2020年重庆市高考数学试卷(文科)含答案
2020年重庆市高考数学试卷(文科)(新课标Ⅱ)-普通用卷
2020年重庆市高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x||x|<3,x∈Z}，B={x||x|>1,x∈Z}，则A∩B=()A. ⌀B. {−3,−2,2，3}C. {−2,0，2}D. {−2,2}2.(1−i)4=()A. −4B. 4C. −4iD. 4i3.如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤i<j<k≤12.若k−j=3且j−i=4，则a i，a j，a k为原位大三和弦；若k−j=4且j−i=3，则称a i，a j，a k为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为()A. 5B. 8C. 10D. 154.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者()A. 10名B. 18名C. 24名D. 32名5.已知单位向量a⃗，b⃗ 的夹角为60°，则在下列向量中，与b⃗ 垂直的是()A. a⃗+2b⃗B. 2a⃗+b⃗C. a⃗−2b⃗D. 2a⃗−b⃗6.记S n为等比数列{a n}的前n项和．若a5−a3=12，a6−a4=24，则S na n=()A. 2n−1B. 2−21−nC. 2−2n−1D. 21−n−17.执行如图的程序框图，若输入的k=0，a=0，则输出的k为()A. 2B. 3C. 4D. 58.若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x−y−3=0的距离为()A. √55B. 2√55C. 3√55D. 4√559.设O为坐标原点，直线x=a与双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为()A. 4B. 8C. 16D. 3210.设函数f(x)=x3−1x3，则f(x)()A. 是奇函数，且在(0,+∞)单调递增B. 是奇函数，且在(0,+∞)单调递减C. 是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D. 是偶函数，且在(0,+∞)单调递减11.已知△ABC是面积为9√34的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为()A. √3B. 32C. 1 D. √3212.若2x−2y<3−x−3−y，则()A. ln(y−x+1)>0B. ln(y−x+1)<0C. ln|x−y|>0D. ln|x−y|<0二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 若sinx =−23，则cos2x =______．14. 记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1=−2，a 2+a 6=2，则S 10=______． 15. 若x ，y 满足约束条件{x +y ≥−1,x −y ≥−1,2x −y ≤1,则z =x +2y 的最大值是______．16. 设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内． p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面． p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l ． 则下述命题中所有真命题的序号是______．①p 1∧p 4 ②p 1∧p 2 ③￢p 2∨p 3 ④￢p 3∨￢p 4三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2(π2+A)+cosA =54．(1)求A ；(2)若b −c =√33a ，证明：△ABC 是直角三角形．18. 某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ,y i )(i =1,2，…，20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得∑x i 20i=1=60，∑y i 20i=1=1200，∑(20i=1x i −x −)2=80，∑(20i=1y i −y −)2=9000，∑(20i=1x i −x −)(y i −y −)=800．(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数)；(2)求样本(x i ,y i )(i =1,2，…，20)的相关系数(精确到0.01)；(3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由． 附：相关系数r =n i=1i −i −√∑(i=1x i −x −)2∑(i=1y i −y −)2，√2≈1.414．19. 已知椭圆C 1：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD|=43|AB|． (1)求C 1的离心率；(2)若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程．20. 如图，已知三棱柱ABC −A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧面BB 1C 1C 是矩形，M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，P 为AM 上一点．过B 1C 1和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ．(1)证明：AA 1//MN ，且平面A 1AMN ⊥平面EB 1C 1F ；(2)设O 为△A 1B 1C 1的中心．若AO =AB =6，AO//平面EB 1C 1F ，且∠MPN =π3，求四棱锥B −EB 1C 1F 的体积．21. 已知函数f(x)=2lnx +1．(1)若f(x)≤2x +c ，求c 的取值范围； (2)设a >0，讨论函数g(x)=f(x)−f(a)x−a的单调性．22. 已知曲线C 1，C 2的参数方程分别为C 1：{x =4cos 2θ,y =4sin 2θ(θ为参数)，C 2：{x =t +1t ,y =t −1t (t 为参数)．(1)将C 1，C 2的参数方程化为普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．设C 1，C 2的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程．23.已知函数f(x)=|x−a2|+|x−2a+1|．(1)当a=2时，求不等式f(x)≥4的解集；(2)若f(x)≥4，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．求出集合A，B，由此能求出A∩B．【解答】解：集合A={x||x|<3,x∈Z}={x|−3<x<3,x∈Z}={−2,−1,1，2}，B={x||x|>1,x∈Z}={x|x<−1或x>1，x∈Z}，∴A∩B={−2,2}．故选：D．2.【答案】A【解析】解：(1−i)4=[(1−i)2]2=(−2i)2=−4．故选：A．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.【答案】C【解析】解：若k−j=3且j−i=4，则a i，a j，a k为原位大三和弦，即有i=1，j=5，k=8；i=2，j=6，k=9；i=3，j=7，k=10；i=4，j=8，k=11；i=5，j=9，k=12，共5个；若k−j=4且j−i=3，则a i，a j，a k为原位小三和弦，可得i=1，j=4，k=8；i=2，j=5，k=9；i=3，j=6，k=10；i=4，j=7，k=11；i=5，j=8，k=12，共5个，总计10个．故选：C．由原位大三和弦、原位小三和弦的定义，运用列举法，即可得到所求和．本题是数列在实际问题中的运用，运用列举法是解题的关键，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，就按1600份计算，第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95就按1200份计算，因为公司可以完成配货1200份订单，则至少需要志愿者为1600+500−120050=18名，故选：B．由题意可得至少需要志愿者为1600+500−120050=18名．本题考查了等可能事件概率的实际应用，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：单位向量|a⃗|=|b⃗ |=1，a⃗⋅b⃗ =1×1×cos60°=12，对于A，(a⃗+2b⃗ )⋅b⃗ =a⃗⋅b⃗ +2b⃗ 2=12+2=52，所以(a⃗+2b⃗ )与b⃗ 不垂直；对于B，(2a⃗+b⃗ )⋅b⃗ =2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2=2×12+1=2，所以(2a⃗+b⃗ )与b⃗ 不垂直；对于C，(a⃗−2b⃗ )⋅b⃗ =a⃗⋅b⃗ −2b⃗ 2=12−2=−32，所以(a⃗−2b⃗ )与b⃗ 不垂直；对于D，(2a⃗−b⃗ )⋅b⃗ =2a⃗⋅b⃗ −b⃗ 2=2×12−1=0，所以(2a⃗−b⃗ )与b⃗ 垂直．故选：D．利用平面向量的数量积为0，即可判断两向量是否垂直．本题考查了判断两向量是否垂直的应用问题，是基础题．6.【答案】B【解析】【分析】本题考查了等比数列的通项公式和求和公式，考查了运算求解能力，属于较易题．根据等比数列的通项公式求出首项和公比，再根据求和公式即可求出．【解答】解：设等比数列的公比为q，∵a5−a3=12，∴a6−a4=q(a5−a3)，∴q=2，∴a1q4−a1q2=12，∴12a1=12，∴a1=1，∴S n=1−2n1−2=2n−1，a n=2n−1，∴S na n =2n−12n−1=2−21−n，故选：B．7.【答案】C【解析】解：模拟程序的运行，可得k=0，a=0执行循环体，a=1，k=1执行循环体，a=3，k=2执行循环体，a=7，k=3执行循环体，a=15，k=4此时，满足判断框内的条件a>10，退出循环，输出k的值为4．故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算a的值并输出相应变量k 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8.【答案】B【解析】解：由题意可得所求的圆在第一象限，设圆心为(a,a)，则半径为a，a>0．故圆的方程为(x−a)2+(y−a)2=a2，再把点(2,1)代入，求得a=5或1，故要求的圆的方程为(x−5)2+(y−5)2=25或(x−1)2+(y−1)2=1．故所求圆的圆心为(5,5)或(1,1)；故圆心到直线2x−y−3=0的距离d=√22+12=2√55或d=√22+12=2√55；故选：B．由已知设圆方程为(x−a)2+(y−a)2=a2，(2,1)代入，能求出圆的方程，再代入点到直线的距离公式即可．本题主要考查用待定系数法求圆的标准方程的方法，求出圆心坐标和半径的值，是解题的关键，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：由题意可得双曲线的渐近线方程为y =±ba x ， 分别将x =a ，代入可得y =±b ， 即D(a,b)，E(a,−b)， 则S △ODE =12a ×2b =ab =8，∴c 2=a 2+b 2≥2ab =16，当且仅当a =b =2√2时取等号， ∴C 的焦距的最小值为2×4=8， 故选：B ．根据双曲线的渐近线方程求出点D ，E 的坐标，根据面积求出ab =8，再根据基本不等式即可求解．本题考查了双曲线的方程和基本不等式，以及渐近线方程，属于基础题．10.【答案】A【解析】 【分析】本题主要考查了函数奇偶性及单调性的判断，属于基础题．先检验f(−x)与f(x)的关系即可判断奇偶性，然后结合幂函数的性质可判断单调性． 【解答】解：因为f(x)=x 3−1x 3，则f(−x)=−x 3+1x 3=−f(x)，即f(x)为奇函数，根据幂函数的性质可知，y =x 3在(0,+∞)为增函数，故y 1=1x 3在(0,+∞)为减函数，y 2=−1x3在(0,+∞)为增函数，所以当x >0时，f(x)=x 3−1x 3单调递增， 故选：A ．11.【答案】C【解析】解：由题意可知图形如图：△ABC 是面积为9√34的等边三角形，可得√34AB 2=9√34，∴AB =BC =AC =3， 可得：AO 1=23×√32×3=√3，球O 的表面积为16π，外接球的半径为：4πR 2=16，解得R =2， 所以O 到平面ABC 的距离为：√4−3=1． 故选：C ．画出图形，利用已知条件求三角形ABC 的外接圆的半径，然后求解OO 1即可． 本题考查球的内接体问题，求解球的半径，以及三角形的外接圆的半径是解题的关键．12.【答案】A【解析】解：由2x −2y <3−x −3−y ，可得2x −3−x <2y −3−y ， 令f(x)=2x −3−x ，则f(x)在R 上单调递增，且f(x)<f(y)， 所以x <y ，即y −x >0，由于y −x +1>1，故ln(y −x +1)>ln1=0， 故选：A ．由2x −2y <3−x −3−y ，可得2x −3−x <2y −3−y ，令f(x)=2x −3−x ，则f(x)在R 上单调递增，且f(x)<f(y)，结合函数的单调性可得x ，y 的大小关系，结合选项即可判断．本题主要考查了函数的单调性在比较变量大小中的应用，属于基础试题．13.【答案】19【解析】解：∵sinx =−23，∴cos2x =1−2sin 2x =1−2×(−23)2=19． 故答案为：19．由已知利用二倍角公式化简所求即可计算得解．本题主要考查了二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．14.【答案】25【解析】 【分析】本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的应用，属于基础题． 由已知结合等差数的性质及求和公式即可直接求解．【解答】解：因为等差数列{a n }中，a 1=−2，a 2+a 6=2a 4=2， 所以a 4=1，3d =a 4−a 1=3，即d =1， 则S 10=10a 1+10×92d =10×(−2)+45×1=25．故答案为：25．15.【答案】8【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z =x +2y 得y =−12x +12z ，平移直线y =−12x +12z 由图象可知当直线y =−12x +12z 经过点A 时，直线y =−12x +12z 的截距最大， 此时z 最大，由{x −y =−12x −y =1，解得A(2,3)， 此时z =2+2×3=8， 故答案为：8．