为I的无限长直导线

逆时针方向
完
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10
13-5 13要从真空仪器的金属部件上清除出气体， 5． 要从真空仪器的金属部件上清除出气体，可以利 用感应加热的方法。如图所示，设线圈长l=20cm，匝 用感应加热的方法。如图所示，设线圈长 ， 数N=30匝(把线圈近似看作是无限长密绕的)，线圈中 匝 把线圈近似看作是无限长密绕的) 的高频电流为I=I0sin2πft，其中I0=25A，频率f=105Hz， 的高频电流为 ， 其中 ， 频率 ， 被加热的是电子管阳极，它是半径r=4mm而管壁极薄 被加热的是电子管阳极，它是半径 而管壁极薄 的空圆筒，高度h<<l，其电阻 的空圆筒，高度 ，其电阻R=5×10-3Ω，求 × 阳极中的感应电流最大值； (1)阳极中的感应电流最大值； (2)阳极内每秒产生的热量； 阳极内每秒产生的热量； (3)当频率f增加 倍时，热量增至几倍？ 当频率 增加1倍时，热量增至几倍？ 增加 倍时 解：(1)
× ×
ε1 = Blυ1 = 2 × 1× 4 = 8(V) ×
υ1
r
× ×
A
× ×
× O1 ×
B
υ2
r
× ×
C
× ×
6
×O 2 ×
D
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13-3 13-
ε 2 = Blυ2 = 2 × 1× 2 = 4(V)
方向C→ 方向 →D (2)
8−4 I= = = 0.5(A) 2R 2× 4 UAB = −ε1 + IR = −8 + 0.5 × 4 = −6(V) × × × × × r C r A UCD = UAB = −6(V) υ2 υ1 × × O × ×O 2 ×
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12
13-5 13(2)
Im 2 Q=I R = ( ) R 2 29.7 2 −3 =( ) × 5 × 10 = 2.2(J) 2
2
(3)频率增加 倍时 热量增加到原来的4倍 (3)频率增加1倍时，热量增加到原来的 倍。 频率增加 倍时，
Q∝ f
2
完
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13
13-6 13如图所示，在半径为R的无限长直圆柱形空间内 的无限长直圆柱形空间内， 6 ． 如图所示 ， 在半径为 的无限长直圆柱形空间内 ， 存在磁感应强度为B的均匀磁场 的均匀磁场， 的方向平行于圆柱 存在磁感应强度为 的均匀磁场，B的方向平行于圆柱 轴线，在垂直于圆柱轴线的平面内有一根无限长直导 轴线， 线 ， 直 导 线 与 圆 柱 轴 线 相 距 为 d ， 且 d>R ， 已 知 dB/dt=k，k为大于零的常量， 求长直导线中的感应电 为大于零的常量， ， 为大于零的常量 动势的大小和方向。 动势的大小和方向。
1
ε1 − ε 2
×
×
B
×
×
D
×
7
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13-3 13(3)
1 1 1 UO1B = − ε1 + IR = U AB = −3(V) 2 2 2 1 UO2B = UCD = −3(V) 2
UO1O2 = UO1B − UO2B = 0(V) ×
× ×
υ1
r
× ×
A
× ×
× O1 ×
B
13-1 13在纸面所在平面内有一根通有电流为I的无限长 1 ． 在纸面所在平面内有一根通有电流为 的无限长 直导线， 其旁边有一个边长为l的等边三角形线圈 直导线 ， 其旁边有一个边长为 的等边三角形线圈 ACD，该线圈的 边与长直导线距离最近且相互平 ，该线圈的AC边与长直导线距离最近且相互平 行，今使线圈ACD在纸面内以匀速υ远离长直导线运 今使线圈 在纸面内以匀速 长直导线相垂直。 求当线圈AC边与长直 动 ， 且 υ 与 长直导线相垂直 。 求当线圈 边与长直 导线相距为a时 线圈ACD内的动生电动势ε。 导线相距为 时，线圈 内的动生电动势 通过线圈ACD的磁通量 解：通过线圈 的磁通量
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完
5
13-3 13如图所示， 为两根金属棒， 3 ． 如图所示 ， AB和 CD为两根金属棒 ， 长度 都是 和 为两根金属棒 长度l都是 1m，电阻 都是 Ω，放置在均匀磁场中，已知磁场的 都是4Ω 放置在均匀磁场中， ，电阻R都是 磁感应强度B=2T， 方向垂直于纸面向里 。 当两根金 磁感应强度 ， 方向垂直于纸面向里。 属棒在导轨上分别以 υ1=4m/s和υ2=2m/s的速度向左运 和 的速度向左运 动时，忽略导轨的电阻， 动时，忽略导轨的电阻，试求 两金属棒中各自的动生电动势的大小和方向， (1) 两金属棒中各自的动生电动势的大小和方向 ， 并 在图上标出方向； 在图上标出方向； 金属棒两端的电势差U (2)金属棒两端的电势差 AB和UCD； 之间的电势差。 (3)金属棒中点O1和O2之间的电势差。 金属棒中点 解：(1) 方向A→ 方向 →B
