数学建模 土地平整问题
土地平整.
（3）绘出填、挖边界线
在地形图上根据等高线内插出高程为设计高程33.04m的曲线，这条曲 线即为填、挖分界线。
（4）计算填、挖高度
各方格点的填、挖高度为该点的地面高程及设计高程之差
1 设计面为水平面的土地平整 （5）计算填、挖土方工程量
角点：填（挖）高度
1 4
小方格面积
边点：填（挖）高度
土地平整
1 设计面为水平面的土地平整 （1）在地形图上拟建场地内绘制方格网源自1 设计面为水平面的土地平整
（2）计算设计高程
H设
Pi Hi P1 H1 P2 H 2 P3 H3 P4 H 4
Pi ni
P1 n1 P2 n2 P3 n3 P4 n4
钉木桩表示。然后在木桩上注记相应各方格点的填、挖高度，作为平整 场地的依据。
2 设计面为具有一定匀坡坡度的土地平整 （1）绘制方格网 （2）计算设计高程 （3）确定倾斜面最高点网线和最低点格网线的设计高程 （4）确定填、挖边界线 （5）确定方格点的填、挖高度 （6）确定方格点的填、挖土方工程量 （7）放样填、挖边界线及填挖高度
2 4
小方格面积
拐点：填（挖）高度
3
小方格面积
4
中点：填（挖）高度
4
小方格面积
4
1 设计面为水平面的土地平整
（6）放样填、挖边界线及填、挖高度 在拟建场地内，按适当间隔分别放样出设计高程点，用明显标志将这
些设计高程点连接成曲线，该曲线即为填、挖边界线。 填、挖高度的放样，应首先将地形图上设计的方格点放样于实地，并
场地平整土方量计算
即“零点”(如图1-4所示).
零点位置按下式计算：
图1-4 零点位置
式中 x1、x2 ——角点至零点的距离,m； h1、h2 ——相邻两角点的施工高度(均用绝对值),m； a —方格网的边长，m.
确定零点的办法也可以用图解法，如图1-5所示. 方法是用尺在各角点上标出挖填施工高度相应比例，用尺相连，与方格相交点即为零点位 置。将相邻的零点连接起来，即为零线。它是确定方格中挖方与填方的分界线。
2.确定场地设计标高 1）场地初步标高： H0=S(H11+H12+H21+H22)/4M H11、H12、H21、H22 ——一个方格各角点的自然地面标高； M ——方格个数. 或：
H0=(∑H1+2∑H2+3∑H3+4∑H4)/4M H1－－一个方格所仅有角点的标高； H2、H3、H4－－分别为两个、三个、四个方格共用角点的标高.
其中锥体部分的体积为：
楔体部分的体积为
（1-16）
（1-17）
式中 H1，H2，H3—一分别为三角形各角点的施工高度，m，取绝对值，其中 H3指的是锥体 顶点的施工高度。
a）全填或全挖；b）锥体部分为填方
6.边坡土方量计算 场地的挖方区和填方区的边沿都需要做成边坡,以保证挖方土壁和填方区的稳定。 边坡的土方量可以划分成两种近似的几何形体进行计算： 一种为三角棱锥体(图1-6中①～③、⑤～⑾)； 另一种为三角棱柱体(图1-6中④).
