上市公司可转换债券价值分析_王承炜
关于可转债的价值评估报告
关于可转债的价值评估报告可转债是一种混合金融工具，具备债券和股票的特性。
其特点是在一定期限内，债权人可选择将债券转换成股票，从而参与到公司的股权中来。
对于投资者来说，了解并评估可转债的价格是十分重要的。
下面将从可转债的特点、评估方法和相关要素等方面对可转债的价值进行评估。
首先，可转债的特点决定了其价值的评估需要综合考虑债权和股权两方面的因素。
从债券的角度来看，可转债具有固定的利率和到期日，可以给投资者带来固定的收益。
如果市场利率下降，可转债的价值会上升，因为其固定利率将变得更具吸引力。
而如果市场利率上升，可转债的价值就会下降。
此外，可转债还可以作为债券交易，具备债券的流动性优势。
从股票的角度来看，可转债具备了将债券转换成股票的权利，这使得它具备参与公司股权增值的潜力。
因此，在评估可转债价值时，需要同时考虑债券和股票的特性。
其次，可转债的价值评估可以采用多种方法。
一种常用的方法是利用期权定价模型，例如Black-Scholes模型，来计算可转债的内在价值。
该模型考虑了债券转换成股票的潜在收益，并结合了债券和股权的特点，给出了可转债的理论价值。
另一种方法是利用市场价格和利率等历史数据来进行回归分析，通过拟合得到的回归方程来估计可转债的价值。
此外，还可以利用财务分析方法，如现金流量分析和盈利能力分析等，来评估可转债的价值。
这些方法都可以为投资者提供可转债的合理估值参考。
在可转债的价值评估中，还需要考虑一些相关要素。
首先，公司的财务状况是影响可转债价值的关键因素之一。
投资者需要对公司的盈利能力、现金流量和资本结构等进行综合分析，以判断可转债的潜在价值。
其次，市场因素也需要纳入考虑。
市场利率、股票价格和行业景气度等因素都会对可转债的价值产生影响。
此外，投资者还需要考虑可转债本身的特点，例如转股比率、转换期限和赎回条款等。
这些特点将直接影响可转债的风险和回报，进而影响其价值。
综上所述，可转债的价值评估是一个综合考虑债权和股权的过程。
可转债的定价模型及数值解法
nmax-1,1
, … , 如此下去 ， 求得 Vj
nmax-1,1
max
-1
， 即得向量 V
nmax-1,k
nmax-1,1
。
重 复 上 述 步 骤 ，可 依 次 求 得 向 量 V 精度 ε ， 迭代直至范数
（k=2,3, … ）， 给 定
//V
nmax-1,k+1
-V
nmax-1
nmax-1,k
，…，V 。 从而得到每个格点对应的转债价值 Vj （j=
1,2, … ,jmax;n=1,2, … ,nmax）。 ３ 实证研究
选取海化转债 ( 转债代码 ：125822) 进行研究 ， 其基准股票
192,25] ， 由 于 第 四 年 数 据 不 足 一 年 ， 因 此 我 们 假 设 第 四 年 交
n n n n+1
3.1 (10)
-C1jVj+1 +C2jVj -C3jVj-1 =Zj
其中 ：
2
（2≤j≤jmax-1 ）
aj=
σ2Sj △tn △Sj +△Sj+1
2 2
， bj=
rSj△tn △Sj+△Sj+1
C1j=aj/2+bj，
n+1 n+1
C2j=1+r△tn+aj， C3j=aj/2-bj,C4j=1-aj
(8)
特别向下修正条款 ： 当任何连续 30 个交易日内有 20 个 交易日公司股票收盘价格的算术平均值不高于当时转股价 格的 90% 时 ， 公司董事会有权向下修正转股价格 ； 回售条款 ： 公司股票收盘价连续 20 个交易日低于当期 转股价的 70% ， 回售价格为可转债面值的 103% ； 回赎条款 ： 在转股期内 ， 若公司股票收盘价连续 20 个交 易日高于当期转股价的 130% ， 则公司有权 按 面 值 105%( 含 当期利息 ) 的价格赎回全部或部分转债 。 参数估计 股 价 波 动 率 ： 采 取 历 史 波 动 率 方 法 ， 设 Si 为 第 i 个 交 易 日的股票收盘价格 （i=0,1,2 … ,n ，i=n ）。 本文欲预测未来 30 天 的转债价值 ， 根据经验法则取 n=25 。 记 ui=log Si 则股票年波动率 σ 的估计为
