高数第一章小结

高等数学
1、函数的定义
第一章 小 结
定义设 x和y是两个变D量是，一个给定的 集．如果对于x每 D 个，数变量 y按照一定法 则总有确定的数对值应和，它则y是 称x的函数， 记作y f(x)．
数集 D叫做这个函数 ， x的 叫定 做义 自域 变量 y叫做因变量．
函数值全体组成的数集 W{yy f(x),xD}称为函数的 . 值域
双曲函数常用公式
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第一章 小 结
sx i y n ) sh x i c n y ( o c h x s o sh y i ; s n h cx o y ) s cx h o cy o ( s sh x s i sn h y i ;n h co 2x s s hi2 n x h 1 ;si2 n x 2 h six n co h x ;s
wenku.baidu.comco 2 x s ch 2 o x s si 2 h x n . h
反双曲 ya正 rsi弦 nx;h 反双曲 ya余 rco弦 x s;h 反双曲 y正 arta切 xn;
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数列极限
函数极限
ln im xn a
lim f(x)A
x
limf(x)A
xx0
单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。
y y x2 当x0时为减函 ; 数
当x0时为增函 ; 数
o
x
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(4) 函数的有界性:
若 XD ,M0, xX,有f(x)M 成,立 则称f(函 x)在 X 数 上有 .否界 则称 . 无界
y
y 1 x
在 (, 0)及 (0,) 上无 ; 在 (, 1]及 [1,) 上有 .
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(3) 函数的单调性:
设函数f(x)的定义域为D，区间I D，如果对于区间I上
任意两点 x 1及 x 2，当 x1 x2时，恒有：
(1) f (x1) f (x2),则称函数 f (x) 在区间I上是单调增加的； 或(2) f (x1) f (x2), 则称函数 f ( x)在区间I上是单调递减的；
ytaxn ; ycox;t
5）反三角函数 yarcsxi;nyarcxc; os yarctx;aynarccoxt
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7、复合函数
设函数y f(u)的定义域Df ,而函数u(x) 的值域为Z, 若Df Z , 则称函数 y f[(x)]为x的复合函数.
8、初等函数
小),总存在正数 N ,使得对于n N 时的一切 xn,不
等式 xn a 都成立,那末就称常数 a 是数列 xn
的极限,或者称数列 xn收敛于a ,记为
lim
n
xn
a,或 xn
a
(n ).
无穷大
两者的
lim f(x) 关系
极限存在的 充要条件
左右极限 无穷小的比较
无穷小
limf (x) 0
判定极限 存在的准则
两个重要 极限
等价无穷小 及其性质
无穷小 的性质
唯一性
求极限的常用方法
极限的性质
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1、极限的定义
定义 如果对于任意给定的正数 (不论它多么
y
y
(x1)2y21
y ex
o
x
o
x
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(2) 函数的奇偶性:
设 D 关于原 ,对 点 于 x 对 D ,有 称
f(x)f(x) 称 f(x)为偶 ; 函数
f(x)f(x) 称 f(x)为奇 ; 函数
y
y x
y y x3
o
偶函数
o
x
x
奇函数
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1 o 1
x
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(5) 函数的周期性:
设函数 f(x) 的定义域为D，如果存在一个不为零的 数l,使得对于任一 xD,有 (xl)D.且 f(x+l)=f(x) 恒成立,则称f(x)为周期函数,l 称为 f(x) 的周期.（通 常说周期函数的周期是指其最小正周期）.
T1
y
yx[x]
1
o
1
x
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3、反函数
由 yf(x)确定 yf的 1(x)称为.反函
ysinxh yf1(x)arsinxh
4、隐函数
由方F程(x, y)0所确定的函数 y f(x)称为隐函 . 数
如 yxey0
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5、反函数与直接函数之间的关系
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一、主要内容
第一章 小 结
（一）函数的定义 （二）极限的概念 （三）连续的概念
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第一章 小 结
基本初等函数
复合函数
函数 的定义
初等函数 反函数 隐函数
双曲函数与 反双曲函数
反函数与直接 函数之间关系
函数 的性质
单值与多值 奇偶性 单调性 有界性 周期性
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设函数 f (x)是一一对应
函数,则
y yf1(x)
1f(f1(x))f1(f(x)) (f(x),x)
x
xDf
yf(x)
2yf(x)与yf1(x)的
(x, f(x))
图象对称于 yx直 . 线 o
x
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6、基本初等函数
1）幂函数 yx (是常)数
2）指数函数 yax (a0 ,a1 ) 3）对数函数 y lo a x( g a 0 ,a 1 ) 4）三角函数 ysin x; yco x;s
由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有 限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示 的函数,称为初等函数.
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9、双曲函数与反双曲函数
双曲 si正 n xh ex 弦 ex 2
双曲 co 余 xse h x 弦 ex 2
双曲 tax n 正 sh ix n 切 e x h e x co xs e xh e x
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函数的分类
有 有理整函数(多项式函数) 理
代 数
函 数 有理分函数(分式函数)
初 等
函 数
函
无理函数
函数
数
超越函数
非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数)
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2、函数的性质
(1) 单值性与多值性:
若 对 于 每 一 个 x D ,仅 有 一 个 值 yf(x )与 之 对 应 ,则 称 f(x )为 单 值 函 数 ,否 则 就 是 多 值 函 数 .