高三(理)数学中期考试试题
安徽高三上学期期中考查数学(理)试题 Word版含答案
安徽师范大学附属中学 期中考查高 三 数 学(理) 试 卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知复数z 满足i z i 21+=⋅（其中i 为虚数单位），则z =（ ）A.2 B ．3 C ．5 D ． 52．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，则a b ≤“”是sin sin A B ≤“”的（ ）A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.既不充分也不必要条件3．已知双曲线221()my x m R -=∈与椭圆2215y x +=有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A.y =B.y x =C.13y x =±D.3y x =±4．公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4a 是37a a 与的等比中项, 832S =,则10S 等于（ ）A ．18B ． 24C ．60D ． 90 5．某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为( ) A ．4B ．22C ．24D ．86． 已知某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的结果为（ )A ．15B ．25 C ．35D ．457.设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+0,043y x ayx ，若132+++=x y x z 的最小值为23，则a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．)(x f 是定义在非零实数集上的函数，)(x f '为其导函数，且0>x 时，0)()(<-'x f x f x ，记222.02.0222.0)2.0(2)2(,5log )5(log f c f b f a ===，，则 （ ） A.c b a << B.b a c << C. c a b << D.a b c <<9．在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，2AC BC ==，点P 是斜边AB上的一个三等分点，则CP CB CP CA ⋅+⋅=（ ）A ．4B ．49 C ．49- D ．0 10．用6种颜色给右图四面体BCD A -的每条棱染色，要求每条棱只染一种颜色且共顶点的棱染不同的颜色，则不同的染色方法共有（ ）种 A ．4080 B.3360 C. 1920 D. 72011．设当θ=x 时，函数x x y cos 2sin -=取得最大值，则θcos = ( )A.55-B.55C.552-D.552 12．已知正方体1111ABCD A BC D -，则下列说法不正确．．．的是（ ） A.若点P 在直线1BC 上运动时，三棱锥1A D PC -的体积不变B.若点P 是平面1111A BC D 上到点D 和1C 距离相等的点，则P 点的轨迹是过1D 点的直线 C.若点P 在直线1BC 上运动时，直线AP 与平面1ACD 所成角的大小不变 D.若点P 在直线1BC 上运动时，二面角1P AD C --的大小不变 二、填空题（本大题共4小题，多空题每题5分，共20分．）13.设)(x f 是周期为2的偶函数，当10≤≤x 时, )1(2)(x x x f -=,则=-)25(f .14.2321(2)x x +-展开式中的常数项为 ．15.如图，已知抛物线的方程为22(0)x py p =>，过点(0,1)A -作直线l 与抛物线相交于,P Q 两点，点B 的坐标为(0,1)，连接,BP BQ ，设,QB BP 与x 轴分别相交于,M N 两点．如果QB 的斜率与PB 的斜率的乘积为3-，则MBN ∠的大小等于 ．16.用[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[3]3=，[1.2]1=，[ 1.3]2-=-.已知数列{}n a 满足11a =，21n n n a a a +=+，则=++++++]1...11[201620162211a a a a a a _____________.三、解答题（本大题共6小题，第17至21题每题12分，第22，23为二选一题10分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. (本小题满分12分)已知函数)0,0(12sin2)sin(3)(2πϕωϕωϕω<<>-+++=x x x f 为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为2π. （Ⅰ）当)4,2(ππ-∈x 时，求)(x f 的单调递减区间； （Ⅱ）将函数)(x f y =的图象沿x 轴方向向右平移6π个单位长度，再把横坐标缩短到原来的21（纵坐标不变），得到函数)(x g y =的图象.当]6,12[ππ-∈x 时，求函数)(x g 的值域.18. (本小题满分12分)在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边为c b a 、、，且满足.（Ⅰ）求角B 的值；（Ⅱ）若a b ≤=3，求c a -2的取值范围．22266cos A cos B cos(A )cos(A )ππ-=-+19. (本小题满分12分)已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S 是1与n a 的等差中项. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n T 为数列12n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，证明：()213n T n N *≤<∈.20. (本小题满分12分)已知函数),(22)(R a R x ax e x f x∈∈--=. （Ⅰ）当1=a 时，求曲线)(x f y =在1=x 处的切线方程； （Ⅱ）当0≥x 时，若不等式0)(≥x f 恒成立，求实数a 的取值范围.21. (本小题满分12分)设函数f (x )=ax 2-a -ln x ，其中a ∈R. （Ⅰ）讨论f (x )的单调性； （Ⅱ）当),1(+∞∈x 时，1)(1>+-xxe x xf 恒成立，求a 的取值范围. (其中，e=2.718…为自然对数的底数).选做题(两题任选一题，如果都做，按第22题得分计算) 22．(本小题满分10分)选修4—4：极坐标与参数方程 已知在直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为()22cos ,2sin ,x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数，在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，直线l 的方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（Ⅰ）求曲线C 在极坐标系中的方程； （Ⅱ）求直线l 被曲线C 截得的弦长．23.(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 已知函数212)(--+=x x x f .（Ⅰ）解不等式0)(≥x f ；（Ⅱ）若存在实数x ，使得a x x f +≤)(，求实数a 的取值范围．理科数学参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）二、填空题（本大题共4小题，多空题每题5分，共20分．） 13.2114. -2015.3π（或60°） 16. 2015四、解答题（本大题共6小题，第17至21题每题12分，第22题10分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.（1）由题意得：())cos()2sin()6f x x x x πωϕωϕωϕ=+-+=+-，因为相邻两对称轴间的距离为2π，所以T π=，2ω=， ————————2分 又因为函数()f x 为奇函数，所以,66k k ππϕπϕπ-==+，且0ϕπ<<，所以6πϕ=，故函数为()2sin 2f x x =. ————————4分要使()f x 单调减，需满足2,224x x ππππ-≤≤--≤≤-，所以函数的减区间为[,]24ππ--. ————————6分（2）由题意可得：)34sin(2)(π-=x x g ， ————————9分————————12分 18.（1）由已知cos 2cos 22cos cos 66A B A A ππ⎛⎫⎛⎫-=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得2222312sin 2sin 2cos sin 44B A A A ⎛⎫-=-⎪⎝⎭， 化简得sin B = 故233B ππ=或． ————————4分（2）因为b a ≤，所以3B π=， ————————6分由正弦定理2sin sin sin a c bA C B====， 得a=2sinA,c=2sinC ， ————————8分————————10分因为b a ≤，所以2,33662A A πππππ≤<≤-<， 所以)32,3[2∈-c a ． ————————12分19. （1）1n =时，11a = ————————1分2n ≥时，2114(1)n n S a --=+，又24(1)n n S a =+，两式相减得111()(2)0,0,2,{}n n n n n n n n a a a a a a a a ---+--=>∴-=为是以1为首项，2为公差的等差数列，即21n a n =-. ————————6分（2）12211(21)(21)2121n n a a n n n n -==--+-+ 111111(1)()()1335212121n T n n n ∴=-+-++-=--++，——————101,n T ∴< 又111230,n n n T a a T -≥=>∴， 综上213n T ≤<成立. ————————12分 20.（1）当1a =时，''()22,()21,(1)21x x f x e x f x e f e =--=-=-，即曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为21k e =-，又(1)23f e =-，所以所求切线方程为(21)2y e x =--. ————————4分（2）当0x ≥时，若不等式()0f x ≥恒成立min [()]0f x ⇔≥ 易知'()2x f x e a =-○1若0a ≤，则'()0f x >恒成立，()f x 在R 上单调递增； 又(0)0f =，所以当[0,)x ∈+∞时，()(0)0f x f ≥=，符合题意. —————6分○2若0a >，由'()0f x =，解得ln 2a x =，则当(,ln )2a x ∈-∞时，'()0f x <，()f x 单调递减； 当(ln,)2ax ∈+∞时，'()0f x >，()f x 单调递增. 所以ln2ax =时，函数()f x 取得最小值. ————————8分 则当02ln≤a ，即20≤<a 时，则当),0[+∞∈x 时，0)0()(=≥f x f ，符合题意.————————10分当02ln>a ，即2>a 时，则当)2ln ,0(a x ∈时，)(x f 单调递增，0)0()(=<f x f ，不符合题意.综上，实数a 的取值范围是].2,(-∞ ————————12分（没有综上扣一分）21.（1）由题意得：2'121()2,0ax f x ax x x x -=-=> 当0a ≤时，2'210,()0,ax f x -≤≤()f x 上(0,)+∞单调递减.当0a >时，'()f x =x ∈时，'()0f x <，当)x ∈+∞时'()0f x >，故()f x在x ∈上单调递减，在)x ∈+∞上单调递增. ————————5分（2）原不等式等价于11()0x f x e x--+>在(1,)+∞上恒成立， 一方面，令12111()()ln x x g x f x e ax x e a x x--=-+=--+- 只需()g x 在(1,)+∞上恒大于0即可，又(1)0g =，故'()g x 在处1x =必大于等于0. 令'1'211()()2,(1)0,x F x g x ax e g x x -==-+-≥可得12a ≥. ————————8分 另一方面，当12a ≥时， 3'1112323312122()21x x x x x F x a e e e x x x x x ---+-=+-+≥+-+=+ 又(1,)x ∈+∞，320x x ∴+->，10x e ->，故'()F x 在(1,)+∞时恒大于0，当(1,)x ∈+∞时，()F x 在(1,)x ∈+∞单调递增()(1)210F x F a ∴>=-≥.故()g x 也(1,)x ∈+∞在单调递增()(1)0g x g ∴>=.即()g x 在(1,)x ∈+∞上恒大于0. 12a ∴≥. 综上，12a ≥. ————————12分（没有综上扣一分）选做题 22.解:（1）曲线C 的普通方程为22(2)4x y -+=，即2240x y x +-=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入方程2240x y x +-=化简得θρcos 4=． 所以，曲线C 的极坐标方程是θρcos 4=． ————————5分（2） 直线l 的直角坐标方程为40x y +-=，由2240,4,x y x x y ⎧+-=⎨+=⎩得直线l 与曲线C 的交点坐标为(2,2),(4,0)， 所以弦长22=OA ． ————————10分23. (1)① 当12x ≤-时，1223x x x --+≥⇒≤-，所以3x ≤- ② 当102x -<<时，12123x x x ++≥⇒≥，所以为φ ③ 当0x ≥时，121x x +≥⇒≥，所以1x ≥综合①②③不等式的解集 (][),31,-∞-⋃+∞ ————————5分 (2)即12122122a x x a x x +-≤+⇒+-≤+由绝对值的几何意义，只需11322aa-≤+⇒≥-————————10分。
四川省南充市阆中中学2024年高三下学期期中考试(数学试题理)试题
四川省南充市阆中中学2024年高三下学期期中考试（数学试题理）试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量()1,2a =-，(),1b x x =-，若()2//b a a -，则x =（ ） A ．13B ．23C ．1D ．32．在棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 为A 1D 1的中点，若三棱锥P −ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ） A ．12πB ．21π2C ．41π4D ．10π3．已知偶函数()f x 在区间(],0-∞内单调递减，()2log3a f =，sin 5b f π⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2314c f ⎛⎫⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 满足（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．c b a <<4．已知集合M ＝{y ｜y ＝，x ＞0}，N ＝{x ｜y ＝lg （2x －）}，则M∩N 为（ ） A ．（1，＋∞）B ．（1，2）C ．[2，＋∞）D ．[1，＋∞）5．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．240B ．264C ．274D ．2826．偶函数()f x 关于点()1,0对称，当10x -≤≤时，()21f x x =-+，求()2020f =（ ） A ．2B ．0C ．1-D ．17．M 是抛物线24y x =上一点，N 是圆()()22121x y -+-=关于直线10x y --=的对称圆上的一点，则MN 最小值是（ ） A ．1112- B 31 C ．221D ．328．已知集合{}1,3,A m =，{}1,B m =，若A B A ⋃=，则m =（ ） A ．0或3B ．0或3C ．1或3D ．1或39．复数满足48i z z +=+，则复数z 在复平面内所对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．已知ABC 的垂心为H ，且6,8,AB BC M ==是AC 的中点，则HM AC ⋅=（ ） A ．14B ．12C ．10D ．811．已知复数z 满足：34zi i =+（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．43i +B ．43i -C ．43i -+D ．43i --12．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值是( )A ．4B ．2C ．2-D ．4-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高三数学(理)期中试题及答案
