信号与系统第六章题目汇编

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信号与系统考题参考解答(完整版)

《信号与系统》作业参考解答第一章（P16-17）1-3 设)(1t f 和)(2t f 是基本周期分别为1T 和2T 的周期信号。

证明)()()(21t f t f t f +=是周期为T 的周期信号的条件为T nT mT ==21 （m ,n 为正整数）解：由题知)()(111t f mT t f =+ )()(222t f mT t f =+要使)()()()()(2121t f t f T t f T t f T t f +=+++=+则必须有21nT mT T == （m ,n 为正整数） 1-5 试判断下列信号是否是周期信号。

若是，确定其周期。

（1）t t t f πsin 62sin 3)(+= （2）2)sin ()(t a t f =（8）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=2cos 28sin 4cos )(k k k k f πππ解：（1）因为t 2sin 的周期为π，而t πsin 的周期为2。

显然，使方程n m 2=π （m ,n 为正整数）成立的正整数m ,n 是不存在的，所以信号t t t f πsin 62sin 3)(+=是非周期信号。

（2）因为)2cos 1()sin ()(22t a t a t f -==所以信号2)sin ()(t a t f =是周期π=T 的周期信号。

（8）由于)4/cos(k π的周期为8)4//(21==ππN ，)8/sin(k π的周期为16)8//(22==ππN ，)2/cos(k π的周期为4)2//(23==ππN ，且有16412321=⨯=⨯=⨯N N N所以，该信号是周期16=N 的周期信号。

1-10 判断下列系统是否为线性时不变系统，为什么？其中)(t f 、][k f 为输入信号，)(t y 、][k y 为零状态响应。

（1）)()()(t f t g t y = （2）)()()(2t f t Kf t y += 解：（1）显然，该系统为线性系统。

信号与线性系统分析 (吴大正第四版)第六章习题答案

6.4 根据下列象函数及所标注的收敛域，求其所对应的原序列。

（1）1)(=z F ,全z 平面（2）∞<=z z z F ,)(3 （3）0,)(1>=-z z z F(4）∞<<-+=-z z z z F 0,12)(2（5)a z azz F >-=-,11)(1（6）a z az z F <-=-,11)(16.5 已知1)(↔k δ，a z z k a k-↔)(ε，2)1()(-↔z z k k ε，试利用z 变换的性质求下列序列的z 变换并注明收敛域。

（1）)(])1(1[21k kε-+ （3))()1(k k k ε- （5）)1()1(--k k k ε (7))]4()([--k k k εε （9）)()2cos()21(k k kεπ6。

8 若因果序列的z 变换)(z F 如下,能否应用终值定理？如果能，求出)(lim k f k ∞→。

（1）)31)(21(1)(2+-+=z z z z F （3）)2)(1()(2--=z z z z F6.10 求下列象函数的双边逆z 变换。

（1）31,)31)(21(1)(2<--+=z z z z z F （2)21,)31)(21()(2>--=z z z z z F （3)21,)1()21()(23<--=z z z z z F（4）2131,)1()21()(23<<--=z z z z z F6.11 求下列象函数的逆z 变换. （1）1,11)(2>+=z z z F （2）1,)1)(1()(22>+--+=z z z z zz z F （5）1,)1)(1()(2>--=z z z zz F(6)a z a z azz z F >-+=,)()(326.13 如因果序列)()(z F k f ↔,试求下列序列的z 变换.（1))(0i f a k i i∑= （2）∑=ki ki f a 0)(6.15 用z 变换法解下列齐次差分方程。

信号与系统第六章习题答案

第六章离散系统的Ｚ域分析　６．１学习重点　1、离散信号z 域分析法—ｚ变换，深刻理解其定义、收敛域以及基本性质；会根据ｚ变换的定义以及性质求常用序列的ｚ变换；理解ｚ变换与拉普拉斯变换的关系。

