正弦交流电电路稳态分析
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第2章 正弦稳态电路的分析
u
l
L是一个与i、ψ无关的常数。若线圈中含有铁磁物质，则 L与i、ψ有关，不是常数。 线圈的电感与线圈的形状，几何尺寸，匝数以及周 围物质的导磁性质有关，即 SN 2 L l l为密绕长线圈的长度（m），截面为S（m2)， 匝数为N，μ为介质的磁导率。
2．自感电动势
i(t)变化
ψ变化
产生eL(t)
波形图中 正半周 u ＞ 0 , i ＞ 0 (正值),说明实际方向与参考方向相同 负半周 u ＜ 0 , i ＜0 (负值),说明实际方向与参考方向相反
+
u
_
i,u T Um O
波形： Im
wt
可见:没有设定参考方向,正负值就没有意义,波形图也表达不出 它们的变化规律
2.1.2 正弦交流电量的三要素：
u U m cos( t + ) w U m e j (wt + )的实部 正弦电压u正好等于复数
u Re [U m e j (wt + ) ] Re [U m e jwt e j ] e jwt ] (令U U e j ) Re [U m m m
现在就把பைடு நூலகம்U m U m e j U m 称为正弦电压u的最大值相量
除法：模相除，角相减。
正弦交流电量的表示法 1、瞬时表达式(即时间的正弦或余弦函数式) 2、波形图(即时间的正弦或余弦函数曲线) 3、相量法(用复数表示正弦电量的方法) (1)复数与正弦量的关系
U m e j (wt + ) U m [cos(wt + ) + j sin(wt + )]
特殊相位关系：
u, i
u i O u, i u O u, i u iw t
第九章 正弦交流电路的稳态分析
560 V U jL j2π 3 10 4 0.3 10 3 j56.5Ω
R R j L L uL - + + + + u - + UL + +U + R .C R u u C 1 U i. U C I jC -
1 Z R jL j 15 j56.5 j26.5 C o 33.5463.4 Ω
U R RI R U L j LI L 1 UC IC j C
ZR
UR R IR
称为电阻 称为电感的阻抗，简称为感抗 称为电容的阻抗，简称为容抗
UL ZL j L IL UC 1 ZC I C j C
注：RLC元件电压相量与电流相量之间的关系类似欧姆定律，电 压相量与电流相量之比是一个与时间无关的量，它是一个复数。
可见，二者依据的电路定律是相似的。只要作出正弦 电流电路的相量模型，便可将电阻电路的分析方法应用到 正弦稳态的相量分析中。
I
.
R
j L + UL 1 jω C
.
+
U
.
+.
-
UC
. . . . U U R U L UC
. 1 . ( R j L j ) I ( R jX ) I C
Z— 复阻抗；R—电阻(阻抗的实部)；X—电抗(阻抗的虚部)； |Z|—复阻抗的模； —阻抗角。
| Z | R 2 X 2 关系： X φ arctg R
解： 已知的都是有效值，画相量图进行定性分析。
2 U 2 U 12 U 2 2U 1U 2 cosq 2 θ 2 64.9o
第三章 正弦交流电路的稳态分析PPT课件
的交流电压、电流
称为正弦电压、电流。
0
t
Байду номын сангаас
（如图所示）
3. 正弦电压、电流等物理量统称为正弦量。 目前世界上电力工业中绝大多数都采用正弦量。
9
正弦交流电路：
如果在电路中电动势的大小与方向均随时间按 正弦规律变化，由此产生的电流、电压大小和方向 也是正弦的，这样的电路称为正弦交流电路。
+i
u
R
i
-
t
用小写字母表示交流瞬时值
第三章
正弦交流电路的 稳态分析
1
第一部分
整体概述
THE FIRST PART OF THE OVERALL OVERVIEW, PLEASE SUMMARIZE THE CONTENT
2
第3章 正弦交流电路的稳态分析