作出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义，即可得到结论． 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．16.【答案】①③④【解析】解：设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．根据平面的确定定理可得此命题为真命题，p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．若三点在一条直线上则有无数平面，此命题为假命题，p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行，也有可能异面的情况，此命题为假命题，p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l.由线面垂直的定义可知，此命题为真命题；由复合命题的真假可判断①p 1∧p 4为真命题，②p 1∧p 2为假命题，③￢p 2∨p 3为真命题，④￢p 3∨￢p 4为真命题， 故真命题的序号是：①③④， 故答案为：①③④，根据空间中直线与直线，直线与平面的位置关系对四个命题分别判断真假即可得到答案． 本题以命题的真假判断为载体，考查了空间中直线与直线，直线与平面的位置关系，难度不大，属于基础题．17.【答案】解：(1)∵cos 2(π2+A)+cosA =sin 2A +cosA =1−cos 2A +cosA═54，∴cos 2A −cosA +14=0，解得cosA =12，∵A ∈(0,π)， ∴A =π3；(2)证明：∵b −c =√33a ，A =π3，∴由正弦定理可得sinB −sinC =√33sinA =12，∴sinB −sin(2π3−B)=sinB −√32cosB −12sinB =12sinB −√32cosB =sin(B −π3)=12，∵B ∈(0,2π3)，B −π3∈(−π3,π3)， ∴B −π3=π6，可得B =π2，可得△ABC 是直角三角形，得证．【解析】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，考查了方程思想的应用，属于中档题．(1)由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得sin 2A −cosA +14=0，解方程得cosA =12，结合范围A ∈(0,π)，可求A 的值; (2)由已知利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求sin(B −π3)=12，结合范围B −π3∈(−π3,π3)，可求B =π2，即可得证．18.【答案】解：(1)由已知，∑y i 20i=1=1200，∴20个样区野生动物数量的平均数为120∑y i 20i=1=1200=60， ∴该地区这种野生动物数量的估计值为60×200=12000；(2)∵∑(20i=1x i −x −)2=80，∑(20i=1y i −y −)2=9000，∑(20i=1x i −x −)(y i −y −)=800，∴r =n i=1i −i −√∑(i=1x i −x )2∑(i=1y i −y )2=√80×9000=600√2=2√23≈0.94；(3)更合理的抽样方法是分层抽样，根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对200个地块进行分层抽样．理由如下：由(2)知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关．由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物数量差异也很大，采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计．【解析】(1)由已知数据求得20个样区野生动物数量的平均数，乘以200得答案； (2)由已知直接利用相关系数公式求解；(3)由各地块间植物覆盖面积差异很大可知更合理的抽样方法是分层抽样． 本题考查简单的随机抽样，考查相关系数的求法，考查计算能力，是基础题．19.【答案】解：(1)由题意设抛物线C 2的方程为：y 2=4cx ，焦点坐标F 为(c,0)，因为AB ⊥x 轴，将x =c 代入抛物线的方程可得y 2=4c 2，所以|y|=2c ， 所以弦长|CD|=4c ，将x =c 代入椭圆C 1的方程可得y 2=b 2(1−c 2a 2)=b 4a 2，所以|y|=b 2a，所以弦长|AB|=2b 2a ，再由|CD|=43|AB|，可得4c =43⋅2b 2a，即3ac =2b 2=2(a 2−c 2)，整理可得2c 2+3ac −2a 2=0，即2e 2+3e −2=0，e ∈(0,1)，所以解得e =12， 所以C 1的离心率为12；(2)由椭圆的方程可得4个顶点的坐标分别为：(±a,0)，(0,±b)， 而抛物线的准线方程为：x =−c ，所以由题意可得2c +a +c +a −c =12，即a +c =6，而由(1)可得ca =12，所以解得：a =4，c =2，所以b 2=a 2−c 2=16−4=12， 所以C 1的标准方程为：x 216+y 212=1，C 2的标准方程为：y 2=8x ．【解析】(1)由题意设抛物线的方程，求出焦点坐标，再由题意求切线弦长|CD|，|AB|的值，再由|CD|=43|AB|，可得a ，b ，c 的关系，由椭圆中，a ，b ，c 之间的关系求出椭圆的离心率；(2)由椭圆的方程可得4个顶点的坐标，及抛物线的准线方程，进而求出4个顶点到准线的距离，再由(1)的结论求出a，c的值，又由椭圆中a，b，c之间的关系求出a，b，c的值，进而求出椭圆及抛物线的方程．本题考查求椭圆，抛物线的方程，及直线与椭圆的综合，属于中档题．20.【答案】证明：(1)由题意知AA1//BB1//CC1，又∵侧面BB1C1C是矩形且M，N分别为BC，B1C1的中点，∴MN//BB1，BB1⊥BC，∴MN//AA1，MN⊥B1C1，又底面是正三角形，∴AM⊥BC，A1N1⊥B1C1，又∵MN∩AM=M，∴B1C1⊥平面A1AMN，∵B1C1⊂平面EB1C1F，∴平面A1AMN⊥平面EB1C1F；解：(2)∵AO//平面EB1C1F，AO⊂平面A1AMN，平面A1AMN∩平面EB1C1F=NP，∴AO//NP，∵NO//AP，∴AO=NP=6，ON=AP=√3，过M作MH⊥NP，垂足为H，∵平面A1AMN⊥平面EB1C1F，平面A1AMN∩平面EB1C1F=NP，MH⊂平面A1AMN，∴MH⊥平面EB1C1F，∵∠MPN=π3，∴MH=MPsinπ3=3，∴S EB1C1F =12(B1C1+EF)⋅NP=12(6+2)×6=24，∴V B−EB1C1F =V M−EB1C1F=13S EB1C1F⋅MN=24．【解析】(1)先求出线线平行，可得线线垂直，即可求线面垂直，最后可得面面垂直；(2)利用体积转化法，可得V B−EB1C1F =V M−EB1C1F=13S EB1C1F⋅MN，再分别求MN，S EB1C1F即可求结论．本题考查了空间位置关系，线面平行，线面垂直，面面垂直，体积公式，考查了运算能力和空间想象能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)f(x)≤2x+c等价于2lnx−2x≤c−1．设ℎ(x)=2lnx−2x，ℎ′(x)=2x −2=2(1−x)x(x>0)．当x∈(0,1)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，当x∈(1,+∞)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，∴ℎ(x)在x=1时取得极大值也就是最大值为ℎ(1)=−2，∴c−1≥−2，即c≥−1．则c的取值范围为[−1,+∞)；(2)g(x)=f(x)−f(a)x−a =2(lnx−lna)x−a(x>0,x≠a,a>0)．∴g′(x)=2x(x−a)−2lnx+2lna(x−a)2=−2ax−2lnx+2lna+2(x−a)2．令w(x)=−2ax−2lnx+2lna+2(x>0)，则w′(x)=2ax2−2x=2(a−x)x2，令w′(x)>0，解得0<x<a，令w′(x)<0，解得x>a，∴w(x)在(0,a)上单调递增，在(a,+∞)上单调递减．∴w(x)≤w(a)=0，即g′(x)≤0，∴g(x)在(0,a)和(a,+∞)上单调递减．【解析】(1)f(x)≤2x+c等价于2lnx−2x≤c−1.设ℎ(x)=2lnx−2x，利用导数求其最大值，再由c−1大于等于ℎ(x)的最大值，即可求得c的取值范围；(2)g(x)=f(x)−f(a)x−a =2(lnx−lna)x−a(x>0,x≠a,a>0)，可得g′(x)=−2ax−2lnx+2lna+2(x−a)2令w(x)=−2ax−2lnx+2lna+2(x>0)，利用导数求得w(x)≤w(a)=0，即g′(x)≤0，可得g(x)在(0,a)和(a,+∞)上单调递减．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查恒成立问题的求解方法，考查数学转化思想方法，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是中档题．22.【答案】解：(1)曲线C1，参数方程为：{x=4cos 2θ,y=4sin2θ(θ为参数)，转换为直角坐标方程为：x+y−4=0，所以C1的普通方程为x+y=4(0≤x≤4)．曲线C 2的参数方程：{x =t +1t ,①y =t −1t,②(t 为参数)． 所以①2−②2整理得直角坐标方程为x 24−y 24=1，所以C 2的普通方程为x 2−y 2=4． (2)由{x +y =4x 24−y 24=1，整理得{x +y =4x −y =1，解得：{x =52y =32，即P(52,32).设圆的方程(x −a)2+y 2=r 2， 由于圆经过点P 和原点， 所以{a 2=r 2(52−a)2+(32)2=r 2，解得{a =1710r 2=289100，故圆的方程为：(x −1710)2+y 2=289100，即x 2+y 2−175x =0，转换为极坐标方程为ρ=175cosθ．【解析】(1)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(2)利用极径的应用和圆的方程的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.【答案】解：(1)当a =2时，f(x)=|x −4|+|x −3|={−2x +7,x ≤31,3<x <42x −7,x ≥4，∴当x ≤3时，不等式f(x)≥4化为−2x +7≥4，即x ≤32，∴x ≤32； 当3<x <4时，不等式f(x)≥4化为1≥4，此时x ∈⌀； 当x ≥4时，不等式f(x)≥4化为2x −7≥4，即x ≥112，∴x ≥112．综上，当a =2时，求不等式f(x)≥4的解集为{x|x ≤32或x ≥112}；(2)f(x)=|x −a 2|+|x −2a +1|≥|x −a 2−(x −2a +1)|=|(a −1)2|=(a −1)2． 又f(x)≥4，∴(a −1)2≥4， 得a −1≤−2或a −1≥2， 解得：a ≤−1或a ≥3．综上，若f(x)≥4，则a的取值范围是(−∞,−1]∪[3,+∞)．【解析】(1)把a=2代入函数解析式，写出分段函数，然后对x分类求解不等式，取并集得答案；(2)利用绝对值不等式的性质可得f(x)=|x−a2|+|x−2a+1|≥|x−a2−(x−2a+ 1)|=|(a−1)2|=(a−1)2.由f(x)≥4，得(a−1)2≥4，求解二次不等式得答案．本题考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论的数学思想方法，考查绝对值不等式的性质，是中档题．。
2020年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅱ)(含解析版)
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题目时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其它答案标号框.回答非选择题目时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题目：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A ={x ||x |<3，x ∈Z }，B ={x ||x |>1，x ∈Z }，则A ∩B =（）A. B.{–3，–2，2，3）C.{–2，0，2} D.{–2，2}【答案】D 【解析】【分析】解绝对值不等式化简集合,A B 的表示，再根据集合交集的定义进行求解即可.【详解】因为3,2,1,0,1,2A x x x Z ，1,1B x x x Z x x 或 1,x x Z ，所以 2,2A B ∩.故选：D.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查集合交集的定义，属于基础题.2.（1–i ）4=（）A.–4B.4C.–4iD.4i【答案】A【解析】【分析】根据指数幂的运算性质，结合复数的乘方运算性质进行求解即可.【详解】422222(1)[(1)](12)(2)4i i i i i .故选：A.【点睛】本题考查了复数的乘方运算性质，考查了数学运算能力，属于基础题.3.如图，将钢琴上的12个键依次记为a 1，a 2，…，a 12.设1≤i <j <k ≤12．若k –j =3且j –i =4，则称a i ，a j ，a k 为原位大三和弦；若k –j =4且j –i =3，则称a i ，a j ，a k 为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（）A.5B.8C.10D.15【答案】C 【解析】【分析】根据原位大三和弦满足3,4k j j i ，原位小三和弦满足4,3k j j i 从1i 开始，利用列举法即可解出．【详解】根据题意可知，原位大三和弦满足：3,4k j j i ．∴1,5,8i j k ；2,6,9i j k ；3,7,10i j k ；4,8,11i j k ；5,9,12i j k ．原位小三和弦满足：4,3k j j i ．∴1,4,8i j k ；2,5,9i j k ；3,6,10i j k ；4,7,11i j k ；5,8,12i j k ．故个数之和为10．故选：C ．【点睛】本题主要考查列举法的应用，以及对新定义的理解和应用，属于基础题．4.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）A.10名B.18名C.24名D.32名【答案】B 【解析】【分析】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.