高三上学期期中考试理科数学试卷考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分：满分150分：考试时间120分钟．（1）答题前：考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚：（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂： 非选择题必须使用毫米黑色的签字笔书写： 字迹清楚： （3）请在各题目的答题区域内作答：超出答题区域书写的答案无效：在草稿纸上答题无效： （4）保持卡面清洁：不得折叠、不要弄破、弄皱：不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题：每小题5分：共60分．在每小题给出的四个选项中：只有一个是符合题目要求的1．若复数z 满足)1(21i z i +-=⋅：则z 的共轭复数的虚部是（ ） .A i 21- .B i 21 .C 21- .D 212．已知全集为R ：集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-+=021|x x x M ：{}1)2(ln |1<=-x x N ：则集合=)(N C M R （ ） .A []1,1- .B [)1,1- .C []2,1 .D [)2,13．若幂函数222)33(--⋅+-=m mx m m y 的图象不过原点：则m 的取值是（ ）.A 21≤≤-m .B 21==m m 或 .C 2=m .D 1=m4．设R y x ∈,：则"22"≥≥y x 且是"4"22≥+y x 的（ ）.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充要条件 .D 既不充分又不必要条件 5．已知向量)2,1(=a ：)1,3(21=-b a ：)3,(x c =：若()c b a //2+：则=x （ ）.A 2- .B 4- .C 3- .D 1-6．已知数列{}n a 满足)(log log 1*133N n a a n n ∈=++：9642=++a a a ：则=++)(log 97531a a a （ ）.A 51- .B 51 .C 5- .D 57．已知),(y x P 为区域⎩⎨⎧≤≤≤-a x x y 0022内的任意一点：当该区域的面积为4时：y x z -=2的最大值是（ ）.A 6 .B 0 .C 2 .D 228．设⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πα：⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πβ：ββαcos sin 1tan +=：则（ ） .A 23πβα=- .B 22πβα=- .C 23πβα=+ .D 22πβα=+9．数列{}n a 满足11=a ：对任意的*N n ∈都有n a a a n n ++=+11：则=+++201621111a a a ( ) .A 20152016 .B 40322017 .C 40342017 .D 2016201710．一个四棱锥的三视图如图所示：则这个四棱锥的表面积是（ ）.A 25329++ .B 2329+.C 2529+ .D 2511+ 11．在直三棱柱111C B A ABC -中：若AC BC ⊥：3π=∠A ：4=AC ：41=AA ：M 为1AA 的中点：P 为BM的中点：Q 在线段1CA 上：QC Q A 31=.则异面直线PQ 与AC 所成角的正弦值为（ ）.A 3913 .B 21313 .C 23913.D 131312．对于任意实数b a ,：定义{},min ,,a a ba b b b a≤⎧=⎨<⎩：定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()4(x f x f =+：且当20≤≤x 时：{}x x f x --=2,12m in )(：若方程0)(=-mx x f 恰有两个根：则m 的取值范围是（ ）.A {}⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛---2ln ,3131,2ln 1,1 .B ⎥⎦⎤ ⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡--1,3131,1.C {}⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛---2ln ,2121,2ln 1,1 .D ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,3131,21第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题：每小题5分：共20分．将答案写在答题卡上相应的位置 13．32 0|1|_______x dx -=⎰14．在ABC ∆中：角C B A ,,的对边分别为c b a ,,：若22241c b a +=：则=c Ba cos _______________ 15．已知R y x ∈,：满足64222=++y xy x ：则224y x z +=的取值范围________16．已知三棱柱111C B A ABC -的侧棱垂直于底面：各顶点都在同一球面上：若该棱柱的体积为3：2AB =：60,1=∠=BAC AC ：则此球的表面积等于_______________.三、解答题：本大题共6小题：共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17.（本小题满分10分）极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点：极轴为x 轴的正半轴：两种坐标系中的长度单位相同：已知曲线C 的极坐标方程为)sin (cos 2θθρ+=. （1）求C 的直角坐标方程：A（2）直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==t y t x l 23121:（t 为参数）与曲线C 交于B A ,两点：与y 轴交于E ：求EB EA +． 18.（本小题满分12分）在△ABC 中：,,A B C 所对的边分别为,,a b c ：sin sin tan cos cos A BC A B+=+：sin()cos B A C -=．（1）求,A C ：（2）若3ABC S ∆=：求,a c ． 19.（本小题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足：)1(2-=n n a S ：数列}{n b 满足：对任意*∈N n 有22)1(12211+⋅-=++++n n n n b a b a b a（1）求数列}{n a 与数列}{n b 的通项公式： （2）记nnn a b c =：数列}{n c 的前n 项和为n T ：证明：当6≥n 时： 12<-n T n 20.（本小题满分12分）如图：PCBM 是直角梯形：90PCB ∠=︒：//PM BC ：1,2PM BC ==： 又1,AC =120ACB ∠=︒：AB PC ⊥：直线AM 与直线PC 所成的角为60︒ （1）求证：平面PAC ⊥平面ABC ： （2）求三棱锥P MAC -的体积．21.（本小题满分12分）已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前五项和520S =：且137,,a a a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式： （2）设n T 为数列11{}n n a a +的前n 项和：若存在*n N ∈：使得10n n T a λ+-≥成立． 求实数λ的取值范围．22.（本小题满分12分）已知函数1()(2)ln 2 f x a x ax x=-++． (Ⅰ)当2a =时：求函数()f x 的极值： (Ⅱ)当0<a 时：讨论)(x f 的单调性：(Ⅲ)若对任意的[]12(3,2),,1,3a x x ∈--∈恒有12(ln3)2ln3()()m a f x f x +->-成立：求实数m 的取值范围．高三理科数学期中考试答案选择：1-5 CDBAD ：6-10 CABBA ： 11-12 CA 填空：π8],12,4[,85,322 解答题：17（1）由()2cos sin ρθθ=+得()22cos sin ρρθθ=+：得直角坐标方程为2222x y x y +=+：即()()22112x y -+-=：（2）将的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程：化简得210t t --=：点E 对应的参数0t =：设点A ：B 对应的参数分别为12,t t ：则121t t +=：121t t =- ：所以1212||||||||||EA EB t t t t +=+=-==18.（1）因为sin sin tan cos cos A B C A B +=+：即sin sin sin cos cos cos C A BC A B+=+： 所以sin cos sin cos cos sin cos sin C A C B C A C B +=+： 即sin cos cos sin cos sin sin cos C A C A C B C B -=-：得sin()sin()C A B C -=-．所以C A B C -=-：或()C A B C π-=--（不成立）． 即 2C A B =+： 得3C π=：所以．23B A π+=． 又因为1sin()cos 2B A C -==：则6B A π-=：或56B A π-=：（舍去） 得5,412A B ππ==． （2）1sin 32ABC S ac B ∆===+sin sin a cA C =： 即22=：得a c ==19.（1）当1n =时：1112(1)S a a ==-：所以12a =： 当1n >时：112()n n n n n a S S a a --=-=-：,21-=n n a a 又122224a a =⨯==成立所以数列{}n a 是以12a =：公比2q =的等比数列：通项公式为2()n n a n N *=∈.由题意有11a b =2(11)222-⋅+=：得11b =.当2n ≥时：n n a b =1122()n n a b a b a b +++112211()n n a b a b a b ---+++1(1)22n n -⎡⎤=-⋅+-⎣⎦(2)22nn ⎡⎤-⋅+=⎣⎦2n n ⋅：验证首项满足：于是得n b n =故数列{}n b 的通项公式为n b n =()n N *∈．（2） 证明：n T =1212n n b b b a a a +++=212222n n +++：所以12n T =23112222n n++++： 错位相减得12n T =231111122222n n n +++++-：所以2n T =-22n n +：即2n T -=22n n +： 下证：当6n ≥时：(2)12n n n +<：令()f n =(2)2n n n +：(1)()f n f n +-=1(1)(3)(2)22n nn n n n ++++-=2132n n +-当2n ≥时：(1)()0f n f n +-<：即当2n ≥时：()f n 单调减：又(6)1f <： 所以当6n ≥时：()1f n <：即(2)12nn n +<：即当6n ≥时：21n n T -< 20.(1)ABC PC B BC AB AB PC BCPC 面⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊥⊥：PAC PC 面⊂⇒ABC ABC 面面⊥(2)12323112131=⋅⋅⋅⋅==--PMC A MAC P V V 21.（1）设{}n a 的公差为d ：由已知得12111545202(2)(6)a d a d a a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=+⎩ 即121242a d d a d+=⎧⎪⎨=⎪⎩：110,2d d a =⎧≠∴⎨=⎩：故*1()n a n n N =+∈ （2）11111(1)(2)12n n a a n n n n +==-++++111111233412n T n n ∴=-+-++-++ 11222(2)n n n =-=++∵存在*n N ∈：使得10n n T a λ+-≥成立 ∴存在*n N ∈：使得(2)02(2)n n n λ-+≥+成立：即22(2)nn λ≤+有解max 2{}2(2)n n λ∴≤+而21142(2)162(4)nn n n=≤+++：2=n 时取等号 116λ∴≤．22.试题解析：(Ⅰ)函数)(x f 的定义域为(0,)+∞．21() 4 f x x '=-+：令21() 4 =0f x x '=-+：得112x =：212x =-（舍去）． 2分当x 变化时：(),()f x f x '的取值情况如下：所以：函数()f x 的极小值为 4分(Ⅱ) 22211)()2 a ax f x a x x x -+'=-+=：令()0f x '=：得112x =：21x a=-： 5分当2a =-时：()0f x '≥：函数)(x f 的在定义域(0,)+∞单调递增： 6分 当20a -<<时：在区间1(0,)2：1(,)a-+∞：上()0f x '<：)(x f 单调递减： 在区间11(,)2a-：上()0f x '>：)(x f 单调递增： 7分当2a <-时：在区间1(0,)a -：1(,)2+∞：上()0f x '<：)(x f 单调递减： 在区间11(,)2a -：上()0f x '>：)(x f 单调递增． 8分 (Ⅲ)由(Ⅱ)知当(3,2)a ∈--时：函数)(x f 在区间[]1.3单调递减： 所以：当[]1.3x ∈时：max ()(1)12f x f a ==+：min 1()(3)(2)ln 363f x f a a ==-++问题等价于：对任意的(3,2)a ∈--：恒有1(ln 3)2ln 312(2)ln 363m a a a a +->+----成立： 1即14114,4a am a m a a ->-<=-：432,432-<->am a am ：所以313-≤m 12分。
河北省正定中学高三数学上学期第三次月考(期中)试题 理(扫描版)