A 三角棱锥体边坡体积
图1-6 场地边坡平面图
式中 l1 ——边坡①的长度； A1 ——边坡①的端面积； h2 ——角点的挖土高度； m——边坡的坡度系数，m=宽/高. B 三角棱柱体边坡体积
两端横断面面积相差很大的情况下，边坡体积
数学建模——合理开挖土地问题(附matlab源程序)
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以下是本论文原始题目：合理开挖土地问题：A市是一个山区城市,向山要地是A市发展的一个必然的选择,但是如何在一片山地之中选择合适的方位与开挖深度,从而使总的土石方量最小,就是一个十分有意义的课题.A市某工厂为了在一片长度为1500米,宽度为900米的山地之中,开挖出一个800米×600米平坦连续的长方形地块作为工厂的厂房地基,前期已经在本块土地上测量出长、宽每隔30米的网格的对应网格点的海拔高度（详细数据见附件）.请你考虑以下几个问题：问题（1）：用附件中的数据画出工厂的这片土地的三维图形与等高线图；问题（2）：从什么地方,什么海拔高度平整一块800米×600米的连片土地能使总的土石方量最小?问题（3）：如果允许平整出来的土地为二层的台阶状地块,要求各地块的长、宽不少于60米,又将从什么地方、什么海拔高度分别开挖,能使总的土石方量最小?提示：在平整土地的过程中,有些地方是要挖山的,但有些地方是要填土的,假设填土的每立方米所需的费用为挖山的每立方米土石方所需费用的1/3.2013**大学金水节第五届研究生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
土地平整工程量计算实例
土地平整工程量计算实例
根据勘探和测量结果，我们得到以下数据：地表高程差为5米，坡度为10度，土地松软程度为中等。
根据这些数据，我们可以计算出土方开挖量和地表整理量。
首先，我们计算土方开挖量。
土方开挖量是指挖出或填充土方的总体积。
根据测量结果，整块土地的平均高程为10米。
由于地表高程差为5米，我们可以得到平整后的整块土地的高程为15米。
土方开挖量=平整后土地体积-原始土地体积
接下来，我们计算地表整理量。
地表整理量是指在土方开挖之后，为了达到规定的平整度要求所需的填方和挖方体积之差。
我们根据土地的坡度和松软程度，可以得出在一定坡度下，土地的平整度要求为0.05米。
所以，我们需要把土方开挖后的整块土地填方0.05米，使得坡度变为0。
综上所述，土地平整工程的工程量计算结果如下：
需要注意的是，以上的工程量计算结果只是一个简单的示例，实际的土地平整工程中可能会涉及到更多的复杂情况和工程要求，如地基处理、排水设计等。
在实际项目中，需要根据具体情况进行细致的测量和计算，以确保工程量计算的准确性和可行性。
方格网法计算场地平整土方量!
方格网法计算场地平整土方量！一、设计题目——方格网法计算场地平整土方量二、设计目的本课程设计利用方格网法计算出场地平整时的土方量，其属于设计地面的一项重要工作，设计地面是将自然地形加以适当整平，使其成为满足使用要求和建筑布置的平整地面。
对于平整场地，合理设定土方工程量的大小具有决定性的意义。
是《总图设计》课程的主要教学环节之一。
通过该设计的教学，进一步掌握利用方格网法计算场地平整时的土方量的工程。
三、设计内容与要求1.方格网法的基本原理方格网法是将基地化分为若干个方格，根据自然地面与设计地面的高差，计算挖方和填方的体积，分别汇总即为土方量。
该方法一般适用于平坦场地。
设计时要求填方和挖方基本相等，即要求土方就地平衡，平整前后这块土体的体积是相等的。
对于一块表面上崎岖不平的土体，经整平后使其表面成为平面。
设平整前的土方体积为V ：V=)(4)432(441243212∑∑∑∑∑∑=+++ijj j j j hPi a h h h h a式中：V ——土体自水准面起算自然地面下土体的体积； a ——方格边长（m ）；——方格网交点的权值，i=1表示角点，i=2表示边点，i=3表示凹点，i=4表示中间点，其权值分别为1，2，3，4。