【详解】由题意，第二天新增订单数为50016001200900 ，故需要志愿者9001850名.故选：B【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.5.已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是（）A.a +2bB.2a +bC.a –2bD.2a –b【答案】D 【解析】【分析】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可.【详解】由已知可得：11cos 601122a b a b .A ：因为215(2)221022a b b a b b ，所以本选项不符合题意；B ：因为21(2)221202a b b a b b ，所以本选项不符合题意；C ：因213(2)221022a b b a b b ，所以本选项不符合题意；D：因为21(2)22102a b b a b b ，所以本选项符合题意.故选：D.【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义和运算性质，考查了两平面向量数量积为零则这两个平面向量互相垂直这一性质，考查了数学运算能力.6.记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5–a 3=12，a 6–a 4=24，则nnS a =（）A.2n –1 B.2–21–n C.2–2n –1D.21–n –1【答案】B 【解析】【分析】根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列的通项公式和前n 项和公式进行求解即可.【详解】设等比数列的公比为q ，由536412,24a a a a 可得：421153111122124a q a q q a a q a q ，所以1111(1)122,21112n nn n n n n a q a a qS q ，因此1121222n n n n n S a .故选：B.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的基本量计算，考查了等比数列前n 项和公式的应用，考查了数学运算能力.7.执行右面的程序框图，若输入的k =0，a =0，则输出的k 为（）A.2B.3C.4D.5【答案】C 【解析】分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的k 值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，即可求得答案.【详解】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的k 值模拟程序的运行过程0,0k a 第1次循环，2011a ,011k ，210 为否第2次循环，2113a ,112k ，310 为否第3次循环，2317a ,213k ，710 为否第4次循环，27115a ,314k ，1510 为是退出循环输出4k .故选：C.【点睛】本题考查求循环框图的输出值，解题关键是掌握模拟循环语句运行的计算方法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.8.若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y 的距离为（）A.55B.255C.355D.455【答案】B 【解析】【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为 ,,0a a a ，可得圆的半径为a ，写出圆的标准方程，利用点 2,1在圆上，求得实数a 的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线230x y 的距离.【详解】由于圆上的点 2,1在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为,a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为 222x a y a a .由题意可得 22221a a a ，可得2650a a ，解得1a 或5a ，所以圆心的坐标为 1,1或 5,5，圆心到直线230x y 的距离均为22555d；所以，圆心到直线230x y 的距离为255.故选：B.【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.9.设O 为坐标原点，直线x a 与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（）A.4B.8C.16D.32【答案】B 【解析】【分析】因为2222:1(0,0)x y C a b a b ，可得双曲线的渐近线方程是b y x a，与直线x a 联立方程求得D ，E 两点坐标，即可求得||ED ，根据ODE 的面积为8，可得ab 值，根据2222c a b ，结合均值不等式，即可求得答案.【详解】∵2222:1(0,0)x y C a b a b双曲线的渐近线方程是by x a∵直线x a 与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b的两条渐近线分别交于D ，E 两点不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限联立x ab y x a，解得x a y b故(,)D a b 联立x ab y x a，解得x a y b故(,)E a b ||2ED bODE 面积为：1282ODE S a b ab△∵双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b其焦距为2222222168c a b ab 当且仅当22a b 取等号C 的焦距的最小值：8【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.10.设函数331()f x x x,则()f x （）A.是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B.是奇函数，且在(0,+∞)单调递减C.是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D.是偶函数，且在(0,+∞)单调递减【答案】A 【解析】【分析】根据函数的解析式可知函数的定义域为0x x ，利用定义可得出函数 f x 为奇函数，再根据函数的单调性法则，即可解出．【详解】因为函数 331f x x x定义域为 0x x ，其关于原点对称，而 f x f x ，所以函数 f x 为奇函数．又因为函数3y x 在()0,+¥上单调递增，在(),0-¥上单调递增，而331y x x在()0,+¥上单调递减，在(),0-¥上单调递减，所以函数 331f x x x在()0,+¥上单调递增，在(),0-¥上单调递增．故选：A ．【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题．11.已知△ABC 是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（）A.3B.32C.1D.32【答案】C【分析】根据球O 的表面积和ABC 的面积可求得球O 的半径R 和ABC 外接圆半径r ，由球的性质可知所求距离22d R r.【详解】设球O 的半径为R ，则2416R ，解得：2R .设ABC 外接圆半径为r ，边长为a ，ABC ∵ 是面积为934的等边三角形，21393224a ，解得：3a ，22229933434a r a ，球心O 到平面ABC 的距离22431d R r .故选：C.【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.12.若2233x y x y ，则（）A.ln(1)0y x B.ln(1)0y x C.ln ||0x y D.ln ||0x y 【答案】A 【解析】【分析】将不等式变为2323x x y y ，根据 23t tf t 的单调性知x y ，以此去判断各个选项中真数与1的大小关系，进而得到结果.【详解】由2233x y x y 得：2323x x y y ，令 23ttf t ，2x y ∵为R 上的增函数，3x y 为R 上的减函数， f t 为R 上的增函数，x y ，0y x Q ，11y x ， ln 10y x ，则A 正确，B 错误；x y Q 与1的大小不确定，故CD 无法确定.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到,x y 的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.二、填空题目：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若2sin 3x ，则cos 2x __________．【答案】19【解析】【分析】直接利用余弦的二倍角公式进行运算求解即可.【详解】22281cos 212sin 12()1399x x .故答案为：19.【点睛】本题考查了余弦的二倍角公式的应用，属于基础题.14.记n S 为等差数列 n a 的前n 项和．若1262,2a a a ，则10S __________．【答案】25【解析】【分析】因为 n a 是等差数列，根据已知条件262a a ，求出公差，根据等差数列前n 项和，即可求得答案.【详解】∵ n a 是等差数列，且12a ，262a a 设 n a 等差数列的公差d根据等差数列通项公式： 11n a a n d 可得1152a d a d 即： 2252d d 整理可得：66d 解得：1d∵根据等差数列前n 项和公式：*1(1),2n n n S na d n N可得： 1010(101)1022045252S1025S .故答案为：25.【点睛】本题主要考查了求等差数列的前n 项和，解题关键是掌握等差数列的前n 项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.15.若x ，y 满足约束条件1121,x y x y x y，，则2z x y 的最大值是__________．【答案】8【解析】【分析】在平面直角坐标系内画出不等式组表示的平面区域，然后平移直线12y x ，在平面区域内找到一点使得直线1122y x z在纵轴上的截距最大，求出点的坐标代入目标函数中即可.【详解】不等式组表示的平面区域为下图所示：平移直线12y x，当直线经过点A 时，直线1122y x z 在纵轴上的截距最大，此时点A 的坐标是方程组121x y x y的解，解得：23x y，因此2z x y 的最大值为：2238 .故答案为：8.【点睛】本题考查了线性规划的应用，考查了数形结合思想，考查数学运算能力.16.设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.p 4：若直线l 平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l .则下述命题中所有真命题的序号是__________.①14p p ②12p p ③23p p ④34p p 【答案】①③④【解析】【分析】利用两交线直线确定一个平面可判断命题1p 的真假；利用三点共线可判断命题2p 的真假；利用异面直线可判断命题3p 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题4p 的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.【详解】对于命题1p ，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为 ；若3l 与1l 相交，则交点A 在平面 内，同理，3l 与2l 的交点B 也在平面 内，所以，AB ，即3l ，命题1p 真命题；对于命题2p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题2p 为假命题；对于命题3p ，空间中两条直线相交、平行或异面，命题3p 为假命题；对于命题4p ，若直线m 平面 ，则m 垂直于平面 内所有直线，∵直线l 平面 ， 直线m 直线l ，命题4p 为真命题.综上可知，14p p 为真命题，12p p 为假命题，23p p 为真命题，34p p 为真命题.故答案为：①③④.【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知25cos ()cos 24A A ．（1）求A ；（2）若33b c a，证明：△ABC 是直角三角形．【答案】（1）3A；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据诱导公式和同角三角函数平方关系，25cos cos 24A A可化为251cos cos 4A A，即可解出；（2）根据余弦定理可得222b c a bc ，将33b c a 代入可找到,,a b c 关系，再根据勾股定理或正弦定理即可证出．【详解】（1）因为25cos cos 24A A，所以25sin cos 4A A ，即251cos cos 4A A ，解得1cos 2A ，又0A ，所以3A；（2）因为3A ，所以2221cos 22b c a A bc ，即222b c a bc ①，又33b c a②，将②代入①得， 2223b c b c bc ，即222250b c bc ，而b c ，解得2b c ，所以3a c，故222b a c ，即ABC 是直角三角形．【点睛】本题主要考查诱导公式和平方关系的应用，利用勾股定理或正弦定理，余弦定理判断三角形的形状，属于基础题．18.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ，y i )(i =1，2，…，20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20160i ix，2011200i iy，2021)80i i x x （，2021)9000i i y y （，201))800i i i x y x y （（.（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本(x i ，y i )(i =1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.附：相关系数r =12211))))ni iiiin ni i x y x x y y y x（（（（，2=1.414.【答案】（1）12000；（2）0.94；（3）详见解析【解析】【分析】（1）利用野生动物数量的估计值等于样区野生动物平均数乘以地块数，代入数据即可；（2）利用公式20120202211()()()()iii iii i x x yy r x x yy计算即可；（3）各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样.