可转换公司债券评估报告
可转换公司债券评估报告标题：可转换公司债券评估报告日期：[日期]概述：本报告旨在对[公司名称]可转换公司债券进行评估。
通过对公司财务状况、市场环境和相关因素的综合分析，我们提供了对该债券的相关评估和建议。
1. 公司概述：[公司名称]是一家[主要业务]的公司，在市场上具有较强的竞争力和稳定的经营模式。
公司的财务状况良好，投资者对其前景充满信心。
2. 债券概述：[公司名称]发行的可转换公司债券具有以下主要特点：- 债券总额：[金额]- 债券期限：[期限]- 利率：[利率]- 转股价格：[转股价格]- 转股比例：[转股比例]3. 财务分析：我们对公司的财务报表进行了详细的分析，包括资产负债表、利润表和现金流量表。
根据我们的评估，公司的财务状况稳定，有足够的偿付能力来支付债券利息和本金。
4. 市场环境分析：我们对市场环境进行了广泛的研究，包括宏观经济因素、行业竞争格局和相关政策等。
根据我们的评估，公司所处的行业前景乐观，有望取得良好的业绩。
5. 可转换公司债券评估：我们通过对债券的转股价格、转股比例、利率和期限等进行综合评估，得出以下结论：- 债券的转股价格合理，并且有较大的升值空间。
- 债券的转股比例相对较低，增加了投资者的风险敞口。
- 债券的利率较为有竞争力，符合市场预期。
- 债券的期限适中，适合长期投资。
6. 建议：综合以上分析，我们对于[公司名称]可转换公司债券的评估和建议如下：- 投资者可考虑购买该债券，并根据自己的风险偏好进行适当的资产配置。
- 在市场行情动荡或公司业绩下滑时，投资者需密切关注债券的风险。
- 债券投资属于风险投资，请投资者根据自身情况做出审慎决策。
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可转债的定价模型及数值解法
０
引言
可转换公司债券 ( 简称可转债 ) 是指发行人依照法定程
V>K(t)S(t) ；LV=0
若持有人终止持有 ， 而选择转股 ， 则
V=K(t)S(t) ；LV≥0
表述为线性互补问题 (Linear Complementary Problem) 为
≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥
序发行 、 在一定时间内依据约定的条件可以转换成股份的公 司债券 。 可转债是普通公司债券和认股权证的组合 ， 兼具债 权 和 股 权 双 重 属 性 ，是 国 际 资 本 市 场 上 世 纪 七 、八 十 年 代 兴 起的一种混合金融产品 (Hybrid Bonds) 。 我国在 1992 年首 次试点 ( 宝安转券 ) ， 截止目前 ， 已经发行约 50 多只可转债 ， 且有十多家公司拟发行可转债 。 因此 ， 对我国可转债的定价 研究具有重要的理论和现实意义 。 本文在不考虑信用风险和 回售条款条件下 ， 给出简化后的 Ayache Forsyth and Vetzal 模 型 ( 简 称 为 AFV 模 型 ) 。 以 海 化 转 债 ( 转 债 代 码 ：125822) 为 例 ， 用 Monte-Carlo 方 法 模 拟 股 价 运 动 ， 通 过 Crank-
n V -Vj σ2 2 Vj+1 -2Vj +Vj-1 V -V - j - Sj -rSj j+1 j-1 +rVj =0 2 2 △t n 2 △Sj +△Sj+1 △Sj +△Sj+1 2 2 n+1 n n+1 n+1 n+1 n
利率条款 ： 年利率依次为 1.5% 、1.8% 、2.1% 、2.4% 、2.7% ；
可转换债券发行及转股对企业运营能力影响的研究——基于我国上市企业的微观数据
可转换债券发行及转股对企业运营能力影响的研究——基于
我国上市企业的微观数据
田径;王瑾
【期刊名称】《长春金融高等专科学校学报》
【年(卷),期】2024()3
【摘要】2017年再融资新规颁布后,发行可转换债券成为企业融资选择的主要方式之一。
依据2010—2020年我国企业可转债发行并转股的相关数据,运用倾向得分匹配和双重差分法研究可转换债券发行及转股对企业运营能力的影响。