h 1j h 2j h 3j h 4j ——各角点，边点，凹点，中间点的自然地面的标高（m 3）。
h ij ——各角点（或边点，凹点，中间点）的自然地面的标高（m 3）。
设方格坐标原点的设计标高为x ，则整平后土体的体积为：∑∑=412'))((4x f P a V i式中：——土体自水准面起算平整后土体的体积（m 3）； x ——方格网坐标原点的设计标高（m ）； a ——方格边长（m ）；m ，i ——X 轴方向的放个数与设计坡度（%），从原点起，上坡为证，下坡为负；n ，j ——Y 轴方向的放个数与设计坡度（%），从原点起，上坡为证，下坡为负；当土方平衡时，平整前后这块土体的体积是相等的，即'V V =∑∑41ijhPi =∑∑41))((x f P i由于式中只有x 为未知数，所以可以求出来，从而求出方格网各个交叉点的设计标高。
土地平整问题
如图所示，我们选的位置左上角在（720,270）处。 将各实测点高程与平均高程相比较，大于平均高程的为挖方，小于平均高程 的为填方， 等于平均高程的表示不挖不填。在方格的挖方点与填方点之间, 必定 有一个不挖不填的点, 即填挖边界点(零点) , 把所有相临的零点连接起来, 就 是填挖边界线(零线) 。零点和零线是计算土方量和施工的重要依据。以此算出 个点高程与平均高程的差值，将其中的正值求平均，可算出平平均挖的深度，负 的求平均值，算出平均填高，计算公式如下： Hc =
50 40 30
z
20 10 0 1000 1500 500 500 y 0 0 x 1000
图 5-1-1
所在山体图
此工厂所在土地的等高线图如图 5-1-2，5-1-3 所示：
40
30
z
20
10
0 800 600 400 200 y 0 0 500 x 1000 1500
图 5-1-2 其所占土地的三维等高线图
Ⅱ 问题分析
2.1 问题一
本题要求利用附件（1）中的数据画出工厂所用的这片土地的三维图形与等 高线图。这道题可以利用 MATLAB 可以对插入的 EXCEL 数据进行模拟整合过程， 由此得到此土地的三维图与等高线图。此问题也可以利用 MATLAB 的 surf 和 contour 功能予以实现。
2.2 问题二
6.3 问题三的评价与改进
问题三：
参考文献
[1] 张贤明等，MATLAB 及应用实例语言， 南京：东南大学出版社，2010 年。 [2] [3] [4] [5]
传统的土方量计算方法有许多种,常用的有:断面法、方格法、散点法及表格 法。断面法主要适合山地及高差比较大的地形;方格法主要适合地形平坦及高差 不太大的场地平整;散点法适用于地形有起伏,但变化比较均匀,不太复杂的地形。 传统的土方量计算方法手工工作量大,不易在计算机上实现,不能有效利用现有 的数据资源;而且,不同的计算方法均存在计算结果精度低,结果差异大的问题。 许多研究表明,应用数字高程模型(DEM)能够比较精确地解决土地整理设计中涉 及的土方量计算问题。 因此,本研究主要探索在 （DEM） 的支持下,运用遗传算法(Genetic Algorithm, GA)的非线性和全局优化的能力,来确定在一定条件下土地平整的设计高程的最 优解的新方法。 问题 2：在问题 1 的基础上有 3 种办法。方法 1：直接遍历枚举。计算矩形 地块的左上角走到每个点时的开发成本。如果点的密度是 1 米的话，那么方案大 约有 21000 个，计算量不算太大。方法 2：遗传算法（具体原理网上有，并不复 杂，这里不再赘述） 。方法 3：鉴于地面是连续的，可以先采用与方法 1 相同的 方法，但矩形每次平移的距离是 30 米，也就是遍历每个最初的已知点（不可行 的除外） 。然后找到成本最低的若干个（比如 5 个）已知点后，再在这些点的周 围寻找更好的方案。
平整场地面积计算例题
平整场地面积计算例题
平整场地面积计算是在土地规划、建设和农业等领域中常见的问题。
