2021中考数学必刷题 (50)
2021中考数学必刷题 (50)
数学题库50一、选择题（本题共计8小题，每题3分，共计24分，）1．（3分）|﹣2018|的值是（）A．B．2018C．D．﹣20182．（3分）在“创文明城，迎省运会”合唱比赛中，10位评委给某队的评分如下表所示，则下列说法正确的是（）成绩（分）9.29.39.49.59.6人数32311A．中位数是9.4分B．中位数是9.35分C．众数是3和1D．众数是9.4分3．（3分）如图图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．（3分）下列计算正确的是（）A．a3+a2＝a5B．a8÷a4＝a2C．（2a3）2﹣a•a5＝3a6D．（a﹣2）（a+3）＝a2﹣65．（3分）如图，过矩形ABCD的对角线AC的中点O作EF⊥AC，交BC边于点E，交AD 边于点F，分别连接AE、CF，若AB＝2，∠DCF＝30°，则EF的长为（）A．4B．6C．D．26．（3分）将一张宽为5cm的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是（）A．cm2B．cm2C．25cm2D．cm2 7．（3分）亚洲陆地面积约为4400万平方千米，用科学记数法正确表示44000000的是（）A．44×106B．0.44×108C．4.4×103D．4.4×1078．（3分）如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，则函数y＝ax2+（b﹣1）x+c的图象可能是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共计6小题，每题3分，共计18分，）9．（3分）计算：＝．10．（3分）春节期间，某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品2件和乙商品3件共需270元；购进甲商品3件和乙商品2件共需230元，则乙商品每件元．11．（3分）如图AB、AC是⊙O的两条弦，∠A＝32°，过点C的切线与OB的延长线交于点D，则∠D的度数为．12．（3分）甲、乙两组学生去距学校4.5千米的敬老院开展慰问活动，甲组学生步行出发半小时后，乙组学生骑自行车开始出发，两组学生同时到达敬老院．已知步行速度是骑自行车速度的，设步行速度为x千米/时，则根据题意可以列出方程．13．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E为AB的中点，G为BC延长线上一点，射线EO与∠ACG的角平分线交于点F，若AB＝8，BC＝6，则线段EF的长为．14．（3分）如图，在边长为12cm的正方形纸片ABCD中，EF∥AD，M、N是线段EF的六等分点，若把该正方形纸片折成一个正六棱柱，使AB与点DC重合，则M、N两点间的距离是cm．三、作图题（尺规作图，保留作图痕迹）15．（4分）如图，有一块三角形材料（△ABC），请你画出一个半圆，使得圆心在线段AC 上，且与AB、BC相切．结论：四、解答题16．（8分）（1）化简：（2）若二次函数y＝x2+（c﹣1）x﹣c的图象与横轴有唯一交点，求c的值．17．（6分）如图，把可以自由转动的圆形转盘A，B分别分成3等份的扇形区域，并在每一个小区域内标上数字．小明和小颖两个人玩转盘游戏，游戏规则是：同时转动两个转盘，当转盘停止时，若指针两区域的数字均为奇数，则小明胜；若指针两区域的数字均为偶数，则小颖胜；若有指针落在分割线上，则无效，需重新转动转盘．这个游戏规则对双方公平吗？请说明理由．18．（6分）中华文明，源远流长，中华汉字，寓意深广，为了传承优秀传统文化，某校九年级组织600名学生参加了一次“汉字听写”大赛．赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于60分，为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中若干名学生的成绩作为样本，成绩如下：90，92，81，82，78，95，86，88，72，66，62，68，89，86，93，97，100，73，76，80，77，81，86，89，82，85，71，68，74，98，90，97，100，84，87，73，65，92，96，60．对上述成绩进行了整理，得到下列不完整的统计图表：成绩x/分频数频率60≤x＜7060.1570≤x＜8080.280≤x＜90a b90≤x≤100c d 请根据所给信息，解答下列问题：（1）a＝，b＝，c＝，d＝；（2）请补全频数分布直方图；（3）若成绩在90分以上（包括90分）的为“优”等，请你估计参加这次比赛的600名学生中成绩“优”等的约有多少人？19．（6分）在一次综合实践课上，同学们为教室窗户设计一个遮阳篷，小明同学绘制的设计图如图所示，其中AB表示窗户，且AB＝2米，BCD表示直角遮阳蓬，已知当地一年中正午时刻太阳光与水平线CD的最小夹角∠PDN＝18.6°，最大夹角∠MDN＝64.5°请你根据以上数据，帮助小明同学计算出遮阳篷中CD的长是多少米？（结果精确到0.1）（参考数据：sin18.6°≈0.32，tan18.6°≈0.34，sin64.5°≈0.90，tan64.5°≈2.1）20．（8分）环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mgL．环保局要求该企业立即整改，在15天以内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AB表示前3天的变化规律，其中第3天时硫化物的浓度降为4mgL．从第3天起所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系：时间x（天）34568……硫化物的浓y（mg/L）43 2.42 1.5（1）求整改过程中当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；（2）求整改过程中当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；（3）该企业所排污水中硫化物的浓度，能否在15天以内不超过最高允许的1.0mgL？为什么？21．（8分）已知：如图，在平行四边形中，点E在BC边上，连接AE．O为AE中点，连接BO并延长交AD于F．（1）求证：△AOF≌△BOE，（2）判断当AE平分∠BAD时，四边形ABEF是什么特殊四边形，并证明你的结论．22．（10分）5月13日是母亲节，为了迎接母亲节的到来，利客来商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同．（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？（2）商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，其中甲种玩具的件数少于24件，并且商场决定此次进货的总资金不超过1000元，求商场共有几种进货方案？（3）在（2）条件下，若每件甲种玩具售价30元，每件乙种玩具售价45元，请求出卖完这批玩具获利W（元）与甲种玩具进货量m（件）之间的函数关系式，并求出最大利润为多少？23．（10分）如图，正方形ABCD的四个顶点分别在正方形EFGH的四条边上，我们称正方形EFGH是正方形ABCD的外接正方形．探究一：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的2倍？如图，假设存在正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD的2倍．因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为2，所以EF＝FG＝GH＝HE＝，设EB＝x，则BF＝﹣x，∵Rt△AEB≌Rt△BFC∴BF＝AE＝﹣x在Rt△AEB中，由勾股定理，得x2+（﹣x）2＝12解得，x1＝x2＝∴BE＝BF，即点B是EF的中点．同理，点C，D，A分别是FG，GH，HE的中点．所以，存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的2倍探究二：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍？（仿照上述方法，完成探究过程）探究三：已知边长为1的正方形ABCD，一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的4倍？（填“存在”或“不存在”）探究四：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的n倍？（n＞2）（仿照上述方法，完成探究过程）24．（12分）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝4cm，AD＝3cm，动点M、N分别从D、B 同时出发，都以1cm/秒的速度运动，点M沿DA向点终点A运动，点N沿BC向终点C 运动．过点N作NP⊥BC，交AC于点P，连接MP，已知运动的时间为t秒（0＜t＜3）．（1）当t＝1秒时，求出PN的长；（2）若四边形CDMP的面积为s，试求s与t的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t使四边形CDMP的面积与四边形ABCD的面积比为3：8，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．（4）在点M、N运动过程中，△MP A能否成为一个等腰三角形？若能，试求出所有t的可能值；若不能，试说明理由．参考答案一、选择题（本题共计8小题，每题3分，共计24分，）1．【分析】根据负数的绝对值是它的相反数可得答案．【解答】解：|﹣2018|＝2018，故选：B．【点评】此题主要考查了绝对值，关键是掌握绝对值的性质．2．【分析】分别利用中位数、众数的定义求得答案后即可确定符合题意的选项．【解答】解：∵共10名评委，∴中位数应该是第5和第6人的平均数，为9.3分和9.4分，∴中位数为9.35分，故A错误，B正确；∵成绩为9.2分和9.4分的并列最多，∴众数为9.2分和9.4分，故C错误，D错误．故选：B．【点评】本题考查了中位数、众数的知识，解题的关键是能够根据定义及公式正确的求解，难度不大．3．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故本选项正确；C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误；故选：B．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．4．【分析】根据合并同类项，同底数幂的除法，多项式乘以多项式，幂的乘方和积的乘方求出每个式子的值，再得出选项即可．【解答】解：A、a2和a3不能合并，故本选项不符合题意；B、a8÷a4＝a4，故本选项不符合题意；C、（2a3）2﹣a•a5＝4a6﹣a6＝3a6，故本选项符合题意；D、（a﹣2）（a+3）＝a2+a﹣6，故本选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，多项式乘以多项式，幂的乘方和积的乘方等知识点，能求出每个式子的值是解此题的关键．5．【分析】求出∠ACB＝∠DAC，然后利用“角角边”证明△AOF和△COE全等，根据全等三角形对应边相等可得OE＝OF，再根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形得到四边形AECF是菱形，再求出∠ECF＝60°，然后判断出△CEF是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得EF＝CF，根据矩形的对边相等可得CD＝AB，然后求出CF，从而得解．【解答】解：∵矩形对边AD∥BC，∴∠ACB＝∠DAC，∵O是AC的中点，∴AO＝CO，在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE（ASA），∴OE＝OF，又∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形，∵∠DCF＝30°，∴∠ECF＝90°﹣30°＝60°，∴△CEF是等边三角形，∴EF＝CF，∵AB＝2，∴CD＝AB＝2，∵∠DCF＝30°，∴CF＝2÷＝4，∴EF＝4，故选：A．【点评】本题考查了菱形的判定与性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，难点在于判断出△CEF是等边三角形．6．【分析】当AC⊥AB时，重叠三角形面积最小，此时△ABC是等腰直角三角形，利用三角形面积公式即可求解．【解答】解：如图，当AC⊥AB时，三角形面积最小，∵∠BAC＝90°∠ACB＝45°∴AB＝AC＝5cm，∴S△ABC＝×5×5＝（cm2）．故选：B．【点评】本题考查了折叠的性质，发现当AC⊥AB时，重叠三角形的面积最小是解决问题的关键．7．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：用科学记数法正确表示44000000的是4.4×107．故选：D．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．8．【分析】由一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，得出方程ax2+（b﹣1）x+c＝0有两个不相等的根，进而得出函数y＝ax2+（b﹣1）x+c与x轴有两个交点，根据方程根与系数的关系得出函数y＝ax2+（b﹣1）x+c的对称轴x＝﹣＞0，即可进行判断．【解答】解：点P在抛物线上，设点P（x，ax2+bx+c），又因点P在直线y＝x上，∴x＝ax2+bx+c，∴ax2+（b﹣1）x+c＝0；由图象可知一次函数y＝x与二次函数y＝ax2+bx+c交于第一象限的P、Q两点，∴方程ax2+（b﹣1）x+c＝0有两个正实数根．∴函数y＝ax2+（b﹣1）x+c与x轴有两个交点，又∵﹣＞0，a＞0∴﹣＝﹣+＞0∴函数y＝ax2+（b﹣1）x+c的对称轴x＝﹣＞0，∴A符合条件，故选：A．