2、熟练应用幂级数展开法、部分分式法及留数法，求z 反变换。

3、离散系统z 域分析法，求解零输入响应、零状态响应以及全响应。

4、z 域系统函数()z H 及其应用。

5、离散系统的稳定性。

6、离散时间系统的z 域模拟图。

7、用MATLAB 进行离散系统的Z 域分析。

６．２教材习题同步解析　6.1 求下列序列的z 变换，并说明其收敛域。

（1）n 31，0≥n （2）n−−31，0≥n（3）nn−+ 3121，0≥n （4）4cos πn ，0≥n（5）+42sin ππn ，0≥n 【知识点窍】本题考察z 变换的定义式　【逻辑推理】对于有始序列离散信号[]n f 其z 变换的定义式为()[]∑∞=−=0n nzn f z F解：（1）该序列可看作[]n nε31()[][]∑∑∞=−∞=− == =010313131n n n nn n z z n n Z z F εε对该级数，当1311<−z ，即31>z 时，级数收敛，并有 ()13331111−=−=−z zz z F其收敛域为z 平面上半经31=z 的圆外区域（2）该序列可看作[]()[]n n nnεε331−=−−()()[][]()[]()∑∑∞=−∞=−−=−=−=010333n nn nnnzzn n Z z F εε对该级数，当131<−−z ，即3>z 时，级数收敛，并有()()33111+=−−=−z zz z F 其收敛域为z 平面上半经3=z 的圆外区域（3）该序列可看作[][]n n nn n n εε+ = + −3213121()[][]()∑∑∑∞=−∞=−∞=−+ =+ = + =01010*********n nn n n nn n n n z z z n n Z z F εε对该级数，当1211<−z 且131<−z ，即3>z 时，级数收敛，并有 ()3122311211111−+−=−+−=−−z zz z z zz F 其收敛域为z 平面上半经3=z 的圆外区域（4）该序列可看作[]n n επ4cos()[]∑∑∑∑∞=−−∞=−−∞=−∞=−+=+== =0140140440*******cos 4cos n nj n nj nn j j n n z e z e z e e z n n n Z z F πππππεπ对该级数，当114<−ze j π且114<−−zejπ，即1>z 时，级数收敛，并有()122214cos 24cos 21112111212222441414+−−=+−−=−+−=−×+−×=−−−−z z zz z z z z e z z e z z z eze z F j j j j ππππππ其收敛域为z 平面上半经1=z 的圆外区域（5）该序列可看作[][][]n n n n n n n n εππεππππεππ+=+= +2cos 2sin 222sin 4cos 2cos 4sin 42sin()[]()122212212212cos 22cos 2212cos 22sin 222cos 222sin 222cos 2sin 222222222200++=+++=+−−++−=+=+=∑∑∞=−∞=−z z z z z z z z z z z z z z z n z n n n n Z z F n nn n ππππππεππ 其收敛域为z 平面上半经1=z 的圆外区域 6.2 已知[]1↔n δ，[]a z z n a n −↔ε，[]()21−↔z z n n ε，试利用z 变换的性质求下列序列的z 变换。

信号与系统课后答案第六章作业答案

⋅
2⎤⎥⎦
⋅
u
(n
−
3)
=
2⋅
( −1)n
⎡2 ⎢⎣ k =0
( −1)− k
⎤ ⎥⎦
⋅
u
(n
−
3)
∑ y
f
(3)
=
2
⋅
(
−1)3
⎡ ⎢⎣
k
2 =0
(
−1)−k
⎤ ⎥⎦
=
2
⋅
( −1)
⋅
(1
−1
+
1)
=
−2
∑ y
f
(4)
=
2
⋅
(
−1)4
⎡ ⎢⎣
k
2 =0
(
−1)−k⎤ ⎥⎦=2⋅(1)
⋅
(1
−1
+
1)
-1
对应时刻点相乘后累加得 y(1) = 4 。由于 f1(n) 和 f2 (n) 为有限序列，故该题可采用数乘法进行计算：
11112 2 2 2 ↑ 1 1 1 1 −1 −1 −1 ↑
−1 −1 −1 −1 − 2 − 2 −2 −2 −1 −1 −1 −1 − 2 − 2 −2 −2 −1 −1 −1 −1 − 2 − 2 −2 −2
u
(
n
+
4)
（4）利用卷积的性质（ f (n) *δ(n − m) = f (n − m) ）可得：
nu(n) * δ(n + 3) = nu(n) n=n+3 = (n + 3) u(n + 3)
6-7 如题图 6-4 所示，如果 y(n) = f1(n) * f2 (n) ，则试求 y(−2)、y(0)、y(1) 的值。