它的计算涉及到测量场地的尺寸和形状，并根据这些数据计算出场地的面积。
例如，假设我们有一个矩形的场地，长为10米，宽为5米。
要计算这个场地的面积，可以使用简单的公式：面积 = 长×宽。
在这个例子中，面积 = 10 × 5 = 50平方米。
所以，这个矩形场地的面积为50平方米。
但是，实际情况往往比较复杂。
场地的形状可能是不规则的，例如三角形、圆形或者多边形。
在这种情况下，我们需要使用不同的公式或方法来计算面积。
对于三角形，可以使用面积 = 底边长×高÷ 2 来计算。
底边长是三角形的底边，高是从底边到对角顶点的垂直距离。
对于圆形，可以使用面积 = π×半径的平方来计算。
其中，π是一个常数，约等于3.14159，半径是圆形的半径长度。
对于多边形，计算面积的方法则更加复杂。
通常，我们将多边形分割成若干个简单形状，例如矩形、三角形或梯形，然后计算每个简单形
状的面积，并将它们相加。
此外，在实际测量中，我们还需要考虑到地势的高低和场地的不平整程度。
有时候，我们需要对地面进行修整、平整或填土，以便将其调整为更加适合使用的状态。
这时，我们需要将这些因素考虑在内，并在计算面积时进行相应的调整。
总之，平整场地面积的计算是一个重要且常见的问题。
了解不同形状的场地面积计算方法，以及考虑到实际情况的调整，对于土地规划、建设和农业等领域的工作都十分有用。
数学建模国土问题
国土面积问题摘要：在进行国土面积测量时,先要实地测量,然后绘制成地图,再用投影等方式算出面积,现在绘制成地图后只需要根据专业软件用和卫星遥感测试技术等比照,就能算出面积。
本论文就此问题对于国土面积的测量方法以及所给的数据进行处理及利用数学建模理念和MATLAB软件国土面积问题进行了分析和评论。
关键字：面积测量积分差值1.MATLAB 的用途MATLAB 是矩阵实验室（Matrix Laboratory ）之意。
除具备卓越的数值计算能力外，它还提供了专业水平的符号计算，文字处理，可视化建模仿真和实时控制等功能。
MATLAB 的基本数据单位是矩阵，它的指令表达式与数学,工程中常用的形式十分相似,故用MATLAB 来解算问题要比用C,FORTRAN 等语言完相同的事情简捷得多.当前流行的MATLAB 5.3/Simulink 3.0包括拥有数百个内部函数的主包和三十几种工具包(Toolbox).工具包又可以分为功能性工具包和学科工具包.功能工具包用来扩充MATLAB 的符号计算,可视化建模仿真,文字处理及实时控制等功能.学科工具包是专业性比较强的工具包,控制工具包,信号处理工具包,通信工具包等都属于此类.开放性使MATLAB 广受用户欢迎.除内部函数外,所有MATLAB 主包文件和各种工具包都是可读可修改的文件,用户通过对源程序的修改或加入自己编写程序构造新的专用工具包.MATLAB 是数值计算的先锋，它以矩阵作为基本数据单位，在应用线性代数、数理统计、自动控制、数字信号处理、动态系统仿真方面已经成为首选工具，同时也是科研工作人员和大学生、研究生进行科学研究的得力工具。
MATLAB 在输入方面也很方便，可以使用内部的Editor 或者其他任何字符处理器，同时它还可以与Word6.0/7.0结合在一起，在Word 的页面里直接调用MATLAB 的大部分功能，使Word 具有特殊的计算能力。
2.问题的提出为了算出瑞士的国土面积，首先对瑞士地图作如下测量：以由西向东方向为x 轴，由南到北方向为y 轴，选择方便的原点，并将从最西边界点到最东边界点在x 轴上的区间适当地划分为若干段，在每个分点的y 方向测出南边界点和北边界点的y 坐标1y 和2y ，这样就得到了表中的数据（单位mm ）。
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土地平整问题摘要随着社会的快速发展，对于山区的土地整理显得格外重要。
为了更好地合理利用土地，选择合适的土地整理地点，达到节约成本的目的。