【点评】本题考查了二次函数的图象，直线和抛物线的交点，交点坐标和方程的关系以及方程和二次函数的关系等，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．二、填空题（本题共计6小题，每题3分，共计18分，）9．【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：原式＝＝＝＝6．故答案为：6．【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．10．【分析】设甲商品的进价为x元/件，乙商品的进价为y元/件，根据总价＝单价×数量结合“购进甲商品2件和乙商品3件共需270元；购进甲商品3件和乙商品2件共需230元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【解答】解：设甲商品的进价为x元/件，乙商品的进价为y元/件，根据题意得：，解得：．故答案为：70．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．11．【分析】连接OC，根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠A＝64°，根据切线的性质解答．【解答】解：连接OC，由圆周角定理得，∠BOC＝2∠A＝64°，∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD＝90°，∴∠D＝90°﹣∠BOC＝26°，故答案为：26°．【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．12．【分析】设步行速度为x千米/时，则骑自行车的速度为3x千米/时，根据时间＝路程÷速度结合骑自行车比步行少用半小时，即可得出关于x的分式方程，此题得解．【解答】解：设步行速度为x千米/时，则骑自行车的速度为3x千米/时，依题意，得：﹣＝．故答案为：﹣＝．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．13．【分析】过F点作FM⊥BG于M，作FN⊥AC于N，根据矩形的性质，勾股定理可求BE，EO，OC，根据角平分线的性质可得FN，再根据三角形面积公式可求OF，进一步即可求解．【解答】解：过F点作FM⊥BG于M，作FN⊥AC于N，∵四边形ABCD是矩形，E为AB的中点，AB＝8，BC＝6，∴BE＝4，EO＝3，OC＝AC＝×＝5，∵CF是∠ACG的角平分线，∴FN＝FM＝BE＝4，∴OF＝5×4÷2×2÷4＝5，∴EF＝EO+FO＝3+5＝8．故答案为：8．【点评】考查了矩形的性质，勾股定理，角平分线的性质，三角形面积，本题难点是求出OF的长．14．【分析】根据正六边形的性质解答即可．【解答】解：如图所示：∵正六边形的周长为12cm，∴MQ＝QN＝2cm，∠MQN＝120°，连接MN，过Q作QP⊥MN，在Rt△MQP中，MP＝，同理可得PN＝，∴MN＝2，故答案为：2【点评】此题考查几何体的展开图，关键是根据正六边形的性质解答．三、作图题（尺规作图，保留作图痕迹）15．【分析】根据切线的定义可知圆心到AB、BC的距离相等，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可知∠ABC的平分线与AC的交点O即为所求半圆的圆心，再过点O作BC的垂线，垂足为D，然后以O为圆心，以OD的长为半径作出半圆即可．【解答】解：如图所示．结论为：以O为圆心，以OD的长为半径作出半圆．【点评】本题考查了应用于设计作图，切线的判定，主要利用了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质以及过直线外一点作已知直线的垂线的方法．四、解答题16．【分析】（1）利用平方差公式、化除为乘及消元法，即可将原分式进行化简；（2）由二次函数图象与x轴有唯一交点，可得出△＝（c+1）2＝0，解之即可得出c的值．【解答】解：（1）原式＝×＝﹣；（2）∵二次函数y＝x2+（c﹣1）x﹣c的图象与横轴有唯一交点，∴△＝（c﹣1）2﹣4×1×（﹣c）＝（c+1）2＝0，解得：c＝﹣1，∴c的值为﹣1．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点以及分式的乘除法，解题的关键是：（1）牢记分式运算的法则；（2）牢记“△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点”．17．【分析】利用树状图列举出所有情况，分别求得两人获胜的概率，比较大小即可得知这个游戏规对双方是否公平．【解答】解：这个游戏规则对双方公平，如图所示：共9种情况，其中均为偶数的有2种结果，均为奇数的情况数有2种，所以小明获胜的概率为、小颖获胜的概率为，∵＝，∴这个游戏规则对双方公平．【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．18．【分析】（1）由已知数据得出a、c的值，再根据频率＝频数÷总数可得b、d的值；（2）由（1）中所求数据补全图形即可得；（3）总人数乘以样本中90≤x≤100的频率即可得．【解答】解：（1）由题意知a＝14，b＝14÷40＝0.35，c＝12，d＝12÷40＝0.3，故答案为：14、0.35、12、0.3；（2）补全频数直方图如下：（3）600×0.3＝180，答：估计参加这次比赛的600名学生中成绩“优”等的约有180人．【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．19．【分析】解直角三角求出BC＝0.34x米，AC＝2.1x米，得出方程，求出方程的解即可．【解答】解：设CD＝x米，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，∠CDB＝∠PDN＝18.6°，CB＝CD×tan18.6°≈0.34x 米，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，∠CDA＝∠MDN＝64.5°，AC＝CD×tan64.5°≈2.1x 米，∵AB＝2米，AB＝AC﹣BC，∴2.1x﹣0.34x＝2，解得：x≈1.1，即遮阳篷中CD的长约为1.1米．【点评】本题考查了解直角三角形和解方程，能通过解直角三角形求出AC和BC的长是解此题的关键．20．【分析】（1）根据图象知，函数是一次函数．用待定系数法可确定函数解析式；（2）由图象知，函数是反比例函数，用待定系数法确定函数解析式；（3）把15代入反比例函数解析式并计算，比较后得结果．【解答】解：（1）前三天的函数图象是线段，设函数表达式为：y＝kx+b把（0，10）（3，4）代入函数关系式，得解得：k＝﹣2，b＝10所以当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为：y＝﹣2x+10；（2）当x≥3时，设y＝把（3，4）代入函数表达式，得4＝所以k＝12当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为：y＝（3）能．理由：当x＝15时，y＝＝0.8因为0.8＜1，所以该企业所排污水中硫化物的浓度，能在15天以内不超过最高允许的1.0mgL【点评】本题考查了一次函数的待定系数法、反比例函数及其应用．题目难度不大．会用待定系数法确定函数解析式，是解决本题的关键．21．【分析】（1）先利用平行四边形的性质得AD∥BC，则∠AFB＝∠CBF，然后根据“AAS”可判断△AOF≌△BOE；（2）利用△AOF≌△BOE得到FO＝BO，则可根据对角线互相平分可判定四边形ABEF 是平行四边形，根据AE平分∠BAD，得∠BAE＝∠F AE，又∠F AE＝∠AEB，得∠BAE ＝∠AEB，AB＝BE，有一组对边相等的平行四边形是菱形，得四边形ABEF是菱形．【解答】（1）证明：∵O为AE中点，∴AO＝EO，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AFB＝∠CBF，在△AOF和△BOE中，∴△AOF≌△BOE；（2）解：四边形ABEF是平行四边形．理由如下：∵△AOF≌△BOE，∴FO＝BO，而AO＝EO，∴四边形ABEF是平行四边形．∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠F AE∵∠F AE＝∠AEB∴∠BAE＝∠AEB∴AB＝BE∴四边形ABEF是菱形．【点评】本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分．22．【分析】（1）设甲种玩具进价为x元/件，则乙种玩具进价为（40﹣x）元/件，根据用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同可列方程求解．（2）设购进甲种玩具m件，则购进乙种玩具（48﹣m）件，根据甲种玩具的件数少于24件，并且商场决定此次进货的总资金不超过1000元，可列出不等式组求解．（3）先列出有关总利润和进货量的一次函数关系式，然后利用一次函数的性质结合自变量的取值范围求最大值即可．【解答】解：（1）设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为（40﹣x）元/件，根据题意，得＝，解得x＝15，经检验x＝15是原方程的解．则40﹣x＝25．答：甲、乙两种玩具分别是15元/件，25元/件；（2）设购进甲种玩具m件，则购进乙种玩具（48﹣m）件，由题意，得，解得20≤m＜24．∵m是整数，∴m取20，21，22，23，故商场共有四种进货方案：方案一：购进甲种玩具20件，乙种玩具28件；方案二：购进甲种玩具21件，乙种玩具27件；方案三：购进甲种玩具22件，乙种玩具26件；方案四：购进甲种玩具23件，乙种玩具25件；（3）设购进甲种玩具m件，卖完这批玩具获利W元，则购进乙种玩具（48﹣m）件，根据题意得：W＝（30﹣15）m+（45﹣25）（48﹣m）＝﹣5m+960，∵比例系数k＝﹣5＜0，∴W随着m的增大而减小，∴当m＝20时，有最大利润W＝﹣5×20+960＝860元．【点评】本题考查了一次函数的应用，列分式方程解实际问题的应用，一元一次不等式解方案设计问题的应用，找出题中的等量关系与不等关系是解题的关键．23．【分析】探究二，根据探究一的解答过程、运用一元二次方程计算即可；探究三，根据探究一的解答过程、运用一元二次方程根的判别式解答；探究四，根据探究一的解答过程、运用一元二次方程根的判别式解答．【解答】解：探究二：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为3，所以EF＝FG＝GH＝HE＝，设EB＝x，则BF＝﹣x，∵Rt△AEB≌Rt△BFC∴BF＝AE＝﹣x在Rt△AEB中，由勾股定理，得x2+（﹣x）2＝12整理得x2﹣x+1＝0b2﹣4ac＝3﹣4＜0，此方程无解，不存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍；探究三：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为4，所以EF＝FG＝GH＝HE＝2，设EB＝x，则BF＝2﹣x，∵Rt△AEB≌Rt△BFC∴BF＝AE＝2﹣x在Rt△AEB中，由勾股定理，得x2+（2﹣x）2＝12整理得2x2﹣4x+3＝0b2﹣4ac＝16﹣24＜0，此方程无解，不存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍，故答案为：不存在；探究四：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为n，所以EF＝FG＝GH＝HE＝，设EB＝x，则BF＝﹣x，∵Rt△AEB≌Rt△BFC∴BF＝AE＝﹣x在Rt△AEB中，由勾股定理，得x2+（﹣x）2＝12整理得2x2﹣2x+n﹣1＝0b2﹣4ac＝8﹣4n＜0，此方程无解，不存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的n倍．【点评】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及一元二次方程的解法，读懂探究一的解答过程、正确运用一元二次方程根的判别式是解题的关键．24．【分析】（1）由t＝1知BN＝1、CN＝BC﹣BN＝2，证△PNC∽△ABC得＝，据此可得答案；（2）延长NP交AD于点Q，则PQ⊥AD，由△PNC∽△ABC得＝，据此得出PN ＝4﹣t、PQ＝t，根据S四边形CDMP＝S△ACD﹣S△AMP可得；（3）由＝＝解方程可得；（4）本题要分三种情况：①MP＝P A，那么AQ＝BN＝AM，可用x分别表示出BN和AM的长，然后根据上述等量关系可求得x的值．②MA＝MP，在直角三角形MQP中，MQ＝MA﹣BN，PQ＝AB﹣PN根据勾股定理即可求出x的值．③MA＝P A，不难得出AP ＝BN，然后用x表示出AM的长，即可求出x的值．【解答】解：（1）当t＝1时，BN＝1、CN＝BC﹣BN＝2，∵PN⊥BC，∴∠PNC＝∠B＝90°，∴PN∥AB，∴△PNC∽△ABC，∴＝，即＝，∴PN＝；（2）如图，延长NP交AD于点Q，则PQ⊥AD，由题意知，DM＝BN＝t，AM＝CN＝3﹣t，∵PN∥AB，∴△PNC∽△ABC，∴＝，即＝，解得：PN＝（3﹣t）＝4﹣t，∵PQ⊥AD，∴∠QAB＝∠B＝∠NQA＝90°，∴四边形ABNQ是矩形，则AB＝QN＝4，∴PQ＝QN﹣PN＝4﹣（4﹣t）＝t，∴四边形CDMP的面积s＝×3×4﹣×（3﹣t）×t＝t2﹣2t+6；（3）∵S矩形ABCD＝3×4＝12，∴＝＝，解得：t＝，所以t＝时四边形CDMP的面积与四边形ABCD的面积比为3：8；（4）△MP A能成为等腰三角形，共有三种情况，以下分类说明：①若PM＝P A，∵PQ⊥MA，∴四边形ABNQ是矩形，∴QA＝NB＝t，∴MQ＝QA＝t，又∵DM+MQ+QA＝AD∴3t＝3，即t＝1②若MP＝MA，则MQ＝3﹣2t，PQ＝t，MP＝MA＝3﹣t，在Rt△PMQ中，由勾股定理得：MP2＝MQ2+PQ2∴（3﹣t）2＝（3﹣2t）2+（t）2，解得：t＝（t＝0不合题意，舍去）③若AP＝AM，由题意可得：AP＝t，AM＝3﹣t∴t＝3﹣t，解得：t＝综上所述，当t＝1或t＝或t＝时，△MP A是等腰三角形．【点评】本题主要考查四边形的综合问题，解题的关键是掌握矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质及分类讨论思想的运用等知识点．。
