半无限弹性空间中移动荷载动力响应的频域-波数域比例边界有限元法分析
第五讲空间问题有限元分析-
(20)
其中任意结点i上的结点载荷
Q ie Q i e x Q i e y Q i e zT N iq d A
(21)
式中， qqx
qy
T
qz
是作用在单元e单位面积上的表面力。
3·体积力的等效结点载荷
P e P i eT P j e T
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P m
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6
v
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2)坐标变换
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图2
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8
u
e 8
v
e 8
v
e 7
w
e 4
4
v
eT
F m
eT T F n
(18)
其中任意结点i上的结点载荷
F i eF ix e F iy e F iz eTN icG
(19)
式中，G G x Gy G z T是作用在单元e上的集中力； (Ni)c
是形函数Ni在集中力作用点处的取值。
返回
2 ·表面力的等效结点载荷
Q e Q i eT Q j e T Q m eT Q neT T
A 1drcsA 2crds
关于弹性力学半无限问题的注记
2 判断依据
参考文献[1－3]，对弹性力学中的半无限问题 进行研究分析时，采用如下两个判断依据： ①平面应变问题是空间问题的特殊情况；平面 应变问题微分方程可由空间问题的微分方程导出。 ②“在水平表面作用无限均布压力下的半空间 体问题”的最合理解答为
。由于问题的复杂性，这些经典弹性问题
解答的精确性难以确定。本文根据两个合理的判断 依据，对荷载作用下的半无限平面应变问题和半空 间体问题的解答进行了比较分析，发现荷载作用下 的半无限平面应变问题和半空间体问题解答之间的 关系，并由此关系分析当中存在的问题与疑点，指
σ x = −2µ q, σ y = −q, σ z = − q, τ xy = τ yz = τ zx = 0
（5） （5）在法向荷载作用下，由半空间体 A 的布希 涅斯克圆柱坐标解答按文献[1]P300～305 的方式进 行分析，得到半空间体 C 的应力解答为
σx = −
(1 + 2 µ )q (1 + 2 µ )q ⎫ , σy = − , ⎪ 2 2 ⎬ ⎪ σ z = −q, τ xy = τ yz = τ zx = 0 ⎭
摘
要：根据两个合理的判断依据，对弹性力学中的楔形体、半平面体、圆锥体和半空间体等经典解答进行了比较分析，发
现了半无限平面应变问题和半空间体问题解答之间的关系；通过对解答之间的关系进行研究分析指出，弹性力学中的半无限 平面体的符拉芒解答和半空间体的布希涅斯克解答存在局限性。对半无限地基、底部完全位移约束的有限深地基和底部光滑 刚性支承的有限深地基在水平表面作用无限均布压力时的应力和位移分量进行了比较分析， 认为底部完全位移约束的有限深 地基模型较其他两种地基模型更合理些。 关 键 词：半无限平面应变体；半空间体；判断依据；关系；解答局限性；有限深地基 文献标识码：A 中图分类号：O 434
边界无限元——半解析有限元耦合法分析核安全壳与基础相互作用问题
阴 ( 朴 片 反 l方 士 详令 分 壳
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由薄 壳 的 几何 性 质 而 得应 变 场 与位移场 的 关 系
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R
表子午 线 的 曲率 半径
,
,
r
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,
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考虑 到材料 的 弹 性
。 = [ ] 脚 ] {占}
环 向富式 展开
对基 础部 分 采 用 全 空 间格林 函 数
F F T
,
运 用 边 界积 分方 法 求得 地基 阻抗
通过 子结 构 法 联立 求 解 运 动方 程
逆变
换在时域 内求得 动 力 响应