我们会建立模型，根据几个重要的制约因素，使得土石方量最小，而且成本最低，在实际的操作过程中更接近于科学实施。
针对问题一：利用软件MATLAB中的绘图功能，对数据进行处理，得到这片土地的三维图形与等高线图。
针对问题二：采用二重积分的意义，即曲顶柱体的体积。
利用分割、取值、求和、取极限的思想，将山地分割成无数个小曲顶柱体，然后对这些小曲顶柱体进行求和，并结合土石方量最小，挖填土时费用使用的最少限制条件，从而求得在什么海拔高度进行平整。
对于平面位置的确定，利用枚举法，总费用最少，求得在什么位置，什么海拔高度平整，已达到最优的标准。
针对问题三：类比于问题二，采用相同的方法，在不同的海拔高度上平整，已满足二层的台阶状地块的要求，达到挖填土石方量最小的目标。
最后，对所建立的模型和求解方法的优缺点给出了客观的评价，并指出了改进的方法。
关键词：土石方量最小；二重积分；枚举法；一、问题重述与分析1.1问题的重述十堰市是一个山区城市，向山要地是十堰市发展的一个必然的选择，但是如何在一片山地之中选择合适的方位与开挖深度，从而使总的土石方量最小，就是一个有意义的命题了！某工厂为了在一片长度为1500米，宽度为1000米的山地之中，开挖出一个800米×600米平坦连续的长方形地块作为工厂的厂房地基，前期已经在本块土地上测量出长、宽每隔30米的网格的对应网格点的海拔高度。
问题：①用附件（1）中的数据画出工厂的这片土地的三维图形与等高线图；②从什么地方，什么海拔高度平整一块800米×600米的连片土地能使总的土石方量最小？③如果允许平整出来的土地为二层的台阶状地块，要求各地块的长、宽不少于60米，又将从什么地方、什么海拔高度分别开挖，能使总的土石方量最小？1.2问题的分析1.2.1问题一我们可以利用MATLAB软件直接调用surf函数和contour函数分别画出这片土地的三维图形和等高线图。
1.2.2问题二考虑要平整一块800米×600米的连片土地，且要使土石方量最小，我们需要确定这块800米×600米的连片土地的底面投影区域，以及海拔高度，使得其土石方量最小。
让底面投影区域在长度为1500米，宽度为900米内枚举，此时计算出对应的土石方量最小的是，在这些所有的最小值中取得最小值的那块投影区域即为所求。
我们采用此种方法求解。
在平整土地的过程中，凸出的地方是要挖土的，凹下的地方是可以填土的，这样挖下来的土可以填充到凹下去的部分。
通过计算体积的方式计算挖土和填土大小，求出最小值对应的海拔高度，即可确定整连片土地的具体高度。
二、基本假设1、在平整土地的过程中，有些地方是要挖山的，但有些地方是要填土的，假设填土的每立方米所需的费用为挖山的每立方米土石方所需费用的1/3。
2、假设除了挖土和填土以外，在平整土地的过程中其他作业（如登高）产生的费用都与800米×600米的连片土地所处的位置方向和海拔高度均无关。
这样我们只需考虑挖土和填土的土石方量及费用，据此来考虑连片土地所处的位置方向和海拔高度。
3、假设计算体积的过程中，分割的小曲顶柱体不能达到无穷小，而产生的误差忽略不计。
实际计算中我们取一个很小的步长去划分，使其划分尽可能的小，产生的误差忽略不计。
三、符号约定四、模型的建立4.1. 问题一求解1．利用MATLAB7.0软件的三维绘图功能，画出工厂这片土地的三维图形如图4.1.1所示：图4.1.1 山地的三维图形2、这片土地的三维等高线图如图4.1.2 所示，二维等高线图4.1.3所示：图4.1.2 山地的三维等高线图图4.1.3 山地的二维等高线图4.2. 问题二模型建立4.2.1. 平整块的海拔高度的确定通过土石方量费用最小的原则，确定平整土地海拔的开挖高度。
平整土地快所对应的的底面区域记为D ，显然D 是一个800米×600米的矩形区域。
设顶部海拔高度是一个非负连续函数),(y x f ，D y x ∈),(。
假设 D 的位置已经确定，下面我们来讨论在什么样的海拔高度下，土石方量费用最小。