专题19 三角函数应用-2021年中考数学名校地市必刷题(江苏专用)(解析版)
专题19 三角函数应用一、单选题（共12小题）1.（2020秋•普陀区期末）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，BC＝2，那么tan B的值等于（）A．B．C．D．【答案】C【分析】画出相应的图形，根据勾股定理和锐角三角函数的意义求解后，再做出判断即可．【解答】解：如图，由勾股定理得，AC＝＝＝，∴tan B＝＝，故选：C．【知识点】锐角三角函数的定义、勾股定理2.（2020秋•徐汇区期末）已知海面上一艘货轮A在灯塔B的北偏东30°方向，海监船C在灯塔B的正东方向5海里处，此时海监船C发现货轮A在它的正北方向，那么海监船C与货轮A的距离是（）A．10海里B．5海里C．5海里D．海里【答案】B【分析】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°﹣30°＝60°，BC＝5海里，根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°﹣30°＝60°，BC＝5海里，∴AC＝BC•tan60°＝5（海里），即海监船C与货轮A的距离是5海里，故选：B．【知识点】解直角三角形的应用-方向角问题3.（2020•荆州）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格交点上，⊙O是△ABC的外接圆，则cos∠BAC的值为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】作直径BD，连接CD，根据勾股定理求出BD，根据圆周角定理得到∠BAC＝∠BDC，根据余弦的定义解答即可．【解答】解：如图，作直径BD，连接CD，由勾股定理得，BD＝＝2，在Rt△BDC中，cos∠BDC＝＝＝，由圆周角定理得，∠BAC＝∠BDC，∴cos∠BAC＝cos∠BDC＝，故选：B．【知识点】三角形的外接圆与外心、圆周角定理、解直角三角形4.（2020秋•杨浦区期末）如果小丽在楼上点A处看到楼下点B处小明的俯角是35°，那么点B处小明看点A处小丽的仰角是（）A．35°B．45°C．55°D．65°【答案】A【分析】根据两点之间的仰角与俯角正好是两条水平线夹角的内错角，应相等即可得结论．【解答】解：因为从点A看点B的仰角与从点B看点A的俯角互为内错角，大小相等．所以小丽在楼上点A处看到楼下点B处小明的俯角是35°，点B处小明看点A处小丽的仰角是35°．故选：A．【知识点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题5.（2021•松江区一模）如图，一艘船从A处向北偏东30°的方向行驶10千米到B处，再从B处向正西方向行驶20千米到C处，这时这艘船与A的距离（）A．15千米B．10千米C．10千米D．5千米【答案】C【分析】根据直角三角形的三角函数得出AE，BE，进而得出CE，利用勾股定理得出AC即可．【解答】解：如图，∵BC⊥AE，∴∠AEB＝90°，∵∠EAB＝30°，AB＝10米，∴BE＝5米，AE＝5米，∴CE＝BC﹣CE＝20﹣5＝15（米），∴AC＝（米），故选：C．【知识点】解直角三角形的应用-方向角问题6.（2020春•沙坪坝区校级月考）小明为了测量一楼房AB的高度，如图，小明从楼底B出发走了10米到达一坡角（即∠DCM）为30°的斜坡的底部，再走12米到达一观测平台，测得楼顶A的仰角∠ADH为37°．则楼房AB的高度为（）（参考数据：cos37°＝0.80，tan37°＝0.75，＝1.7）A．15 B．21 C．22 D．16【答案】B【分析】作DN⊥BM于N，则HB＝DN，DH＝BN，由含30°角的直角三角形的性质得HB＝DN＝CD＝6米，CN＝DN＝6米，则DH＝BN＝10+6（米），在Rt△ADH中，由三角函数定义求出AH＝15.15米，得出AB＝AH+HB≈21米即可．【解答】解：作DN⊥BM于N，如图：则HB＝DN，DH＝BN，∵∠DCN＝30°，CD＝12米，∴HB＝DN＝CD＝6米，CN＝DN＝6米，∴DH＝BN＝BC+CN＝10+6（米），在Rt△ADH中，tan∠ADH＝＝tan37°＝0.75，∴AH＝0.75DH＝0.75×（10+6）＝15.15米，∴AB＝AH+HB＝15.15+6≈21（米），即楼房AB的高度约为21米．故选：B．【知识点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题、解直角三角形的应用-坡度坡角问题7.（2020秋•沙坪坝区校级期中）如图，重庆建川博物馆的主题雕塑“冒着敌人的炮火”矗立在鹅公岩长江大桥旁，为了测量雕塑AE的大致高度，小南同学在点C处测得雕塑顶部A的仰角为45°，雕塑底部E 的仰角为37°，再沿着CB方向走8米到达点D，此时测得雕塑顶部A的仰角为54.5°，小南同学的身高忽略不计，已知A、B、C、D、E在同一平面内，则该雕塑AE的高度约为（）米．（参考敷据：tan37°≈0.75，tan54.5°≈1.40）A．7 B．8 C．21 D．28【答案】A【分析】设BD＝x米，则BC＝BD+CD＝（x+8）米，证出△ABC是等腰直角三角形，得AB＝BC＝（x+8）米，在Rt△ABD中，由三角函数定义得tan∠ADB＝＝tan54.5°≈1.40，解得：x≈20，则AB＝BC＝28（米），在Rt△BCE中，由三角函数定义求出BE≈21（米），即可得出答案．【解答】解：设BD＝x米，则BC＝BD+CD＝（x+8）米，由题意得：∠ADB＝54.5°，∠BCE＝37°，∠ABC＝90°，∠ACB＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝BC＝（x+8）米，在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，∠ADB＝54.5°，∵tan∠ADB＝＝tan54.5°≈1.40，∴≈1.40，解得：x≈20，∴AB＝BC＝28（米），在Rt△BCE中，∠BCE＝37°，∵tan∠BCE＝＝tan37°≈0.75，∴BE≈0.75BC＝0.75×28＝21（米），∴AE＝AB﹣BE＝28﹣21＝7（米），即该雕塑AE的高度约为7米，故选：A．【知识点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题8.（2020秋•九龙坡区校级期中）如图，在国旗台DF上有一根旗杆AF，国庆节当天小明参加升旗仪式，在B处测得旗杆顶端的仰角为37°，小明向前走4米到达点E，经过坡度为1的坡面DE，坡面的水平距离是1米，到达点D，测得此时旗杆顶端的仰角为53°，则旗杆的高度约为（）米．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）A．6.29 B．4.71 C．4 D．5.33【答案】A【分析】通过作高利用坡比求出DM＝EM＝1，在Rt△ADF中，∠DAF＝90°﹣∠ADF＝90°﹣53°＝37°，再根据三角函数的意义，用AF表示DF，最后再在Rt△ABC中，利用锐角三角函数，设未知数，列方程求解即可．【解答】解：过点D作DM⊥BC，垂足为M，由题意得，∠B＝37°，∠ADF＝53°，BE＝4，EM＝1，∵坡面DE的坡度为1，∴＝1，∴DM＝EM＝1＝FC，在Rt△ADF中，∠DAF＝90°﹣∠ADF＝90°﹣53°＝37°，∵tan∠DAF＝≈0.75，设AF＝x，则DF＝0.75x＝MC，在Rt△ABC中，∵tan∠B＝，∴tan37°＝≈0.75，解得x＝≈6.29（米），故选：A．【知识点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题、解直角三角形的应用-坡度坡角问题9.（2020秋•虹口区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB上一点，过D作DF⊥AB交边BC于点E，交AC的延长线于点F，联结AE，如果tan∠EAC＝，S△CEF＝1，那么S△ABC的值是（）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】C【分析】根据tan∠EAC＝，可得＝，由△EFC∽△ABC，可得相似比为，从而得到面积比为，进而求出答案．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠B＝90°，又∵DF⊥AB，∴∠ADF＝90°，∴∠BAC+∠F＝90°，∴∠B＝∠F，又∵∠ECF＝∠ACB＝90°，∴△ECF∽△ACB，∴＝＝tan∠EAC＝，∴＝，又∵S△ECF＝1，∴S△ABC＝9，故选：C．【知识点】解直角三角形、三角形的面积10.（2020•武汉模拟）如图，把n个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan∠BA1C＝1，tan∠BA2C＝，tan∠BA3C＝…，依此规律写出tan∠BA7C＝，则n＝（）A．40 B．41 C．42 D．43【答案】D【分析】作CH⊥BA4于H，根据正方形的性质、勾股定理以及三角形的面积公式求出CH、A4H，根据正切的概念求出tan∠BA4C，总结规律解答．【解答】解：作CH⊥BA4于H，由勾股定理得，BA4＝＝，A4C＝，△BA4C的面积＝4﹣2﹣＝，∴CH＝，解得，CH＝，则A4H＝＝，∴tan∠BA4C＝＝，1＝12﹣1+1，3＝22﹣2+1，7＝32﹣3+1，∴tan∠BA n C＝，∴tan∠BA7C＝，则n＝43．故选：D．【知识点】解直角三角形、规律型：图形的变化类11.（2020秋•沙坪坝区校级月考）如图，在三角形纸片ABC中，点D是BC边上的中点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，连接CE，若BC＝6，tan∠ECB＝，则△AEC的面积为（）A．B．2 C．D．2【答案】D【分析】通过作辅助线得出S△AEC＝S△DEC，根据等腰三角形的性质，可求出S△DEC，进而得出答案．【解答】解：连接BE，过点D作DM⊥EC，垂足为M，∵点D是BC边上的中点，BC＝6，∴BD＝CD＝3，由折叠得，BD＝DE，AD⊥BE，∴DE＝DB＝DC，∴∠BEC＝90°，即BE⊥EC，∴EC∥AD，∴S△AEC＝S△DEC，在△DEC中，DE＝DC＝3，DM⊥EC，∴ME＝MC，∵tan∠MCD＝＝，设MC＝2m，则DM＝m，由勾股定理得，DM2+MC2＝DC2，即4m2+5m2＝32，解得m＝1，∴DM＝，MC＝2，∴S△DEC＝EC•DM＝2，故选：D．【知识点】三角形的面积、解直角三角形、翻折变换（折叠问题）12.（2020•浙江自主招生）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D为BC的中点，点E在AB上，AD，CE交于点F，AE＝EF＝4，FC＝9，则cos∠ACB的值为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】如图，延长AD到M，使得DM＝DF，连接BM．利用全等三角形的性质证明BM＝CF＝9，AB＝BM，利用勾股定理求出BC，AC即可解决问题．【解答】解：如图，延长AD到M，使得DM＝DF，连接BM．∵BD＝DC，∠BDM＝∠CDF，DM＝DF，∴△BDM≌△CDF（SAS），∴CF＝BM＝9，∠M＝∠CFD，∵CE∥BM，∴∠AFE＝∠M，∵EA＝EF，∴∠EAF＝∠EF A，∴∠BAM＝∠M，∴AB＝BM＝9，∵AE＝4，∴BE＝5，∵∠EBC＝90°，∴BC＝＝＝12，∴AC＝＝＝15，∴cos∠ACB＝＝＝，故选：D．【知识点】解直角三角形二、填空题（共8小题）13.（2021•松江区一模）如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，△ABC的顶点在小正方形顶点位置，那么∠ABC的正弦值为．【分析】根据题意和图形，可以求得AC、BC和AB的长，然后根据勾股定理的逆定理可以判断△ACB的形状，然后即可求得∠ABC的正弦值．【解答】解：由图可得，AC＝＝，AB＝＝，BC＝＝2，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ACB是直角三角形，∴sin∠ABC＝＝，故答案为：．【知识点】解直角三角形14.（2021•虹口区一模）如图，图中提供了一种求cot15°的方法．作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝30°，再延长CB到点D，使BD＝BA，联结AD，即可得∠D＝15°．如果设AC＝t，则可得CD＝（2+）t，那么cot15°＝cot D＝＝2+．运用以上方法，可求得cot22.5°的值是．【分析】利用题中的方法构建一个Rt△ADC，使∠D＝22.5°，然后利用余切的定义求解．【解答】解：作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝45°，再延长CB到点D，使BD＝BA，联结AD，∵AB＝BD，∴∠BAD＝∠D，∵∠ABC＝∠BAD+∠D，∴∠D＝∠ABC＝22.5°，设AC＝t，则BC＝t，AB＝t，∴CD＝BC+BD＝t+t＝（+1）t，在Rt△ADC中，cot D＝＝＝+1，∴cot22.5°＝+1．故答案为+1．【知识点】解直角三角形、含30度角的直角三角形15.（2020秋•九龙坡区校级月考）如图，点P、A、B、C在同一平面内，点A、B、C在同一直线上，且PC⊥AC，在点A处测得点P在北偏东60°方向上，在点B处测得点P在北偏东30°方向上，若AP＝12千米，则A，B两点的距离为千米．【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出AC和BC的长，然后即可得到AB的长，从而可以解答本题．【解答】解：∵PC⊥AC，在点A处测得点P在北偏东60°方向上，∴∠PCA＝90°，∠P AC＝30°，∵AP＝12千米，∴PC＝6千米，AC＝6千米，∵在点B处测得点P在北偏东30°方向上，∠PCB＝90°，PC＝6千米，∴∠PBC＝60°，∴BC＝＝＝2千米，∴AB＝AC﹣BC＝6﹣2＝4（千米），故答案为：4千米．