高三质检三数学（理科）试题参考答案一、选择题答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 DACCADBABCDB二、填空题答案：13.25-14. [)∞+-，115.3203410x y x y --=-+=或 16.3 三、解答题答案17.【命题意图】本题主要考查正余弦定理解三角形、三角恒等变换，意在考查学生的基本的运算能力、综合分析问题解决问题的能力以及 转化与化归的数学思想．17.【解析】（1）C A B C A sin sin sin sin sin 222-=+,ac b c a -=+∴222 ……………………2分2221cos 222a c b ac B ac ac +-∴==-=- ………………………………………………………………4分(0,)B π∈,23B π∴= ………………………………………………………………………………5分（2）在ABD ∆中,由正弦定理：sin sin AD BDB BAD=∠31sin 12sin 423BD B BAD AD ⋅∴∠=== …………………………………………………………………7分217cos cos212sin 12168BAC BAD BAD ∴∠=∠=-∠=-⋅= …………………………………………9分22715sin 1cos 1()88BAC BAC ∴∠=-∠=-= (10)分18.【命题意图】本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，意在考查学生的审题能力以及数据处理能力. 18．【解析】（1）依题，⎪⎩⎪⎨⎧=----=43)1)(311)(1(124131n m mn ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==4121n m .………………………………………6分 （2）设该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数为随机变量X ，则X 的值可以为0，1，2，3，4，5，6. ………………………………………………………………7分而41433221)0(=⨯⨯==X P ；41433221)1(=⨯⨯==X P ；81433121)2(=⨯⨯==X P ； 245433121413221)3(=⨯⨯+⨯⨯==X P ；121413221)4(=⨯⨯==X P ； 241413121)5(=⨯⨯==X P ；241413121)6(=⨯⨯==X P . …………………………………………10分 （每答对两个，加1分）∴X 的分布列为：X0 1 2 3 4 5 6P4141 81 245 121 241 241于是，2416241512142453812411410)(⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=X E 1223=. …………………………12分19.【命题意图】本题考查立体几何中的向量方法，意在考查数形结合思想，空间想象能力，以及运算求 解能力.………………………………………………………………………………………………………11分19.【解析】(1)由已知得BD AC ⊥，CD AD =,又由CF AE =得CDCFAD AE =，故AC ∥EF ，因此HD EF ⊥，从而EF ⊥H D '.由65==AC AB ，得==BO DO 422=-AO AB .…………2分由AC ∥EF 得41==AD AE DO OH .所以1=OH ,3'==DH H D .…………………………………3分于是2'2222'1013O D OH H D ==+=+,故OH H D ⊥'.又EF H D ⊥',而H EF OH = , 所以D H '⊥平面ABCD . ……………………………………………………………………………4分(2)如图，以H 为坐标原点，HF 的方向为x 轴的正方向，建立空间直角坐标系H xyz -，则ABC DD'E H Oz xyF()0,0,0H ，()0,1,3--A ，()0,6,0-B ，()3,1,0C -，()0,0,3D '，(3,4,0)AB =-，()6,0,0AC =，()3,1,3AD '=.………………………………………………………………………………………6分设()111,,m x y z =是平面ABD '的法向量，则0m AB m AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩，即11111340330x y x y z -=⎧⎨++=⎩，可取()4,3,5m =- (8)分设()222,,n x y z =是平面'ACD 的法向量，则0n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩，即222260330x x y z =⎧⎨++=⎩，可取()0,3,1n =-………………………………………10分于是2557105014cos -=⨯-=⋅>=<n m n m n m,， (11)分设二面角的大小为θ，295sin 25θ=.因此二面角B D A C '--的正弦值是29525.……………12分20.【命题意图】本题考查等差数列、等比数列的通项公式及其前项和，，以及数列单调性的判定等基础知识，意在考查学生的分析问题解决问题的能力、以及运算求解能力．20.【解析】（1）当1n =时，111(1)S t S a =-+，得1a t =．……………………………………………1分当2n ≥时，由(1)n n n S t S a =-+，即(1)n n t S ta t -=-+，①∴11(1)n n t S ta t ---=-+，②①-②，得1(1)n n n t a ta ta --=-+，即1n n a ta -=，数列{}n a 的各项均不为零∴1nn a t a -=（2n ≥）， ∴{}n a 是等比数列，且公比是t ，∴n n a t =． ………………………………………………3分0t ≠，1t ≠∴2(1)()1n n n n t t b t t t -=+⋅-，即212121n n n n t t t b t +++-=-，……………………………4分若数列{}n b 为等比数列，则有2213b b b =⋅，而212b t =，32(21)b t t =+，423(21)b t t t =++， 故23242(21)(2)(21)t t t t t t ⎡⎤+=⋅++⎣⎦，解得12t =， ………………………………………………5分 再将12t =代入n b ，得1()2n b =，由112n n b b +=，知{}n b 为等比数列，∴12t =．……………………6分（2）由12t =，知1()2n n a =，∴14()12n n c =+，……………………………………………………7分∴11(1)224112n n T -=⨯-442n n n +=+-，………………………………………………………………9分由不等式12274nkn n T ≥-+-恒成立，得2732nn k -≥恒成立， 设272n n n d -=，由1n nd d +-11252729222n n n n n n ++---+=-=，………………………………………10分∴当4n ≤时，1n n d d +>，当4n ≥时，1n n d d +<，而4116d =，5332d =，∴45d d <， ∴3332k ≥，∴132k ≥．………………………………………………………………………………12分21.【命题意图】本题考查椭圆的方程，直线和椭圆的位置关系,椭圆的简单几何性质等基础知识， 意在考查数形结合思想，转化与化归思想，综合分析问题、解决问题的能力，以及运算求解能力.21.【解析】（1）：设(,0)F c ，由FAeOA OF 311=+，即113()c c a a a c +=-，可得2223a c c -=，又 2223a c b -==，所以21c =，因此24a =，所以椭圆的方程为22143x y +=.………………4分(2)设直线l 的斜率为k （0≠k ），则直线l 的方程为)2(-=x k y .设),(B B y x B ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+)2(13422x k y y x ，消去y ，整理得0121616)34(2222=-+-+k x k x k . 解得2=x ，或346822+-=k k x ，………………………………………………………………………6分由题意得346822+-=k k x B ，从而34122+-=k k y B .由（1）知)0,1(F ，设),0(H y H ， 有),1(H y FH -=，)3412,3449(222++-=k kk k BF (8)分由HF BF ⊥，得0=⋅HF BF ，所以-034123449222=+++-k ky k k H ，解得kk y H 12492-=.……………9分因此直线MH 的方程为kk x k y 124912-+-=.设),(M M y x M ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=)2(124912x k y k k x k y 消去y ，解得)1(1292022++=k k x M .……………………………………10分在MAO ∆中，||||MO MA MAO MOA ≤⇔∠≤∠，即2222)2(M M M M y x y x +≤+-，化简得1≥M x ，即1)1(1292022≥++k k ，解得46-≤k 或46≥k .……………………………………………………11分所以直线的斜率的取值范围为),46[]46,(+∞--∞ .…………………………………………12分22.【命题意图】本题主要考查导数与函数的最值，利用导数证明不等式、不等式恒成立等基础知识，意在考查学生转化与化归能力、综合分析问题和解决问题的能力以及运算求解能力．22.【解析】（1）证明：2()cos 12x f x x =+-)0(≥x ，则x x x f sin )('-=，……………………1分设()sin x x x ϕ=-，则'()1cos x x ϕ=-， ………………………………………………………2分当0≥x 时，'()1cos 0x x ϕ=-≥，即x x x f sin )('-=为增函数，所以0)0(')('=≥f x f ， ∴)(x f 在()+∞,0时为增函数，所以0)0()(=≥f x f ．…………………………………………4分（2）解法一：由（1）知0≥x 时，x x ≤sin ，12cos 2+-≥x x ，所以2cos sin 122+-≥++x x x x ， 设2()12xx G x e x =---，则'()1x G x e x =--， (5)分设()1x g x e x =--，则'()1x g x e =-，……………………………………………………………6分当0≥x 时'()10xg x e =-≥，所以()1xg x e x =--为增函数，所以()(0)0g x g ≥=，所以()G x 为增函数，所以()(0)0G x G ≥=，…………………………7分所以2cos sin +-≥x x e x 对任意的0≥x 恒成立.…………………………………………………8分又0≥x ，1≥a 时，x ax e e ≥，所以1≥a 时2cos sin +-≥x x e ax 对任意的0≥x 恒成立.……10分当1<a 时，设2cos sin )(-+-=x x e x h ax，则x x ae x h ax sin cos )('--=，…………………11分01)0('<-=a h ，所以存在实数00>x ，使得任意),0(0x x ∈，均有0)('<x h ，所以)(x h 在),0(0x为减函数，所以在),0(0x x ∈时0)0()(=<h x h ，所以1<a 时不符合题意.综上，实数a 的取值范围为),1[+∞.……………………………………………………………………12分（2）解法二：因为sin cos ax e x x ≥-+2等价于ln(sin cos )ax x x ≥-+2 ………………………6分设()ln(sin cos )g x ax x x =--+2，则sin cos ()sin cos x xg x a x x +'=--+2 (7)分 可求sin cos [,]sin cos x xx x +∈--+112， ………………………………………………………………9分所以当a ≥1时，()g x '≥0恒成立，()g x 在[,)+∞0是增函数，所以()()g x g ≥=00，即ln(sin cos )ax x x ≥-+2，即sin cos ax e x x ≥-+2所以a ≥1时，sin cos ax e x x ≥-+2对任意x ≥0恒成立．………………………………………10分当a <1时，一定存在x >00，满足在(,)x 00时，()g x '<0， 所以()g x 在(,)x 00是减函数，此时一定有()()g x g <=00， 即ln(sin cos )ax x x <-+2，即sin cos axe x x <-+2，不符合题意，故a <1不能满足题意，综上所述，a ≥1时，sin cos axe x x ≥-+2对任意x ≥0恒成立． (12)分选择题解析： 1.【解析】i iiz 2113+=-+=，i z 21-=∴.z 在复平面内的对应点位于第四象限.故选D. 2.【解析】2{|20}{|21}P y y y y y y =-->=><-或，若P Q R =，(2,3]P Q =，由P Q R =，(2,3]P Q =，所以13{|}Q x x =-≤≤，∴13-，是方程20x ax b ++=的两根，由根与系数关系得1335a b a b -=-+=-∴+=-，．3.【解析】命题的否定，是条件不变，结论否定，同时存量词与全称量词要互换，因此命题“*n N ∀∈， x R ∃∈，使得2n x <”的否定是“*n N ∃∈，x R ∀∈，使得2n x ≥”．故选C ． 4.【解析】由已知可得2206=+a a ，又{}n a 是等差数列，所以206251a a a a +=+，∴数列的前25项和25225)(25125=⨯+=a a S ，所以数列的前25项和为25.故选C.5.【解析】(,)4P t π在sin(2)3y x π=-图象上，21342sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=∴ππt ，∴⎪⎭⎫ ⎝⎛21,4πP ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴21,4's P π，又'P 位于函数sin 2y x =的图象上，⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-∴s 42sin π212cos 22sin ==⎪⎭⎫ ⎝⎛-=s s π，322ππ+=∴k s 或32ππ-k ()Z k ∈，0>s ，6min π=∴s .故选A.6.【解析】()()221221sin 3sin 2121x x xf x x x +-=++=-+++，()()2223sin 3sin 2112xx xf x x x --=-+-=--++，且()()4f x f x +-=，所以()f x 是以点()0,2为对称中心，所以其最大值与最小值的和4m n +=.故选D.7.【解析】由()(2)f x f x =-知函数()f x 的图象关于直线1x =对称，当)1,(-∞∈x 时，0)()1(<'-x f x ，则'()0f x >，所以在1x <时，()f x 递增，(3)(23)(1)f f f =-=-，又11012-<<<，所以 1(1)(0)()2f f f -<<，即c a b <<．故选B ．8.【解析】以C 为坐标原点，CA 边所在直线为x 轴，建立直角坐标系，则()0,1A ，()10，B ，设()y x P ,， 则⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥≥0100y x y x 且⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21,1AN ，⎪⎭⎫ ⎝⎛--=21,21y x MP ,4121++-=⋅y x MP AN ，令4121++-=y x t ，结合线性规划知识，则2122-+=t x y ，当直线4121++-=y x t 经过点()0,1A 时，MP AN ⋅有最小值，将()0,1A 代入得43-=t ，当直线4121++-=y x t 经过点()10，B 时，MP AN ⋅有最大值，将()10，B 代入得43=t ，故答案为A ． 9.【解析】由已知得211cos 21()cos 2log 222x f x x x +=+--2cos2log x x =-，令()0f x =，即2cos2log x x =，在同一坐标系中画出函数cos 2y x =和2log y x =的图象，如图所示，两函数图象有两个不同的交点，故函数()f x 的零点个数为2，故选B ．x–1–2–3–41234–1–2–3–41234OO ABSS'DCO 1（第9题图） （第10题图）10.【解析】由三视图可知，该几何体为如图所示的四棱锥ABCD S -，设x BO =1，则()2212x x =+-，解得45=x ，∴该多面体的外接球半径=+==2121B O OO OB R 164116251=+，所以其表面积为44142ππ==R S ，故选C. 11.