刘卫东版信号与系统答案第六章_yue_496601262

6－1 求下列信号的拉普拉斯变换和收敛域（1） t t 2e )(2+δ；（2） t t 3e −；（3） t t 2sin e −解：(1)2001()()(2())22stt st F s f t e dt t e e dt s δ∞∞−−==+=+−∫∫，收敛域为2σ> （2）3(3)(3)0(3)(3)21()()311()3(3)stt sts ts ts ts t F s f t e dt te e dt tedt tde s te e dt s s ∞∞∞∞−−−−+−+∞∞−+−+−====+−=−=++∫∫∫∫∫收敛域为3σ>−（3）22()()sin 24(1)stt st F s f t e dt e te dt s ∞∞−−===++∫∫，收敛域为1σ>− 6－2 求下列信号的拉普拉斯变换（1） )2(e −−t u t ；（2） )(e )2(t u t −−；（3） )2(e )2(−−−t u t 解：（1）()u t 的拉普拉斯变换为1s ，所以(2)u t −的变换为21s e s −，)2(e −−t u t的变换为2(1)11s e s −++ （2）(2)2e()()t tu t e e u t −−−=，拉普拉斯变换为21e s +（3）()te u t −的拉普拉斯变换为11s +，所以)2(e )2(−−−t u t 的拉普拉斯变换为21s e s −+6－3 求下列函数的拉普拉斯逆变换（1）65542+++s s s ；（2） )5(12+s s解：（1）245453756(2)(3)23s s s s s s s s ++−==+++++++，所以其拉普拉斯逆变换为23(37)()t te e u t −−−+ （2）22211155(5)555(5)s s s s s s s s −=+=−+++，所以其拉普拉斯逆变换为1(1)()5u t − 6－4 用拉普拉斯变换求解下列微分方程（第2章习题2－1）t t e tt e t r t t r t t r d )(d 6d )(d 2)(6d )(d 5d )(d 2222+=++ 激励信号为)()1()(t u e t e t −+=，初始状态1)0(=−r ，0)0('=−r解：把激励信号代入方程的右端，得到方程为：()5()6()4()10()4()t r t r t r t t t e u t δδ−′′′′++=+− 对方程两边取拉普拉斯变换，得到24()(0)(0)5(()(0))6()4101s R s sr r sR s r R s s s −−−′−−+−+=+−+ 代入初始值后整理：2245155(1)15(1)4520112921()56(2)(3)(1)(2)(3)(1)123s s s s s s s R s s s s s s s s s s s s +−+++−++−−+====+++++++++++++所以求()R s 的逆变换可以得到：23()(292)()t t t r t e e e u t −−−=−+−6－5 由下列系统函数)(s H 求系统频率响应特性)(ωH （1） 842)(2+++=s s s s H ；（2）12)(2+=s s H 解：稳定的系统才有频率响应。