【知识点】解直角三角形的应用-方向角问题16.（2020秋•宝山区期末）如图，某堤坝的坝高为12米，如果迎水坡的坡度为1：0.75，那么该大坝迎水坡AB的长度为米．【答案】15【分析】根据坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比，再根据勾股定理即可求出该大坝迎水坡AB的长度．【解答】解：如图，过点B作BC垂直于水平面于点C，∵BC：AC＝1：0.75，∴12：AC＝1：0.75，∴AC＝9（米），∴AB＝＝＝15（米），答：该大坝迎水坡AB的长度为15米．故答案为：15．【知识点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题17.（2020•乐山）如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图．自动扶梯AB的倾斜角为30°，在自动扶梯下方（结地面C处测得扶梯顶端B的仰角为60°，A、C之间的距离为4m．则自动扶梯的垂直高度BD＝m．果保留根号）【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得到BC＝AC＝4，根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：∵∠BCD＝∠BAC+∠ABC，∠BAC＝30°，∠BCD＝60°，∴∠ABC＝∠BCD﹣∠BAC＝30°，∴∠BAC＝∠ABC，∴BC＝AC＝4，在Rt△BDC中，sin∠BCD＝，∴sin60°＝＝，∴BD＝2（m），故答案为：2．【知识点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题、含30度角的直角三角形、解直角三角形的应用-仰角俯角问题18.（2020•泰安二模）如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为30°，测得点C处的俯角为45°．又经过人工测量操控者A和教学楼BC 距离为57米，则教学楼BC的高度为．（点A，B，C，D都在同一平面上，结果保留根号）【分析】过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F．根据题意可得AB＝57，DE＝30，∠A＝30°，∠DCF＝45°．再根据四边形BCFE是矩形知CF＝BE＝57﹣30．进而可得教学楼BC的高度．【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F．由题意得，AB＝57，DE＝30，∠A＝30°，∠DCF＝45°．在Rt△ADE中，∠AED＝90°，∴tan30°＝，即＝，∴AE＝30，∵AB＝57，∴BE＝AB﹣AE＝57﹣30，∵四边形BCFE是矩形，∴CF＝BE＝57﹣30．在Rt△DCF中，∠DFC＝90°，∴∠CDF＝∠DCF＝45°．∴DF＝CF＝57﹣30，∴BC＝EF＝30﹣57+30＝（30﹣27）米．答：教学楼BC高约（30﹣27）米．故答案为：（30﹣27）米．【知识点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题19.（2020秋•龙沙区期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝22021，AC＝22020，点D1，D3，D5， (2)在AB边上，点D2，D4，D6，…D2n在AC边上，若∠B＝∠ACD1＝∠AD1D2＝∠AD2D3＝…＝∠AD n D n+1，﹣1则D2020D2021＝．【分析】根据直角三角形的边角关系和相似三角形的性质可求出AD1，AD2，AD3，AD4，……AD2020，AD2021，再根据勾股定理求出D2020D2021．【解答】解：∵∠A＝90°，∠B＝∠ACD1＝∠AD1D2＝∠AD2D3＝…＝∠AD n D n+1，∴＝＝＝＝＝＝…＝，∴AD1＝AC＝22019，AD2＝AD1＝22018，AD3＝AD2＝22017，AD4＝AD3＝22016，……AD2020＝AD2019＝20＝1，AD2021＝AD2020＝2﹣1＝，在Rt△AD2020D2021中，AD2020D2021＝＝，故答案为：．【知识点】解直角三角形20.（2020秋•香坊区期末）如图，四边形ABCD是正方形，E是BC边上一点，连接AE，BN⊥AE，垂足为M，交CD于点N，若tan∠BAE＝，MN＝3，则线段AB的长为．【分析】根据四边形ABCD是正方形，可得∠ABC＝∠C＝90°，AB＝BC＝CD，根据BN⊥AE，可得∠BAE ＝∠MBE，根据tan∠BAE＝，可以证明E是BC的中点，N是CD的中点，设BE＝a，则CN＝a，AB＝2a，根据勾股定理可得关于a的方程即可求出AB的长．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠C＝90°，AB＝BC＝CD，∴∠BAE+∠ABM＝90°，∵BN⊥AE，∴∠MBE+∠ABM＝90°，∴∠BAE＝∠MBE，∵tan∠BAE＝＝，∴AB＝2BE，∴BC＝2BE，∴E是BC的中点，同理可证：N是CD的中点，设BE＝a，则CN＝a，AB＝2a，∴AE＝BN＝＝a，∴BM＝BN﹣MN＝a﹣3，∵tan∠BAE＝tan∠BAM＝＝，∴AM＝2a﹣6，在Rt△ABM中，∠AMB＝90°，AB＝2a，∴AB2＝AM2+BM2，∴4a2＝（2a﹣6）2+（a﹣3）2，整理，得7a2﹣10a+15＝0，解得a1＝，a2＝，∵a﹣3＝×﹣3＜0，∴不符合题意，舍去，∴AB＝2a＝2．故答案为：2．【知识点】正方形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形三、解答题（共10小题）21.（2021•普陀区一模）计算：cos30°﹣2sin245°+．【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：原式＝﹣2×（）2+＝﹣2×+＝﹣1+﹣1＝﹣2．【知识点】特殊角的三角函数值22.（2021•松江区一模）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin∠ABC＝，点D在边BC上，BD＝4，联结AD，tan∠DAC＝．（1）求边AC的长；（2）求cot∠BAD的值．【分析】（1）根据题意和锐角三角函数，可以求得AC的长；（2）根据（1）中的结果，可以得到AC、CD的长，然后根据勾股定理可以得到AD的长，再根据等面积法可以求得DE的长，从而可以求得AE的长，然后即可得到cot∠BAD的值．【解答】解：（1）设AC＝3x，∵∠C＝90°，sin∠ABC＝，∴AB＝5x，BC＝4x，∵tan∠DAC＝，∴CD＝2x，∵BD＝4，BC＝CD+BD，∴4x＝2x+4，解得x＝2，∴AC＝3x＝6；（2）作DE⊥AB于点E，由（1）知，AB＝5x＝10，AC＝6，BD＝4，∵，∴，解得DE＝，∵AC＝6，CD＝2x＝4，∠C＝90°，∴AD＝＝2，∴AE＝＝＝，∴cot∠BAD＝＝＝，即cot∠BAD的值是．【知识点】解直角三角形23.（2020•顺德区模拟）如图，将矩形ABCD的四边BA、CB、DC、AD分别延长至E、F、G、H，使得AE＝CG，BF＝DH，连结EF、FG、GH、HE．（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；（2）若矩形ABCD是边长为1的正方形，且∠FEB＝45°，tan∠AEH＝2，求AE的长．【分析】（1）证△BEF≌△DGH即可；（2）设：AE＝x，则EB＝x+1，tan∠AEH＝2＝，即可求解．【解答】解：（1）∵ABCD是矩形，AE＝CG，BF＝DH，∴EB＝DG，FC＝AH，∠EBF＝∠GDH＝90°，∴△BEF≌△DGH，（SAS），∴EF＝GH，同理EH＝FG，∴四边形EFGH为平行四边形；（2）设：AE＝x，则EB＝x+1，∵∠FEB＝45°，∴FB＝EB＝x+1＝DH，在Rt△AEH中，tan∠AEH＝2＝＝，解得：x＝2，即：AE的长为2．【知识点】平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形、正方形的性质、矩形的性质24.（2020•河南模拟）某风景区内为了方便游客登上山顶，计划从山底A点到山顶C点修建观光缆车，此时从A点观测C点的仰角为45度；施工组经过实地勘察后，为了安全，决定将观光缆车的钢索改为AD、CD两段，D点是半山腰上距离地面AB30米的一个支点，从A点观测D点的仰角为30°．从D点观测山顶C点的仰角为75°，请你通过自己学过的知识来求出这座山的高度BC约为多少米．（结果保留整数．可能用到的数据：≈1.73．sin75°≈0.96．cos75°≈0.26．tan75°≈3.73）【分析】过D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：过D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，∴DE＝BF，DF＝BE，∵∠BAC＝45°，∠B＝90°，∴AB＝BC，设AB＝BC＝x，∵DE＝30，∠DAE＝30°，∴AE＝30，∴DF＝BE＝x﹣30，CF＝x﹣30，∵∠CDF＝75°，∴tan75°＝＝＝3.73，解得：x≈60（m），答：这座山的高度BC约为60米．【知识点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题25.（2020秋•龙岗区期末）如图，从楼层底部B处测得旗杆CD的顶端D处的仰角是53°，从楼层顶部A处测得旗杆CD的顶端D处的仰角是45°，已知楼层AB的楼高为3米．求旗杆CD的高度约为多少米？（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈．）【分析】过A作AE⊥CD于E，则BC＝AE，∠AED＝90°，先证△ADE是等腰直角三角形，得AE＝DE，设BC＝AE＝DE＝x米，则CD＝（x+3）米，再由锐角三角函数定义得出方程，解方程即可．【解答】解：过A作AE⊥CD于E，如图所示：则BC＝AE，∠AED＝90°，由题意得：∠DAE＝45°，∠DBC＝53°，AB＝3米，∴△ADE是等腰直角三角形，∴AE＝DE，设BC＝AE＝DE＝x米，则CD＝（x+3）米，∵tan∠DBC＝＝tan53°≈，∴≈，解得：x≈9，∴CD＝9+3＝12（米），答：旗杆CD的高度约为12米．【知识点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题26.（2020•西宁）如图1，通海桥是西宁市海湖新区地标建筑，也是我省首座大规模斜拉式大桥，通海桥主塔两侧斜拉链条在夜间亮灯后犹如天鹅之翼，优雅非凡．某数学“综合与实践”小组的同学利用课余时间按照如图2所示的测量示意图对该桥进行了实地测量，测得如下数据：∠A＝30°，∠B＝45°，斜拉主跨度AB＝260米．（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D，求CD的长（取1.7）；（2）若主塔斜拉链条上的LED节能灯带每米造价800元，求斜拉链条AC上灯带的总造价是多少元？【分析】（1）设CD＝x（米），在Rt△ADC中表示出AD＝x，在Rt△BDC中，表示出CD＝BD＝x，根据AB＝AD+BD建立关于x的方程，解之求出x的值，从而得出答案；（2）先求出AC的长度，再乘以单价即可得出答案．【解答】解：（1）∵CD⊥AB于点D，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，设CD＝x，在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，∠A＝30°，∴，即，∴，在Rt△BDC中，∠B＝45°，∴CD＝BD＝x，∵AB＝AD+BD．∴，∴，∴，∴CD＝91（米）．（2）在Rt△ADC中∠ADC＝90°，∠A＝30°，∴AC＝2CD（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半），∴AC＝182，∵LED节能灯带每米造价为800元，∴800×182＝145600（元），答：斜拉链条AC上的LED节能灯带造价是145600元．【知识点】解直角三角形的应用27.（2020秋•西岗区期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作DE⊥AB交CA的延长线于点E，垂足为点F．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）若⊙O的半径R＝3，cos∠E＝，求EF的长．【分析】（1）连接OD，证明AB∥OD，由DE⊥AB，可得结论；（2）根据题意得到＝，即可得到＝，由AB∥OD，得到△AEF∽△OED，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）DE与⊙O相切，理由：连接OD，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∵AB＝AC，∴∠B═∠C，∴∠B＝∠ODC，∴AB∥OD，∵DE⊥AB，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）∵DE⊥AB，cos∠E＝，∴＝，∴＝，∵AB∥OD，∴△AEF∽△OED，∴＝，∵OA＝OD＝R＝3，∴＝，∴EA＝2，∵＝，∴EF＝×2＝．【知识点】勾股定理、垂径定理、解直角三角形、圆周角定理、等腰三角形的性质、直线与圆的位置关系28.（2020秋•龙华区期末）如图，AB是一座高为60（3+）米的办公大楼，快递小哥在AB上的D处操作无人机进行快递业务．这时在另一座楼房的C处有人要寄快递，已知C与D在同一水平线上，从A 看C的仰角为30°，从B看C的俯角为45°．（1）请求出C与D之间的水平距离CD；（2）已知D处信号发射器的信号只能覆盖周围150米范围，若无人机以10m/秒的速度沿着AC方向飞到C 处取快递，请问，当无人机飞行多长时间后会出现接收不到信号的危险？