【解析】因为3BD DC =BD BC 34=⇒，所以BD B E BC B E C E n n n 34+=+=D E B E n n 3431+-=，设n n mE C E A =，D E m B E m A E n n n 3431+-=∴，又因为11(32)4n n n n n E A a E B a E D +=-+， ()⎪⎩⎪⎨⎧⇒=+--=∴+ma m a n n 342331411231+=+n n a a ， ∴以113(1)n n a a ++=+，又112a +=，所以数列{}1n a +表示首项为2，公比为3的等比数列，所以1123n n a -+=⋅，∴1615=a ,故选D ．12.【解析】对于①，若令(1,1)P ，则其“伴随点”为11(,)22P '-，而11(,)22P '-的“伴随点”为(1,1)--，而不是P ，故①错误；对于②，设曲线(,)0f x y =关于x 轴对称，则(,)0f x y -=与方程(,)0f x y =表示同一曲线，其“伴随曲线”分别为2222(,)0y xf x y x y-=++与2222(,)0y x f x y x y --=++也表示同一曲线，又曲线2222(,)0y xf x y x y -=++与曲线2222(,)0y xf x y x y --=++的图象关于y 轴对称，所以②正确；③设单位圆上任一点的坐标为(cos ,sin )P x x ，其“伴随点”为(sin ,cos )P x x '-仍在单位圆上，故③正确；对于④,直线b kx y +=上任一点),(y x P 的“伴随点”为'2222(,)y xP x y x y-++，∴'P 的轨迹是圆，故④错误，所以正确的为序号为②③．故选B. 填空题解析：13.【解析】5191()(),()()2222f f f f -=-=，∴59()()22f f -=111123()()222255f f a a ⇒-=⇒-+=-⇒=∴32(5)(3)(1)(1)155f a f f f ===-=-+=-14.【解析】设阴影部分的面积为S ,则dx x x S )(012-=⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3233132x x 313132|10=-=，又正方形面积为1，31=∴a ，∴()⎪⎩⎪⎨⎧<≥=)31(31()31(log 3x x x x f x ）)(x f ∴的值域为[)∞+-，115.【解析】 x x x f 2cos 22sin 23)(+-=',123)4(=-='πf ,则1=a ，点P 的坐标为)1,1(，若P 为切点，23x y ='，曲线3y x =在点P 处切线的斜率为3，切线方程为)1(31-=-x y ，即023=--y x ；若P 不为切点，曲线3y x =的切线的切点为),(n m ，曲线3y x =的切线的斜率 23m k =，则2311m m n =--，又3m n =，则21-=m ，81-=n ，得出切线方程)21(4381+=+x y ， 即0143=+-y x .∴过曲线3y x =上一点(),P a b 的切线方程为3203410x y x y --=-+=或.16.【解析】设()()()1111,,,,,y C x y A x y B x --，显然12,x x x x ≠≠．∵点,A C 在双曲线上，∴221122222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得22212221y y b x x a -=-， ∴22211212BC 222111=AC y y y y y y b k k k k x x x x x x a -+-===-+- . 由()1212121222ln ln ln y k k k k k k k k =++=+， 设12t k k =， 则2ln y t t =+，∴求导得221y t t '=-+，由220t y t-'==得2t =． ∴2ln y t t =+在()2,0单调递减，在()+∞,2单调递增，∴2t =时即122k k =时2ln y t t=+取最小值，∴222b a =，∴2213b e a=+=．。
甘肃省兰州第一中学2022-2023学年高三上学期期中考试数学(理)试题含答案
兰州一中2022-2023-1学期期中考试试题高三数学（理）说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟. 答案写在答题卷(卡)上，交卷时只交答题卷(卡).第Ⅰ卷(选择题)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知集合{3,1,0,2,4}U =--，{1,0}A =-，{0,2}B =，则()U A B ⋃=( ) A ．{3,1}- B ．{3,4}- C ．{3,1,2,4}--D ．{1,0,2}-2．已知a R ∈，()13ai i i +=+，(i 为虚数单位)，则=a ( ) A ．1-B ．1C ．3-D ．33．已知()f x 是R 上的偶函数，()g x 是R 上的奇函数，它们的部分图像如图，则()()⋅f x g x 的图像大致是( )A ．B ．C ．D ．4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且918S =，71a =，则1a =( ) A ．4B ．2C ．12-D ．1-5．已知x 、y 都是实数，那么“x y >”的充分必要条件是( )．A ．lg lg x y >B ．22x y >C ．11x y> D ．22x y >6．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一个原理“幂势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．现有某几何体和一个圆锥满足祖暅原理的条件，若该圆锥的侧面展开图是半径为2的一个半圆，则该几何体的体积为( ) A 3π B 3πC 3πD 3π 7．设x ，y 满足约束条件23250y x x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩，则z x y =-+的最小值为( )A ．2B ．1-C ．2-D ．3-8．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()x f x e x =+，则32(2)a f =-，2(log 9)b f =，(5)c f =的大小关系为( )A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．b a c >>9．设函数()f x 定义域为R ，()1f x -为奇函数，()1f x +为偶函数，当()1,1x ∈-时，()21f x x =-+，则下列结论错误的是( )A ．7324f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B ．()7f x +为奇函数C ．()f x 在()6,8上为减函数D ．()f x 的一个周期为810．已知函数222,2,()366,2,x ax x f x x a x x ⎧--≤⎪=⎨+->⎪⎩若()f x 的最小值为(2)f ，则实数a的取值范围为( ) A ．[2,5]B ．[2,)+∞C ．[2,6]D ．(,5]-∞11．已知双曲线2221x y a-=（0a >）的左､右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 作一条渐近线的垂线，垂足为P 若12PF F △的面积为22率为( ) A 23B 32C ．3D 1412．已知函数3()5()R f x x x x =+∈，若不等式()22(4)0f m mt f t ++<对任意实数2t ≥恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(2,2-- B ．4,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ C ．((),22,-∞+∞D ．(,2-∞第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．有甲、乙、丙三项任务，甲、乙各需1人承担，丙需2人承担且至少1人是男生，现有2男2女共4名学生承担这三项任务，不同的安排方法种数是______．（用数字作答）14．已知()1,2a =，()1,1b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为______．15．已知()f x 是R 上的奇函数，()g x 是在R 上无零点的偶函数，()20f =，当0x >时，()()()()0f x g x f x g x ''-<，则使得()()lg 0lg f x g x <的解集是________16．已知0x >，0y >，且24x y +=，则112x y y ++最小值为________. 三、解答题(本大题共6小题，共70分)（一）必考题：共五小题，每题12分，共60分。
2021-2022年高三上学期期中考试数学(理)试题 含答案(III)
2021-2022年高三上学期期中考试数学（理）试题 含答案(III)（考试时间：120分钟 满分：150分 ）一、填空题（56分）1. 若全集，集合{|1}{|0}A x x x x =≥≤，则 .答: 2．方程 的解是 ．3．函数sin cos ()sin cos 44xxf x x x ππ-=⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期 . 4. 满足的锐角的集合为 . 5. 函数的反函数是 .6. 满足不等式的实数的集合为 . 7．在的二项展开式中，常数项等于 . 8. 函数的单调递增区间为 .班级 姓名 班级学号 考试学号9．设等比数列的公比,且()135218lim ,3n n a a a a -→∞++++=则 . 210. 若()22,[1,)x x af x x x++=∈+∞的函数值总为正实数，则实数的取值范围为 .11.函数的值域为 .12.随机抽取9个同学中，至少有2个同学在同一月出生的概率是 （默认每月天数相同，结果精确到）. 答: 13.函数sin cos 237,,sin cos 244x x y x x x ππ-+⎡⎤=∈⎢⎥++⎣⎦的最小值为 .14． 设若时均有()()21110a x x ax ----≥⎡⎤⎣⎦，则_______．二、选择题（20分）15. 要得到函数的图像，须把的图像（ ）向左平移个单位 向右平移个单位 向左平移个单位 向右平移个单位16. 若函数为上的奇函数，且当时，则当时，有（ ）17. 对于任意实数，要使函数*215cos()()36k y x k N ππ+=-∈在区间上的值出现的次数不小于次，又不多于次，则可以取……………………………（ B ）A. B. C. D.18．对任意两个非零的平面向量，定义,且和都在集合中.若平面向量满足，与的夹角，则（）A． B． C． D．三、解答题19．（满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，是的中点，已知，，，求：（1）三角形的面积；（6分）（2）异面直线与所成的角的大小.（6分）[解]（1）因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，又AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD，从而CD⊥PD. ……3分因为PD=，CD=2，所以三角形PCD的面积为. ……6分（2）[解法一]如图所示，建立空间直角坐标系，则B(2, 0, 0)，C(2, 2,0)，E(1, , 1)，xy ABCDPE，. ……8分 设与的夹角为，则222224||||cos ===⨯⋅BC AE BC AE θ，=.由此可知，异面直线BC 与AE 所成的角的大小是 ……12分 [解法二]取PB 中点F ，连接EF 、AF ，则 EF ∥BC ，从而∠AEF （或其补角）是异面直线BC 与AE 所成的角 ……8分在中，由EF =、AF =、AE =2知是等腰直角三角形， 所以∠AEF =.因此异面直线BC 与AE 所成的角的大小是 ……12分20. (满分14分)如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？ 解法一：如图，连结，………2分 由已知，北乙 甲ABCDPEF122060A A ==，……4分 ，又12218012060A A B =-=∠， 是等边三角形，………6分 ， 由已知，，1121056045B A B =-=∠，………8分在中，由余弦定理，22212111212122cos 45B B A B A B A B A B =+-22202202=+-⨯⨯ ．．………12分因此，乙船的速度的大小为（海里/小时）． 答：乙船每小时航行海里． ………14分解法二：如图，连结，………2分由已知，122060A A ==，………4分 ，乙cos 45cos60sin 45sin 60=-，sin 45cos60cos 45sin 60=+．………6分在中，由余弦定理：22221221211122cos105A B A B A A A B A A =+-2220220=+-⨯．． ………8分由正弦定理：11121112222(13)2sin sin 10(13)A B A A B B A A A B +===+∠∠， ，即121604515B A B =-=∠， ………10分2(1cos15sin105+==．在中，由已知，由余弦定理，22212112221222cos15B B A B AB A B A B=++22210(1210(14+=+-⨯+⨯．，………12分乙甲乙船的速度的大小为海里/小时．………14分 答：乙船每小时航行海里．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分）在平面直角坐标系O 中，直线与抛物线＝2相交于A 、B 两点． （1）求证：“如果直线过点T （3，0），那么”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．[解]（1）设过点T(3,0)的直线交抛物线y 2=2x 于点A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2). 当直线的钭率不存在时,直线的方程为x=3, 此时,直线与抛物线相交于点A(3,)、B(3,－). ∴=3； ……… 2分当直线的钭率存在时,设直线的方程为，其中， 由得 2122606ky y k y y --=⇒=-………6分又 ∵ ，∴2121212121()34OA OB x x y y y y y y =+=+=，………8分综上所述，命题“如果直线过点T(3,0)，那么=3”是真命题；(2)逆命题是：设直线交抛物线y 2=2x 于A 、B 两点,如果=3,那么该直线过点T(3,0). ………10分该命题是假命题. ………12分 例如：取抛物线上的点A(2,2)，B(,1)，此时=3,直线AB 的方程为：，而T(3,0)不在直线AB 上；……… 14分说明：由抛物线y 2=2x 上的点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2) 满足=3，可得y 1y 2=－6，或y 1y 2=2，如果y 1y 2=－6，可证得直线AB 过点(3,0)；如果y 1y 2=2，可证得直线AB 过点(－1,0),而不过点(3,0).22. （本题满分16分）第1小题满分4分，第2小题满分12分设函数2()|2|(,f x x x a x R a =+-∈为实数).(1)若为偶函数，求实数的值； (2)设，求函数的最小值. 解：(1)由已知 ………2分|2||2|,0x a x a a -=+=即解得.……… 4分(2)2212,2()12,2x x a x af x x x a x a ⎧+-≥⎪⎪=⎨⎪-+<⎪⎩， ………6分当时，22()2(1)(1)f x x x a x a =+-=+-+， 由得，从而，故在时单调递增，的最小值为；………10分 当时，22()2(1)(1)f x x x a x a =-+=-+-， 故当时，单调递增，当时，单调递减，则的最小值为；………14分由22(2)(1)044a a a ---=>，知的最小值为. ……… 16分23. (本题满分18分，第1小题5分，第2小题6分，第3小题7分) 已知函数的定义域是且,,当时,. (1)求证:是奇函数; (2)求在区间)上的解析式;(3)是否存在正整数，使得当x ∈时,不等式有解?证明你的结论.23. （本题满分18分，第1小题5分，第2小题6分，第3小题7分） (1) 由得1(2)()(1)f x f x f x +=-=+, ----------------------3分由得, ----------------------4分故是奇函数.----------------------5分(2)当x ∈时,，. ----------------------7分 而)(1)(1)1(x f x f x f =--=-，. ----------------------9分当x ∈Z)时,，， ----------------------11分 （3）因此123)2()(--=-=k x k x f x f . 不等式 即为，即. ----------------------13分 令，对称轴为，因此函数在上单调递增. ----------------------15分因为1)21)(212(1)212)(1()212()212(2+-+=+++-+=+k k k k k k g ，又为正整数，所以，因此在上恒成立，----------------------17分 因此不存在正整数使不等式有解.----------------------18分精品文档34899 8853 術H40619 9EAB 麫Z26500 6784 构39895 9BD7 鯗"F39280 9970 饰L32305 7E31 縱36154 8D3A 贺实用文档。