竖向分布荷载作用在半无限体内部任意区域的黏弹性解研究
第３１卷第４期２０２０年８月中原工学院学报ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＺＨＯＮＧＹＵＡＮＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹＯＦＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹＶｏｌ．３１ Ｎｏ．４Ａｕｇ．２０２０ 收稿日期：２０２０－０５－１９ 基金项目：河南省科技攻关计划项目（０８２１０２３６００５６） 引文格式：祝丹晴．竖向分布荷载作用在半无限体内部任意区域的黏弹性解研究［Ｊ］．中原工学院学报，２０２０，３１（４）：２６－３１．ＺＨＵＤａｎｑｉｎｇ．Ｖｉｓｃｏｅｌａｓｔｉｃｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆｈａｌｆｓｐａｃｅｓｕｂｊｅｃｔｅｄｔｏａｒｂｉｔｒａｒｙｄｉｓｔｒｉｂｕｔｅｄｌｏａｄｓ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＺｈｏｎｇｙｕａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＴｅｃｈ ｎｏｌｏｇｙ，２０２０，３１（４）：２６－３１（ｉｎＣｈｉｎｅｓｅ）． 文章编号：１６７１－６９０６（２０２０）０４－００２６－０６竖向分布荷载作用在半无限体内部任意区域的黏弹性解研究祝丹晴（上海联创设计集团股份有限公司，上海２０００９３）摘 要： 在软土地基基础的沉降过程中，施加于半无限土体内部的荷载并不是单纯的集中荷载，受荷区域也不完全是形状规则的矩形或圆形，为此本文考虑半无限土体的黏弹性，基于Ｍｉｎｄｌｉｎ理论解，利用解析解辅以数值的近似积分法，对矩形或圆形受荷区域作关于子域的等积变换，得到了竖向分布荷载作用于半无限土体时应力与位移的封闭积分解，运用弹性－黏弹性相应原理，通过对弹性解进行Ｌａｐｌａｃｅ变换与逆变换，给出了分布荷载作用于半无限体内部任意区域的应力与位移分量的黏弹性解答。
关 键 词： 等积变换；Ｌａｐｌａｃｅ变换；黏弹性；半空间中图分类号： ＴＢ１１２ 文献标志码： Ａ ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７１－６９０６．２０２０．０４．００６ 软土地基高层建筑深基础的沉降与土体的流变性质密切相关，ＭＩＮＤＬＩＮ最早给出了集中力作用于弹性半空间内部时半无限体内各点的应力与位移分量的解析解［１］；基于Ｍｉｎｄｌｉｎ解，文献［２－３］给出了竖向及水平向集中力作用于半空间内部时体内各点的应力与位移分量的黏弹性解；文献［４］利用半空间弹性体受法向集中力的弹性理论解和Ｌａｐｌａｃｅ变换，给出了Ｂｕｒｇｅｒ黏弹性模型下半空间体受突加法向集中力作用的黏弹性解；文献［５］推导了符合Ｍａｘｗｅｌｌ黏弹性模型的半无限空间受法向集中力作用的黏弹性解；文献［６］利用Ｍｉｎｄｌｉｎ解对桩基础进行了分析；文献［７］基于Ｍｉｎｄｌｉｎ位移解，推导了矩形面积上均布荷载在半无限体内部引起的地基土位移分量；文献［８］给出了垂直和水平圆形均布荷载下黏弹性半空间体的理论解。
土与基础结构动力相互作用的饱和弹性半空间理论
土与基础结构动力相互作用的饱和弹性半空间理论土与基础结构动力相互作用的饱和弹性半空间理论引言：土与基础结构的相互作用是土力学和地震工程领域中的重要研究课题。
在地震和其他动力荷载作用下，土体的动态特性对基础结构的动态响应和稳定性起着至关重要的作用。
本文将介绍土与基础结构动力相互作用的饱和弹性半空间理论，该理论基于弹性连续体力学和Biot动力响应理论，并考虑了饱和土的非均匀渗流效应。
1. 土弹性力学基础土体是一种多孔介质，具有弹性和连续性。
土体的弹性性质可以通过与岩石和金属类似的弹性力学理论来描述。
弹性体在受力时产生应变，并且当撤离力时能够完全恢复到无应变状态。
土体的弹性性质是通过弹性模量和泊松比来表征。
弹性模量是土体在单位应力作用下发生的应变，泊松比是侧向收缩应变与轴向应变之比。
2. 土与结构动力相互作用的Biot理论Biot理论是描述多孔弹性体动力响应的重要理论。
Biot理论考虑了土体的质量，弹性性质和渗流特性，并基于弹性连续体力学和一组渗流方程，提供了解析土体动力响应的框架。
该理论考虑了土体的质量能量平衡、线弹性力学和物质平衡方程。