【详解】（1）样区野生动物平均数为201111200602020i i y ，地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为2006012000 （2）样本(,)i i x y 的相关系数为20120202211()()800220.943809000()()iii i i i i x x y y r x x y y（3）由于各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样先将植物覆盖面积按优中差分成三层，在各层内按比例抽取样本，在每层内用简单随机抽样法抽取样本即可.【点晴】本题主要考查平均数的估计值、相关系数的计算以及抽样方法的选取，考查学生数学运算能力，是一道容易题.19.已知椭圆C 1：22221x y a b(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴重直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |．（1）求C 1的离心率；（2）若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程．【答案】（1）12；（2）1C ：2211612x y ，2C ：28y x .【解析】【分析】（1）根据题意求出2C 的方程，结合椭圆和抛物线的对称性不妨设,A C 在第一象限，运用代入法求出,,,A B C D 点的纵坐标，根据4||||3CD AB ，结合椭圆离心率的公式进行求解即可；（2）由（1）可以得到椭圆的标准方程，确定椭圆的四个顶点坐标，再确定抛物线的准线方程，最后结合已知进行求解即可；【详解】解：（1）因为椭圆1C 的右焦点坐标为：(c,0)F ,所以抛物线2C 的方程为24y cx ，其中22c a b.不妨设,A C 在第一象限，因为椭圆1C 的方程为：22221x y a b，所以当x c 时，有222221c y b y a b a ，因此,A B 的纵坐标分别为2b a ，2ba；又因为抛物线2C 的方程为24y cx ，所以当x c 时，有242y c c y c ，所以,C D 的纵坐标分别为2c ，2c ，故22||bAB a，||4CD c .由4||||3CD AB 得2843b c a，即2322()c c a a ，解得2c a （舍去），12c a .所以1C 的离心率为12.（2）由（1）知2a c ，3b c ，故22122:143x y C c c，所以1C 的四个顶点坐标分别为(2,0)c ，(2,0)c ，(0,3)c ，(0,3)c ，2C 的准线为x c .由已知得312c c c c ，即2c .所以1C 的标准方程为2211612x y ，2C 的标准方程为28y x .【点睛】本题考查了求椭圆的离心率，考查了求椭圆和抛物线的标准方程，考查了椭圆的四个顶点的坐标以及抛物线的准线方程，考查了数学运算能力.20.如图，已知三棱柱ABC –A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧面BB 1C 1C 是矩形，M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，P 为AM 上一点．过B 1C 1和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ．（1）证明：AA 1//MN ，且平面A 1AMN ⊥平面EB 1C 1F ；（2）设O 为△A 1B 1C 1的中心，若AO =AB =6，AO //平面EB 1C 1F ，且∠MPN =π3，求四棱锥B –EB 1C 1F 的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）24.【解析】【分析】（1）由,M N 分别为BC ，11B C 的中点，1//MN CC ，根据条件可得11//AA BB ，可证1MN AA //，要证平面11EB C F 平面1A AMN ，只需证明EF 平面1A AMN 即可；（2）根据已知条件求得11EB C F S 四边形和M 到PN 的距离，根据椎体体积公式，即可求得11B EB C F V .【详解】（1）∵,M N 分别为BC ，11B C 的中点，1//MN BB 又11//AA BB1//MN AA 在等边ABC 中，M 为BC 中点，则BC AM 又∵侧面11BB C C 为矩形，1BC BB 1//MN BB ∵MN BC由MN AM M ，,MN AM 平面1A AMNBC ⊥平面1A AMN又∵11//B C BC ，且11B C 平面ABC ，BC 平面ABC ，11//B C 平面ABC又∵11B C 平面11EB C F ，且平面11EB C F 平面ABC EF11//B C EF//EF BC又BC ∵平面1A AMNEF 平面1A AMN EF ∵平面11EB C F 平面11EB C F 平面1A AMN（2）过M 作PN 垂线，交点为H ，画出图形，如图∵//AO 平面11EB C FAO 平面1A AMN ，平面1A AMN 平面11EB C F NP//AO NP又∵//NO AP6AO NP ∵O 为111A B C △的中心.1111sin 606sin 60333ON A C故：3ON AP，则333AM AP ，∵平面11EB C F 平面1A AMN ，平面11EB C F 平面1A AMN NP ，MH 平面1A AMNMH 平面11EB C F又∵在等边ABC 中EF APBC AM即36233AP BC EF AM由（1）知，四边形11EB C F 为梯形四边形11EB C F 的面积为：111126=62422EB C F EF B C S NP 四边形111113B EBC F EB C F V S h 四边形，h 为M 到PN 的距离23sin 603MH ， 1243243V .【点睛】本题主要考查了证明线线平行和面面垂直，及其求四棱锥的体积，解题关键是掌握面面垂直转为求证线面垂直的证法和棱锥的体积公式，考查了分析能力和空间想象能力，属于中档题.21.已知函数f （x ）=2ln x +1．（1）若f （x ）≤2x +c ，求c 的取值范围；（2）设a >0时，讨论函数g （x ）=()()f x f a x a的单调性．【答案】（1）1c ；（2）()g x 在区间(0,)a 和(,)a 上单调递减，没有递增区间【解析】【分析】（1）不等式()2f x x c 转化为()20f x x c ，构造新函数，利用导数求出新函数的最大值，进而进行求解即可；（2）对函数()g x 求导，把导函数()g x 分子构成一个新函数()m x ，再求导得到()m x ，根据()m x 的正负，判断()m x 的单调性，进而确定()g x 的正负性，最后求出函数()g x 的单调性.【详解】（1）函数()f x 的定义域为：(0,)()2()202ln 120()f x x c f x x c x x c ，设()2ln 12(0)h x x x c x ，则有22(1)()2x h x x x，当1x 时，()0,()h x h x 单调递减，当01x 时，()0,()h x h x 单调递增，所以当1x 时，函数()h x 有最大值，即max ()(1)2ln11211h x h c c ，要想不等式() 在(0,) 上恒成立，只需max ()0101h x c c ；（2）2ln 1(2ln 1)2(ln ln )()(0x a x a g x x x a x a且)x a 因此22(ln ln )()()x a x x x a g x x x a ，设()2(ln ln )m x x a x x x a ，则有()2(ln ln )m x a x ，当x a 时，ln ln x a ，所以()0m x ，()m x 单调递减，因此有()()0m x m a ，即()0g x ，所以()g x 单调递减；当0x a 时，ln ln x a ，所以()0m x ，()m x 单调递增，因此有()()0m x m a ，即()0g x ，所以()g x 单调递减，所以函数()g x 在区间(0,)a 和(,)a 上单调递减，没有递增区间.【点睛】本题考查了利用导数研究不等式恒成立问题，以及利用导数判断含参函数的单调性，考查了数学运算能力，是中档题.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分．[选修4—4：坐标系与参数方程]22.已知曲线C 1，C 2的参数方程分别为C 1：224cos 4sin x y ，（θ为参数），C 2：1,1x t t y t t（t 为参数）.（1）将C 1，C 2的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C 1，C 2的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程.【答案】（1）1:4C x y ；222:4C x y ；（2）17cos 5.【解析】【分析】（1）分别消去参数 和t 即可得到所求普通方程；（2）两方程联立求得点P ，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程.【详解】（1）由22cos sin 1 得1C 的普通方程为：4x y ；由11x t t y t t 得：2222221212x t t y t t，两式作差可得2C 的普通方程为：224x y .（2）由2244x y x y 得：5232x y ，即53,22P ；设所求圆圆心的直角坐标为 ,0a ，其中0a ，则22253022a a，解得：1710a ， 所求圆的半径1710r ， 所求圆的直角坐标方程为：22217171010x y ，即22175x y x ， 所求圆的极坐标方程为17cos 5.【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐标方程等知识，属于常考题型.[选修4—5：不等式选讲]23.已知函数2()|21|f x x a x a .（1）当2a 时，求不等式()4f x 的解集；（2）若()4f x ，求a 的取值范围.【答案】（1）32x x或112x；（2） ,13, .【解析】【分析】（1）分别在3x 、34x 和4x 三种情况下解不等式求得结果；（2）利用绝对值三角不等式可得到 21f x a ，由此构造不等式求得结果.【详解】（1）当2a 时， 43f x x x .当3x 时， 43724f x x x x ，解得：32x ≤；当34x 时， 4314f x x x ，无解；当4x 时， 43274f x x x x ，解得：112x；综上所述： 4f x 的解集为32x x或112x .（2） 22222121211f x x a x a x ax a a a a （当且仅当221a x a 时取等号）， 214a ，解得：1a 或3a ，a 的取值范围为 ,13, .【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.祝福语祝你马到成功，万事顺意!。
高考数学试卷(文科)答案与解析(2)(20200625000133)
C {1 ， 3} ．
D {1 ， 2， 3} ．
考点 交集及其运算． ： 专题 集合． ： 分析 直接利用集合的交集的求法求解即可． ： 解答 解：集合 A={1 ， 2， 3} ， B={1 ， 3} ， 则 A ∩B={1 ， 3} ． ： 故选： C． 点评 本题考查交集的求法， 考查计算能力． ：
求得 A 1（﹣ a， 0）， A 2（ a， 0）， B （ c， ：
）， C（ c， ﹣
）， 利用 A 1B⊥ A 2C，
可得
， 求出 a=b， 即可得出
解答 ：
双曲线的渐近线的斜率． 解：由题意， A 1（﹣ a， 0）， A 2（ a， 0）， B（ c， ∵ A1B ⊥A 2C，
）， C（c， ﹣ ），
解：由 x2﹣ 2x+1=0 ， 解得： x=1， 故 “x=1 ”是 “x 2﹣ 2x+1=0 ”的充要条件， 故选： A ． 本题考察了充分必要条件， 考察一元二次方程问题，
是一道基础题．
3．（ 5分）（ 2020 ?重庆）函数 f（ x ）=log 2（ x2+2x﹣3）的定义域是（
）
A [ ﹣ 3， 1]
i 2=﹣1．属于基础题．
12．（ 5分）（ 2020?重庆）若点 P（1， 2）在以坐标原点为圆心的圆上， 则该圆在点 P处的切线方程为 x+2y ﹣ 5=0 ．
考点 圆的切线方程；直线与圆的位置关系．
：
专题 直线与圆．
：
分析 由条件利用直线和圆相切的性质， 两条直线垂直的性质求出切线的斜率，
： 再利用点斜式求出该圆在点 P处的切线的方程．
， 解得
．
代入等差数列的通项公式得：
2020年重庆高考文科数学答案