考虑底面区域D 对应的山体是一个曲顶柱体，把区域D 分成n 个小区域1D ∆，2D ∆，…，n D ∆，为了简化运算，我们分成n 个等大的区域，每个区域)1(n i D i ≤≤∆都是边长为d 的正方形。
再分别以这些小区域的边界为准线，作母线平行于z 轴的柱面，这些柱面将原曲顶柱体分成n 个细的曲顶柱体。
每个区域i D ∆上任取一点),(i ηξi 。
当n 很大时，所分的区域i D ∆很小，边长d 的值很小，每个区域i D ∆对应的海拔高度z 可以近似为一个相同的值),(i ηξi f ，记所有小区域i D ∆的最小海拔高度为1h ，最大海拔高度为2h{}),(min i 11ηξi ni f h ≤≤= （1） {}),(max i 12ηξi ni f h ≤≤= （2） 设在平整块连片土地建在海拔高度为z 处21h z h <<。
当小区域i D ∆所对应的海拔高度z f i >),(i ηξ时，说明这块区域需要挖土，挖土量为i V ，i i w z f V i σηξ∆-=]),([i （3）这里i σ∆表示i D ∆的面积。
z f i <),(i ηξ时，说明这块区域需要填土，填土量为f Vi i f f z V i σηξ∆-=)],([i （4）总的挖土量w V ，∑∑==∆-==ki i i k i w w z f V V i 1i 1]),([σηξ （5）其中k 为满足z f i >),(i ηξ条件的小区域i D ∆的个数。
总的填土量f V ，∑∑==∆-==li i i l f f f z V V i 1i 1i )],([σηξ （6）其中k 为满足z f i <),(i ηξ条件的小区域i D ∆的个数。
当f w V V ≥，挖土量大于填土量，这样挖出来的土足够填充凹下的山地。
总的土石方量费用为：∑∑==∆-+∆-=+=lj j k i i i f z z f V V C 1j j 1i f w )],([31]),([3σηξσηξ （7） 当f w V V <，挖土量小于填土量，这样挖出来的土不足以填充凹下的山地。
需要从别的地方挖土来填充。
总的土石方量费用为：∑=∆-==-+-++=lj j f w f w f f z V V V V V V V C 1j j w w )],([3434)(313σηξ （8） 因此（9）如果让平整块的底面投影区域取遍所有可能的值，再根据上述思想求解此底面投影区域对应土石方量费用最小min C 的开挖海拔高度h 。
按照最小的min C 对应的底部和开挖海拔高度来开挖，所得平整的连片土地能使总的土石方量最小。
4.2.2. 平整块的底面区域的确定将平整块区域投影到底面（xoy 平面），确定开挖方向，即要确定平整块的底面位置。
显然底面是800米×600米的矩形，假设矩形的四个顶点分别为D C B A 、、、。
山地是长度为1500米，宽度为900米的矩形区域，因此平整块底面投影矩形ABCD 可以在1500×900的区域范围内任意移动，四个顶点不能超出这个范围我们要取遍所有可能的位置，必须枚举所有的可能值。
设矩形ABCD 的边长为AB =W =600，AC =L =800，且各点坐标位置也已经确定，设各顶点的坐标分别为A （a x ，a y ）、B （b x ，b y ）、C （c x ，c y ）、D （d x ，d y ）。
设AB 边的中点为E ，CD 边的中点为F ，那么唯一确定了线段EF 。
由中点公式，中点E ，F 的坐标分别可以表示为 E （2ba x x +，2b a y y +），F （2dc x x +，2d c x x +）， f w lj j ki i i V V f z z f ≥∆-+∆-∑∑==，1j j 1i )],([31]),([σηξσηξf w l j j V V f z <∆-∑=，1j j )],([34σηξ=Cx且EF 的边长为EF =AC =800,因此只要矩形ABCD 的位置和大小确定，那么EF 的大小和位置就唯一确定。
