初二数学手拉手模型
初中数学几何模型之手拉手模型
即∠DAC=∠EAB，
在△ACD与△ABE中
，
∴△ACD≌△ABE（SAS）；
（2）∵△ACD≌△ABE，
∴∠ADC=∠AEB，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴∠ADE=∠AED =45°，
∴∠AEB=∠ADE+∠CDE=45°+60°=105°．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定进行解答．
一、模型类别
二、相关结论的运用
（一）有公共顶点的等边三角形
典例精讲：
[问题提出]
（1）如图①， 均为等边三角形，点 分别在边 上．将 绕点 沿顺时针方向旋转，连结 ．在图②中证明 ．
[学以致用]
（2）在（1）的条件下，当点 在同一条直线上时， 的大小为度．
[拓展延伸]
（3）在（1）的条件下，连结 ．若 直接写出 的面积 的取值范围．
（3）①
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，
∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠CAE=∠DAE+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，
∵∠AOB=∠FOC，
∴∠BFC=∠BAC=90°，
∴S四边形BCDE=S△BCE+S△DCE ；
数学模型-----手拉手
有些同学在学习数学时无从下手，找不到突破的方法，做不到举一反三，所以在数学的学习过程中，必须深入本质，做到知识、规律、法则掌握准确，及时反思．下面先给大家介绍一种常见的数学模型---手拉手模型，通过对模型的理解和掌握，把模型的结论融会贯通，理解透彻，那么这一类题型，都是可以迎刃而解的．
手拉手模型
手拉手模型手拉手模型，属于初中几何中图形的旋转，是最常见的一类重要模型。
全等型手拉手模型有以下三个主要特征：双等腰、共顶点、顶角相等。
如下左图，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，且具有公共的直角顶点A，顶角都是900。
这两个三角形就像两个人手拉着手一样，所以我们称之为手拉手模型。
如下右图，我们易证△ACE与△ABD全等（SAS）。
实际上以点A为旋转中心，把△ACE顺时针旋转900，就得到了△ABD。
又如下左图，△ABC与△ADE都是等边三角形，且具有公共的顶点A，顶角都是600。
这个图形满足以下三个主要特征：双等腰、共顶点、顶角相等，所以它就属于手拉手模型。
如下右图，我们易证△ACD与△ABE全等（SAS）。
实际上以点A为旋转中心，把△ACD顺时针旋转600，就得到了△ABE。
例 1. 如图，△ABC与△A DE都是等腰直角三角形，其中∠BAC=∠DAE=900，AB=AC，AD=AE。
直线CE交BD于点F，交AB 于点G。
求证：（1）CE=BD；（2）CE⊥BD；（3）A、E、F、D四点共圆；（4）AF平分∠CFD。
解析：图中△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，而且他们具有公共顶点A，顶角都是900，所以该图形就是典型的手拉手模型。
简解：(1)易证△ACE≌△ABD（SAS），所以CE=BD；（2）由△ACE≌△ABD可得：∠1=∠2。
再由八字形可得：∠GFB=∠GAC=900，所以CE⊥BD。
（3）由（2）得CE⊥BD，又∠DAE=900，所以∠DAE+∠DFE=1800。
所以A、E、F、D四点共圆。
（4）过A作AM⊥CE于M，作AN⊥BD于N。
由△ACE≌△ABD，可得他们的面积相等，又由全等得CE=BD，所以AM=AN。
所以AF 平分∠CFD。
（或者由A、E、F、D四点共圆，得到∠DFA=∠DEA=450。
所以∠EFA=∠DFA=450。
所以AF平分∠CFD。
）例2. 如下左图，点C、A、E在一条直线上，△ABC与△ADE 都是等边三角形。
八年级数学多边形之手拉手模型和半角模型 专题讲义
八年级数学多边形之手拉手模型和半角模
型专题讲义
一、手拉手模型
1. 理解手拉手模型
手拉手模型是多边形的一种折纸模型，常用于辅助理解和记忆多边形的性质。
通过将多边形沿一条边折叠后，将该边两端的顶点对齐，可以得到手拉手模型。
2. 制作手拉手模型
制作手拉手模型的具体步骤如下：
1. 将多边形沿一条边折叠。
2. 将该边两端的顶点对齐。
3. 将折线处剪开。
3. 应用手拉手模型
手拉手模型可用于辅助证明多边形的性质。
例如，证明凸多边
形的内角和公式，可以用手拉手模型将多边形分割成若干个三角形，再计算各个三角形的内角和。
二、半角模型
1. 理解半角模型
半角模型是多边形的一种立体模型，常用于辅助理解和记忆多
边形的性质。
通过将多边形沿一条边折叠后，将两条邻边上的点对齐，可以得到半角模型。