高三数学(理)期中试卷及答案
第一学期期中考试高三数学试题（理科）本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分；满分150分．考试时间120分钟．考试结束后；将本试卷和答题卡一并收回． 注意事项：1．答第I 卷前；考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后；用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动；用橡皮擦干净后；再选涂其它答案；不能答在试卷上．第I 卷(选择题 共75分)一、选择题（本大题共15 小题；每小题5 分；共75 分． ）1. 集合(){}lg 10M x x =-<；集合{}11N x x =-≤≤；则M N ⋂= A. ()0,1B. [)0,1C. []1,1-D. [)1,1-2．设(3,1),(,3)a b x ==-；且a b ⊥；则向量a b -与向量b 夹角为A. 30B. 60C. 120D.150 3.下列各式中错误的是A ． 330.80.7>B ． 0..50..5log 0.4log 0.6>C ． 0.10.10.750.75-<D ． lg1.6lg1.4> 4．若5cos sin 3θθ+=-；则cos(2)2πθ-的值为 A49 B 29 C 29- D 49- 5．函数)(x f 是定义在)2,2(-上的奇函数；当)2,0(∈x 时；,12)(-=xx f 则)31(log 2f 的值为 A ．2- B ．32-C ．7D ．123- 6. 已知命题:p 对于x R ∈恒有222xx-+≥成立；命题:q 奇函数()f x 的图像必过原点；则下列结论正确的是（ ）A ．p q ∧为真B ．()p q ⌝∨为真C ．()q ⌝为假D ． ()p q ∧⌝为真7．函数()xx x f 2log 12-=定义域为A. ()+∞,0B. ()+∞,1C. ()1,0D. ()()+∞,11,0 8.要得到函数的图像；只需将函数的图像A.向左平移12π个单位 B.向右平移12π个单位C.向左平移6π个单位 D.向右平移6π个单位9. 函数的一个零点落在下列哪个区;间A. (0；1)B. (1；2)C. (2；3)D. (3；4) 10．函数2cos )(xxx f π=的图象大致是ABCD11．若圆O 的半径为3；直径AB 上一点D 使3AB AD =；E F 、为另一直径的两个端点；则DE DF ⋅=A.3-B.4-C. 8-D. 6-12．下列四个结论中正确的个数是yO12 3 1- 2- 3- x 121-2-3yO12 3 1- 2- 3- x 121-2-3yO12 3 1- 2- 3- x 1 2 1-2-33- x O12 3 1- 2- 12 1-2-3y(1) 2"20"x x +->是"1"x >的充分不必要条件；(2)命题：",sin 1"x R x ∀∈≤的否定是00",sin 1"x R x ∀∈>；(3)"若4x π=则tan 1"x =的逆命题为真命题；(4)若()f x 是R 上的奇函数；则32(log 2)(log 3)0f f +=A. 0B. 1C. 213.()cos()f x A x ωϕ=+(0,0,0)A ωϕπ>><<为奇函数；该函数的部分图象如图所示；EFG ∆是边长为2的等边三角形；则(1)f 的值为A ．32-B ．62- C ．3 D ．3-14. 在ABC 中；,P Q 分别是,AB BC 的三等分点；且1,3AP AB =1,3BQ BC =若,AB a AC b ==；则PQ = A. 1133a b - B. 1133a b -+ C. 1133a b + D.1133a b --15. 已知函数)(x f 是定义在R 上的可导函数；)('x f 为其导函数；若对于任意实数x ；都有)()('x f x f >；其中e 为自然对数的底数；则（ ）A )2016()2015(e f f >B )2016()2015(e f f <C )2016()2015(e f f =D )2015(e f 与)2016(f 大小关系不确定二、填空题（本大题共5小题；每小题5分；共25分） 16．2{4,21,}A a a =--；B={5,1,9},a a --且{9}AB =；则a 的值是17． 已知sin π 0()(-1)+1 >0x x f x f x x ≤⎧=⎨⎩；则5()6f 的值为18. 若曲线x y ln =的一条切线与直线y x =-垂直；则该切线方程为 19．已知||||||2a b a b ==-=；则|32|a b -= . 20. 计算定积分121(sin )x x dx -+=⎰___________三、解答题（本大题共4小题；共50分；解答应写出文字说明；证明过程或推演步骤） 21..（本题满分12分）已知向量()()2sin ,cos m x x π=--；3cos ,2sin()2n x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；函数()1f x m n =-⋅．（1）求函数()f x 的解析式；（2）当[]0,x π∈时；求()f x 的单调递增区间；22.（本题满分12分）已知函数()f x xlnx =； （1）求()f x 的最小值；（2）若对所有1x ≥都有()1f x ax ≥-；求实数a 的取值范围.23．（本题满分12分）已知函数()22sin sin 6f x x x πωω⎛⎫=--⎪⎝⎭（,x R ω∈为常数且112ω<<）；函数()f x 的图象关于直线x π=对称. （I ）求函数()f x 的最小正周期；（II ）在ABC ∆中；角A ；B ；C 的对边分别为,,a b c ；若311,54a f A ⎛⎫== ⎪⎝⎭；求ABC ∆面积的最大值.24.（本题满分14分）已知函数)0(21ln )2()(≤++-=a ax xx a x f ． （Ⅰ）当0=a 时；求)(x f 的极值； （Ⅱ）当0<a 时；讨论)(x f 的单调性；高三阶段性测试数学（理科）二、选择题（本大题共15 小题；每小题5 分；共75 分． ） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A BCDADDDBBCADCA二、填空题（本大题共5小题；每小题5分；共25分） 16． -3 17.12 18. 10x y --= 19. 723三、解答题（本大题共4小题；共50分；解答应写出文字说明；证明过程或推演步骤）21. 【解】（1）∵(2sin 32cos sin 2m n x x x x ππ⎛⎫⋅=--+-⎪⎝⎭223cos 2cos 32cos 21x x x x x =-+=++∴()1f x m n =-⋅32cos 2x x =-∴()f x =2sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）由222()262k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈；解得()63k x k k Z ππππ-+≤≤+∈；∵取k =0和1且[]0,x π∈；得03x π≤≤和56x ππ≤≤； ∴()f x 的单调递增区间为0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 法二：∵[]0,x π∈；∴112666x πππ-≤-≤；∴由2662x πππ-≤-≤和3112266x πππ≤-≤； 解得03x π≤≤和56x ππ≤≤；∴()f x 的单调递增区间为0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦22.解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞； ()f x 的导数()1ln f x x '=+.令()0f x '>；解得1x e >；令()0f x '<；解得10x e<<. 从而()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减；在1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增. 所以；当1x e =时；()f x 取得最小值11()f e e=-. （2）依题意；得()1f x ax ≥-在[)1,+∞上恒成立；即不等式1ln a x x≤+对于[)1,x ∈+∞恒成立 . 令1()ln g x x x=+； 则21111()1g x x x x x ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭.当1x >时；因为11()10g x x x ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭； 故()g x 是()1,+∞上的增函数； 所以()g x 的最小值是(1)1g =； 所以a 的取值范围是(],1-∞.23.24.【解】（Ⅰ）当0=a 时；xx x f 1ln 2)(+=；定义域为),0(+∞； )(x f 的导函数22'1212)(xx x x x f -=-=．分 当210<<x 时；0)('<x f ；)(x f 在)21,0(上是减函数；当21>x 时；0)('>x f ；)(x f 在),21(+∞上是增函数．分∴当21=x 时；)(x f 取得极小值为2ln 22)21(-=f ；无极大值．（Ⅱ）当0<a 时；ax xx a x f 21ln )2()(++-=的定义域为),0(+∞；)(x f 的导函数为2222')1)(12(1)2(2212)(x ax x x x a ax a x x a x f +-=--+=+--=．由0)('=x f 得0211>=x ；012>-=a x ；aa a x x 22)1(2121+=--=-． （1）当02<<-a 时；)(x f 在)21,0(上是减函数；在)1,21(a -上是增函数；在),1(+∞-a上是减函数；（2）当2-=a 时；)(x f 在),0(+∞上是减函数； （3）当2-<a 时；)(x f 在)1,0(a -上是减函数；在)21,1(a -上是增函数； 在),21(+∞上是减函数． 综上所述；当2-<a 时；)(x f 在),21(),1,0(+∞-a 上是减函数；在)21,1(a -上是增函数； 当2-=a 时；)(x f 在),0(+∞上是减函数； 当02<<-a 时；)(x f 在),1(),21,0(+∞-a 上是减函数；在)1,21(a-上是增函数． （Ⅲ）由（Ⅱ）知；当)2,(--∞∈a 时；)(x f 在]3,1[上是减函数． ∴3ln )2(432)3()1(|)()(|21-+-=-≤-a a f f x f x f ． ∵对于任意的)2,(],3,1[,21--∞∈∈a x x 都有3ln 2)3ln (|)()(|21-+<-a m x f x f ；∴3ln 2)3ln (3ln )2(432-+<-+-a m a a 对任意2-<a 恒成立； ∴am 324+-<对任意2-<a 恒成立．当2-<a 时；4324313-<+-<-a ；∴313-≤m ．∴实数m 的取值范围为]313,(--∞．；。
高三期中数学(理)试题及答案
高三年级期中考试数学试题（理科）第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题；每小题5分；共60分；在每小题给出的四个选项中；只有一项是符合题目要求的. 1.若集合{|0}1xA x x =≤-；2{|2}B x x x =<；则A B = （ ） A.{|01}x x << B.{|01}x x ≤< C.{|01}x x <≤ D.{|01}x x ≤≤ 2.已知复数12312z bi z i =-=-，；若12z z 是实数；则实数b 的值为 （ ） A ．0B ．32-C ．6-D ．6 3.以下判断正确的是 ( )A .函数()y f x =为R 上可导函数；则0()0f x '=是0x 为函数()f x 极值点的充要条件[来源:学§科§网]B .命题“2000,10x R x x ∃∈+-<”的否定是“2,10x R x x ∀∈+->”C.“()2k k Z πϕπ=+∈”是“函数()sin()f x x ωϕ=+是偶函数”的充要条件 D. 命题“在ABC ∆中；若A B >；则sin sin A B >”的逆命题为假命题4.一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示(单位：cm)；则该几何体的体积为 ( )A ．120 cm 3B ．100 cm 3C ．80 cm 3D ．60 cm 35.由曲线21y x =+；直线3y x =-+及坐标轴所围成图形的面积为( )A . 73B .83 C . 103D . 36.设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ；若21-=-m S ；0=m S ；31=+m S ；则=m （ ）A.3B.4C.5D. 6学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今 有垣厚十尺；两鼠对穿；初日各一尺；大鼠日自倍；小鼠日自半；问几何日相逢？”现用程序框图描述；如图所示；则输出的结果n( )A. 4 B . 5 C . 2 D . 3 8.设123log 2,ln 2,5a b c -===；则 ( )A. a b c << B . b c a << C . c a b << D . c b a <<9.已知函数()ln f x x x =-；则()f x 的图象大致为 ( )A B C D10.函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤<的图象向右平移2π个单位后；与函数sin(2)3y x π=+的 图象重合；则ϕ的值为 ( ) A . 56π-B . 56πC . 6π D . 6π-11.椭圆C : 22221(0)+=>>x y a b a b的左、右焦点分别为12,F F ；焦距为2c . 若直线y=()3+x c 与椭圆C 的一个交点M 满足12212MF F MF F ；则该椭圆的离心率等于 （ ）A .22B . 21-C .3D . 31-R 上的函数()f x 满足：222,[0,1)()2,[1,0)x x f x x x ⎧+∈=⎨-∈-⎩且(2)()f x f x +=；25()2x g x x +=+；则方程()()f x g x =在区间[5,1]-上的所有实根之和为 （ ）A. 6- B .7- C. 8- D. 9- 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共4小题；每小题5分；共20分.13.