2020年重庆高考文科数学 答案1．D 2．A 3．C 4．B 5．D 6．B 7．C 8．B 9．B 10．A 11．C12．A13．1914．25 15．8 16．①③④17．解：（1）由已知得25sin cos 4A A +=，即21cos cos 04A A -+=．所以21(cos )02A -=，1cos 2A =．由于0A <<π，故3A π=． （2）由正弦定理及已知条件可得sin sin B C A -=． 由（1）知23B C π+=，所以2sin sin()33B B ππ--=．即11sin 22B B =，1sin()32B π-=．由于03B 2π<<，故2B π=．从而ABC △是直角三角形． 18．解：（1）由己知得样本平均数20160120i iy y===∑，从而该地区这种野生动物数量的估计值为60×200= 12 000． （2）样本(,)i i x y (1,2,,20)i =的相关系数20))0.943iix y r x y --===≈∑（（． （3）分层抽样：根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对200个地块进行分层抽样．理由如下：由（2）知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关．由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物数量差异也很大，采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计．19．解：（1）由已知可设2C 的方程为24y cx =，其中c =不妨设,A C 在第一象限，由题设得,A B 的纵坐标分别为2b a ，2b a -；,C D 的纵坐标分别为2c ，2c -，故22||b AB a=，||4CD c =.由4||||3CD AB =得2843b c a=，即2322()c c a a ⨯=-，解得2c a =-（舍去），12c a =.所以1C 的离心率为12. （2）由（1）知2a c =，b =，故22122:143x y C c c+=，所以1C 的四个顶点坐标分别为(2,0)c ，(2,0)c -，)，(0,)，2C 的准线为x c =-. 由已知得312c c c c +++=，即2c =.所以1C 的标准方程为2211612x y +=，2C 的标准方程为28y x =.20．解：（1）因为M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，所以MN ∥CC 1．又由已知得AA 1∥CC 1，故AA 1∥MN ．因为△A 1B 1C 1是正三角形，所以B 1C 1⊥A 1N ．又B 1C 1⊥MN ，故B 1C 1⊥平面A 1AMN ． 所以平面A 1AMN ⊥平面EB 1C 1F ．（2）AO ∥平面EB 1C 1F ，AO ⊂平面A 1AMN ，平面A 1AMN ⋂平面EB 1C 1F = PN ， 故AO ∥PN ，又AP ∥ON ，故四边形APNO 是平行四边形，所以PN=AO=6，AP = ON=13PM=23EF=13BC=2．因为BC ∥平面EB 1C 1F ，所以四棱锥B-EB 1C 1F 的顶点B 到底面EB 1C 1F 的距离等于点M到底面EB 1C 1F 的距离．作MT ⊥PN ，垂足为T ，则由（1）知，MT ⊥平面EB 1C 1F ，故MT =PM sin ∠MPN=3． 底面EB 1C 1F 的面积为1111()(62)624.22B C EF PN ⨯+⨯=+⨯= 所以四棱锥B-EB 1C 1F 的体积为1243243⨯⨯=．21．解：设h(x)=f(x)−2x −c ，则h(x)=2lnx −2x+1−c ， 其定义域为(0，+∞)，2()2h x x'=-.（1）当0<x<1时，h'(x)>0；当x>1时，h'(x)<0.所以h(x)在区间(0，1)单调递增，在区间(1，+∞)单调递减.从而当x=1时，h(x)取得最大值，最大值为h(1)=−1−c.故当且仅当−1−c≤0，即c≥−1时，f(x)≤2x+c. 所以c 的取值范围为[−1，+∞). （2）()()2(ln ln )()f x f a x a g x x a x a--==--，x ∈(0，a)∪(a ，+∞). 222(ln ln )2(1ln )()()()x a a a a x x x x g x x a x a -+--+'==--取c=−1得h(x)=2lnx −2x+2，h(1)=0，则由（1）知，当x≠1时，h(x)<0，即1−x+lnx<0.故当x ∈(0，a)∪(a ，+∞)时，1ln 0a a xx-+<，从而()0g x '<.所以()g x 在区间(0，a)，(a ，+∞)单调递减. 22．解：（1）1C 的普通方程为4(04)x y x +=≤≤．由2C 的参数方程得22212xt t =++，22212y t t=+-，所以224x y -=． 故2C 的普通方程为224x y -=．（2）由224,4x y x y +=⎧⎨-=⎩得5,23,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以P 的直角坐标为53(,)22．设所求圆的圆心的直角坐标为0(,0)x ，由题意得220059()24x x =-+， 解得01710x =． 因此，所求圆的极坐标方程为17cos 5ρθ=．23．解：（1）当2a =时，72,3,()1,34,27,4,x x f x x x x -≤⎧⎪=<≤⎨⎪->⎩因此，不等式()4f x ≥的解集为311{|}22x x x ≤≥或． （2）因为222()|||21||21|(1)f x x a x a a a a =-+-+≥-+=-，故当2(1)4a -≥，即|1|2a -≥时，()4f x ≥．所以当a≥3或a≤-1时，()4f x ≥．所以a 的取值范围是(,1][3,)-∞-+∞．。
2020年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅲ)(谭金国老师审校)
2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{1A =，2，3，5，7，11}，{|315}B x x =<<，则AB 中元素的个数为() A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 2．若(1)1z i i ⋅+=-，则(z = )A ．1i -B ．1i +C ．i -D ．i3．设一组样本数据1x ，2x ，⋯，n x 的方差为0.01，则数据110x ，210x ，⋯，10n x 的方差为( ) A ．0.01B ．0.1C ．1D ．104．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()(I t t 的单位：天）的Logistic 模型：0.23(53)()1t KI t e --=+，其中K 为最大确诊病例数．当*()0.95I t K =时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为( ) (193)ln ≈A ．60B ．63C ．66D ．695．已知sin sin()13πθθ++=，则sin()(6πθ+= )A ．12B 3C ．23D 26．在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点．若1AC BC =，则点C 的轨迹为( ) A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．直线7．设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线2:2(0)C y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为( )A ．1(4，0)B ．1(2，0) C ．(1,0)D ．(2,0)8．点(0,1)-到直线(1)y k x =+距离的最大值为( ) A ．1 B 2C 3D ．29．右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是( )A ．62+B ．442+C ．623+D ．43+10．设3log 2a =，5log 3b =，23c =，则( ) A ．a c b << B ．a b c << C ．b c a << D ．c a b <<11．在ABC ∆中，2cos 3C =，4AC =，3BC =，则tan (B = )AB．C．D．12．已知函数1()sin sin f x x x=+，则( )A ．()f x 的最小值为2B ．()f x 的图象关于y 轴对称C ．()f x 的图象关于直线x π=对称D ．()f x 的图象关于直线2x π=对称二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年重庆市高考数学模拟试卷(文科)(4月份)(有答案解析)
2020年重庆市高考数学模拟试卷（文科）（4月份）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数（i为虚数单位）的共轭复数为（）A. 1+iB. 1-iC. 1+2iD. 1-2i2.已知全集U=R，集合M={x|-1＜x＜l}，N={x|0＜x＜2}，则图中阴影部分表示的集合是（）A. {x|x≤0或x≥l}B. {x|x≤-1或x≥2}C. {x|0＜x＜l}D. {x|x-1＜x＜2}3.已知向量=（-1，2），=（λ，-4），若⊥，则|2|=（）A. 6B. 10C. 8D. 124.已知函数f（x）=，则f（-1）=（）A. log25B. log26C. 3D. 2+log235.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S11=22，则a3+a5+a10=（）A. 2B. 3C. 6D. 126.若用如图所示的程序框图寻找使1+++…+＞成立的正整数i的最小值，则图中①处应填入（）A. 输出i-1B. 输出iC. 输出i+1D. 输出i+27.中华文化博大精深，我国古代算书《周髀算经》中介绍了用统计概率得到圆周率π的近似值的方法．古代数学家用体现“外圆内方”文化的钱币（如图1）做统计，现将其抽象成如图2所示的图形，其中圆的半径为2cm，正方形的边长为lcm，在圆内随机取点，若统计得到此点取自阴影部分的概率是P，则圆周率π的近似值为（）A. B. C. D.8.函数y=（e x+e-x）sin x的部分图象大致为（）A. B. C. D.9.若“p∨q”成立的一个必要条件是“￢r”，则下列推理：①p∨q⇒￢r；②p⇒￢r；③￢r⇒q；④（￢p）∧（（￢q）⇒r．其中正确的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 410.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.11.已知-＜α＜，2tanβ=tan2α，tan（β-α）=-8，则sinα=（）A. -B. -C.D.12.已知函数f（x）=若F（x）=f（x）+m有两个零点x1，x2，则x1x2的取值范围是（）A. （-∞，e）B. （-∞，0）C. [e，0]D. [-l，0]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cos A=，a=，b=，则sin B=______14.设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3y-x的最小值是______15.如图，圆柱OO1中，两半径OA，O1B等于1，且OA⊥O1B，异面直线AB与OO1所成角的正切值为则该圆柱OO1的体积为______16.已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左右焦点为F1，F2．过点F的直线1与双曲线C的左支交于A，B两点，△BF1F2的面积是△AF1F2面积的三倍，∠F1AF2=90°，则双曲线C的离心率为______三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知正项数列{a n}的前n项和为S n，2S n=a n2+a n（1）求数列{a n}的通项公式（2）令b n=3-a n+，求数列{b n}的前n项和．18.某农科站技术员为了解某品种树苗的生长情况，在该批树苗中随机抽取一个容量为100的样本，测量树苗高度（单位：cm）．经统计，高度均在区间[20，50]内，将其按[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45），[45，50]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图，其中高度不低于40cm的树苗为优质树苗．（1）求频率分布直方图中a的值（2）已知所抽取的这100棵树苗来自于甲、乙两个地区，部分数据如下2×2列联表所示，将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有99.9%的把握认为优质树苗与地区有关？甲地区乙地区合计优质树苗5非优质树苗25合计附：K2=，其中n=a+b+c+dP（K2≥k0）0.0250.0100.0050.001k0 5.024 6.6357.87910.82819.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为AD中点，N为BC中点，P为B1D1上一点，B1P=3D1P，Q为AA1中点（1）证明：D1Q⊥平面B1MN（2）求四面体PMNB1的体积20.如图，已知A（0，1），B（0，-1）为椭圆C：=1（a＞b＞0）轴的两个端点，且椭圆的离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）若经过点B的直线l与椭圆C的另一个交点记为M，经过原点O且与AM垂直的直线记为11，且直线l与直线l1的交点记为N，证明：•是定值，并求出这个定值．21.已知函数f（x）=ln x-ax+a，a∈R．（1）若f（x）存在极大值f（x0），证明：f（x0）≥0；（2）若关于x的不等式f（x）+e x-1≥1在区间[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，a∈R），以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2cosθ（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l过点P（1，1）且与曲线C交于AB两点，求|PA|+|PB|23.设函数f（x）=|2x-3|+|x+2|（1）求不等式f（x）≤5的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≤a-|x|在区间[-1，2]上恒成立，求实数a的取值范围-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：∵=，∴复数（i为虚数单位）的共轭复数为1-2i．故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.答案：B解析：解：∵全集U=R，集合M={x|-1＜x＜l}，N={x|0＜x＜2}，∴M∪N={x|-1＜x＜2}，∴图中阴影部分表示的集合是：C U（M∪N）={x|x≤-1或x≥2}．故选：B．求出M∪N={x|-1＜x＜2}，图中阴影部分表示的集合是C U（M∪N），由此能求出结果．本题考查集合的求法，考查并集、补集、维恩图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.答案：B解析：解：∵向量=（-1，2），=（λ，-4），⊥，∴，∴λ=-8，∴，∴|2|=|（6，8）|==10，故选：B．根据⊥，可得，求出λ即可进一步得到|2|．本题考查平面向量的数量积与垂直的关系和向量的模，属基础题．4.答案：A解析：解：根据题意，函数f（x）=，则f（-1）=f（2）=f（5）=log25；故选：A．根据题意，由函数的解析式分析可得f（-1）=f（2）=f（5），进而计算可得答案．本题考查分段函数的解析式，涉及函数值的计算，属于基础题．5.答案：C解析：解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，S11=22，∴=11a6=22，解得a6=2，∴a3+a5+a10=3a6=6．故选：C．由等差数列{a n}的前n项和为S n，S11=22，求出a6=2，再由a3+a5+a10=3a6，能求出结果．本题考查等差数列的前n项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.答案：B解析：解：由程序框图的功能是使1+++…+＞成立的正整数i的最小值，则循环结束时①中应为i的值．故选：B．分析程序中各变量、各语句的作用，根据流程图所示的顺序，得出该程序框图中①应填的内容．