3. 饱和弹性半空间模型饱和弹性半空间模型是一种简化的土体模型，它可以有效地描述土与基础结构之间的动力相互作用。
半空间指的是没有边界的无限土体模型。
饱和弹性半空间模型的基本假设是土体是均匀饱和、各向同性、弹性均一的介质，且无边界限制。
4. 动力相互作用分析方法饱和弹性半空间模型可以通过数值方法进行分析，例如有限元法和边界元法。
数值方法可以建立基于弹性理论和Biot动力响应理论的土体和结构的数学模型，通过求解模型的运动方程和边界条件来预测土体和结构的动力响应。
5. 非均匀渗流效应的考虑饱和土体中的渗流对土体的动力响应有着重要的影响。
由于渗流，土体中的孔隙水压强度会发生变化，从而改变土体弹性模量和阻尼特性。
非均匀渗流效应的考虑可以通过将渗流过程纳入动力相互作用分析中的渗流方程来完成。
非饱和半无限多孔介质一维瞬态响应积分解
非饱和半无限多孔介质一维瞬态响应积分解下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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半无限边界条件剖析课件
宏观经济
在宏观经济中，半无限边界条件可用 于研究经济增长和通货膨胀等经济现 象的长期趋势和不确定性。
在风险管理中，半无限边界条件可用 于评估投资组合的风险和回报。
CHAPTER
半无限边界条件的挑战与展 望
解析方法的局限性
数值稳定性问题
半无限边界条件在解析过程中可 能遇到数值不稳定性，导致计算
结果偏离真实值。
直接解析法需要具备一定的数学基础，包括微积分、线性代数和常微分方程等。 通过这些数学知识，可以将半无限边界条件转化为可求解的数学问题。
积分变换法
分离变量法
分离变量法需要将问题分解为多个独 立的子问题，然后分别求解。这种方 法需要掌握偏微分方程的求解方法， 如特征值法、分离变量法等。
有限差分法
CHAPTER
详细描述
第二类边界条件规定了函数在边界上的导数值，即给出在边界上的导数。例如，在解决流体动力学问题时，第二 类边界条件可能表示为"在边界上，速度为零"。
第三类边界条件
总结词
详细描述
混合边界条件
总结词 详细描述
CHAPTER
半无限边界条件的解析方法
直接解析法
直接解析法是通过直接对半无限边界条件进行解析，找出满足条件的解。这种方 法适用于简单的边界条件，但对于复杂的边界条件，可能需要借助其他方法进行 简化。
半无限边界条件剖析 课件
• 半无限边界条件概述 • 半无限边界条件的类型 • 半无限边界条件的解析方法 • 半无限边界条件的应用场景 • 半无限边界条件的条件概述
定义与特性
定义 特性
半无限边界条件的物理意义
实际应 用
理论意义
半无限边界条件是研究具有特定对称 性的物理系统的重要工具，有助于深 入理解物理现象的本质和规律。
波数有限元法分析频率域内无砟轨道刚度的动力特性
波数有限元法分析频率域内无砟轨道刚度的动力特性冯青松;成功【摘要】对波数有限元方法进行验证后,结合高速铁路设计规范,建立CRTSⅡ型板式无砟轨道的波数有限元模型,讨论轨道结构各部件弹性模量/刚度变化对轨道结构整体刚度的影响,进行轨道刚度对关键参数的敏感性分析,得到以下主要结论:无砟轨道刚度在低频段和高频段有不同的特征.在低频段(0~第三阶动刚度峰值频率),出现多个共振引起的波谷值和波峰值;在高频段(第三阶动刚度峰值频率~100 Hz),轨道刚度随着频率的增加而减小.轨道各部件中,扣件的刚度对轨道刚度的影响最明显,但其对轨道低频段内的共振频率影响不大;基床底层和地基弹性模量仅影响低频段的轨道刚度,共振频率和轨道静刚度随着弹性模量的增加而增大,最大轨道动刚度的变化不明显;基床表层和CA砂浆弹性模量对轨道刚度的影响较小.%After verification of the wavenumber finite element method ,according to the latest design specifica-tions of high speed railway ,the wavenumber finite element model of the CRTS Ⅱ slab ballastless track was es-tablished .T he influence of the elastic modulus and stiffness variation of each component of the track structure on the overall stiffness of track