信号与系统分析第六章

z re j eT e jT
(6―11)
6.2 Z变换的性质
6.2.1 线性特性设x1(n)X1(z)其收敛域为A，x2(n)X2(z),其收敛域为
B ，则有 ax1(n)+bx2(n)aX1(z)+bX2(z) 其收敛域为 A∩B （这里a,b为常数）。这一关系显然是和拉普拉斯变换的同一特性相对应，为了避免不必要的重复，它的证明从略。
X
(z)
,其收敛域为R∩(|z|＞1)。
证明因为
n
k
x(
k
)
u(n
)
x(n),
u(n)
1
1 z
1
z
1
n
k
x(k)
1 1 z1
X
(z)
R ( Z 1)
6.2.9 初值定理
如果因果序列x(n)的Z变换为X(z)，而且lim X (z) x
存在，则lim X (z) x
证明
X (z) x[0]zn x[0] x[1]z1 x[2]z2
1) 有限长序列
x(n)
x(n)
n1 n n2
0 n n1, n n2
(1) n1＜0,n2＞0时，有
n2
1
n2
X (z) x(n)zn x(n)zn x(n)zn
nn1
nn1
nn1
n1
n2
x(n)zn x(n)zn
n1
nn1
上式中除了第一项的z=∞处及第二项中的z=0处
nn1
显然其收敛域为0＜|z|≤∞，是包括z=∞的半开域，
即除z=0外都收敛。
(4)特殊n2 情况，n1=n2=0时，这就是序

信号与系统第三版第六章习题答案

1
2 t 2
cos
2 2
t ]u (t )
6.13 一个因果LTI系统的频率响应为：
5 jw 7 H ( jw) ( jw 4)[( jw) 2 jw 1]
(a) 求该系统的冲激响应
(b) 试确定由一阶系统和二阶系统构成的串联型结构 (c)试确定由一阶系统和二阶系统构成的串联型结构解:(a) 5 jw 7 1 jw 2
I 2 (w) 2 jw H ( jw) E (w) 8 jw 3
(b) 对H(jw)作反傅立叶变换可得h(t)
2 jw 1 H ( jw) 8 jw 3 4
h(t ) F 1{H ( jw)}
3 32 3 jw 8 3t 1 3 8 (t ) e u (t ) 4 32
(b) 对H(jw)作反傅立叶变换可得h(t)
3 3 3( jw 3) 2 H ( jw) 2 ( jw 2)( jw 4) ( jw 2) jw 4
3 2t h(t ) F {H ( jw)} (e e 4t )u (t ) 2 (c) 3( jw 3) 3 jw 9 Y ( w) H ( jw) 2 ( jw 2)( jw 4) ( jw) 6 jw 8 X ( w)
1 X ( w) ( jw 2) 2
Y (w) H ( jw) X (w)
2 Y ( w) 3 ( jw 2) ( jw 4)
1 1 4 2 3 ( jw 2) ( jw 2) ( jw 2) ( jw 4) 1 4 1 2
1 2t 1 2t 1 2 2t 1 4t y (t ) F {Y ( w)} ( e te t e e )u (t ) 4 2 2 4 2 2 ( jw ) 2 (c) H ( jw) ( jw) 2 2 jw 1

信号与系统第6章习题解答

d ( z 1) 2 X ( z ) z n 1 ] dz z 1 zn z 1 ( z 2) 2
z 1
d zn nz n1 )] z 1 [ ( dz z 2 z2 x(n) (2 n n 1)u (n)
( n 1)u (n)
⑵ X ( z)
X 1 ( z)
n
1 ( 2 ) u (n)z
n

n
1 ( ) n z n n 0 2
1 1 1 2z

2z 2z 1
1 1, 2z
z 1/ 2
3
1 1 1 x 2 n u n 10 2 2 2
m

z zm
z n
z a
a n
Z Z 1 a n u (n 1) Z a
6-7 （1）， X (z)
1 0.5 z 1 1 0.5 z 1
z 0.5
5
X ( z)
1 0.5 z 1 X 1 ( z) X 2 ( z) 1 (0.5 z 1 ) 1 (0.5 z 1 )
x 2 (n) 5 3 n u ( n 1) x(n) x1 n x 2 n 5u (n) 5 3 n u ( n 1)
3、留数法：因为 1<lzl<3，故是双边序列，需要分别考虑 n 0和n 0 的情况。
z 1 ，右边序列， n 0 ，在此逆时针围线内 X z z n1 有一阶极点 z=1，
1
1 1 z 2