2. 制作半角模型
制作半角模型的具体步骤如下：
1. 将多边形沿一条边折叠。
2. 将两条邻边上的点对齐。
3. 将折线处剪开。
3. 应用半角模型
半角模型可用于辅助证明多边形的性质，特别是相邻内角互补
的性质。
例如，证明正多边形的内角和公式，可以用半角模型将正
多边形分割成若干个等腰三角形，再计算各个等腰三角形的内角和。
八年级上册数学-手拉手模型及应用
第11讲手拉手模型及应用知识导航1．手拉手模型的特点：两个等腰三角形顶角顶点公共，且顶角相等．得到一对能够旋转重合的全等三角形．2．手拉手模型的基本构图：等膜△ABC和△DAE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．B AEECA3．手拉手模型的性质：(1)三角形全等；(△ABD≌△ACE)(2)第三边或所在直线的夹角与等腰三角形的顶角相等或互补；(∠BPC＝∠BAC或∠BPC＋∠BAC＝180°)(3)第三边或所在直线的交点与顶角顶点的连线平分第三边的夹角或其邻补角．(AP平分∠BPE或∠BPE的邻补角)【板块一】双等边三角形构成的手拉手模型【例1】如图，分别以△ABC的边AB，AC向外作等边△ABD和等边△ACE，连BE，CD交于P，连接AP．(1)求证：BE＝CD；(2)求∠BPD的度数；(3)求证：PA平分∠DPE．P EDCBA针对练习11．在例1的条件下，将图形旋转至如图所示的位置，例1中的三个结论还成立吗？请说明理由．PE DCB A【板块二】 双等腰直角三角形构成的手拉手模型【例2】如图，△ABC 和△ADE 均为等腰直角三角形，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，连接BD ，CE 交于点P ．(1)求证：△ABD ≌△ACE ；(2)判断BD ，CE 的关系并证明；(3)连接PA ，求∠APB 的度数．P EDCB A【例3】如图，等腰Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，P 为△ABC 外一点，∠APB ＝45°，连PC ，求∠APC 的度数．PCB A针对练习21．在例2的条件下，将图形旋转至如图所示的位置，BD 与CE 的关系还成立吗？请说明理由．EDCB A2．在例3的条件下，将P 点移至BC 的下方，∠APB ＝45°不变，求∠APC 的度数．P CBA。
八下数学手拉手模型ppt课件
B
M A
已知：以△ABC的三边为边 长分别作等边△ABD、等边 △BCM和等边△ACE。
根据上面条件回答下面问 题：
E 1.判定四边形DMEA的形状，
并证明 2.当△ABC满足什么条件时， 四边形DMEA是矩形？菱形？ 正方形？ 3.当△ABC满足什么条件时， 四边形DMEA不存在？
C
寒假来临，不少的高中毕业生和大学 在校生 都选择 去打工 。准备 过一个 充实而 有意义 的寒假 。但是 ，目前 社会上 寒假招 工的陷 阱很多
∠ＣＰＤ，点Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ的中点。判断中点四边形Ｅ
ＦＧＨ的形状，并说明理由
ＨD A
Ｇ
A
ＨD
Ｅ
Ｐ
Ｇ
Ｅ
B
ＦC
B
Ｆ
C
（３）若改变（２）中的条件，使∠AＰB＝∠ＣＰＤ＝９０°，其他条件不变，直接 写中点四边形ＥＦＧＨ的形状
寒假来临，不少的高中毕业生和大学 在校生 都选择 去打工 。准备 过一个 充实而 有意义 的寒假 。但是 ，目前 社会上 寒假招 工的陷 阱很多
两个等腰直角三角形的手拉手模型
A D
已知：如图，∠ACB=∠DCE=90°， AC=BC，DC=EC,点D在AB上
（1）说明BD与AE的关系
（2）求证：AD2+BD2=DE2 （3）求证：AD2+BD2=2DC2
E
B
C
寒假来临，不少的高中毕业生和大学 在校生 都选择 去打工 。准备 过一个 充实而 有意义 的寒假 。但是 ，目前 社会上 寒假招 工的陷 阱很多
已知：以△ABC的边AB和AC为边长分别作等边
△ABD和等边△ACE，点M、P、N分别是DB，BC，
初中数学全等三角形手拉手模型
∵ቐ∠ABE = ∠EBC
= BC
∴△ABE≌△DBC(SAS)
过B点分别向AE和DC作垂线，垂足为点M，N
∵BM，BN分别为△ABE和△DBC对应边上的高
∴BM=BN
在Rt△BMF和Rt△BNF中
BF =
∵ቊ
BM =
∴Rt△BMF≌Rt△BNF(HL）
手拉手模型-等边三角形
为右手顶点。
B(左手）
(头 ）
(头）
B(左手
）
C(右手 ）
C(右手）
手拉手模型基于
“ASA全等判定”
2、手拉手模型-模型分析
二、“手拉手模型”的基本构图：
常见变形：
手拉手模型-等边三角形
例1、如图在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ABD与△BCE，连结AE与CD.