structure was investigated .The sensitivity of track stiffness to key parameters was analyzed .The main conclusions are as follows :The ballastless track dynamic stiffness has diverse features in the low frequency and high frequency ranges .In the low frequency range (0~the third order peak frequency of dynamic stiffness) ,several crest and valley values appeared .In the high frequency range (the third order peak frequency of dynamic stiffness ~ 100 Hz) ,the track stiffness decreases with the increaseof frequency .A-mong all the track components ,the stiffness of the fastener has the most impact on the track global stiffness , but it can hardly affect the resonance frequency in the low frequency range of the track .The elastic modulus of the base course of the subgrade bed and the foundation only affects the track stiffness in the low frequency range .The resonant frequency and the static stiffness of the track increase with the increase of the elastic mod-ulus ,but the change of the maximum dynamic stiffness of the track is minor .The influence of the elastic modu-lus of the subgrade surface layer and CA mortar on the track stiffness is small .【期刊名称】《铁道学报》【年(卷),期】2017(039)012【总页数】6页(P102-107)【关键词】波数有限元;频率域;无砟轨道;轨道刚度;动力特性【作者】冯青松;成功【作者单位】华东交通大学铁路环境振动与噪声教育部工程研究中心,江西南昌330013;华东交通大学铁路环境振动与噪声教育部工程研究中心,江西南昌 330013【正文语种】中文【中图分类】U213.2随着高速铁路运营里程的快速提升，高速铁路引发的轨道结构动力响应问题引起了越来越多的关注。
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引 言
对于半无限地基土体动力响应， 采用有限元法， 不可避免需建立有效的人工边界与合理离散网格。 尽管目前国内外学者已建立了具有各自优点的人工 边界模型动力有限元法[ >3]， 分析无限域地基土体动 力问题， 但仍不具有有限元意义上的精确性， 即低阶 边界精度不足、 高阶边界稳定性差， 离散网格无限小 时数值解难以后收敛到精确解。采用三维空间域的 时域动力有限元模型分析移动荷载作用下半无限域 动力响应， 为保证计算精度， 尤其是移动荷载速度接 近弹性体剪切波速时， 要求地基离散范围必须足够 大， 单 元尺寸足够小， 必然造成计算模型自由度增 大， 导致占用计算机资源较大、 计算时间长， 甚至其 计算难以实现。为解决结构-地基动力相互作用问 题中无限域动力刚度计算 ， Wolf & S 〇 ng[4]对弹性 动力学基本方程采用坐标变换和加权余量法， 基于
第 5期
雷晓燕， 等： 半 无 限 弹 性 空 间 中 移 动 荷 载 动 力 响 应 的 频 域 -波 数 域 比 例 边 界 有 限 元 法 分 析
799