已知向量()()()()1,1,2,2,,==+=++⊥-m n m n m n λλλ若则 .O yxO yx O yx O yx14.已知1sin 23α=；则2cos ()4πα-= . 15.已知0,,a x y 满足约束条件()133x x y y a x ⎧≥⎪+≤⎨⎪≥-⎩若2z x y 的最小值为1；则a .ABC ∆中；内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ；已知cos sin a b C c B ；2b ；则ABC ∆面积的最大值为 .三、解答题：本大题共6小题；共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知函数2()2sin 23sin cos 1f x x x x =-++.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及对称中心； （Ⅱ）若[,]63x ππ∈-；求()f x 的最大值和最小值. 18．（本小题满分12分）如图；在直三棱柱111ABC A B C -中；12,1BC AB AC AA ====；D 是棱1CC 上的一点；P 是AD 的延长线与11A C 的延长线的交点；且1PB ∥平面1BDA ． （Ⅰ）求证：D C CD 1=；（Ⅱ）求二面角11A B D P --的平面角的正弦值．19．（本小题满分12分）随着苹果7手机的上市；很多消费者觉得价格偏高；尤其是一部分大学生可望而不可及；因此“国美在线”推出无抵押分期付款的购买方式；某店对最近100位采用分期付款的购买者进行统计；统计结果如下表所示.付款方式 分1期 分2期 分3期分4期 分5期频数3525a10b已知分3期付款的频率为；并且销售一部苹果7手机；顾客分1期付款；其利润为1000元；分2期或3期付款；其利润为1500元；分4期或5期付款；其利润为2000元；以频率作为概率.BA C DP1A 1B 1C(Ⅰ)求a ；b 的值；并求事件A ：“购买苹果7手机的3位顾客中；至多有1位分4期付款”的概率； （Ⅱ）用X 表示销售一部苹果7手机的利润；求X 的分布列及数学期望EX . 20．（本小题满分12分）已知抛物线C ：22y x =；直线:2l y kx =+交C 于,A B 两点；M 是线段AB 的中点；过点M 作x 轴的垂线交C 于点.N（Ⅰ）证明：抛物线C 在点N 的切线与AB 平行；（Ⅱ）是否存在实数k ；使以AB 为直径的圆M 经过点N ？若存在；求k 的值；若不存在；说明理由.21．(本小题满分12分) 已知函数()2ln ()2a f x x x x x a a R =--+∈． （Ⅰ）当0a =时；求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在其定义域内有两个不同的极值点. （ⅰ）求a 的取值范围；（ⅱ）设两个极值点分别为12,x x ；证明:212x x e ⋅>．请考生在第22、23题中任选一题做答；如果多做；则按所做的第一题记分．做答时；用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中；以原点O 为极点；x 轴的正半轴为极轴；建立极坐标系；曲线1C 的参数方程为22sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）；曲线 2C 的极坐标方程为cos 2sin 40ρθρθ-=．（Ⅰ）求曲线1C 的普通方程和曲线 2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设P 为曲线1C 上一点；Q 为曲线2C 上一点；求PQ 的最小值． 23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()|2|,f x m x m R =--∈；且(2)0f x +≥的解集为[]1,1-． （Ⅰ）求m 的值； （Ⅱ）若,,a b c R +∈；且11123m a b c++=；求证：239a b c ++≥．高三数学试题参考答案（理科）一、选择题（本题共12小题；每小题5分；共60分。
2024届西安中学高三数学(理)上学期期中考试卷附答案解析
2024届西安中学高三数学（理）上学期期中考试卷（时间：120分钟满分：150分）2023.11一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}2340A x x x =--≤，{}220,B x xx x =+>∈Z，则A B ⋂的真子集共有（）A ．15个B ．16个C ．31个D ．32个2．若复数()1i 1iz -=+，则z =（）A ．22B ．1CD ．23．已知非零向量,a b →→满足|2|||a b a b →→→→-=+，且3a b →→⋅=，则向量b →的模长为（）A ．2BCD ．34．“绿色出行，低碳环保”已成为新的时尚．近几年国家相继出台了一系列的环保政策，在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车和最终停止传统汽车销售的时间计划表，为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景．新能源汽车主要指电动力汽车，其能量来源于蓄电池．已知蓄电池的容量C （单位：A h ⋅）、放电时间t （单位：h ）、放电电流I （单位：A ）三者之间满足关系 1.5log 2C It =⋅．假设某款电动汽车的蓄电池容量为3074A h ⋅，正常行驶时放电电源为15A ，那么该汽车能持续行驶的时间大约为（参考数据：1.5log 36103074⨯≈）（）A ．60hB ．45hC ．30hD ．15h 5．函数()()33sin f x x x x=-⋅的部分图象大致为（）A ．B．C ．D ．6．已知()πcos 2cos π2αα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则πtan 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．-3B ．3C ．13-D ．137．若125()3a -=，121log 5b =，3log 7c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c>>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a>>8．已知函数()sin(2)1f x x ϕ=++，||2πϕ⎛⎫< ⎪⎝⎭图象向左平移3π个单位后关于直线0x =对称，则下列说法正确的是（）A ．在区间4,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有一个零点B ．关于,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．在区间5,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．在区间,124ππ⎡⎤⎢⎣⎦上的最大值为29．在△ABC 中，90C ∠=︒，2AC BC =，D 是AC 边的中点，点E 满足13BE BA=，则CE 与BD 的夹角为（）A ．60°B ．75°C ．90°D ．120°10．若曲线()e xxf x =有三条过点()0,a 的切线，则实数a 的取值范围为（）A ．210,e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．240,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．40,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭11．若π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，且1cos 2)(1sin )sin 2cos αβαβ++=（，则下列结论正确的是（）A ．π2αβ+=B ．π22βα+=C ．π22αβ-=D ．π2αβ-=12．已知函数()()()(]ln 1,0,e ln 1,,0xx f x x x ∞∞⎧∈+⎪=⎨⎪-∈-⎩，则下列说法中正确的是（）①函数()f x 有两个极值点；②若关于x 的方程()f x t=恰有1个解，则1t >；③函数()f x 的图象与直线0x y c ++=（c ∈R ）有且仅有一个交点；④若()()()123f x f x f x ==，且123x x x <<，则()()1231x x x -+无最值.A ．①②B ．①③④C ．②③D ．①③二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡上的相应位置.13．若变量x ，y 满足约束条件23603020x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最大值是.14．已知向量(1,1)a x =- ，(,2)b y = ，其中0x >，0y >，若a b ⊥，则12x y +的最小值为．15．已知函数()f x 的定义域为R ,其导函数为()g x ,若函数(22)f x +为偶函数,函数(1)g x -为偶函数,则下列说法正确的序号有.①函数()f x 关于2x =轴对称;②函数()f x 关于(1,0)-中心对称;③若(2)1,(5)1f f -==-,则(26)(16)=3g f +-;④若当12x -≤≤时,1()e 1x f x +=-,则当1417x ≤≤时,17()e1xf x -=-.16．设函数()sin sin (0)3f x x x πωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭，已知()f x 在[]0,π上有且仅有3个极值点，则ω的取值范围是.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知函数()22sin 32cos f x x x=-+.(1)求()f x 的最大值和最小值;(2)设())2cos 1g x xx =-,求()()()h x f x g x =+的对称中心及单调递增区间.18．已知函数2()2x f x e x ax=-+1)若a=1,求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程(2)若()f x 在R 上单调递增,求实数a 的取值范围19．记ABC 的内角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c ，已知()21cos 4bc A a+=.(1)证明：3b c a +=；(2)若2a =，7cos 9A =，角B 的内角平分线与边AC 交于点D ，求BD 的长.20．2022年10月16日至10月22日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京召开，此次大会是在全党全国各族人民迈上全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军的关键时刻召开的一次十分重要的大会.在树人中学团委的组织下，高二年级各班团支部举行了“学习二十大，做有为青年”的知识竞赛活动，经过激烈竞争，高二（1）班（以下简称一班）和高二（3）班（以下简称三班）进入了最后的年级决赛，决赛规定：共进行5轮比赛，每轮比赛每个班可以从A ，B 两个题库中任选1题作答，在前两轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，后三轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，A 题库每题20分，B 题库每题30分，一班能正确回答A 、B 题库每题的概率分别为34、12，三班能正确回答A 、B 题库每题的概率均为23，且每轮答题结果互不影响.(1)若一班前两轮选A 题库，后三轮选B 题库，求其总分不少于100分的概率；(2)若一班和三班在前两轮比赛中均选了B 题库，而且一班两轮得分60分，三班两轮得分30分，一班后三轮换成A 题库，三班后三轮不更换题库，设一班最后的总分为X ，求X 的分布列，并从每班总分的均值来判断，哪个班赢下这场比赛？21．已知函数()()1ln 0f x x a x a x =-->，()21ln g x x x x=--.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若函数()f x 有三个零点1x ，2x ，3x ，求证：()()()1230g x g x g x ++>.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为：1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为：ρθ=.（1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）若直线():0l y kx k =>与曲线1C 交于O ，A 两点，与曲线2C 交于O ，B 两点，求OA OB +取得最大值时直线l 的直角坐标方程.23．已知函数()=-++f x x a x b，,R a b ∈且0a b +>.(1)若函数()f x 的最小值为1，试证明点(),a b 在定直线上；(2)若1b =，[]0,1x ∈时，不等式()5f x x ≤+恒成立，求实数a 的取值范围.1．A【分析】解一元二次不等式，求出,A B ，从而求出A B ⋂，得到A B ⋂的真子集个数.【详解】由题意得，{14}A x =-≤≤，220x x +>解得：0x >或<2x -，所以{0B x x =>或}2,Z x x <-∈，所以{1,2,3,4}A B ⋂=，所以A B ⋂的子集共有4216=个，真子集有15个．故选：A ．2．B【分析】由复数的除法运算求出复数z ，然后根据复数模长公式即可求解.【详解】解：因为复数()1i 1iz -=+，所以()21i 1i 2i i 1i 22z ++====-，所以1z =，故选：B.3．B【分析】将|2|||a b a b →→→→-=+两边平方并化简，进而结合3a b →→⋅=即可求得答案.【详解】设,a b →→的夹角为θ，因为|2|||a b a b →→→→-=+，所以2222442a b a b a b a b→→→→→→→→+-⋅=++⋅，所以2236186b a b b b →→→→→=⋅=⇒=⇒=．故选：B.4．C【分析】根据题意蓄电池的容量C ，再把15A I =代入，结合指数与对数的运算性质即可得解.【详解】由32log 2C It =，3074A h C =⋅,15I =时，32log 215C t =⋅；32log 2307415t ∴=⋅，32log 2307415t ∴=.又 1.5log 36103074⨯≈,3333322223332223332222log 2log 2log 2log log 3log 3log 33log 3log 222og 2g l lo 30743315151.5102161061061010103t -∴======⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯故选：C.5．D【解析】通过函数的奇偶性、区间上的函数值的符号确定正确选项.【详解】因为函数()f x 的定义域为R ，且()()()()()()333sin 3sin f x x x x x x x f x ⎡⎤-=---⋅-=-⋅=⎣⎦，所以函数()f x 为偶函数，排除B.由()()23sin f x x x x =-，可知当(x ∈时，()0f x >；当)x π∈时，()0f x <.所以D 选项符合.故选：D【点睛】本小题主要考查函数图象的识别，函数图象的识别的方法主要根据函数的单调性、特殊点来求解.6．C【分析】由诱导公式、商数关系求得tan α，然后由两角差的正切公式计算．【详解】因为()πcos 2cos π2αα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以sin 2cos αα-=-，即tan 2α=，πtantan π1214tan()π41231tan tan 4ααα---==-++．故选：C ．7．B【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数的性质并结合“媒介”数比较大小作答.