反过来如果EF 的位置和大小确定了（F E ,分别为短边的中点），那么矩形ABCD 的位置和大小也唯一确定。
下面我们分别说明矩形四个顶点坐标，以及四个边的直线方程计算方法。
设EF =800，F E 、两点的坐标分别为E （e x ，e y ）、F （f x ，f y ），为了使计算不重复，保证EF 的唯一性，我们不妨设f e y y ≤ ，且当f e y y =时, f e x x <,若EF 所在直线的斜率存在，设为k 。
当e f x x ≠时，斜率存在，e f ef x x y y k --=分以下四种情况讨论：(1)当e f x x =,即EF 平行于y 轴时，此时矩形如下图所示：此时，四条边对应的直线方程分别为AB ：e y y =，BC ：2W x x e +=，CD ：f y y =，AD ：2W x x e -=， 四个顶点的坐标分别为：A （2W x e -，e y ）,B （2W x e +，e y ），C （2W x e +，f y ）,D （2W x e -，f y ） ∈∀),(00y x P 矩形ABCD 的充分必要条件是：(2)当0k >时，此时，四条边对应的直线方程分别为AB : e e y x x y +--=)(k1,即：0=--+e e ky x ky x CD : f f y x x y +--=)(k1,即：0=--+f f ky x ky x AD ：0122=-+++-e e kx y k W y kx BC : 0122=-++--e e kx y k W y kx 任意两条直线的交点即为顶点，A 、B 、C 、D 四个顶点的坐标分别由以下方程组解出：0=--+eky e x ky x fe e kx y k Wy kx 0122=-+++-220W x x W x e e +≤≤-fe y y y ≤≤0∈∀),(00y x P 矩形ABCD 的充分必要条件是：(3)当0=k ，即EF 垂直于x 轴时 0=--+f f ky x kyx 0122=-+++-e e kx y k W y kx 0=--+f f ky x kyx 0122=-++--e e kx y k W ykx 0=--+e ky e x ky x f e e kx y k W y kx 0122=-++--0122>-++--e e kx y k W ykx 0>--+e e ky x ky x 0<--+f f ky x ky x 0122<-+++-e e kx y k W y kx此时，四条边对应的直线方程分别为AB ：e x x =，BC ：2W y y e -=，CD ：f x x =，AD ：2e Wy y +=，四个顶点的坐标分别为：A （2W x e -，e y ）,B （2W x e +，e y ），C （2W x e +，f y ）, D （2Wx e -，f y ） ∈∀),(00y x P 矩形ABCD 的充分必要条件是：(4)当0<k ，220Wx x W x e e +≤≤-fe y y y ≤≤0此时，四条边对应的直线方程分别为AB : e e y x x y +--=)(k 1,即：0=--+e e ky x ky xCD : f f y x x y +--=)(k 1,即：0=--+f f ky x ky xBC ：0122=-+++-e e kx y k Wy kx AD : 0122=-++--e e kx y k Wy kx 任意两天直线的交点即为顶点，A 、B 、C 、D 四个顶点的坐标分别由以下方程组解出：=--+eky e x ky x fe e kx y k W y kx 0122=-+++-0=--+eky e x ky x f e e kx y k Wy kx 0122=-++--∈∀),(00y x P 矩形ABCD 的充分必要条件是：如果让EF 在平面内取遍所有可能的值，再根据上述的思想求解可以确定平整块的底面投影区域的位置，再根据4.2.1的介绍求解海拔位置。