间域-波数的 F ourier 积 分 变 换 ， 可 使 3D 空间转化 为 2 D 平面问题计算， 极大地减小计算工作量[1719]。 同时利用比例边界有限元法在环向上采用有限元法 意义的离散， 半无限径向进行准确的解析求解， 避免 无限边界计算误差， 形成频域-波数域比例边界有限 元法， 得到半无限域土体的精确动力刚度， 分析时 间-空间域半无限域土体动力响应， 目前尚未有文献 报道 。基于此， 本文拟利用荷载移动方向的空间到 波 数 域 的 Fourier 积分变换， 结合虚功原理， 建立频 域-波数域内的比例边界有限元方程， 分析时间-空 间域移动荷载作用下半空间的动力响应。
Fourier 积 分 变 换 ， 然后选择比例中心， 利用虚功原理， 在地铁隧道孔洞横截面环向上采用有限元法意义离散， 建立
了频域 _波 数 域 比 例 边 界 有 限 元 方 程 ， 进 而 形 成 了 一 阶 微 分 矩 阵 方 程 形 式 的 半 无 限 空 间 动 力 刚 度 。文 中 理 论 推 导 表明： 利用文中方法分析半无限域中沿地铁隧道结构纵轴向的移动荷载动力响应问题， 不仅可避免无穷边界计算 处理误差， 而 且 可 极 大 减 小 计 算 分 析 量 。计 算 结 果 表 明 ： 半无限弹性地基的振动响应随移动荷载速度增大而增大， 尤其是当荷载速度增大到土体剪切波速后， 振动波传播到土体表面引起土体振动显著增大， 土体振动性增大， 将会 对土体及表面结构的安全性形成一定影响， 另一方面土体的振动在沿地铁隧道纵轴向的衰减比竖向慢。 关键词： 土动力学;半无限弹性空间； 虚功原理； 移动荷载； 频 域 -波 数 域比 例边界 有限 元法 中图分类号： TU471 文献标志码：A 文章编号： 1004-4523(2017)05-0798-08
第 30卷 第 5 期 2017年 1 0 月
振
动
工
程
学
报
Journal of Vibration Engineering
Vol. 30 No. 5 O c t 2017
半无限弹性空间中移动荷载动力响应的 频域-波数域比例边界有限元法分析
雷 晓 燕 \ 徐 斌 〃， 徐满清
2
( 1 . 华 东 交 通 大 学 教 育 部 振 动 与 噪 声 工 程 中 心 ，江 西 南 昌 330013; 2 . 南 昌 工 程 学 院 土 木 与 建 筑 工 程 学 院 ，江 西 南 昌 330029)
层状地基动力相互作用问题。 考虑到半空间域中的移动荷载运动方向与无限 域中结构的纵轴向一致 订 日 期 ： 2017-06-21 基金项目： 国家自然科学基金资助项目（ 51269021, 51478184, 5 1 5 6 9 0 1 6 ); 江 西 省 自 然 科 学 基 金 重 点 资 助 项 目 (2 0 1 3 3 A C B 2 0 0 0 6 ); 江 西 省 教 育 厅 科 技 资 助 项 目 （ GJJ14755,GJJ151096); 江 西 省 优 势 科 技 创 新 团 队 建 设 计 划 项目（ 2017BCB19001)
摘要： 基 于 Fourier 积 分 变 换 和 虚 功 原 理 ， 形成了频域-波 数 域 比 例 边界有限元法， 分析了移动荷载作用下半空间域 弹 性 空 间 动 力 响 应 。首 先 对 半 无 限 域 弹 性 体 的 动 力 控 制 方 程 进 行 时 间 到 频 域 ， 荷载移动方向的空间域到波数的
相似性和有限元法的算法， 首次提出了比例边界有 限元方法。Deeks & W 〇 lf [5]应用虚功原理重新推 导了弹性静力学问题的比例边界有限元方程。 目前 比例边界有限元法已应用于时域、 频域中无限域波 动问题分析、 无限地基的边界动力刚度矩阵等的求 解[6 _ M ]， 如： Deeks & Wolf[11]应用比例边界有限元 方法， 求解了二维无限域的弹性静力学问题。Song & W〇 lf [12]分析了各向异性材料的断裂问题。林皋 和杜建国[13]分 析 了 坝 面 动 水 压 力 问 题 。Z h an g 和
W egner 等[ 1 « 5]利用比例边界有限元方法求解出时
域下无限地基的加速度单位脉冲响应函数， 分析了 三维结构-地基动力相互作用。利用有限元来模拟 结构和近场地基， 比例边界有限元模拟结构两侧的 无限地基， 边界元模拟结构底部无限地基， Genes &
K〇 cak[16]形成了 FE-BE-SBFEM 耦合法， 分析了结构-
标关系为：
=^xirj) =^y(rj) (2
则直角坐标系与比例坐标系下存在以下关系:
^ d_ dx d > = r l<