主要结论为:企业发行可转换债券在短期内会有助于提高企业的偿债能力和投资者财富收入预期,而对经营绩效影响不明显;企业可转换债券成功转股提升企业的经营绩效和投资者对转股后的财富收入预期,降低了企业的杠杆率;可转债发行对国有企业与民营企业经营绩效影响不同,且国有企业在可转债转股成功后杠杆率降低的效果不如民营企业明显。
【总页数】12页(P26-37)
【作者】田径;王瑾
【作者单位】西安外国语大学经济金融学院
【正文语种】中文
【中图分类】F832.5;F275
【相关文献】
1.上市公司股权分配对企业创新能力的影响分析\r——基于A股上市公司的数据
2.产业政策实施对企业创新模式的影响研究——基于中国A股上市企业的微观证据
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可转换公司债券的例题及解析
可转换公司债券的例题及解析可转换公司债券是一种复杂的金融工具，它既具有股票的特点，也具有债券的特点，所以也可以称为复合工具。
可转换公司债券可以看作一种股票债券杂合体，由股票和债券两部分组成，通常包括一定数量的公司股票和一定期限的企业债券。
可转换公司债券的持有者可以在某一时期后，或在达到特定条件后，将债券全额或部分转换成公司股票，从而获得股权收益。
可转换公司债券有一定的风险，具体而言，主要是持有者在转换股票时可能获得的股票收益量、转换股票的股票价格、公司的实际偿还能力以及其他相关因素。
如果公司以某种方式偿还债务，持有者只能获得较低的收益，这也可能影响投资者在可转换公司债券上的投资决定。
可转换公司债券好处多多，可以帮助公司融资，有助于节省公司资金成本，也可以帮助公司提高流动性。
另外，它也有利于持有者，持有者可以根据公司股票的表现而改变投资策略，并获得更好的投资收益。
下面是可转换公司债券的一个例题及解析。
例题：某公司发行一种可转换公司债券，可在未来五年后转换成其他公司的相同数量的股票，每一年的偿付利息率和本金率均为到期期限的固定比例，从而使投资者可以从中获取股权收益。
解析：投资者持有这种可转换公司债券，可在到期期限后或满足特定条件后将债券全额或部分转换成其他公司的相同数量的股票。
每年投资者还可以从偿付利息中获取一定的收益，在债券到期后，还可以根据其他公司股票的表现转换成股票，从而获得股权收益。
综上所述，可转换公司债券的主要特点是具有股票和债券的双重特性，可以通过付出一定的价格，换取股票中收益，因此在投资上非常有利。
然而，由于风险因素，投资者在购买可转换公司债券时，一定要注意尽可能深入地了解公司的财务状况，确保投入的资金得到合理的回报。
公司发行可转换债券优缺点
公司发行可转换债券优缺点
可转换债券是一种具有特殊条款的债券，持有人可以在特定条件下将其转换为公司的股票。
下面是可转换债券的一些优缺点：
优点：
1. 潜在的股权收益：持有人可以将债券转换为公司的股票，享受未来股票价格上涨的潜在收益。
2. 利率较低：由于可转换债券具有潜在的股权收益，其利率通常较低，相对于普通债券而言更具吸引力。
3. 增加公司的股东基础：通过发行可转换债券，公司可以吸引更多的投资者成为其股东，增强公司的股东基础。
4. 弥补现金流缺口：可转换债券可以为公司提供资金，用于弥补现金流缺口或资本支出。
缺点：
1. 限制股票上涨时的收益：虽然可转换债券具有潜在的股权收益，但其转换价格通常是预先确定的，当股票价格上涨超过转换价格时，持有人的收益将受到限制。
2. 增加股东权益：当债券转换为股票时，公司的股东基础将增加，这可能稀释现有股东的权益。
3. 增加财务风险：公司发行可转换债券后，将增加财务杠杆，因为债务的偿还要优先于股东权益。
4. 限制债券的流动性：可转换债券通常具有一定的期限和转换条件，
这可能限制了债券的流动性。
需要注意的是，可转换债券的具体优缺点可能因公司和市场环境而异，投资者在购买前应仔细评估风险和回报。
企业的债券投资价值分析
企业的债券投资价值分析债券是企业融资的重要工具之一，对于投资者而言，债券也是一种常见的投资选择。
然而，判断一家企业债券的投资价值并非易事。