证明：（1）△ ≌△ （2） = （3）与之间的夹角为60°（4）△ ≌△ （5）△ ≌△ （6）
∴AE=DC
（3）延长AE分别交BD于点N，CD于H
由（1）可知，∠BDC=∠BAE
又∵∠ANB=∠HND（对顶角相等）
∴180°-（ ∠BDC + ∠HND ）=
180°-(∠BAE + ∠ANB )
即∠DHN=∠ABD=60°
∴ 与的夹角为60°
（4）过点B分别向AE和DC所在直
变式1-4.
D
如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：
1. △ABE≌△DBC
2. AE=DC
3. AE与DC的夹角为60°
4. AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC
【解析】①利用角度的和差关系证明∠ABE=∠DBC，且AB=DB，BC=BE
初二数学培优专题 (1)——共点“手拉手”模型(又称旋转“一拖二”模型)(答案详解)
共点手拉手模型（又称旋转“一拖二”模型）——兼谈最值、轨迹问题特点——公共点是等腰三角形顶角的顶点如图，若连接BB’、CC’，易证明△ABB’≌△ACC’（SAS）。
这就是传说中的“旋转一拖二”，又称为“手拉手模型”。
典型问题：【例1】（成都高新区2017-2018八年级上期27题）【例2】（成都金牛区2017-2018八年上期27题）如图，在△ABC中,∠B=45°，AB=22，2=BC，等腰直角∆ADE中，∠DAE=90°，2+3且点D是边BC上一点。
(1)（3 分）求AC的长；(2)（4 分）如图1，当点E恰在AC上时,求点E到BC的距离；(3)（3 分）如图2, 当点D从点B向点C运动时，求点E到BC的距离的最大值。
图1【例3】（2017届初二上期七中联盟半期）已知：ABC △是等腰直角三角形，动点P 在斜边AB 所在的直线上，以PC 为直角边作等腰直角三角形PCQ ，其中90PCQ =∠，探究并解决下列问题：（1）如图①，若点P 在线段AB上，且AC =，12PA =，则： ①线段PB =________，PC =________；②猜想：222,,PQ PA PB 三者之间的数量关系为_______________________；（2）如图②，若点P 在AB 的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图②给出证明过程； （3）若动点P 满足4PA PB =,求PQAC的值．（提示：请利用备用图进行探求）图① 图② 备用图QCBPAQCB ACBA【例4】如图,已知30MON ∠=︒ ,B 为OM 上一点,BA ON ⊥ 于A ,四边形ABCD 为正方形,P 为射线BM 上一动点,连结CP ,将CP 绕点C 顺时针方向旋转90︒ 得CE ,连结BE ,若 4AB = ,则BE 的最小值为【例5】（成都武侯区2016-2017八年上期27题）如图，已知直线x y =过点A ，y AB ⊥轴于点B ，x AC ⊥轴于点C ，点P 是y 轴上的一动点，连接AP 交直线BC 于点E .点N 在直线BC 上，连接AN 且︒=∠90PAN ，在射线AN 上截取AE AD =，连接DE .（1）求证：2222AE EC BE =+；（2）若点A 的坐标是（6，m ），点P 的坐标是（0，m 32），求线段AD 的长； （3）当31=EC BE 时，求BPDE的值.27题【例6】（成都青羊区2016-2017八上期27题）在Rt ACB ∆中，90ACB ∠=︒，AC=BC ，D 为AB 上一点，连结CD ，将CD 绕C 点逆时针旋转90︒至CE ，连结DE ，过C 作CF ⊥DE 交AB 于F ，连结BE.（1）求证：AD=BE ；（2）求证：222AD BF DF +=； （3）若15ACD ∠=︒，1CD =+，求BF.