反时针方向 由对称性可知CD中的电动势 由对称性可知 中的电动势
1 1 2 εCD = ε i = −k ⋅ πR 2 2
方向由D指向 。 方向由 指向C。 指向
完
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15
r r b b− x Φm = ∫S B ⋅ dS = ∫0 ∫0 Bdydx
= ∫0 ∫0
b
b b− x
b
B0 x ye dydx
2
2
− at
dy x dx y x o b
1 2 − at = ∫0 B0 x ⋅ (b − x ) e dx 2
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9
13-4 13-
1 1 2 3 1 4 1 5 −at b = B0 ( b x − bx + x )e |0 2 3 2 5 1 5 −at = B0b e 60 dΦ dΦm 1 5 −at εab = − = B0b ae dt 60
A
B
解：在垂直于圆柱轴线的无限 长直导线所在平面内作矩形回 路ABCD，AB与圆柱轴线相距 ， 与圆柱轴线相距 为d 。回路的感应电动势
dΦm εi = − dt
× d × × o × × × d
× R × × × × ×
D
C
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14
13-6 13-
dB 2 ε i = − S = −k ⋅ πR dt
C dr r r r D Φm = ∫S B ⋅ dS = ∫S BdS I l υ A dS = 2[a + l cos 30° − r ]tg 30° ⋅ dr a
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1
13-1 13-
µ0 I = ∫a 2[a + l cos 30° − r ]tg 30° ⋅ dr 2πr 3 a+ l 3 3 µ0 I 2 − µ0 I 3 (a + l ) ⋅ ln = 2 3 a π π 3
A
r r Φm = ∫S B ⋅ dS = ∫S BdS
a
υ
r
b
r dr l 2 d µ0i l0 + l1 l 0 + l1 µ 0 i c l2 ln = ∫l0 l 2 dr = B l0 l1 2πr 2π l0
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3
i
13-2 13-
dl 2 dΦm =υ εab = − dt dt d µ0 I 0 l0 + l1 =− ( l 2 ln ) dt 2π l0 l0 + l1 µ0 I0 =− υ ln 2π l0
感应电动势方向由b指向 ， 点为高电势。 感应电动势方向由 指向a，即a点为高电势。 指向 点为高电势
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4
13-2 13(2)

dΦm εab = − dt d µ0i l0 + l1 = ( l2 ln ) dt 2π l0
µ0 i dl 2 l0 + l1 µ0 di l0 + l1 =− ln − l 2 ln 2π dt l0 2π dt l0 l0 + l1 µ0 I0 =− υ(cosωt − ωt sin ωt ) ln 2π l0
υ2
r
× ×
C
× ×
8
×O 2 ×
D
完
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13-4 13有一个三角形闭合导线， 如图放置。 4 ． 有一个三角形闭合导线 ， 如图放置 。 在这三角 r r 2 −a t 式中B 形区域中的磁感应强度为 B = B0 x ye k ，式中 0 r 是常量， 轴方向单位矢量， 和a是常量， k 为z轴方向单位矢量，求导线中的感生 是常量 轴方向单位矢量 电动势。 电动势。 y 解：
a + l cos 30°
dΦm εi = − dt
da =υ dt
3l 3l µ0 I 3 ] =− )− υ [ln(1+ 3 2a 2a π
完
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2
13-2 13如图所示， 无限长直导线AB中电流为 中电流为i， 2 ． 如图所示 ， 无限长直导线 中电流为 ， 矩形导 线框abcd与长直导线共面，且ad//AB，dc边固定，ab 与长直导线共面， 边固定， 线框 与长直导线共面 ， 边固定 边沿da及 以速度无摩擦地匀速平动 以速度无摩擦地匀速平动， 边沿 及cb以速度无摩擦地匀速平动，设线框自感忽 略不计，t=0时，ab边与 边重合。(1)如i=I0，I0为常 略不计， 时 边与dc边重合。 边与 边重合 中的感应电动势， 两点哪点电势高 两点哪点电势高？ 量，求ab中的感应电动势，ab两点哪点电势高？ 中的感应电动势 (2)如i=I0cosωt，求线框中的总感应电动势。 ，求线框中的总感应电动势。 通过线圈abcd的磁通量 解：通过线圈 的磁通量
1 dΦm i= = R R dt