本文将从企业的财务状况、债券评级、利率风险、市场环境等多个方面进行分析，以揭示企业的债券投资价值。
一、企业财务状况分析企业的财务状况是评估债券投资价值的重要指标之一。
投资者可以通过分析企业的资产负债表、利润表和现金流量表等财务数据，来评判企业的偿债能力和盈利能力。
关注以下几个方面：1. 总资产：一家企业的总资产规模是其偿债能力的重要表征，总资产规模越大，通常意味着企业具备较强的偿债能力，对债券投资者来说较为安全。
2. 负债结构：分析企业的负债结构可以了解到企业的长期债务和短期债务比例，短期债务偏高可能对企业偿债造成较大风险，投资者应慎重考虑。
3. 偿债能力：评估企业的偿债能力可以通过计算其流动比率、速动比率和利息保障倍数等指标，这些指标能够反映企业是否有足够的流动资金来偿还债务和支付利息。
二、债券评级分析债券评级是市场上评估债券信用风险的重要依据，也是投资者决策的重要参考。
债券评级机构通过对企业的财务状况、经营状况、行业环境等因素进行评估，将其分为不同等级，从高到低通常有AAA、AA、A、BBB等级。
投资者可以根据债券的评级来判断其风险水平和债券价值，一般来说，信用等级高的债券投资价值更高。
三、利率风险分析利率风险是指债券价格与市场利率之间的波动风险。
当市场利率上升时，债券价格通常下降；反之，市场利率下降时，债券价格通常上升。
投资者可通过以下几个方面来分析利率风险：1. 债券到期期限：长期债券通常比短期债券对利率波动更敏感，因此其利率风险也相对较高。
2. 利率敏感性分析：通过计算凸性指标和修正久期等指标来评估债券价格对利率变动的敏感性，从而判断其利率风险。
四、市场环境分析市场环境对债券投资价值有着重要影响。
投资者应关注宏观经济状况、行业发展趋势以及政策变化等因素，以评估债券投资的前景。
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文章编号:1001-4098(2001)04-0047-07上市公司可转换债券价值分析王承炜,吴冲锋(上海交通大学管理学院,上海 200030)摘 要:上市公司发行可转换债券在国外已有相当长的历史,但国内直到2000年才首次出现。
由于可转换债券具有权益资本和债务资本的双重特性,其定价方法比较复杂。
本文力图给出一个理论上的定价的基本模型,经过变化可得到文献中提到的不同定价方式。
与此同时,本文采用蒙特卡罗模拟和有限差分数值算法,给国内可转债设计的两个条款——回售条款和回赎条款定价。
并分析了可转债各部分在其总价值中占的比重,指出:回售条款对投资者价值贡献很小,但在不利情况出现时,却可能使发行人风险很大。
关键词:可转换债券;蒙特卡罗模拟;有限差分;回售条款;回赎条款中图分类号:F121 文献标识码:A可转换债券指某公司发行的债券,该债券规定其持有人可在一定的期限内将其转换成确定数量的发行公司的普通股股票。
可转换债券同时具有债券和股票的特性,对投资者和发行人都有一定的吸引力,因此常被一些中等规模但发展前景看好的公司使用。
本文将给出当前可转换债券定价的理论框架,同时将可转换债券划分为几个基本价值构成单元,分析各单元对可转债价值的贡献。
本文的样本是机场转债和鞍钢转债,因为在它们发行之前,相应公司普通股股票已经存在了。
1 可转换债券定价理论分析本文假设:投资者是理性的,市场是有效的,满足Blcak-Scho les 关于期权定价的一些假设。
可转换债券由于具有固定收入债券和权益资本两方面的特性,它的定价较为复杂。
影响可转换债券价值最直接的因素是:利率和股票价格。
Ing ersoll [1]提供了一个关于可转换债券的定价模型,他是基于股票期权的角度出发为可转换债券定价的,但模型的缺点是没有考虑到利率的影响;M erto n 、Black 和Co x 也采用了与Ing ersoll 相近的观点为可转换债券定价,其基本资产不是公司股票,而是公司价值[2]。
Brennez 、Sch war tz 和Longstaff 提出了一个双因素模型[3,4],即考虑股价的影响,又考虑利率的影响,但在利率方面,没有考虑到给定的市场利率期限结构。