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节 第八节 第九节
正弦量的三要素 正弦量的相量表示法 电路基本定律的相量形式 电阻、电感、电容元件串联的正弦交流电路 RL支路与RC支路并联的正弦交流电路 复杂正弦交流电路的相量分析法 正弦交流电路的功率 功率因数的提高 电路的谐振
14
［例］我国和大多数国家的电力标准频率是50Hz， 试求其周期和角频率。
［解］ T 1 0.02S = 2 f =23.14 50=314rad/s
f
2、描述变化大小的参数
(1) 瞬时值: 正弦量任意瞬间的值称为瞬时值， 用小写字母表示:i、u、e。
(2) 幅值: 正弦量在一个周期内的最大值，用 带有下标m的大写字母表示:Im、Um、Em 。
U
1
T u2(t)dt
T0
I T 10TIm 2co2(stΨ)dt
正弦电流电路的稳态分析基础知识讲解
dt t
T 1T
0
0
2
20 2
I
1 T
I
2 m
T 2
Im 2
0.707Im
Im 2I
i(t ) Im sin(wt Ψ ) 2I sin(wt Ψ )
同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：
1 U 2 Um
或
U m 2U
若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为Um311V；
U=380V，
二、正弦量的相量表示
两个正弦量 i1 2 I1 sin(wt y1 )
u, i
角频率： 有效值：
i1
w
i1
i2
wi2
I1
I2
初相位：
1 O 2
i2 2 I2 sin(wt y2 )
i1+i3i2 i3
w
I3
wt3
无论是波形图逐点相加，或用三角函数做都很繁。
因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只 要确定初相位和有效值(或最大值)就行了。于是想到复数， 复数向量也包含一个模和一个幅角，因此，我们可以把正 弦量与复数对应起来，以复数计算来代替正弦量的计算， 使计算变得较简单。
解：
•
I
10030o
A
•
U 220 60o V
试用相量表示i, u .
例2.
•
已知I
5015
A,
f 50Hz .
试写出电流的瞬时值表达式。
解：i 50 2sin(314t 15 ) A
相量图(相量和复数一样可以在平面上用向量表示)：
•
U
•
I
i(t) 2Isin(ω t ) I I u(t) 2Usin(ωt θ ) U Uθ
T 1T
0
0
2
20 2
I
1 T
I
2 m
T 2
Im 2
0.707Im
Im 2I
i(t ) Im sin(wt Ψ ) 2I sin(wt Ψ )
同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：
1 U 2 Um
或
U m 2U
若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为Um311V；
U=380V，
二、正弦量的相量表示
两个正弦量 i1 2 I1 sin(wt y1 )
u, i
角频率： 有效值：
i1
w
i1
i2
wi2
I1
I2
初相位：
1 O 2
i2 2 I2 sin(wt y2 )
i1+i3i2 i3
w
I3
wt3
无论是波形图逐点相加，或用三角函数做都很繁。
因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只 要确定初相位和有效值(或最大值)就行了。于是想到复数， 复数向量也包含一个模和一个幅角，因此，我们可以把正 弦量与复数对应起来，以复数计算来代替正弦量的计算， 使计算变得较简单。
解：
•
I
10030o
A
•
U 220 60o V
试用相量表示i, u .
例2.
•
已知I
5015
A,
f 50Hz .