【详解】依题意，10255()()133a -=<=，212221log log 5log 225b ==>=，而23331log 3log 7log 32=<<=，即12c <<，所以a ，b ，c 的大小关系为b c a >>.故选：B 8．A【分析】通过函数()f x 的平移变换后图象关于直线0x =对称可求得ϕ值，从而可求出函数解析式，然后使用换元法画出函数图象，再逐项判断即可.【详解】函数()sin(2)1f x x ϕ=++，||2πϕ⎛⎫< ⎪⎝⎭图象向左平移3π个单位后的图象对应的解析式为：2()sin 21sin 2133f x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦；而()f x 图象关于直线0x =对称，且||2ϕπ<，于是232ππϕ+=，2236ππϕπ=-=-；∴()sin(2)16f x x π=-+；012f π⎛⎫≠ ⎪⎝⎭ ，所以()f x 不关于,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，故B 错误；当433x ππ≤≤时，则62225x πππ≤-≤，令26t x π=-，则()sin 1f t t =+，此时函数图象如图:结合图象可知，当25226t x πππ=-≤≤时，即433x ππ≤≤，()f t 与坐标轴只有一个交点，即()f x 只有一个零点，故A 正确；当51212ππx ≤≤时，则20263x ππ≤-≤，结合图象可知，此时()f t 有增有减，故C 错误；当124x ππ≤≤时，则0326x ππ-≤≤，结合图象可知，此时()f t 单调递增，所以，当4x π=时，即3t π=，函数取最大值，()sin 11332f t f ππ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭，故D 错误；故选：A.9．C【分析】根据给定条件，用向量CA CB,分别表示,CE BD ，再利用向量数量积的运算律求解作答.【详解】在ABC 中，90C ∠=︒，2AC BC =，12CD CA=，如图，则12BD CD CB CA CB=-=-，又13BE BA = ，则11221()()33332CE CB BE CB CA CB CA CB CA CB =+=+-=+=+ ，所以2221121()()()032234CA CB CA CB CA C CB E BD ⋅+⋅-=-== ，即CE BD ⊥ ，所以CE 与BD 的夹角为90︒.故选：C.10．B【分析】根据导数的几何意义求出过点(0,)a 的切线方程为20e x x a =，利用方程的解个数与函数图象交点个数的关系将问题转化为2()e xx g x =图象与直线y a =在R 上有3个交点，结合导数求出函数()g x 的极值，根据数形结合的思想即可求解.【详解】设该切线的切点为000(,)e x x x ，则切线的斜率为001()e x x k f x -'==，所以切线方程为000001()e e x x x xy x x -=--，又切线过点(0,)a ，则000001(0)e e x x x x a x --=-，整理得020e x x a =.要使过点(0,)a 的切线有3条，需方程20e x x a =有3个不同的解，即函数20e x x y =图象与直线y a =在R 上有3个交点，设2()e xx g x =，则(2)()e x x x g x '-=，令()002g x x '>⇒<<，令()00g x x '<⇒<或2x >，所以函数()g x 在(0,2)上单调递增，在(,0)-∞和(2,)+∞上单调递减，且极小值、极大值分别为()()2400,2e g g ==，如图，由图可知，当240e a <<时，函数020e x x y =图象与直线y a =在R 上有3个交点，即过点(0,)a 的切线有3条.所以实数a 的取值范围为240e a <<.故选：B.11．C【分析】由π02α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，及二倍角的余弦公式可得cos (1sin )sin cos αβαβ+=，根据两角差的正弦公式可得()cos sin ααβ=-，由诱导公式及αβ，的范围，结合正弦函数的单调性即可求解.【详解】解：∵π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，∴cos 0α≠.由1cos 2)(1sin )sin 2cos αβαβ++=（，可得22cos (1sin )2sin cos cos αβααβ+=，即cos (1sin )sin cos αβαβ+=.∴()cos sin cos cos sin sin ααβαβαβ=-=-，∴()πsin sin 2αβα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.∵π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，∴ππ22αβ-<-<，且ππ022α<-<.由于函数sin y x =在ππ22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，上单调递增，∴π2αβα-=-，即π22αβ-=.故选:C.12．D【分析】求出分段函数的解析式以及各段导函数，得出函数的单调区间，即可得出①；作出函数图象，即可判断②；根据①求得的导函数，可推得x ∀∈R ，有()1f x '≥-恒成立，即可得出③；作图，根据图象得出()y f x =与y m =有3个交点时，m 的范围.然后用m 表示出123,,x x x ，即可得出()()12311e m x x x m m ⎛⎫-+=+⎪⎝⎭，构造函数()1e m g m m m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，通过导函数研究函数的单调性，得出函数的最值，即可判断④.【详解】对于①，当01x <<时，()ln ln 1e ex xf x x-===，()10f x '=>恒成立，所以()f x 在()0,1上单调递增；当1x ≥时，()ln 11exf x x ==，()210f x x '=-<恒成立，所以，()f x 在()1,+∞上单调递减；当0x ≤时，()()ln 1f x x =-，()11011f x x x -'==<--恒成立，所以，()f x 在(),0∞-上单调递减.综上所述，()f x 在(),0∞-上单调递减，在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减.所以，()f x在0x=处取得极小值()00f=，在1x=处取得极大值()11f=，故①正确；对于②，作出()f x的图象如下图1由图1可知，若关于x的方程()f x t=恰有1个解，则1t>或0=t，故②错误；对于③，由①知，当1x≥时，()21f xx'=-，因为1x≥，所以21x≥，所以()211f xx'=-≥-，当且仅当()11f'=-；当01x<<时，()1f x'=；当0x≤时，()11f xx¢=-，因为0x≤，所以11x-≤-，所以()111f xx'=≥--，当且仅当()01f'=-.综上所述，x∀∈R，有()1f x'≥-恒成立.又直线0x y c++=可化为y x c=--，斜率为1-，所以函数()f x的图象与直线0x y c++=（Rc∈）有且仅有一个交点，故③正确；对于④，由图2可知，当01m<<时，函数()f x的图象与y m=有3个不同的交点.则有()123ln11x mx mmx⎧⎪-=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，所以2131e1mx mxxm⎧⎪=⎪-=⎨⎪⎪=⎩，所以()()12311e m x x x m m ⎛⎫-+=+⎪⎝⎭，01m <<.令()1e m g m m m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，01m <<，则()211e 1mg m m m m ⎛⎫'=++- ⎪⎝⎭()322e 1m m m m m =++-.令()321h m m m m =++-，则()23210h m m m '=++>在()0,1上恒成立，所以，()h m 在()0,1上单调递增.又()010h =-<，()120h =>，根据零点存在定理可知，()00,1m ∃∈，使得()00h m =，且当00m m <<时，()0h m <，所以()0g m '<，所以()g m 在()00,m 上单调递减；当01m m <<时，()0h m >，所以()0g m '>，所以()g m 在()0,1m 上单调递增.所以，()g m 在0m m =处取得唯一极小值，也是最小值，无最大值，故④错误.综上所述，①③正确.故选：D.【点睛】方法点睛：遇到()()()123f x f x f x ==条件时，常设()()()123f x f x f x m===，然后根据图象得出m 的范围.根据解析式，用m 表示出123,,x x x ，将所求表达式表示为m 的函数，根据导函数研究函数的单调性、极值、最值等.13．9【解析】做出可行域，根据可行域的图像特征，即可求出线性目标函数的最大值.【详解】做出可行域如下图所示：当目标函数3z x y =+过点(3,0)A 时，取最大值为9.故答案为:9【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，考查线性目标函数的最值，考查数形结合思想，属于基础题.14．4【分析】根据向量运算可得22x y +=，再由均值不等式求解即可.【详解】a b ⊥，(1,1)a x =- ，(,2)b y = ，220x y ∴-+=，即22x y +=，由0x >，0y >，则121121414(2)4+424222y x y xx y x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+≥+⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当4y xxy =，即21y x ==时等号成立，故12x y +的最小值为4.故答案为：415．①③④【分析】根据偶函数的定义以及原函数与导函数的对称关系得出轴对称和中心对称，再得出周期，再综合利用得出的性质求解.【详解】由于函数(22)f x +为偶函数,则②(22)(22)f x f x +=-+,则函数()f x 关于2x =轴对称,①正确;进而函数()g x 关于点(2,0)中心对称,由于函数(1)g x -为偶函数,则(1)(1)g x g x -=--,则函数()g x 关于=1x -轴对称,进而函数()f x 关于(1,(1))f --中心对称,②错误;由题可得函数()f x 的周期为()42112⎡⎤⨯--=⎣⎦，()g x 的周期为41212⨯--=，故(26)(2)0,(16)(4)(0)g g f f f ====，由中心对称性(2)(0)2(1)2(5)2f f f f -+=-==-，所以(0)2(2)213f f =---=--=-，所以(16)3f =-,故(26)(16)3g f +=-,③正确;当1417x ≤≤时,1162x -≤-≤，17()(12)[4(12)](16)e 1x f x f x f x f x -=-=--=-=-,④正确.故答案为：①③④【点睛】结论点睛：若()f x 是可导的奇函数,则()f x '是偶函数；若()f x 是可导的偶函数,则()f x '是奇函数.16．710,33⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】利用三角恒等变换公式将函数化简，由x 的取值范围求出6x πω+的取值范围，令6t x πω=+，将问题转化为函数y t =在区间,66ππωπ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上的极值点个数问题，数形结合来求解.【详解】解：()sin sin 3f x x x πωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭sin sin coscos sin33x x x ππωωω=++31sin sin cos22226x x x x x πωωωωω⎫⎛⎫=+=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，当[]0,x π∈时，,666x πππωωπ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，令6t x πω=+，则,66t ππωπ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，作出函数,066y t t ππωπω⎛⎫=≤≤+> ⎪⎝⎭的图象如图所示：由于函数()f x 在[]0,π上有且仅有3个极值点，则57262ππωππ<+≤，解得71033ω<≤.故答案为：710,33⎛⎤ ⎥⎝⎦17．(1)()max 12f x =-;()min 5f x =-(2)对称中心是,-2,122k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭.单调递增区间是,,63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）利用二倍角公式将函数化为()22cos 2cos 1f x x x =-+-，令cos t x =,配方即可求解.（2）利用二倍角公式以及辅助角公式化简函数()2sin 226h x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，然后利用正弦函数的中心对称点以及单调递增区间即可求解.【详解】解:(1)由题意得()()221cos 32cos f x x x =--+22cos 2cos 1x x =-+-,令cos t x =,则[]1,1t ∈-,则()2221f x t t =-+-211222t ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭.所以当12t =时,有()max 12f x =-;当1t =-时,()min 5f x =-.(2)由题得()()()1cos 2232xh x f x g x -=+=⨯-2cos 22cos x x x +-,从而()2cos 2h x x x =--22sin 226x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.由26x k ππ-=,得,122k x k Z ππ=+∈.故对称中心是,2,122k k Z ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭.再由222262k x k πππππ-+≤-≤+,得,63k x k k Zππππ-+≤≤+∈.所以单调递增区间是,,63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了二倍角公式、辅助角公式、含有余弦型的三角函数的最值以及三角函数的性质，需熟记公式和性质，属于基础题.18．（1）10ex y -+=（2）ln 2 1.a ≥-【详解】分析：（1）求出导数，求出切点和切线的斜率，由点斜式方程，即可得到切线方程；（2）求出导数，若()f x 是单调递增函数，则()220x f x e x a '=-+≥恒成立，分离参数构造函数，求出函数的最值即可得到实数a 的取值范围．详解：(1)()()221x f x e x f e ''=-+∴= ()()1110y f e x ex y ∴-=-∴-+=（2）()()2202xxe f x e x a a x g x =-+≥∴≥-=' ()'10ln22xe g x x =-=∴=Q 所以()g x 在(),ln2-∞上单调递增，在()ln2,+∞上单调递减所以()()max g ln2ln21ln2 1.x g a ==-∴≥-.点睛：本题主要考查导数的几何意义以及函数单调性和导数之间的关系，综合考查导数的应用，属于中档题．19．(1)证明见解析；(2)465.【分析】（1）利用余弦定理结合条件即得；（2）利用余弦定理结合条件可得3==b c ，然后利用角平分线定理及余弦定理即得.