1 1 1 2z
,
z 1, 2
1 1 2z

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《信号与系统》第六章试题汇编
1. 已知一因果连续LTI 系统的微分方程为
)(2)(')(3)('4)("t x t x t y t y t y +=++ 试求：
（1）系统的H(s)，零极图，系统的稳定性；
（2）画出模拟框图；
（3）(0)'(0)1y y --==，2()()t x t e u t -=时，求()(0)y t t >；
（4）当激励()()2()x t u t u t =-+时，求()()y t t -∞<<∞。

2. 已知一因果连续LTI 系统的微分方程为
22()7()10()()d d d y t y t y t x t d t
d t d t ++= 试求：
（1）画出系统的结构框图；
（2）若(0)'(0)1y y --==，输入信号()()x t tu t =，试求系统的零输入响应与零状态响应，并指出自由响应与强迫响应。

3. 某一个二阶连续时间LTI 系统，已知其系统函数的极点分别为11p =-，22p =，其零点13z =。

假设该系统对阶跃信号()u t 的响应为()s t ，且有并满足以下关系： lim ()3t s t →+∞
=。

试求：（1）系统()H s ，并判断该系统因果性和稳定性；
（2）该系统的阶跃响应()s t 。

（3）该系统对符号函数sgn()t 的响应。

4. 已知一LTI 系统，输入()x t 的拉氏变换为2()2
s X s s +=-，且当0t >时，()0x t =，这时输出221()()()33
t t y t e u t e u t -=--+，试求：（1）系统函数()H s ；
（2）系统的单位冲激响应()h t ；
（3）当输入3()t x t e =时，求()y t 。

5. 某一因果连续时间LTI 系统的微分方程为： ()3()2()()3()y t y t y t x t x t ''''++=+ 试求：
（1）系统函数、单位冲激响应和判断系统稳定性；
（2）试画出该系统S 域的模拟框图；
（3）已知(0)0y +'=，(0)1y +=，3()()t x t e u t -=, 求()y t 。

6. 已知某一二阶因果稳定LTI 系统2()43
s H s s s =
++，试求：（1）系统S 域模拟框图和微分方程；
（2）已知初始条件(0)1y +=，(0)0y +'=，输入信号为()()x t u t =，求系统响应；
（3）已知输入信号如下图所示，求系统响应。

7. 已知某一因果连续时间LTI 系统的框图如下，试求：
（1）写出该系统的微分方程；
（2）系统函数()H s 和单位冲激响应()h t ；（3）()()x t u t =，求()y t 的零状态响应；
（4）已知(0)1ω-=，(0)0ω-'=，()()x t u t =，求()y t 。

8. 已知某一因果系统如下图所示，设该系统对()u t 的响应为()s t ,且有l i m ()1t s t →+∞=。

(1) 确定该系统的系统函数和冲激响应；
（2）如输入信号为()u t -，求系统在0t >时的响应。

9. 已知某一系统的单位冲激响应()h t 为右边信号，其拉氏变换为3()(1)(2)s H s s s +=
++，试确定()h t 。

10. 如果LTI 系统的初始状态不变，当激励为()cos()()4x t t u t π
=+时，其全响应为
1()(cos )()t y t e t u t -=+，当激励为2()x t 时，其全响应为2()2cos()()y t t u t =，试求：
（1）系统的零输入响应；
（2）系统的频率响应。

11. 已知某一因果系统()2
s H s s =
+，如果输入信号如图所示，求对应的输出响应。

12. 已知一因果连续LTI 系统的微分方程为
)(2)(')(3)('4)("t x t x t y t y t y +=++
求：（1）系统的H (s )，零极图，系统的稳定性；
（2）画出模拟框图；
（3）1)0(')0(==--y y ，)()(2t u e t x t -=时，求)0()(>t t y ；
（4）当激励)(2)()(t u t u t x +-=时，求)()(∞<<-∞t t y 。