Ho 考虑了一个单因素、无套利的模型,这回考虑了利率的期限结构,但没有注意到股价和利率之间的相互作用,这也是影响可转换债券价值的因素。
H o 和Pfeffer 再一次提出双因素模型[5],该模型既考虑了利率的期限结构,又考虑了利率的动力学模型,但遗憾的是也没有考虑到利率和股价之间的关系。
第19卷第4期(总第106期) 系 统 工 程 V ol.19,N o.42001年7月 Systems Engineering J ul.,2001 收稿日期:2001-01-07基金项目:国家杰出青年科学基金资助项目(70025303);教育部跨世纪优秀人才资助项目作者简介:王承炜(1974-),男,四川自贡人,上海交通大学管理学院博士研究生,;吴冲锋(1962-),男,浙江温州人,上海交通大学管理学院副院长,教授,博士生导师。
综上所述,本文给出可转换债券定价的通用理论模型:基于双因素模型的思想,认为可转换债券价格f是利率r和股票价格s的函数,可得可转债满足的一般微分方程:d f=fs d s+fr d r+ft d t+122fr sθ(r,t)h(s,t,)d(r,s,t)d t(1)其中:d(r,s,t)是利率和股价波动率之间的瞬态相关系数。
股票价格满足IT O方程:d s=_s d t+h(s,t)d Z1(2)其中:d Z1是维纳过程;h(s,t)=e s是股价瞬态波动率,可用统计方法从股票价格的时间序列中求出。
利率满足如下的微分方程:d r=_(r,t)d t+θ(r,t)d Z2(3)其中:d Z2是维纳过程;_(r,t)为利率的瞬态漂移率;θ(r,t)是利率的瞬态波动率。
加上一定的边界条件后,利用方程(1)—(3)就可以求出可转换债券的价格。
针对利率的各种动力学方程,可提出不同的可转换债券定价的方法:如果认为利率在整个有效期内不变,那么可采用欧式期权定价的方法直接求出可转换债券价格,这就是Inger soll方法的思想;如果认为利率服从Ho-Lee模型[6],那就是H o和Pfeffer采用的方法了,但在他们的文章中,并没有考虑ρ的选取。
M er to n的模型与上述方法有所不同,他证明了任何基于公司价值V和t的函数必须满足下列微分方程:r f=ft+(V V-C)fV+12e2V22fV2(4)其中:V=n/(n+M),n、M分别为可转股数和已发行股数;C为公司所有债券现金支付。
国内关于可转换债券在理论界和实务界已开展了一定的研究[7,8],模型的建立没有超出上述范围。
但这些研究与实际情况还有一定差距,尤其是在国内最近发行的两个可转换债券中,其颇具特色的条款设计,国内还没有相应的方式为其定价。
2 可转换债券价值的构成2.1 基本组成国内两只可转换债券及发行公司股票的情况列于表1、表2。
表1 可转换债券基本情况名 称发行金额发行在外总面值*单位面值票面利息到期日现价*鞍钢转债15亿13.94亿100元 1.2%2/23/2005135.88机场转债13.5亿12.23亿100元0.8%5/25/200599.86表2 发行公司股票基本情况名 称 价格*鞍钢新轧(0898) 4.53上海机场(600009)10.04 *发行在外面值计算截止日为9月29日;现价指12月8日收盘价;数据来源:上海交通大学路透金融实验室。
在分析之前,有必要结合国内实际情况再作进一步假设:不考虑公司的违约或破产的风险;不考虑公司发放股利,这与国内资本市场实际情况也是比较符合的;当投资者行使转换权时,不会造成公司股票价格比例降48系 统 工 程 2001年低,关于这一点也许会引起一些争议,但这与国内实务界的某些看法还是吻合的[8];另外,假设公司不会配股,也不会调整相应的转股价格;本文考虑利率期限结构,并假设此期限结构随着时间的推移将产生平行移动,但本文不考虑利率的动力学模型,这是因为国内利率仍然没有完全市场化。
文中将用到的一些概论有:投资价值(Inv estment Va lue),指它永不转换的情况下,作为普通债券时的价值。
转换价值(Parity),指立即转换的情况下,每份可转债的价值。
转股价指行使转换权时,股票对应的转换价格。
文中,鞍钢转债和机场转债的转股价取它们的初始转股价,分别为10元/股和3.3元/股。
M ——可转换债券面值。