本题考查了算法与程序框图的应用问题，是基础题．7.答案：A解析：【分析】计算圆形钱币的面积和正方形的面积，求出对应面积比得P，则π可求．本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．【解答】解：圆形钱币的半径为2cm，面积为S圆=π•22=4π；正方形边长为1cm，面积为S正方形=12=1．在圆形内随机取一点，此点取自黑色部分的概率是P=，则．故选：A．8.答案：C解析：解：函数f（-x）=-（e x+e-x）sin x=-f（x），图象是奇函数，图象关于原点对称，排除B，D，当x＞0且x→0，f（x）＞0，排除A，故选：C．先函数的奇偶性和对称性，然后利用极限思想进行排除即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和对称性的关系以及极限思想是解决本题的关键．9.答案：C解析：解：若“p∨q”成立的一个必要条件是“￢r”，即为p∨q⇒￢r，⇔￢（p∨q）⇒r，⇔（￢p）∧（（￢q）⇒r，可得①④正确；由p真，可得p∨q真，即有②正确；由q⇒￢r，可得③错误．故选：C．由复合命题的真假和充分必要条件的定义，可得p∨q⇒￢r，结合等价命题和复合命题的真值表，即可判断正确个数．本题考查复合命题的真假和充分必要条件的定义，考查判断能力，属于基础题．10.答案：A解析：解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为多面体ABCDEF，底面为矩形ABCD，AB=5，AD=3．侧面CDEF为等腰梯形，EF=1，侧面CDEF⊥底面ABCD，则该几何体的体积V=．故选：A．由三视图还原原几何体，该几何体为多面体ABCDEF，底面为矩形ABCD，AB=5，AD=3．侧面CDEF 为等腰梯形，EF=1，侧面CDEF⊥底面ABCD．再由棱锥与棱柱的体积公式求解．本题考查由三视图求面积，体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．11.答案：B解析：解：∵2tanβ=tan2α，∴2tan（β-α+α）=，∴=，∴=，化简得tanα=-2，∴α∈（-，0），∴sinα=-．故选：B．2tanβ=tan2α，∴2tan（β-α+α）=，变形可得tanα=-2，可得sinα=-．本题考查了两角和与差的三角函数，属中档题．12.答案：D解析：解：作出f（x）的图象，F（x）=f（x）+m有两个零点，即f（x）=-m有两个不等实根x1，x2，即为-m=x1+1=ln x2，可得x1=-m-1，x2=e-m，m≥-1，则x1x2=（-m-1）e-m，可设g（m）=（-m-1）e-m，g′（m）=me-m，由m＞0时，g′（m）＞0，g（m）递增，-1≤m＜0时，g′（m）＜0，g（m）递减，即m=0处g（m）取得极小值，且为最小值-1，又x1x2≤0，即有x1x2的范围是[-1，0]．故选：D．作出f（x）的图象，由题意可得f（x）=-m有两个不等实根x1，x2，即为-m=x1+1=ln x2，可得m的函数，求得导数和单调性，可得极小值和最小值，结合图象可得所求范围．本题考查分段函数的零点个数问题，考查构造函数法和导数的运用：求单调性和最值，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．13.答案：解析：解：∵cos A=，a=，b=，∴sin A==，∴由正弦定理，可得：=，可得：sin B=．故答案为：．由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin A的值，根据正弦定理即可得解sin B．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．14.答案：-4解析：解：作出变量x，y满足约束条件表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（-2，3），C（-2，-2），B（3，）设z=F（x，y）=3y-x，将直线l：z=3y-x进行平移，当l经过点C时，目标函数z达到最小值，∴z最小值=F（-2，-2）=-4故答案为：-4．作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=3y-x对应的直线进行平移，可得当x=-2且y=-2时，z=3y-x取得最小值．本题给出二元一次不等式组，求目标函数的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．15.答案：4π解析：解：过B作BC⊥底面O，交底面圆O于点C，连结OC，∵圆柱OO1中，两半径OA，O1B等于1，且OA⊥O1B，异面直线AB与OO1所成角的正切值为，∴OA⊥OC，AC==，OO1BC，∴∠ABC是异面直线AB与OO1所成角，∴tan∠ABC===，∴OO1=BC=4，∴该圆柱OO1的体积：V=πr2•OO1=4π．故答案为：4π．过B作BC⊥底面O，交底面圆O于点C，连结OC，则OA⊥OC，AC=，OO1BC，由∠ABC是异面直线AB与OO1所成角，得到tan∠ABC===，从而OO1=BC=4，由此能求出该圆柱OO1的体积．本题考查圆柱的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．16.答案：解析：解：设|AF1|=m，|BF1|=n，由双曲线的定义可得|AF2|=2a+m，|BF2|=2a+n，由△BF1F2的面积是△AF1F2面积的三倍，可得（2a+m）（m+n）-m（2a+m）=3•（2a+m）m，化简可得n=3m，由直角三角形ABF1可得（m+n）2+（2a+m）2=（2a+n）2，代入n=3m，化简可得m=a，在直角三角形AF1F2中，可得m2+（2a+m）2=4c2，即为a2+9a2=4c2，即c=a，则e==，故答案为：．设|AF1|=m，|BF1|=n，运用双曲线的定义和直角三角形的勾股定理和面积公式，化简可得n=3m，m=a，再由勾股定理和离心率公式，可得所求值．本题考查双曲线的定义和方程、性质，主要是离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．17.答案：解：（1）∵2S n=a n2+a n，∴n≥2时，2a n=2S n-2S n-1=a n2+a n-（+a n-1），∴（a n+a n-1）（a n-a n-1-1）=0，∵a n＞0，∴a n-a n-1=1，n=1时，2a1=+a1＞0，解得a1=1．∴数列{a n}是等差数列，首项为1，公差为1．∴a n=1+（n-1）=n．（2）b n=3-a n+=+，∴数列{b n}的前n项和=+（1-+……+）=+1-=--．解析：（1）由2S n=a n2+a n，可得n≥2时，2a n=2S n-2S n-1，化为（a n+a n-1）（a n-a n-1-1）=0，根据a n＞0，可得a n-a n-1=1，利用等差数列的通项公式即可得出．（2）b n=3-a n+=+，利用等比数列的求和公式及其裂项求和方法即可得出．本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：解：（1）根据概率的性质可得：（a+3a+0.04+0.07+0.04+a）×5=1，解得a=0.01，（2）2×2列联表如下：甲地区乙地区合计优质树苗 5 20 25非优质树苗 502575合计55 45100k2=≈16.49＞10.828．所以有99.9%的把握认为优质树苗与地区有关．解析：（1）根据概率的性质可得：（a+3a+0.04+0.07+0.04+a）×5=1，解得a=0.01，（2）根据列联表计算观测值，根据临界值表可得结论．本题考查了独立性检验，属中档题．19.答案：证明：（1）在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为AD中点，N为BC中点，P为B1D1上一点，B1P=3D1P，Q为AA1中点，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，D1（0，0，2），Q（2，0，1），B1（2，2，2），M（1，0，0），N（1，2，0），=（2，0，-1），=（1，2，2），=（0，2，0），•=0，=0，∴D1Q⊥MB1，D1Q⊥MN，∵MB1∩MN=M，∴D1Q⊥平面B1MN．解：（2）∵D1Q⊥平面B1MN，∴平面B1MN的一个法向量为==（2，0，-1），∴P（），=（-，），∴点P到平面B1MN的距离d==cos＜＞===，sin＜＞==，∴===．∴四面体PMNB1的体积V===1．解析：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明D1Q⊥平面B1MN．（2）求出平面B1MN的一个法向量，从而求出点P到平面B1MN的距离，由此利用向量法能求出四面体PMNB1的体积．本题考查线面垂直的证明，考查四面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.答案：（1）解：由题意，，解得a=2，b=1，c=．∴椭圆C的方程为；（2）证明：设M（x0，y0）（x0≠0），则．，BM所在直线方程为y=．，则直线l1的方程为y=．联立，解得N（，）．∴•=（x0，y0）•（，）=．∴•是定值-．解析：（1）由已知可得关于a，b，c的方程组，求解a，b的值，则椭圆方程可求；（2）设M（x0，y0）（x0≠0），则．分别求出直线l与直线l1的方程，联立求得N的坐标，再由数量积的坐标运算证明•是定值．本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．21.答案：（1）证明：f′（x）=-a．（x∈（0，+∞））．a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，无极值．a＞0时，f′（x）=，在（0，）上f′（x）,在（，+∞）上f′（x）, 函数f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，当x0=时，可得函数f（x）取得极大值=-ln a-1+a．令g（a）==-ln a-1+a．（a∈（0，+∞））．g′（a）=-+1=，可得当a=1时，函数g（a）取得极小值g（1）=0．∴g（a）=≥0，a∈（0，+∞）．即f（x）存在极大值f（x0），f（x0）≥0．（2）解：令h（x）=f（x）+e x-1-1=ln x-ax+a+e x-1-1，x∈[1，+∞），h（1）=0．h′（x）=-a+e x-1=u（x），u′（x）=-+e x-1，在x∈[1，+∞）单调递增，u′（1）=0．∴u′（x）≥0，∴h′（x）=-a+e x-1≥u（1）=2-a，a≤2时，h′（x）≥0，函数h（x）在x∈[1，+∞）上单调递增，h（1）=0．∴h（x）≥h（1）=0，满足题意．a＞2时，存在x0＞1，使得x∈[1，x0）时，h′（x）＜0，函数h（x）在x∈[1，x0）上单调递减，∴h （x）＜h（1）=0，不满足题意，舍去．综上可得：a≤2．∴a的取值范围是（-∞，2]．解析：（1）f′（x）=-a．（x∈（0，+∞））．对a分类讨论，即可得出单调性极值．进而证明结论．（2）令h（x）=f（x）+e x-1-1=ln x-ax+a+e x-1-1，x∈[1，+∞），h（1）=0．h′（x）=-a+e x-1=u（x），对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.答案：解（1）由消去参数t可得直线l的普通方程为：x+y-a=0，由ρsin2θ=2cosθ得ρ2sin2θ=2ρcosθ可得曲线C的直角坐标方程为：y2=2x．（2）将P（1，1）代入x+y-a=0可得a=2，所以直线l的参数方程为（t为参数）将其代入曲线C的普通方程得：t2+4-2=0，设A，B对应的参数为t1，t2，则t1+t2=-4，t1t2=-2＜0，∴|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|===2．解析：（1）消去参数t可得直线l的普通方程，根据互化公式可得曲线C的普通方程．（2）根据直线参数方程中参数条的几何意义可得．本题考查了参数方程化普通方程，极坐标方程化普通方程，参数t的几何意义，属中档题．23.答案：解：（1）f（x）≤5即为|2x-3|+|x+2|≤5，当x≥时，2x-3+x+2≤5，解得≤x≤2；当-2＜x＜时，3-2x+x+2≤5，解得0≤x＜；当x≤-2时，3-2x-x-2≤5，解得x∈∅．可得不等式的解集为[0，2]；（2）关于x的不等式f（x）≤a-|x|在区间[-1，2]上恒成立，可得|2x-3|+|x+2|+|x|≤a，设g（x）=|2x-3|+|x+2|+|x|，即g（x）=x+2+|x|+|2x-3|，-1≤x≤2，当≤x≤2时，g（x）=x+2+x+2x-3=4x-1；当0＜x＜时，g（x）=x+2+x+3-2x=5；当-1≤x≤0时，g（x）=x+2-x+3-2x=5-2x．可得g（x）的最大值为g（-1）=g（2）=7，可得a≥7．即a的范围是[7，+∞）．解析：（1）运用绝对值的意义，对x讨论，去绝对值，解不等式，求并集即可；（2）由题意可得|2x-3|+|x+2|+|x|≤a，设g（x）=|2x-3|+|x+2|+|x|，对x讨论，去绝对值，由一次函数的单调性可得g（x）的最大值，可得a的范围．本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，注意运用分类讨论思想方法和转化思想，考查化简运算能力，属于中档题．。
2020年全国统一高考数学试卷(文科)
【详解】因为直线 与抛物线 交于 两点，且 ，
根据抛物线的对称性可以确定 ，所以 ，
代入抛物线方程 ，求得 ，所以其焦点坐标为 ，
故选：B.
8.点(0，﹣1)到直线 距离的最大值为（）
A. 1B. C. D. 2
【答案】B
【详解】由 可知直线过定点 ，设 ，
当直线 与 垂直时，点 到直线 距离最大，
【答案】D
【解析】
【详解】因为 ，所以 .
故选：D
3.设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为（）
A. 0.01B. 0.1C. 1D. 10
【答案】C
【详解】因为数据 的方差是数据 的方差的 倍，
所以所求数据方差为
故选：C
4.Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型： ，其中K为最大确诊病例数．当I( )=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则 约为（）.
【答案】A
【详解】因为 ， ，
所以 .
故选：A.
11.在△ABC中，cosC= ，AC=4，BC=3，则tanB=（）
A. B. 2 C. 4 D. 8
【答案】C
【详解】设
故选：C
12.已知函数f(x)=sinx+ ，则（）
A.f(x)的最小值为2B.f(x)的图像关于y轴对称
因为 ，所以 ，易知截距 越大，则 越大，
平移直线 ，当 经过A点时截距最大，此时z最大，
由 ，得 ， ，
所以 .