（结果保留根号）【分析】（1）根据已知可得，∠DAC＝60°，∠DBC＝45°，∠ADC＝90°，设AD＝xm，根据特殊角三角函数即可求出CD的长；（2）过点D作DE⊥AC于点E，设无人机飞到F处时出现接收不到信号的危险，连接DF，则DF＝150m，根据三角函数和勾股定理即可求出AF的长，进而可得当无人机飞行多长时间后会出现接收不到信号的危险．【解答】解：（1）由已知得，∠DAC＝60°，∠DBC＝45°，∠ADC＝90°，设AD＝xm，在Rt△ADC中，∵tan∠DAC＝，∴CD＝AD tan∠DAC＝x×tan60°＝x，在Rt△BCD中，∵∠BCD＝90°﹣∠DBC＝45°＝∠DBC，∴BD＝CD＝x，∵AB＝AD+BD，∴x+x＝60（3+），解得x＝60，∴CD＝x＝180（m），答：C与D之间的水平距离CD为180m；（2）过点D作DE⊥AC于点E，设无人机飞到F处时出现接收不到信号的危险，连接DF，则DF＝150m，在Rt△ADE中，∵sin∠DAC＝，cos∠DAC＝，∴DE＝AD sin∠DAC＝60sin60°＝90（m），AE＝AD cos∠DAC＝60cos60°＝30（m），在Rt△DEF中，根据勾股定理，得EF＝＝＝120（m），∴AF＝AE+EF＝（30+120）m，∴t＝＝＝（3+12）秒．答：当无人机飞行（3+12）秒后会出现接收不到信号的危险．【知识点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题29.（2020秋•锦江区校级期中）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为AB上任意一点，连结ED，作ED的中垂线交AD于点M，交DC延长线于点N，连结EN交BC于点F．（1）当E为AB中点时，求∠MED的正切值．（2）在（1）的条件下，求△FCN的面积．（3）当△BEF的周长与△AEM的周长之差为1时，求∠EFB的正弦值．【分析】（1）由正方形的性质得出AD和AE的值，再由中垂线的性质得出∠MED＝∠ADE，然后利用tan ∠MED＝tan∠ADE计算即可．（2）设MN与ED交于点G，由正方形的性质及中垂线的性质得出∠DNG＝∠ADE，再利用等角的正切值相等求得DN及CN的值，然后证明△EBF∽△NCF，由相似三角形的性质得出BF与CF的数量关系，从而利用BF+CF＝BC＝4，求得CF的值，最后利用三角形的面积公式计算即可．（3）设AE＝x，AM＝y，则BE＝4﹣x，MD＝4﹣y，用x表示出y，再证明△MEN≌△MDN（SSS），△AEM∽△BFE，分别用含x的式子表示出△BEF的周长与△AEM的周长，根据二者之差为1，得出关于x的方程，求得x的值，则y的值也可求得，从而求得相关线段，然后可得答案．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝4，∠A＝90°，∵E为AB中点，∴AE＝AB＝2，在Rt△ADE中，tan∠ADE＝＝＝，∵MN为ED的中垂线，∴ME＝MD，∴∠MED＝∠ADE，∴tan∠MED＝tan∠ADE＝．（2）设MN与ED交于点G，由（1）知AE＝BE＝2，AD＝4，∠A＝90°，∴DE＝＝＝2，∵MN为ED的中垂线，∴EG＝DG＝DE＝，∠DGN＝90°，∴∠DNG+∠NDG＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝∠ACD＝90°，BC＝CD＝AB＝4，AB∥CD，∴∠ADE+∠NDG＝90°，∴∠DNG＝∠ADE，∴tan∠DNG＝tan∠ADE＝．在Rt△NGD中，tan∠DNG＝＝，∴GN＝2DG＝2，∴DN＝＝＝5，∴CN＝DN﹣DC＝5﹣4＝1，∵AB∥CD，∴△EBF∽△NCF，∴＝＝，∴BF＝2CF，∵BF+CF＝BC＝4，∴2CF+CF＝4，∴CF＝，∴S△FCN＝CF•CN＝××1＝．（3）设AE＝x，AM＝y，则BE＝4﹣x，MD＝4﹣y．∵MN为ED的中垂线，∴ME＝MD＝4﹣y，NE＝ND，在Rt△AEM中，AE2+AM2＝ME2，∴x2+y2＝（4﹣y）2，解得：y＝．在△MEN和△MDN中，，∴△MEN≌△MDN（SSS），∴∠MEN＝∠MDN＝90°，∴∠AEM+∠BEF＝90°，∵∠AEM+∠AME＝90°，∴∠BEF＝∠AME，又∵∠A＝∠B＝90°，∴△AEM∽△BFE，∴＝＝，∠EFB＝∠MEA，∴C△BFE＝•C△AEM，∵C△AEM＝AM+AE+ME＝y+x+4﹣y＝x+4，∴C△BFE＝•（x+4）＝＝＝8，∵BE＝4﹣x＞0，∴x＜4，∴C△AEM＝x+4＜4+4＝8＝C△BFE，∴C△BEF﹣C△AEM＝1，即8﹣（x+4）＝1，∴x＝3，∴y＝＝，∴AE＝3，AM＝，ME＝4﹣y＝4﹣＝，∴sin∠EFB＝sin∠MEA＝＝＝．【知识点】正方形的性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理30.（2020•浙江自主招生）如图，矩形ABCD中，E是BC边上的一点，连接AE、DE．△DCE沿DE翻折后，点C恰好落在AE上，记为点F．（Ⅰ）求证：△ADF≌△EAB；（Ⅱ）若AD＝10，tan∠EDF＝，求矩形ABCD的面积．【分析】（Ⅰ）根据翻折不变性得到△DCE≌△DFE，根据全等三角形的性质得到DC＝DF，∠DFE＝∠C ＝90°，再根据矩形的性质得到∠DAE＝∠AEB，AB＝DF，从而得到△ADF≌△EAB；（Ⅱ）根据tan∠EDF＝＝，设EF＝x，则DF＝3x，从而用含x的代数式表示出AF，再在Rt△ADF中，根据勾股定理求出x的长．【解答】（Ⅰ）证明：∵△DCE沿DE翻折得到△DFE，∴△DCE≌△DFE，∴DC＝DF，∠DFE＝∠C＝90°，…（2分）又矩形ABCD中AD∥BC，AB＝CD，∠B＝90．∴∠DAE＝∠AEB，AB＝DF．…（4分）在△ADF与△EAB中，，∴△ADF≌△EAB．…（6分）（Ⅱ）Rt△DFE中，tan∠EDF＝＝，设EF＝x，则DF＝3x，…（7分）∴AF＝AE﹣EF＝AD﹣EF＝10﹣x，在Rt△ADF中，AF2+DF2＝AD2，∴（10﹣x）2+（3x）2＝102，解得x＝2．…（10分）∴DC＝DF＝3x＝6，∴S矩形ABCD＝10×6＝60．…（12分）【知识点】全等三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的性质、翻折变换（折叠问题）、锐角三角函数的定义。
2021年江苏省徐州市中考数学考前必刷真题试卷附解析
2021年江苏省徐州市中考数学考前必刷真题试卷学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．如图，AC是⊙O的直径，∠BAC=20°，P是弧AB的中点，则∠PAB=（）A．35°B．40°C．60°D．70°2．有一个高大的五棱柱形建筑物，人站在地面上，不可能同时看到的是（）A．2个侧面B． 3个侧面C． 1个侧面D． 4个侧面D3．如图，AB、AC 分别是⊙O的直径和切线，BC 交⊙O于D．AB=8，AC=6，那么 CD 的长为（）A．3 B．4 C．9 D．3.64．AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C，再以O为圆心，OC为半径作圆，称作小⊙O，点P是AB 上异于A、B、C的任意一点，则点 P的位置是（）A．在大⊙O上B．在大⊙O的外部C．在小⊙O的内部D．在小⊙O外在大⊙O内5．已知m是方程x2－x－1=0的一个根，则代数式m2－m的值等于（）A．－1 B．0 C．1 D．26．下列图形：①线段；②角；③数字7；④圆；⑤等腰三角形；⑥直角三角形．其中轴对称图形是（）A．①②③④B．①③④⑤⑥C．①②④⑤D．①②⑤7．已知：如图，∠A0B的两边 0A、0B均为平面反光镜，∠A0B=40．在0B上有一点P,从P 点射出一束光线经0A上的Q点反射后,反射光线QR恰好与0B平行,则∠QPB的度数是（）A．60°B．80°C．100 °D．120°8．“5·12”汶川大地震导致某铁路隧道被严重破坏．为抢修其中一段120米的铁路，施工队每天比原计划多修5米，结果提前4天开通了列车．问原计划每天修多少米？设原计划每天修x 米，所列方程正确的是（ ）A ．12012045x x -=+B ．12012045x x -=+C ．12012045x x -=-D ．12012045x x -=- 9．从1到9这9个自然数中任取一个，是2的倍数的概率是（ ） A ．93 B ． 94 C ． 95 D ．110．下列计算正确的是（ ）A ．23(31)3a a a a --=--B ．222()a b a b -=-C ．2(23)(23)94a a a ---=-D ．235()a a = 11．如图，长度为12cm 的线段AB 的中点为M C ，点将线段MB 分成:1:2MC CB =，则线段AC 的长度为（ ）A ．2cmB ．8cmC ．6cmD ．4cm12．某市按以下标准收取水费:用小不超过20吨,按每吨1.2元收费,超过20吨，则超过部分按每吨1.5元收费.某家庭五月份的水费是平均每吨1.25元,那么这个家庭五月份应交水费（ ）A ．20元B ．24元C ．30元D ．36元13．一个多边形内角和是1080，则这个多边形是（ ） A ．六边形 B ．七边形C ．八边形D ．九边形 二、填空题14．双曲线y=8x与直线y=2x 的交点坐标为 ． 15．如图，弦AB 的长等于⊙O 的半径，点C 在弧AmB 上，则∠C 的度数为______．16．方程2220x x --=的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 .17．某汽车每小时耗油6 kg ，该车在行驶t(h)后耗去了Q(kg)油，即Q=6t ，其中常量是 ，变量是 ．18．已知反比例函数52m y x-=的图象上的两点A (x l ，y 1 )， B ( x 2 ， y 2)，当120x x <<时，有21y y >，则 m 的取值范围是 ． 19．一个六棱柱的底面边长都是3 cm ，一条侧棱的长为5 cm ，那么它的所有棱长度之和为 cm ，侧面积为 cm 2．20． 已知AD 是△ABC 的中线，如果△ABC 的面积是18cm 2,则△ADC 的面积是 cm 2.21．某商店销售一批色拉油，若按每瓶 40 元出售，则相对于进价来说，每瓶可获利 25%，这种色拉油每瓶的进价是 元.22．如图所示，∠1=∠2，∠ABC=∠DCB ，AC ，BD 相交于O ，请将下列说明AB=DC 的理由的过程补充完整．解：∵∠ABC=∠DCB ，∠l=∠2(已知)，∴∠ABC 一∠l=∠DCB 一∠2，即∠DBC= ．在△ABC 和△DCB 中，= ( )，= ( )，= ( )，∴ ≌ ( )，∴AB=DC( )．三、解答题23．如图是“明清影视城”的圆弧形门，黄红同学到影视城游玩，很想知道这扇门的相关数据．于是她从景点管理人员处打听到：这个圆弧形门所在的圆与水平地面（BD ）刚好接触，20AB CD ==cm ，200BD =cm ，且AB CD ，与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮助黄红同学计算出这个圆弧形门的最高点离地面的高度是多少？24．已知点P （2，2）在反比例函数xk y =（0≠k ）的图象上． A C B D（1）当3x时，求y的值；-=（2）当31<<x时，求y的取值范围．25．甲、乙两战士各打靶5次，命中环数如下：甲：5，9，8，10，8；乙：6，10，5，10，9．求：(1)两战士平均每枪分别命多少环?(2)你认为哪一个战士发挥比较稳定．26．如图，AB⊥BC 于B，∠1=55°，∠2= 35°，直线a、b平行吗？请说明理由．27．写一个多项式，再把它分解因式(要求：多项式含有字母m和n，系数、次数不限，并能先用提取公因式法再用公式法分解).28．如图所示为由6个面积为1的小正方形组成的矩形，点A，B，C，D，E，F，G是小正方形的顶点，以这7个点中的任意三个点为顶点，可组成多少个面积为1的三角形?请写出所有满足条件的三角形．29．现有一条直径为l2 cm 的圆柱形铅柱，若要铸造12个直径为l2 cm 的铅球，应截取多长的铅柱(损耗不计)?(球的体积公式343R π，R 为球半径)30．将2627-，206207-，20062007-按从小到大的顺序排列起来. 200620626200720727-<-<-【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．A2．3．D4．D5．C6．C7．B8．B9．B10．C11．B12．C13．C二、填空题14．（2，4），（-2，-4）15．30° •16．2,-1,-217．6；Q 、t18．25m 19． 66，9020．921．3222．∠ACB ，∠ACB ，∠DBC ，已证，∠ABC ，∠DCB ，已知，BC ，CB ，公共边，△ABC ，△DCB ，AAS ，全等三角形对应边相等三、解答题23．解：过圆心O 作OE ⊥AC,垂足为D ，连结AO.设圆O 的半径为R,在Rt △AOE 中，AE=2AC =2BD =100, OE=R —AB=R —20．∵AE 2+OE 2=OA 2 ,∴1002+( R —20)2=R 2解得R=260cm ．这个圆弧形门的最高点离地面的高度为2R=520cm答：这个圆弧形门的最高点离地面的高度为520cm ． 24．解 （1）∵点P （2，2）在反比例函数x k y =的图象上，∴22k =．即4=k ． ∴反比例函数的解析式为x y 4=． ∴当3-=x 时，34-=y ． （2）∵当1=x 时，4=y ；当3=x 时，34=y ， 又反比例函数xy 4=在0>x 时y 值随x 值的增大而减小， ∴当31<<x 时，y 的取值范围为434<<y ． 25． (1)8x x ==乙甲环；(2)甲发挥稳定26．a ∥b ，理由略27．)2)(2(42-+=-n n m m mn （答案不唯一） . 28．共l4个三角形，具体表示略29．96cm30．200620626200720727-<-<-。
2021年浙江省绍兴市中考数学考前必刷真题试卷附解析