【例7】（1）问题发现：如图1，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，当△DCE 旋转至点A ，D ，E 在同一直线上，连接BE ，易证△BCE ≌△ACD ．则 ①∠BEC ＝；②线段AD 、BE 之间的数量关系是 ． （2）拓展研究：如图2，△ACB 和△DCE 均为等腰三角形，且∠ACB ＝∠DCE ＝90°，点A 、D 、E 在同一直线上，若AE ＝15，DE ＝7，求AB 的长度．（3）探究发现：如图3，P 为等边△ABC 内一点，且∠APC ＝150°，且∠APD ＝30°，AP ＝5，CP ＝4，DP ＝8，求BD 的长．E答案典型问题：【例1】（2017-2018上期成都高新区27题）解：（1）∵∠BAC=∠DAE=︒90 ∴∠BAD=∠CAE∵AB=AC ，AD=AE ∴△ABD ≌△ACE （SAS ）（2）取AB 的中点G ，连接DG（I ）∵∠BAC=∠DAE=︒120且点D是边BC上一点。
初二上学期全等三角形专题之手拉手模型教案(有答案)
手拉手模型互动精讲【知识梳理】定义: 两个顶角相等且有共顶点的等腰三角形形成的图形。
（左手拉左手，右手拉右手）常见的手拉手模型：【例题精讲】例1、如图，分别以△ABC的AB、AC为边向外作等边三角形△ABD、△ACE，连接CD、BE交于F，求证（1）△DAC≌△BAE （2）求∠DFB的度数（3）AF 平分∠DFE.例2、以点A为顶点作等腰Rt△ABC，等腰Rt△ADE，其中∠BAC=∠DAE=90°，如图1所示放置，使得一直角边重合，连接BD、CE．（1）试判断BD、CE的数量关系，并说明理由；（2）延长BD交CE于点F，试求∠BFC的度数；（3）把两个等腰直角三角形按如图2放置，（1）中的结论是否仍成立？请说明理由．F G HDECBA【课堂练习】1、如图，直线AB 的同一侧作△ABD 和△BCE 都为等边三角形，连接AE 、CD ，二者交点为H 。
求证： （1）△ABE ≌△DBC ； （2）AE=DC ； （3）∠DHA=60°； （4）△AGB ≌△DFB ； （5）△EGB ≌△CFB ； （6）连接HB ，HB 平分∠AHC 。
（7）连接GF ，GF ∥AC ；2、已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE，直线AE与BD交于点F(1) 如图1，若∠ACD＝60°，则∠AFD＝__________(2) 如图2，若∠ACD＝α，连接CF，则∠AFC＝__________（用含α的式子表示）(3) 将图1中的△ACD绕点C顺时针旋转如图3，连接AE、AB、BD，∠ABD＝80°，求∠EAB的度数课堂检测1、如图甲，正方形ABCD和正方形CEFG共一顶点C，且B，C，E在一条直线上．连接BG，DE．（1）请你猜测BG，DE的位置关系和数量关系，并说明理由；（2）若正方形CEFG绕C点顺时针方向旋转一个角度后，如图乙，BG和DE是否还有上述关系？是说明理由．2、已知△ABC是等边三角形，点D是直线BC上一点，以AD为一边在AD的右侧作等边△ADE. （1）如图①，点D在线段BC上移动时，直接写出∠BAD和∠CAE 的大小关系；（2）如图②③，点D在线段BC的延长线上移动时，猜想∠DCE的大小是否发生变化.若不变请求出其大小；若变化，请说明理由.课后作业1、如图1，点A和点B分别在y轴正半轴和x轴负半轴上，且OA＝OB．点C和点D分别在第四象限和第一象限，且OC⊥OD，OC＝OD，点D的坐标为(m，n)，且满足|m－2n|2＋|n－2|＝0(1) 求点D的坐标(2) 求∠AKO的度数(3) 如图2，点P、Q分别在y轴正半轴和x轴负半轴上，且OP＝OQ，直线ON⊥BP交AB于点N，MN⊥AQ交BP的延长线于点M，判断ON、MN、BM的数量关系并证明2、如图△AOB和△ACD是等边三角形，其中AB⊥x轴于E点．（1）如图，若OC=5，求BD的长度；（2）设BD交x轴于点F，求证：∠OFA=∠DFA；（3）如图，若正△AOB的边长为4，点C为x轴上一动点，以AC为边在直线AC下方作正△ACD，连接ED，求ED的最小值．。