故答案为：7.
14.设双曲线C： (a>0，b>0)的一条渐近线为y= x，则C的离心率为_________．
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(重庆.文)含答案
2020年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（文史类）数学试题卷（文史类）共5页，满分150分，考试时间120分钟注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦净后，再选涂其他答案标号．3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回． 参考公式：如果事件A B ，互斥，那么()()()P A B P A P B +=+． 如果事件A B ，相互独立，那么()()()P A B P A P B =．如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)k k n kn n p k C p p -=-．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在等比数列{}n a 中，25864a a ==，，则公比q 为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．82．设全集{}{}{}U a b c d A a c B b ===，，，，，，，则()U A B =（ ）A ．∅B ．{}aC ．{}cD ．{}a c ，3．垂直于同一平面的两条直线（ ） A ．平行 B ．垂直 C ．相交 D ．异面4．6(21)x +展开式中2x 的系数为（ ） A ．15B ．60C ．130D ．2405．“11x -<<”是“21x <”的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分但不必要条件C ．必要但不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．下列各式中，值为32的是（ ） A ．2sin15cos15B ．22cos 15sin 15-C ．22sin 151-D ．22sin 15cos 15+7．从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为（ ） A ．14B ．79120C ．34D ．23248．若直线1y kx =+与圆221x y +=相交于P Q ，两点，且120POQ ∠=（其中O 为原点），则k 的值为（ ） A ．3-或3B ．3C ．2-或2D ．29．已知向量(46)(35)OA OB ==，，，，且OC OA AC OB ⊥，∥，则向量OC =（ ） A ．3277⎛⎫- ⎪⎝⎭，B ．24721⎛⎫- ⎪⎝⎭，C ．3277⎛⎫- ⎪⎝⎭，D ．24721⎛⎫- ⎪⎝⎭，10．设(31)P ，为二次函数2()2(1)f x ax ax b x =-+≥的图象与其反函数1()y x -=的图象的一个交点，则（ ）A ．1522a b ==， B ．1522a b ==， C ．1522a b =-=，D ．1522a b =-=-，11．设3b 是1a -和1a +的等比中项，则3a b +的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．412．已知以1(20)F -，，2(20)F ，为焦点的椭圆与直线340x y ++=有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（ ） A ．32B ．26C ．27D ．42二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填写在答题卡相应位置上．13．在ABC △中，1260AB BC B ===，，，则AC = ． 14．已知23000.x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≤≥，≥则3z x y =-的最小值为 ．15．要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课排在第6节，则不同的排法种数为 （以数字作答） 16．函数2232()22x x f x x x ++=-+的最小值为 ．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分13分．（Ⅰ）小问5分．（Ⅱ）小问8分．）设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为34和45，且各次射击相互独立． （Ⅰ）若甲、乙各射击一次，求甲命中但乙未命中目标的概率； （Ⅱ）若甲、乙各射击两次，求两人命中目标的次数相等的概率． 18．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问9分）已知函数π12cos 24()πsin 2x f x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭． （Ⅰ）求()f x 的定义域； （Ⅱ）若角α在第一象限且3cos 5α=，求()f α． 19．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分） 如题19图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=°，13122AB BC AA ===，，；点D 在棱1BB 上，113BD BB =；11B E A D ⊥，垂足为E ，求：（Ⅰ）异面直线1A D 与11B C 的距离；（Ⅱ）四棱锥C ABDE -的体积．20．（本小题满分12分）用长为18m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2:1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？ 21．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）如题21图倾斜角为α的直线经过抛物线28y x =的焦点F ， 且与抛物线交于A B ，两点．（Ⅰ）求抛物线的焦点F 的坐标及准线l 的方程； （Ⅱ）若α为锐角，作线段AB 的垂直平分线m 交x 轴于点P ，证明cos2FP FP α-为定值，并求此定值． 22．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分） 已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和n S 满足11S >， 且6(1)(2)n n n S a a n +=++∈N ，．BA C DFE1A1B1C题（19）图 Ｏl y yαmPBA题（21）图F x（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 满足(21)1n bn a -=，并记n T 为{}n b 的前n 项和，求证：231log (3)n n T a n ++>+∈N ，．2007年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题（文史类）答案一、选择题：每小题5分，满分60分 1．Ａ 2．Ｄ 3．Ａ 4．Ｂ 5．Ａ 6．Ｂ7．Ｃ 8．Ａ 9．Ｄ 10．Ｃ 11．Ｂ 12．Ｃ二、填空题：每小题4分，满分16分 13．314．915．28816．122+三、解答题：满分74分 17．（本小题13分）解：（Ⅰ）设A 表示甲命中目标，B 表示乙命中目标，则A B ，相互独立，且3()4P A =． 4()5P B =，从而甲命中但乙未命中目标的概率为343()()()14520P AB P A P B ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭．（Ⅱ）设k A 表示甲在两次射击中恰好命中k 次，l B 表示乙在两次射击中恰好命中l 次．依题意有2231()01244k kk k P A C k -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，2241()01255lll l P B C l -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，． 由独立性知两人命中次数相等的概率为001122()()()P A B P A B P A B ++001122()()()()()()P A P B P A P B P A P B =++2222112222221131413445445545C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭·········11349161930.482516254251625400=⨯+⨯+⨯==． 18．（本小题13分） 解：（Ⅰ） 由πsin 02x ⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭得ππ2x k ≠-+，即ππ2x k ≠-()k ∈Z ． 故()f x 的定义域为π|π2x x k k ⎧⎫∈≠-∈⎨⎬⎩⎭R Z ，．（Ⅱ）由已知条件得2234sin 1cos 155αα⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭．从而π12cos 24()πsin 2f ααα⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ππ12cos 2cos sin 2sin 44cos ααα⎛⎫++ ⎪⎝⎭= 21cos 2sin 22cos 2sin cos cos cos ααααααα+++==142(cos sin )5αα=+=． 19．（本小题12分）解法一：（Ⅰ）由直三棱柱的定义知111B C B D ⊥，又因为90ABC ∠=°， 因此1111B C A B ⊥，从而11B C ⊥平面11A B D ． 得111B C B E ⊥，又11B E A D ⊥． 故1B E 是异面直线11B C 与1A D 的公垂线．由113BD BB =知143B D =，在11A B D Rt △中，22211145133AD A B B D ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭．又因11111111122A B D S A B B D A D B E ==△··， DFE1A1B1C故111114143553A B B D B E A D ===··．（Ⅱ）由（Ⅰ）知11B C ⊥平面11A B D ，又11BC B C ∥， 故BC ⊥平面ABDE ，即BC 为四棱锥C ABDE -的高，从而所求四棱锥的体积V 为13C ABDE V V S BC -==··，其中S 为四边形ABDE 的面积，如答（19）图1，过E 作1EF B D ⊥，垂足为F ．在1B ED Rt △中，22221144163515ED B D B E ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．又因1111122B ED S B E DE B D EF ==△··， 故111625B E DE EF B D ==·．因1A AE △的边1A A 上的高1116912525h A B EF =-=-=， 故1111992222525A AE S A A h ===△···． 又因为11111114212233A B D S A B B D ===△···， 从而111119273225375ABB A A AE A B D S S S S =--=--=△△． 所以117337333752150V S BC ===····． 解法二：（Ⅰ）如答（19）图2，以B 点为坐标原点O 建立空间直角坐标系O xyz -，则11132(010)(012)(000)(002)020023A A B B C D ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，，，，，，，． 因此1(002)AA =，，，(010)AB =-，，，1132B C ⎛⎫=00 ⎪⎝⎭，，，1403A D ⎛⎫=-1- ⎪⎝⎭，，．设00(0)E y z ，，，则100(02)B E y z =-，，，ACDｚE1A 1B 1C yx因此1B E 11B C 0=，从而111B C B E ⊥．又由题设11B E A D ⊥，故1B E 是异面直线11B C 与1A D 的公垂线． 下面求点E 的坐标．因11B E A D ⊥，即110B E A D =，从而004(2)03y z --=， ··················· （1） 又100(012)A E y z =--，，，且11A E A D ∥，得0012413y z --=． ·········· （2） 联立（1），（2）解得01625y =，03825z =，即3802525E 16⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，161202525B E 1⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，． 所以2211612425255B E ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （II ）由BC AB ⊥，BC DB ⊥，故BC ⊥面ABDE ，即BC 为四棱锥C ABDE -的高．下面求四边形ABDE 的面积．因为1ABDE ABE BDE S S S AB =+=△△，，23BD =． 而01138191222525ABE S AB z ===△． 011216162232575BDE S BD y ===△ 故191673257575ABDE S =+=． 所以117337333752150C ABDE ABDE V S BC -===． 20．（本小题12分）解：设长方体的宽为(m)x ，则长为2(m)x ，高为181234.53(m)042x h x x -⎛⎫==-<< ⎪⎝⎭． 故长方体的体积为22323()2(4.53)96(m )02V x x x x x x ⎛⎫=-=-<< ⎪⎝⎭． 从而2()181818(1)V x x x x x '=-=-．令()0V x '=，解得0x =（舍去）或1x =，因此1x =． 当01x <<时，()0V x '>；当312x <<时，()0V x '<． 故在1x =处()V x 取得极大值，并且这个极大值就是()V x 的最大值．从而最大体积233(1)91613(m )V V ==⨯-⨯=，此时长方体的长为2m ，高为1.5m ．答：当长方体的长为2m ，宽为1m ，高为1.5m 时，体积最大，最大体积为33m ． 21．（本小题12分）（I ）解：设抛物线的标准方程为22y px =，则28p =，从而4p =． 因此焦点02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，的坐标为(20)，， 又准线方程的一般式为2p x =-． 从而所求准线的方程为2x =-．（II ）解法一：如答21图作AC l ⊥，BD l ⊥， 垂足分别为C D ，，则由抛物线的定义知FA AC =，FB BD =．记A B ，的横坐标分别为A x ，B x ，则cos 222A p p p FA AC x FA α==+=++ cos 4FA α=+，解得41cos FA α=-． 类似地有4cos FB FB α=-，解得41cos FB α=+．记直线m 与AB 的交点为E ，则1()22FA FB FE FA AE FA FA FB +=-=-=- 21444cos 21cos 1cos sin αααα⎛⎫=-= ⎪-+⎝⎭． 所以24cos sin FE FP αα==． 故222442sin cos 2(1cos 2)8sin sin FP FP ααααα-=-==·． 解法二：设()A A A x y ，，()B B B x y ，，直线AB 的斜率为tan k α=，则直线方程为(2)y k x =-．将此式代入28y x =得22224(2)40k x k x k -++=，故224(2)A B k x x k ++=．记直线m 与AB 的交点为()E E E x y ，，则222(2)2A B E x x k x k +--=，4(2)E E y k x k=-=， Ｏl y yαmPBA题（21）图CDxEF故直线m 的方程为224124k y x k k k ⎛⎫+-=-- ⎪⎝⎭， 令0y =，得点P 的横坐标22244p k x k +=+，故2224(1)4sin P E k FP x x k α+=-==． 