2021年浙江省绍兴市中考数学考前必刷真题试卷 学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．如图，在□ABCD 中，过点A 的直线与BC 相交于点 E ，与 DC 的延长线相交于点F ，若 43BE EC =,则CF DF 等于（ ） A ．43 B ．34 C ．47 D ．372．劳技课上，王红制成了一顶圆锥形纸帽，已知纸帽底面圆半径为10cm ，•母线长50cm ，则制成一顶这样的纸帽所需纸面积至少为（ ）A ．250πcm 2B ．500πcm 2C ．750πcm 2D ．100πcm 2 3．下列图形中，不是中心对称图形的是（ ） A ． 等边三角形B ． 正方形C ． 矩形D ． 菱形 4．如图，在□ABCD 中，∠B=100°，延长AD 至点F ，延长CD 至点E ，连结EF ，则∠E+∠F 等于（ ）A ．100°B ．80°C ．50°D ．40 °5．在频数分布直方图中，每个小长形的高度等于（ ）A ．组距B ．组数C ．每小组的频率D ．每小组的频数6．将△ABC 的三个顶点的横坐标都乘-l ，纵坐标保持不变，则所得图形（ ）A ．与原图形关于x 轴对称B ．与原图形关于k 轴对称C ．与原图形关于原点对称D ．向x 轴的负方向平移了一个单位 7．下列不等式组无解的是（ ）A ．1020x x -<⎧⎨+<⎩B ．1020x x -<⎧⎨+>⎩C ．1020x x ->⎧⎨+<⎩D ．1020x x ->⎧⎨+>⎩ 8．下列计算结果正确的是（ ）A ．（mn ）6÷（mn ）3=mn 3B ．（x+y ）6÷（x+y ）2·（x+y ）3=x+yC ．x 10÷x 10=0D ．（m-2n ）3÷（-m+2n ）3=-1 9．如图，有 6 个全等的等边三角形，下列图形中可由△OBC 平移得到的是（ ）A ．△OCDB ．△OABC ．△OAFD ．△OEF10．如图所示，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，那么下列结论中正确的有（）①△ABC≌△A′B′C′；②∠BAC=∠A′B′C′；③l垂直平分CC′；④直线BC和B′C′的交点不一定在l上．A．4个B．3个C．2个D．1个11．下列说法中不正确的是（）A．在同一平面内，若OA⊥OB，OB⊥OC垂足为0，则A、0、C在同一直线上B．直线外一点P与直线l上各点连结的线段中，最短的线段长为2 cm，则点P到直线l的距离为2 cmC．过点M画MN⊥l，则MN就是垂线段D．测量跳远成绩时，一定要使皮尺与起跳线垂直12．我们知道，32+和32-互为相反数，现有A、B、C、D 四个同学分别提出有关相反数的语句，正确的说法是（）A．符号相反的两个数B．互为相反数的两个数肯定是一正、一负C．32-的相反数可以用3()2--表示D．因为32+的相反数是32-，所有有理数的相反数小于它本身二、填空题13．两圆有多种位置关系，图中不存在的位置关系是．14．对120个数据进行整理并绘制成频数分布表，各组的频数之和等于，各组的频率之和等于．15．天河宾馆在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设某种红色地毯，已知这种地毯每平方米售价30元，主楼梯宽2 m，其侧面图如图所示，则购买地毯至少需要元．16．已知 A ，B 的坐标分别为(-2，0)，(4，0)，点P 在直线2y x =+上，如果△ABP 为等腰三角形，这样的 P 点共有 个.17．严驰同学在杭州市动物园的大门口看到这个动物园的平面示意图如图所示，试借助刻度尺、量角器解决下列问题： (1)表演厅在大门的北偏 约 度的方向上，到大门的图上距离约为 cm ，实际距离为 m ． (2)虎山在大门的南偏 约 度的方向上，到大门的图上距离约为 cm ，实际距离为 m ．(3)猴山在大熊猫馆南偏 约 度的方向上，到大熊猫馆的图上距离约为cm ，实际距离为 m ．18．请举出一个主视图和俯视图相同，但是左视图不同的几何体： .19．被减式为232x xy -，差式为2243x xy y -+，则减式为 ．20．若（a+2）2+│b-3│=0，则ba =________．21． 在数-6，7. 2，0，13+,35-，+7 中，正数有 ，负数有 ． 三、解答题22．小明和小乐做摸球游戏，一只不透明的口袋里放有 3 个红球和 5 个绿球，每个球除颜色外都相同，每次摸球前都将袋中的球充分搅匀，从中任意摸出一个球，记录颜色后再放回，若是红球，小明得 3 分，若是绿球，小乐得 2 分，游戏结束时得分多者获胜.你认为这个游戏对双方公平吗？若你认为公平，请说明理由；若你认为不公平，也请说明理由，并修改规则，使该游戏对双方公平.23．如图，在4×4的正方形方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.(1）填空：∠ABC= °，BC= ；(2）判断△ABC 与△DEF 是否相似，并证明你的结论.24．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O,E 、F 是直线AC 上的两点，并且AE=CF,求证：四边形BFDE 是平行四边形.25．如图，△ABC 的顶点坐标分别为 A(3，6)、 B(1，3)、C(4，2). 若将 △ABC 绕点 C 顺时针旋转90°，得到A B C ''∆，在图中画出A B C ''∆，并分别求出A B C ''∆的顶点A '、B '的坐标．26．已知一个长方形ABCD ，长为6，宽为4．(1)如图①建立直角坐标系，求A 、B 、C 、D 四点的坐标．(2)如图②建立直角坐标系，求A 、B 、C 、D 四点的坐标．图①图②27．在如图的网格上，找出4个格点(小方格的顶点)，使每一个格点与A、B两点构造等腰三角形，并画出这4个等腰三角形．28．如图所示，把一张长为 b、宽为 a 的长方形纸板的四个角剪去，剪去的部分都是边长为 x 的小正方形，然后做成无盖纸盒. 请你用三种方法求出盒子的表面积(阴影部分面积).29．检验括号中的数是否为方程的解?(1)3x-4=8(x=3，x=4)(2)1372y+=(y=8，y=4)30．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是 1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别接下列要求画图形.(1)画一个面积为 4 的三角形(在图①中画一个即可).(2)画一个面积为 8 的正方形(在图②中画一个即可).【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．D2．B3．A4．B5．D6．B7．C8．D9．C10．B11．CC二、填空题13．内切14．120,115．480°16．417．(1)西，79，2，200；(2)西，76，4．4，440；(3)东，70，1．3，130 18．答案不唯一，如横放的圆柱19．223x xy y---20．-821．7.2,13+，+7；-6，35-三、解答题22．(1)不公平；(2)()3 8P=摸出红球，()58 P=摸出绿球∵小明平均每次得分39388⨯=(分)小乐平均每次得分55284⨯=(分)∵9584<，∴游戏不公平.可修改为：①口袋里只放 2 个红球和 3 个绿球；或②摸出红球小明得 5 分，摸出绿球小乐得3分.（1）∠ABC= 135 °, BC=22 ；(2）能判断△ABC 与△DEF 相似（或△ABC ∽△DEF ）这是因为∠ABC =∠DEF = 135 ° ,2==EF BC DE AB ，∴△ABC ∽△DEF. 24．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA=OC,OB=OD ，又∵AE=CF ，∴OE=OF ，∴四边形BFDE 是平行四边形．25．图略，A ′(8，3)、B ′(5，5)26．(1)A(6，4)，B(0，4)，C(0，O)，D(6，0)；(2)A(3，2)，B(一3，2)，C(-3，-2)，D(3，-2) 27．略28．方法一：24ab x -； 方法二：2(2)2(2)4a b x x a x ab x -+-=-，方法三：2(2)2(2)4b a x x b x ab x -+-=-29．(1)x=4 是方程的解，x=3不是 (2)y=8是方程的解，y=4不是30．略。
九年级数学中考分类训练：锐角三角函数实际应用 必刷题
2021年九年级数学中考分类训练：锐角三角函数实际应用必刷题1．如图1是一个手机的支架，由底座、连杆和托架组成，如图2是它的平面示意图，底座AD，连杆AB和托架BC始终在一个平面内．连杆AB可以绕着点A在5°﹣120°范围内旋转，托架BC可以绕着点B在5°﹣90°范围内旋转，连杆BA的长度为18厘米，托架CB的长度为8厘米．当连杆AB和托架BC旋转至图3位置，∠DAB＝∠ABC ＝60°，请你计算此时点C到底座AD的距离CM的长．（结果保留根号）2．如图，在一条笔直公路BD的正上方A处有一探测仪，AD＝24m，∠D＝90°，一辆轿车从B点匀速向D点行驶，测得∠ABD＝31°，2秒后到达C点，测得∠ACD＝50°．（参考数据：tan31°≈0.6，tan50°≈1.2）（1）求B，C两点间的距离（结果精确到1m）；（2）若规定该路段的速度不得超过15m/s，判断此轿车是否超速．3．小强洗漱时的侧面示意图如图所示，洗漱台（矩形ABCD）靠墙摆放，高AD＝80cm，宽AB＝48cm，小强身高166cm，下半身FG＝100cm，洗漱时身体前倾，下半身与地面的夹角∠FGK＝80°，上半身与下半身所成夹角∠EFG＝125°，脚与洗漱台距离GC＝15cm，点D，C，G，K在同一直线上．（1）求此时小强腰部点F到墙AD的距离．（2）此时小强头部点E是否恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方？若是，请说明理由；若不是，则他应向前还是向后移动多少厘米，使头部点E恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方？（计算过程及结果的长度均精确到1cm．参考数据；sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，≈1.41）4．如图①，在我国古建筑的大门上常常悬挂着巨大的匾额，图②中的线段BC就是悬挂在墙壁AM上的某块匾额的截面示意图．已知BC＝1米，∠MBC＝37°．从水平地面点D处看点C的仰角∠ADC＝45°，从点E处看点B的仰角∠AEB＝53°，且DE＝2.4米．（1）求点C到墙壁AM的距离；（2）求匾额悬挂的高度AB的长．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）5．某学习小组，为了测量旗杆AB的高度，他们在大楼MN第10层D点测得旗杆底端B 的俯角是32°，又上到第35层，在C点测得旗杆顶端A的俯角是60°，每层楼高度是2.8米，请你根据以上数据计算旗杆AB的高度．（精确到0.1米，已知：sin32°≈0.37，cos32°≈0.93，tan32°≈0.62，≈1.73）6．如图是某堤坝经过改造后的横断面梯形ABCD，高DH＝10米，斜坡CD的坡度是1：1，此处，堤坝的正上方有高压线通过，点P，D，H在一条直线上，点P是高压线上离堤面AD最近的点，测得∠PCD＝26°．（1）求斜坡CD的坡角α．（2）电力部门要求此处高压线离堤面AD的安全距离不低于18米，此次改造是否达到了安全要求？（参考数据：sin26°≈0.44，tan26°≈0.49，sin71°≈0.95，tan71°≈2.90）7．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin∠ABC＝，点D在边BC上，BD＝4，联结AD，tan∠DAC＝．（1）求边AC的长；（2）求cot∠BAD的值．8．如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处（点A、B、C在同一直线上）．某测量员从悬崖底C点出发沿水平方向前行60米到D点，再沿斜坡DE方向前行65米到E点（点A、B、C、D、E在同一平面内），在点E处测得5G 信号塔顶端A的仰角为37°，悬崖BC的高为92米，斜坡DE的坡度i＝1：2.4．（1）求斜坡DE的高EH的长；（2）求信号塔AB的高度．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）9．为加强对市内道路交通安全的监督，王警官利用无人机进行检测．某高架路有一段限速每小时60千米的道路AB（如图所示），当无人机在限速道路的正上方C处时，测得限速道路的起点A的俯角是37°，无人机继续向右水平飞行220米到达D处，此时又测得起点A的俯角是30°，同时测得限速道路终点B的俯角是45°（注：即四边形ABDC 是梯形）．（1）求限速道路AB的长（精确到1米）；（2）如果李师傅在道路AB上行驶的时间是1分20秒，请判断他是否超速？并说明理由．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）10．吴兴区某中学开展研学实践活动，来到了“两山”理论发源地﹣﹣安吉余村，看到了“两山”纪念碑．如图，想测量纪念碑AB的高度，小明在纪念碑前D处用测角仪测得顶端A的仰角为60°，底端B的俯角为45°；小明又在同一水平线上的E处用测角仪测得顶端A的仰角为30°，已知DE＝8m，求该纪念碑AB的高度．（≈1.7，结果精确到0.1m）11．某校为检测师生体温，在校门安装了某型号的测温门，如图为该“测温门”截面示意图．身高1.6米的小聪做了如下实验：当他在地面M处时“测温门”开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为30°；当他在地面N处时，“测温门”停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为53°．如果测得小聪的有效测温区间MN的长度是0.98米，求测温门顶部A处距地面的高度约为多少米？（注：额头到地面的距离以身高计，sin53°≈0.8，cos53°＝0.6，cot53°≈0.75，≈1.73．）12．为了监控大桥下坡路段车辆行驶速度，通常会在下引桥处设置电子眼进行区间测速．如图，电子眼位于点P处，离地面的铅锤高度PQ为9米，区间测速的起点为下引桥坡面点A处，此时电子眼的俯角为30°；区间测速的终点为下引桥坡脚点B处，此时电子眼的俯角为60°（A、B、P、Q四点在同一平面）．（1）求路段BQ的长（结果保留根号）；（2）当下引桥坡度i＝1：2时，求电子眼区间测速路段AB的长（结果保留根号）．13．