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初二数学中的“手拉手”模型
如图1：两个公共顶点并且顶角相等的等腰三角形所组成的图
形具有很特别的性质，我们形象地称其为“手拉手”模型；在这个
图形种蕴含这两个全等三角形，而且这两个全等三角形可以看成其
中一个绕着顶点旋转顶角地度数后变成另外一个。
在图1中，只需要连结BD，CE则容易证明△ABD≌△ACE；同
时△ACE可以看成△ABD绕着点A顺时针旋转∠BAC的度数得到。
熟悉手拉手模型对于解题是十分有帮助的。
下面以一些初二阶段
的考题为例子一起来巩固强化一下这个模型。
例1（15石狮八年级期末26题）△ABC和△ADE都是等腰三角形，其中AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE.
（1）如图1，连结BE、CD，求证：CD=BE；
（2）如图2，连结BD、CD，若∠BAC=∠DAE=60°，CD⊥AE，AD=3，CD=4，求BD的长；
（3）如图3，若∠BAC=∠DAE=90°，以点A为旋转中心旋转△ABC，使得点C恰好落在斜边DE上，试探究、、之间的数量关系，并加以证明．
本分析：本题就是一道典型的手拉手模型问题，这边的两个等顶角共定点的等腰三角形是△ABC和△AED，因此图形中一定存在着两个全等的可以看成旋转得到的三角形。
有了这个理念就不难想到第二题连结BE；第三题连结BE，得到全等三角形，第二题中两个全等三角形
是△ABE与△ACD；第三问全等的三角形是△ABE与△ACD。
发现全等在本题中是关键；例
如第二题、三题就是通过全等把已知条件集中到同一个直角三角形中；利用勾股定理求解。
例2：如图3，在三角形ABC中AB=AC，∠BAC=90°，P是BC上的一点，证明：
BP²+CP²=2AP²
分析：这个题目中并没有直接的“手拉手”模型；但是
题目中有一个已知的等腰直角三角形ABC，要证明的式
子中有一个线段AP是以A为端点的，因此我们可以考
虑以AP为直角边，构造以点A为顶点的另一个等腰直
角三角形APD，这样就出现“手拉手”模型了，而模型
中存在的两个旋转三角形也随之显现，能把相关线
段集中到同一个直角三角形中。
如图4
（注：本题也可以直接考虑△ABP旋转）
例3：（17秋永春期末检测）
如图5，已知∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°，
①三角形ABC是__________三角形
②求证AC=BC＋CD
（2）如图6，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改写成“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=45°”，求线段AC，BC，CD的关系，并给出证明。
分析：②中要证明AC=BC＋CD可以用“截长补短”的思维去考虑，
截长：在AC上截取CE等于BC，连结BE证明AE＝CD，
补短：延长CD至点F使得DF=BC，接着证明三角形ACF是等边。
本题也可以考虑旋转，吧△ABC绕着点A逆时针旋转60°；
最后回到主题：实际上我们也可以充分利用已知条件（已经有一个等边三角形），构造另一
个与△ABC共顶点的等边三角形，构造“手拉手”模型求解。
如图8
对于第二个小问，我们从充分利用已知条件构造‘手拉手’模型的思路
不难想到，以相关线段AC为直角边，构造等腰直角三角形ACF，则出
现手拉手模型，两个旋转全等的三角形分别是△ABC和△ADG，这样就
把BC转移到了DG与CD连成直线CG刚好又是以AC为直角边的等腰
直角三角形的斜边，关系自然就出来了。
如图9
注：当然本题也可以直接考虑△ABC旋转再证明△ACF是等腰直角三角形.。