试写出电流的瞬时值表达式。
解：i 50 2sin(314t 15 ) A
相量图(相量和复数一样可以在平面上用向量表示)：
•
U
•
I
i(t) 2Isin(ω t ) I I u(t) 2Usin(ωt θ ) U Uθ
第三章 正弦交流电路的稳态分析
A | A | e j | A |
两种表示法的关系： A=a+jb A=|A|ej =|A|
| A | a 2 b 2 b θ arctg a 复数运算
Im b
A |A|
直角坐标表示 极坐标表示
0
a Re
或
a | A | cosθ b | A | sinθ
1 i dt 则有： I T
2
T
0
i dt
2
同样，可定义电压有效值：
正弦电流、电压的有效值 与最大值的关系 设 i(t)=Imcos( t+ )
U
def
1 T
T
0
u ( t )dt
2
1 I T
T
0
I cos ( t Ψ ) dt
2 m 2
T 0
T
0
cos ( t Ψ ) dt
u,i
0
t
3. 正弦电压、电流等物理量统称为正弦量。 目前世界上电力工业中绝大多数都采用正弦量。
正弦交流电路：
如果在电路中电动势的大小与方向均随时间按 正弦规律变化，由此产生的电流、电压大小和方向 也是正弦的，这样的电路称为正弦交流电路。
+
u
-
i
i
R
t
用小写字母表示交流瞬时值
正弦交流电的正方向：
必须 小写
瞬时值表达式 i
相量
重点
前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。
1. 复数及运算
复数A的表示形式 Im b A
A=a+jb
(j 1 为虚数单位)
第九章 正弦交流电路的稳态分析(课件)
练习题：图示电路中已知V1=6V，V2=8V，求各电路的V=？
°
V1 V
°
R L
°
°
R
R
V2
R
C
L
C
°
（1）
°
（2）
°
（3）
°
（4）
例：
i +
.
.
I
+ iL iL iC u R L C . . . . I IR IL IC . . 1 (G j jC ) U (G jB) U L
定由电容、电感决定；R、X、G、B是元件及频率的函数。
二端网络阻抗和导纳等效关系 º Z R jX º Y G jB
º º Z R jX | Z | φ Y G jB | Y | φ ' 1 1 R jX G jB Y Z R jX R2 X 2 G 2R 2 , B 2 X 2 R X R X 1 | Y | , φ ' φ |Z| 一般情况 G1/R B1/X。若Z为感性，X>0，则B<0， 即仍为感性。
等效电路
+
.
R
1 jCeq
U
-
+ UX -
（4）L=1/C ，X=0， z=0，电路为电阻性，电压与电流同相。
I
UR
I 等效电路
+ -U
R
-
UR
+
例：已知：R=15, L=0.3mH, C=0.2F,
u 5 2cos (t 60 ), f 3 10 Hz .
UR ZR R IR UL ZL j L I
L
正弦交流电路的稳态分析(课件)
02
正弦交流电的基本概念
正弦交流电的定义
正弦交流电
正弦交流电的产生
大小和方向随时间作正弦函数周期性 变化的电流。
通过交流发电机产生，当磁场和导体 线圈发生相对运动时，导体线圈中就 会产生正弦交流电。
正弦交流电的波形图
正弦交流电的波形图呈现正弦函数的 形状，随着时间的推移，电流值在正 弦波的最高点和最低点之间变化。
线性时不变正弦交流电路具有 叠加性、比例性和线性特性。
相量法分析正弦交流电路
相量法是一种分析正弦交流电 路的方法，通过引入复数和相 量，将时域的电压和电流表示
为复数形式的相量。
相量法的优点在于可以将正 弦交流电路中的复杂数学问 题简化为复数代数问题，从
而方便求解。
通过相量法，可以得出正弦交 流电路的阻抗、功率和相位等
未来研究的方向和展望
研究方向一
研究方向二
针对复杂正弦交流电路的稳态分析，深入 研究不同元件之间的相互影响，提高分析 精度。
结合新型材料在正弦交流电路中的应用， 研究其对电路性能的影响，探索新型材料 在优化电路性能方面的潜力。