从而222442sin cos 2(1cos 2)8sin sin FP FP ααααα-=-==为定值． 22．（本小题12分）（I ）解由11111(1)(2)6a S a a ==++，解得11a =或12a =，由假设111a S =>，因此12a =， 又由111111(1)(2)(1)(2)66n n n n n n n a S S a a a a ++++=-=++-++，得11()(3)0n n n n a a a a +++--=，即130n n a a +--=或1n n a a +=-，因0n a >，故1n n a a +=-不成立，舍去．因此13n n a a +-=，从而{}n a 是公差为3，首项为2的等差数列，故{}n a 的通项为31n a n =-．（II ）证法一：由(21)1n bn a -=可解得22213log 1log 31n nb a n ⎛⎫=+= ⎪-⎝⎭； 从而122363log 2531n n n T b b b n ⎛⎫=+++=⎪-⎝⎭． 因此322363231log (3)log 253132n n n T a n n ⎛⎫+-+=⎪-+⎝⎭． 令33632()253132n f n n n ⎛⎫=⎪-+⎝⎭，则322(1)3233(33)()3532(35)(32)f n n n n f n n n n n ++++⎛⎫== ⎪++++⎝⎭． 因32(33)(35)(32)970n n n n +-++=+>，故(1)()f n f n +>． 特别地27()(1)120f n f =>≥，从而2231log (3)log ()0n n T a f n +-+=>． 即231log (3)n n T a +>+． 证法二：同证法一求得n b 及n T ，由二项式定理知，当0c >时，不等式3(1)13c c +>+成立．由此不等式有333211131log 21112531n T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭2333log 21112531n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>+++ ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭2225832log 2log (32)log (3)2531n n n a n +==+=+-····．证法三：同证法一求得n b 及n T ．令36347312531363n n n n A B n n +==-，······，58324731n n C n +=+···． 因3313231331n n n n n n ++>>-+． 因此23+22n n n n n A A B C >=．从而332236331log 2log 22531n n n T A n ⎛⎫+==⎪-⎝⎭222log 2log (32)log (3)n n n n A B C n a >=+=+．。
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2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x||x|＜3，x∈Z}，B＝{x||x|＞1，x∈Z}，则A∩B＝（）A．∅B．{﹣3，﹣2，2，3}C．{﹣2，0，2}D．{﹣2，2}2．（1﹣i）4＝（）A．﹣4B．4C．﹣4i D．4i3．如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12．设1≤i＜j＜k≤12．若k﹣j＝3且j﹣i＝4，则a i，a j，a k为原位大三和弦；若k﹣j＝4且j﹣i＝3，则称a i，a j，a k为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（）A．5B．8C．10D．154．在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05．志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）A．10名B．18名C．24名D．32名5．已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（）A．B．2+C．﹣2D．2﹣6．记S n为等比数列{a n}的前n项和．若a5﹣a3＝12，a6﹣a4＝24，则＝（）A．2n﹣1B．2﹣21﹣n C．2﹣2n﹣1D．21﹣n﹣17．执行如图的程序框图，若输入的k＝0，a＝0，则输出的k为（）A．2B．3C．4D．58．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x﹣y﹣3＝0的距离为（）A．B．C．D．9．设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（）A．4B．8C．16D．3210．设函数f（x）＝x3﹣，则f（x）（）A．是奇函数，且在（0，+∞）单调递增B．是奇函数，且在（0，+∞）单调递减C．是偶函数，且在（0，+∞）单调递增D．是偶函数，且在（0，+∞）单调递减11．已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（）A．B．C．1D．12．若2x﹣2y＜3﹣x﹣3﹣y，则（）A．ln（y﹣x+1）＞0B．ln（y﹣x+1）＜0C．ln|x﹣y|＞0D．ln|x﹣y|＜0二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若sin x＝﹣，则cos2x＝．14．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a1＝﹣2，a2+a6＝2，则S10＝．15．若x，y满足约束条件则z＝x+2y的最大值是．16．设有下列四个命题：p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．p4：若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l．则下述命题中所有真命题的序号是．①p1∧p4②p1∧p2③￢p2∨p3④￢p3∨￢p4三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2（+A）+cos A＝．（1）求A；（2）若b﹣c＝a，证明：△ABC是直角三角形．18．某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据（x i，y i）（i＝1，2，…，20），其中x i 和y i分别表示第i个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得x i＝60，y i＝1200，（x i﹣）2＝80，（y i﹣）2＝9000，（x i﹣）（y i﹣）＝800．（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本（x i，y i）（i＝1，2，…，20）的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．附：相关系数r＝，≈1.414．19．已知椭圆C1：+＝1（a＞b＞0）的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|＝|AB|．（1）求C1的离心率；（2）若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12，求C1与C2的标准方程．20．如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点．过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．（1）证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；（2）设O为△A1B1C1的中心．若AO＝AB＝6，AO∥平面EB1C1F，且∠MPN＝，求四棱锥B﹣EB1C1F的体积．21．已知函数f（x）＝2lnx+1．（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范围；（2）设a＞0，讨论函数g（x）＝的单调性．（二）选考题：共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做第一题计分。
[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C1，C2的参数方程分别为C1：（θ为参数），C2：（t为参数）．（1）将C1，C2的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣a2|+|x﹣2a+1|．（1）当a＝2时，求不等式f（x）≥4的解集；（2）若f（x）≥4，求a的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A＝{x||x|＜3，x∈Z}，B＝{x||x|＞1，x∈Z}，则A∩B＝（）A．∅B．{﹣3，﹣2，2，3}C．{﹣2，0，2}D．{﹣2，2}【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．解：集合A＝{x||x|＜3，x∈Z}＝{x|﹣3＜x＜3，x∈Z}＝{﹣2，﹣1，1，2}，B＝{x||x|＞1，x∈Z}＝{x|x＜﹣1或x＞1，x∈Z}，∴A∩B＝{﹣2，2}．故选：D．2．（1﹣i）4＝（）A．﹣4B．4C．﹣4i D．4i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：（1﹣i）4＝[（1﹣i）2]2＝（﹣2i）2＝﹣4．故选：A．3．如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12．设1≤i＜j＜k≤12．若k﹣j＝3且j﹣i＝4，则a i，a j，a k为原位大三和弦；若k﹣j＝4且j﹣i＝3，则称a i，a j，a k为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（）A．5B．8C．10D．15【分析】由原位大三和弦、原位小三和弦的定义，运用列举法，即可得到所求和．解：若k﹣j＝3且j﹣i＝4，则a i，a j，a k为原位大三和弦，即有i＝1，j＝5，k＝8；i＝2，j＝6，k＝9；i＝3，j＝7，k＝10；i＝4，j＝8，k＝11；i＝5，j＝9，k＝12，共5个；若k﹣j＝4且j﹣i＝3，则称a i，a j，a k为原位小三和弦，可得i＝1，j＝4，k＝8；i＝2，j＝5，k＝9；i＝3，j＝6，k＝10；i＝4，j＝7，k＝11；i ＝5，j＝8，k＝12，共5个，总计10个．故选：C．4．在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05．志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）A．10名B．18名C．24名D．32名【分析】由题意可得至少需要志愿者为＝18名．解：第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，就按1600份计算，第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95就按1200份计算，因为公司可以完成配货1200份订单，则至少需要志愿者为＝18名，故选：B．5．已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（）A．B．2+C．﹣2D．2﹣【分析】利用平面向量的数量积为0，即可判断两向量是否垂直．解：单位向量||＝||＝1，•＝1×1×cos60°＝，对于A，（+2）＝•+2＝+2＝，所以（+2）与不垂直；对于B，（2+）＝2•+＝2×+1＝2，所以（2+）与不垂直；对于C，（﹣2）＝•﹣2＝﹣2＝﹣，所以（﹣2）与不垂直；对于D，（2﹣）＝2•﹣＝2×﹣1＝0，所以（2﹣）与垂直．故选：D．6．记S n为等比数列{a n}的前n项和．若a5﹣a3＝12，a6﹣a4＝24，则＝（）A．2n﹣1B．2﹣21﹣n C．2﹣2n﹣1D．21﹣n﹣1【分析】根据等比数列的通项公式求出首项和公比，再根据求和公式即可求出．解：设等比数列的公比为q，∵a5﹣a3＝12，∴a6﹣a4＝q（a5﹣a3），∴q＝2，∴a1q4﹣a1q2＝12，∴12a1＝12，∴a1＝1，∴S n＝＝2n﹣1，a n＝2n﹣1，∴＝＝2﹣21﹣n，故选：B．7．执行如图的程序框图，若输入的k＝0，a＝0，则输出的k为（）A．2B．3C．4D．5【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算a的值并输出相应变量k的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：模拟程序的运行，可得k＝0，a＝0执行循环体，a＝1，k＝1执行循环体，a＝3，k＝2执行循环体，a＝7，k＝3执行循环体，a＝15，k＝4此时，满足判断框内的条件a＞10，退出循环，输出k的值为4．故选：C．8．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x﹣y﹣3＝0的距离为（）A．B．C．D．【分析】由已知设圆方程为（x﹣a）2+（y﹣a）2＝a2，（2，1）代入，能求出圆的方程，再代入点到直线的距离公式即可．解：由题意可得所求的圆在第一象限，设圆心为（a，a），则半径为a，a＞0．故圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣a）2＝a2，再把点（2，1）代入，求得a＝5或1，故要求的圆的方程为（x﹣5）2+（y﹣5）2＝25或（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1．故所求圆的圆心为（5，5）或（1，1）；故圆心到直线2x﹣y﹣3＝0的距离d＝＝或d＝＝；故选：B．9．设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（）A．4B．8C．16D．32【分析】根据双曲线的渐近线方程求出点D，E的坐标，根据面积求出ab＝8，再根据基本不等式即可求出．解：由题意可得双曲线的渐近线方程为y＝±x，分别将x＝a，代入可得y＝±b，即D（a，b），E（a，﹣b），则S△ODE＝a×2b＝ab＝8，∴c2＝a2+b2≥2ab＝16，当且仅当a＝b＝2时取等号，∴C的焦距的最小值为2×4＝8，故选：B．10．设函数f（x）＝x3﹣，则f（x）（）A．是奇函数，且在（0，+∞）单调递增B．是奇函数，且在（0，+∞）单调递减C．是偶函数，且在（0，+∞）单调递增D．是偶函数，且在（0，+∞）单调递减【分析】先检验f（﹣x）与f（x）的关系即可判断奇偶性，然后结合幂函数的性质可判断单调性．解：因为f（x）＝x3﹣，则f（﹣x）＝﹣x3+＝﹣f（x），即f（x）为奇函数，根据幂函数的性质可知，y＝x3在（0，+∞）为增函数，故y1＝在（0，+∞）为减函数，y2＝﹣在（0，+∞）为增函数，所以当x＞0时，f（x）＝x3﹣单调递增，故选：A．11．已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（）A．B．C．1D．【分析】画出图形，利用已知条件求三角形ABC的外接圆的半径，然后求解OO1即可．解：由题意可知图形如图：△ABC是面积为的等边三角形，可得，∴AB＝BC＝AC＝3，可得：AO1＝＝，球O的表面积为16π，外接球的半径为：4πR2＝16，解得R＝2，所以O到平面ABC的距离为：＝1．故选：C．12．若2x﹣2y＜3﹣x﹣3﹣y，则（）A．ln（y﹣x+1）＞0B．ln（y﹣x+1）＜0C．ln|x﹣y|＞0D．ln|x﹣y|＜0【分析】由2x﹣2y＜3﹣x﹣3﹣y，可得2x﹣3﹣x＜2y﹣3﹣y，令f（x）＝2x﹣3﹣x，则f（x）在R上单调递增，且f（x）＜f（y），结合函数的单调性可得x，y的大小关系，结合选项即可判断．解：由2x﹣2y＜3﹣x﹣3﹣y，可得2x﹣3﹣x＜2y﹣3﹣y，令f（x）＝2x﹣3﹣x，则f（x）在R上单调递增，且f（x）＜f（y），所以x＜y，即y﹣x＞0，由于y﹣x+1＞1，故ln（y﹣x+1）＞ln1＝0，故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。