【详解】（1）证明：因为()21cos 4bc A a +=，所以2222142b c a bc a bc ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，所以222242b c a bc a +-+=，即()229b c a +=，所以3b c a +=；（2）由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，()222222927149b c bc b c bc bc ==+-⋅+--，又36b c a +==，所以9bc =，3==b c，由角平分线定理可得，32AB AD AC DC ==，39355AD =⨯=，在ABD △中，由余弦定理得：222997323559BD ⎛⎫=+-⨯⨯⨯⎪⎝⎭，所以BD =.20．(1)2164(2)分布列见解析，一班赢下这场比赛【分析】（1）由概率的乘法公式与加法公式求解；（2）由题意求出两个班的总分可能取值，然后求出对应的概率，进而列出分布列，并根据期望的概念求出期望，比较大小即可判断.【详解】（1）由条件知，若一班在前两轮得20分，后三轮得90分，总分为110分，其概率为313233113C C 44264⎛⎫⨯⨯⨯⨯=⎪⎝⎭，若一班在前两轮得40分，后三轮得60分或90分，总分为100或130分，其概率为22322323331119C C C 422232⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯+⨯=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，于是一班总分不少于100分的概率为3921643264+=；（2）由条件知，随机变量X 可能取值为60，80，100，120，311(60)464P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()21313980C 4464P X ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2231327100C 4464P X ⎛⎫⎛⎫===⎪⎪⎝⎭⎝⎭，3327(120)464P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．所以X 的分布列为：X 6080100120P16496427642764()192727608010012010564646464E X =⨯+⨯+⨯+⨯=，设三班最后的总分为Y ，Y 可能取值为30，60，90，120，()31130327P x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()21312260C 339P X ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()22321490C 339P x ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()328120327P X ⎛⎫===⎪⎝⎭，∴X 的分布列：Y306090120P1272949827()124830609012090279927E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=，因为10590>，所以从总分的均值来判断，一班赢下这场比赛.21．(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）求得()f x '，对a 进行分类讨论，由此求得()f x 的单调区间.（2）先判断出2a >，将()()()123g x g x g x ++转化为()331g x g x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，利用构造函数法，结合导数证得不等式成立.【详解】（1）由()()1ln 0f x x a x a x =-->，可知定义域()0,x ∈+∞，()222111a x ax f x x x x -+'=+-=，令()()210h x x ax x =-+>，则24a ∆=-，①当02a <≤时，240a ∆=-≤，则()0h x ≥成立，即()0f x '≥成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递增；②当2a >时，令()210h x xax =-+=，得2ax =，记42a x =，52a x =，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表x()40,x 4x ()45,x x 5x ()5,x +∞()f x '+-+()f x ↗极大值↘极小值↗所以()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递增，在⎝⎭上单调递减，在,2a ⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭上单调递增.（2）因为函数()1ln f x x a x x =--有三个零点1x ，2x ，3x ，不妨设123x x x <<，所以2a >，即()f x在⎛ ⎝⎭上单调递增，在⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增.由()10f =，知21x =，故12301x x x <<=<，因为()1111ln ln f x a x a x f x x x x x ⎛⎫=--=+=- ⎪⎝⎭，所以()1110f f x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，即311x x =，因此()()()()()()1233333111g x g x g x g x g g g x g x x ⎛⎫⎛⎫++=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()()22221111111ln 1ln 2ln G x g x g x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+=--+--=+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()11ln G x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，令()1p x xx =-，则()p x 在()0,∞+上单调递减，且()10p =，()1ln q x x x x =-+，()22222131112410x x x q x x x x x ⎛⎫--- ⎪-+-⎝⎭'=--+==<成立，所以()q x 在()0,∞+上单调递减，且()10q =，因此()()10G x G ≥=，则()()33310g x g G x x ⎛⎫+=> ⎪⎝⎭，所以()()()1230g x g x g x ++>.【点睛】利用导数研究函数的单调区间，首先要求函数的定义域，要在定义域的范围内求解单调性.当导函数含有参数时，要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏，分类标准的制定可结合二次函数的知识来进行.22．（1）曲线1:2cos C ρθ=，曲线(222:3C x y +=.（2）y =.【解析】（1）用1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩和cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩消去参数α即得1C的极坐标方程；将ρθ=两边同时乘以ρ，然后由222,sin x y y ρρθ=+=解得直角坐标方程.（2）过极点的直线的参数方程为,0,2R πθϕϕρ⎛⎫=<<∈ ⎪⎝⎭，代入到1:2cos C ρθ=和2C：ρθ=中，表示出OA OB +即可求解.【详解】解：由1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩和cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，得cos 1cos sin sin ρθαρθα-=⎧⎨=⎩()()22cos 1sin 1ρθρθ-+=，化简得2cos ρθ=故1C ：2cos ρθ=将ρθ=两边同时乘以ρ，得2sin ρθ=因为222,sin x y y ρρθ=+=，所以220x y +-=得2C的直角坐标方程(222:3C x y +=.（2）设直线l 的极坐标方程,0,2R πθϕϕρ⎛⎫=<<∈ ⎪⎝⎭由2cos θϕρθ=⎧⎨=⎩，得||2cos OA ϕ=，由θϕρθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，得||OB ϕ=故2cos 4sin 6OA OB πϕϕϕ⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭当3πϕ=时，OA OB +取得最大值此时直线的极坐标方程为：()3R πθρ=∈，其直角坐标方程为：y =.【点睛】考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互相转化以及应用圆的极坐标方程中ρ的几何意义求距离的的最大值方法；中档题.23．(1)证明见解析(2)[]3,4-【分析】（1）根据绝对值的三角不等式求出函数()f x 的最小值，结合取得最小值的条件即可得出结论；（2）由题意()11f x x a x x a x =-++=-++，则不等式()5f x x ≤+恒成立，即4x a -≤，进而可得出答案.【详解】（1）()()x a x b x a x b a b a b a b-++≥--+=--=+=+ ，当且仅当b x a -≤≤时取等号，1a b ∴+=，即点(),a b 在定直线10x y +-=上；（2）当1b =，[]0,1x ∈时，()11f x x a x x a x =-++=-++，由()5f x x ≤+得：4x a -≤，44x a ∴-≤-≤，则44x a x --≤-≤-，404413a a -≥-+=-⎧∴⎨-≤-=⎩，解得：34a -≤≤，即实数a 的取值范围为[]3,4-.。
【高三】河北省衡水市届高三下学期期中考试 数学理试题 Word版含答案
【高三】河北省衡水市届高三下学期期中考试数学理试题 Word版含答案【高三】河北省衡水市届高三下学期期中考试数学理试题word版含答案试卷描述：―学年度第二学期期中考试高中三年级年级数学试卷（理科）本试卷分第ⅰ卷（选择题）和第ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分。
考试时间120分钟。
第ⅰ卷（选择题共60分）选择题（每小题5分，共60分。
下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.已知复数，则它的共轭复数等于()a．b．c．d．，，则满足条件的集合的个数为（）a.b.c.d.3．甲、乙，连续如下表：甲8112110109111乙9111108108109则平均较高与较稳定的分别是（）a．甲，甲b．甲，乙c．乙，甲d．乙，乙的夹角为且，在中，，，为中点，则()a.2b.4c.6d.85．执行如图所示的程序框图后，输出的值为4，则p的取值范围是a．b.c．d.6．若函数的图象在处的切线与圆相切，则的最大值是（）a.4b.c.2d.7．a．b．c．d．8．将一个白球，两个相同的红球，三个相同的黄球摆放成一排。
则白球与黄球不相邻的放法有a．10种b．12种c．14种d．16种（a>0,b>0）实轴的两个顶点为a,b，点p为双曲线m上除a、b外的一个动点，若且,则动点q的运动轨迹为（）a.圆b.椭圆c.双曲线d.抛物线10．设函数，则函数的各极小值之和为（）ab.c.d.11．三棱锥p-abc中，顶点p在平面abc上的射影为,满足，a点在侧面pbc上的射影h是△pbc的垂心，pa=6，则此三棱锥体积最大值是（）a．12b．36c．48d．2412．已知f（x）是定义在r上的且以2为周期的偶函数，当0≤x≤1时，f（x）=x2，如果函数g（x）=f（x）－（x+m）有两个零点，则实数m的值为a．2k（k∈z）b．2k或2k+（k∈z）c．0d．2k或2k一（k∈z）90分）填空题（每题5分，共20分。
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1
E
B
C
A
D
P 富县高级中学高三（理）数学试题
一、填空题：（本大题共11小题,每小题5分,计55分.）
1．已知集合A ＝{1,3}，B ＝{1,2,m }，若A ⊆B ，则A B ⋃= ． 2．复数()2
12i +的共轭复数是 ．
3．圆柱的底面周长为5cm ，高为2cm ，则圆柱的侧面积为 cm 2． 4.右图程序运行结果是 ．
5.设,,a b c 是单位向量，且=+a b c ，则向量a,b 的夹角等于 ． 6．将函数sin(2)(0)y x φφπ=+≤<的图象向左平移6
π
个单位后，所得的函数恰好是偶函数，则φ的值为 .
7.设,E F 分别是Rt ABC 的斜边BC 上的两个三等分点， 已知3,6AB AC ==,则AE AF ⋅= ． 8．已知直线(0)4
x a a π
=<<
与函数f （x ）=cosx ，g （x ）=sin2x 和h （x ）=sinx 的图象及x 轴依次
交于点P ，M ，N ，Q ，则PN 2
+MQ 2
的最小值为 ．
10．已知递增的等比数列{}n a 满足23428a a a ++=，且3242,a a a +是的等差中项，若
21log n n b a +=，则数列{}n b 的前n 项和n S = .
11.已知ABC △的三边长,,a b c 满足23,23b c a c a b +≤+≤，则b
a
的取值范围为 . 二、解答题：(本大题共4小题，计60分.解答过程写在背页) 15．(本小题满分12分)
如图所示，角A 为钝角，且3
sin 5
A =
，点,P Q 分别在角A 的两边上． （Ⅰ）若5,35AP PQ ==，求AQ 的长；
（Ⅱ）设,APQ AQP αβ∠=∠=，且12
cos 13
α=，
sin(2)αβ+的值．
求
第16题
16. （本题满分12分）
某人准备购置一块占地1800平方米的矩形地块(如图)，长、宽分别是x 米、y 米，中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路，大棚所占地面积为S 平方米，其中a ∶b =1∶2． (1)试用x ，y 表示S ；
(2)若要使S 最大，则x ，y 的值各为多少？
17. （本题满分15分）
已知数列{}n a 的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列.数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足34354,2S a a a a =+=+
（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 前2k 项和2k S ；
（3）在数列{}n a 中，是否存在连续的三项12,,m m m a a a ++，按原来的顺序成等差数列？若存在，求出
所有满足条件的正整数m 的值；若不存在，说明理由
18. （本题满分16分）
已知函数2()21(),()()f x x ax a f x f x '=++∈R 是的导函数． （1）若[2,1]x ∈--，不等式()()f x f x '≤恒成立，求a 的取值范围； （2）解关于x 的方程()|()|f x f x '=；
（3）设函数(),()()
()(),()()f x f x f x g x f x f x f x ''⎧=⎨'<⎩
≥，求()[2,4]g x x ∈在时的最小值．
19.如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 是正方形，CD PD =,侧棱⊥PD 底面ABCD ，E 是PC
的中点．
（1）求二面角C DE B --的平面角的余弦值； （2）在棱PB 上是否存在点F ，使⊥PB 平面?DEF 证明你的结论．
Q P
A 第15题
1i ← 4x ←
While i <10 x x i ←+ 3i i ←+ End While Print x
F
E C
B
A。