研究方向三
研究方向四
结合现代计算技术和仿真软件，开发高效 、精确的正弦交流电路稳态分析方法和工 具。
正弦交流电路的稳态分析 (课件)
• 引言 • 正弦交流电的基本概念 • 正弦交流电路的稳态分析 • 实例分析 • 总结与展望
01
引言
主题简介
正弦交流电路
正弦交流电路是指电流和电压随时间按正弦规律变化的电路 。在日常生活和工业生产中，许多电源和负荷都是以正弦交 流电的形式存在。
稳态分析
稳态分析是电路分析的一个重要方面，主要研究电路在稳定 状态下各元件的电压、电流和功率等参数。对于正弦交流电 路，稳态分析涉及对电路中各元件的电压和电流进行傅里叶 变换，以得到各次谐波的幅值和相位。
第三章 正弦交流电路的稳态分析
w
Im3
y1
一、复数及运算
y2
y3
Im b
1. 复数A表示形式： Im b
A
A |A|
y
0 a
Re 0 a Re
A a jb
A A e jy | A | y
2. 复数运算 (1)加减运算——直角坐标 (2) 乘除运算——极坐标 3. 旋转因子 A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)
Im( 2 U 1 e
jw t
) Im( 2 U 2 e jw t )
jwt
2U2 e
jw t
) Im( 2 (U 1 U 2 )e jw t )
得：
U U1 U 2
U
这实际上是一种变换思想，由时域变换到频域
i1 i2 = i 3 时域 频域
第四节 复阻抗和复导纳及等效变换 U R I U jw L I 一. 复阻抗
正弦激励下 +
U
I
无源 线性 纯电阻
I
+
U
U
Z
1 I jw C
-
-
U 复阻抗 Z I
ZR R
纯电感
Z L jwL jX L 纯电容 ZC 1 jwC jXC
定义
XC
1 wC
错误的写法 1 u wC i
1 U wC I
(1) 表示限制电流的能力； (2) 容抗的绝对值和频率成反比。
XC
w 0(直流), X C , 隔直作用; w , X C 0, 旁路作用;
w
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(t ) (t )
1
2
1
2
（4-9）
ψ1﹥ψ2，φ﹥0，称电压u比电流i超前φ角，或i
比u滞后φ 角。
当两同频正弦量的相位差φ=00时，我们称它们 同相，当φ=1800时，称反相。图4.2中，u超前i 角度ψ1-ψ2。
注意，不同频率的两个正弦量不能进行相位比 较。
练习.判断如图4-1-1（a)（b)（c)（d）中 i1 与i2哪两个正弦量同相、超前、正交、反相?
两个频率相同的正弦量的相位角之差或初 相位之差，称相位差。
同频率正弦量的相位差
u U m sin(t 1) i Im sin(t 2 )
同一正弦交流电路中，电压u和电流i 的频 率是相同的，但初相位不一定相同。如图 4.2所示，
图4.2 不同相位的电压电流信号
同频率正弦量的相位差
它们的初相位分别为ψ1和ψ2。它们的相位差为
特别地，复数 e j 的模为1，辐角为。把一个复
数乘以 e j 就相当于把此复数对应的矢量反时针方
向旋转 角。
2 正弦量的相量表示
设有一复数 A(t) Ae j(t) 它和一般的复数不同，它不仅是复数，而且 辐角还是时间的函数，称为复指数函数。因为
由于
A(t) Ae j(t) Ae je jt Aejt A(t) Ae j(t) A cos(t ) j A sin(t )
一般所讲的正弦电流或电压的大小，均是指有效值。例如交流电压 380V或220V都是指电压的有效值，其最大值分别为 537V、311V。交 流设备铭牌标注的电压、电流均为有效值。
3．初相位
在正弦电流4-1式及图4.1中，ωt +ψ称相位 角，简称相位。当t=0 时的相位角即ψ称为 初相角或初相位。初相位ψ值决定了计时时 刻的角度，初相位不同，正弦量的初始值 不同；当ψ=0时，初始值为零。
2．幅值与有效值
1、有效值 周期量的有效值定义为：一个周期量和一个直
