈，P={|31,}x x n n Z =-∈，且,,a M b N c P ∈∈∈，设d a b c =-+，则A ．d M ∈B ．d N ∈C ．d P ∈D ．以上都不正确第1课：§1.1 集合的概念和运算（一）- 2 - 例2 已知集合2{|210,,}x ax x a R x R ++=∈∈（1） 若A 中只有一个元素，求a 的值；（2） 若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围。