k ——转股比例,指每份可转换债券能转换成k 份发行公司的股票,k =M /转股价。
我们知道,在可转换债券到期时,如果不考虑公司破产和偿还债务的能力,投资人的收益为max (k S T ,M )=max ((k S T -M ,0)+M 。
因此,若不考虑其他两个条款,可转换债券可看成其纯粹价值与一个期权价值之和。
Ho 已表明,可转换债券持有人在此情况之下,不会提前行使转换权利的(考虑到可转换债券极低的票面利息)。
在可转换债券到期之前,如果投资者认为股价已足够高了,那么,出售可转换债券将是严格优于行使转换权的。
所以,虽然机场转债和鞍钢转债都设计了随时转换的条件,此期权仍将按欧式期权定价。
本文将没有其他条款的可转换债券称为基本可转换债券,其价格用BCB (Basic Conver tible Bond )表示:BCB =Inv estment V alue+c (ks ,f ,M )(5)其中,c (ks ,f ,M )为欧式看涨期权价格,标的资产为k 份公司股票,有效期为f ,执行价格为M 。
采用B -S 公式计算c (ks ,f ,M )[9]。
债券投资价值(Inv estment V alue )用现金流折现方式计算,并考虑现行市场上普通公司债券的利率结构。
将机场转债和鞍钢新轧的数据代入得到表3。
表3 可转债的投资价值与转换价值名 称市价*转换价值股票价格BCB 投资价值转换权价值*鞍钢转债135.88137.27 4.53150.9786.7164.26机场转债99.86100.410.04114.9684.930.06 *在计算股票波动率时,股票价格历史数据选取的区间是1999年1月11日至2000年12月8日。
从表3可以看出,鞍钢转债的转换权价值相对于机场转债要大得多,这是因为鞍钢转债处于深度实值状态(In the Mo ney ),k S =137.27>100;同时鞍钢新轧股票波动率(0.404/年)要大于上海机场的波动率(0.323/年)。
另外,从表3可以看出,两个可转换债券的市价与计算价值(BCB)差距较大,这正是其中的两个条款造成的。
2.2 回赎条款(强制转股条款)价值鞍钢转债回赎条款规定如下:发行一年后,如连续20个交易日股价高于当期转股价达30%,则发行人可按101.2%(含利息)回赎。
机场转债规定:40个连续交易日中至少30个交易日的收盘价不低于该30个交易日内转股价的130%时。
公司有权按面值加上当日的应计利息全部或部分赎回债务。
对公司而言,假设回赎条件成立,当t 时刻的转换价值kS t 小于回赎价格时,公司是不会行使回赎权的;当k S t 大于回赎价格时,公司将行使回赎权,这多发生在利率大幅下降,公司可以更低的成本融资的情况。
一旦转换价值大于回赎价格,债券持有人多选择将债券转换成股票,因此,回赎条款又可称之为强制转股条款。
国外债券回赎条款设计为在一定时期内或后,公司有权以一定的价格赎回债务,在此条件之下,回赎条款的定价可采用美国未定权益(Am erica n Conting ent Claims)方式定价[10]:49第4期 王承炜,吴冲锋:上市公司可转换债券价值分析f con=∫T e-r(u-t)h(u)g(u)d u(6)其中:f con表示强制转换条款价值;h(u)表示股票价格首次达到规定转股价时,该条款的收益;g(u)表示首次达到转股价时的转移概论密度。
(6)式的解析解在文献[10]中给出。
但国内回赎条款生效是有条件的,采用(6)式计算已不再合适。
正确的定价应为:f con*=CB-BCB(7)CB=P(c)E(BCB|c)+(1-P(c))E(BCB|c-)(8)其中:CB是带有回赎条款的可转换债券的价值;P(c)指回赎条件成立的概率;E(BCB|c)指回赎条件成立时,基本可转换债券的条件期望价格。
为此,本文用M onte—Ca rlo法模拟股票价格运动,当股价变化使得回赎条款成立时,相应约束生效,在这种情况下有限差分方法为可转换债券定价非常有效。
当然,此时用理论的解析解公式为回赎条款定价,再将条件成立时的回赎条款折现,也是相当省时的计算方法,本文这里采用数值解的原因在下一节中将会看到。