如图，是小明家房屋的纵截面图，其中线段AB为屋内地面，线段AE、BC为房屋两侧的墙，线段CD、DE为屋顶的斜坡．已知AB＝6米，AE＝BC＝3.2米，斜坡CD、DE的坡比均为1：2．（1）求屋顶点D到地面AB的距离；（2）已知在墙AE距离地面1.1米处装有窗ST，如果阳光与地面的夹角∠MNP＝β＝53°，为了防止阳光通过窗ST照射到屋内，所以小明请门窗公司在墙AE端点E处安装一个旋转式遮阳棚（如图中线段EF），公司设计的遮阳棚可作90°旋转，即0°＜∠FET＝α≤90°，长度为1.4米，即EF＝1.4米．试问：公司设计的遮阳棚是否能达到小明的要求？说说你的理由．（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24，≈3.16，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，tan53°＝）．14．如图，海中有一个小岛A，它的周围25海里内有暗礁，今有货船由西向东航行，开始在A岛南偏西60°的B处，往东航行20海里后到达该岛南偏西45°的C处后，货船继续向东航行，你认为货船在航行途中有没有触礁的危险．15．如图，为了测量河宽，在河的一边沿岸选取B、C两点，对岸岸边有一块石头A，在△ABC中，测得∠B＝64°，∠C＝45°，BC＝50米，求河宽（即点A到边BC的距离）（结果精确到0.1米）．（参考数据：≈1.41，sin64°＝0.90，cos64°＝0.44，tan64°＝2.05）参考答案1．解：延长AM、BC交于E，由题意得BC＝8厘米，BA＝18厘米，∵∠DAB＝∠ABC＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴∠E＝60°，BE＝BA＝18厘米，∴CE＝BE﹣BC＝10，∵CM⊥AD，∴∠CME＝90°，∴∠ECM＝90°﹣60°＝30°，∴EM＝CE＝5，∴CM＝＝＝5（厘米），答：此时点C到底座AD的距离CM的长是5厘米．2．解：（1）在Rt△ACD中，，∴，在Rt△ABD中，，∴．∴BC＝BD﹣CD＝20（m）；∴B，C两点间的距离为BD﹣CD＝20（m）；（2）此轿车的速度，所以此轿车在该路段没有超速．3．解：（1）如图，过点F作FN⊥DK于点N，作FM⊥AD于点M．在Rt△FGN中，∵∠FGK＝80°，FG＝100cm，∴GN＝FG⋅cos∠FGK＝100⋅cos80°≈17（cm）．∴DN＝DC+CG+GN＝48+15+17＝80（cm）．∵FN⊥DK，FM⊥AD，∴∠FMD＝∠FND＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°．∴四边形MDNF是矩形．∵MF＝DN＝80（cm）．∴此时小强腰部点F到墙AD的距离为80cm．（2）此时小强头部点E没有在洗漱盆AB中点O的正上方．如图，过点E作EP⊥AB于点P，延长OB交FN于点H．∵∠EFG＝125°，∴∠EFM＝125°+10°﹣90°＝45°．∵EF＝166﹣FG＝166﹣100＝66（cm），∴FQ＝66⋅sin45°≈47（cm）．∴PH≈47（cm）．∵AB＝48cm，点O为AB的中点，∴AO＝BO＝24（cm）．∵GN≈17cm，CG＝15cm，∴OH＝24+15+17＝56（cm）．∵56＞47．∴此时小强头部点E没有在洗漱盆AB中点O的正上方．∴OP＝OH﹣PH＝56﹣47≈9（cm）．∴他应向前移动9cm．4．解：（1）过C作CF⊥AM于F，过C作CH⊥AD于H，则四边形AHCF是矩形，∴AF＝CH，CF＝AH．在Rt△BCF中，BC＝1米，∠CBF＝37°．∴BF＝BC cos37°≈0.8（米），CF＝BC sin37°≈0.6（米）；答：点C到墙壁AM的距离为0.6米；（2）在Rt△BAE中，∠BEA＝53°，∴AE＝AB，在Rt△CDH中，∠CDH＝45°，。
2021中考数学必刷题 (500)
2021中考数学必刷题500第Ⅰ卷(选择题共24分)一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列四个图案中，不是轴对称图案的是( )2．地球与月球之间的平均距离大约为384 000 km，384 000用科学记数法可表示为( )A．3.84×103B．3.84×104C．3.84×105D．3.84×1063．如图，数轴上点A 表示数a，则－a表示的数是( )A．2 B．1 C．－1 D．－24．计算(a2)3÷(a2·a3)的结果是( )A．0 B．1 C．a D．a35．如图，⊙A过点O(0，0)，C(3，0)，D(0，1)，点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是( )A．15° B．30° C．45° D．60°6．如图，已知在△ABC中，∠BAC>90°，点D为BC的中点，点E在AC上，将△CDE沿DE折叠，使得点C恰好落在BA的延长线上的点F处，连接AD，则下列结论不一定正确的是( )A．AE＝EFB．AB＝2DEC．△ADF和△ADE的面积相等D．△A DE和△FDE的面积相等7.正方形ABCD在坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD绕D点顺时针旋转90°后，B点的坐标为( )A．(－2，2) B．(4，1)C．(3，1) D．(4，0)8．如图，一次函数y1＝－x与二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象相交于P，Q两点，则函数y＝ax2＋(b＋1)x＋c的图象可能为( )第Ⅱ卷(非选择题 共96分)二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)9．如图是甲、乙两名跳远运动员的10次测验成绩(单位：m )的折线统计图，观察图形，写出甲、乙这10次跳远成绩的方差之间的大小关系：s 甲2________s 乙2(填“＞”或“＜”)10．计算：3·tan 30°－(－1)－2＋|2－3|＝________．11．中国的《九章算术》是世界现代数学的两大源泉之一，其中有一问题：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．问牛羊各直金几何？”译文：今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两．问牛、羊每头各值金多少？设牛、羊每头各值金x 两、y 两，依题意，可列出方程组为____________．12．如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB ＝4，tan ∠ACB＝23，点D ，E分别是BC ，AD 的中点，AF∥BC 交CE 的延长线于点F ，则四边形AFBD 的面积为________．13．如图，C 为半圆内一点，O 为圆心，直径AB 长为2 cm ，∠BOC＝60°，∠BCO＝90°，将△BOC 绕圆心O 逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA 上，则边BC 扫过区域(图中阴影部分)的面积为________cm 2.(结果保留π)14．用八个同样大小的小立方体粘成一个大立方体如图1，得到的几何体的三视图如图2所示，若小明从八个小立方体中取走若干个，剩余小立方体保持原位置不动，并使得到的新几何体的三视图仍是图2，则他取走的小立方体最多可以是______个．三、作图题(本大题满分4分)请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．15．如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AD⊥BC 于点D.求作射线BM ，分别交AD ，AC 于P ，Q 两点，使得AP ＝AQ.四、解答题(本大题共9小题，共74分) 16．(本题每小题4分，共8分) (1)解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥2x，x －12≤x 3.(2)化简：x 2x 2－1÷(1x －1＋1)．17．(本小题满分6分)在校庆活动中，学校决定在甲、乙两名同学中选取一名作为学生代表发言，制定如下规则：在一个不透明的盒子中装有大小和形状相同的3个红球和2个白球，把它们充分搅匀．从盒子中任取两个球，若两球同色，则选甲；若两球异色，则选乙．你认为这个规则公平吗？请用列表法或画树状图法加以说明．18．(本小题满分6分)在“优秀传统文化进校园”活动中，学校计划每周二下午第三节课时间开展此项活动，拟开展活动项目为：剪纸，武术，书法，器乐，要求七年级学生人人参加，并且每人只能参加其中一项活动．教务处在该校七年级学生中随机抽取了100名学生进行调查，并对此进行统计，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图(均不完整)．请解答下列问题：(1)请补全条形统计图和扇形统计图；(2)在参加“剪纸”活动项目的学生中，男生所占的百分比是多少？ (3)若该校七年级学生共有500人，请估计其中参加“书法”项目活动的有多少人？19.(本小题满分6分)由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达A处时，测得小岛C位于它的北偏东70°方向，且与航母相距80海里，再航行一段时间后到达B处，测得小岛C位于它的北偏东37°方向．如果航母继续航行至小岛C的正南方向的D处，求还需航行的距离BD的长．(参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，sin 37°≈0.6，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)20．(本小题满分8分)如图，反比例函数y＝kx(x＞0)过点A(3，4)，直线AC与x轴交于点C(6，0)，过点C作x轴的垂线BC交反比例函数图象于点B.(1)求k的值与B点的坐标；(2)在平面内有点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形，试写出符合条件的所有D点的坐标．21．(本小题满分8分)在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E，F满足BE＝DF，连接AE，AF，CE，CF，如图所示．(1)求证：△ABE≌△ADF；(2)试判断四边形AECF的形状，并说明理由．22．(本小题满分10分)为响应青岛市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18 m，另外三边由36 m长的栅栏围成．设矩形ABCD空地中，垂直于墙的边AB为x m，面积为y m2(如图)．(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)若矩形空地的面积为160 m2，求x的值；(3)若该单位用8 600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵(每种植物的单价和每棵栽种的合理用地面积如下表)．问丙种植物最多可以购买多少棵？此时，这批植物可以全部栽种到这块空地上吗？请说明理由．甲乙丙单价(元/棵) 14 16 28合理用地(m2/棵) 0.4 1 0.423．(本小题满分10分)空间任意选定一点O，以点O为端点，作三条互相垂直的射线Ox，Oy，Oz.这三条互相垂直的射线分别称作x轴、y轴、z轴，统称为坐标轴，它们的方向分别为Ox(水平向前)、Oy(水平向右)、Oz(竖直向上)方向，这样的坐标系称为空间直角坐标系．将相邻三个面的面积记为S1，S2，S3，且S1＜S2＜S3的小长方体称为单位长方体，现将若干个单位长方体在空间直角坐标系内进行码放，要求码放时将单位长方体S1所在的面与x轴垂直，S2所在的面与y轴垂直，S3所在的面与z轴垂直，如图1所示．若将x轴方向表示的量称为几何体码放的排数，y轴方向表示的量称为几何体码放的列数，z轴方向表示的量称为几何体码放的层数；如图2是由若干个单位长方体在空间直角坐标内码放的一个几何体，其中这个几何体共码放了1排2列6层，用有序数组记作(1，2，6)，如图3的几何体码放了2排3列4层，用有序数组记作(2，3，4)．这样我们就可用每一个有序数组(x，y，z)表示一种几何体的码放方式．(1)如图4是由若干个单位长方体码放的一个几何体的三视图，则这种码放方式的有序数组为________，组成这个几何体的单位长方体的个数为________个；(2)对有序数组性质的理解，下列说法正确的是______；(只填序号)①每一个有序数组(x，y，z)表示一种几何体的码放方式．②有序数组中x，y，z的乘积就表示几何体中单位长方体的个数．③有序数组不同，所表示几何体的单位长方体个数不同．④不同的有序数组所表示的几何体的体积不同．⑤有序数组中x，y，z每两个乘积的2倍可分别确定几何体表面上S1，S2，S3的个数．(3)为了进一步探究有序数组(x，y，z)的几何体的表面积公式S(x，y，z)，某同学针对若干个单位长方体进行码放，制作了下列表格：根据以上规律，请写出有序数组(x，y，z)的几何体表面积计算公式S(x，y，z)；(用x，y，z，S1，S2，S3表示)(4)当S1＝2，S2＝3，S3＝4时，对由12个单位长方体码放的几何体进行打包，为了节约外包装材料，对12个单位长方体码放的几何体表面积最小的规律进行探究，根据探究的结果请写出使几何体表面积最小的有序数组，并用几何体表面积公式求出这个最小面积．(缝隙不计)如图，在坐标系中，菱形ABCD的边BC与x轴重合，点B与原点重合，AB＝10，∠ABC＝60°.动点P从点B出发沿BC边以每秒1个单位长度的速度匀速运动；动点Q从点D出发沿折线DCCBBA以每秒3个单位长度的速度匀速运动，过点P作FP⊥BC，交折线ABAC于点E，交直线AD于点F.若P，Q两点同时出发，当其中一点到达终点时整个运动随之停止，设运动时间为t秒．(1)写出点A与点D的坐标；(2)当t＝3秒时，试判断QE与AB之间的位置关系？(3)当Q在线段DC上运动时，若△PQF为等腰三角形，求t的值；(4)设△PQE的面积为S，求S与t的函数关系式．24．(本小题满分12分)参考答案1.B2.C3.A4.C5.B6.C7.D8.B9．< 10.1 11.⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋2y ＝102x ＋5y ＝8 12.12 13.14π 14.415．解：如图，射线BM 即为所求．16．解：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥2x，①x －12≤x 3.②解不等式①得x≤－1， 解不等式②得x≤3， ∴不等式组的解集为x≤－1.(2)原式＝x 2（x ＋1）（x －1）÷1＋x －1x －1＝x 2（x ＋1）（x －1）·x －1x ＝x x ＋1. 17．解：不公平．理由如下： 画出树状图如下．由树状图可得一共有20种等可能的情况，两球同色的有8种情况，故选择甲的概率为820＝25，则选择乙的概率为35.∵25<35，故此游戏不公平． 18．解：(1)补全条形统计图和扇形统计图如图所示．(2)在参加“剪纸”活动项目的学生中，男生所占的百分比是1010＋15×100%＝40%.答：在参加“剪纸”活动项目的学生中，男生所占的百分比为40%. (3)500×21%＝105(人)．答：估计其中参加“书法”项目活动的有105人．19．解：由题意得∠ACD＝70°，∠BCD＝37°，AC ＝80海里， 在Rt △ACD 中，CD ＝AC·cos ∠ACD≈27.2(海里)， 在Rt △BCD 中，BD ＝CD·tan ∠BCD≈20.4(海里)． 答：还需航行的距离BD 的长约为20.4海里．20．解：(1)把点A(3，4)代入y ＝kx (x ＞0)得k ＝xy ＝3×4＝12，故该反比例函数表达式为y ＝12x.∵点C(6，0)，BC⊥x 轴， ∴把x ＝6代入反比例函数y ＝12x 得y ＝122＝6，则B(6，2)．(2)①如图，当四边形ABCD 为平行四边形时，AD∥BC 且AD ＝BC. ∵A(3，4)，B(6，2)，C(6，0)，∴点D 的横坐标为3，y A －y D ＝y B －y C ，即4－y D ＝2－0， 故y D ＝2，∴D(3，2)．②如图，当四边形ACBD′为平行四边形时，AD′∥CB 且AD ′＝CB. ∵A(3，4)，B(6，2)，C(6，0)，∴点D 的横坐标为3，y D′－y A ＝y B －y C ，即y D′－4＝2－0， 故y D′＝6，∴D′(3，6)．③如图，当四边形ACD″B 为平行四边形时，AC∥BD″且AC ＝BD″. ∵A(3，4)，B(6，2)，C(6，0)，∴x D″－x B ＝x C －x A 即x D″－6＝6－3，故x D″＝9， y D″－y B ＝y C －y A 即y D″－2＝0－4，故y D″＝－2， ∴D″(9，－2)．综上所述，符合条件的点D 的坐标为(3，2)或(3，6)或(9，－2)．21．证明：(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴AB＝AD ， ∴∠ABD＝∠ADB，∴∠ABE＝∠ADF. 在△ABE 与△ADF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠ABE＝∠ADF，BE ＝DF.∴△ABE≌△ADF(S A S )．(2)四边形AECF 是菱形．理由如下： 如图，连接AC ，∵四边形ABCD 是正方形， ∴OA＝OC ，OB ＝OD ，AC⊥EF， ∴OB＋BE ＝OD ＋DF ，即OE ＝OF. ∵OA＝OC ，OE ＝OF ，∴四边形AECF 是平行四边形， ∵AC⊥EF，∴四边形AECF 是菱形．22．解：(1)y ＝x(36－2x)＝－2x 2＋36x(9≤x＜18)． (2)由题意得－2x 2＋36x ＝160， 解得x ＝10或8.∵x＝8时，36－16＝20＜18，不符合题意， ∴x 的值为10.(3)∵y＝－2x 2＋36x＝－2(x－9)2＋162，∴x＝9时，y有最大值162.设购买了乙种绿色植物a棵，购买了丙种绿色植物b棵．由题意得14(400－a－b)＋16a＋28b＝8 600，∴a＋7b＝1 500，∴b的最大值为214，此时a＝2，∴需要种植的面积＝0.4×(400－214－2)＋1×2＋0.4×214＝161.2＜162，∴这批植物可以全部栽种到这块空地上．23．解：(1)(2，3，2) 12(2)①②⑤(3)S(x，y，z)＝2yzS1＋2xzS2＋2xyS3＝2(yzS1＋xzS2＋xyS3)．(4)当S1＝2，S2＝3，S3＝4时，S(x，y，z)＝2(yzS1＋xzS2＋xyS3)＝2(2yz ＋3xz＋4xy)欲使S(x，y，z)的值最小，不难看出x，y，z应满足x≤y≤z(x，y，z为正整数)．在由12个单位长方体码放的几何体中，满足条件的有序数组为(1，1，12)，(1，2，6)，(1，3，4)，(2，2，3)．而S(1，1，12)＝128，S(1，2，6)＝100，S(1，3，4)＝96，S(2，2，3)＝92，∴由12个单位长方体码放的几何体表面积最小的有序数组为(2，2，3)，最小面积为S(2，2，3)＝92.24．解：(1)∵10·sin60°＝53，10·cos60°＝5，∴A(5，53)．∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝10，∴D(15，53)．(2)当t＝3秒时，EQ⊥AB.如图，过A作AM∥EQ.∵BP＝3，∠ABC＝60°，∴BE＝6，∴AE＝10－6＝4，∴QM＝AE＝4，∴DM＝3×3－4＝5，∴DM＝12AD.又∵∠ADC＝60°，∴∠AMD＝90°，∴∠AEQ＝90°，∴EQ⊥AB.(3)设P点坐标为(t，0)，则F点坐标为(t，53)，Q点坐标为(30－3t2，103－33t2)，0≤t≤103.①当FQ＝PQ时，（t－30－3t2）2＋（53－103－33t2）2＝（t －30－3t 2）2＋（0－103－33t 2）2 解得t ＝53. ②当FQ ＝PF 时，（t －30－3t 2）2＋（53－103－33t 2）2＝53，该方程无解．③当PQ ＝PF 时，（t －30－3t 2）2＋（0－103－33t 2）2 ＝53，∴t 1＝60＋15313(舍)，t 2＝60－15313， ∴当t ＝53或60－15313时，△PQF 为等腰三角形． (4)当0＜t≤103时，S ＝12×3t·[12(10－3t)＋10－t] ＝－534t 2＋1532t ； 当103<t<5时，S ＝12×3t·(20－3t －t) ＝－23t 2＋103t ；当5<t≤203时，S ＝12×3(10－t)·[t－(20－3t)] ＝－23t 2＋303t －1003； 当203<t<10时，S ＝12×3(10－t)·[t－12(3t －20)] ＝34t 2－1532t ＋50 3.。
2021年中考数学复习《二次函数的综合计算与证明》能力提升必刷经典题型专练
2021年中考数学复习《二次函数的综合计算与证明》能力提升必刷经典题型专练一. 选择题.1.对于任意实数m,下列函数一定是二次函数的是( )A.y=mx2+3x-1B.y=(m-1)x2C.y=(m-1)2x2D.y=(-m2-1)x22.二次函数y=x2-3x+2的图象不经过第象限.A.一B.二C.三D.四3.已知二次函数y=1-11x-6x2,其二次项系数为a,一次项系数为b,常数项为c,则a+b+c= ( )A.+16B.6C.-6D.-164.二次函数2=-的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法，正确的23y x是（）A．抛物线开口向下B．抛物线经过点（2，3）C．抛物线的对称轴是直线1x=D．抛物线与x轴有两个交点5.二次函数y=ax2与一次函数y=ax+a在同一坐标系中的大致图象可能是( )6.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(-1,0)和点(3,0),则下列说法正确的是( )A.bc<0B.a+b+c>0C.2a+b=0D.4ac>b27.跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一,运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分,运动员起跳后的竖直高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似满足函数关系y=ax 2+bx+c(a ≠0).如图记录了某运动员起跳后的x 与y 的三组数据,根据上述函数模型和数据,可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时,水平距离为 ( )A.10 mB.15 mC.20 mD.22.5 m8.如图,二次函数y=ax 2+bx+c 的图象过点(-1,0)和点(3,0),则下列说法正确的是( )A.bc<0B.a+b+c>0C.2a+b=0D.4ac>b 29.一位运动员在距篮下4 m 处跳起投篮,球运行的路线是抛物线,当球运行的水平距离为2.5 m 时,达到最大高度3.5 m,然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05 m,该运动员身高1.9 m,在这次跳投中,球在头顶上方0.25 m 处出手时,他跳离地面的高度是( )A.0.1 mB.0.2 mC.0.3 mD.0.4 m10.已知二次函数2y ax bx c =++满足：（1）a b c <<；（2）0a b c ++=；（3）图象与x 轴有2个交点，且两交点间的距离小于2；则以下结论中正确的有（ ） ①0a <；②0a b c -+<；③0c >；④20a b ->；⑤124b a -<． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个二.填空题.11.抛物线y=4(x-2)2+1的顶点坐标是 .12.已知(-1,y1),(-2,y2),(-4,y3)是抛物线y=-2x2-8x+m上的点,则y1,y2,y3的大小关系为.13.如图,抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)经过点A(-3,0),点B在抛物线上,CB∥x轴,且AB平分∠CAO,则此抛物线的解析式是 .14.如图是某个二次函数的图象,根据图象可知,该二次函数的解析式是 .15.如图,某校的围墙由一段相同的凹曲拱组成,其拱状图形为抛物线的一部分,栅栏的跨径AB间按相同间隔0.2米用5根立柱加固,拱高OC为0.36米,则立柱EF的长为米.16.如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=12 mm,BC=24 mm,动点P从点A开始沿边AB 向B以2 mm/s的速度移动(不与点B重合),动点Q从点B开始沿边BC向C以4 mm/s 的速度移动(不与点C重合).如果P,Q分别从A,B同时出发,那么经过s,四边形APQC的面积最小.17.某商店购进一批单价为8元的商品,如果按每件10元出售,那么每天可销售100件.经调查发现,这种商品的销售单价每提高1元,其销售量相应减少10件,为使每天所获销售利润最大,销售单价应定为元.18. 如图为函数y=ax2+bx+c与y=x的图象,下列结论:①b2-4ac>0;②3b+c+6=0;③当1<x<3时,x2+(b-1)x+c<0;④=3. 其中正确的有 .三.解答题.19. 在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,且a≠0)的图象如图所示.(1)求这个二次函数的解析式;(2)当-2≤x≤2时,求y的取值范围.20. 如图所示，甲、乙两船分别从A地和C地同时开出，各沿箭头所指方向航行，已知AC=10海里，甲、乙两船的速度分别是每小时16海里和每小时12海里，同时出发多长时间后，两船相距最近？最近距离是多少？21. 某公司从年初以来累计利润S(万元)与时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和S和t之间的关系)为二次函数关系.试根据图象提供的信息,解答下列问题:(1)求累计利润S(万元)与时间t(月)之间的函数解析式;(2)截至几月末该公司累计利润可达16万元?(3)第10个月该公司所获利润是多少万元?。
2021年中考数学必刷卷B(广东)参考答案
2021年中考数学必刷卷B 〔广东〕参考答案1.解：﹣2的绝对值是：2.应选：A.2.解：A 、是轴对称图形，故本选项正确；B 、不是轴对称图形，故本选项错误；C 、不是轴对称图形，故本选项错误；D 、不是轴对称图形，故本选项错误.应选：A .3.解：＝4.6×10﹣6.应选：C .4.解：//l OB ，1180AOB ∴∠+∠=︒，128AOB ∴∠=︒， OC 平分AOB ∠，64BOC ∴∠=︒，又//l OB ，且2∠与BOC ∠为同位角，264∴∠=︒，应选：C .5.解：A 、原式5x =，故A 错误；C 、原式26x =，故C 错误；D 、原式32=，故D 错误； 应选：B .6.解：由折线图可知，乙与其平均值的离散程度较小，所以稳定性更好.应选：B.7.解：x 2﹣4x ﹣1＝0，x 2﹣4x ＝1，x 2﹣4x +4＝1+4，〔x ﹣2〕2＝5，应选：D .8.解：过点D 作DF AC ⊥于F 如下图， AD 为BAC ∠的平分线，且DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，1DE DF ∴==，在Rt BED ∆中，30B ∠=︒，22BD DE ∴==，在Rt CDF ∆中，45C ∠=︒，CDF ∴∆为等腰直角三角形，CD ∴==2BC BD CD ∴=+=应选：A .9.解：在函数k y x=和2(0)y kx k =+≠中， 当0k >时，函数k y x =的图象在第一、三象限，函数2y kx =+的图象在第一、二、三象限，应选项A 、D 错误，选项B 正确，当0k <时，函数k y x=的图象在第二、四象限，函数2y kx =+的图象在第一、二、四象限，应选项C 错误，应选：B .10.解：∵A 〔﹣3，4〕，B 〔3，4〕，∴AB ＝3+3＝6，∵四边形ABCD 为正方形，∴AD ＝AB ＝6，∴D 〔﹣3，10〕，∵70＝4×17+2，∴每4次一个循环，第70次旋转结束时，相当于△OAB 与正方形ABCD 组成的图形绕点O 顺时针旋转2次，每次旋转90°，∴点D 的坐标为〔3，﹣10〕.应选：D .二、填空题：此题共7小题，每题4分，共28分。