流量，分别作用于同一电阻，如果经过一个周期的时间 产生相等的热量，则这个周期量的有效值等于这个直流 量的大小。电流、电压有效值用大写字母I、U表示。
根据有效值的定义，则有 则周期电流的有效值为
i I T 2Rdt 2 RT 0
i I 1 T 2 dt
T0
2、正弦量的有效值
对于正弦电流，设 i(t) I m sin(t i )
I sin I
T 1 T0
2 m
2 (t i)dt
Im2 2T
T 0
[1
c os2(t
i
)]dt
Im2 2T
t
T 0
I
2 m
2
I I m 0.707
2
m
同理 U
1 2 Um 0.707Um
图 4-1-1
4.1.2 正 弦 量 的 相 量 表 示 法
1 复数的运算规律
复数的加减运算规律。两个复数相加（或相减） 时，将实部与实部相加（或相减），虚部与虚部相加 （或相减）。如：
A1 a1 jb1 r11 A2 a2 jb2 r22
相加、减的结果为： A1±A2= （ a1+jb1 ） ±(a2+jb2)=(a1±a2)+j(b1±b2)
第4章 正弦交流电路的稳态分析
学习内容 4.1 正弦交流电 4.2 电阻、电感、电容在交流电路中的
特性 4.3 三相交流电路 4.4 日光灯照明电路
4.1 正弦交流电的基本概念
4.1.1 正弦量的三要素 若电压、电流是时间 t 的正弦函数，称为正弦交
流电。 以电流为例，正弦量的一般解析式为：(4-1)
正弦量重复变化一次所需要的时间称为周期，用 T表示，单位是秒（s）。每秒内变化的次数称为 频率，用f表示，单位是赫兹（Hz）。
正弦量的变化快慢除用周期和频率表示外，还用 角频率ω来表示，单位是弧度每秒（rad/s）。
因为正弦量每经历一个周期的时间T，相位增加 2π，则角频率ω、周期T和频率ƒ之间关系为
2 2f即T 1
T
f
ω、T、ƒ反映的都是正弦量变化的快慢， ω越大，即ƒ越大或T越小，正弦量变化越快； ω越小，即ƒ越小或T越大，正弦量变化越慢。
我国采用50Hz作为电力标准频率，美 （日）等国采用60Hz。这种频率在工业 上应用广泛，习惯称为工频。
工频50Hz，其周期和角频率分别为0.02s， 314 rad/s。
复数乘除运算规律：两个复数相乘，将模相乘，辐 角相加；两个复数相除，将模相除，辐角相减。
如：
A1 A2
r1e j1
r2e j2
r r e j(12 )
12
r1r21
2
r e r A1
r e r A2
j 1
1 j 2
2
1
2
1
2
因为通常规定：逆时针的辐角为正，顺时针的 辐角为负，则复数相乘相当于逆时针旋转矢量； 复数相除相当于顺时针旋转矢量。
i(t) Im sin(t )
波形如图4-1所示
图 4-1 正弦量的波形
式4-1中，i与时间t的关系由最 大值Im，角频率ω和初相位ψ决定， 同时Im、ω、ψ也是正弦量之间进行 比较和区别的依据，因此，把振幅、 角频率和初相位称为正弦量的三要素。
只有确定了三要素，正弦量才是确定的 。
1．频率与周期
的瞬时值 u(t)（3） 画出相量图
解（1）
•
U
1
＝141
＝100 60＝100 e j60
(50
j86.6)V
23
•
U2
70.7
50 45 50e j45
(35.35
j35.35)V
24
（2）
•
•
•
U U 1U 2 (50 j86.6) (35.35 j35.35)
可见A(t)的虚部为正弦函数。这样就建立了正弦量和复 数之间的关系。为用复数表示正弦信号找到了途径。
u(t) 2U sin(t u ) Im[ 2Ue j(ttu ) ]
Im Ue ju 2e jt
Im U.
2e
jt
Im
U.
m
e
jt
式中
.
.
.
U Ue ju 或U m 2 U
同理
.
.
.
I Ie ji 或 I m 2 I
.为正弦量的有效值相
量和振幅相量。特别应该注意，相量与正弦量之间只
具有对应关系，而不是相等的关系。
图4.3 正弦交流电的相量表示
例 已知 u1=141sin(ωt+60o)V ，
u 2 =70..7sin。(ωt-45o)V 。 求：⑴ 求相量 U1 和U2 ；(2) 求两电压之和